Tema 11 Magnitudes directa e inversamente proporcionales

(1)

PROPORCIONALIDAD

NUMÉRICA

CPR. JORGE JUAN Xuvia-Narón

Se define la razón entre dos números, a, y, b, como el cociente entre ambos

a

b

Se denomina proporción a una igualdad entre dos razones

a

b

razón entre los números, a, y, b

si,

a

b

=

c

d

 a, b, c, y, d, forman una proporción

c

d

razón entre los números, c, y, d

Se llama constante de proporcionalidad de una proporción al cociente de cualquiera de las razones que la definen.

Dos magnitudes pueden ser: Directamente proporcionales

Si al multiplicar ó dividir una de ellas por un número la otra queda también multiplicada ó dividida por ese mismo número.

Magnitud A a a’ a” ... m Magnitud B b b’ b” ... n

Al formar razones con los valores correspondientes de dos magnitudes directamente proporcionales la constante de proporcionalidad es siempre la misma.

'

"

...

'

"

a

m

k

b



b



b



n



Se deduce que dos pares de valores correspondientes de dos magnitudes directamente proporcionales forman una proporción numérica.

Para hallar una cantidad desconocida que forma proporción numérica con otras cantidades conocidas, correspondientes a dos magnitudes directamente proporcionales se sigue uno de estos procedimientos:

Regla de tres simple directa

.

a

b

a

b

c b

x

c

x

c

x

a











Reducción a la unidad

(2)

Una máquina fabrica, 400, clavos en, 5 h. ¿Cuánto tiempo necesita para fabricar, 1000, clavos?.

Magnitud A (Nº de clavos) 400 1000 Magnitud B (tiempo, h) 5 t

las magnitudes son directamente proporcionales pues a mayor número de clavos le corresponde mayor número de horas.

se puede resolver el ejercicio siguiendo dos métodos:

Método de las proporciones ó regla de tres

400 clavos se fabrican en 5 h

t= 1000.5 _12'5 400 

h

1000 clavos se fabrican en t h

Método de reducción a la unidad

400 clavos se fabrican en 5 h

400

5

400

1 clavo se fabrica en 0’0125 h

1.1000 0’0125.1000

1000 clavos t h= 0’0125.1000= 12’5 h

Una rueda de coche da, 4500, vueltas en, 9 m. ¿Cuántas vueltas dará en, 24 h, y, 24 m?.

Magnitud A (Nº vueltas) 4590 x

Magnitud B (tiempo, m) 9 1464

las magnitudes son directamente proporcionales pues a mayor número de vueltas le corresponde un mayor tiempo.

método de las proporciones ó regla de tres

4590 vueltas da en 9 m

x=

4590.1464

746640

9 

vueltas

(3)

Un automóvil gasta, 8 l, de gasolina cada, 100 km. Si le quedan, 7 l, en el depósito, ¿cuántos, km, puede recorrer el vehículo?.

Magnitud A (distancia, km) 100 x Magnitud B (volumen, l) 8 7

las magnitudes son directamente proporcionales pues a mayor número de litros le corresponde mayor número de kilómetros.

100 km se recorren con 8 l

x=

7.100 87 '5

8 

km

x km se recorren con 7 l

método de reducción a la unidad

8 l se recorren 100 km

8

100

8

1 l se recorren 12’5 km

1.7 12’5.7

7 l x= 12’5.7= 87’5 km

De los, 250, alumnos y alumnas que hay en un colegio, hoy han ido de excursión el, 30%. ¿Cuántos alumnos han ido de excursión?.

Magnitud A (Nº alumnos) 100 250 Magnitud B (van de excursión) 30 x

las magnitudes son directamente proporcionales pues a mayor número de alumnos le corresponde mayor número de alumnos que van a la excursión.

De 100 alumnos van 30 alumnos de excursión

x=

250.30

75

100 

alumnos

250 alumnos van x

directamente a través del, 30%, de 250

(4)

Si dos magnitudes son directamente proporcionales tienen las siguientes propiedades:

Si se suman ó restan cantidades de una magnitud y las correspondientes de la otra, las cantidades así obtenidas siguen siendo proporcionales a las dadas.

Magnitud A a a’ a” ...

Magnitud B b b’ b” ...

se verifica

'

"

'

" ...

...

