EJERCICIOS RESUELTOS RECTAS PLANOS (48 PAG)

PRESENTACION

Se presenta esta colección de ejercicios resueltos sobre rectas y planos como un medio de facilitar el aprendizaje por parte del estudiante.

Es una edición previa de uso interno para los alumnos UTEM

Es posible se hayan deslizado errores al escribir estas notas, se solicita reportarlas a: [email protected], en respuesta a su colaboración recibirá material relativo al tema.

Espero que estos apuntes cumplan su objetivo y le ayuden a comprender una materia se suyo difícil

Que tenga un buen semestre.

Prof. Patricio Guzmán Sereño

EJERCICIOS RESUELTOS RECTAS Y PLANOS

"Ñ 3Ñ Sean →E Ð$ß &ß (Ñ à F Ð"ß #ß  $Ñ ß→ Encuentre la

proyección de À E→ sobre , de sobre →F →F →E

Encuentre el coseno del ángulo formado por y

33Ñ → ⎯→F FE

Solución: 3Ñ T <9C ./ E =9,</ F œ E→ → →_→ œ →F

F

ÐE F

F F

→ → → →· )_·

œ _{Ð"ß#ß$Ñ Ð"ß#ß$Ñ}Ð$ß&ß(цÐ"ß#ß$Ñ Ð"ß #ß  $Ñ

→

E→_F œ $  "!  #" _{" %  *} Ð"ß #ß  $Ñ œ )_"%Ð"ß #ß  $Ñ œ Ð# %₍ ß ₍ ß Ñ'₍

Proy. de →Fsobre→E œ F→→ œ Ð$ß &ß (Ñ œ Ð$ß &ß (Ñ

E

) )

*#&%* )$

33Ñ FE œ Ð#ß $ß "!Ñ⎯→ . -9=Ð Ñ œ) _{→ ⎯→}→ ⎯→F † FE œ

F † FE

Ð"ß#ß$ÑÐ#ß$ß"!Ñ Ð"  %  *ÑÐ%  *  "!!Ñ

¹ ¹ ¹ ¹ È

-9=Ð Ñ œ) ## ¸  !ß &&$"#!"..

"&)#

#Ñ Dados À E œ Ð$ß %ß &Ñß F œ Ð&ß  (ß  *Ñ→ →

3ÑEncuentre las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por y À E→ →F

Encuentre los cosenos directores de la recta que pasa por y 33Ñ À E→ →F

A

B B - A

P = A + t ( B - A )

→T œ E  > EF œ E  >ÐF  EÑ→ ⎯→ → → → Ð B ß C ß DÑ œ Ð$ ß % ß &Ñ  >Ð#ß  ""ß  "%Ñ

B œ $  #> à C œ %  ""> à D œ &  "%>

B$ D&

# "" "%

C%

œ œ œ > à Ecuaciones Simétrica

33Ñ -9=Ð Ñ À -9=Ð Ñ œ -9=Ð Ñ œ # À  "" À  "% ! " #

-9=Ð Ñ -9=Ð Ñ -9=Ð Ñ -9= Ð Ñ -9= Ð Ñ -9= Ð Ñ

# "" "% % "#" "*' #

! _œ " _œ # _{œ > Ä} # ! _œ # " _œ # # _{œ >}

-9= Ð Ñ  -9= Ð Ñ  -9= Ð Ñ

% "#"  "*' $#"

" # "

„ $#"

# _! # _" # _#

X

Y

Z

A

B

La dirección de P_EF /= 8/1+>3@+ß Luego à >  !

> œ " œ "

È%"#""*' È$#"

-9=Ð Ñ œ! # à -9=Ð Ñ œ" "" -9=Ð Ñ œ# "% œ "%

È$#" È$#" , È$#" È$#"

, ,

-9=Ð Ñ ¸ !ß """'#* -9=Ð Ñ ¸ !Þ'"$*'!! " -9=Ð Ñ ¸ !Þ()"%!$)Þ#

$Ñ Encuentre la ecuación del plano ÐQ Ñque es ¼ a la recta

que pasa por à EÐ#ß #ß  %Ñß FÐ(ß  "ß $Ñ y que contiene al punto GÐ  &ß "ß #Ñ

Solución.

P_EFà ÐBß Cß DÑ œ Ð#ß #ß  %Ñ  >Ð&ß  $ß (Ñ

ÐBß Cß DÑ œ Ð#  &>ß #  $>ß  %  (>Ñ Ç

B œ #  &>, C œ #  $>, D œ  %  (>.Ecuaciones paramétricas

B  # D  %

& $ (

C  #

_{œ œ œ >.Ecuaciones Simétricas}

Sea PÐBß Cß DÑ − ÐQ Ñß plano pedido LÞ _{T U}ß tiene como un conjunto de números directores a: B  &ß C  "ß D  #.

Como P _EF es ¼ a toda recta del plano pedido se tiene que À

P_EF ¼ L_{T U} Ä &ÐB  &Ñ  $ÐC  "Ñ  (ÐD  #Ñ œ !

Luego: &B  $C  (D  #&  $  "% œ !

Ecuación del plano pedidoÐQ Ñ &B  $C  (D  "% œ !. .

GÐ  &ß "ß #Ñ − al plano pedido puesto que

& Ð  &Ñ  $ Ð"Ñ  ( Ð#Ñ  "% œ !· · ·  #&  $  "%  "% œ !

C(-5 ,1 ,2 )

A

B

%Ñ 3Ñ Encuentre la ecuación del plano ÐKÑ que pasa por: T Ð#ß !ß !Ñ ß UÐ!ß #ß !Ñß VÐ!ß !ß #Ñ

Encuentre la ecuación de la recta que pasa por

33Ñ LÐ$ß $ß $Ñ

y que es normal al planoÐT Ñ

R(0,0,2)

P(2,0,0) Q(0,2,0)

X

Y

Z

⎯→T U œ Ð  #ß #ß !Ñ ⎯→T V œ Ð  #ß !ß #Ñ

⎯→ ⎯→T U ‚ T V œ Ð  #ß #ß !Ñ ‚ Ð  #ß !ß #Ñ œ œ

3 4 5

 # # !

 # ! #

â â

â â

â â

â â

â â

â â

œ 3Ð%  !Ñ  4Ð  %  !Ñ  5Ð!  %Ñ

œ Ð%ß %ß %Ñ vector normal al plano pedido

Sea À LÐBß Cß DÑ − al plano pedido ÐKÑß P _{T L}à tiene como números

directores a: B  #ß C  !ß D  ! à

Luego : · % Ð B  #Ñ  % Ð C  !Ñ  % ÐD  !Ñ œ !· · %B  %C  %D  ) œ !. Es la ecuación del plano pedido satisfacen la ecuación. %B  %C  %D  ) œ !.

· , · , ·

% Ð#Ñ  !  !  ) œ ! !  % Ð#Ñ  !  ) œ ! !  !  % Ð#Ñ  ) œ !

33Ñ SeaQ ÐBß Cß DÑ − a la rectaPX normal al planoÐKÑ À LÐ$ß $ß $Ñ − PX

Luego P À ÐBß Cß DÑ œ Ð$ß $ß $Ñ  >Ð%ß %ß %ÑX

&Ñ Un plano (M) pasa por Ð"ß ß #ß "Ñ UÐ#ß "ß $Ñ y y es

perpendicular al plano À ÐX Ñ $B  #C  $D  ' œ !. . Encuentre su ecuación

P

Q

N N

(M)

a ,b ,c 3, -2, 3

1 2

(1,2,1

( 2,1,3)

( T )

H(x ,y,z )

L_{T U}à − ÐQ ÑÞUn conjunto de números directores es: "ß  "ß #

L _{T U} ¼ N_" Ä +  ,  #- œ !

Se tiene entonces que À +  œ ! Ä + œ

-,  $- œ ! Ä -, œ $-ß œ

-Luego. Si - œ ".

+ œ "à , œ $ à - œ "

Es un conjunto de números directores de N_"

P_{T L} − Ð Q Ñß un conjunto de números directores de P_{T L} es:

B  "ß C  # ß D  " À Como R_" ¼ P_{T L} se tiene que:

· · ·

" ÐB  "Ñ  $ Ð C  #Ñ  " Ð D  "Ñ œ ! Ä B  $C  D  ) œ ! Þ

es la ecuación del plano MÐ ÑÞ

En efecto PÞ Ð"ß #ß "Ñ y UÐ#ß "ß $Ñ − Ð Q Ñ , puesto que:

"  $ Ð#Ñ  "  ) œ !Þ #  $ Ð"Ñ  $  ) œ !· ·

Números directores de la Normal N_" À " ß $ ß "

Números directores de la Normal N_# À $ß  #ß $

Luego ·Þ " $  $ Ð  #Ñ  $ œ !· , (M) ¼ (T)

'Ñ L" À recta que pasa por : P , ,Ð$ #  "Ñ QÐ#ß *ß  #Ñ

L_# À recta que tiene como un conjunto de números directores a À "ß  #  #, .

