INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA QUÍMICA E
INDUSTRIAS EXTRACTIVAS
POSGRADO EN METALURGIA Y MATERIALES
Tesis para obtener el grado de Maestro en Ciencias con
especialidad en Ingeniería Metalúrgica con título:
“Análisis de la dinámica de flujo y efectos de
solidificación en el molde de planchón de acero al bajo
carbono producido por colada continua”
Que presenta:
Pável Ernesto Ramírez López
Director de Tesis: Dr. Rodolfo Morales Dávila
México 18 Abril
2006 Ing. Pável Ernesto Ramírez López
Maestría en Ciencias con Especialidad en Ingeniería Metalúrgica
B031270 la Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias Extractivas
Dr. Clemente Rodolfo Morales Dávila
“ Análisis de la dinámica de flujo y efectos de solidificación en el molde de planchón de acero al bajo carbono producido por colada continua”
Paranagua 228 Col. Zacatenco, C.P. 07360; [email protected]
RESUMEN
En el presente trabajo se analizan los efectos combinados de la dinámica de flujo y solidificación en el proceso de colada continua de planchón convencional. La herramienta principal del análisis es la modelación matemática mediante software de uso comercial basado en la técnica de volumen finito ( Fluent V. 6.2 ), cuya validación se hizo mediante modelos de agua a escala.
En la simulación se acopla exitosamente la dinámica de flujo con el proceso de formación de la costra sólida ( shell ) a través de un modelo de solidificación y una función de resistencia térmica interfacial que incluye el cambio de fase y conductividad del polvo aislante que se filtra en el espacio planchón-molde. El modelo también logra simular el sistema abierto del molde de colada, tanto en el caso de los modelos monofásicos a ½ escala como en el modelo multifásico a escala real. Esta aproximación es más realista que los modelos numéricos reportados hasta el momento en que se utiliza un plano de simetría como parte superior del baño de metal, induciendo una considerable fuente de error.
Los resultados de la dinámica de flujo demuestran que el comportamiento de estructuras básicas como los chorros de descarga, el menisco y el retroflujo está fuertemente influenciado por la velocidad de colada. En el análisis se demuestra la utilidad del uso de mapas de vorticidad, disipación de energía cinética y esfuerzos de Reynolds para comprender el balance de energía en el sistema, lo que además permitió formular nuevos criterios de diseño para la buza sumergida.
ABSTRACT
The present work analyzes the combined effects of fluid dynamics and solidification effects in the continuous casting of slabs. The tool employed in the analysis is the numerical simulation through a commercial software based in the finite volume technique ( Fluent V. 6.2 ) and validated with scaled water models.
The simulations combine successfully the fluid dynamics with the shell formation process using a solidification model and a thermal resistance function that includes the phase transformation and the change in conductivity that suffers the infiltrated flux into the shell-mold gap. It can also simulate the open system of the continuous casting mold in the single-phase/half scale model or the multiphase/real scale model. The results of this approach are far more realistic than those reported using symmetry planes at the top of the mold, which cause a significant source of error.
Fluid dynamics results indicate that the behavior of the basic flow structures as the meniscus, the backflow and the discharging jets is strongly influenced by the casting speed. The analysis proves that the maps of vorticity, kinetic energy dissipation and Reynolds Stresses are useful to explain the energy budget in the system which also outcome in a new design criterion for submerged entry nozzles ( SEN’s ).
I. Índice General II. Introducción III. Antecedentes IV. Nomenclatura
CAPITULO 1. “El proceso de colada continua de planchón convencional”
1.1El proceso de Colada Continua
1.1.1 Dinámica de flujo en el molde de planchón 1.1.2 Formación y oscilación del menisco
1.1.3 Solidificación del acero y formación de la costra 1.2 Variables involucradas en el proceso de colada
1.2.1 Composición y geometría del molde 1.2.2 Longitud y conicidad
1.2.3 Propiedades y composición del acero 1.2.4 Propiedades del polvo aislante 1.2.5 Condiciones de operación en planta
1.3 Defectos más frecuentes encontrados en el proceso de colada
1.3.1 Defectos provocados por cambios de nivel y oscilación del menisco 1.3.2 Defectos producidos por el uso inadecuado de los polvos aislantes 1.3.3 Defectos provocados por inclusiones metálicas y no metálicas
CAPITULO 2. “Modelos Matemáticos empleados en la simulación”
2.1 Conceptos básicos de simulación matemática
2.1.1 Antecedentes
2.1.2 Ecuaciones constitutivas 2.1.3 Geometrías y mallas 2.2 Modelos de turbulencia 2.2.1 Modelo k-ε
2.2.2 Modelo de Esfuerzos de Reynolds ( Reynolds Stress Model - RSM ) 2.3 Modelo de transferencia de calor
2.3.1 Ecuación de la energía para regiones fluidas 2.3.2 Ecuación de la energía para regiones sólidas 2.4 Modelo multifásico ( VOF - Volume of fluid )
2.4.1 Ecuación de fracción de volumen
2.4.2 Propiedades
3.1 Descripción del proceso de simulación 3.2 Pre-procesamiento
3.2.1 Creación de la geometría 3.2.2 Generación de la malla
3.2.3 Asignación de condiciones de frontera 3.3 Condiciones de procesamiento
3.4 Validación de resultados
3.4.1 Descripción del modelo físico 3.4.2 Comparación de resultados
CAPÍTULO 4. “Análisis de Resultados”
4.1 Resultados del análisis de la dinámica de flujo 4.1.1 Resultados en estado estacionario 4.1.2 Resultados en estado transitorio 4.2 Resultados del análisis multifásico
4.3 Resultados del análisis de transferencia de calor 4.4 Resultados del análisis de solidificación
CONCLUSIONES
REFERENCIAS
Introducción
El proceso de colada continua es actualmente el método de producción industrial de acero mas extendido en el mundo, siendo de vital importancia en el desarrollo de un país ya que el acero es materia prima indispensable en la industria pesada, de construcción, automotriz, manufacturera, etc. En México la producción de acero asciende a mas de 15.8 millones de toneladas, de las cuales alrededor del 90% se realizan por el proceso de colada continua, siendo los subproductos como el planchón y la palanquilla los que representan el mayor volumen de dicha producción.
La importancia del acero como producto estratégico y su papel en la economía de las empresas del país deja entrever una clara necesidad de conocimiento de todas las etapas que envuelven su producción y manufactura, de ahí que el análisis de los fenómenos que ocurren durante el proceso de colada sean una línea de investigación importante para la mejora de la calidad del producto, el efectivo uso de los recursos y la reducción de costos en la producción de todo tipo de aceros.
Particularmente, el planchón como subproducto en sus diferentes medidas sirve para fabricar placas, tiras o cintas mediante laminación en caliente. La tira en forma de rollos se lleva a máquinas soldadoras para obtener tubos con costura o también puede laminarse en frío para obtener lamina delgada que sirve para producir la hojalata; siendo todos estos productos terminados de gran importancia en la economía nacional.
Básicamente, el proceso de colada continua consiste en extraer calor del acero fundido para su solidificación y al mismo tiempo darle una forma adecuada para su posterior utilización como subproducto ( planchón, palanquilla o tocho ). La extracción de calor se realiza mediante un molde fabricado generalmente en cobre o aleaciones de este con plata y otros metales, debido a que el cobre presenta una de las mejores conductividades térmicas de los materiales solo antecedido por metales de mucho mayor valor como el oro, la plata, etc. En este proceso las variables más importantes incluyen la velocidad y temperatura de colado, geometría del molde, grado y composición del acero, mecanismos de solidificación del producto, condiciones de operación en la planta y por supuesto la dinámica de flujo del metal líquido dentro del molde.
