Radicales,transformación de radicales y operaciones con radicales

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(1)

RADICALES

1.1 Radicales

1.2 Transformaciones de radicales

1.2.1 Teorema fundamental de la radicación 1.2.2 Simplificación de radicales

1.2.3 Reducción de radicales a índice común 1.2.4 Potenciación de exponente fraccionario

1.3 Operaciones con radicales

1.3.1 Producto de radicales.

1.3.1.1 Extracción de factores fuera del signo radical

1.3.1.2 Introducción de radicales dentro del signo radical

1.3.2 Cociente de radicales 1.3.3 Potencia de un radical 1.3.4 Raíz de un radical

1.4 Racionalización de denominadores

1.4.1 Denominadores con monomios 1.4.1.1 Con una única raíz cuadrada 1.4.1.2 Con una única raíz n-ésima

1.4.2 Racionalización de binomios. Pares conjugados

(2)

1.1 Radicales

La radicación es la operación inversa de la potenciación. Si una potencia es:

b an =

La radicación es la operación que tiene que obtener a conociendo b y n. Se expresa: n

n

b a f b

a

f : = → −1: =

      

=

raíz la es a

índice el es n

radicando el

es b

radical el

es b a

b

n

n

: : :

:

Un radical puede llevar coeficientes que formen parte de el como por ejemplo n b 3 donde 3 es el coeficiente y forma parte del radical.

Si n = 2, es la raíz cuadrada y se acostumbra a omitir el índice Si n = 3, es la raíz cúbica

Si n = 4, es la raíz cuarta y así sucesivamente

Como consecuencia de las reglas sobre los signos de las potencias de exponente natural y base negativa tenemos que

• Toda raíz de índice impar de un número tiene el mismo signo que el radicando

8 ) 2 ( 2

8

8 2 2

8

3 3

3 3

− = − −

= −

= =

que ya que ya

• Toda raíz de índice par de un número positivo tiene doble signo 16 ) 4 ( 4 4

16 =± yaque 2 = − 2 =

• Toda raíz de índice par y radicando negativo no es real

4 −64

Ejercicios:

Calcula el valor de los siguientes radicales identificando en cada uno de ellos índice, radicando y raíz:

1. 9 9. 4 625

2. 3 −8 10.

729 256

3. 64 11. 3

512 125

4. 3 125 12. 5 7776 5. 256 13. 3 0.064

(3)

6. 4

256 14. 5

243 1024

7. 5 −32 15. 3

125 8

8. 4

256 81

16. 0.0004

1.2 Transformaciones de radicales

1.2.1 Teorema fundamental de la radicación

Demostración

Sea el radical n Ap =b

Por definición de raíz: Ap =bn

Elevamos los dos términos de la igualdad a una potencia q:

( ) ( )

Ap q = bn q o sea: Apq =bnq.

Extraemos la raíz de índice nq: nqApq =nqbnq =b Luego queda demostrado (por definición de raíz)

(1) Este teorema permite la simplificación de radicales, definir la potenciación de

exponente fraccionario y la reducción a índice común.

Ejemplos:

a) 4

( )

2 4 2

9 3

3a= a = a ; b)3 2 2 6 2 4 2 2

) (

2 ) (

2a x + y = a x + y ; c)5 x2 +y2 =10(x2 + y2)2 d)4 36 =4 62 = 6

e)1032 =1025 = 2

Ejercicios:

Escribe tres radicales iguales a cada uno de los siguientes radicales:

17) 3xy 18)3 2x2z 19)4 2

5xy z 20)3 2ab2 21)4 3 2

3xy z 22)5 3

2

z xy Si se multiplica o divide el índice de la raíz y el exponente del radicando por un mismo número entero, el valor aritmético del radical no varía.

nq pq n p

(4)

1.2.2 Simplificación de radicales

Ejemplos:

a) 6 6 2 4 6 2 2 3 2 3

18 3

2 )

3 2 ( 3 2

324= ⋅ = ⋅ = ⋅ =

b) 18 9 18 3 3 3 18 3 3 6 3

3 ) 3 ( ) ( 3

27a = a = a = a

c)

2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2 4

2 2

3 3

) (

) 3 ( )

( 3 9

xy b xy

b xy

b y

x b y

x b

=       = =

=

Ejercicios:

23) 25a4b6c10 24)3 27a3b9c12 25) 20

2

y x

26) 10 4

6 2

81 25

x a

n m

27) 8 2

4

49 16

c b

a

28) 2 6

8 2 2

144 81

y x

c b a

29)3

9 12

) ( 64

125 b a

x

− 30)5 10

) ( 243 a+b

− 31) 4 25x2

32)6 3 3

8x y 33)9 3 6

64x y 34)1032a5

35)12 4 8

81 16 b a

36)15

9 6

6 3

125 27

b a

n m

37)5 15 5

1 y x

1.2.3 Reducción de radicales a índice común

Se opera de manera similar a la de reducción a común denominador en fracciones:

• El índice común será el m.c.m de los índices.