Encuentre un conjunto de números directores de una línea ¼ a L L " C #

Solución.

Sea P_$ recta tal que: P ¼_$ L , " P ¼_$ L y que#

un conjunto de números directores de L : _$ +ß , ß -Þ

Luego debe tenerse que:

 +  (,  - œ !

+  #,  #- œ !

–––––––––––––––––––––––––––––-Luego: &,  $- œ ! Ä , œ $-_& œ -$_&

+ œ #,  - œ $_&-  - œ -ß)_& œ

-Si - œ & Ä + œ ), , œ $ß - œ &

Luego se tiene que un conjunto de números directores de P$: es )ß $ ß &

(Ñ Sean (P"Ñ À $B  C  & œ ! Ð Ñ à C  D  " œ !. P# . Planos

Encuentre la ecuación de un plano que es ¼ a la línea de de ambos planos y que contenga al punto

 Ð"ß #ß  "ÑÞ

Solución.

deÐT Ñ C  " œ Ò  $B  %Ó †" : Ð_Ð Ñ_Ñ œ B 

" %

$ $

" " $ $

deÐT Ñ C  " œ  D  ! œ# : D  !_"

Luego. P À B  œ C  "_" œ D  !_" . Ec Simétrica de P (PÞ Ð Ñ " #Ñ

% $ "

$

Un conjunto de números directores de L: "

$

ß " ß  "

P(1,2,-1) H(x,y,z)

L

P ß_{T L} un conjunto de números directores es: B  "ß C  #ß D  "

Como P_{T L} ¼ L Ò ·"_$ ÐB  "Ñ  " ÐC  #Ñ  " ÐD  "Ñ œ !· ·

 B  $C  $D  "  '  $ œ !

ÐQ Ñ B  $C  $D  ) œ !. Ec del plano pedido

)ÑL" À B#_" œ C"_# œ D#_% À P à# B"_# œ C#_$ œ D"_#

Decida si ambas rectas se intersectan3Ñ

33Ñ Encuentre la ecuación del plano que contiene a L#C P ß"

Solución.

P B œ #  > à C œ "  #> à D œ #  %>" :

P#: B œ "  #= ß C œ #  $= ß D œ "  #=

Luego. +Ñ B œ #  > B œ "  #= À

,Ñ C œ "  #> C œ #  $=

-Ñ D œ #  %> D œ "  #=

"  #> œ #  $= Ä #> œ "  $=

#  %> œ "  #= Ä %> œ  "  #= Ä

Ä ! œ  $  )= Ä = œ $₎ > œ "_#  $_# † $₎ œ  _"'"

Reemplazando en se tiene:+

#  > œ "  #= #  _"'" œ "  '₎

$$ "%

"' œ ) Ä Ã

Lo que es contradictorio, luego no existe intersección, además son ortogonales puesto que À Ð  "Ñ † #  Ð  $Ñ † #  % † # œ !Þ

33Ñ R 9 /B3=>/ /=/ :6+89

*Ñ Encuentre las ecuaciones vectorial, simétricas y paramétricas

de la línea recta que pasa por:

3Ñ E œ Ð!ß "ß  "Ñ→ y que es // a la dirección dada por →F œ Ð  $ß %ß &Ñ

33Ñ U œ Ð *ß  "ß "Ñ → y pasa por el extremo de →G œ Ð%ß $ß #Ñ

333Ñ ¿ Se intersectan estas líneas, en qué punto ?

Solución.

3Ñ L_{E F}// À T œ E  > F→ → →

ÐBß Cß DÑ œ Ð!ß "ß  "Ñ  >Ð  $ß %ß &Ñ Ec. vectorial B œ  $>ß C œ "  %>ß D œ  "  &> Ecs. paramétricas

B D" Ecs. simétricas

$ % &

C"

œ œ

33Ñ P À T œ U  > UG ß UG œ G  U œ Ð  &ß %ß "Ñ

UG

→ → ⎯→ ⎯→ → →

ÐBß Cß DÑ œ Ð!ß "ß  "Ñ  >Ð  &ß %ß "Ñ

B œ  &>ß C œ "  %>ß D œ  "  > Ecs. paramétricas

B D"

& % "

C  "

œ œ Ecs. simétricas

333Ñ +Ñ B œ  $>ß B œ  &=

,Ñ C œ "  %>ß C œ "  %= Ä "  %> œ "  %= Ä > œ =

-Ñ D œ  "  &> D œ  "  = Ä  "  &> œ  "  = Ä &> œ = Ä %> œ !ß = œ !

"!Ñ Dados los puntos T Ð"ß #ß "Ñ UÐ  "ß #ß $Ñ ;

Encuentre la ecuación de la esfera que tiene como3Ñ

diámetro al segmento PQ

Encuentre la ecuación del plano que es tangente a la

33Ñ

esfera en el punto PÐ"ß #ß "Ñ

Solución.

El centro de la esfera está en el punto medio de PQœ SÐ!ß #ß #Ñ

V œ .ÐSß UÑ œ È"  !  " œÈ#

.ÐSß T Ñ œ È# Ä B  ÐC  #Ñ  ÐD  #Ñ œ ## # #

B  C  %C  %  D  %D  % œ œ ## # #

B  C  %C  D  %D  ' œ !# # #

""Ñ Encuentre la ecuación del plano ¼ a la linea determinada

por T Ð  #ß &ß  "Ñ à UÐ%ß  $ß $Ñ y que pasa por el punto medio del trazo PQÞ

Solución.

Números directores de la recta normal al plano: $ ß  %ß #

Números directores dePQ X À B  "ß C  "ß D  "

La linea L es _{T U} ¼ al plano pedido luego $ÐB  "Ñ  %ÐC  "Ñ  #ÐD  "Ñ œ !

"#Ñ Dados PÐ  #ß $ß  "Ñ, QÐ%ß  $ß $Ñ, RÐ"ß "ß "Ñ

Encuentre el coseno del ángulo PQR

Solución.

⎯→UT œ Ð%ß  $ß $Ñ  Ð  #ß $ß  "Ñ œ Ð'ß  'ß %Ñ

¸⎯→UT œ¸ È$'  $'  "' œÈ))

⎯→

UV œ Ð"ß "ß "Ñ  Ð%ß  $ß $Ñ œ Ð  $ß %ß  #Ñ

¸⎯→UV œ¸ È*  "'  % œ È#*

⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→

UT † UV œ UT † UV -9=РѸ ¸ ¸ ¸ !

-9=Ð Ñ œ! _{⎯→ ⎯→}⎯→ ⎯→UT † UV œ œ

UT † UV

")#%) &!

)) † #* )) † #*

¸ ¸ ¸ ¸ È È È È

"$Ñ Sean →E œ Ð  "ß #ß !Ñ ß F œ Ð#ß "ß  "Ñ→

⎯→G œ Ð"ß #ß  #Ñß H œ Ð"ß  #ß $Ñ

3Ñ Calcular el área del paralelogramo que tiene como lados

adyacentes los vectores : ⎯→EF ß C FG⎯→.

33Ñ Calcular el volumen del paralelepípedo cuyos lados adyacentes

son: ⎯→ ⎯→ ⎯→EF ß EG ß EH

Solución.

-

-⎯→ -⎯→ → → →

EF ‚ FG œ 3_$ 4_" 5_" œ

" " "

â â â â â â â â â â â â

œ 3 -_-" -"  4 $ -"  5 $ -_-"

" " " " " "

→ → →

º º º º º º

œ 3 † Ð  #Ñ  % † 4  5 † Ð  #Ñ→ → → œ Ð  #ß  %ß  #Ñ

¸⎯→ ⎯→EF ‚ FG œ¸ È%  "'  % œ È#%u. de área

33Ñ Z œ ¸⎯→ ⎯→ ⎯→EH † Ð EF ‚ EG Ñ œ¸

⎯→ ⎯→ ⎯→

EF œ Ð$ß  "ß  "Ñß EG œ Ð#ß !ß  #Ñß EH œ Ð#ß  %ß $Ñ

Ð EF ‚ EG Ñ œ 3_$ 4_" 5_" œ 3  4  5

# ! #

" " $ " $ "

! # # # # ! ⎯→ ⎯→ ââ_â→ → →ââ_â → → → â â â â â - -- â º º º º º º - - - -- -œ Ð#ß %ß #Ñ

Z œ EH † Ð EF ‚ EG Ñ œ EFW œ

#  % $

$ " "

-œ EFW #  "  "  Ð  %Ñ $  "  $ $  " œ

!  # #  # # !

 º º º º º ºŸ

œ # † #  %Ð  '  #Ñ  $Ð#Ñ œ %  "'  ' œ  ' œ ? ./ @96¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸

œ Ð#ß  %ß $Ñ † Ð#ß %ß #Ñ œ %  "'  ' œ '¸ ¸ ¸ ¸ u de volumen

"%Ñ Dados los planos: $B  C  & œ ! à C  D  " œ !

¿ Se intersectan estos planos ?3Ñ

Encuentre la ecuación de la linea de intersección33Ñ

333Ñ Escriba la ecuación de un plano perpendicular a la linea de

intersección de los planos dados y que contenga al punto X Ð"ß #ß "Ñ

Solución.

3Ñ ÐT ÑÎÎÐUÑ Ç R_{ÐT Ñ}ÎÎR_ÐUÑ

ÐT Ñ À $B  C  & œ !ß R_{ÐT Ñ} À $ß "ß !

ÐUÑ À C  D  " œ ! R_ÐUÑ À !ß "ß "

Los planos no son paralelos, luego se intersectan

33Ñ Linea de de los planos ÐT Ñ Ð Ñy Q

ÐT Ñ À $B  C  & œ ! Ä C  # œ $B  $ œ $ÐB  "Ñ

C  # œ $ÐB  "Ñ

QÐ Ñ À C  D  " œ ! Ä C  # œ  D  "

C  # œ  ÐD  "Ñ

C  # C  #

" D  "" B  "" $ D  "$

_œ B  " _{œ à Ä œ œ} "

$

333ÑNúmeros directores de la normal al plano pedido: "ß $ß  $

Sea UÐBß Cß DÑcualquier punto del plano, números directores de la rectala

rectaPUX À B  "ß C  #ß D  "Þ Luego se tiene que: " † ÐB  "Ñ  $ † ÐC  #Ñ  $ † ÐD  "Ñ œ !

"&Ñ Dados: →E œ Ð$ß #ß &Ñ →F œ Ð  $ß !ß %Ñ

Calcular:

3Ñ -9= ÐEß F Ñ œt → → ? 33Ñ E œ¹ ¹→ ? ß F œ¹ ¹→ ? ß FE œ¹⎯→¹ ?

333Ñ FE œ⎯→ ? 3@Ñ EF œ⎯→ ? @Ñ →E→_F œ ? @3Ñ F œ→ ?

E → Solución.

3Ñ →E † F œ E † F † -9= ÐE F Ñ→ ¹ ¹ ¹ ¹→ → t →,→ -9= ÐE F Ñ œt → →, _{→ →}→ →E † F œ

E † F

"" &† $)

¹ ¹ ¹ ¹ È

→ →E † F œ Ð$ß #ß &Ñ † Ð  $ß !ß %Ñ œ $ † Ð  $Ñ  # † !  & † % œ "" ¹ ¹ É→E œ → →E † E œ È*  %  #& œ È$)

¹ ¹ É→F œ → →F † F œ È#& œ &

→ →F † F œ Ð  $ß !ß %Ñ † Ð  $ß !ß %Ñ œ *  !  "' œ #&

33Ñ E œ¹ ¹→ É→ →E † E œ È*  %  #& œ È$) ß F œ¹ ¹→ É→ →F † F œÈ#& œ &

⎯→ → →

FE œ E  F œ Ð$ß #ß &Ñ  Ð  $ß !ß %Ñ œ Ð'ß #ß "Ñ

¹⎯→FE œ¹ È$'  %  " œ È%"

333Ñ FE œ⎯→ ⎯→ → →FE œ E  F œ Ð$ß #ß &Ñ  Ð  $ß !ß %Ñ œ Ð'ß #ß "Ñ

3@Ñ EF œ F  E œ Ð  $ß !ß %Ñ  Ð$ß #ß &Ñ œ Ð  'ß  #ß  "Ñ⎯→ → →

@Ñ E→→_F œ Ð→_{→ →}→ÑF œ→ Ð  $ß !ß %Ñ @3Ñ F œ→ →_{→ →}→→E œ

E

E†F "" E†F ""

"&Ñ E œ Ð$ß #ß "Ñ ß F œ Ð"ß  "ß #Ñ ß G œ Ð&ß  #ß %Ñ→ → →

O

A

B

C

α

β

γ

Calcular À 3Ñ -9=Ð Ñ œ! ß -9=Ð Ñ œ" ß -9=Ð Ñ œ#

33Ñ ⎯→EF œ ß ¸⎯→EF œ¸

Solución.

! œ tÐ EG ß EF Ñ⎯→ ⎯→

⎯→EG œ G  E œ Ð&ß  #ß %Ñ  Ð$ß #ß "Ñ œ Ð#ß  %ß $Ñ→ →

⎯→EF œ F  E œ Ð"ß  "ß #Ñ  Ð$ß #ß "Ñ œ Ð  #ß  $ß "Ñß→ → ¸⎯→EF œ¸ È"%

⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→

EG † EF œ EG † EG † -9=РѸ ¸ ¸ ¸ !

Ð#ß  %ß $Ñ † Ð  #ß  $ß "Ñ œ È#* È"% † -9=Ð Ñ!

 %  "#  $ œ È#* È"% † -9=Ð Ñß -9=Ð Ñ œ! ! ""

#* † "%

È È

"'ÑSi →F Á !→@, T ÞHÞ →E ÎÎ F Ç E œ E→ →→_F →

Si Ð Ä Ñ E ÎÎ F Ä E œ F Ä E œ→ → → -→ →→_F →F œ →F œ

→ → → →

→ →E†F → →F†F

F†F F†F

-œ Ò- → →_{→ →}F†FÓF œ-F œ E

F†F

→ → →

Sólo si Ð Ã Ñ E œ E Ä→→_F → →F œ Eß→ œ

→→ →→

→ →E†F → →E†F

F†F F†F

"(Ñ W3 E • F Á ! à→ → →

T ÞHÞ E ÎÎ F Ç→ → t ÐE F Ñ œ→,→ ) œ !, o ) œ 1

Solución.

→E † F œ E † F † -9= ÐE F Ñ→ ¹ ¹ ¹ ¹→ → t →,→

Si 3Ñ →E ÎÎ F Ä→ t ,ÐE F Ñ œ ! 9→ → t ,ÐE F Ñ œ→ → 1

33ÑSólo si t ÐE F Ñ œ→,→ ) œ !, o ) œ 1 Ä E ÎÎ F→ →

")Ñ Obtenga una fórmula para la distancia desde un punto . T! a

→_L → → _{Considere el caso en que P}→ →

œ E  >F ß ! œ !@

→_L → →

œ E  >F ß ÐBß Cß DÑ œ Ð+ ß + ß + Ñ  >Ð, ß , ß , Ñ" # $ " # $

B œ +  >, ß C œ +  >, ß D œ +  >," " # # $ $

ÐBß Cß DÑ œ Ð+  >, ß +  >, ß +  >, Ñ" " # # $ $

. œ4 ÈÐB  BÑ  ÐC  CÑ  ÐD  DÑ! # ! # ! #

. œ ÐB  BÑ  ÐC  CÑ  ÐD  DÑ₄# ! # ! # ! #, 4 −  . œ œ T  E  #>ÐT  EÑ † F  > F₄# ¸ ! ¸# ! #¸ ¸#

. œ4 T  E  #>ÐT  EÑ † F  > F! !

# _# #

ɸ ¸ ¸ ¸

H Ð. Ñ œ> 4 " Ò  #ÐT  EÑ  #> F Ó!

# T E  #>ÐT EÑ> F

#

ɸ ! ¸ ! ¸ ¸

# _# # ¸ ¸

H Ð. Ñ œ ! Ç> 4 " Ò  # ÐT  EÑ † F  #> F Ó œ !!

# T E  #>ÐT EÑ> F

#

ɸ ! ¸ ! ¸ ¸

# _# # ¸ ¸

Ç  ÐT  EÑ † F  > F! ¸ ¸# œ ! Ç > F¸ ¸# œ ÐT  EÑ † Fß! > œ ÐT EцF!_{¸ ¸F} #

. œ _ʸT  E  #! ¸# ÐT EцF!_{¸ ¸F}# ÐT  EÑ † F  Ò! ÐT EцF!_{¸ ¸F} # Ó F#¸ ¸#

"*Ñ +Ñ Verifique: → → →3 ß 4 ß 5 − ‘$ß son tales que À

3Ñ 3 ‚→ → →j œ 5 ß 33Ñ 4 ‚ 5 œ 3 ß→ → → 333Ñ 5 ‚ 3 œ 4→ → →

,Ñ Encuentre →3 ‚ 5 œ→

Solución.

3Ñ 3 ‚ 4 œ→ →

Ð"ß !ß !Ñ ‚ Ð!ß "ß !Ñ œ 3_{" !}4 5_! œ 3  4  5

! " !

! ! " ! " !

" ! ! ! ! "

â â â â â â â â â â â â º º º º º º → → → → → →

œ 5 œ Ð!ß !ß "Ñ→

33Ñ 4 ‚ 5 œ 3_{! "}4 5_! œ 3  4  5

! " !

" ! ! ! ! "

" ! ! ! ! "

→ → ââ_â→ → →ââ_â → → →

â â

â â

â â º º º º º º

333Ñ 5 ‚ 3 œ 3_{! !}4 5_" œ 3  4  5

" ! !

! " ! " ! !

! ! " ! " !

→ → ââ_â→ → →ââ_â → → →

â â

â â

â â º º º º º º

œ Ð!ß "ß !Ñ œ 4→

3@Ñ 3 ‚ 5 œ 3_{" !}4 5_! œ 3  4  5

! ! "

! ! " ! " !

! " ! " ! !

→ → ââ_â→ → →ââ_â → → →

â â

â â

â â º º º º º º

œ Ð!ß  "ß !Ñ œ  4→

#!Ñ Calcular →T ‚ U→, ÐT ‚ UÑ G→ → →· , en los siguientes casos À

+Ñ T œ Ð " ß # ß !Ñ→ →U œ Ð  $ß "ß !Ñß →G œ Ð%ß *ß  $Ñ

,Ñ T Ð  $ß  #ß  "Ñß U œ Ð#ß !ß %Ñß G œ Ð"ß "ß "Ñ→ → →

Solución. +Ñ T ‚ U œ 3_{" #}4 5_! œ 3  4 _-  5

- $ " !

# ! " ! " #

" ! $ ! $ "

→ → ââ_â → → →ââ_â → → →

â â

â â

â â º º º º º º

œ # 3  ! 4  ( 5 œ Ð#ß !ß (Ñ→ → →

ÐT ‚ UÑ G œ Ð#ß !ß (Ñ Ð"ß "ß "ß Ñ œ #  ( œ *→ → →· · ,Ñ MHÞ

#"Ñ Encuentre el área del # cuyos vértices son À

T œ Ð!ß !ß !Ñß T œ Ð"ß "ß "Ñß T œ Ð#ß !ß !Ñß T œ Ð"ß  "ß  "Ñ" # $ %

⎯→ ⎯→ → → →

T T ‚ T T œ 3_{" "}4 5_"

" " "

" # " _%

â â

â â

â â

â â

â â

â - - â

œ 3 " "  4 " "  5 " " œ

" " " " " "

→ → →

º_{- -} º º _- º º _- º

œ 3 † !  # † 4  # † 5 œ Ð!ß #ß  #Ñ→ → →

E œò ¸ T T ‚ T T" ¸ œ È%  % œ #È# ? ./ +Þ

⎯→ ⎯→

" # %

##Ñ +Ñ P.D. →E ‚ ÐE  F Ñ œ E ‚ F→ → → →

,Ñ Demuestre el teorema del seno :_{=/8Ð Ñ}+_! œ _{=/8Ð Ñ},¸_" œ _{=/8Ð Ñ}-¸_#

Solución.

,Ñ _{=/8Ð Ñ}+_! œ _{=/8Ð Ñ},¸_" œ _{=/8Ð Ñ}-_#

¸ ¸→E œ +ß ¸ ¸→F œ ,ß ¸ ¸→G œ

-=/8Ð Ñ œ! GH_, Ä GH œ , † =/8Ð Ñ!

=/8Ð Ñ œ" GH₊ Ä GH œ - † =/8Ð Ñ"

Ä , † =/8Ð Ñ œ + † =/8Ð Ñ Ä! " _{=/8Ð Ñ}+_! œ _{=/8Ð Ñ},_" ЇÑ

=/8Ð Ñ œ! FX_- Ä FX œ - † =/8Ð Ñ! , =/8Ð Ñ œ# FX₊ Ä FX œ + † =/8Ð Ñ#

- † =/8Ð Ñ œ + † =/8Ð Ñ Ä! # _{=/8Ð Ñ}+_! œ _{=/8Ð Ñ}-_# Ї‡Ñ

./ Ð‡Ñ C Ї‡Ñ _{=/8Ð Ñ}+_! œ _{=/8Ð Ñ},_" œ _{=/8Ð Ñ}-_#

#$Ñ Calcular Þ E † ÐF ‚ G Ñ œ ß→ → → Ð E ‚ F Ñ † G œ→ → →

Solución.

Sean →E œ Ð+ ß + ß + Ñ F œ Ð, ß , ß , Ñß G œ Ð- ß - ß - Ñ" # $ → " # $ → " # $

→ → →

E † ÐF ‚ G Ñ œ

+ + + , , , - - -â â â â â â â â â â â â

" # $

" # $

" # $

œ + , ,  + , ,  + , ,

- - -

-" # $ # " $ $ " #

# $ " $ " #

º º º º º º

œ + Ð, -  , - Ñ  + Ð, -  , - Ñ  + Ð, -  , - Ñ" # $ $ # # " $ $ " $ " # # "

ÐE ‚ F Ñ † G œ ₊3 ₊4 ₊5 † Ð- ß - ß - Ñ œ

, , ,

→ → → ââ_â→ → →ââ_â

â â

â â

â "" ## $$â

" # $

œ Ò 3 + +  4 + +  5 + + Ó † Ð- ß - ß - Ñ œ

, , , , , ,

→ → →

º # $º º " $º º " #º

# $ " $ " # " # $

œ Ð+ ,  + , ß + ,  + , ß + ,  + , † Ð- ß - ß - Ñ# $ $ # $ " " $ $ " " $ " # $

œ Ð+ ,  + , Ñ-  Ð+ ,  + , Ñ-  Ð+ ,  + , Ñ-# $ $ # " $ " " $ # $ " " $ $

#%Ñ Sean , vectores en , , , los ángulos del → →E F ‘$ ! " # ˜ SEF

Demuestre que À -9=Ð ! "  Ñ œ  "#

Hint. demuestre que À

-9=Ð  Ñ œ  -9=Ð Ñ =/8Ð  Ñ œ =/8Ð Ñ! " # , ! " #

Solución +Ñ

1 Ð  Ñ œ! " # Ä -9=Ò  Ð  ÑÓ œ -9=Ð Ñ1 ! " #

-9=Ð Ñ † -9=Ð  Ñ  =/8Ð Ñ † =/8Ð  Ñ œ -9=Ð Ñ1 ! " 1 ! " #

 " † -9=Ð  Ñ  ! † =/8Ð  Ñ œ -9=Ð Ñ! " ! " #

Análogamente: =/8Ð  Ñ œ =/8Ð Ñ! " #

-9=Ð ! "  Ñ œ -9=Ð  Ñ-9=Ð Ñ  =/8Ð  Ñ=/8Ð Ñ# ! " # ! " #

œ  -9=Ð Ñ-9=Ð Ñ  =/8Ð Ñ=/8Ð Ñ# # # #

œ  Ò-9= Ð Ñ  =/8 Ð ÑÓ œ  "# # # #

,Ñ! " #, , los ángulos del ˜ SEF Ä ! "  # œ 1 -9=Ð ! "  Ñ œ -9=Ð Ñ œ  "# 1

#&Ñ Dados los puntos :

B A B

+Ñ EÐ$ß #ß "Ñß→ →Ð  "ß &ß (Ñ ,Ñ→Ð  #ß %ß  &Ñß →Ð  "ß $ß &Ñ

-Ñ EÐ  #ß  &ß  (Ñß F Ð$ß  &ß *Ñ→ →

3 Ñ Encuentre las ecuaciones, vectoriales, simétricas y paramétricas de las

rectas que pasan por y son paralelas a la direccion dada por→E →F 33Ñ Encuentre las ecuaciones , vectoriales , simètricas y

paramétricas de las rectas pasan por y À E→ →F

333Ñ Encuentre los cosenos directores de cada una de las rectas

en y 3Ñ 33Ñ

3@Ñ Encuentre un conjunto de números directores para cada

una de las rectas en 3Ñ

Solución.

3Ñ +Ñ EÐ$ß #ß "Ñß F Ð  "ß &ß (Ñ À→ → →T œ E  > † F→ →

ÐBß Cß DÑ œ Ð$ß #ß "Ñ  >Ð  "ß &ß (Ñ

-Ñ EÐ  #ß  &ß  (Ñß F Ð$ß  &ß *Ñ à → → →T œ E  > † F→ → ÐBß Cß DÑ œ Ð  #ß  &ß  (Ñ  >Ð$ß  &ß *Ñ

33Ñ +Ñ EÐ$ß #ß "Ñß F Ð  "ß &ß (Ñ à T œ E  > † F→ → → → →

⎯→

FE œ Ð  "ß &ß (Ñ  Ð$ß #ß "Ñ œ Ð  %ß #ß 'Ñ ÐBß Cß DÑ œ Ð$ß #ß "Ñ  >Ð  %ß #ß 'Ñ

B œ $  %>ß C œ #  #>ß D œ "  '> Ec. Parámetricas B  $ D  " Ec. Simétricas

% # '

C  #

œ œ

,Ñ →AÐ  #ß %ß  &Ñß →BÐ  "ß $ß &Ñ À

→ → ⎯→ ⎯→

T œ E  > † FE à FE œ Ð  "ß $ß &Ñ  Ð  #ß %ß  &Ñ œ Ð"ß  "ß "!Ñ

ÐBß Cß DÑ œ Ð  "ß $ß &Ñ  >Ð"ß  "ß "!Ñ

#' Ñ Una recta pasa por→T Ð  #ß $ß "Ñß T Ð$ß  #ß  "Ñ1 →# con

dirección positiva de →T1 a →T2:

+Ñ Encuentre un conjunto de números directores para la linea

de → →T1a T2

,Ñ Encuentre los cosenos directores de la linea LT T_{" #} Solución.

+Ñ → →T œ T  > T T" ⎯→" #

ÐBß Cß DÑ œ Ð  #ß $ß "Ñ  >Ð&ß  &ß  #Ñ

B œ  #  &>ß C œ $  &>ß D œ "  #>

B# D "

& & #

C  $

-9=Ð Ñ œ! & -9=Ð Ñ œ" & ß -9=Ð Ñ œ# #

#* #* #*

È È È

#(Ñ Sea →E œ Ð!ß "ß &Ñß F œ Ð  → È"% ß &ß "Ñ

Calcular : 3Ñ ¸ ¸ ¸ ¸→E , →F , 33Ñ Calcular : ·→E F→

333Ñ Calcular el ángulo entre y → →E F

Solución.

3Ñ ¸ ¸→E œ È!  "  #& œ È#'

¸ ¸→F œ È"%  #&  " œ È%!

33Ñ E F œ Ð!ß "ß &Ñ Ð → →· · È"% ß &ß "Ñ œ ! Ð · È"% Ñ  " &  & " œ "!· ·

333Ñ E F œ E→·→ ¸ ¸ ¸ ¸→ →F -9=Ð Ñ Ä -9=Ð Ñ œ) ) _{→ →}→ →E F œ "! œ !ß $"!!)(

E F #' %!

·

¸ ¸ ¸ ¸ È È

) œ +<- -9=Ð!ß $"!!)(Ñ œ "ß #&&&" <+.

#)Ñ Cual de los siguientes vectores son paralelos a →T œ Ð"ß "ß  "Ñ ?

3Ñ Ð#ß #ß  #Ñ 33Ñ Ð#ß  #ß #Ñ 333Ñ Ð  #ß #ß #Ñ

3@Ñ Ð"ß #ß  #Ñ @Ñ Ð" " "_# ß _# ß Ñ_#

Solución.

3Ñ Ð#ß #ß  #Ñ œ #Ð"ß "ß  "Ñ

33Ñ Ð#ß  #ß #Ñ œ >Ð"ß "ß  "Ñ Ç # œ #>ß  # œ >ß # œ >

" œ >ß  # œ >ß # œ > Ä Ã

No son paralelos

333Ñ Ð  #ß #ß #Ñ œ >Ð"ß "ß  "Ñ Ç > œ  #ß > œ #ß > œ  # Ä Ã

3@Ñ Ð"ß #ß  #Ñ œ >Ð"ß "ß  "Ñ Ç > œ "ß > œ #ß > œ # Ä Ã

No son paralelos

@Ñ Ð" " "_# ß _# ß Ñ œ >Ð"ß "ß  "Ñ Ç > œ  ß > œ  ß > œ _# "_# "_# "_#

Son paralelos

#*Ñ +Ñ Encuentre todos los vectores que son ortogonales con / œ Ð"ß !ß !Ñ"

,Ñ Encuentre todos los vectores que son ortogonales a

→_{E y a E}→

1 œ Ð"ß !ß "Ñ # œ Ð!ß "ß !Ñ

Solución.

+Ñ ÐBß Cß DÑ † Ð"ß !ß !Ñ œ ! Ä B œ !ß C œ Cß D œ D

Luego son ortogonales con / œ Ð"ß !ß !Ñ" todos los vectores de la forma:

Ð!ß Cß DÑ œ CÐ!ß "ß !Ñ  DÐ!ß !ß "Ñ a C ß D − ‘ß Cß D Á !

,Ñ →E1 ‚ →E# œ Ð"ß !ß "Ñ ‚ Ð!ß "ß !Ñ ¼ →E1C →E#

→_E →_{E · · ·}

1 ‚ # œ

â â

â â

â â

â â

â â

â â º º º º º º

→ → →

→ → →

3 4 5

" ! "

! " !

œ 3 ! "  4 " "  5 " !

" ! ! ! ! "

→_E →_{E · · ·}

1 ‚ # œ 3 Ð  "Ñ  4 !  5 " œ Ð  "ß !ß "Ñ→ → →

$!Ñ +Ñ Encuentre un vector no nulo que sea ortogonal a B→œ Ð"ß #ß  "Ñ

Encuentre un vector no nulo que sea ortogonal a,Ñ

→F œ Ð"ß #ß  "Ñ y →G œ Ð  "ß !ß $Ñ

Solución.

+Ñ ÐBß Cß DÑ Ð"ß #ß  "Ñ œ ! Ä B  #C  D œ !·

B œ D  #C , C œ C ß D œ D

ÐD  #Cß Cß DÑ œ CÐ  #ß "ß !Ñ  DÐ"ß !ß "Ñ a Cß D − ‘ß Cß D Á !

son ortogonales con B→œ Ð"ß #ß  "Ñ

,Ñ F ‚ G œ→ →

â â â â â â â â â â â â → → →

3 4 5

" #  "

 " ! $

œ 3 # "  4 " "  5 " #

! $ " $ " !

→_· →_· →_·

º - º º_- - º º_- º

œ →3 ' · →4 #·  5 #→· œ Ð'ß  #ß #Ñ

→F ‚ G œ Ð'ß  #ß #Ñ→ es ortogonal a : →F œ Ð"ß #ß  "Ñ y →G œ Ð  "ß !ß $Ñ

$"Ñ Dado A → œ Ð$ß &ß (Ñ y →F œ Ð"ß #ß  $Ñ

Encuentre la proyección de A sobre B , de B sobre A Solución.

→ →

E_→ œ Ð ÑF œ Ð"ß #ß  $Ñ

F

→ →

→ →E F )

F F "%

· ·

·→ →E F œ Ð$ß &ß (Ñ † Ð"ß #ß  $Ñ œ $  "!  #" œ  )

→ →

F F œ Ð"ß #ß  $Ñ † Ð"ß #ß  $Ñ œ "  %  * œ "%·

→F _→ œ Ð ÑE œ→ Ð$ß &ß (Ñ

E

→ → → →

E F )

E E )$

· ·

$#Ñ Seanà

U⎯→_" " , " ," U_# " , " , # U_$ " ," ,

$ $ $ ' ' ' # #

œ Ð_{È È È} Ñß œ Ð_{È È È} Ñß œ Ð_{È È} !Ñ

P.D. que son ortogonales dos a dos y que cada uno+Ñ

es un vector unitario

SoluciónÞ E œ Ð+ß ,ß -Ñ→ ¸ ¸ ÈE œ→ +  ,  -# # #

3Ñ→ →U_" † U_# œ Ð " , " ,"ÑÐ " , " , # Ñ œ "  "  # œ !

$ $ $ ' ' ' ") ") ")

È È È È È È È È È

U U , , , ,

→ →

" † $ † œ Ð_{È È È}"_$ "_$ "_$ÑÐ_{È È}"_# "_# !Ñ œ _È"_'  _È"_'  ! œ !

→ →_{U U , , , ,}

# $ œ ÐÈ È"_' "_' È#_'ÑÐÈ È"_# "_# !Ñ œ '#  '#  ! œ !

¸ ¸→U_" É" " " É$ ¸→U ¸ É" " % É'

$ $ $ $ # ' ' ' '

œ   œ œ "ß œ   œ œ "

¸ ¸ É→U_$ " " É#

# # #

œ  œ œ "

→_{/→ œ Ð}→ → _{Ñ / œ ÒÐ"ß !ß !Ñ Ð}→ _{ÑÓÐ Ñ}

U1 E · U" " " · , , , ,

" " " " " "

$ $ $ $ $ $

È È È È È È

œ " Ð " " "Ñ œ Ð ß ß Ñ" " "

$ $ $ $ $ $ $

È È È È, ,

→_{/→ œ Ð}→ → _{Ñ / œ ÒÐ"ß !ß !Ñ Ð}→ _{ÑÓÐ ß ß}

U#

E · U_{" # "} · " , " , # " " # )

' ' ' ' ' '

È È È È È È

œ # Ð " , " , # Ñ œ Ð ß ß Ñ" " "

' ' ' ' ' ' '

È È È È

→_{/→ œ Ð /}→ → _{Ñ / $ œ ÒÐ"ß !ß !Ñ Ð}→ _{!ÑÓÐ !Ñ}

U$ " $

" " " "

# # # #

· U · _{È È}, , ,_{È È} ,

œ " Ð " " ß !Ñ œ Ð ß" "ß !Ñ

# # # # #

È È È,

-Ñ Encuentre la proyecciòn de AÀ →œ Ð+", , +# + Ñ$

sobre U U , Uà 1ß 2 3Þ

→ →

E→_F œ Ð ÑF Þ

→ → → →E F

F F

· ·

→ → →_{U , U , U son .}

1 2 3 ?83>+<39=

→_{A [ , , · , , ] , ,}

→

U1 œ Ð+" + + Ñ Ð$ Ñ Ð Ñ

" " " " " "

$ $ $ $ $ $

# È È È È È È

œ + +  + Ð , , Ñ œ +  +  + Ð"ß "ß  "ÑE_U

$ $ $ $

" " "

$

1 2 3 1 2 3

È È È È →→_$

œ ÒÐ+" , , ·+# + Ñ Ð$ È È"_#,"_#, !ÑÓÐÈ È"_#,"_#,!Ñ

œ +  + Ð , , !Ñ œ +  + Ð"ß  "ß !Ñ

# # #

" "

#

1 2 1 2

È È È

$$Ñ +Ñ Si , → →E F −‘$, demuestre que:

¸→E  F→¸# œ E¸ ¸→ #  F¸ ¸→ #  #ÐE F Ñ→·→ Si ,Ñ tÐE F Ñ œ→,→ , ) →E  F œ G→ → → , ¸ ¸G œ

-Entonces À - œ +  ,  # + , -9=Ð Ñ# # # · · · ) : (Teorema del coseno )

+Ñ E  F¸→ →¸# œ ÐE  F Ñ ÐE  F Ñ œ E ÐE  F Ñ  F ÐE  F Ñ→ → · → → → →· → →· → → ¸→E  F→¸# œ E E  E F  F E  F F→ → →· ·→ →·→ → →·

¸→E  F→¸# œ E¸ ¸→ #  F¸ ¸→ #  #ÐE F Ñ→·→

$%Ñ +Ñ Una linea pasa por EÐ  #ß $ß  "Ñ FÐ$ß  #Þ"Ñ, .

Encuentre la distancia del punto ß GÐ$ß #ß "Ñ a la linea que pasa por y E F

Encuentre el coseno del angulo de la recta que pasa,Ñ

por ⎯→ ⎯→SE y SF Þ

+Ñ

Solución.

+Ñ PEF À T œ E  > † EF→ →

⎯→

ÐBß Cß DÑ œ Ð  #ß $ß  "Ñ  >Ð&ß  &ß #Ñ

Los puntos de L son de la forma_EF

ÐBß Cß DÑ œ Ð  #  &>ß $  &>ß  "  #>Ñ

La distancia de C a un punto P ÐBß Cß DÑde la recta L_EF es

. œT ÈÐB  $Ñ  ÐC  #Ñ  ÐD  " Ñ# # #

. œT ÈÐ  &  &> Ñ  Ð"  &> Ñ  Ð  #  #> Ñ# # #

La distancia CD œ Q 38Ö. ÎT − PT EF× lo cual es equivalente a encontrar el valor de que hace que > .T sea mínimo.

. œ Ð  &  &> Ñ  Ð"  &> Ñ  Ð  #  #> Ñ_T# # # #

D_> # _T D_>

T T

Ò . Ó œ #. † Ò . Ó œ "!Ð  &  &> Ñ  "!Ð"  &> Ñ  %Ð  #  #> Ñ

D_{> T} "!Ð&&> Ñ"!Ð"&> Ñ%Ð##> Ñ #.

Ò . Ó œ

T

D_{> T} "!Ð&&> Ñ"!Ð"&> Ñ%Ð##> Ñ #.

Ò . Ó œ ! Ç œ !

T

Ç "!Ð  &  &> Ñ  "!Ð"  &> Ñ  %Ð  #  #> Ñ œ !

"!)>  &!  "!  ) œ ! Ä > œ _"!)') œ "(_#(

Luego CD œ ÉÐ  &  & † "(_#( Ñ  Ð"  & †# "(_#( Ñ  Ð  #  # †# "(_#( Ñ#

œ È)ß ''#"#% ? ./ 6981Þ

,Ñ Encuentre el coseno del angulo de la recta que pasa

por ⎯→ ⎯→SE y SF

EÐ  #ß $ß  "Ñ FÐ$ß  #Þ"Ñ,

⎯→ ⎯→

¸⎯→SE œ¸ È%  *  " œ È"% ¸⎯→SF œ¸ È*  %  " œ È"%

⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→

SE † SF œ ¸ SE † SF † -9=Ð Ñ Ä -9=Ð Ñ œ¸ ¸ ¸ ) ) _{⎯→ ⎯→}⎯→ ⎯→SE † SF

SE † SF

¸ ¸ ¸ ¸

-9=Ð Ñ œ

)

$&Ñ Una linea L tiene números directores 1 À "ß #ß " y otra

linea L tiene números directores₂ À "Þ  #ß #

Determine un conjunto de números directores para una linea que es ¼ a L y a L .:" 2

Sean +ß ,ß -ß números directores de la recta L que es ¼ L y a L" 2

· · ·

+ "  # ,  " œ ! Ä +  #, œ 

-" +  # ,  # - œ ! Ä +  #, œ  #-· · ·

#+ œ  $- Ä + œ $-_#

', œ $- Ä , œ -"_#

œ

-Si - œ #à  $ß "ß # forman un conjunto de números directores de una recta

L que es ¼ L y a L" 2

$'Ñ Dadas las lineas

+Ñ →P œ Ð!ß "ß  "Ñ  >Ð  $ß %ß &Ñà U œ Ð!ß  "ß "Ñ  =Ð%ß $ß #Ñ→

¿ Se intersectan ?

,Ñ →P œ Ð"ß  &ß #Ñ  >Ð  $ß  %ß !Ñà U œ Ð$ß  "$ß "Ñ  >Ð%ß !ß "Ñ→

¿ se intersectan ? Solución.

+Ñ→P œ Ð!ß "ß  "Ñ  >Ð  $ß %ß &Ñ →U œ Ð!ß  "ß "Ñ  =Ð%ß $ß #Ñ

B  ! D  " B  ! > " D"

$ % & % $ #

C  "

œ œ œ œ

ÐBß Cß DÑ œ Ð  $>ß "  %>ß  "  &>Ñ ÐBß Cß DÑ œ Ð!ß  "ß "Ñ  =Ð%ß $ß #Ñ

B œ  $> B œ %= Ä  $> œ %=

C œ "  %> C œ  "  $=

D œ  "  &> D œ "  #=

"  %> œ  "  $= Ä %> œ $=  # Ä > œ $=_%  #_%  "  &> œ "  #= Ä &> œ #=  # Ä > œ #=#_&

Ä $=_%  #_% œ #=#_& Ä "&=  "! œ )=  ) (= œ ") Ä = œ ")₍

> œ _%$ † ")₍  _%# œ _"%#(  "_# œ #!_"% œ "!₍

 $"!₍ œ %")₍ Ä Ã No se intersectan

$(Ñ Sean los puntos P→1ÐB", , C" D Ñ" y P→#ÐB C D Ñ#, ,# #

Demuestre que si À

P →₀ œ Ð B ß C ß D Ñ! ! ! es el punto medio de P P , entonces se tiene que_{1 2} À

B_! œ C œ D œ_!

!

# #

B  B , , D  D

# # #

C  C

1 2 1 2

T T T T

" !

! # œ - Ä

ÐB  B ß C  C ß D  D Ñ œ ÐB  B ß C  C ß D  D Ñ! " ! " ! " - # ! # ! # !

B  B œ! " -ÐB  B Ñß C  C œ ÐC  C Ñ ß# ! ! " - # !

D  D œ ÐD  D Ñ! " - # !

W3 - œ "

B  B œ B  B ß C  C œ C  C! " # ! ! " # ! ß D  D œ D  D! " # !

#B œ B  B ß! " # #C œ C  C! " # #D œ D  D! " #

$)Ñ P.D. que la linea P → œ Ð"ß $ß  "Ñ  >Ð!ß $ß &Ñà está totalmente

contenida en el plano à #B  &C  $D œ  "'. Solución. P → œ Ð"ß $ß  "Ñ  >Ð!ß $ß &Ñ

ÐBß Cß DÑ œ Ð"ß $  $>ß  "  &>Ñ B œ "ß C œ $  $>ß D œ  "  &>

remplazando en la ecución del plano se tiene:

# † "  & † Ð$  $>Ñ  $ † Ð  "  &>Ñ œ  "'

#  "&  "&>  $  "&> œ  "'

 "' œ  "' se cumple para todo >

$*Ñ Encuentre la ecuación del plano que es perpendicular en el

punto medio del segmento de recta que une los puntos ; T Ð  #ß $ß  "Ñß T Ð%ß  $ß $Ñ" #

Solución. U œ Ð"ß !ß "Ñ coordenadas del punto medio Números directores de

L_{T T" #}à ' ß  ' ß % PLUà B  "ß Cß D  "

L_{T T" #} ¼ P_LU Ç 'ÐB  "Ñ  'C  %ÐD  "Ñ œ ! 'B  'C  %D  "! œ !

$B  #C  #D  & œ !

%!ÑDetermine las ecuaciones simétricas de la linea de

intersección de los planos

+Ñ $B  C  D  # œ !, B  #C  D  % œ !

,Ñ $B  C  & œ ! , C  D  " œ !

Solución.

$B  C  D  # œ !

B  #C  D  % œ ! Ä (B  $D œ ! Ä (B_$ œ D

(C  #D  "% œ ! Ä (C  "%_# œ Dß D œ D

(B B  ! D  !

$ # "

(C  "% C  #

œ œ D Ä $ œ # œ

( (

,Ñ $B  C  & œ ! , C  D  " œ !

Solución.

$B  C  & œ ! Ä C  " œ  $B  % œ  $ÐB  Ñ%_$

C  "

$ "

B 

œ %$

C  D  " œ ! Ä C  " œ  D Ä C  "_$ œ _$D

B 

" $ $

C " D !

%

$ _{œ œ}

$B  C  & œ ! Ä $B  C  $  # œ ! Ä $ÐB  "Ñ œ  ÐC  #Ñ

ÐB"Ñ ÐC#Ñ

" œ $

%"Ñ Escriba la ecuación del plano que es perpendicular a la linea

de intersección de los planos À

, $B  C  D  # œ ! B  #C  D  % œ !

y que contiene al punto UÐ"ß ß #ß  "Ñ

Solución.

Ecuación de la linea de intersección:

$B  C  D  # œ ! Ä $B  C œ  D  #

B  #C  D  % œ ! Ä B  #C œ  D  %

Ä (B œ  $D Ä _$B

œ

Ä (C œ #D  "% Ä (ÐC  #Ñ œ #D Ä C#_# œ ₍D

B  ! D  !

$ # (

C  #

œ œ À Ecuación de la linea de intersección

B  "ß C  # ß D  ( números directores de LUT

ÐB  "Ñ † Ð  $Ñ  ÐC  #Ñ † #  ÐD  "Ñ † ( œ ! Ec. del plano pedido

 $B  #C  (D  $  %  ( œ !

%#Ñ Un plano (H) pasa por T Ð"ß #ß "Ñ y UÐ#ß "ß $Ñ y es

perpendicular al plano À $B  #C  $D  ' œ !Þ

Encuentre su ecuación.

Sean : , , números directores de la normal N al plano (H)E F G "

6?/19 R † R œ ! Ç $ † E  # † F  $ † G œ !"

PT U ¼ PR" Ç  " † E  F  # † G œ !

Sea X ÐBß Cß DÑun punto cualquiera de (H)

Números directores de L_{X U} À B  #ß C  "ß D  $

PX U ¼ PR" Ç EÐB  #Ñ  FÐC  "Ñ  GÐD  $Ñ œ !

Se tiene:

3Ñ $ † E  # † F  $ † G œ !

33Ñ  " † E  F  # † G œ ! 333Ñ EÐB  #Ñ  FÐC  "Ñ  GÐD  $Ñ œ !

______________________________________ $ † E  # † F œ  $ † G

 E  F œ # † G Ä &E œ  (G Ä E œ (_& G

Ä &F œ $G Ä F œ G$_&

V//7:6+D+8.9 333Ñ

( $

& GÐB  #Ñ  GÐC  "Ñ  GÐD  $Ñ œ !&

%$Ñ Sea ÐT Ñ À $B  C  & œ !" ÐT Ñ À C  D  " œ !#

Encuentre la ecuación de un plano ¼ que pasa por la linea de de ambos planos y que contenga al punto  Ð"ß #ß  "Ñ

Solución. ÐT Ñ À $B  C  & œ ! Ä C  # œ  $B  $"

ÐT Ñ À# C  D  " œ ! Ä C  # œ  D  "

C  # œ  $B  $ œ  D  "

C  # œ  $ÐB  "Ñ œ  ÐD  "Ñ

L: C  # ecuación de la linea de de ambos planos

" "

B  " D  " 

œ " œ 

$

Números directores de L: , "  ß  ""_$

Sea (H) el plano pedido, se tiene entonces que si A;B;C son números directores de la normal a (H) se debe tener que si X ÐBß Cß DÑes un punto cualquiera de (H) la recta L es ortogonal a la linea de intersección de los_UX planos , luego se debe tener que:

L_UX L "

$

¼ Ç "ÐB  "Ñ  ÐC  #Ñ  "ÐD  "Ñ œ !

en que: , "  ß  ""_$ . Números directores de L ÐB  "Ñ ÐC  #Ñ ÐD  "Ñ, , Números directores deLUX

Luego:B  C  $D  # œ ! es la ecuación pedida.

%%Ñ Decida si el plano $B  %C  *D  ## œ ! ß contiene a P"

P À" B !_" œ C  "_$ œ D #_"

Solución. B œ >ß C œ  "  $>ß D œ  #  > $>  %Ð  "  $>Ñ  *Ð  #  >Ñ  ## œ !

$>  %  "#>  ")  *>  ## œ !

$>  "#>  *>  %  ")  ## œ ! ! œ !

%&Ñ Encuentre la ecuacion del plano que pasa por À

T Ð  #ß $ß  "Ñ ß UÐ%ß  $ß $Ñß VÐ"ß "ß "Ñ

Solución.

3Ñ Si los vectores ⎯→ ⎯→ ⎯→UX UT UV, , , están en el mismo plano el volumen

del sólido que tiene como lados ayacentes a esoso vectores es nulo.

¸ ⎯→ ⎯→ ⎯→UX † Ð UT ‚ UV Ñ œ !¸

⎯→ ⎯→ ⎯→

UX † Ð UT ‚ UV Ñ œ œ !

B  % C  $ D  $

'  ' %

 $ %  #

â â

â â

â â

â â

â â

â â

œ ÐB  %Ñ  ' %  ÐC  $Ñ ' %  ÐD  $Ñ '  ' œ !

%  #  $  #  $ %

º º º º º º

œ  %ÐB  %Ñ  ÐC  $ч!  'ÐD  %Ñ œ !

œ  %B  'D  ) œ ! Ä  #B  $D  # œ !

33ÑLa ecuación pedida es de la forma: EB  FC  GD  H œ !

Las coordenadas de À T ß Uß V deben satisfacer esa ecuación

+Ñ  #B  $C  "D  H œ ! ,Ñ %B  $C  $D  H œ ! -Ñ E  F  G  H œ !

%'ÑSean P À" B  !_" œ C  "_$ œ D  #_"

P À# B  !_# œ C  #₆ œ D  "_-#

3Ñ Decida si el plano: $B  %C  *D  ## œ !contiene a P"

33Ñ Decida si y son paralelasP" P#

333Ñ Encuentre la distancia entre y P" P#

Solución.

L3Ñ "à B œ >ß C œ  "  $>ß D œ  #  >Þ > − ‘ $B  %C  *D  ## œ !

$>  %  "#>  ")  *>  ## œ !

 *>  *>  ##  ## œ ! Ä ! œ !

Luego L está en el plano_"

33ÑL es paralela a L" #=33 sus números directores son proporcionales

" $ " Luego son paralelas

# œ ' œ #à

333ÑSea T un punto de L" Ð>ß  "  $>ß  #  >Ñß > œ " Ð"ß #ß  $Ñ − P"

El problema se reduce a calcular la distancia de Ð"ß #ß  $Ñ

a la recta P"

%(Ñ +Ñ Encuentre un vector →A ß no nulo ortogonal a →@ œ Ð"ß #ß  "Ñ ,Ñ Encuentre un vector →A ß ortogonal a à

y a

→_{@ œ Ð "ß #ß  "Ñ} →_{A œ Ð  "ß ! ß $Ñ}

Solución.

+Ñ ÐBß Cß DÑ ¼ Ð"ß #ß  "Ñ Ç ÐBß Cß DÑ † Ð"ß #ß  "Ñ œ ! B  #C  D œ ! Ä B œ  #C  D ß C œ C ß D œ DÞ

Luego los vectores de la forma:

Ð  #C  Dß Cß DÑ a Cß D Á !ß Cß D − ‘ son ¼ @ œ Ð"ß #ß  "Ñ→

ÐBß Cß DÑ ¼ Ð"ß #ß  "Ñ Ç B  #C  D œ ! Ä B  #C œ D

,Ñ ÐBß Cß DÑ ¼ Ð  "ß ! ß $Ñ Ç  B  $D œ ! Ä  B œ  $Dß C œ  D

%)Ñ Dados los planos: ÐT Ñ À #B  $C  'D  "# œ ! ÐUÑ À %B  'C  "#D  * œ !

3Ñ Encuentre un conjunto de números directores para la recta normal

a cada plano.

33ÑDecida si estos planos son paralelos, en caso afirmativo calcule la

distancia entre los planos Solución.

Sean: RÐT Ñ œ 89<7+6 +6 :6+89 T ß RÐT Ñ œ 89<7+6 +6 :6+89 T

3Ñ R_{ÐT Ñ} À #ß  $ß 'ß R_ÐUÑ À %ß  'ß "#

R_ÐUÑÑ œ #R_{ÐT Ñ}ß Son planos paralelos

Sea 33Ñ #B  $C  'D  "# œ ! Ä #B œ $C  'D  "#

B œ C  $D  '$_#

Si C œ #ß D œ  "ß Ä B œ $  $  ' œ !

Luego Ð!ß #ß  "Ñ − ÐT Ñ. El problema se reduce a calcular la distancia del punto Ð!ß #ß  "Ñ al plano (P)

%*ÑEncuentre las ecuaciónes ( Vectorial, Simétricas, Paramétricas )

de las rectas que pasan porÞ

3Ñ A→œ Ð"ß "ß  "Ñ y que es // a la dirección dada por Bà→œ Ð"ß %ß &Ñ 33Ñ U œ Ð*ß #ß " Ñ→ y pasa por →G œ Ð%ß "ß #Ñ

333Ñ ¿ Se intersectan estas rectas?

Solución.

3Ñ T œ→ →A  >F→ Ecuación vectorial

ÐBß Cß DÑ œ Ð"ß "ß  "Ñ  >Ð"ß %ß &Ñ

B œ "  >ß C œ "  %>ß D œ  "  &> Ecuaciones paramétricas

B" D" Ecuaciones simétricas

" % &

C"

33Ñ ⎯→ →T œ U  > UG⎯→ Ecuación vectorial

ÐBß Cß DÑ œ Ð*ß #ß " Ñ  >Ð  &ß  "ß  "Ñ

B œ *  &>ß C œ #  > ß D œ "  > Ecuaciones paramétricas

B* D"

& " "

C#

œ œ Ecuaciones simétricas

&!Ñ Encuentre un vector normal a cada plano y encuentre un

punto P en cada uno de ellos_!

3Ñ ÐT Ñ À B  C  D œ " 33Ñ ÐUÑ À #B  $C  D œ #

333Ñ ÐX Ñ À ÐB  #Ñ  $Ð C  &Ñ  %ÐD  "Ñ œ !

Solución.

3Ñ →E œ Ð"ß "ß "Ñ es normal a ÐT Ñß

B  C  D œ " Ä B œ  C  D  "ß C œ Cß D œ D

Si C œ "ß D œ "ß →T œ Ð  "ß "ß "Ñ − ÐT Ñ_!

33Ñ ⎯→F œ Ð#ß $ß  "Ñß es normal a ÐUÑß

U À #B  $C  D œ # Ä D œ #B  $C  # B œ Bß C œ C,

SiB œ "ß C œ "ß T œ Ð"ß "ß $Ñ − ÐUÑ→_!

333Ñ ⎯→F œ Ð"ß $ß  %Ñ es normal a ÐX Ñß

ÐX Ñ À ÐB  #Ñ  $Ð C  &Ñ  %ÐD  "Ñ œ !

B  $C  %D  #" œ ! Ä B œ  $C  %D  #"ß C œ Cß D œ D

Si C œ "ß D œ "ß Ð##ß "ß "Ñ − ÐX Ñ

&"Ñ Las lineas:→T œ Ð  #ß %ß 'Ñ  >Ð"ß #ß $Ñ ß U œ Ð  #ß %ß 'Ñ  >Ð$ß #ß "Ñß→

se intersectan en un punto.

Solución.

El punto de es  Ð  #ß %ß 'Ñ, se obtiene cuando > œ !Þ

Un punto sobre →T œ Ð  #ß %ß 'Ñ  >Ð"ß #ß $Ñ > œ ",

ÐBß Cß DÑ œ Ð  "ß 'ß *Ñ

Un punto sobreß U œ Ð  #ß %ß 'Ñ  >Ð$ß #ß "Ñß > œ "→ ÐBß Cß DÑ œ Ð"ß 'ß (Ñ

El problema se reduce a encontrar la ecuación del plano que pasa por tres puntos. , , T Ð  #ß %ß 'Ñ UÐ  "ß 'ß *Ñ VÐ"ß 'ß (Ñ

&#Ñ Encuentre la ecuación de un plano ¼ a la línea determinada

por T Ð  #ß #ß  "Ñß UÐ%ß  $ß $Ñ y que pasa por el punto

medio del trazo T U Þ

Solución.

T œ! pto. medio de T U œ Ð"ß  ß "Ñ"_#

Sea (P) el plano pedido À

números ditrectores de la normal al plano pedido À  "ß  &ß %

Sea X ÐBß Cß DÑun punto cualquiera de ÐT Ñla linea LT X! − ÐT Ñ

números directores de L_{T X}: " #

! B  "ß C  ß D  "

Luego:  " † ÐB  "Ñ  "_# † ÐC  Ñ  " † ÐD  "Ñ œ !"_#  B  C  D  " "_# "_%  " œ !

 %B  #C  %D  " œ !Ec. del plano ÐT Ñ

&$Ñ Encuentre el área del paralelogramo que tiene como lados

aydacentes a los vectoresà

3Ñ E œ Ð  "ß #ß !Ñ→ y →G œ Ð #ß "ß  "Ñ

33ÑSean →E œ Ð  $ß #ß "Ñ ß F œ Ð  &ß  %ß &Ñ ß G œ Ð &ß &ß )Ñ→ →

⎯→ ⎯→ ⎯→

EF , EH C EG ß

→ → → →

E œ Ð  $ß #ß "Ñ ß F œ Ð  &  %ß &Ñß G œ Ð &ß &ß )Ñß H œ Ð  &ß  (ß *Ñ

Solución.

-→ -→ → → →

E ‚ G œ 3_{" #}4 5_!

# " "

â â â â â â â â â â â â

œ 3 # !  4  " !  5  " #

"  " #  " # "

→_· →_· →_·

º º º º º º

œ # 3  4  & 5 œ Ð#ß  "ß  &Ñ·→ → →

E œ Ð#ß  "ß  &Ñ œò ¸ ¸ È%  "  #& œ È$! u. de área

33Ñ EF œ Ð#ß  'ß %Ñß EH œ Ð  #ß  *ß )Ñß EG œ Ð)ß $ß (Ñ⎯→ ⎯→ ⎯→

⎯→ ⎯→ ⎯→

EF EH ‚ EG Ñ œ œ "#'  #%  $)%  #))  %)  )%

# ' % # * ) ) $ ( ·Ð â â â â â â â â â â â â -- - -œ  $()

Z œ EF¸⎯→ ⎯→ ⎯→·ÐEH ‚ EG Ñ œ  $() œ $()¸ ¸ ¸ u. de volumen

&%Ñ 3Ñ Encuentre la ecuación de un plano ÐX Ñ ¼ a la línea

determinada por T Ð  #ß "ß "Ñß UÐ%ß $ß $Ñ y que pasa por el punto medio del trazo T U Þ

33Ñ Encuentre la ecuación del plano que pasa porÀ

T Ð  #ß $ß  "Ñß UÐ%ß  $ß $Ñß VÐ"ß "ß "Ñ sol: #B  $D  " œ !

333Ñ Encuentre el ángulo formado por PQR.

sol : tÐT UVÑ œ ) "#º ' Solución.

Sea ÐX Ñel plano pedido

T œ :>9Þ 7/.39 ./ T U œ Ð"ß #ß #Ñ!

Sea T ÐBß Cß DÑ − ÐX Ñß PT T! − ÐX Ñß

Números directores de PT T!: B  "ß C  ß D  ""_#

Luego: 'ÐB  "Ñ  #ÐC  #Ñ  #ÐD  #Ñ œ ! 'B  #C  #D  ' œ !

&&Ñ Dados los puntos À T Ð"ß #ß "Ñß UÐ  "ß #ß $Ñ

3Ñ Encuentre la ecuación de la esfera que tiene como diámetro

al segmento PQ,

Escriba las ecuaciones de la recta que pasa por P Q,

33Ñ C

dirección positiva de P a Q.

333Ñ Encuentre la ecuación del plano que es tangente a la esfera

en el punto T Ð"ß #ß "Ñ

Solución.

3Ñ S œ Ð!ß #ß #Ñpunto medio de PQ

.Ð!ß X Ñ œ ÈÐB  !Ñ  ÐC  #Ñ  ÐD  #Ñ œ# # # È#

B  C  %C  D  %D  ' œ !# # #

33Ñ → →L œ T  > T U ß⎯→ ⎯→ →T U œ U  T œ Ð  #ß !ß "Ñ→

ÐBß Cß DÑ œ Ð"ß #ß "Ñ  >Ð  #ß !ß "Ñ

333Ñ Números directores de L" À "ß !ß  "

Números directores deP À B  !ß C  #ß D  ##

P ¼ P Ç " † ÐB  !Ñ  ! † ÐC  #Ñ  " † ÐD  #Ñ œ !" #