I
La fase más crítica del proceso de colada se localiza en el molde de colada continua, ya que en éste ocurren varios procesos de gran complejidad como la formación de estructuras de flujo ocasionadas por el flujo de acero al molde desde la buza, su rápido enfriamiento, y el conformado a las dimensiones del planchón.
Antecedentes
Desde mediados del siglo XX se han realizado una gran cantidad de estudios sobre colada continua en moldes para planchón, y cada uno abarca un aspecto muy particular del fenómeno, como la formación de la costra, fricción en las paredes del molde, oscilación del menisco, etc. Sin embargo no se tiene un completo entendimiento del proceso debido a que en la mayoría de los casos se aíslan una o dos variables para conocer a fondo su efecto. Este método aunque permite la comprensión de un proceso en particular, dificulta la evaluación global del fenómeno. Además es bien conocida la complejidad que representa la medición en planta de las condiciones de operación ya que la detención del proceso productivo para instrumentar un molde de monitoreo tendría un costo excesivo, por lo que se presenta como alternativa el modelado matemático.
También se han realizado una gran cantidad de estudios sobre los fenómenos que ocurren en el molde de colada continua de planchón, sin embargo la complejidad de éstos evita que la estandarización de procedimientos y condiciones de operación sea posible y aun hay carencias de información sobre los mecanismos físicos que ocurren en el proceso. Los estudios que se han hecho del proceso han tomado básicamente dos enfoques.
El primero consiste en analizar la dinámica de flujo dentro del molde sin tomar en cuenta los efectos de solidificación del producto. Mientras que el segundo contabiliza dichos efectos pero omite completamente la dinámica de flujo en el molde. Así se puede ver que en ambas tendencias hay suposiciones que sesgan el análisis de forma más o menos importante. A continuación se enumeran los trabajos mas destacados, sus aportaciones y las consideraciones más restrictivas de cada análisis.
II
En las décadas de los 60’s y 70’s Brimacombe y Samarasekera [ 1…6 ] formulan ecuaciones que describen la transferencia de calor del planchón al molde para una sola dimensión y aplican modelos matemáticos para su resolución sin incluir la zona líquida. De esta forma obtienen los perfiles de temperatura en la zona del molde y la costra solidificada, demostrando que el mayor gradiente de enfriamiento ocurre en el primer tercio del molde.
En los 70’s Wolf y Kurz [7] estudiaron exhaustivamente y correlacionaron los efectos de la solidificación del producto dentro del molde, la velocidad de colada, composición, etc corroborando sus resultados con mediciones en planta o deduciéndolos de ellas. Estos datos se han utilizado durante mucho tiempo en el análisis del proceso de colada y servirán en algunos casos como datos para la validación de los modelos propuestos posteriormente.
En los 80’s de nueva cuenta Brimacombe y Samarasekera [8-12] describen el comportamiento térmico y mecánico del molde de colada incluyendo los efectos de la composición y grado del acero como variables en la solidificación, sin embargo no analizan la región fluida en el molde. Trabajos de varios autores a principios de los 90’s se enfocan a la modelación matemática de la transferencia de calor ( S.K. Choudhary y D. Mazumdar [13] ), transferencia de calor en el molde y la capa de polvo aislante ( M.M. Collar y otros [14] y K.C. Mills y otros [15] respectivamente ), monitoreo térmico del molde ( S. Petry [16] ), comportamiento mecánico y térmico de palanquillas en el molde ( J. Lagerberg et.al. [17] ), solidificación en la zona del menisco ( I.G. Saucedo [18] ) y los primeros ensayos de simulación de la microestructura ( J.M. Cabrera et.al.[19] ) .También a finales de esta década se realizan los primeros estudios de la dinámica de flujo dentro del molde ( H.B.M Schulte y otros [20] , W. Damen y otros [21] y B.G. Thomas [22] ), basándose en métodos experimentales y modelos matemáticos bidimensionales.
Respecto a la simulación física de los fenómenos de transferencia de calor entre el metal fundido, la costra solidificada, y la capa de polvos aislantes utilizados en el proceso, una serie de trabajos, principalmente de investigadores japoneses [23-27] han demostrado la dependencia del flujo de calor con las temperaturas de contacto entre molde y costra solidificada, así como el efecto de la composición del polvo en la resistencia interfacial.
III
A finales de los 90’s, uno de los investigadores que se ha enfocado más al tema del molde de colada continua es el Dr. Brian G. Thomas y sus colaboradores [28-31] quienes desarrollaron
modelos matemáticos de la conducción de calor en 2 dimensiones para la zona de contacto planchón-molde. Con estos modelos se incluyen por primera vez los huecos de aire entre molde y planchón ( gaps ), así como la dependencia del flujo de calor respecto a las condiciones de contacto entre acero, polvo, aire y molde mediante un modelo de resistencia a la conducción de calor similar a una serie de resistencias eléctricas, sin embargo para sus estudios no incluye la dinámica de flujo en la zona líquida.
En años recientes, el grupo de SPMDF [32-33] ha comenzado el estudio de la dinámica de flujo bifásico al inyectar un gas dentro del molde mediante el modelo de simulación de grandes remolinos ( LES ). No obstante no se han incluido los efectos de solidificación y térmicos, así como de la conicidad, longitud del molde, tiempo de colado, velocidad y temperatura de éste, etc.
Objetivo y alcances de este trabajo
En el presente trabajo se realiza el análisis de los fenómenos que ocurren al interior del molde mediante la simulación completa del proceso de colada continua ya que a pesar de que se conocen en la práctica los elementos básicos para la producción del planchón, no se han comprendido plenamente los efectos de todas las variables sobre la calidad del producto final. La solución a los problemas de calidad en el acero depende entonces del grado de comprensión del fenómeno que se tenga. La elección de modelos matemáticos como herramientas de análisis se basó en que permiten obtener un grado aceptable de concordancia con los datos experimentales mediante una aplicación razonable de recursos. Más específicamente, con los modelos matemáticos se asignan de forma clara las condiciones de simulación; facilitando la evaluación de cada una de las variables de operación y permitiendo sistematizar los resultados para obtener tendencias útiles en casos generales. Es decir, nos permite pasar de lo particular a lo general, resolviendo un problema específico en la producción y extrapolando los resultados para solucionar problemas similares. Los resultados de este trabajo ya han sido publicados por el autor y por ende el presente texto sirve como un compendio de estos artículos 34-35.
IV
CAPITULO 1
EL PROCESO DE COLADA
CONTINUA
1.1 El proceso de colada continua
En términos generales, la colada continua es un proceso de extracción de calor que permite la solidificación y conformación del acero en un subproducto útil, que en este estudio tiene la forma de planchón convencional. Este proceso se compone de 7 etapas ( Figura 1 ):
1. Vaciado de la olla al distribuidor
2. Distribución y vaciado a los moldes de colada continua mediante el distribuidor 3. Enfriamiento primario en el molde
4. Enfriamiento secundario mediante rociadores de agua 5. Extracción del subproducto mediante rodillos de tracción 6. Corte
7. Almacenamiento o procesamiento
7
6
1
2
4
5 3
Figura 1. Esquema del proceso de colada continua.
Las primeras dos etapas del proceso sirven para el traslado del acero líquido desde el horno de fusión hasta la máquina de colada continua por medio de la olla y el distribuidor, sin embargo por sus características ambos pueden funcionar como reactores para la refinación del acero 36.
2
A partir de este punto comienza el proceso de extracción de calor del acero mediante el enfriamiento en el molde y rociadores de agua, para luego cortar y transportar el subproducto para su almacenamiento.