• Se divide el índice común por cada índice y el cociente se multiplica por el exponente del radicando.

Ejemplos:

a) Reducir a índice común 3 4

7 , 5 , 3 El m.c.m (2, 3, 4) = 12

12 3 12 4 12 6

7 , 5 , 3 3

4 12 4

3 12 6 2

12 = = =

b) Reducir a índice común 3ax3, 6 3(x2a) y4 5a3b2

El m.c.m (2, 6, 4) = 12

(5)

3 4 12 2 6 12 6 2

12 = = =

12 3 9 6 12 2 2

12 6 6 18 12 3 2 3

12 2

12(3ax3)6, (3(x2a)) y (5a b )3 a x , 3 (x2a) y 5 a b

Ejercicios:

Reduce a índice común los siguientes radicales: 38) 3 2 4 3 6 5 8 3

, , ,

, m m m m

m 39) x,5 2x,8 3x3,104x7, 203x9

40)3 3x2y,4 5xy3, 6 7x2y5, 9 6x5y4 41) x,5 x3,15x2

42) 4 6 3 15 2

, , xy xy xy

1.2.3 Potenciación de exponente fraccionario

(2)

Demostración:

Si dividimos el índice y el exponente del radicando de un radical por el índice tenemos que:

n p nn pn pn

A A

A = =

Esto nos permite poner los radicales en forma de potencias y operar con ellos utilizando las reglas de la potenciación.

Ejemplos:

a) 3 3 2 2

8

8 = b)

( )

3 3

( )

2 2 3 2 4 2

2 ab a b

ab = = c)

3 3 1 3 1

1 1

x x

x− = =

Ejercicios:

Escribe como potencias los siguientes radicales:

43) 2x; 44)3 x2; 45)4 ab2; 46)5 ;

1 1

− +

a a

47)3 x x; 48)

x x b 3

3 2 3

Escribe como radicales las siguientes potencias:

49) 3 2

3 50) 2 5

) 2

( −x 51) 5 2

5− 52) 3 2

) 2

(− 53)

5 1 1

4 3

2 3

− −

− +

54) 4

3 2 1 2 1

4x yz Una potencia de exponente fraccionario es equivalente a un radical cuyo índice es el denominador del exponente y cuyo radicando es la base elevada al numerador del exponente

n p n

p

(6)

1.3 Operaciones con radicales

1.3.1 Producto de radicales

a) De radicales homogéneos (de igual índice)

Sean los radicales de igual índice n Ay n B. Se tiene que:

  

= ⇒ =

= ⇒ =

B s s B

A r r A

n n

n n

Multiplicando ordenadamente: rnsn =

( )

rs n = AB

Extrayendo la raíz n-ésima: n n n

B A s r s

r⋅ ) = ⋅ = ⋅ (

Sustituyendo r y s por su valor:

(3)

b) De radicales no homogéneos

Si los radicales no tienen igual índice se reducen previamente a índice común.

Ejemplos:

a) 3 5⋅3 7 =3 35 b)4 a⋅4 a2 =4 a3 c) 32 3 25 4 2

Reducimos a índice común. m.c.m (2, 3, 4) = 12

12 6 7 12 3

12 4 12 6

2 3 10 2 5 2 2

3 ⋅ ⋅ = ⋅

Observa que se multiplican por un lado los coeficientes (5 y 2) y por otro lado los radicales

Ejercicios:

Efectúa los productos siguientes:

55) 2⋅ 3⋅ 5 56)3 a⋅3 a2 ⋅3 a5 57)

a b b

a 2

2 ⋅ 58)

4 3 3 a a

a⋅ ⋅

59) 3 3

5 3

2⋅ ⋅ 60)6 3 4

5 4

3⋅ ⋅ 61) 2x⋅3 3x2 ⋅6 x5

62) 3 4

4 3 5 2 3 2

⋅ 63)4 6 3 xy x y y x

64)5 ab2c3 ⋅5 a2b2c2 ⋅ abc

65)2a aab3 bc5 abc 66)33 a2b⋅24 a2b2

1.3.2.1 Extracción de factores fuera del signo radical

La expresión (3) nos permite simplificar radicales cuando uno de los factores tiene raíz n-ésima exacta:

12= 4⋅3 = 4⋅ 3 =2 3

4 3 4 3

4 4 4 4 3

4 7

a a a a a

a

a = ⋅ = ⋅ =

n n n

B A B

A⋅ = ⋅

(7)

• Se divide el exponente del radicando por el índice de la raíz.