'

"

'

" ...

a

k

b







En toda proporción numérica,

a

c

a

b

c

d

b

d

b

d









1

1 b

a

c

a

c

a

b

c

d

b

d

b

d

b

d



 

 











En toda proporción numérica,

a

c

a

b

c

d

b

d

b

d









1

1 b

a

c

a

c

a

b

c

d

b

d

b

d

b

d



 

 











a

c

a

b

d

c

d







a

c

a

b

c

d

b

d

a

b

c

d











b

c

d

c

d

a

b

c

d

c

a

b

a

b

a

c

d

a

b

a

b

a

b

a

b

d

c

d

c

d

b

d

a

b

c

d

c

d

b













































a

c

a

c

b

d

b

d

a

c

b

d











n n

a

c

a

c

b

d

b

d













_

_



_

_









a

c

a

c

b

d

b

d







n n

a

c

a

c

(5)

a

c

e

a

c

e

k

b

d

f

b

d

f

 









.

(

).

.

a

k

a

b k

b

a

c

e

c

a

c

e

k

c

d k

a

c

e

b

d

f k

k

b

d

f

d

b

d

f

e

k

e

f k

f







 













  











 

3

. .

a

c

e

a c e

k

b



d



f





b d f



La proporcionalidad directa se expresa a menudo en forma de porcentaje ó tanto por ciento, %.

El, %, de una cantidad indica que de cada, 100, partes de esa cantidad se ha tomado el tanto indicado en el porcentaje.

Para hallar el, %, de una cantidad se multiplica esa cantidad por el, %, indicado y se divide por, 100.

t% de C=

.

100 t

C

En los problemas de porcentajes aparecen siempre tres cantidades relacionadas, el tanto por ciento, t%, la cantidad total, C, y la parte, A. Con ellas los ejercicios de porcentajes pueden ser:

Hallar la parte, A, conocidos el porcentaje, t%, y el total, C

De 100 se toma t



100 .

100 t

C t

x

C



x





De C se toma x

Luisa compra un coche por, 16000 €, y le hacen un descuento del, 12%. ¿A qué cantidad equivale el descuento?.

x= 12% de 16000= 16000.0’12= 1920 €

De los, 4075, personas que asistieron a una exposición el, 52%, eran jóvenes menores de, 35, años. ¿Cuántas personas menores de, 35, años asistieron?.

x= 52% de 4075= 4075.0’52=2119 personas asistieron

El, 15%, de la plantilla de un equipo de futbol están lesionados. Si la plantilla tiene, 20, jugadores. ¿Cuántos sufren lesiones?.

(6)

El, 20%, de las, 870, personas que viajan en un barco son miembros de la tripulación. ¿Cuántos tripulantes tiene el barco?.

870 personas . 0,20%= 870.0’2= 174 tripulantes

Una tarta pesa, 1200 g, y contiene un, 10%, de mantequilla. ¿Cuántos, g, de mantequilla lleva la tarta?.

1200 g . 10%= 1200.0’10= 120 g de mantequilla

Por haber ayudado a mi hermano en un trabajo, me da el, 25%, de los, 60 €, que ha cobrado. ¿Cuánto dinero recibí?.

60 € . 25%= 60.0’25= 15 €

El, 95%, de las, 340, cabezas de un rebaño son ovejas, y el resto son cabras. ¿Cuántas ovejas y cabras hay en el rebaño?.

340 cabezas . 95%= 340.0’95= 323 cabezas son ovejas

340-323= 17 cabezas son cabras

En el aparcamiento de unos grandes almacenes hay, 280, coches, de los que el, 35%, son blancos. ¿Cuántos coches blancos hay en el aparcamiento?.

280 coches . 35%= 280.0’35= 98 coches blancos

Hallar el porcentaje, t%, conocidos el total, C, y la parte, A

De C se toma A



100.

100 C

A

x

C







De 100 se toma x

Luisa compra un coche por, 16000 €, y le hacen un descuento de, 1920 €. ¿Qué porcentaje le descuentan?.

de 16000 € le descuentan 1920 €



100.1920

12 16000

x



de 100 € le descuentan x €

el porcentaje de descuento ha sido del, 12%.

Un hotel tiene, 50, habitaciones y están ocupadas, 35. ¿Cuál es el porcentaje de ocupación del hotel?.

% habitaciones ocupadas=

.100

35 .100

70%

50 cantidad afectada

cantidad tota

a

(7)

Un comerciante adquirió para las ventas de temporada, 500, pantalones y ha vendido, 400. ¿Qué porcentaje de pantalones ha vendido?.

% pantalones vendidos=

.100

400 .100

80%

500 a

d

cantidad afectada

cantidad total



El profesor de matemáticas ha puesto, 25, problemas y se han hecho, 10. ¿Qué `porcentaje de problemas se han resuelto?.