Los subproductos que se pueden fabricar mediante el proceso de colada continua son la palanquilla, el tocho y el planchón. Para el caso específico del planchón las dimensiones pueden variar para la sección transversal, pero siempre se conserva una relación de tamaño mucho mayor entre el ancho y el espesor ( Figura 2 ).
a) 2.0 m b) 3.0 m c) 3.5 m
6.0 m. a) 0.08 m
b) 0.10 m c) 0.25 m
Figura 2. Dimensiones comerciales del planchón de colada continua
De las 7 etapas mencionadas anteriormente, la que presenta mayor grado de complejidad es la del enfriamiento en el molde ya que ahí se realiza el mayor porcentaje de extracción de calor del acero y se le da la forma al planchón.
La solidificación se lleva a cabo al vaciar el acero en un molde compuesto por 4 paredes de cobre ( 2 estrechas y 2 anchas ) abierto en su parte inferior. Cada pared es en realidad una placa con una cara plana que entra en contacto con el planchón, mientras que el reverso tiene una serie de canales maquinados en los que fluye agua a presión contenida en una camisa de enfriamiento.
El ancho y espesor del planchón se controlan separando las placas mediante el movimiento del sistema de sujeción al que está unido cada placa, unión que generalmente se hace a través de pernos de acero incrustados al reverso ( Figura 3 ).
3
Canales de enfriamiento por agua Caras anchas
Caras estrechas
Barrenos para los pernos de
sujeción
Figura 3. Vista isométrica del molde de colada continua
El proceso de solidificación comienza cuando el acero líquido se vacía al molde desde cada una de las salidas del distribuidor a través de una buza de alimentación sumergida ( SEN )•, la cual evita el contacto del acero con el medio oxidante. Según el grado del acero y las etapas anteriores, la temperatura de vaciado varía entre 20 y 50 °C arriba de la temperatura de liquidus del acero, lo que se conoce como sobre-calentamiento. El acero se alimenta hasta alcanzar un nivel constante que se encuentra a una distancia de entre 7 y 12 cm. del borde superior del molde y que se conoce habitualmente como menisco. A partir de este punto el acero comienza a solidificarse en las zonas en contacto con el molde formando una capa solidificada que crece en espesor desde el menisco conforme el metal se desplaza hacia abajo por gravedad y por el movimiento producido por un sistema de oscilación vertical.
4
• Submerged entry nozzle
La disipación del calor se hace en el molde a través de un sistema de circulación forzada de agua, compuesto por una serie de canales opuestos a la cara en contacto con el metal con un flujo de agua constante, la temperatura de entrada al sistema es generalmente la temperatura ambiente ( entre 15° C y 20° C ), a su paso por el molde el agua extrae el calor alcanzando temperaturas a la salida de hasta 30° C, por lo que el coeficiente de flujo de calor del molde depende del desempeño del sistema de enfriamiento37.
Cuando el planchón se retira del molde ya debe contar con una capa solidificada lo suficientemente gruesa para resistir la tracción que ejercen los rodillos sin fracturarse ni agrietarse, mientras que el sistema de rociadores de agua se ubica entre cada uno de los rodillos de tracción o en un conjunto único logrando la solidificación del metal líquido restante. Esto es de vital importancia ya que si no se ha logrado la solidificación del metal en el centro del planchón se corre el riesgo de escurrimiento en la etapa de corte, deteniendo la producción y poniendo en riesgo la seguridad del personal ( Figura 4 ).
5
Capa solidificada de acero
lidifi d Olla Distribuidor
Molde
Sistema de enfriamiento por agua
Rodillos de tracción
Rociadores de agua Buza sumergida
( SEN )
Figura 4. Formación de la capa solidificada de solidificación, rociado de agua y tracción mediante rodillos
Una vez descrito el proceso de colada, es útil hacer una revisión sobre los fenómenos que ocurren al interior del molde, entre los que se incluyen:
1. Dinámica de flujo producida por el suministro de acero desde la buza sumergida 2. Comportamiento del menisco
3. Solidificación del acero y formación de la capa solidificada 4. Interacción del acero con la capa de polvo aislante
1.1.1 Dinámica de Flujo en el molde de planchón
El paso del metal fundido al molde se lleva a cabo mediante una buza sumergida que puede tener gran variedad de geometrías, incluyendo el número de puertos de salida, diámetro, ángulos de salida, etc. La salida del metal fundido desde de los puertos de la buza forman una serie de estructuras de flujo básicas reportadas en varios trabajos 38-40. Estas estructuras son importantes ya que de ellas depende forzosamente la estabilidad del menisco formado, así como el perfil de temperaturas dentro del molde y consecuentemente el perfil de solidificación así como el flujo de calor en el sistema molde-acero ( Figura 5 ).
Figura 5. Vectores de velocidad en longitud fija para un plano central del molde
6
1.1.2 Formación y oscilación del menisco
Una vez que el acero ha alcanzado el nivel deseado dentro del molde, comienza el proceso de extracción del planchón al retirar la barra falsa que funge como fondo temporal. Como se mencionó anteriormente, el patrón de flujo origina una serie de oscilaciones e inestabilidades en la superficie libre ya que éste sistema es de tipo abierto y la masa de acero solo está separada de la atmósfera por medio de una capa de polvo aislante. Ya en estado estable de operación, las perturbaciones del menisco pueden producir arrastre de polvo al interior del baño así como posibles aperturas en la capa de polvo dependiendo de la velocidad de colada, profundidad de inmersión de la buza, inyección de argón, espesor de la capa de escoria, etc. ( Figura 6 ).
7 Capa de polvo
aislante
Buza sumergida
Molde
Burbuja
Acero fundido
{ 1 } { 2 }
{ 3 }
{ 4 } { 6 }
Menisco { 5 }
Figura 6. Fenómenos producidos por la dinámica de flujo y la inestabilidad del menisco 41. {1} Arrastre de polvo causado por el flujo recirculatorio proveniente del chorro de descarga,
{2} Arrastre de partículas de polvo desde la interfase, {3} Formación de remolinos,
{4}Ruptura de la capa de polvo por burbujas de gran magnitud,
{5} Formación de olas superficiales, {6} Arrastre de polvo en la buza.
El arrastre de polvo aislante y el desprendimiento de refractario de la buza adicionado con las inclusiones de los procesos anteriores provoca una serie de defectos en la calidad final del producto que serán analizadas a detalle mas adelante.
1.1.3 Solidificación del acero y formación de la capa solidificada
Mientras el molde se llena y en estado operativo, la capa de polvo aislante que se esparce sobre el baño de acero se desplaza hacia las paredes del molde formando también una capa aislante de poco espesor que se adhiere a las paredes del planchón. De esta forma el acero nunca entra en contacto directo con el molde de cobre y se tiene un sistema en el que hay varias fases presentes, cada una con un coeficiente de conductividad específico que debe tomarse en cuenta. Por otra parte al enfriarse el planchón se contrae, y se producen intermitencias en el contacto de la capa solidificada y el molde, aún cuando el molde tiene una conicidad especialmente diseñada para evitarlo. Los huecos que se forman se llenan de polvo y el aire circundante generando otra fuente de resistencia a la transferencia de calor al molde. A este fenómeno se añade el hecho de que el polvo de la capa aislante que está en contacto directo con el molde está en fase líquida, ya que su punto de fusión es más bajo que la temperatura de liquidus a la que el acero está siendo colado; por otra parte, el polvo que ya no está en contacto con el acero se solidifica de nueva cuenta ya sea en forma vítrea o vítrea. De esta forma cada una de las fases presentes involucra una resistencia específica a la transferencia de calor parecida a un circuito eléctrico de resistencias colocadas en serie ( Figura 7 )42.