• El cociente se escribe como exponente del factor fuera del signo radical.

• El resto de la división se escribe como exponente del factor dentro del radical.

Ejemplo: 5 x17

Hacemos la división 17/5 y obtenemos de cociente 3 y de resto 2 por lo tanto

5 2 3 5 17

x x x =

El proceso paso a paso sería:

• separamos x17 en dos factores , de tal forma que uno ellos sea el múltiplo del índice más próximo al exponente del radicando 5 17 5 15 2

x x x =

• aplicamos la expresión (3) 5 x15 ⋅5 x2

• simplificamos el primer radical: 55x155 ⋅5 x2 =x3 ⋅5 x2

Si el radicando tiene varios factores, se efectúa la división del exponente de cada factor por el índice de la raíz

Ejemplos:

xy z xy z y

x3 5 2 = 2

     

⇒ ⇒ ⇒

0 1

2 2

1 2

2 5

1 1 2

3

resto cociente

resto cociente

resto cociente

6 5 2 3 2

6 5 8 15

3

3x y z =z y x y z Observa que los factores 3 y x5quedan íntegros dentro del radical por tener exponentes menores que el índice.

Si el radicando es un número, se descompone en factores primos y se procede como se ha indicado.

Ejemplo:

3 36 3 3 2 3 2

3888= 4⋅ 5 = 2⋅ 2 =

Ejercicios:

67) 32 67)3 16x5 68)4 5 6

64x y 69)4 m6n4 70) 6 a6b9c12d15 71) 2a4b6c2 72)3 81a6b12c3d4 73) 3 −a9b6c10 74)5 5a14b10c5 75) 3a5b3c2 76)3 27a2b3c4d5 77)2 16a3 78) 3 4 3 5

8

5 x y z 79) xy x3y4z

8

3 80) 2 5 3

(8)

1.3.2.2 Introducción de factores dentro del signo radical

Para introducir dentro del signo radical un factor que multiplica a una raíz, se multiplica el exponente del factor por el índice de la raíz y se escribe el producto como exponente del factor dentro de la raíz.

Demostración: mn n m n n n nm

b a b a

b

a = ( ) ⋅ = Ejemplos:

a)a3 a4 =3 a3a4 =3 a7

b) 25 3 5 2 5 3 5 5 10 3 5 5 13

7 7

) 7 (

7x x = x x = x x = x

c) 3 3 3

2 2 2 3 3 3 3 2 2 3 3 2 2 6 3 2 2 3 2 4 3 2 4 3 2 b a b a a b b a a b b a a b b a = = =       =

Ejercicios:

81) 2a 2a 82)3x3 4x2 83) (a+b) (a+b) 84)3a2b ab2 85)x3 a2bcx 86)−2ab5 a2b 87)x2y 2xy 88)a2bc33 3a2b

89)2a 5ab2 90)

x x

3 1

2 91) 3 3 2 2 3 2 d c ab b a 92) 3 4 25 5 2 y x 93) x y y x 2 3 3 2

94) 3 2

2 a bc b a 95) 6 3 xyz xy 96) ) ( ) ( y x y x y x − +

− 97)

y x y x y x y x + − − +

98) ( ) 2 1 2 b a b a − +

99)( ) 2 2 b a b a b a − −

+ 100)

1 1 1 1 + − − + a a a a

1.3.2 Cociente de radicales

a) De radicales homogéneos (igual índice)

Sean los radicales de igual índice n Ay n B. Se tiene que:

   = ⇒ = = ⇒ = B s s B A r r A n n n n Dividiendo ordenadamente: B A s r s r n n n =       =

Extrayendo la raíz n-ésima: n n n B A s r s

r = =

     

Sustituyendo r y s por su valor:

(4) n n n B A B

A=

(9)

b) De radicales no homogéneos

Si los radicales no tienen igual índice se reducen previamente a índice común.