% problemas resueltos=

.100

10 .100

40%

25 cantidad afectada

cantidad tota

a

d

l



Un jugador de baloncesto ha conseguido, 45, canastas de, 60, lanzamientos. ¿Cuál es el porcentaje de aciertos?.

% aciertos=

.100

45 .100

75%

60 cantidad afectada

cantidad tota

a

d

l



Hallar el total, C, conocidos el porcentaje, t%, y la parte, A

De 100 se toma t



100 t

x

100. A

x



A





t

De x se toma A

Luisa compra un coche. Si le hacen un descuento del, 12%, se ahorra, 1920 €. ¿Cuál es el precio del coche?.

de 100 € le descuentan 12 €



100.1920

16000

12 x



€ de x € le descuentan 1920 €

En un colegio de han apuntado, 60 alumnos al torneo de ajedrez, lo que supone el, 15%, del total de chichos y chicas. ¿Cuántos alumnos hay en total?.

15%=

.100

60 .100

400

15

torneo

totales totales

Alumnos





alumnos

Un restaurante tiene reservadas, 12, mesas que son el, 75%, del total. ¿Cuántas mesas dispone en total el restaurante?.

75%=

.100

12 .100

16

75

reservadas

totales totales

Mesas

(8)

Julián ha leído, 80, páginas de una novela, lo que supone el, 25%, del total. ¿Cuántas páginas tiene la novela?.

25%=

.100

80 .100

320

25

leídas

totales totales

Páginas





páginas

En una encuesta sobre salud de un total de, 400, personas encuestadas, 60, declaran padecer algún tipo de alergia. ¿Cuál es el porcentaje de alérgicos?.

Magnitud A (Nº personas) 400 100 Magnitud B (son alérgicos) 60 x

las magnitudes son directamente proporcionales pues a mayor número de personas le corresponde mayor número de alérgicos.

De 400 personas son alérgicos 60

x=

60.100

15

400 

%

100 personas son alérgicos x

directamente a través de la definición de porcentaje

% alérgicos=

.100

60 .100

15%

400 cantidad afectada

cantidad tota

a

d

l



Aumento porcentual

Aumentar una cantidad un, t%, equivale a hallar el, (100+t)%, de esa cantidad.

El precio del gasoil ha subido un, 9%. Si costaba, 0’99 €/l, ¿cuánto costará ahora?.

al aumentar un, 9%, lo que antes valía, 100 cts de euro, ahora cuesta, 100+9= 109 cts.

se escribe entonces

antes valía 100 cts ahora vale 109 cts



99.109 107,91

100 x



cts antes valía 99 cts ahora vale x cts

Disminución porcentual

Disminuir una cantidad un, t%, equivale a hallar el, (100-t)%, de esa cantidad.

Adela compra una falda de, 80 €, y le rebajan un, 10%. ¿Cuánto le rebajan?. ¿Cuánto paga?.

80 € . 90%= 80.0’9= 72 € paga por la falda

(9)

Una cámara de vídeo cuesta, 850 €, pero el vendedor hace una rebaja del, 20%. ¿Cuánto cuesta ahora la cámara?.

al disminuir un, 20%, lo que antes valía, 100 €, ahora cuesta, 100-20= 80 €. Se escribe entonces

antes valía 100 € ahora vale 80 €



650.80

520

100 x



€ antes valía 650 € ahora vale x €

Francisco compra un traje de, 150 €, que está rebajado un, 20%. ¿Cuánto le cuesta el traje?.

150 € . 80%= 150.0’8= 120 € cuesta el traje

En un embalse había en primavera, 5000 m3, de agua, pero durante el verano las

reservas han disminuido en un, 80%. ¿Cuántos, m3, de agua quedan en el embalse?.

5000 m3 . 20%= 5000.0’2= 1000 m3 de agua quedan

Porcentajes encadenados

Surgen cuando se aplican aumentos o disminuciones porcentuales sucesivamente. Equivalen a aplicar un único porcentaje que es producto de todos ellos.

Los porcentajes encadenados, t1, t2, t3,…,tn, de una cantidad equivalen a hallar el, (t1.t2.t3….tn)%, de esa cantidad.

