1. Calcular: = ∫ ∫ e - Tema 3 Ejercicios Nº2 Integrales Dobles Respuestas

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(1)

1.

Calcular:

𝐼 = ∫ ∫ e

(𝑥+𝑦)2 𝑅

(1 +

𝑦

𝑥

)

2

𝑑𝐴

Donde R es la región limitada por

𝑦 = 𝑥 ; 𝑦 = 2𝑥 ; 𝑥 + 𝑦 = 1 ; 𝑥 + 𝑦 = 2

SOLUCIÓN:

Se sugiere el cambio de variable:

{

𝑥 + 𝑦 = 𝑢 ⇒ 1 ≤ 𝑢 ≤ 2

𝑦

𝑥

= 𝑣 ⇒ 1 ≤ 𝑣 ≤ 2

⇒ J

−1

=

𝑢

(𝑣 + 1)

2

∴ 𝐼 = ∫ ∫ e

(𝑥+𝑦)2

𝑅

(1 +

𝑦

𝑥

)

2

𝑑𝐴 =

−ⅇ

2+

ⅇ4 2

2. Sea

𝐼 = ∫ ∫√1−𝑦 |𝑦 − 𝑥|𝑑𝑥𝑑𝑦 2

−𝑦 1 0 a. Dibuje la región de integración

b. Plantee la integral sin valor absoluto en coordenadas cartesianas y en coordenadas polares

SOLUCIÓN:

Coordenadas cartesianas:

𝐼+= ∫ ∫ (𝑦 − 𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑦

−𝑦

+ ∫ ∫√1−𝑦 (𝑦 − 𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦

2

−𝑦 1 √2 2 √2

2 0

𝐼−= ∫ ∫√1−𝑦 (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

2

𝑦 √2

(2)

Coordenadas polares:

𝐼+= ∫ ∫ 𝑟(𝑆ⅇ𝑛𝜃 − 𝐶𝑜𝑠𝜃)𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 1 0

+ ∫ ∫ 𝑟(𝑆ⅇ𝑛𝜃 − 𝐶𝑜𝑠𝜃)𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃

𝐶𝑠𝑐𝜃 0 3𝜋

2 𝜋 2 𝜋

2 𝜋 4

𝐼−= ∫ ∫ 𝑟(𝐶𝑜𝑠𝜃 − 𝑆ⅇ𝑛𝜃)𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 1 0

𝜋 4 0

3. Sea

∫ ∫ |𝑥2 2+ 𝑦2− 1|𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑥

2 0 a. Dibuje la región de integración

b. Plantee la integral sin valor absoluto en orden dxdy SOLUCIÓN:

𝐼+= ∫ ∫√1−𝑦 (𝑥2+ 𝑦2− 1)𝑑𝑥𝑑𝑦 2

𝑦

+ ∫ ∫ (𝑥𝑦 2+ 𝑦2− 1)𝑑𝑥𝑑𝑦 0

√2 2 1 1

√2 2

𝐼−= ∫ ∫ (1 − 𝑥𝑦 2− 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦 0

√2 2 0

+ ∫ ∫√1−𝑦 (1 − 𝑥2− 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦 2

(3)

4. Calcule

∬ ⅇ𝑥𝑦 𝑅

𝑑𝐴

Donde R es la región limitada por las curvas

𝑥𝑦 = 2, 𝑥𝑦 = 4, 𝑥 = 𝑦, 𝑦 = 8𝑥

SOLUCIÓN:

Se sugiere el cambio de variable:

{

𝑥𝑦 = 𝑢 ⇒ 2 ≤ 𝑢 ≤ 4

𝑦

𝑥

= 𝑣 ⇒ 1 ≤ 𝑣 ≤ 8

⇒ J

−1

=

1

2𝑣

∴ 𝐼 = ∫ ∫ e

(𝑥+𝑦)2

𝑅

(1 +

𝑦

𝑥

)

2

𝑑𝐴 = ∬

ⅇ𝑢

1

2𝑣

𝑅

𝑑𝐴 =1

2ⅇ2(−1 + ⅇ2)Log[8]

5. Calcule

∬ (𝑥 − 𝑦)ⅇ(𝑥+𝑦) 𝑅

𝑑𝐴

Donde R es la región triangular del plano xy de vértices

(0,1), (1,0) 𝑦 (1,1)

SOLUCIÓN:

Región de integración original

Se sugiere el cambio de variable:

{

𝑥 − 𝑦 = 𝑢

𝑥 + 𝑦 = 𝑣 ⇒ 𝑣 = 1 ⇒ J

−1

=

1

2

Del sistema se obtiene que

(4)

∴ ∬ (𝑥 − 𝑦)ⅇ(𝑥+𝑦) 𝑅

𝑑𝐴 = ∬ 𝑢ⅇ𝑣

1

2

𝑆

𝑑𝐴 =

1

2

[∫ ∫ 𝑢ⅇ𝑣𝑑𝑣𝑑𝑢

2+𝑢 1 0 −1

+ ∫ ∫2−𝑢𝑢ⅇ𝑣𝑑𝑣𝑑𝑢 1

1 0

]

=1

2[( 1

2(5 − 2ⅇ)ⅇ) + (− 5ⅇ

2 + ⅇ2)] = 0

6. Calcule

∫ ∫ √𝑦 + 2𝑥(𝑦 − 𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦

6−𝑦 2 𝑦 2 0 SOLUCIÓN:

Región de integración original

(5)

{

2𝑥 + 𝑦 = 𝑣 ⇒ 𝑣 = 6 ⇒ J

𝑦 − 𝑥 = 𝑢 ⇒ 𝑢 = 0

−1

=

1

3

Del sistema se obtiene que

𝑢 =

−𝑣

2

Región de integración:

∴1

3∫ ∫ √𝑣 ∗ (𝑢) 𝑑𝑣

6 −2𝑢

𝑑𝑢 = 0

−3

−18√6

7

7. Calcule usando coordenadas polares

∬ |𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (𝑦𝑥)| 𝑅

𝑑𝐴

Donde 𝑅 = {(𝑥, 𝑦): 1 ≤ 𝑥2+ 𝑦2≤ 9, 𝑦 + 𝑥

√3≥ 0, 𝑦 − √3𝑥 ≤ 0} SOLUCIÓN:

(6)

Región de integración:

{

1 ≤ 𝑟 ≤ 3

𝜋

6

≤ 𝜃 ≤

𝜋

3

⇒ J = 𝑟

∴ ∬ |𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (𝑦𝑥)| 𝑅

𝑑𝐴 = 𝐼++ 𝐼=5𝜋2 18

𝐼+= ∫ ∫

𝜃

𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 =2𝜋2

9 3

1 𝜋 3 0

𝐼−= ∫ ∫

−𝜃

𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 =𝜋2

18 3

1 0 −𝜋6

8. Sea

∬√𝑦2− 4𝑥2

𝑆

𝑑𝐴

Donde S es la región limitada por las curvas

𝑦 = 2𝑥 + 4, 𝑦 = −2𝑥 + 4,

𝑦2− 4𝑥2

= 1

(7)

SOLUCIÓN:

𝑦 + 2𝑥 = 4, 𝑦 − 2𝑥 = 4,

𝑦2− 4𝑥2

= (𝑦 + 2𝑥)(𝑦 − 2𝑥) = 1

Se sugiere el cambio de variable:

{

𝑦 + 2𝑥 = 𝑢 ⇒ 𝑢 = 4

𝑦 − 2𝑥 = 𝑣 ⇒ 𝑣 = 4 ⇒ 𝑢 ∙ 𝑣 = 1 ⇒ J

−1

=

1

4

Región de integración:

Punto de interés: 𝑣 = 4; 𝑢 =14

∴ ∬√𝑦2− 4𝑥2

𝑆

𝑑𝐴 =1

4∫ ∫ (√𝑢√𝑣)𝑑𝑣𝑑𝑢 =

1

6(42 − Ln[16]) 4

1 𝑢 4 1 4 9. Sea

∬ |𝑦2+ 𝑥2− 4| 𝑅

𝑑𝐴

Donde 𝑅 = {(𝑥, 𝑦): 1 ≤ 𝑥2+ 𝑦2≤ 9}

(8)

b. Plantee la integral sin valor absoluto en coordenadas cartesianas c. Calcule la integral usando coordenadas polares

SOLUCIÓN:

𝐼+= 4 [∫ ∫√9−𝑥 (𝑦2+ 𝑥2− 4)𝑑𝑦𝑑𝑥 2

√4−𝑥2 2 0

+ ∫ ∫√9−𝑥 (𝑦2+ 𝑥2− 4)𝑑𝑦𝑑𝑥 2

0 3 2

]

𝐼−= 4 [∫ ∫√4−𝑥 (4 − 𝑦2− 𝑥2)𝑑𝑦𝑑𝑥 2

√1−𝑥2 1 0

+ ∫ ∫√4−𝑥 (4 − 𝑦2− 𝑥2)𝑑𝑦𝑑𝑥 2

0 2

1 ]

Coordenadas polares:

𝐼 = 4 [∫ ∫ (𝑟3 2− 4)𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 2

𝜋 2 0

+ ∫ ∫ (4 − 𝑟2 2)𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 1

𝜋 2 0

] = 17𝜋

10. Sea

∬ |𝑥3+ 8 − 𝑦| 𝑅

𝑑𝐴

Donde 𝑅 = {(𝑥, 𝑦): −2 ≤ 𝑥 ≤ 2,0 ≤ 𝑦 ≤ 20}

a. Dibuje la región de integración

(9)

𝐼+= ∫ ∫𝑥 (𝑥3+ 8 − 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 3+8

0 2 −2

𝐼−= ∫ ∫20 (𝑦 − 𝑥3− 8)𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑥3+8

2 −2

11. Dada la siguiente integral

∫ ∫ 𝑟3𝑑𝑟𝑑𝜃

1 𝑐𝑜𝑠(𝜃) 0

+ 𝜋

4 0

∫ ∫ 𝑟3𝑑𝑟𝑑𝜃

1 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 0

+ 𝜋

2 𝜋 4

∫ ∫ 𝑟1 3𝑑𝑟𝑑𝜃 0

2𝜋 𝜋 2 a. Dibuje la región de integración

b. Plantee la integral en coordenadas cartesianas con 𝑑𝐴 = 𝑑𝑥𝑑𝑦 c. Dé una interpretación física de lo que calcula la integral dada SOLUCIÓN:

(10)

3 [∫ ∫√1−𝑦 (𝑥2+ 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦 2

0 0 −1

] + ∫ ∫ (𝑥1 2+ 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦 0

1 0

Interpretación física: masa de una lamina de densidad 𝜌(𝑥, 𝑦) = 𝑥2+ 𝑦2 o el momento polar de inercia de una lamina de densidad 𝜌(𝑥, 𝑦) = 1

12. Calcule

∬ |𝑦 − 𝑥2+ 1| 𝑅

𝑑𝐴

Donde 𝑅 = [0,1] × [−1,0] SOLUCIÓN:

Región de integración

𝐼+= ∫ ∫0 (𝑦 − 𝑥2+ 1)𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑥2−1

1 0

𝐼−= ∫ ∫𝑥 (𝑥2− 1 − 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 2−1

(11)

∬ |𝑦 − 𝑥2+ 1| 𝑅

𝑑𝐴 =128

105 13. Calcule

∫ ∫4−𝑥ⅇ(𝑦−𝑥𝑥+𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 0

4 0 SOLUCIÓN:

Región de integración

Se sugiere el cambio de variable:

{

𝑥 + 𝑦 = 𝑢 ⇒ J

𝑦 − 𝑥 = 𝑣

−1

=

1

2

(12)

∫ ∫ ⅇ(𝑦−𝑥𝑥+𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 4−𝑥

0 4 0

=1

2∫ ∫ ⅇ

(𝑣𝑢)1

2∙ 𝑑𝑣𝑑𝑢 𝑢

−𝑢 4 0

= −4

ⅇ+ 4ⅇ

14. Sea

∬ |𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦)| 𝑅

𝑑𝐴

a. Plantee la integral sin valor absoluto en coordenadas cartesianas si: i. 𝑅 = {(𝑥, 𝑦): 𝑦2+ 𝑥2𝜋2

4 , 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0}

ii.

𝑅 = [0, 𝜋] × [0, 𝜋]

SOLUCIÓN:

Región de integración

𝐼+= ∫ ∫ 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥

𝜋 2−𝑥 0 𝜋 2 0

𝐼−= ∫ ∫√𝜋 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥

2 4 −𝑥2 𝜋 2−𝑥 𝜋 2 0

(13)

𝐼+= ∫ ∫ 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 𝜋

2−𝑥 0 𝜋 2 0

+ ∫ ∫𝜋 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥

3𝜋 2 −𝑥 𝜋 𝜋 2

𝐼−= − ∫ ∫𝜋 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥

𝜋 2−𝑥 𝜋 2

0 − ∫ ∫ 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥

3𝜋 2 −𝑥 0 𝜋 2 0

15. Una lámina ocupa la región interior al círculo 𝑦2+ 𝑥2= 2𝑦 y la exterior al círculo 𝑦2+ 𝑥2= 1. Determine su centro de masa si la densidad es inversamente proporcional a su distancia desde el origen a cualquier punto

SOLUCIÓN:

Región de integración

Función densidad: 𝜌(𝑥, 𝑦) = 1 √𝑥2+𝑦2

(14)

𝑚 = ∬ 𝜌(𝑥, 𝑦) 𝑅

𝑑𝐴

En coordenadas polares:

∬ 1

√(𝑟𝐶𝑜𝑠(𝜃))2+ (𝑟𝑆ⅇ𝑛(𝜃))2 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑅

2 [∫ ∫ 𝑑𝑟𝑑𝜃

2𝑆𝑒𝑛(𝜃) 0 𝜋 6 0 + ∫ ∫ 𝑑𝑟𝑑𝜃 1 0 𝜋 2 𝜋 6

] = 2 [2 − √3 +𝜋3]

Momentos: 𝑀𝑥= ∬ 𝑦 ∙ 𝜌(𝑥, 𝑦) 𝑅 𝑑𝐴; 𝑀𝑦= ∬ 𝑥 ∙ 𝜌(𝑥, 𝑦) 𝑅 𝑑𝐴

En coordenadas polares:

𝑀𝑥 = ∫ ∫2𝑆𝑒𝑛(𝜃)𝑟𝑆ⅇ𝑛(𝜃)𝑑𝑟𝑑𝜃 0

𝜋 6 0

+ ∫ ∫ 𝑟𝑆ⅇ𝑛(𝜃)𝑑𝑟𝑑𝜃 + ∫ ∫2𝑆𝑒𝑛(𝜃)𝑟𝑆ⅇ𝑛(𝜃)𝑑𝑟𝑑𝜃

0 𝜋 5𝜋 6 1 0 5𝜋 6 𝜋 6

𝑀𝑥=8

3−

3√3 2

𝑀𝑦= ∫ ∫2𝑆𝑒𝑛(𝜃)𝑟𝐶𝑜𝑠(𝜃)𝑑𝑟𝑑𝜃 0

𝜋 6 0

+ ∫ ∫ 𝑟𝐶𝑜𝑠(𝜃)𝑑𝑟𝑑𝜃 + ∫ ∫2𝑆𝑒𝑛(𝜃)𝑟𝐶𝑜𝑠(𝜃)𝑑𝑟𝑑𝜃 = 0

0 𝜋 5𝜋 6 1 0 5𝜋 6 𝜋 6 𝐶̅ = (𝑀𝑦 𝑚 , 𝑀𝑥

𝑚) = (0,

2 [2 − √3 +𝜋3] 8

Figure

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Referencias

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