Ejemplos:

a) 3 3

3 3 4 4 16 4

16 = =

b) 3

2 6 2 1 : 2 3 2 1 : 2 3 = = =

c) 6 6

2 3 6 2 6 3 3 2 2 2 2 : 2 2 :

2 = = =

Ejercicios:

101) :3

2 b

a b a

102) 3 4

4 3 : 5 3 3 2    

⋅ 103) 

  

 2 6 4

5

2 3 :

8a bc a ab c

104)2 72 : 32 105)2 x2y3 :3 xy 106) 18: 72

107)16 x3y4 :4 x2y2 108)5 a2b3c4 :5 ab2c 109)23 a2b:3 ab 110)3 a2bc2d : abcd 111)3 2 3 4 2 3

: a bc bc

a 112) 3 4

3 2 5 3 : 4 3 ⋅    

Para extraer factores de un radical con radicando en forma de fracción se realiza primero el cociente de radicales y después se extraen independientemente los factores del numerador y del denominador.

Ejemplos a) 2 4 3 2 3 3 2 3 16 27 16

27 = = =

b) 3

2 3

3 2

3 4 4 3 3 4 5 3 4 5 4 2 3 3 2 3 3 2 3 2 81 8 ab yz a yz ab a yz yz b a z y b a z y

x = = =

Ejercicios:

113) 9 16 3 3 3 2 x y

y

x 114)

4 25 5

2 a3bc5 c ab 115) 6 4 3 2 3 2 9 49 7 3 x c ab c bx a 116)5 15 10 6 32b b a − 117)3 6 10 8 6 27b c b a 118)3 4 5 2 3 4

12d f c b a − 119)5 9 6 3 8 7 6 729 64 z y x c b a

1.3.3 Potencia de un radical Sea el radical r =n A.

Por definición de raíz rn = A

(10)

Extrayendo la raíz n-ésima: n p n n p p n p

A r

A

r ) = ⇒ = (

Sustituyendo r por su valor:

(5)

Otra forma de obtener esta expresión es desarrollando la potencia

( )

n A p y aplicando la regla del producto de radicales:

( )

n p

veces p a

veces p

n n

n n p n

A A A

A A A A

A A

A = 144424...443=14 244⋅ ...4 344⋅ =

Una potencia muy usada es:

( )

n a n =n an =a

. Y en particular en el caso de la raíz

cuadrada

( )

a 2 = a2 =a

Ejemplo:

a)

( )

3ax 4 = (3ax)4 = 81a4x4

Ejercicios:

Calcula las potencias y simplifica el resultado haciendo:

• primos entre sí el índice y el exponente del radicando

• extrayendo todos los factores posibles

120)

(

2ab

)

3 121)

( )

2 3 2

3a b 122)

(

)

3 5 2 2 3

2

3 a b c 123)

3 4 2 3

2 

 

a b c d

124)

(

)

3 3 2

3

2a b c 125)

2 3

2

2 2

    

  

a bc c ab

126)

(

ab23 (ab)

)

3 127)

2

1 ) (

  

− −

y x y x

128)

2 3

2 2 2

9 2 3

  

y x y

x 129)

3

4 3 4

  

b a

ab 130)

10 5 2

  

 −z y

x

1.3.4 Raíz de un radical Sea el radical r =m n A. Por definición de raíz rm =n A

Elevamos a la potencia n ambos miembros :

( )

rm n = Armn = A Extraemos la raíz de índice m. n: r =nmA

Sustituyendo r por su valor:

(6)

( )

n p n p

A A =

Para elevar una raíz a una potencia se eleva el radicando a esa potencia

(11)

Ejemplos:

a)4 3 12

5 3 5 3

=

b) Estos ejercicios se empiezan a resolver desde el radical más interior

3 9 4 5 16 5

2 14 5 4 14 5 3 1 14 5 9 1 14 5

= = + = +

+ + = + + = + + + = + + +

c) En estos ejercicios se combina la raíz de una raíz con la introducción/extracción de factores del radical.