Un televisor que cuesta, 200 €, está rebajado un, 30%. Al ir a pagar en caja hacen el, 16%, de iva. ¿Cuál es el precio final?.

si al precio inicial, 100%, se rebaja un, 30%, el precio rebajado es, 70% del precio inicial. Al aplicar el IVA el precio inicial,100%, ha aumentado un, 16%, el precio final es, 116%, del precio inicial.

por ello el precio final del televisor de, 200 €, es

116%.70%.200= 1’16.0’70.200= 162’40 €

Reparto directamente proporcional

Para repartir una cantidad, N, en partes directamente proporcionales a las cantidades, a, b, y, c, cada parte se obtiene multiplicando la constante de proporcionalidad,

N

(10)

Un agricultor quiere regar con, 300 m3, de agua tres parcelas de forma directamente proporcional a sus superficies, que son, 2, 3, y, 5, hectáreas respectivamente. ¿Cuántos, m3, destina al riego de cada parcela?.

Al hacer un reparto directamente proporcional, la cantidad de agua que recibe cada parcela y las dimensiones de las mismas mantienen una proporción directa

1

2

3

2

3

5 parte

parte



además también existe proporcionalidad entre la cantidad total de agua y el número total de hectáreas de las parcelas

1

2

3

300

2

3

5

2 3 5

parte



 

 60, 90, y, 150 m 3

agua para cada parcela

Inversamente proporcionales

Si al multiplicar ó dividir una de ellas por un número la otra queda divida ó multiplicada por ese mismo número.

Magnitud A a a’ a” ... m Magnitud B b b’ b” ... n

los valores correspondientes de dos magnitudes inversamente proporcionales verifican a.b= a’.b’= a”.b”=...= m.n= k

k constante ó razón de proporcionalidad inversa

Si, x, e, y, son magnitudes inversamente proporcionales verifican

x.y= k 

:

1

1 x

x

k

y







lo que indica que las magnitudes, x, e,

1 y

, son directamente proporcionales.

Se deduce que los valores de dos magnitudes inversamente proporcionales forman las proporciones numéricas

'

a

b

a



b

"

"'

a

b

a



b

Para hallar una cantidad desconocida que forma proporción numérica con otras cantidades conocidas, correspondientes a dos magnitudes inversamente proporcionales se sigue uno de estos procedimientos:

Regla de tres simple inversa

.

a

b

a b

c x

x

c

x

c









(11)

Reducción a la unidad

Consiste en determinar la cantidad de la magnitud, B, que le corresponde a la unidad de la magnitud, A.

Un tren a una velocidad de, 90 km/h, tarda, 2 h, en realizar un trayecto. ¿Cuánto tiempo tardará en hacer este trayecto si va a, 75 km/h?.

Magnitud A (velocidad, km/h) 90 180 45 …

Magnitud B (tiempo, h) 2 1 4 …

las magnitudes son inversamente proporcionales pues a mayor velocidad le corresponde menor número de horas.

Método de las proporciones ó regla de tres

90 km/h tarda 2 h

t=

90.2 2'4

75 

h

75 km/h tarda t h

Método de reducción a la unidad

90 km/h tarda 2 h

90

2.90

1 km/h farda 180 h

1.75

180

75

75 km /h tarda t=

180 2 '4

75 

h

Si tres hombres necesitan, 24, días para hacer un trabajo. ¿Cuántos días emplearán, 18, hombres para realizar el mismo trabajo?.

3 hombres . 24 días= 18 hombres . t días  t=

3.24

4

18 

días

Reparto inversamente proporcional

Para repartir una cantidad, N, en partes inversamente proporcionales a las cantidades, a, b, y, c, cada parte se obtiene dividiendo respectivamente por las cantidades, a, b, y, c, la constante de proporcionalidad,

1

1 N

a



b



c

(12)

Repartir una cantidad, N, en partes inversamente proporcionales a las cantidades, a, b, y, c, equivale a repartirla en partes directamente proporcionales a las cantidades,

1 a

,

1 b

, y,

1 c

.

Tres camareros se reparten, 295 €, de propinas en partes inversamente proporcionales a los días que faltaron en el trimestre, que fueron, 2, 5, y, 7. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?.

al hacer un reparto inversamente proporcional, la cantidad que recibe cada camarero y los números de días que faltaron mantienen una proporción inversa y sus productos son iguales a la constante de proporcionalidad

2.Cantidad 1= 5.Cantidad 2= 7.Cantidad 3= k

Cantidad 1=

2 k

Cantidad 2=

5 k

Cantidad 3=

7 k

además la suma de estas tres cantidades ha de ser igual a la cantidad a repartir

295 .

