Estructura de los PLARI-Semigrupos
Sebasti´
an Perdomo Leiva
Universidad Distrital Francisco Jos´e de Caldas
Facultad de Ciencias y Educaci´on, Proyecto Curricular de Matem´aticas Bogot´a, Colombia
Estructura de los PLARI-Semigrupos
Sebasti´
an Perdomo Leiva
Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar al t´ıtulo de: Matem´atico
Directora:
Magister Ver´onica Cifuentes Vargas
L´ınea de Investigaci´on: ´
Algebra, Teor´ıa de Semigrupos Grupo de Investigaci´on:
ITENUA
Universidad Distrital Francisco Jos´e de Caldas
Facultad de Ciencias y Educaci´on, Proyecto Curricular de Matem´aticas Bogot´a, Colombia
Agradecimientos
ix
Resumen
El siguiente trabajo consiste en crear una estructura para los semigrupos primitivos am-plios a izquierda. Para esto, es necesario tener en cuenta las extensiones de las relaciones de GreenR∗,L∗ entre otras. Recuerdece que un semigrupo es un conjuntoS con una operaci´on
interna · tal que para cualquier x, y, z ∈ S se tiene, (x·y)·z =x·(y·z). Se dice que para
a, b∈S, aR∗bsi y s´olo si para todo x, y ∈S11 ax=aysi y s´olo sibx=by. Tambien se dice
que aL∗b si y s´olo si para todo x, y ∈S1 se debe tener que xa =ya si y s´olo si xb =yb. Un
elementoede un semigrupoS es llamado idempotente cuando bajo la operaci´on interna·de
S, e2 =e. Se dir´a que un semigrupo S es amplio a izquierda cuando cada R∗−clase deS
tiene al menos un idempotentes y todos los idempotentes deS conmutan entre si. Adem´as se debe tener que paraa, e2 ∈S, ae = (ae)†a2. Se puede ver que siS es amplio, cadaR −clase
tiene un ´unico idempotente y por lo tanto (ae)† es ´unico. Se denotar´a E(S) el conjunto de los idempotentes de S y adicionalmente se les dotar´a a sus sus elementos de un orden ≤ llamado orden natural donde e ≤ f si y s´olo si ef =f e = e. Se definir´a a un idempotente
e∈S como primitivo si y s´olo si para culaquier,f ≤e se debe tener quef =eo f = 0 si S
es un semigrupo con 0. Se dir´a que S es primitivo si todos sus idempotentes son primitivos. En la parte final del trabajo se construira una matriz de Rees en bloques primitiva amplia y se crear´a un isomorfismo de dicha matriz con los semigrupos primitivos amplios a izquierda en los que aS 6={0}, denominados como en [18] los P LARI −semigrupos.
Palabras clave: (Semigrupos inversos, Extensiones de las Relaciones de Green, Semi-grupos de Matrices de Rees en Bloques.)
Abstract
In the following work consist in create a structure for the primitive left ample semigroups. For this, it is necessary to consider the extent of Green relationships R∗,L∗ between others.
Remember that a semigroup is set with inner operation · such as for all x, y, z ∈ S we ha-ve, (x·y) cdotz = x·(y·z). Will be say that for a, b ∈ S, aR∗b if and only if, for all
x, and ∈ S1 ax =ay if and only if bx = by. Also, will be say that aL∗b if and only if for
all x, y ∈ S1 we have that xa = ya if and only if xb = yb. A element e front to semigroup
S it’s called idempotent whene2 =e. Will be say that semigroups it’s left ample when each
R∗ −class it has at most to idempotent and all idempotent commute. Also must comply
that ae = (ae)†a, with a, e2 =e∈S. will be denote E(S) the set of all idempotents from S
and additionally we will give its elements a order ≤ called natural order whene ≤f if and only if ef =f e=e will be defined an a idempotent as a primitive if for all e≤f it implies
1El termino “1” enS1significa que el semigrupoS es tiene elemento identidad 1. 2El simbolo†denotado como (t)† indica a idempotente de laR∗
x
f = e or f = 0. Will be that a semigroups is primitive if all its idempotents are primitive. In the final part of the work will be Build a primitive ample Rees matrix and will be create a isomorphism with the primitive ample semigroups in which aS 6={0}.for a ∈S called as in [18] PLARI-semigroups.
Contenido
Agradecimientos VII
Resumen IX
1 Preliminares 5
1.1 Nociones b´asicas . . . 5
1.2 Relaciones de Green . . . 8
1.3 Semigrupos Inversos . . . 15
1.4 Matrices de Rees . . . 20
2 Los PLARI- semigrupos 23 2.1 S-sistemas . . . 23
2.2 Extensiones de las Relaciones de Green . . . 27
2.3 Semigrupos de Matrices de Rees en Bloques . . . 34
Introducci´
on Hist´
orica
El estudio de los semigrupos primitivos amplios surge como una generalizaci´on no regular de los semigrupos inversos. El origen de estos semigrupos se remonta al siglo XIX cuando se dejaba atr´as la geometr´ıa Euclidiana y se da inicio a la creaci´on de nuevas geometr´ıas; esta situaci´on gener´o confusi´on debido a que la geometr´ıa Euclidiana la cual hab´ıa ocupado una privilegiada posici´on se hab´ıa dejado de considerar y con esto la geometr´ıa hab´ıa sufrido un irreversible cambio de direcci´on; Dicha geometr´ıa vino a ser vista como un caso particular de una gran variedad de geometr´ıas. Pero con esta situaci´on surgi´o el problema de como estas geometr´ıas deber´ıan ser clasificadas y como la relaci´on entre estas deber´ıa estabilizarse. La idea del programa Klein’s Erlanger era ordenarlas por el grupo de simetr´ıas de su geometr´ıa. Los grupos de simetr´ıas son todas las estructuras que se preservan bajo biyecciones. De esto cualquier geometr´ıa puede construir un grupo. Esto es por que el grupo de simetr´ıa induce a una relaci´on de equivalencia entre figuras geom´etricas. Propiedades geom´etricas pueden ser vistas mas bien como propiedades de clases de figuras individuales y as´ı la geometr´ıa puede ser vista como la teor´ıa de grupos invariantes.
Contenido 3
Pero mucho antes de que el programa de Erlanger se hubiera formulado, exist´ıan geo-metr´ıas que no pertenec´ıan adecuadamente a sus categor´ıas, llamemoslas, las geogeo-metr´ıas Riemanianas. [. . .] Espacios Riemanianos [. . .] cuyos grupos de automorfismos se redu-cen s´olo a la identidad. Tales geometr´ıas no pueden ser caracterizadas obviamente por un grupo.
J. H. C. Whitehead en este obituario de Elie Cartan resalta el punto que entre la formulaci´on del Programa Erlanger y la formulaci´on de la Relatividad General, los fundamentos de la geometr´ıa fueron dominados por el enfoque de los Kleins pero que
despues de descubrir la relatividad general la cual se basaba en la geometr´ıa Riemania-na, este se dio cuenta de que el programa Erlanger no era el mas adecuado como una descripci´on de la geometr´ıa general.
Sin embargo el hecho de que el programa Erlanger no se trabaj´o para todas las geometr´ıas anim´o a muchos matem´aticos a introducirse y generalizar esto. Este punto era explicitamente dicho por Veble y Whitehead en:
Esta es por lo tanto, una fuerte tendencia entre ge´ometras contempor´aneos en b´usqueda de una generalizaci´on del programa Erlanger que pueda reemplazar este por medio del concepto de grupos.
En otras palabras, si el grupo de simetr´ıas no es suficiente para caracterizar la geometr´ıa quiz´as exista una estructura m´as general la cual pueda. En particular el camino para gene-ralizar el programa de Erlanger es basado en el concepto de pseudo grupo introducido por Sophus Lie.
4 Contenido
Un pseudogrupo de Lie sin sus ecuaciones diferenciales es s´olo una colecci´on de homeomor-fismos parciales entre subconjuntos abiertos de un espacio topol´ogico el cual es cerrado bajo composici´on y con inversos. Veble y Whitead reconocieron en tales estructuras las cuales ellos llamaron simplemente pseudogrupos, adecuados veh´ıculos algebraicos para generalizar el programa de Erlanger al desarrollo de la teor´ıa de variedades diferenciales:
Los objetos geom´etricos y los espacios los cuales ellos determinan son clasificados por medio del pseudo-grupo de transformaciones de puntos regulares, dos objetos pertenecen a una misma clase si y s´olo si, ellos son equivalentes. Este es pseudo-grupo, mas bien que el grupo [. . .], el cual es relevante, ya que un objeto geom´etrico no necesariamente se define sobre toda una simple variedad [. . .]. Esta clasificaci´on de objetos geom´ etri-cos es el esp´ıritu del programa Erlanger, bajo el pseudo-grupo empieza una inevitable generalizaci´on equivalentemente en el mas estrecho sentido.
CAP´ITULO 1
Preliminares
1.1.
Nociones b´
asicas
En esta secci´on se manejar´an terminos y notaciones de [1, 10, 14] As´ı que para empezar, si R es una relaci´on en un conjunto E, dos elementos x y y de E estan relacionados por R si (x, y)∈ R, lo cual es denotado como xRy.
Una relaci´onR es reflexiva si, para cada x∈E, xRx; sim´etrica si, para cada x, y ∈E, xRy
implique yRx; antisim´etrica si, para cada x, y ∈ E, xRy y yRx implica x = y y transitiva si, para cada x, y, z ∈E, xRy y yRz implicaxRz.
Definici´on 1.1.1. (Preorden) Una relacion es un preorden si esta es reflexiva y transitiva, un orden(o orden parcial) si esta es reflexiva, transitiva y antisim´etrica y una relacion de Equivalencia (o una equivalencia) si esta es reflexiva, transitiva y sim´etrica.
Proposici´on 1.1.1. Sea A un conjunto donde esten definidas ρ, τ dos relaciones de equiva-lencia. La intersecci´onρ∩τ de estas dos relaciones de equivalencias es de nuevo una relaci´on de equivalencia.
Demostraci´on. Dados a, b, c ∈ A; se puede ver que ρ∩τ es reflexiva; ya que aρa y aτ a. Entonces a(ρ∩ τ)a. Es sim´etrica ya que aρb y aτ b implican respectivamente bρa y bτ a; entonces, b(ρ∩τ)a; es transitiva ya que siaρb, bρc, aτ b, bτ c; entonces por la transitividad de ρ y τ, se tiene que aρc y aτ c; de donde a(ρ∩τ)c.
Es conocido que una relaci´on de equivalencia genera una partici´on del conjunto y adem´as se puede definir un orden ≤ en el conjunto de las relaci´ones por contenencias.
A continuaci´on se dar´a un ejemplo com´unmente usado pero aqu´ı se mostrar´a de una forma general para conjuntos cualquiera sin estructura definida.
6 1 Preliminares
kerϕ={(x, x0)∈X×X|ϕ(x) = ϕ(x0)}
es reflexiva, ya queϕ(x) =ϕ(x) por lo tanto (x, x)∈kerφ. Es sim´etrica, ya que s´ıϕ(x) =ϕ(y) entonces ϕ(y) = ϕ(x) y es transitiva, ya que s´ı ϕ(x) = ϕ(y) y ϕ(y) = ϕ(z) entonces
ϕ(x) = ϕ(z). por lo tanto kerϕ es una relaci´on de equivalencia en X la cual es llamada la
equivalencia Kernel o el kernel deϕ.
Definici´on 1.1.2. Sea S un conjunto no vac´ıo con una operaci´on interna (S,·). Se dir´a que
S es semigrupo si la operaci´on interna es asociativa.
Definici´on 1.1.3. A menudo se trabajar´a con un tipo especial de semigrupos estos se
denominan los semigrupos monoides denotado por S1 son los semigrupos en los que existe 1 tal quea·1 = 1·a=a para todoa∈S1.
SiSes un semigrupo, entonces se denotaS1 =S∪{1}donde 1 es un nuevo elemento identidad siSno tiene elemento identidad o 1 es el elemento identidad enS. Normalmente, se considera una notaci´on multiplicativa; es decir, denotar´a la actuaci´on de·entre dos elementoss, t ∈S, de la siguiente manera: st=s·t.
Ejemplo 1.1.2. El conjunto N+ de los enteros positivos es un semigrupo conmutativo con
la adici´on usual de enteros. Este tambi´en es un semigrupo conmutativo con la multiplicaci´on usual de enteros.
Ejemplo 1.1.3. Sea n un entero positivo. Sea Bn el conjunto de todas las matrices de
tama˜non×n con entradas unos y ceros tal que una sea con todas sus entradas ceros y las dem´as con una ´unica entrada 1; equipada con la multiplicaci´on usual de matrices, Bn es un
semigrupo. Por ejemplo,
B2 =
1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 1 , 0 0 0 0
Este semigrupo es comunmente llamado elejemplo de Conteo universal ya que este puede ser usado al mencionar cualquier Ejemplo de Conteo segun [14]. En teor´ıa de semigrupos. Poniendo a= 0 1 0 0
y b=
0 0 1 0 se obtiene ab= 1 0 0 0
, ba=
0 0 0 1
y 0 =
0 0 0 0
.
As´ıB2 = {a, b, ab, ba,0}. Adem´as, la relaci´ones aa = bb = 0, aba = a y bab = b definen la
1.1 Nociones b´asicas 7
Ejemplo 1.1.4. El conjuntoU1 ={1,0}definido por esta tabla de multiplicaci´on, (1∗1 = 1
y 0∗1 = 0∗0 = 1∗0 = 0) es un monoide
Mas generalmente, para cada entero no negativo n, el monoideUn es definido en el conjunto
{1, a1, . . . , an} por la operaci´on aiaj =aj para cada i, j ∈ {1, . . . , n} y 1ai = ai1 = ai para
1≤i≤n.
A continuaci´on se caracterizan algunos semigrupos que tienen subestructuras o elementos particulares que ser´an ´utiles para algunas construcciones de estructuras m´as complejas.
Definici´on 1.1.4. Un subconjunto de un semigrupo que es cerrado bajo la operaci´on del semigrupo se denomina un subsemigrupo.
Definici´on 1.1.5. Un semigrupoS es llamado semigrupo cancelativo a izquierda(derecha)
si para todo a, b, c∈S, ca=cb implicaa =b y (ac=bc implicaa=b).
Definici´on 1.1.6. (Elementos especiales). Sea S un semigrupo. Se dir´a que:
e∈S es idempotente, si e2 =e.
1∈S es la identidad, si 1s=s1 =s, para todo s∈S.
0∈S es un cero, si 0s=s0 = 0, para todos ∈S.
Observaci´on 1.1.1. Claramente la existencia de identidad o cero implica su correspondiente unicidad.
Para lo que sigue, en este trabajo se emplear´a la siguiente notaci´on. Si S es un semigrupo,
E(S) ={e ∈S :e2 =e}(el conjunto de idempotentes de S).
Definici´on 1.1.7. SiX, Y ⊆S son subconjuntos deS, se define el producto de X y Y por
XY ={xy:x∈X, y ∈Y}.
Observaci´on 1.1.2. Sea e idempotente de S1, el conjunto eSe = {ese ∈ S : s ∈ S} es un
monoide cuya identidad es e ya que si x ∈ eSe existe un s ∈ S tal que x = ese y por lo tanto se tiene, ex = xe = x, y de igual forma para y ∈ eSe ey = ye = y y por lo tanto
exy = xye = xy, es decir xy ∈ eSe. El conjunto eSe es el mayor monoide en S que tiene ”e” como identidad. Se define Se ={s∈eSe :∃s0 ∈S, s0s=ss0 =e}. Se es el mayor grupo
contenido en S y que tiene e como elemento identidad.
Definici´on 1.1.8. Un morfismo de semigrupos es una aplicaci´onϕde un semigrupo S a un semigrupo cualquieraT tal que para cualquiers1, s2 ∈S, ϕ(s1s2) = ϕ(s1)ϕ(s2). Similarmente
un morf ismo de monoides es una aplicaci´on ϕ de un monoide S en un monoide T que satisface adem´as ϕ(1) = 1.
Un morfismo ϕ es monomorfismo si ϕ es inyectivo, es epimorfismo si es sobreyectivo y es isomomorfismos si es biyectivo. Para denotar si S y T son isomorfos, Se usar´a la notaci´on
8 1 Preliminares
Definici´on 1.1.9. (Definici´on Congruencias) Seaρ⊆S×S una relaci´on de equivalencia en un semigrupo S. Se dice que ρ es una congruencia a derecha(izquierda) si para a, b, u ∈ S,
aρb implicaauρbu. (para a, b, u ∈ S, aρb implicauaρub ). Se puede ver que una relaci´on es de congruencia si y s´olo si es una relaci´on estable, es decir que es de congruencia si y s´olo si sρt y uρv implica (su)ρ(tv), para s, t, u, v ∈ S. Para mostrar esto si sρt y uρv entonces
suρsvρtv.
Si ρ es una congruencia en S se define la multiplicaci´on en S/ρ por [s]ρ[t]ρ = [st]ρ para
s, t ∈ S. Entonces S/ρ se convierte en un semigrupo el cual es llamado el ”semigrupo f actor”
1.2.
Relaciones de Green
Las relaciones de Green son cinco relaciones de equivalencia que describen los elementos de un semigrupo por los ideales principales que genera. Su nombre es debido a James Alexan-der Green, quien las present´o en [6]. Las relaciones son fundamentales para entender una estructura de semigrupo tal como lo mencion´o John Howie en [8], estas relaciones son tan omnipresentes que cuando uno se encuentra con un nuevo semigrupo, casi siempre la prime-ra pregunta que se hace es ¿c´omo son sus relaciones de Green? Por supuesto, las relaciones tambi´en existen en un grupo, pero no aportan mucho ya que la multiplicaci´on siempre es invertible. En esta secci´on se usar´a terminos y notaciones de [1, 7].
Definici´on 1.2.1. Sea S un semigrupo e I ⊆S conjunto deS. Entonces:
SiIS =I, se dir´a que I es un ideal a derecha de S.
SI =I, se dir´a que I es un ideal a izquierda deS.
SiSIS =I,se dir´a que I es un ideal de S.
Definici´on 1.2.2. (Preorden de Green). Sea S un semigrupo y s, t ∈ S. Se definen los
siguientes preordenes de Green:
s≤Rt si, y s´olo si sS1 ⊆tS1
s≤Lt si, y s´olo si S1s⊆S1t
s≤J t si, y s´olo si S1sS1 ⊆S1tS1
s≤Ht si, y s´olo si s≤R t y s≤L t
Observaci´on 1.2.1. Cada relaci´on es un preorden (esref lexivaytransitivatambi´en llamado unquasiorden). Para todos los cuatro preordenes de Green a≤b se tiene en caso que a sea m´ultiplo de b. Si S tiene elemento cero y elemento identidad, entonces 0≤x≤1 para todo
1.2 Relaciones de Green 9
Definici´on 1.2.3. (Relaciones de Green). Sea S un semigrupo y s, t ∈S. Lasrelaciones de equivalencia de Green, R, L, H y J se definen por:
sRt si, y s´olo si sS1 =tS1.
tLs si, y s´olo si S1s =S1t.
sJt si, y s´olo si S1sS1 =S1tS1.
sHt si, y s´olo sisRt y sLt.
Se denotar´a por Ks a la K clase (con K=R,L,J,H) de un elemento s ∈S.
Observaci´on 1.2.2. Se puede ver que R, es una relaci´on de equivalencia. Es reflexiva ya que para a ∈S aS1 =aS1; es sim´etrica ya que parax, y ∈S xRy si y s´olo si xS1 =yS1 pero
esto se tiene si y s´olo si yS1 = xS1 por tanto yRx; es transitiva ya que para x, y, z ∈ S
con xRy y yRz se obtiene xS1 =yS1 y yS1 =zS1, por lo tanto xS1 =zS1. An´alogamente se puede ver que L es una relaci´on de equivalencia. Se puede ver que H es una relaci´on de equivalencia por lo visto en la observaci´on 1.1.1. Para ver que J es una relaci´on de equivalencia se procede de la siguiente manera. Se puede ver que es reflexiva ya que para
x ∈ S, S1xS1 = S1xS1 por lo tanto xJx; es sim´etrica ya que dados a, b ∈ S aJb si y
s´olo si S1aS1 =S1bS1, pero esto se tiene si y s´olo si S1bS1 = S1aS1. Por lo tanto, bJa; es transitiva ya que para a, b, c∈S aJb y bJc si y s´olo si S1aS1 =S1bS1 y S1bS1 =S1cS1; esto se tiene si s´olo siS1aS1 =S1cS1. Por lo tantoaJc.
Proposici´on 1.2.1. Sea S un semigrupo.
(1) Si e es un idempotente de S entonces s ≤R e si y s´olo si es =s y s ≤L e si y s´olo si
se =s.
(2) Si s≤Rsxy, entonces sRsxRsxy. Si s ≤Lyxs, entonces sLxsLyxs.
Demostraci´on. Se mostrar´a la prueba de solamente la primera parte de cada apartado, ya que la otra parte es dual.
(1) Si s≤Re, entonces s=eu para alg´unu∈S1. Esto se sigue que es=e(eu) = (ee)u=
eu=s. Inversamente, sies =s, entonces s≤R e por definici´on 1.2.2.
(2) Si s≤Rsxy, entoncess ≤Rsx≤R sxy≤R s, de donde sRsxRsxy.
La primera parte de la proposici´on 1.2.1 se puede extender al preorden ≤H.
Corolario 1.2.1. Sean S un semigrupo y s∈S y e un idempotente de S. Entonces s≤H e
10 1 Preliminares
Observaci´on 1.2.3. La restricci´on del preorden ≤H a E(S) es un orden, llamado el orden
natural y ser´a denotado por≤.
Corolario 1.2.2. DadoS un semigrupo y e, f idempotentes deS.Las siguientes condiciones son equivalentes:
(1) e≤f,
(2) ef =e=f e,
(3) f ef =e,
Demostraci´on. (1) =⇒ (2). Si e ≤f entonces usando el corolario 1.2.1 se obtiene ef =e =
f e. (2) =⇒ (3). Si ef =e =f e entonces f ef =f f e = f e=e. (3) =⇒ (1) Se usa el hecho quee es m´ultiplo de f y por lo visto en la observaci´on 1.2.1. se llega a que e≤f.
Observaci´on 1.2.4. De lo anterior se puede concluir que dado un semigrupo S si existe dos idempotentes eHf se puede ver que e ≤H f y e ≥H f entonces e = f e =ef = f. De este
modo cada H −clase tiene un ´unico idempotente.
Ejemplo 1.2.1. SeaSun semigrupo generado por 4 idempotentes,e, f, g, h,como se muestra a continuaci´on. Cuando todos lo elementos de un semigrupos son idempotentes al semigrupo se le suele llamar unabanda. Note que lasL-clases son las siguientes (corresponden a aquellas
e f g h
e e e g g
f f f h h
g e e g g
h f f h h
columnas con los mismos elementos):
[e] ={e, f} [g] ={g, h}
Por otro lado, las R−clases son las siguientes (corresponden a aquellas filas que tienen los mismos elementos):
[e] ={e, g} [f] ={f, h}
As´ı, las H−clases, que son la intersecci´on de las anteriores es:
[e] ={e} [f] ={f} [g] ={g} [h] ={h}
1.2 Relaciones de Green 11
S1xS1 =S, ∀x∈S.
As´ı, se ve que en general cada relaci´on de equivalencia es diferente.
Proposici´on 1.2.2. En un semigrupo S, las relaciones ≤R i ≤L conmmutan.
Consecuen-temente lo hacen RiL.
Demostraci´on. Sea x, y ∈S tales quex(≤R ◦ ≤L)y.
Sup´ongase quex≤Rz y z ≤L y, entonces,
x=zv, z=uy⇒x=uyv ≤Lyv ≤R y.
por tanto, x(≤R◦ ≤L)y.
As´ı, se tiene que (≤R◦ ≤L) ⊆ (≤L ◦ ≤R) y an´alogamente se tiene para la otra inclusi´on.
por tanto, ≤L i≤R conmutan.
Observaci´on 1.2.5. Para ver queR y Lconmutan es decir s(R ◦ L)t=s(L ◦ R)t; se procede de la siguiente manera: Dados a, b ∈ S tales que aR ◦ Lb entonces por la definici´on de composici´on de relaciones existe un c ∈ S tal que aRc y cLb entonces como R,L son relaciones de equivalencias, ambas son reflexivas y por lo tanto, c = a o c = b, de donde
aLaRb y as´ıR ◦ L ⊆ L ◦ R. La otra contenencia se puede mostrar de manera an´aloga.
Definici´on 1.2.4. Sea S un semigrupo. Se dice que s, t ∈ S estan D −relacionados si
s(R ◦ L)t=s(L ◦ R)t
Observaci´on 1.2.6. DefiniendoDcomo anteriormente. Entonces Des reflexiva, sim´etrica (ya que L y R conmutan).
Corolario 1.2.3. Dadas las relaciones de Green en un semigrupo S
H =R ∩ L ⊆ L,R ⊆ D ⊆ J
Demostraci´on. Para probar que H ⊂ D, se puede ver que si xHy entonces xRy y xLy. De donde
xLxRy
y de igual forma,
xRyLy,
por lo tanto xDy.
Para ver que D ∈ J, sisLzRt; entonces:
s=uz, z =tv ⇒s=utv
y an´alogamente, t=u0sv0,por tanto, S1sS1 =S1tS1.
12 1 Preliminares
Debido a que no hay un preorden en D, S/D no es un conjunto parcialmente ordenado. En particular, cada D−clase es una uni´on de L−clases, y una uni´on de R−clases. Adem´as, la definici´on deDmuestra que unaL−clase y unaR−clase se intersectan si y s´olo si ellas estan contenidas en alg´una D−clase. Esta relaci´on entre L,R, y D puede ser visualizada por la
imagen caja de huevos de una D−clase
· · · · · · ..
. ... ... . ..
En el que la caja de im´agenes de una D−clase D, las filas de la imagen son las R−clases contenidas en D, las columnas de la imagen son las L−clases contenidas en D, y las celdas de la imagen son lasH−clases contenidas en D. Esta representaci´on se puede generalizar a J −clases como se ve en la figura 1-1.
Figura 1-1: Representaci´on de las relaciones de Green
Ejemplo 1.2.2. En general, siS no es finito, no se tiene la igualdad de la Observaci´on 1.2.7 ya que por ejemplo al considerar el semigrupo infinito:
S = a 0
b 1
:a, b∈Q+
con la multiplicaci´on usual de matrices se puede ver que en primer lugar, las R,L−clases se reducen a un ´unico elemento. En efecto sea:
A=
a 0
b 1
, C =
c 0
d 1
1.2 Relaciones de Green 13 p 0 q 1 ,
de manera que:
p 0 q 1 a 0 b 1 = pa 0
qa+b 1
= c 0 d 1 .
Entonces, se infiere que p=ca−1 y q = (d−b)a−1; con lo que queda, d > b.
As´ı, se concluye que si C ≤L A, se ha de cumplir que d > b y an´alogamente, si A ≤L C,
se tiene como condici´on que b > d, con lo que no es posible tener estos dos requisitos; por tanto, no pueden estar L −relacionados A y C. Con un razonamiento similar, se concluye que A y C no estan R −relacionados y por tanto, se concluye lo siguiente:
∀A∈S, [A]R = [A]L ={A}
As´ı, la matriz que se obtiene para H=R ∩ L y para D=R ◦ L es [A]H = [A]D ={A}.
No obstante, se puede ver que s´olo tiene unaJ −clase igual a todo S; es decir,
∀A∈S, S1AS1.
Sean: A= a 0 b 1
, C =
c 0
d 1
.
Entonces, se puede escribir:
a 0 b 1 = l 0 1 1 c 0 d 1 r 0 s 1 = lrc 0
r(c+d) +s 1
.
EnS es tal queb−s >0 ya que sir= (b−s)(c+d)−1,r debe pertenecer a Q+por la forma en como est´a definido S. Adem´as, c, d∈ Q+ por tanto, (c+d) ∈
Q+. Si l = a(cr)−1 se v´e efectivamente que todos los elementos de S estan J −relacionados. As´ı, se ha mostrado un ejemplo de un semigrupo S no finito, en donde D y J no coinciden.
A continuaci´on se mostrar´a que la multiplicaci´on por un elemento adecuado induce a una biyecci´on entreR,L,y H−clases. Esta es la principal propiedad de las relaciones de Green.
Lema 1.2.1. (Lema de Green) Sea S un semigrupo. Entonces:
1 Si sLt y u, v ∈S1 tal que us=t, vt=s existen las aplicaciones
ϕ:Rs−→ Rt, ψ :Rt−→ Rs
14 1 Preliminares
2 Si sRt y u, v ∈S1 tal que su=t, tv =s. Existen las aplicaciones
ϕ:Ls−→ Lt ψ :Lt−→ Ls
definidas por ϕ(x) = xu y ψ(y) = yv, que son biyecciones una inversa de la otra. adem´as, si x, x0 ∈Ls y xHx0 se puede obtener ϕ(x)Hϕ(x0).
3 Si sLrRt y u, v, w, z ∈ S1son tales que us = r, vr = s, rw = t y tz = r, existen las aplicaciones
ϕ:Hs −→ Ht ψ :Ht −→ Hs
definida por ϕ(x) =uxw y ψ(y) =vyz, que son biyecciones una inversa de la otra.
Demostraci´on. Se probar´a s´olo 1, ya que 2 es dual y 3 se sigue directamente de 1 y 2. Sea
x∈Rs. Claramente, se tiene que uxS =usS (ya que ambos x y s pertenecen a una misma
R −clase que a la vez es una relaci´on de congruencia) es decir, uxRus = t; por tanto,
ϕ(x) = ux ∈ Rt esta bien definida. Similarmente, ψ esta bien definida. Para este caso, se
puede ver que ψ ◦ ϕ = 1Rs, ya que si x ∈ Rs entonces x = sz para alg´un z ∈ S
1; as´ı
(ψ◦ϕ)(x) =ψ(ux) = vux=vusz =vtz =sz =x.Para el otro caso, an´alogamente se puede tener queϕ◦ψ = 1Rt, quedando probada la parte de las biyecciones. Ahora, sup´ongase que
x, x0 ∈ Rs y xHx0. Entonces, existen z, z0 ∈ S1 tales que zx = x0 y z0x0 = x (ya que en
particular, estan L −relacionados ). De donde se obtiene
(uzv)ux=uz(ψ◦ϕ)(x) = uzx=ux0 Igualmente (uz0v)ux0 =uz0(ψ◦ϕ)(x0) = uz0x0 =ux.
por lo tanto
ϕ(x) =uxLux0 =ϕ(x0)
Pero, por definici´on ϕ(x), ϕ(x0)∈ Rt; as´ı se llega a queϕ(x)Hϕ(x0),como se quer´ıa probar.
Lema 1.2.2. Para una H-clase H de un semigrupo S las siguientes afirmaciones son
equi-valentes:
(1) ab∈H para algunos a, b∈H;
(2) H contiene un idempotente;
(3) H es un subsemigrupo de S;
1.3 Semigrupos Inversos 15
Demostraci´on. Ya que (4) ⇒ (3) ⇒ (1) y (4) ⇒ (2) ⇒ (1) s´olo es necesario mostrar que (1) implica (4). As´umase que a, b ∈ H, ab ∈ H. Entonces abLb y por el Lema de Green implica quex7−→ax es una biyecci´on de Hb =H sobreHab=H.Por lo tantoaH =H una
biyecci´on entre dos conjuntos crea una equivalencia. Para cualquier c ∈ H se tiene ahora
acRc, y dualmente por el Lema de Green implica quex7−→xces una biyecci´on deHa=H
sobre Hac = H. Por lo tanto Hc = H para todo c ∈ H y adem´as se puede ver que H es
un subsemigrupo de S. Para mostrar esto si x 7−→ xc y x 7−→ cx son permutaciones de H
para cualquier c ∈ H. Esto implica f´acilmente que H es un grupo. Primero a = ea as´ı que
ee =e. Para todo x ∈ H; se puede ver que ex =xe =x. Ya que x 7−→ xc y y 7−→ cy son permutaciones de H para cualquier c∈ H tiene una inversa a izquierda xc= e e inversa a derecha cy=e.Entoncesx=xe=xcy =ey =y y cualquierc∈H tiene una misma inversa de dos lados.
Observaci´on 1.2.8. Sea e ∈ S, se puede notar que teniendo definitivamente Se como el
subgrupo maximal deS que tiene a e como elemento identidad se llega a que por definici´on de H−clase es claro que Se ⊆He ya que si s ∈ Se, se = es = s y adem´as existe s0 tal que
ss0 = s0s =e, entonces He =Se; es decir la H−clase del idempotente e, He, es el subgrupo
maximal de S que tiene a e como identidad.
1.3.
Semigrupos Inversos
Si por ejemplo a pertenece a un subgrupo G de S, entonces su elemento inverso b = a−1
en G satisface aba = a y bab = a y es un (semigrupo) inverso de a ∈ S. El concepto general de inversos fue introducido independientemente en [17, 15]. Ambos autores llegaron a los semigrupos inversos mediante el estudio de transformaciones parciales uno a uno de un conjunto. Una transformaci´on parcial α de un conjunto X es una funci´on de A a B, donde
A y B son subconjuntos de X. α y β pueden ser compuestos (de izquierda a derecha) en el dominio m´as grande sobre el cual tiene sentido componerlos:
dom αβ = [ im α ∩ dom β ]α−1
Donde α−1 denota la preimagen bajo α. Las transformaciones parciales ya hab´ıan sido
es-tudiadas en el contexto de pseudogrupos. Sin embargo, Wagner fue el primero que observ´o que la composici´on de las transformaciones parciales es un caso especial de la composici´on de las relaciones binarias. Reconoci´o tambi´en que el dominio de la composici´on de dos trans-formaciones parciales puede ser el conjunto vac´ıo, por lo que introdujo una transformaci´on vac´ıa para tener en cuenta esto. Con la adici´on de esta transformaci´on vac´ıa, la composi-ci´on de las transformaciones parciales de un conjunto se convierte en una operaci´on binaria asociativa definida en todas partes. Bajo esta composici´on, la recopilaci´on IX de todas las
16 1 Preliminares
inverso sim´etrico. Su relaci´on con las relaciones de Green fue explorada en [12] obteniendo los principales resultados en esta secci´on.
Definici´on 1.3.1. Dos elementos s, s0 de un semigrupo son inversos si ss0s =s y s0ss0 =s0. El conjunto de todos los inversos des ∈S ser´a denotado porV(s).
Definici´on 1.3.2. Un semigrupo S es llamado inverso si cada elemento x∈ S tiene preci-samente un ´unico inverso y∈S.
Ejemplo 1.3.1. Para cualquier conjunto X, sea IX el conjunto de todas las biyecciones
parciales enX, es decir biyecciones entre subconjuntos deX bajo la composici´on de funciones parciales forma un monoide inverso. Para mostrar esto primero se puede ver que es un semigrupo ya que sif, g∈ IX entonces se puede ver quef g sigue siendo una funci´on parcial
uno ya que sin importar si su imagen es vac´ıa se puede considerar la funci´on vac´ıa y tambi´en se puede ver que la composici´on parcial de funciones uno a uno es una funci´on uno a uno. Para ver esto sif(x) =f(y) implicax=yyg(s) = g(t) implicas=t parax, y, s, t ∈X. Entonces
f(g(s)) =f(g(t)) implica g(s) =g(t) y esto implica s =t. Para ver que es asociativo, dado
h∈ IX
(f(gh))(x) = f((gh)(x)) =f(g(h(x))) = (f g)(h(x)) = ((f g)h)(x).
Si se considera la funci´on identidad 1X como elemento unidad, se puede ver que IX es un
monoide. Para ver que es inverso se mostrar´a que f = f gf y g =gf g si y s´olo si g = f−1.
Primero sup´ongase que f = f gf y g =gf g. Sea y ∈dom(g) y poniendo x =g(y) entonces
x= (gf g)(y) as´ı que x =g(f(x)) pero g es una biyecci´on parcial, de este modo, y =f(x). Por lo tanto x = f−1(y), lo cual resulta g ⊆ f−1. Ahora sea y ∈ dom(f−1) y poniendo
x = f−1(y), se tiene que f(x) = y. Entonces (f gf)(x) = y as´ı que f(g(y)) = y. Pero f es
una biyecci´on parcial entonces g(y) = x, de lo cual se obtiene f−1 ⊆ g. Consecuentemente
se ha mostrado que f−1 =g. La inversa es trivial.