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Metal fundido
Capa solidificada Solidificada Rcapa solidificada
Agua de enfriamiento
Polvo en fase vítrea Rpolvo cris
Polvo en fase líquida
Rpolvo liq
Hueco de aire
Raire
Molde de cobre Rmolde T
d
Figura 7. Esquema de fases y resistencias presentes en la zona de contacto planchón -molde
8
Conforme el planchón se contrae dentro del molde y avanza hacia la parte inferior, la formación de huecos se incrementa, siendo posible la identificación de 3 zonas ( figura 8 ):
a) Región de contacto completo b) Región de contacto intermitente c) Región de separación completa
x z
( b ) ( a )
( c )
Molde de cobre Polvo en 2 fases Hueco de aire Capa solidificada Metal líquido
Figura 8. Corte transversal del molde y planchón, mostrando 3 zonas de flujo de calor ( a ) Sistema 1 : Región de contacto completo
( b ) Sistema 2 : Región de intermitencia de contacto ( c ) Sistema 3 : Separación completa
La primera región toma en cuenta el sistema capa solidificada, polvo en fase líquida y polvo en fase vítrea, molde y refrigerante que rige el flujo de calor desde el menisco hasta 20 cm. de profundidad aproximadamente.
9
Enseguida se presenta una zona de intermitencia en la que el flujo de calor cambia por la formación de huecos llenados ya sea por aire o por polvo en fase vítrea. Este fenómeno de intermitencia ocurre debido al gradiente extremo de temperatura en la primera región, causando una contracción abrupta de la capa solidificada y separándola del molde. Al no estar mas en contacto con el molde, la capa solidificada sufre un recalentamiento por calor transportado desde el centro del molde a través del metal líquido. Al recalentarse de nuevo la capa solidificada, se vuelve a expandir contactando nuevamente la pared del molde; lo que explica la intermitencia. En esta región el flujo de calor se rige por un promedio entre el sistema de la primera zona y un nuevo sistema capa solidificada-polvo en fase líquida y sólida-hueco de aire-molde-refrigerante. Ya en la tercera región el espesor de la capa solidificada y la disminución de la temperatura del acero evitan el recalentamiento y la expansión de la capa solidificada no es posible por lo que el sistema es únicamente capa solidificada-polvo en fase líquida, polvo en fase vítrea y/o vítrea y sólida-hueco de aire-molde-refrigerante 43.
1.2 Variables involucradas en el proceso de colada seleccionadas para la simulación
Una vez que se han definido los principios básicos del proceso de colada, es necesario definir las características particulares del sistema estudiado, que incluyen la descripción del molde, la buza sumergida, el acero que se desea colar, el polvo aislante empleado y finalmente las condiciones de operación a las que se está llevando a cabo el proceso. Cabe mencionar en este punto que el sistema analizado es un sistema industrial en operación en la planta siderúrgica de “Las Truchas” en Lázaro Cárdenas, Michoacán, propiedad de la empresa IMEXSA, y es utilizado para la producción de planchón de acero al bajo carbono con características que se mencionarán mas adelante. Una vez que se describe cada una de las variables se establece la forma en que se tomarán en cuenta dentro del modelado matemático del proceso, justificando su validez.
1.2.1 Composición y geometría del molde
El molde fabricado por las empresas Mannesman-Demag, Hitachi Zosen, está elaborado por 4 placas roladas en frío de aleación de Cu-Ag con las propiedades enlistadas en la tabla 1; mientras que la geometría básica de las caras anchas y estrechas se muestran en las figuras 9 y 10 44.
10
Capítulo 1: El proceso de colada continua 11
Tabla 1. Propiedades del molde de colada continua
Composición Aleación Cu-Ag ( 0.08 – 0.13 % de Ag ) Dureza Brinell HB Mínimo 80 kp/mm2
Limite de cedencia Mínimo 25 kp/mm2 Resistencia a la tracción Mínimo 30 kp/mm2 Conductividad eléctrica 54 – 57 m/Ωmm2
Peso Cara ancha - 978 kg / Cara estrecha – 132 kg
904 mm
2200 mm
844 mm
65 mm
75.5 mm
75.5 mm
188 mm 43 mm 5 mm 23 mm
44 mm
R 16 mm
A-A
A-A
A-A
A-A
844 mm
65 mm
75.5 mm
904 mm
139 mm
110 mm
5 mm
42 mm
64 mm 268 mm
258 mm
R 16 mm
B-B B-B
Figura 10. Planos de las caras estrechas del molde de colada continua
1.2.2 Longitud, conicidad y oscilación:
En el caso de la longitud del molde ( Lz ), se ha reportado que la longitud crece de forma
proporcional a la velocidad de colada, ya que de esta longitud depende el tiempo de residencia del producto en el molde y en gran medida su solidificación 45. La formación de la capa solidificada descrita anteriormente, provoca la contracción del planchón por enfriamiento comenzando desde las paredes en donde hay contacto entre metal fundido y molde justo debajo del menisco. Así conforme el producto se desplaza hacia abajo va reduciendo su espesor y se separa de la pared del molde, formando huecos de aire o gaps rellenos con polvo en fase vítrea 46.
Este fenómeno es bien conocido casi desde el principio de la utilización de la colada continua y para evitar sus efectos, se utiliza una inclinación en la pared del molde en contacto con el acero, intentando igualar la relación de contracción con el ángulo de inclinación. De este ángulo nombrado conicidad ( λ ) depende la formación gradual o abrupta de huecos entre el molde y el metal fundido lo que afecta en gran medida la conductividad térmica del sistema.
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Tabla 2. Datos de longitud y conicidad para el molde analizado
Longitud del molde ( Lz ) 0.904 m Conicidad de la cara ancha 6° Conicidad de la cara estrecha 7°
Cabe notar que la longitud y conicidad del molde proviene de planos originales sin embargo el efecto principal de la conicidad no puede ser analizado debido a que el modelo matemático no es capaz de hacer un análisis de esfuerzos sobre la capa solidificada por lo que el efecto del cambio de ángulo en cualquier pared no puede ser captado. Esto mismo sucede con la oscilación del molde ya que las marcas de oscilación se originan debido a los esfuerzos que sufre la capa solidificada recién solidificada en cada ciclo de oscilación.
1.2.3 Propiedades y composición del acero:
La composición contribuye bastante a la complejidad del análisis ya que cada elemento adicionado influye en las propiedades térmicas, físicas y micro estructurales del acero. No obstante el que presenta el efecto más importante es el contenido de carbono ya que modifica en gran medida el coeficiente de conductividad del metal fundido, aun estando presente en pocas cantidades. La densidad del acero varía también con la temperatura de acuerdo a la ecuación mostrada en la tabla 3, mientras que los valores de viscosidad, peso molecular, y Cp de la región
fluida permanecerán constantes en el modelo.
Tabla 3. Composición del planchón de acero al bajo carbono analizado
C Mn Al Si P S Nb Cu Sn Cr Ni N
0.05% 0.40% 0.050% 0.03% 0.01% 0.01% 0.03% 0.1% 50 ppm
Densidad 8586 - .8567T Conductividad Térmica 32.7 W/m·ºK
Viscosidad 0.00656 kg/m·s
Cp 789.9 J/Kg·ºK
13
1.2.4 Propiedades del polvo aislante
La función básica del polvo aislante (escoria o flux) es básicamente la protección del baño de acero fundido de los efectos de reoxidación pero además ésta capa permite aislar térmicamente el baño evitando la solidificación prematura. El polvo aplicado a nivel industrial para aceros al bajo carbono contiene altos porcentajes de óxidos como el CaO y el SiO2, mientras que se conservan
al mínimo los óxidos como el Al2O3 y el MgO. A continuación se enlistan la composición y
propiedades del polvo estudiado.