1

295

350

1

59

2

5

7

2

5

7

2

5

7

70 k

k





k







_



_











_

de donde

Cantidad 1=

350

75

2 

€ Cantidad 2=

350

70

5 

€ Cantidad 3=

350

50

7 

€

Se llama razón, r, de dos segmentos, AB, y, CD, al número que resulta de dividir la longitud del segmento, AB, entre la longitud del segmento, CD

AB

r

CD





Los segmentos, AB, y, CD, son proporcionales a los segmentos, EF, y, GH, si la razón de los segmentos, AB, y, CD, es igual a la razón de los segmentos, EF, y, GH

AB

EF

r

CD



GH





El segmento que forma proporción con otros tres segmentos conocidos, se denomina cuarto segmento proporcional.

Si tres rectas paralelas, a, b, y, c, cortan a otros dos rectas, r, y, s, los segmentos que determinan son proporcionales, tal y como indica el teorema de Tales.

r s

A A’ a

B B’ b C C’ c

' '

AB

BC

AB

BC

AC

A B

B C

A B

B C

A C

AB

AC

A B

A C

(13)

Si dos rectas paralelas, a, y, b, cortan a otras dos rectas, r, y, s, se verifica

'

' '

'

AB

AA

A B



BB







El teorema de Tales tiene las siguientes aplicaciones: Dividir segmentos en partes iguales

Si dos rectas se cortan, al dividir una en partes iguales, si se trazan rectas paralelas por esas divisiones la otra recta queda dividida de la misma manera.

Dividir segmentos en partes proporcionales

Si dos rectas se cortan, al dividir una en partes proporcionales, si se trazan rectas paralelas por esas divisiones la otra recta queda dividida de la misma manera.

Dos triángulos, ABC, y, A’B’C’, se dicen semejantes si: Tienen sus ángulos iguales

A= A’ B= B’ C= C’

Tienen sus lados proporcionales

' '

AB

BC

AC

A B



B C



A C





Se dice que dos triángulos, ABC, y, AFD’, están en posición de Tales cuando tienen un ángulo en común, A, y los lados opuestos a este ángulo, FD, y, BC, son paralelos. Dos triángulos en posición de Tales son siempre semejantes. Se llaman criterios de semejanza de triángulos a las

condiciones mínimas que han de cumplir estos triángulos para que sean semejantes. Estos criterios son:

Primer criterio

Dos triángulos son semejante si tienen sus lados proporcionales.

' '

AB

BC

AC

A B



B C



A C





Segundo criterio

Dos triángulos son semejantes si dos ángulos son iguales.

(14)

Tercer criterio

Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales.

A= A’

' '

AC

AB

A C



A B





Dos triángulos que cumplan cualquiera de estos criterios se pueden poner en posición de Tales y por lo tanto son semejantes.

Se deduce que dos triángulos rectángulos son semejantes si se verifica alguna:

Tienen un ángulo agudo igual

Dos de sus lados son proporcionales

Teniendo en cuenta la semejanza de triángulos se tienen las siguientes aplicaciones:

Hallar la altura de un objeto mediante su sombra

Se tiene en cuenta que la sombra de un objeto es perpendicular a dicho objeto. los triángulos, ABC, y, A’B’C’, son semejantes porque:

Los ángulos, A, y, A’, son rectos, es decir, son iguales, A= A’

Los ángulos, B, y, B’, son iguales, B= B’, ya que los rayos de sol inciden sobre los dos objetos con la misma inclinación

por el segundo criterio de semejanza los triángulos, ABC, y, A’B’C’, son semejantes. Se verifica

6 '3

1'5.6'3

4 '5

1'5

2'1

' '

AC

AB

AC

m

A C



A B













Hallar la altura de un objeto mediante objetos intermedios

Si se conoce la altura de un objeto intermedio paralelo a otro objeto, se puede hallar la altura de este último. los triángulos, ABC, y, A’B’C’, son

semejantes por ser triángulos

rectángulos con un ángulo agudo común. Se verifica

100

3.100

25

3

12

12 ' '

'

AC

AB

AC

m

A C



A B











(15)

Sobre triángulos rectángulos

La altura trazada sobre la hipotenusa divide a un triángulo rectángulo en otros dos triángulos rectángulos que son semejantes al primero.

Teorema del cateto

El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa y la proyección de este cateto sobre la hipotenusa.

c2= m.a b2= n.a Por ser los triángulos semejantes se verifica

2

.

c

m

c

m a

a



c





2

.

b

n

b

n a

a



b





Teorema de la altura

El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos.