1
EJERCICIOS DE LÍMITES DE FUNCIONES
Ejercicio nº 1.-
A partir de la gráfica de f(x), calcula:
x f lim x a)b)xlimf
x xlim1f
xc)
x f limx1
d)
e)xlim5f
xEjercicio nº 2.-
La siguiente gráfica corresponde a la función f(x). Sobre ella, calcula los límites:
x f lim x a)b)xlimf
x xlim3f
xc)
x f limx3
d)
e)limx0f
xEjercicio nº 3.-
Dada la siguiente gráfica de f(x), calcula los límites que se indican:
x f lim x a)b)xlimf
x xlim2f
xc)
x f limx2
d)
e)limx0f
x 46 8
Y
X
2
6 8
2
4 2
8 6
2
4
6
4
4 6 8
2
6 8
2 4
4 2
8 6
2
4
6
Y
X
4 6 8
2
6 8
2
4 2
8 6
2
4
6
4
Y
2
Ejercicio nº 4.-Calcula los siguientes límites a partir de la gráfica de f(x):
x f lim x a)b)xlimf
x
x f limx3
c)
x f limx3
d)
e)limx0f
xEjercicio nº 5.-
Sobre la gráfica de f(x), halla :
x f lim x a)b)xlimf
x
x f limx2
c)
x f limx2
d)
e)limx0f
xEjercicio nº 6.-
Representa gráficamente los siguientes resultados:
f x lim x a)
b)xlimg
x Ejercicio nº 7.-
, sabemosque: 31 función
la Para
x x x f
3
1 y
3 1
3
3 x
x lim x
x lim
x x
Representa gráficamente estos dos límites.
4 6 8
2
2
6 8
2 4
4 2
8 6
4
6
Y
X
4 6 8
2
6 8
2 4
4 2
8 6
2
4
6
Y
3
Ejercicio nº 8.-Representa gráficamente:
1a)
f x lim x
0b)
gx lim
1 x
Ejercicio nº 9.-
Representa los siguientes límites:
f x limf x
lim
x
x 2 2
Ejercicio nº 10.-
Representa en cada caso los siguientes resultados:
2a)
f x lim x
gx lim x b)
Ejercicio nº 11.- Calcula:
2 23a) lim x
x
x
lim
x 1 2
b)
8
x sen lim x
2 c)
Ejercicio nº 12.-
Halla los límites siguientes:
1 3
a) 2
2
x x x lim
x
x lim
x 6 3
b)
1
x log lim
x 1
c)
Ejercicio nº 13.- Resuelve:
2 4
a)
3 2 2
x x lim
x
1 23
b)
x
xlim
x tg lim
x
4
4
en 1 yen 3.2 3 función
la de límite el Calcula
4
x x x x
x f
Ejercicio nº 15.-
Calcula los siguientes límites:
3 2 4
a) 2
3
x x
lim x
9
b) 2
3
x
lim
x
x cos lim x 0
c)
Ejercicio nº 16.-
Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de x 2:
22 2
1
x x lim x
Ejercicio nº 17.-
, calculaellímitede ( ) en 2. Representala 65 1 función
la
Dada 2
f x x
x x
x x
f
información que obtengas.
Ejercicio nº 18.-
Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función a la izquierda y a la derecha de x 3:
9 1
2
3
x lim x
Ejercicio nº 19.-
Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de x 0:
x x
x lim
x 2
1 2
2
0
Ejercicio nº 20.-
Calcula el límite de la siguiente función en el punto x 3 y estudia su comportamiento por la izquierda y por la derecha:
3 1
5
Ejercicio nº 21.-función siguiente
la de cuando
y cuando
límite el
Calcula x x
y representa la información que obtengas:
3 4 2
1 2
x x x
f
Ejercicio nº 22.-
te gráficamen representa
y funciones siguientes
las de cuando
límite el
Halla x
la información que obtengas:
12 2 a)
3
x x
x f
5 2 3 b)
3 2
x x x
f
Ejercicio nº 23.-
Calcula los siguientes límites y representa la información que obtengas:
4
2 a) lim x x
x
x
x x lim
x 3 2 2
b)
2 3
Ejercicio nº 24.-
Calcula los siguientes límites y representa el resultado que obtengas:
x
x x lim
x 3 4
a)
2
x
x x lim
x 3 4
b)
4
Ejercicio nº 25.-
Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados obtenidos:
24 a) lim x
x
24 b) lim x
x
Ejercicio nº 26.-
Calcula y representa gráficamente la información obtenida
1 2
4 3
2 2
1
x x
x x lim
6
Ejercicio nº 27.-Halla el límite siguiente y representa la información obtenida:
1 3 3
5 4
2 3
2
1
x x x
x x lim
x
Ejercicio nº 28.-
Resuelve el siguiente límite e interprétalo gráficamente.