Tabla 4. Composición y propiedades del polvo aislante empleado
SiO2 CaO Al2O3 Fe2O3 Na2O MgO MnO TiO2 K2O LiO2 F CaO/SiO2 35% 33.8% 6.4% 0.7% 11.2% 2.3% 0.1% 0.1% 0.5% 4.6% 8.4% 0.96
Densidad 2600 kg/m3
Cp 1230 J/kg · ºK
Viscosidad 0.09 kg/m·s
Conductividad térmica 1 W/m · ºK
1.2.5 Condiciones de operación en planta
Las variables de operación son un conjunto de condiciones bajo las que se lleva a cabo el proceso real de colada; lo que incluye condiciones ambientales como la temperatura y la presión atmosféricas, así como las condiciones de trabajo de planta como las velocidades y temperaturas de colada, etc.
Ya que el objeto de analizar este sistema es incrementar su eficiencia y productividad, la velocidad de colada se convierte en la variable crítica para la investigación variando desde una velocidad menor a la usada en planta ( 0.8 m/min ) hasta un valor de velocidad que se desearía para incrementar la producción en mas del 75% ( 1.8 m/min ) a partir de las velocidades actuales de colada ( 1.1 – 1.2 m/min ).
14
Por otra parte se emplea una temperatura de colada de 1540 °C que representa un incremento de 20 °C de sobre-calentamiento, que corresponde a la práctica industrial. La tabla 5 muestra las condiciones de operación que se usarán para simular el proceso de colada continua.
Tabla 5. Condiciones de operación en planta
Condiciones de operación Parámetro Valor
Temperatura ambiental 20ºC Presión ambiental 101325 Pa
Densidad del aire 1.225 kg/m3 Ambientales
Aceleración de la gravedad 9.81 m/s2 Temperatura de colada 1540 ºC
Velocidad de colada 0.8m/min 1.2m/min 1.8m/min De procesamiento
Temperatura del sistema de
enfriamiento 20ºC
1.2.6 Diseño de la buza
Ya que la buza sumergida es el elemento por el cual se suministra el acero al molde tiene una importancia radical en el proceso de colada y especialmente en lo que respecta a la dinámica de flujo, ya que esta se define según la cantidad de puertos, su forma y en general de todas las características geométricas de la buza 47. En adición, en la práctica industrial se presentan fenómenos como taponamientos por inclusiones, centrado incorrecto, etc., que provocan que los chorros de descarga y el flujo dentro de la buza sea fuertemente asimétrico y finalmente produce defectos en el producto final como se menciona posteriormente.
La buza empleada en este trabajo es de tipo convencional con 2 puertos de salida redondos a los extremos y un ángulo de salida en cada puerto de 15º y fabricada en Zirconia por la empresa FOSECO ( Figura 11 ).
15
0.64 m
15º 0.015 m 0.03625 m
rext= 0.0375 m
rint= 0.0365 m
Figura 11. Dimensiones de la buza sumergida.
1.3 Defectos más frecuentes encontrados en el proceso de colada
Durante el proceso de colada se presentan una serie de defectos algunas veces inherentes al proceso de colada, pero algunos pueden provenir de fallas en el control del proceso y sus orígenes pueden ser de muy diversa naturaleza, sin embargo pueden agruparse básicamente en 3 categorías ( aunque muchas veces el defecto es un resultado de la combinación de varios factores ) :
1. Defectos provocados por cambios de nivel y oscilación del menisco. 2. Defectos producidos por el uso inadecuado del polvo aislante. 3. Defectos provocados por inclusiones metálicas y no metálicas.
1.3.1 Defectos provocados por cambios de nivel y oscilación del menisco
Marcas de oscilación profunda
En general este tipo de marcas se producen cuando hay un cambio en el nivel del menisco. Mientras este nivel sube, el anillo solidificado de polvo en el menisco ( flux rim ) se mueve cerca de la capa solidificada recién solidificada.
16
Esto incrementa la presión generada en la capa delgada de flux en estado líquido durante cada ciclo de oscilación y también aumenta las fuerzas de torsión en la capa solidificada para que finalmente, el bajo gradiente de solidificación contra el anillo de polvo produzca una capa solidificada más delgada que se tuerce fácilmente.
Otras teorías sugieren incluso que el anillo de polvo puede interactuar mecánicamente con la capa solidificada, en dado caso, las marcas de oscilación se harían mas profundas conforme las fuerzas impuestas a la capa aumentan. Las marcas de oscilación profundas no se observan en los periodos en que el nivel del molde decrece, debido a la fusión parcial o a la remoción del anillo de polvo que causa el metal 48.
Depresiones transversales profundas
Conforme el nivel del molde alcanza su máximo, se pueden formar depresiones transversales en la capa solidificada delgada. Este cambio de nivel excede la habilidad del anillo de polvo para fundirse y mantener una forma constante con respecto al menisco.
Esto puede causar depresiones en muchas maneras. Primero, inundar el anillo de polvo para solidificar el acero directamente contra el polvo sólido produciría una huella del anillo en la nueva capa solidificada. Esta huella sería más profunda donde el anillo de polvo en el menisco es más grueso. Segundo, el anillo de polvo está pegado débilmente a la pared del molde, así que puede ser capturado por la capa solidificada solidificándose y tercero, se ha sugerido que el anillo de polvo puede flotar hacia arriba conforme el nivel sube. Si el movimiento hacia arriba del anillo a lo largo de la pared se detiene a una altura donde hay una capa de polvo sinterizada, el nivel que esta subiendo la cubrirá inmediatamente.
En cada caso el resultado es una capa solidificada adelgazada con una región hundida rellena de polvo solidificado que se mueve hacia abajo con el planchón. La posterior remoción del polvo revela las depresiones que se forman 49.
17
Solidificación del menisco
Estas regiones se localizan cerca del menisco y están asociadas con la oscilación arriba y abajo del nivel. La ausencia o debilidad de las marcas de oscilación en esta región sugieren la ausencia de la capa líquida de polvo y baja presión. Esto puede ser causado por dificultades en la infiltración del polvo conforme el anillo de polvo anterior se remueve. Esto es consistente con el estriado longitudinal que ocurre presumiblemente por fricción con la pared del molde, cuando la débil y suave capa solidificada es arrastrada hacia abajo. La solidificación en el anillo de polvo acompañada de una baja transferencia de calor previene la solidificación del menisco 50.
1.3.2 Defectos producidos por el uso inadecuado del polvo aislante
Depresiones longitudinales en las esquinas
Las depresiones longitudinales de superficie y especialmente las que ocurren en las esquinas del planchón están asociadas a problemas mas serios como grietas longitudinales, particularmente en aceros de bajo carbono. Se ha sugerido que este tipo de defecto ocurre en 2 etapas:
1) Formación de una región caliente en la esquina de la cara ancha del molde.
2) Torcimiento de la capa solidificada debido a un bucle en la salida del molde si la conicidad de la cara estrecha es excesiva, y /o a un abultamiento cíclico de la capa solidificada entre los rodillos después de la salida del molde.
El adelgazamiento de la capa solidificada en las esquinas del planchón causado en la primera etapa requiere de 3 condiciones para ocurrir. La primera es la formación de un pequeño hueco entre la capa solidificada del planchón y la unión de cara ancha-estrecha en el molde. La segunda es que material de baja conductividad llene este hueco y por último, que haya recalentamiento producido por el líquido proveniente de los chorros de descarga del lado opuesto a la formación del hueco.
18
El hueco de la esquina puede producirse por una falta de conicidad en la cara ancha y su distorsión debido a los esfuerzos térmicos. Mientras que la baja conductividad se puede deber a una alimentación inadecuada de polvo en fase líquida en el menisco, que ocurre cuando hay grandes cambios de nivel combinados con alta velocidad del acero en la superficie hacia la buza; provocando una pobre alimentación y cobertura de polvo líquido en la región de la esquina del molde.