Definici´on 1.3.3. Es com´un el denotar en un semigrupo inversoS, el inverso de a∈S por
a0.
Proposici´on 1.3.1. En un semigrupo inverso S, todo los idempotentes conmutan.
Demostraci´on. Dados e, f ∈ S idempotentes. Si x = (ef)0 el inverso de ef. Considere el elementof xe; este es idempotente ya que
(f xe)2 =f(xef x)e=f xe.
1.3 Semigrupos Inversos 17
f xe(ef)f xe= (f xe)2 =f xe y ef(f xe)ef = (ef)x(ef) = ef.
Se mostrar´a que ef = f e. Por lo mostrado arriba f(ef)0e es un idempotente inverso de
ef as´ı que (ef)0 = f(ef)0e por unicidad de inverso. De esto se llega a que (ef)0 es un idempotente. Cualquier idempotente es auto invertible y por otro lado (ef)0 es inverso de
ef por lo tanto (ef)0 = ef de la unicidad de inversos. De donde ef es un idempotente. Se ha mostrado que el conjunto de los idempotentes es cerrado bajo la multiplicaci´on. De esto se sigue que f e es tambi´en un idempotente. Pero (ef)f e(ef) = ef f eef = (ef)(ef) = ef y (f e)ef(f e) = f eef f e = (f e)(f e) = f e ya que ef y f e son idempotentes. As´ıef y f e son inversos de ef. De donde ef =f e.
Proposici´on 1.3.2. Sea S un semigrupo inverso; si a, b ∈ S son tales que a0, b0 ∈ S son inversos de a y b respectivamente. Entonces (ab)0 =b0a0.
Demostraci´on. Sea a = aa0a; a0 = a0aa0; b = bb0b b0 = b0bb0. Por lo tanto, a0a, aa0, bb0, b0b
son idempotentes y de la proposici´on anterior, estos conmutan; as´ı
(ab)(b0a0)(ab) = a(bb0)(a0a)b
=a(a0a)(bb0)b
=ab.
y tambi´en
(b0a0)(ab)(b0a0) =b0(a0a)(bb0)a0
=b0(bb0)(a0a)a0
= (b0bb0)(a0aa0) =b0a0.
De esta manera b0a0 es un inverso deab y por la unicidad del inverso (ab)0 =b0a0.
Si x es un elemento de un semigrupo este podr´ıa tener varios inversos como se puede ver a continuaci´on.
Ejemplo 1.3.2. 2 (El semigrupo de transformaci´on T3) El semigrupo de transformaci´on
T3, consiste de las seis permutaciones representadas en la figura 1-2 junto con las 21 no
invertibles aplicaciones de la Figura 1-3. (Las aplicaciones est´an dispuestas en un diagrama de caja de huevo; en la misma fila o columna de una caja tienen el mismo dominio o imagen respectivamente). Sea
x= (1 2 3
1 1 1), y = (1 2 32 2 2), z = (1 2 33 3 3).
xyx= (1 2 3
1 1 1) (1 2 32 2 2) (1 2 31 1 1) = (1 2 31 1 1) =x,
yxy= (1 2 3
2 2 2) (1 2 31 1 1) (1 2 32 2 2) = (1 2 32 2 2) =y.
xzx= (1 2 3
1 1 1) (1 2 33 3 3) (1 2 31 1 1) = (1 2 31 1 1) =x,
zxz = (1 2 3
18 1 Preliminares
Figura 1-2: Los elementos de S3.
Figura 1-3: Los elementos restantes de T3.
As´ıxtiene al menos dos inversos y y z.
Seg´un [7] en un semigrupo, el n´umero y la localizaci´on de los inversos de aest´a determinada por la localizaci´on de los idempotentes en laD −clasede a.
Proposici´on 1.3.3. Hb contiene un inverso de a, s´ı y s´olo si Hb ⊆Da y Ra∩ Lb, Rb∩ La ambos contienen idempotentes. Entonces Hb contiene exactamente un inverso de a.
Demostraci´on. Si b ∈ V(a), entonces aba = a, bab = b se puede ver de inmediato que
ab∈ Ra∩ Lb yba∈ Rb∩ La,en particularb ∈Da ya queb =babRbaLa. Tambi´enabab=ab
y baba=ba,as´ı que ab y ba son idempotentes.
Sic∈ Hb es otro inverso de a, entonces de igual forma c∈Da de donde Hc ⊆Da; tambi´en
acy ca son idempotentes,ac∈ Ra∩ Lc=Ra∩ Lb,y ca∈ Rc∩ La=Rb∩ La. Por lo tanto
ac =ab y ca = ba, ya que, por la observaci´on 1.2.4 una H −clase no puede contener mas que un idempotente.
Inversamente as´umase que Hb ⊆Da y que existen idempotentese ∈ Ra∩ Lb y f ∈ Rb∩ La.
1.3 Semigrupos Inversos 19
a e
f b
De f ∈ La se obtiene f =ra y a = xf para alg´un r, x ∈ S1, as´ı que a = xf =xf f = af;
similarmente para e ∈ Ra e = as y a = ea, para alg´un s ∈ S1. Por el Lema de Green,
¯
a:Rb −→ Ra; x7−→ax y ¯r :Ra−→ Rb, y 7−→ry son mutuamente inversas, preservando
biyecciones enL−clases; dualmente, ˆa:Lb −→ La, x7−→xay ˆs :La−→ Lb, y 7−→ysson
mutuamente inversas que preservan biyecci´on enR−clases.Seac=f s=ras=re. Entonces
c∈ Rf ∩ Lc =Rb∩ La. Tambi´enac=are= ¯are¯ =e, ca=f sa=fˆsˆa=f, aca =ea =a, y
cac =f c=f f s=f s=c, as´ı que c∈V(a).
Se puede deducir f´acilmente de lo anterior que Hb y el subgrupo maximal contenido en la
misma D −clase son isomorfos.
Un elementoadeSesregular(von Neuman regular) si satisface las condiciones equivalentes de abajo.
Lema 1.3.1. Para un elemento a de un semigrupo S lo siguiente es equivalente:
(1) a tiene un inverso.
(2) axa =a para alg´un x∈S.
(3) Ra contiene un idempotente.
(4) La contiene un idempotente.
Demostraci´on. Si axa =a, entonces axaxa =axa =a, xaxaxax= xax, y xax ∈ V(a). As´ı (2) implica (1). Por la proposci´on 1.3.3 (1) implica (3) y (4). SiRa contiene un idempotente
e, entonces e = au, a = ev para alg´un u, v ∈ S1; por otro lado a = ea, y x =ue satisfacen
axa =auea=eea =a, as´ı (3) implica (2). Dualmente (4) implica (2).
A continuaci´on se mostrar´a que en un semigrupo, el n´umero y la localizaci´on de inversos de
a viene determinada por la localizaci´on de los idempotentes en la D−clase dea
Corolario 1.3.1. Si una D−clase D contiene un elemento regular, entonces cualquier
ele-mento de D es regular y cualquier L−clase ( R-clase) contenida en D contiene un idempo-tente.
Demostraci´on. Sea a ∈ D regular. Por la proposici´on 1.3.3 Ra contiene un idempotente; si
se toma un elemento b ∈ Ra se puede ver que b = au y a = bv para u, v ∈ S1, entonces
como a es regular a= axa para x∈ S1 as´ıbvxb= axb=axau =au =b de modo que b es
regular y as´ı cualquier elemento de Ra es regular. De igual manera de puede demostrar que
20 1 Preliminares
rRtLa para alg´un t ∈ S1; usando lo que se ha mostrado se puede llegar a que t es regular
y de esto se obtiene inmediatamente que r es regular, entonces cualquier elemento de D es regular. Para ver que cualquierR−clasedeDcontiene un idempotente se toma un elemento
s ∈ D, este por supuesto debe ser regular s = srs para alg´un r ∈ S1 entonces srsr =sr y adem´as srRs (ya que (sr)s= s y sr =s(rsr), por lo tanto tanto Rs tiene un idempotente
para cualquier s ∈ S1. An´alogamente se puede mostrar que L
s tiene un idempotente para
cualquiers ∈S1.
Observaci´on 1.3.1. El conjunto de los elementos regulares de un semigrupo es denotado por
Reg(S). Ya que un idempotentes es su propio inverso,E(S) es un subconjunto de Reg(S).
1.4.
Matrices de Rees
Los semigrupos de matriz Rees son una clase especial de semigrupo introducida por David Rees en [16]. Son de fundamental importancia en la teor´ıa semigrupos porque se utilizan para clasificar ciertas clases de semigrupos simples.
Definici´on 1.4.1. Sean A, B dos conjuntos finitos no vac´ıos y sea G◦ un grupo con cero. Una matriz de Rees C, es una aplicaci´on
C :B×A−→G◦.
dondeG◦ denota el grupo con cero 0 a partir del grupo G
Se denotar´a por C(b, a) el valor de C en (b, a)∈B×A.
Definici´on 1.4.2. Se dice que una matriz de Rees es regular si no tiene cada fila o columna nula. Es decir para cadaa0, b0 existen b, arespectivamente tales que C(b, a0)6= 0 6=C(b0, a)
Observaci´on 1.4.1. Sea g ∈G, a0 ∈A y b0 ∈ B, se denotar´a ga0b0 la matriz de Rees tal que
ga0b0(b, a) = 0 si (b, a)6= (b0, a0) y ga0b0(b0, a0) = g.
Definici´on 1.4.3. SeaGun grupo y seaC :B×A−→G◦ una matriz de Rees. Se denomina un semigrupo asociado a una matriz de Rees C sobre un grupo Gal conjunto:
M◦(G, A, B, C) ={g
a0b0 :g ∈G ◦, a
0 ∈A, b0 ∈B}.
Este semigrupo opera bajo una multiplicaci´on de la siguiente forma.
ga0b0g 0
a00b00 = (gC(b0, a 0 0)g
0) a0b00
1.4 Matrices de Rees 21
(ga0b0g 0 a0
0b00)g
00 a00
0b000 = (gC(b0, a
0 0)g
0
)a0b00g 00 a00
0b000
= ((gC(b0, a00)g 0
)C(b0, a00)g 00
)a0b000
= (gC(b0, a00)(g 0
C(b0, a00)g 00
))a0b000
=ga0b0(g 0
C(b0, a00)g 00
)a0
0b000
=ga0b0(g 0 a0
0b00g
00 a00
0b000)
por tanto, se tiene la igualdad y se conserva la propiedad asociativa en G◦
Por otro lado, se puede ver que los idempotentes no nulos de M◦(G, A, B, C) tienen una
forma muy caracter´ıstica, ya que si gab es un idempotente no nulo entonces:
gabgab =gab⇐⇒(gC(b, a)g)ab =gab ⇐⇒g = (C(b, a))−1
y si gab 6= 0, es idempotente no nulo, entonces C(b, a)6= 0. por tanto, los idempotentes, no
nulos vienen determinados por aquello (b, a) tales que C(b, a)6= 0. es decir E(M◦) = {g ab ∈
S :C(b, a)6= 0}
Ejemplo 1.4.1. (Semigrupos 0-bandas Rectangulares) SeaA={1, . . . , m},B ={1, . . . , n},
C = gab una matriz regular B ×A sobre {0,1}, S = (B × A)∪ {0} un semigrupo con
multiplicaci´on
(b, a)(b0, a0) =
(
(b, a0) sigab0 = 1
0 e.o.c , (b, a)0 = 0(b, a) = 0.
De este modo se puede ver que S = M◦(G◦, A, B, C). Un caso particular de este ejemplo
es al tomar P = (0 1
22 1 Preliminares
elementos
(1,1)(1,1) = 0 ya que g11= 0
(1,1)(1,2) = 0 ya que g11= 0
(1,1)(2,1) = (1,1) ya que g12 = 1
(1,1)(2,2) = (1,2) ya que g12 = 1
(1,2)(1,1) = (1,1) ya que g21 = 1
(1,2)(1,2) = (1,2) ya que g21 = 1
(1,2)(2,1) = 0 ya que g22= 0
(1,2)(2,2) = 0 ya que g22= 0
(2,1)(1,1) = 0 ya que g11= 0
(2,1)(1,2) = 0 ya que g11= 0
(2,1)(2,1) = (2,1) ya que g12 = 1
(2,1)(2,2) = (2,2) ya que g12 = 1
(2,2)(1,1) = (2,1) ya que g21 = 1
(2,2)(1,2) = (2,2) ya que g21 = 1
(2,2)(2,1) = (2,1) ya que g21 = 1
(2,2)(2,2) = 0 ya que g22= 0
CAP´ITULO 2
Los PLARI- semigrupos
En este cap´ıtulo se dar´a a conocer una teor´ıa sobre la cual se desenvuelven los semigrupos mediante los ”s-sistemas”. Este concepto es an´alogo a lo que son las acciones en los grupos y los m´odulos en los anillos. Se mostrar´an sus morfismos y el producto tensorial definido en este tipo de conjunto. Esto es necesario ya que m´as adelante se utilizar´an en las extensiones de las relaciones de Green y tambi´en en la construcci´on de las matrices de Rees en bloque, las cuales ser´an fundamentales para el teorema de la estructura de los PLARI-semigrupos. Se usar´a la terminolog´ıa y se tomar´an definiciones de [3, 4, 5, 8, 9, 10, 18].
2.1.
S-sistemas
Definici´on 2.1.1. SiM es un conjunto y S1 es un semigrupo con identidad 1, se dice que
M es un S−sistema a derechasi existe una aplicaci´on Ψ : M×S1 −→M con la propiedad
((x, s)Ψ, t)Ψ = (x, st)Ψ y (x,1)Ψ =x (x∈M, s, t∈S).
Igualmente, M es un S −sistema a izquierda si existe una aplicaci´on producto Φ : S1 ×
M −→M tal que
(t,(s, x)Φ)Φ = (ts, x)Φ y (1, x)Φ =x (x∈M, s, t∈S).
En aras de la brevedad, se va a escribir xs en lugar de (x, s)Ψ y sx en lugar de (s, x)Φ. De esto se puede ver que los S −sistemas son representaciones de monoides por funciones de conjuntos.
Definici´on 2.1.2. Si S1 y T1 son semigrupos con identidad se dice que M es un (S, T)−
bisistema si es un S − sistema a derecha, un T − sistema a izquierda y si, para todo
s ∈S, t∈T y x∈M,
24 2 Los PLARI- semigrupos
Estas definiciones son por supuesto de cerca el an´alogo a las definiciones de los m´odulos a derecha,(izquierda) y los m´odulos bim´odulos. En [2] (cap´ıtulo 11) se usa el t´ermino “operando
” en lugar de sistemay en [10] se usa el termino “S−acto.envez de S−sistema.
Ejemplo 2.1.1. Si se toma cualquier monoide S1. SeaK un ideal a derecha de S siks∈K
para cualquier k∈K y s, t∈S1 se puede usar la asociatividad enS y ver que (ks)t =k(st)
de esta manera se concluye queK es un S−sistemaa derecha. En particularsS1 yS1s son
S−sistemasa izquierda y a derecha respectivamente y sSs es un (S, S)−bisistema. si R
es un submonoide de S entonces RSR es un (R, R)−bisistema
Ejemplo 2.1.2. SeaX un (S, U)−bisistema, Y un (U, T)−bisistema. Entonces si se define la operaci´on producto enX×Y comos(x, y) = (sx, y) paras∈S1,(x, y)∈X×Y) y (x, y)t = (x, yt) tal que (s1s2)(x, y) = s1(s2x, y),1S(x, y) = (x, y), (x, y)(t1t2) = (x, yt1)t2, (x, y)1T =
(x, y), para todo s, s1, s2 ∈ S1 y t, t1, t2 ∈ T, de este modo se puede ver que X ×Y tiene
estructura de un (S, T)−bisistema.
Definici´on 2.1.3. Dado M un S-sistema a derecha (izquierda) y ρ una relaci´on de
con-gruencia en M. Se define la multiplicaci´on por un elemento de S1 en el cociente M/ρ =
{[a]ρ:a∈A} por
[a]ρs = [as]ρ
Tal que [a]ρ(s1s2) = [as1]ρs2 y [a]ρ1 = [a]ρ. De esta manera M/ρ se convierte en un S−
sistemaa derecha(izquierda). Llamado S−sistemacociente a derecha(izquieda) de M por la congruencia ρ.
Definici´on 2.1.4. Si P y Q son S −sistemas a derecha, Una funci´on f : P −→ Q es un
S−homomorf ismo a derecha deS−sistemas si para cualquier x∈P y cualquiers ∈S1
f(xs) = f(x)s.
Una similar definici´on de S−homomorf ismos es aplicada a los S−sistemas a izquierda
y a los (S, T)−sistemas como (S,T)-homomorfismos.
Lema 2.1.1. (1) La composici´on f g de S − homomorf ismos de S −sistemas a
dere-cha(izquierda)f :M →N, g :N →Res unS−homomorf ismoa derecha(izquierda).
(2) La funci´on inversa de un S − homomorf ismo a derecha(izquierda) biyectivo es un
S−homorf ismo a derecha(izquierda).
Demostraci´on. (1) Seah=f g, x∈M, s∈S1 entonces
2.1 S-sistemas 25
(2) Sea f : M → N un homomorfimo biyectivo de S−sistemas. Si para cualquier y ∈
N, s∈S1
f(f−1(ys)) =ys=f(f−1(y))s=f(f−1(y)s)
y como f es inyectiva se obtiene que f−1(ys) = f−1(y)s de donde f−1 es un S −
homomorf ismo a derecha.
Teorema 2.1.1. (Teorema de S−Homomorf ismos de S-sistemas a derecha(izquierda)).
SeanM, N S−sistemasa derecha,f :M →N unS−homomorf ismo a derecha yρ=kerf. Entonces f0 :M/ρ→N donde f0([x]ρ) = f(x), x∈M, es un S−homomorf ismo a derecha tal que el siguiente diagrama
M f //
πρ
N
M/ρ
f0
==
es conmutativo sif es sobreyectivo, es decirf0πρ=f,dondeπρdenota la proyecci´on can´onica
f bajo ρ.