6 18 12 2
2 2
3
x x
x x
lim
x
Ejercicio nº 29.-
Calcula el siguiente límite y representa gráficamente los resultados obtenidos:
3 4
2
0 2
2 x x
x lim
x
Ejercicio nº 30.-
Calcula el siguiente límite e interprétalo gráficamente:
4 2
4
2
2
x
x lim x
Ejercicio nº 31.-
Resuelve los siguientes límites y representa los resultados obtenidos
31 1 a)
x lim x
2 3
3 b)
x x lim
x
Ejercicio nº 32.-
Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados que obtengas:
3 22 1 3 a)
x x lim
x
1 2
b) 2
3
x
x lim
7
Ejercicio nº 33.-Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas:
4 4
3 4
2 a)
x x x lim
x
3 2
2
1 1 2 3 b)
x x
x x lim
x
Ejercicio nº 34.-
, ycuando delasiguientefunción cuando
límite el
Halla x x
y representa los resultados que obtengas:
31 2
x x x f
Ejercicio nº 35.-
Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas:
x x lim
x 5 3
3 a)
x x lim
x 5 3
3 b)
Continuidad
Ejercicio nº 36.-
A partir de la gráfica de f(x ) señala si es continua o no en x 0 y en x 3. En el caso de no ser continua, indica la causa de la discontinuidad.
4 6 8
2
2
6 8
2 4
4 2 8 6
4 6 Y
8
x :f
función la
a e correspond gráfica
siguiente La
Di si es continua o no en x 1 y en x 2. Si en alguno de los puntos no es continua, indica cuál es la causa de la discontinuidad.
Ejercicio nº 38.-
¿Son continuas las siguientes funciones en x 2?
a) b)
4 6 8
2
6 8
2 4
4 2 8 6
2 4 6
Y
X
4 6 8
2
6 8 2 4
4 2 8 6
2 4 6
Y
X
Si alguna de ellas no lo es, indica la razón de la discontinuidad.
Ejercicio nº 39.-
x : fde gráfica la
Dada
4 6 8
2
6 8
2 4
4 2
8 6
2 4 6 Y
X
a)¿Es continua en x 1?
4 6 8
Y
X
2
6 8
2
4 2
8 6
2
4
6
9
b) ¿Y en x 2?Si no es continua en alguno de los puntos, indica cuál es la razón de la discontinuidad.
Ejercicio nº 40.-
x : ffunción la
de gráfica la
es Esta
a) ¿Es continua en x =2? b) ¿Y en x 0?
Si no es continua en alguno de los puntos, indica la causa de la discontinuidad.
Ejercicio nº 41.-
seacontinuaen 1: quepara de v alor el
Halla k f x x
1 si
1 si
1 2
x k
x x
x f
Ejercicio nº 42.-
Estudia la continuidad de:
1 si
1 3
1 si
2
2
x x
x x
x x f
Ejercicio nº 43.-
Comprueba si la siguiente función es continua en x 0
0 si
2 2
0 si
1 2 2
x x
x x
x f
4 6 8
2
6 8 2 4
4 2
8 6
2
4
6
Y
10
Averigua si la siguiente función es continua en x 2:
2 si
2
2 si
2
x x
x x
x f
Ejercicio nº 45.-
Estudia la continuidad de la función:
4 si
15
4 si
3 1
2
x x
x x
11
SOLUCIONES EJERC. LÍMITES DE FUNCIONES
Ejercicio nº 1.-
A partir de la gráfica de f(x), calcula:
x f lim x a)b)xlimf
x xlim1f
xc)
x f limx1
d)
e)xlim5f
xSolución:
f x lim
x
a)
b)xlimf
x
2 c)
1
f x lim
x
3 d)
1
f x lim
x e)xlim5f
x 0Ejercicio nº 2.-
La siguiente gráfica corresponde a la función f(x). Sobre ella, calcula los límites:
x f lim x a)b)xlimf
x
x f limx3
c)
x f limx3
d)
e)limx0f
xSolución:
0a)
f x lim
x b)xlimf
x
f x lim
x 3 c)
f x lim
x 3 d)
e)limx0f
x 1 46 8
Y
X
2
6 8
2
4 2
8 6
2
4
6
4
4 6 8
2
6 8
2 4
4 2
8 6
2
4
6
Y
12
Dada la siguiente gráfica de f(x), calcula los límites que se indican:
x f lim x a)b)xlimf
x
x f limx2
c)
x f limx2
d)
e)limx0f
xSolución:
f x lim
x
a)
b)xlimf
x
2 c)
2
f x lim
x
4 d)
2
f x lim
x e)limx0f
x 0Ejercicio nº 4.-
Calcula los siguientes límites a partir de la gráfica de f(x):
x f lim x a)b)xlimf
x xlim3f
xc)
x f limx3
d)
e)limx0f
xSolución:
0a)
f x lim
x b)xlimf
x 0
f x lim
x 3 c)
f x lim
x 3 d)
e)limx0f
x 1 46 8
2
6 8
2
4 2
8 6
2
4
6
4
Y
X
4 6 8
2
2
6 8
2 4
4 2
8 6
4
6
Y
13
Ejercicio nº 5.-Sobre la gráfica de f(x), halla :
x f lim x a)b)xlimf
x
x f limx2
c)
x f limx2
d)
e)limx0f
xSolución:
1a)
f x lim
x b)xlimf
x 1
f x lim
x 2 c)
f x lim
x 2 d)
e)limx0f
x 1Ejercicio nº 6.-
Representa gráficamente los siguientes resultados:
f x lim x a)
b)xlimg
x Solución: a)
b)
Ejercicio nº 7.-
, sabemosque: 31 función
la Para
x x x f
3
1 y
3 1
3
3 x
x lim x
x lim
x x
Representa gráficamente estos dos límites.
4 6 8
2
6 8
2 4
4 2
8 6
2
4
6
Y
14
3
Ejercicio nº 8.-
Representa gráficamente:
1a)
f x lim x
0b)
gx lim
1 x
Solución: a)
1
o bien
1
b) Por ejemplo:
1
Ejercicio nº 9.-
Representa los siguientes límites:
f x limf x
lim
x
x 2 2
Solución:
2
Ejercicio nº 10.-
Representa en cada caso los siguientes resultados:
2a)
f x lim x
15
Solución:a)
2
o bien
2
b)
Ejercicio nº 11.- Calcula:
2 23a) lim x
x
x
lim
x 1 2
b)
8
x sen lim x
2 c)
Solución:
3
5 25a) 2 2
2
x
lim
x
1 2
1 16 1 4 5b)
8
x
lim x
1 2 lim
)
2
senx sen c
x
Ejercicio nº 12.-
Halla los límites siguientes:
1 3
a) 2
2
x x x lim
x
x lim
x 6 3
b)
1
x log lim
x 1
c)
Solución:
7 1 1 2 4
1
1 3
2 2
x x
x lim
x
a)
3 9 3 6 3 6
1
x
lim
x
b)
0 1 1
log x log lim
x
16
Resuelve: 2 4
a) 3 2 2 x x lim x 1 23 b) x xlim x tg lim x 4 c) Solución: 0 2 2 4 2 a) 3 2
2
x x lim x 3 1 3 3
b) 1 1
2
x xlim 1 4 c) 4 tg x tg lim x
Ejercicio nº 14.-
en 1 yen 3.2 3 función la de límite el Calcula 4
x x x x
x f Solución: 6 1 2 1 3 1 2 3 4 1 x x lim x 2 51 2 3 27 2 3 4 3 x x lim x
Ejercicio nº 15.-
Calcula los siguientes límites:
3 2 4
a) 2
3
x x
lim x 9 b) 2 3 x lim x x cos lim x 0 c) Solución: 9 2 18 4 3 6 9 4 3 2 4 a) 2
3
x x
lim x 0 0 9 9 9 b) 2
3
x lim x 1 0 c)
0
cosx cos lim
17
Ejercicio nº 16.-Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de x 2:
22 2
1
x x lim x
Solución:
2 2 2 2 2 2
2 1 2
1 2
1
x x lim x
x lim x
x lim
x x
x
2
Ejercicio nº 17.-
, calculaellímitede ( ) en 2. Representala 65 1 función
la
Dada 2
f x x
x x
x x
f
información que obtengas.