La falta de la capa de polvo líquido conforme el planchón desciende evita el llenado del hueco que se forma si éste aumenta. Esta congelación completa es más probable a bajas velocidades de colada con polvos de altas temperaturas de fusión.
La segunda etapa de la formación del defecto es el torcimiento o enrollamiento de la capa solidificada recién formada, que está asociada con grietas bajo la superficie. Esta etapa puede ocurrir de tres maneras.
Inicialmente se puede formar un bucle de la capa solidificada por compresión cerca de la salida del molde si la conicidad de la cara estrecha excede la contracción de la capa solidificada. Esto es probable también si hay también una reducción en el flujo de calor, llevando a una menor contracción de la capa solidificada en la cara ancha. En segundo lugar, ocurre un abultamiento cíclico de la capa solidificada que estuvo en contacto con la cara ancha al abandonar el molde. Además la región de la esquina del planchón se retuerce en cada rodillo de soporte.
Esta curvatura permanece después de que la cara ancha del planchón es forzada a alinearse por los rodillos de soporte. Este mecanismo también hace rotar a la esquina, torciendo la cara estrecha del planchón hacia afuera. El defecto final es un abultamiento de la cara estrecha al salir del molde debido a la rotación de la esquina si el soporte de la cara estrecha y el enfriamiento de los rociadores son insuficientes 51.
19
Rompimiento de la capa polvo y reoxidación del material
Aunque el rompimiento de la capa de escoria está muy asociado con el comportamiento del menisco, la adecuada alimentación del polvo es un factor determinante para tener un espesor homogéneo sobre el menisco. El rompimiento también ocurre cuando esta capa no se distribuye uniformemente en la superficie del planchón provocando irregularidades en la capa final.
La importancia de una alimentación adecuada del polvo se refleja en la creación de sistemas automáticos para la introducción del polvo dependientes no solo de la velocidad de colada sino de la temperatura del baño y el nivel del menisco.
Grietas Transversales
Las grietas transversales son causadas usualmente por una temperatura o velocidad de colada muy altas y por una selección inadecuada del polvo aislante. La adición de polvos con bajas temperaturas de fusión y por tanto con una baja viscosidad causa adhesiones con la pared que son retenidas por las marcas de oscilación. Por esta razón se eligen generalmente polvos con una mayor viscosidad y mejor comportamiento de fusión 52.
1.3.3 Defectos provocados por inclusiones metálicas y no metálicas
Dependiendo del proceso de producción del acero, el tratamiento en la olla, y las prácticas de colada, hay variaciones en las cantidades de inclusiones de óxidos, silicatos, alumina, y sulfuros que son llevadas en el baño líquido hacia la máquina de colada. Serios defectos de superficie y grietas se forman si estas inclusiones se incrustan en la capa solidificada del planchón. El problema se vuelve particularmente grave cuando se arrastra escoria desde el distribuidor al molde, y cuando hay reoxidación del acero resultando en la formación de alumina y otras partículas de óxido. La densidad de la mayoría de las inclusiones es de un tercio o de la mitad de la del acero líquido, de esta forma, las inclusiones mas grandes a 10 μm de diámetro realmente flotan y se disuelven en la capa fundida de polvo 53.
20
La densidad de los óxidos de tierras raras y oxi-sulfuros es ligeramente menor que la del acero líquido, y hay poca oportunidad de que floten en el baño de acero dentro del molde.
Además de la asimilación de inclusiones, la presencia de escoria fundida en el molde incrementa la sensibilidad a la formación de inclusiones en la superficie del metal líquido debido al efecto de la tensión interfacial.
Inmediatamente después de que las inclusiones emergen del baño líquido en el molde, éstas se disuelven en la capa superior de polvo fundido. La relación de disolución de los óxidos sólidos en las escorias fundidas se controla por difusión, de ésta forma, la asimilación de inclusiones en el polvo estaría fuertemente influenciada por el tamaño de partícula de las inclusiones.
Por ejemplo, para la fácil disolución de las inclusiones de alumina es preferible un polvo con bajo contenido de alumina y silicatos. Durante el ciclo de colada, el contenido de alumina del polvo puede aumentar de un 10% a 20% más. La viscosidad del polvo aumenta cuando la concentración de alumina aumenta, y así la cantidad de polvo usado debe ajustarse para evitar un incremento excesivo en el contenido de alumina.
Efecto de las inclusiones en las propiedades del acero
Las inclusiones tienen un efecto negativo en la resistencia a la fractura por fatiga de aceros de alta resistencia. La iniciación de las grietas depende de su tamaño y forma, pero es independiente a su composición. Existe un tamaño crítico mínimo para la nucleación de grietas. Las inclusiones esféricas de óxidos mayores a 20μm, embebidas en o cerca de la superficie del planchón son fuentes potenciales de nucleación para grietas.
El tamaño crítico mínimo desciende si las partículas de óxido tienen formas anguladas o alargadas, alineadas al eje perpendicular del esfuerzo aplicado. La falla que inicia como microgrietas, resulta en una fractura en la inclusión misma, por una separación de los límites internos en inclusiones multifásicas, o por separación de la interfase matriz/inclusión 54.
21
Las inclusiones más pequeñas son poco importantes para la nucleación pero pueden contribuir a la propagación de la grieta y se ha documentado que la velocidad de propagación decrece cuando la limpieza del acero es mayor.
En la ductilidad; el tamaño no afecta tanto como el espaciado de las inclusiones. Para aceros con alto contenido de carbón, el aumento de esfuerzos de fluencia comparado con los aceros al bajo carbono puede ser suficiente para causar nucleaciones por huecos y partículas de una segunda fase como carburos y en los límites de partículas de sulfuros. Esto podría resultar en un descenso en la ductilidad conforme aumenta el contenido de carbón a un volumen de inclusiones constante.
Respecto a la corrosión, desde principios de siglo se conocía ya que su aparición estaba relacionada con las inclusiones de sulfuros, especialmente en la corrosión por picadura. Para aceros inoxidables hay evidencias también de picadura en las inclusiones de sulfuros. Estas inclusiones generalmente no están compuestas por fases puras, sino que son soluciones de diversos materiales.
Eklund ha demostrado que las inclusiones de estos sulfuros conducen electricidad y pueden polarizarse al potencial de una superficie pasiva en el acero. Ya que estas partículas no son termodinámicamente estables tienden a disolverse y como los sulfuros se forman directamente desde la fusión y hasta la solidificación, ninguna capa protectora de óxido se forma en la frontera entre el sulfuro y la matriz, y la superficie virgen del material termina expuesta conforme el sulfuro se disuelve, provocando la corrosión 55.
22
CAPITULO 2
MODELOS MATEMÁTICOS
EMPLEADOS EN LA
SIMULACIÓN
2.1 Conceptos básicos de simulación matemática
Los avances tecnológicos en el campo de la dinámica de fluidos computacional en las últimas tres
décadas ( desarrollo de ordenadores, software y métodos de solución más potentes ) han
permitido un análisis cada vez más confiable de los fenómenos que se presentan en la metalurgia;
esto provoca que su inclusión sea casi imprescindible en los procedimientos de análisis y diseño
actuales. De esta forma, el objetivo principal del presente capítulo es la descripción de los
fundamentos, herramientas y procedimientos que se utilizarán para llevar a cabo la modelación
matemática del proceso de colada en el molde. Dicho análisis arrojará también una gran cantidad
de resultados que serán interpretados de forma coherente para lograr un mayor entendimiento del
fenómeno, generando teorías y descripciones de comportamiento confiables. Cabe señalar que
este capítulo busca únicamente introducir los elementos básicos del análisis matemático, por
tanto no profundiza en una gran cantidad de temas tales como la deducción de las ecuaciones
constitutivas, los principios matemáticos de la generación de mallas, o los algoritmos de
discretización para la resolución de las ecuaciones, limitándose al establecimiento de los modelos
que se emplearán en la simulación.
2.1.1. Antecedentes
Las primeras aplicaciones del conocimiento sobre fluidos fueron dirigidas a la irrigación, el
diseño de barcos y la balística; esto incluye a Leonardo Da Vinci quién dibujó modelos de alas y
planeadores a principios del siglo XIV. Por largo tiempo la mayoría de los descubrimientos
estuvieron basados únicamente en las evidencias empíricas o la prueba y error. Incluso los
hermanos Montgolfier quienes volaron en el primer globo de aire caliente en 1783 no tenían
conocimiento acerca de las razones físicas del por qué del vuelo de su aparato.
El primer progreso científico llegó en 1834 cuando Benoit Clapeyron introdujo una combinación
de la Ley de Charles ( 1802 ) y la Ley de Boyle ( 1664 ). Esta ecuación, conocida como la ley de
los gases perfectos, relaciona el volumen, la presión y la temperatura de un gas.
24
Esta se convirtió en la primera ecuación generalizada acerca del comportamiento de los fluidos
que tuvo impacto científico y es actualmente una de las piedras angulares del análisis de los
fluidos.
Mientras que la Ley de los gases perfectos describe las propiedades de los gases, es inútil para la
descripción del movimiento del fluido y no fue hasta principios del siglo XX que se comenzó a
utilizar lo que se conoce como “ teoría del flujo potencial ”, para calcular la dinámica de un
fluido. Mientras que las soluciones de este método parecían razonables para algunos problemas,
era claro que no estaban completas ya que la teoría básica del flujo potencial no indica separación
alguna del flujo de la superficie e incluso resulta en un cálculo del arrastre por viscosidad igual a
0. Esto fue obviamente inconsistente con los fenómenos reales, y la presunción de cero
resistencia al avance fue conocida como Paradoja de D’Alembert.
Matemáticamente la teoría de flujo potencial asume que el fluido bajo análisis es incompresible,
irrotacional y no viscoso, lo que no sucede en realidad. No obstante, para cuerpos curvados que
no causan muchos disturbios en el fluido y generan poco arrastre ( como los perfiles
aerodinámicos ) las soluciones basadas en la teoría de flujo potencial arrojan buenos resultados.
Finalmente se presentaron un conjunto de ecuaciones llamadas Ecuaciones de Navier-Stokes,
formuladas por Claude-Louis Navier en 1822 y derivadas de forma independiente por George
Gabriel Stokes en 1845. Estas ecuaciones relacionaban las presiones locales y las velocidades
dentro del fluido en movimiento. A pesar de que estas ecuaciones aparecieron casi al mismo
tiempo que la de Clapeyron, su complejidad matemática permitió únicamente algunas soluciones
de flujos simples.
Fue hasta la aparición de Ludwig Prantl con su teoría de la capa límite en 1904 que se demostró
que los efectos de la fricción descritos por las ecuaciones de Navier-Stokes ocurrían solo en la
región más cercana del fluido con la superficie, mientras que el exterior seguía el modelo de flujo
potencial 56.
25
Esto permitió por un lado que las ecuaciones de Navier-Stokes fueran simplificadas dentro de la
capa límite para permitir su resolución y por otro lado que la teoría de flujo potencial fuera
utilizada para analizar geometrías más complicadas superponiendo los efectos de la fricción. Así
se tuvieron por fin las herramientas matemáticas para la dinámica de fluidos, cuyos métodos de
solución se han diversificado actualmente y para los cuales han surgido nuevas técnicas de
análisis. Dichas técnicas comprenden generalmente el uso de computadoras por lo que se
conocen como Dinámica de Fluidos Computacional.
2.1.2 Ecuaciones constitutivas
Una solución teórica es aquella que puede ser escrita en forma de ecuación usando funciones
conocidas y notación matemática. Como se mencionó previamente, las ecuaciones de
Navier-Stokes son la herramienta más poderosa para la dinámica de fluidos computacional, sin embargo
son extremadamente difíciles de resolver en su forma completa. Con el objeto de describir
completamente el movimiento de un fluido deben conocerse las siguientes cantidades del
sistema:
• Densidad ( ρ )
• Presión ( P )
• Temperatura ( T )
• Velocidad en las tres direcciones espaciales u, v y w ( correspondientes a x, y y z )
Ya que hay 6 incógnitas, se necesitan 6 ecuaciones en total para encontrar la solución de un flujo
tridimensional. Junto con la Ley de los gases perfectos, las 5 ecuaciones restantes son las
ecuaciones de Navier-Stokes, que pueden ser separadas de la siguiente forma, ecuaciones (1)-(3).
• Conservación de la masa
0 ) ( ) ( ) (
= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂
z
ρw y
ρv x
ρu
( 1 )
26
• Conservación del momentum en las tres direcciones espaciales x, y y z ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 x μ P g z u y u x u x ρ z u w y u v x u u t u ρ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 y μ P g z v y v x v y ρ z v w y v v x v u t v
ρ ( 2 )
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 z μ P g z w y w x w z ρ z w w y w v x w u t w ρ
• Conservación de la energía
z y x P P P T T T K v e v e v e v e ρwg ρvg ρug z u x w z w z w z v y v x v y u x u z v v z u u z z u w y w w y u u y y u v x w w x v v x x u u z w y v x u z y x ρw z ρv y ρu x ρ t + + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 μ 2 μ 2 1 2 1 2 1 2 1
( 3 )
La resolución de estas ecuaciones es difícil aun para los matemáticos, y la razón es que están
acopladas. Esto significa que no pueden ser resueltas una a la vez de manera independiente
además de que los valores obtenidos para cada una afectan simultáneamente las soluciones en
otros puntos del campo de flujo 57.
27
2.1.3 Discretización
Se ha visto anteriormente que las ecuaciones que gobiernan el movimiento de un fluido
( ecuaciones de Navier-Stokes ) se componen de diferenciales parciales. Estas ecuaciones están
construidas en base a combinaciones de las variables del flujo tales como las componentes de
velocidad, la presión del fluido y sus derivadas, lo que evita que los ordenadores puedan ser
usados directamente en su resolución. La razón principal de este hecho es que la solución teórica
( analítica ) es válida en cada punto del campo de flujo; mientras que la solución computacional
( discreta ) utilizada en la dinámica de fluidos computacional intenta resolver las ecuaciones sólo
en un número específico de puntos o dominio, definido por una malla como se notará
posteriormente.
Como ejemplo podemos tomar una función f(x); en donde la solución analítica es posible y
continua en todos los puntos; y por otro lado, la solución computacional no resulta en una función
continua, sino que simplemente reporta una respuesta numérica en los puntos específicos donde
hayamos decidido calcularla ( Figuras 12a y 12b ).
f( x )
x
* *
* *
* *
* *
*
* * f( xi )
x
12a 12b
Figura 12 – Soluciones posibles para la función imaginaria f(x) 12a – Solución analítica
12b – Solución discreta
A pesar de sus limitaciones los ordenadores son capaces de almacenar grandes cantidades de
datos y de realizar operaciones aritméticas básicas como la suma, resta, multiplicación y división
con enormes cantidades numéricas a gran velocidad 58.
28
De esta forma las operaciones pueden ser agrupadas en secuencias para solucionar problemas
más complejos como los planteados por la dinámica de fluidos. Consecuentemente, las
ecuaciones diferenciales parciales tienen que ser transformadas en ecuaciones que contienen solo
números, y la combinación de estos tiene que estar descrita por operaciones simples. A este
proceso de transformación de las ecuaciones diferenciales parciales a una ecuación numérica
análoga susceptible de resolverse en una computadora se le conoce como discretización
numérica.