2 2 4 4 2

3 2 2

4 3 2

9 81

3 27 9

27a b a b = a b a b = a b = a b (Extracción)

6 5 3 3 2

3 2

2 2

2a a a a

a = = (Introducción)

Ejercicios

131) 2a3 132) 3 5

2 3

ab 133)4 3

3 2

ax

134) 20+ 21+ 8+ 64 135) 19− 4+ 32− 49

136) 2 4

16 21

5a+ a + a 137) 2 4 8

256 32

5x + xx

138) a3 a 139) 16 8 4 140) 2 2

4 8ab a b ab

141)2 2 2 2 142) 3 16 143) 5 2

2a a 144)3 ab3 2a

145)

2 1 2 2

2 146) 33

3 1 3

3 147) 4 13 a

a

a 148) 13 x

x x

149) 3

2 2 3

2

b a b b b a

150) 3

2 3

2 :

b a b b b

a

1.4 Racionalización de denominadores

La racionalización de denominadores es la operación que elimina las expresiones radicales que pueden aparecer en los denominadores.

(12)

1.4.1 Denominadores con monomios 1.4.1.1 Con una única raíz cuadrada

Para eliminar el radical se multiplican numerador y denominador por la raíz que aparece en el denominador.

( )

b b a b b a b b b a b

a = =

= 2

Es conveniente extraer todos los factores posibles del radical antes de racionalizar.

Ejemplos: a) 3 3 7 3 7 = b) 6 2 5 2 3 2 5 2 2 3 2 5 2 3 5 = ⋅ = = c) 9 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3 2 3 3 2 3 2 27 2

3 = = = ⋅ =

= d) 3 15 15 15 5 15 15 15 5 15

5 = = =

e) 5 15 5 5 5 3 5 3 5 3 = ⋅ ⋅ = =

Ejercicios:

151) 2 3 152) 3 2 153) 3 2 154) 8 27 155) x − 2 3 156) x x + − 2 2 157) xy 5 3 6 158) zt xy

5 159) y xy 3 3 2 160) y x y x + −

2 161) 2

2 162) 8 27 2 163) a a a 3 3 2 164) 5 3a 165) 3 2 3 x y x 166) a b b a 167) x xy 3 3 2

1.4.1.2 Con una única raíz n-ésima

Si el exponente del radicando es m se multiplica numerador y denominador por la raíz n-ésima del radicando elevado a n-m.

b b a b b a b b a b b b a b b b a b

a n n m

n n n n m

n m n m n n m

n m n m n n m

n n m n m

n n m

(13)

Ejemplos:

a)

2 2 3 2

2 3 2 2

2 3 2 2

2 3 2

3 4 3

4 4 4 3

4 3 4 3

4 3 4

4 4 1

4 = =

⋅ = ⋅

= −

b)

ab x b a x

ab x b a xbx x

ab x b a x x

ab x

ab

x ab x x

ab

x 5 4 3 2

3 2 5 4 3 2 2

3 2 5 4 8 12

5 2 3 4 5 2 3

5 2 3 4 5 2 3

6 6

6 ) (

) ( 6

6 = = =

⋅ =

c)

2 2 3 2

) 2 ( 3 2

2 3 2

3 5 4 10 5 10 4 2 10 5 8 5

⋅ = ⋅

= =

Ejercicios:

168)

3 3

2

169)

4 3 2

3

y x

170)

5 3 2

9 6

z y x

xy

171)

3 2

) ( 3

y x

y x

− +

172)

6 5

) (

3

y x+

173)

3 2 5 2

7 b a x

xa

174)

4 3

z xy

xy

175)4 x−3 176)5 4x−4 177)

5 7

2 3 3 2

178)

3 2 6

5

1

x x

179)

8 5

2 2 2

180)

7 3

2 8

1.4.2 Racionalización de binomios. Pares conjugados

Estaremos en este caso cuando el denominador sea un binomio con radical de índice dos. Se eliminan los radicales del denominador multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador.

Pares conjugados: (a + b) y (a - b) son expresiones conjugadas entre sí. Tienen la propiedad de que su producto es igual a la diferencia de los cuadrados de a y b con lo que si a o b son radicales de índice dos, las raíces desaparecerán al realizar el producto.