Solución:
2
3
1 65 1
2
x x
x x
x x
Calculamos los límites laterales:
5 6
1 3
2 1
2 2
2 x x
x lim x
x x lim
x x
2
Ejercicio nº 18.-
Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función a la izquierda y a la derecha de x 3:
9 1
2
3
x lim x
Solución:
3
3
19 1
3 2
3
x lim x x
lim
x x
18
9
1
9 1
2 3 2
3 x
lim x
lim
x x
3
Ejercicio nº 19.-
Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de x 0:
x x
x lim
x 2
1 2
2
0
Solución:
2
1 22 1 2
0 2
0
xx
x lim x x
x lim
x x
Calculamos los límites laterales:
x x
x lim x
x x lim
x
x 2
1 2
2 1 2
2 0 2
0
Ejercicio nº 20.-
Calcula el límite de la siguiente función en el punto x 3 y estudia su comportamiento por la izquierda y por la derecha:
3 1
x x f
Solución:
3 0
3
x
x
Calculamos los límites laterales:
3
1 3
1
3
3 x
lim x
lim
x x
19
Ejercicio nº 21.-función siguiente
la de cuando
y cuando
límite el
Calcula x x
y representa la información que obtengas:
3 4 2
1 2
x x x
f
Solución:
3
4 2 1 3
4 2
1 2 x2 x
lim x
x lim
x x
Ejercicio nº 22.-
te gráficamen representa
y funciones siguientes
las de cuando
límite el
Halla x
la información que obtengas:
12 2 a)
3
x x
x f
5 2 3 b)
3 2
x x x
f
Solución:
2 2 1
a)
3
x x lim
x
5
2 3 b)
3
2 x
x lim
x
20
Calcula los siguientes límites y representa la información que obtengas:
4
2 a) lim x x
x
x
x x lim
x 3 2 2
b)
2 3
Solución:
4
2
a) lim x x
x
x
x x lim b
x 3 2 2
)
2 3
Ejercicio nº 24.-
Calcula los siguientes límites y representa el resultado que obtengas:
x
x x lim
x 3 4
a)
2
x
x x lim
x 3 4
b)
4
Solución:
x
x x lim
x 3 4
a)
2
x
x x lim
x 3 4
b)
21
Ejercicio nº 25.-Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados obtenidos:
24 a) lim x
x
24 b) lim x
x
Solución:
2
4
a) lim x
x
2
4
b) lim x
x
Ejercicio nº 26.-
Calcula y representa gráficamente la información obtenida
1 2
4 3
2 2
1
x x
x x lim
x
Solución:
14
1 4 1
1 2
4 3
1 2
1 2
2
1
x
x lim x
x x lim x
x x x lim
x x
x
Calculamos los límites laterales:
1
4 1
4
1
1 x
x lim x
x lim
x x
22
Ejercicio nº 27.-Halla el límite siguiente y representa la información obtenida:
1 3 3
5 4
2 3
2
1
x x x
x x lim
x
Solución:
3 2 1 3 1 2
2
1 1
5
1 5 1
1 3 3
5 4
x x lim x
x x lim x
x x
x x lim
x x
x
1
Ejercicio nº 28.-
Resuelve el siguiente límite e interprétalo gráficamente.
6 18 12 2
2 2
3
x x
x x
lim
x
Solución:
02 3 2 2
3 3 2
6 18 12 2
3 2
3 2
2
3
x
x lim x
x x lim x
x x x lim
x x
x
3
Ejercicio nº 29.-
Calcula el siguiente límite y representa gráficamente los resultados obtenidos:
3 4
2
0 2
2 x x
x lim
x
Solución:
2
2 2
2 2
2
0 3
2 0 3 4
2
0
x x limxx
x lim x
x x lim
x x
23
Calculamos los límites laterales:
2
2 2
2
0
0 x x
lim x
x lim
x x
Ejercicio nº 30.-
Calcula el siguiente límite e interprétalo gráficamente:
4 2
4
2
2
x
x lim x
Solución:
22 4 2
2 2
2
2 2 4
2 4
2 2
2
2
x lim x
x x lim x
x lim
x x
x
2
2
Ejercicio nº 31.-
Resuelve los siguientes límites y representa los resultados obtenidos
31 1 a)
x lim x
2 3
3 b)
x x lim
x
Solución:
1
0 1 a)3
x
lim x
2
3
3 b)
24
Ejercicio nº 32.-Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados que obtengas:
3 22 1 3 a)
x x lim
x
1 2
b) 2
3
x
x lim
x
Solución:
2
0 1 3 a)3 2
x
x lim
x
1
2 b)
2 3
x x lim x
Ejercicio nº 33.-
Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas:
4 4
3 4
2 a)
x x x lim
x
3 2
2
1 1 2 3 b)
x x
x x lim
x
Solución:
3 1 3 1 3
4 2 a)
4 4
x
25
1/3
0 1
1 2 3 b)
3 2
2
x x
x x lim x
Ejercicio nº 34.-
, ycuando delasiguientefunción cuando
límite el
Halla x x
y representa los resultados que obtengas:
31 2
x x x f
Solución:
1
02 0
1 2
3
3
x
x lim x
x lim
x x
Ejercicio nº 35.-
Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas:
x x lim
x 5 3
3 a)
x x lim
x 5 3
3 b)
Solución:
1 3 3 3 5
3
a)
x
x lim x
26
35
x
x
1
Continuidad
Ejercicio nº 36.-
A partir de la gráfica de f(x ) señala si es continua o no en x 0 y en x 3. En el caso de no ser continua, indica la causa de la discontinuidad.
4 6 8
2
2
6 8
2 4
4 2 8 6
4 6 Y
X
Solución:
En x = 0, sí es continua.
En x = 3 es discontinua porque no está definida, ni tiene límite finito. Tiene una rama infinita en ese punto (una asíntota vertical).
Ejercicio nº 37.-
x : ffunción la
a e correspond gráfica
siguiente La
Di si es continua o no en x 1 y en x 2. Si en alguno de los puntos no es continua, indica cuál es la causa de la discontinuidad.
4 6 8
Y
X
2
6 8
2
4 2
8 6
2
4
6
27
Solución:En x 1 no es continua porque presenta un salto en ese punto. Observamos que
x limf
xf lim
x
x1 1 . En x 2 sí es continua.
Ejercicio nº 38.-
¿Son continuas las siguientes funciones en x 2?
a) b)
4 6 8
2
6 8
2 4
4 2 8 6
2 4 6
Y
X
4 6 8
2
6 8 2 4
4 2 8 6
2 4 6
Y
X
Si alguna de ellas no lo es, indica la razón de la discontinuidad.
Solución:
a) No es continua en x 2; aunque esté definida en x 2, tiene el punto desplazado. Es una
xf lim
x 2
existe porque evitable
idad discontinu
. b) Sí es continua en x 2.
Ejercicio nº 39.-
x : fde gráfica la
Dada
4 6 8
2
6 8
2 4
4 2 8 6
2 4 6 Y
X
a)¿Es continua en x 1? b) ¿Y en x 2?
28
Solución:a) Sí es continua en x 1.
b) No, en x 2 es discontinua porque no está definida en ese punto. Como sí tiene límite en ese punto, es una discontinuidad evitable.
Ejercicio nº 40.-
x : ffunción la
de gráfica la
es Esta
a) ¿Es continua en x =2? b) ¿Y en x 0?
Si no es continua en alguno de los puntos, indica la causa de la discontinuidad.
Solución:
a) No es continua en x 2 porque no está definida, ni tiene límite finito en ese punto. Tiene una rama infinita en ese punto (una asíntota vertical).
b) Sí es continua en x 0.
Ejercicio nº 41.-
seacontinuaen 1: quepara de v alor el
Halla k f x x
1 si
1 si
1 2
x k
x x
x f
Solución:
3 1
3 1 2
1
1 1
f
k x f lim
x lim x f lim
x
x x
1 1en continua sea
que Para
1 1
f x f lim x f lim , x
x x
.
Ha de ser k 3.
4 6 8
2
6 8 2 4
4 2
8 6
2
4
6
Y
29
Ejercicio nº 42.-Estudia la continuidad de:
1 si 1 3 1 si 2 2 x x x x x x f Solución:Si x 1, la función es continua. Si x 1:
2 1 3 1 2 1 1 2 1 1 x lim x f lim x x lim x f lim x x x x
Esdecir,notienelímiteenesepunto. porque 1 en continua es No 1 1 . x f lim x f lim x x x Ejercicio nº 43.-
Comprueba si la siguiente función es continua en x 0
0 si 2 2 0 si 1 2 2 x x x x x f Solución:
0. porque 0 en continua Es 1 0 1 2 2 1 1 2 0 0 0 2 0 0 f x f lim x f x lim x f lim x lim x f lim x x x x x Ejercicio nº 44.-
Averigua si la siguiente función es continua en x 2:
2 si 2 2 si 2 x x x x x f Solución:
30
Ejercicio nº 45.-Estudia la continuidad de la función:
4 si
15
4 si
3 1
2
x x
x x
x f
Solución:
Si x 4, la función es continua. Si x 4:
4. porque4 x en continua es
También
1 4
1 15
1 3
1
4 2
4 4
4 4
f x f lim
f
x lim x f lim
x lim x f lim
x x
x
x x