Existen varios métodos mediante los cuales la discretización numérica puede llevarse a cabo, y se
agrupan en:
• Diferencias finitas
• Elemento finito
• Volumen finito
2.1.4 Discretización por la técnica de volumen finito.
El método más popular de discretización numérica usado en la dinámica de fluidos
computacional es el método de volumen finito. Este método es similar al método de diferencias
finitas, pero algunos principios provienen también del método de elemento finito.
Esencialmente, las ecuaciones diferenciales parciales que gobiernan el sistema se convierten a su
forma numérica mediante una transformación basada en la física. Por ejemplo, las ecuaciones de
Navier-Stokes para la cantidad de movimiento en los 3 ejes coordenados pueden ser consideradas
como series de flujos dentro de un volumen junto con término fuente que sería el gradiente de
presiones.
La forma más sencilla de analizar este proceso es considerar una ecuación diferencial parcial
típica como ejemplo y realizar su discretización. Para este efecto se tomará una ecuación de
difusión dependiente del tiempo ( 4 ):
29
2 2
x U t
U
∂ ∂ = ∂ ∂
( 4 )
Esta ecuación consiste de una primera derivada en la dirección del tiempo t y una segunda
derivada en la dirección espacial x. Esta es una ecuación diferencial parabólica que puede usarse
para modelar cambios temporales en la difusión de una cantidad a través de un sistema.
En este punto cabe mencionar que existen tres clasificaciones para las ecuaciones diferenciales
parciales: elípticas, parabólicas e hiperbólicas. Las ecuaciones pertenecientes a cada una de estas
clasificaciones se comportan de diferente forma, tanto física como numéricamente. En particular,
la dirección a lo largo de la cual se transmiten los cambios es diferente para los tres tipos.
Dependiendo de las condiciones, las ecuaciones que gobiernan el movimiento de un flujo pueden
exhibir los tres comportamientos.
Por ejemplo, las ecuaciones de Navier-Stokes para la cantidad de movimiento son parabólicas
cuando la dependencia de los cambios en el flujo en el tiempo está descrita en cualquier lugar del
espacio pero solo en una dirección de tiempo continua. Estas se convierten a elípticas cuando la
velocidad del flujo es baja y los cambios se pueden describir en cualquier punto del espacio y
tiempo. Y finalmente las ecuaciones se transforman en hiperbólicas cuando la velocidad del flujo
esta por encima de la velocidad del sonido y los cambios están señalados hacia direcciones
específicas en el espacio.
Una vez señalado esto, es posible tomar a la ecuación ( 4 ) como modelo de las ecuaciones de
Navier-Stokes para la cantidad de movimiento ( éstas gobiernan el flujo incompresible y
viscoso ). Como primer paso en la transformación, se usa una fórmula de diferencias para un paso
de tiempo modificando el lado izquierdo de la ecuación:
2 2 1
x U t
U
Un n
∂ ∂ = ∂
−
+
( 5 )
30
Donde los superíndices n y n+1 se refieren a 2 niveles de tiempo distintos para los valores de U.
A continuación se forma un volumen finito en la dirección x ( Figura 13 ).
Cara del volumen O Cara del volumen E
Centroide Centroide Centroide
O E C
P
O
E
Figura 13 – Volumen finito C y sus alrededores
Por simplicidad, solo se tomarán los valores del nivel de tiempo n. El centroide del volumen
central ( punto c ) es la referencia en la cual se desea encontrar el análogo numérico para la
ecuación diferencial parcial. Las direcciones del dominio alrededor del punto de referencia están
señaladas como O ( oeste ) y E ( este ) teniendo sus centroides en o y e respectivamente. El
volumen con centroide en c tendrá una cara colocada entre los volúmenes O y C así como otra
entre los volúmenes C y E. Esta derivada espacial puede ser transformada ya que la segunda
derivada de la variable es la diferencia de las primeras derivadas calculadas en las caras de los
volúmenes, resultando en:
o e
w e
P x x
x U x U x U − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ 2 2
( 6 )
Donde los subíndices se refieren a las posiciones en que se calculan o conocen las cantidades. De
forma similar, las primeras derivadas en las caras de los volúmenes pueden tomarse como
diferencias entre los valores de la variable fuera de los centroides:
C E
C E
E x x
u u x U − − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∂ ∂
( 7 ) y
O C
O C
O x x
u u x U − − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∂ ∂
( 8 )
Por último, una vez que se conocen estas tres expresiones para las derivadas, pueden resolverse
mediante métodos directos o iterativos 59.
31
2.1.3 Geometrías y mallas
Como se mencionó antes, a diferencia de las soluciones analíticas o teóricas, las soluciones
numéricas sólo presentan resultados en puntos específicos del campo de flujo. Por tanto, antes de
que se puedan resolver las ecuaciones constitutivas deben generarse dichos puntos. Este proceso
comienza con el establecimiento del área en que se realizarán los cálculos conocida como
dominio computacional. Al proceso de subdivisión del dominio en puntos, elementos o
volúmenes ( por simplicidad se nombrarán únicamente como celdas ) delimitados por el dominio
computacional se le conoce como generación de la malla.
Cada problema relacionado a un flujo contiene una gran variedad de particularidades, esto
provoca que coexistan en un solo sistema fenómenos como vórtices, capas límites, transiciones y
regiones de cambios rápidos de presión y velocidad, por tanto la cualidad más importante de una
malla es definir suficientes puntos para capturar con detalle cada uno de los fenómenos antes
mencionados y permitir que puedan ser modelados en las regiones críticas donde ocurren 60. Esto ha provocado la diversificación de los tipos de mallado ya que dependiendo de la geometría bajo
análisis pueden agruparse según sus características básicas en:
Estructuradas regulares, irregulares e híbridas: Las mallas estructuradas están compuestas
generalmente de mallas rectangulares o polares lo que provoca que su orientación sea uniforme.
Por el contrario las mallas irregulares están formadas generalmente por celdas tetraédricas, lo
que origina una expansión no uniforme. Las mallas híbridas son aquellas con regiones regulares e
irregulares para un mismo objeto ( Figura 14 ).
Figura 14 – Malla estructurada regular
32
33 Capítulo 2:Modelos matemáticos empleados
Figura 15 – Malla tetraédrica irregular
Forma de la celda y número de nodos: Las celdas que componen la malla pueden tener 3, 4, ó
más nodos formando prismas, cubos, tetraedros, etc.
Bloques: Los bloques son regiones con diferentes configuraciones de malla que pueden no tener
relación directa o estar unidos de forma simple o compleja.
( a ) ( b )
( c ) ( d )
Figura 16 – Tipos de bloques para mallas
16a – Sin correspondencia con los extremos
16b – Correspondencia simple
16c – Correspondencia exacta
Disposición: Se encuentran las cartesianas que se superponen al objeto de forma que el
espaciado entre celdas es regular y las adaptativas que envuelven al objeto y se despliegan a
partir de sus límites.
34
Figura 17 - Malla adaptativa para un perfil aerodinámico
Espacio: Pueden ser bidimensionales o tridimensionales, utilizando figuras planas y volúmenes
respectivamente. La generación de la geometría básica del objeto puede provenir ya sea de
software de diseño asistido por computadora ( CAD ) y luego ser introducida al generador de
mallas; o puede construirse mediante un pre-procesador incluido generalmente en los paquetes de
simulación actuales.
Una vez que se han determinado los requerimientos de la simulación, y las regiones críticas de
flujo han sido determinadas, puede elegirse una de las diferentes técnicas de generación de
mallas.
Algunas de estas técnicas son bastante simples e incluyen la división del flujo en regiones
igualmente espaciadas, sin embargo, para geometrías complejas esto no es posible y las técnicas
de generación implican usualmente la resolución de más ecuaciones diferenciales, por lo que la
elección de la malla es siempre un proceso muy complejo.