(

a+b

) (

ab

)

=a2 −ab+bab2 =a2 −b2 Ejemplos:

a) Si el denominador es 2+ 3 ,su conjugado es 2− 3 y el producto de conjugados dará como resultado:

(

2+ 3

) (

⋅ 2− 3

)

=22 −

( )

3 2 =4−3=1 con lo que desaparece el radical.

b) Si el denominador es 2 −3, su conjugado es 2+3 y el producto de conjugados ( 2−3)⋅( 2+3)=

( )

2 2 −32 =2−9=−7

c) Si el denominador es 2 − 3 su conjugado es 2+ 3 y el producto de conjugados:

(14)

d) Si el denominador es3 2+2 3, su conjugado es 3 2−2 3 y el producto de conjugados:

( ) ( )

3 2 2 3 3

( )

2 2

( )

3 9 2 2 3 18 6 12 )

3 2 2 3 ( ) 3 2 2 3

( + ⋅ − = 2 − 2 = 2 2 − 2 2 = ⋅ − ⋅ = − =

Ejercicios:

181)

2 2

3

− 182)3 2 5

− 183) 5 1 6

+ 184)3 7 2

+ 185) 2 3 1

− 186)3 5 2

187)

5 2

2 3

− −

188)

3 2

2 3

+ −

189)

3 3 2 2

2 2

+ −

190)

x x

2 191)2 3 3 2

+ −

192)

3 2 2 3

3 2 2 3

− +

193)

3 2

3 3

− 194) y

y x

− + 2

195)

y y

− 2

2

196)

5 3 2

1

+

− 197) 2 3 5

3 2

+ +

DE AHORA EN ADELANTE EN TODOS LOS EJERCICIOS DE RADICALES LOS RESULTADOS APARECERÁN SIMPLIFICADOS AL MÁXIMO, ESTO QUIERE DECIR QUE:

El índice y el exponente del radicando serán primos entre sí (1.2.2)

Extraer del radical todos los factores posibles

Racionalizar denominadores

1.5 Adición y sustracción de radicales. Radicales semejantes

Para sumar o restar radicales estos han de ser semejantes.

Son radicales semejantes los que tienen el mismo índice y el mismo radicando

Son semejantes: 4 2a3; x5 2a3 (yz)5 2a3

También son semejantes 2 y 8 ya que 8 = 23 = 2 2

Si los radicales no son semejantes, se deja la operación indicada.

Para buscar radicales semejantes usaremos la simplificación, la extracción de factores, la introducción y la racionalización de denominadores.

(15)

Ejemplos:

a) Agrupa los radicales semejantes: , 9, 54 3 1 , 24 , 12 , 3 4 6 3 , 3 , 3 3 , 6 2 , 3 2 , 3 2 3 , 3 , 3 1 , 3 2 , 3 2 ,

3 2 3 4 2 3⋅ ⇒

Son semejantes por un lado:

, 3 9 , 3 3 3 1 , 3 2 12 ,

3 = = 4 =

y por otro:

6 3 54 6

2

24 = y =

b) 2 3+3 3− 3+4 3=(2+3−1+4) 3=8 3

c)7 50−2 32−3 2−4 18=

2 12 2 ) 12 3 8 35 ( 2 12 2 3 2 8 2 35 2 3 4 2 3 2 2 2 2 5 7 2 3 4 2 3 2 2 5 2

7 2 5 2 2

= − − − = − − − = ⋅ − − ⋅ − ⋅ = ⋅ − − − ⋅

d) 5ab3 + 4a2b2 + 8ab5 + 32a3b5 =b 5ab+2ab+2b2 2ab +4ab2 2ab= b 5ab+2ab+(2b2 +4ab2) 2ab

Ejercicios:

198)8 2−4 2+2 2− 2 199) 5 5 1 5 3 2 5 5 3 5 3

1 + +

200) 3 3 3

2 3 2 2 4 1 2 2

1 +

201)2 5−3 45+3 20

202)4 18+2 8−3 32 203)7 316 +33 5423128

204)x 8x−3 50x3 + x 18x 205) 2a 3a − 27a3 +a 12a 206)5a 3−3 3a2 + 12a2 207)23 5 3 2 6 10

256 54

16xx x + x 208)3 7 −2 5+4 7+ 20− 28 + 45 209) xy xy xy xy

3 4 9 5 2 4 3 1 2 3 − + − 210) 18 8 2

18yy + yy 211)

8 1 16 8 ) 32 4 ( 3 8

56 − +10 − 8 +

212) 25 9 5 36 2 4

3 xx+ xxx 213) x x x x 8 2 1 2

2 + − +

214) 3 3 3

125 6 5 4 3 2 9 2

3 xx + x 215) 3 3 3

125 3 5 9 9 9 125

6 xx + x

216) 6 1 6 3 2 2 3 + − + 217) 5 5 5 5 5 ab ab b a a b b a − + + − 218) y x y xy y x y x y x y x y x y x + − − + + − + − +

− 2 2 25 2 25 3

9 9 )

Figure

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