Demostraci´on. Se define f0 : M/ρ → N por f0([x]ρ) = f(x) para todo x ∈ M. Sup´ongase
[x]ρ= [x0]ρ para x, x0 ∈M. Entonces (x, x0)∈ρ y as´ıf(x) =f(x0). por lo tanto,, f0([x]ρ) =
f(x) =f(x0) =f([x0]ρ) as´ıf0 esta bien definida.
Para ver que f0 es un S −homomorf ismo a derecha se procede usando la definici´on del producto de S−sistemacociente a derecha de la siguiente manera
f0([x]ρs) = f0([xs]ρ)
=f(xs) =f(x)s
=f0([x]ρ)s.
Para ver que f0 es inyectiva sup´ongase quef0([x]ρ) =f0([x0]ρ).Entoncesf(x) = f(x0), por lo
tanto, (x, x0)∈ kerf. De donde [x]ρ = [x0]ρ, as´ıf0 es inyectiva. La sobreyectividad se puede
obtener trivialmente; si f es sobreyectiva entonces para todo x ∈ M existe un y ∈ N tal que f(x) = y, pero f(x) = f0([x]ρ) = y. Por lo tanto, tambien se cumple que para todo
w= [x]ρ∈As/ρexiste un y∈N tal que f0(w) =y. As´ı, f0 es sobreyectivo.
Definici´on 2.1.5. Si X, Y son (S, T)−sistemas entonces, f : X −→ Y es un (S, T)−
26 2 Los PLARI- semigrupos
Definici´on 2.1.6. Si X es un (S, U)−sistema, Y un (U, T)−sistemay Z es un (S, T)−
sistemaentonces,β :X×Y −→Z es unU−bihomomorf ismosi es un (S, T)−homorf ismo
y adem´asβ(xu, y) = β(x, uy) para x∈X, y ∈Y, u∈U.
An´alogamente se puede cumplir el teorema 2.1.1 para (S, T)−homomorf ismos e incluso para U −bihomorf simos
La menor relaci´on de equivalencia en cualquier conjunto Z es la que contiene todos los pares (z, z) para z ∈Z. Tiene que ser aquella que es reflexivas y cualquier otra relaci´on de equivalencia debe contenerla. La relaci´on de equivalencia m´as grande es el conjunto de todos los pares (z1, z2)∈Z2. Un ejemplo de dicha relaci´on usado para definir el producto tensorial
enS−sistemas descrito en [9].
Para definir el producto tensorial de M y N (S, S)−sistemas, se parte de lo enunciado en el teorema 2.1.1 pero en este caso para S−bihomomorf ismos.
Definici´on 2.1.7. DadosM, N (S, S)−bisistemas tal queM×N es un (S, S)−bisistema. Sea ρ la menor relaci´on de equivalencia en M ×N que identifica todas las parejas
((xs, y),(x, sy))∈(M ×N)2, x∈M, s∈S1, y ∈N.
Siπρ:M×N −→(M×N)/ρ yf :M×N −→(M×N)2 son dosS−bihomomorf ismoscon
ρ=kerfdondef es sobreyectivo. Entonces por el teorema 2.1.1 existe unS−bihomomorf ismo
biyectivo f0 tal que el siguiente diagrama
M ×N f //
πρ
(M ×N)2
(M ×N)/ρ
f0
88
es conmutativo es decirf =f0πρ y dondeπρdenota la proyecci´on canonica. De esta manera
se puede definir en producto tensorialx⊗Sy=f(x, y) y por serf unS−bihomorf ismo se
puede ver que
xs⊗y=x⊗sy Para x∈M, y ∈N, s∈S
Parax∈M, y ∈N, s∈S
Con M y N como se describen, el tensor producto M ⊗SN es simplemente un conjunto. Si
M y N tienen estructura extra, el tensor producto hereda alg´una de estas. Precisamente, si
M es un (T, S)−bisistema y N es un (S, U)−bisistema entonces M⊗SN se convierte en
un (T, U)−bisistema con
t(x⊗y) = (tx⊗y); (x⊗y)u= (x⊗yu)
2.2 Extensiones de las Relaciones de Green 27
2.2.
Extensiones de las Relaciones de Green
En esta secci´on se dar´a una extensi´on de las relaciones de Green usando el concepto de los ideales principales de un semigrupo. Este concepto es inspirado de la teoria de anillos. Recu´erdese que un anillo R se dice que es principal proyectivo, notado como PP a izquier-da(derecha) si cada ideal principal izquierdo(derecho) deR considerado como un R-m´odulo, es proyectivo.
Los conceptos de PP-anillos a izquierda y PP-anillos a derecha se introdujeron por primera vez alrededor de 1960. Naturalmente, un anillo R se dice que es PP si R es tanto PP a izquierda como a derecha. Es sabido que la clase de PP-anillos contiene las clases de anillos regulares, los anillo hereditarios, anillos de Baer, P-Q Anillos Baer y anillos semi-hereditarios con sus propias subclases. La literatura de los PP-anillos ha tenido un extenso estudio por muchos te´oricos. Cabe destacar que la definici´on de PP-anillos se extendi´o a los semigrupos, en particular, Fountain introdujo el concepto de PP-monoides a izquierdaen el art´ıculo [12] en 1977. El llam´o un monoide abundante [12] si es ambos un monoide a izquierda y PP-monoide a derecha. Similar a los PP-anillos, la clase de los Semigrupos abundante contiene la clase de los semigrupos regulares como su propia subclase. Pastijn introduce las exten-siones de relaciones de Green en [13] las cuales se denotan por R∗,L∗,H∗,J∗ definidas a
continuaci´on. Fountain [4] y [12] observ´o primero que dichas extensiones pueden ser aplica-das al estudio de los PP-semigrupos a izquierda y a los semigrupos abundantes. Una serie de documentos han indicado que las relaciones de extensiones de las relaciones de Green son particularmente apropiadas en el estudio de semigrupos abundantes; que desempe˜nan exactamente el mismo papel que las relaciones habituales de Green en Semigrupos regulares.
Definici´on 2.2.1. UnS−sistema P es proyectivo cuando para cualquierS−sistema M, N
y para cadaS−epimorf ismo g:M →N y cadaS−homomorf ismo h:P →N existe un
S−homomorf ismo k :P →M tal que gk =h.
Definici´on 2.2.2. Un ideal R de un semigrupoS es llamado principal a izquierda(derecha) cuando R=s∪sS,(R=Ss∪s) para alg´un s∈S.
Definici´on 2.2.3. Un monoide S1 es llamado principal proyectivo a izquierda(derecha) denotado por P P a izquierda(derecha) cuando cada ideal principal a izquierda(derecha) de
S1 es proyectivo.
Definici´on 2.2.4. Sea S1 un monoide con un conjunto de idempotentes E(S1) y sea e un elemento de E(S1). Un elemento a ∈S1 ese−cancelablea izquierda(derecha) cuando ae=
a(ea =a) y para cualquier elementos s, t ∈S y as=at(sa =ta) implica es=et(se =te).
Observaci´on 2.2.1. Equivalentemente, se puede decir que a es e − cancelable a izquier-da(derecha) probando que as=at(sa =ta) si y s´olo si es=et(se =te) para todo s, t∈S1.
28 2 Los PLARI- semigrupos
implica ex = ey para x, y ∈ S1 y ae = a. De este modo si ex = ey entonces aex = aey y
por lo tanto, ax = ay. Por lo tanto, queda probado en una direcci´on. Para probar la otra implicaci´on, si se tiene que as = at(sa =ta) si y s´olo si es = et(se = te) para s, t ∈S1 en particular cuando s =e y t = 1 (s = 1 y t = e), se obtiene ae =a(e =ea). As´ı se termina la prueba.
Esta equivalencia significa que existe un S−isomorf ismo de ideales principales a izquier-da(derecha) eS1(S1e) sobre aS1(S1a) que env´ıa e a a. Se puede ver esto facilmente si se
define una aplicaci´on ϕ : aS1 −→ eS1 tal que ϕ(as) = es, s ∈ S1. Se puede ver que si
a es e−cancelable y ax = ay esto implica ex = ey x, y ∈ S1. Esto significa que ϕ esta bien definida. Tambi´en se tiene que es un S −homomorf ismo a izquierda; para ver esto se usa el hecho que ϕ(as) = es = ϕ(a)s. Adem´as es sobreyectiva ya que para todo x = at
siempre existe y =et s´olo por el hecho de ser eS1 un S−sistema a derecha; de este modo
ϕ(x) = y, t ∈ S1. Para mostrar la inyectividad si ϕ(as
1) = ϕ(as2) s1, s2 ∈ S1, entonces
es1 = es2 y por ser a e−cancelable de lo mostrado al inicio de la observaci´on se obtiene
as1 =as2,y por lo tanto ϕes un s−isomorf ismo aizquierda.
Ejemplo 2.2.1. SiSes regular y a∈S,entonces existe una0 ∈S tal quea=aa0a=a(a0a). De esto se puede ver que (a0a)(a0a) = (a0aa0)a = a0a, luego a0a ∈ E(S), adem´as si as = at
para cualesquiera s, t ∈ S esto implica a0as = a0at y por lo tanto, a es a0a−cancelable a derecha.
Definici´on 2.2.5. Sea S un semigrupo. Una traslaci´on parcial a derecha(izquierda) λ :
S −→S es una funci´on parcial tal que
(1) ∆λ el dominio de λ, es un ideal a derecha(izquierda) de S.
(2) Para todo a∈∆λ, x∈S, λ(ax) = λ(a)x(λ(xa) =xλ(a)).
Es inmediato ver que siλes una traslaci´on deSentonces esta puede ser unS−homomorf ismo
si se restringe la funci´on s´olo a su dominio ∆λ deS.
Lema 2.2.1. Un monoide S1 es P P a izquierda si y s´olo si para cada elemento a en S1
existe un elemento e en E(S1) tal que a es e−cancelable a derecha.
Demostraci´on. Si por hip´otesis se tiene queS1 esP P a derecha por la definici´on 2.1.3 para
un S − epimorf ismo λ que es una traslaci´on a izquierda de ideales principales de S1,
λ : eS1 −→ S1, e ∈ E(S) cuyo dominio sea ∆λ = eS1 e imagen sea Im= S1 definida
como λ(ex) = x con x ∈ S1; y para θ : eS1 −→ S1 un S− homorf ismo definido como
θ(ex) =x para x∈ S1, existe un S−homorf ismo en este caso π
1 :S1 −→S1 definido por
π1(x) = 1xpara x∈S1 tal queλ =π1θ. Se puede verθ es inyectivo ya que si θ(ex) = θ(ey)
entonces x = y; y entonces ex = ey; θ es sobreyectivo ya que para p = ay, θ(p) = y. Tambi´en se ve que π1 es la identidad por tanto un S −isomorf ismo derecha de donde se
2.2 Extensiones de las Relaciones de Green 29
que λ(x) = ex = eex = λ(ex), s, x ∈ S1; por lo tanto, ya que λ es inyectivo se obtiene
ex = x. Ahora para ver que se cumple la segunda parte de la definici´on 2.1.4 nuevamente se aplica la proyectividad de los ideales principales a izquierda de S1; para λ:xS1 −→eS1
un S−epimorf ismo traslaci´on a izquierda con dominio ∆λ =xS1 y para θx : xS1 −→ S1
un S−homorf ismo a izquierda definido como θx(xs) = s, x,s ∈ S1; existe la proyecci´on
πe :S1 −→eS1 definido como πe(s) =es, e∈E(S), s∈ S1 tal que λ =πeθx. As´ı para ver
que θx es inyectivo si θx(ax) =θx(bx), x, a, b∈S1 se llega a que a =b y entonces ax=bx.
Tambie´en θx es sobreyectivo ya que para b = xy se tiene que θx(xy) = y. De modo que si
xs = xt, x, s, t ∈ S1 se llega a que es = λ(xs) = λ(xt) = et y as´ı se ha demostrado la primera implicaci´on. Para demostrar la segunda si para cualquier elemento a ∈ S1 existe un e ∈ E(S1) tal que a es e−cancelable a izquierda entonces a = ea esto significa que
existe un isomorfismo entre S1 y eS1. Si se define este isomorfismo como θ
e : S1 −→ eS1,
este S − isomorf ismo se puede descomponer como producto de dos S −isomorf ismos πa : S1 −→ aS1 y λ : aS1 −→ eS1; tales que θ = λπa es decir aS1 es un ideal principal
proyectivo. Por lo tanto S1 es P P-monoide a izquierda.
Definici´on 2.2.6. SiS1 es unP P-monoide a derecha en el cual sus idempotentes conmutan
y adem´as para todoa ∈S1, e∈E(S1)eS1∩aS1 =eaS1 entoncesS es un semigrupo tipo-A.
Teorema 2.2.1. Sea S1 un P P-monoide a izquierda y sup´ongase que los idempotentes de
S1 conmuntan. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:
(i) S1 es un semigrupo tipo-A
(ii) Seana, e∈S1 yeun idempotente. Siea esj−cancelablea izquierda, entoncesea =aj
j ∈S1.
Demostraci´on. As´umase que la condici´on (i) se tiene. Sea a, e ∈ S1, e2 = e y sea ea j −
cancelable a izquierda. Entonces existe un S1−homorf ismo φ : aS1 → ajS1 de la forma
φ(eas) =ajs para s ∈S1. Si b ∈eaS1∩ajS1, entonces b =eas=ajt para alg´un s, t ∈S1,
ya que b = eb y eb = eajt = eat entonces φ(b) = φ(eb) = φ(eat) = ajt = b. Por ser ea j −cancelable a izquierda entonces ea = aej, adem´as por (i) se tiene que eS1 ∩ajS1 =
eajS1 =eaS1,luego ea ∈ajS1, as´ı que ea∈eaS1∩ajS1 y entonces ea=φ(ea) = aj. Para mostrar la otra implicaci´on. As´umase que la condici´on (ii) se tiene y sean a, e∈S1 tal quee2 =e.Sib ∈eS1∩aS1 entoncesb =et =as cons, t∈S1 y por lo tantoeb=byb =as.
De este modo b = eas y as´ıb ∈ eaS1. Se ha mostrado que eS1 ∩aS1 ⊆ eaS1. Ahora para
ver la otra contenencia, si b ∈eaS1 entonces se sabe que eas⊆eS1 de este modo b∈ eS1 y
ya que ea=aj donde ea esj −cancelable a derecha entonces b∈aS1. luegob∈eS1∩aS1,
entonces eS1∩aS1 =eaS1 y as´ıS1 es un monoide tipo−A.
Definici´on 2.2.7. Sea S un semigrupo y sea a, b∈ S. Entonces se dice que aR∗b si y s´olo
30 2 Los PLARI- semigrupos
Definici´on 2.2.8. Sea S un semigrupo y sea a, b∈S.Entonces se dice que aL∗b si y s´olo si
Para todo x, y ∈S1, ax=ay si y s´olo si bx =by.
An´alogamente aH∗b si y s´olo si aR∗b y aL∗b.
Observaci´on 2.2.2. De estas definiciones se puede concluir queS1es un PP-monoide a derecha
si y s´olo si, cada L∗ −clase de S contiene un idempotente. Adem´as cuando S1 es PP a
derechaaL∗b si y s´olo si existe un idempotente e∈S tal que a, bson ambose−cancelables
a izquierda.
Observaci´on 2.2.3. Se puede ver que para a, b ∈ S un semigrupo; aL∗b(aR∗b) si y s´olo si
existe un S−isomorf ismo de ideales principales a izquierda(derecha) ϕ:aS1 7−→bS1 que env´ıa a al elemento b. Para mostrar esto se define una aplicaci´on ϕ : aS1 7−→ bS1 tal que
ϕ(as) =bs, s∈S1. Se puede ver que si aL∗b entonces ax =ay implicabx =by x, y∈S1.
Esto significa que est´a bien definida. Se puede ver que es unS−homomorf ismo a derecha, se usa el hecho que ϕ(as) = bs = ϕ(a)s. Adem´as es sobreyectiva ya que para todo x = at
siempre existe y =bt s´olo por el hecho de ser bS1 un S−sistema a derecha; de este modo
ϕ(x) = y, t ∈ S1. Para mostrar la inyectividad si ϕ(as1) = ϕ(as2) s1, s2 ∈ S1, entonces
bs1 = bs2 y por estar aL∗b se obtiene as1 = bs2. y por lo tanto ϕ es un s−isomorf ismo
a derecha. El otro lado de la implicaci´on se obtiene de inmediato ya que si ax = ay y ϕ es un S−isomorf ismo ϕ(ax) = ϕ(ay) y por lo tanto bx =by para todo x, y ∈ S1. Ahora si
bx=by entonces ϕ(ax) =ϕ(ay) y por el hecho de ser ϕ unS−isomorf ismo; es inyectivo, por lo tanto;ax=ay y as´ıaL∗b.
Teorema 2.2.2. SiS es un semigrupo; entoncesR ⊆ R∗ yR∗ es una congruencia a derecha
en S. Adem´as L ⊆ L∗ y L∗ es una congruencia.
Demostraci´on. (1) Sup´ongase (a, b)∈ RluegoaS1 =bS1,de esta manera existenu, v ∈S1
tales que b = au y a =bv. Si se as´ume que xa = ya entonces xb = xau = yau = yb. De igual forma si se as´ume que xb =yb entonces xa= xbv =ybv =ya y as`ıxa =ya
si y s´olo si xb =yb, para todo x, y ∈S1. En consecuencia (a, b)∈ R∗ y as`ıR ⊆ R∗
(2) Si (a, b)∈ R∗ entonces para todo x, y ∈S1, xa =ya si y s´olo si xb =yb; por lo tanto,
xac=yac si y s´olo sixbc=ybc para alg´unc∈S1 de donde (ac, bc)∈ R∗.
An´alogamente se procede paraR∗.
Lema 2.2.2. Si a, e2 = e ∈ S un semigrupo; entonces aR∗e si y s´olo si ea = a y para cualquier x, y ∈S1, xa =ya implica que xe=ye.
Demostraci´on. Por la definici´on 2.2.7 xa = ya si y s´olo si xe = ye para x, y ∈ S1 de este modo comoe2 =eesto implica inmediatamente que ae=a parax=e yy= 1.esto termina la prueba.
Observaci´on 2.2.4. Se puede concluir del lema 2.2.1 y de la observaci´on 2.2.2 que un monoide
