Aula 2 Lógica Proposicional pdf

Lógica Proposicional

Um argumento pode ser representado como

LÓGICA PROPOSICIONAL

Argumento Válido:

O objetivo de um argumento é justificar uma afirmação que se faz, ou dar as razões para uma certa conclusão obtida.

Um argumento demonstra/prova como, a partir dos dados de um problema, chegou-se a uma conclusão.

𝑃

∧ 𝑃

∧ 𝑃

∧ ⋯ ∧ 𝑃

⟶ 𝑄

onde 𝑃₁, 𝑃₂, … 𝑃_𝑛 são proposições (simples ou compostas) dadas, chamadas de hipóteses do argumento, e 𝑄 é a conclusão do argumento.

Esse argumento será verdadeiro se uma hipótese verdadeira implicar em uma conclusão

verdadeira. Chamamos a isso de processo de inferência. Nesse processo, partimos de uma ou mais hipóteses e, por uma sucessão de premissas lógicas, chegamos à conclusão. Dessa

Então, quando um argumento é considerado válido?

Ponto de Partida (Hipótese) → sequência de demonstração → Conclusão.

Inferência:

Considere este exemplo:

𝑃₁= ”Pedro Alvares Cabral descobriu o Brasil”;

𝑃₂= “Don Pedro I proclamou a independência”;

𝑄= “Todo dia tem 24h”.

𝑃₁, 𝑃₂ e 𝑄 são proposições verdadeiras, mas o argumento não é válido, pois não há relação entre hipótese e argumento (dizemos que o argumento não “segue” da hipótese).

é um argumento válido quando for uma tautologia. Definição: a proposição

𝐴 ⟶ 𝐵 ∧ 𝐴 ⟶ 𝐵.

Para testarmos se 𝑃₁ ∧ 𝑃₂ ∧ 𝑃₃ ∧ ⋯ ∧ 𝑃_𝑛 → 𝑄 é uma tautologia, podemos construir uma tabela-verdade, ou mais simplificadamente, utilizaremos um sistema de regras de

demonstração.

Regras de Demonstração

.

“Se há fogo, então há oxigênio. Mas há fogo. Portanto há oxigênio”.

Esse argumento tem duas hipóteses:

𝑃₁ = ”Se há fogo, então há oxigênio”;

𝑃₂ = ”Há fogo”.

𝑄 = ”Há oxigênio”. A conclusão é:

Considere o seguinte argumento:

Podemos testar esse argumento construindo uma expressão lógica que o represente e montando a tabela verdade dessa expressão. Sejam as seguintes proposições:

𝐴 = ”Há fogo.”; 𝐵 = “Há oxigênio.”

𝑨 𝑩 𝑨 ⟶ 𝑩 𝑨 ⟶ 𝑩 ∧ 𝑨 𝑨 ⟶ 𝑩 ∧ 𝑨 ⟶ 𝑩

V V V V V

V F F F V

F V V F V

F F V F V

O argumento é válido devido à sua estrutura interna.

𝐴 ⟶ 𝐵 ∧ 𝐴 ⟶ 𝐵.

Vamos agora construir a tabela verdade da expressão lógica:

Aqui 𝐴 = “Eu penso” e 𝐵 = “Eu existo”.

Modus Ponens

Esse tipo de argumento, 𝐴 ⟶ 𝐵 ∧ 𝐴 ⟹ 𝐵, é chamado de “modus ponens”, expressão em latim que significa “modo de afirmação”.

𝐴 ⟶ 𝐵 ∧ 𝐴 ⟹ 𝐵

(

modus ponen

)

Modus Ponens: esse conceito remonta aos antigos filósofos estoicos da Grécia clássica, que afirmavam da seguinte forma:

Se A; então B;

Mas A;

Portanto B.

Por exemplo: “Se eu penso, então eu existo. Mas eu penso. Portanto eu existo”.

𝑄 = ¬𝐴= ”Não há fogo”.

Existe também o “modus tollens” ou “modo de negação”:

𝐴 ⟶ 𝐵 ∧ ¬𝐵 ⟹ ¬𝐴

(modus tollens).

𝑃₁ = 𝐴 ⟶ 𝐵 =”Se há fogo, então há oxigênio”;

𝑃₂ = ¬𝐵 = ”Não há oxigênio”.

A conclusão é:

Modus Tollens

Exemplo:Seja Q um quadrilátero. Dadas as sentenças:

“Se Q é um losango, então Q é um paralelogramo”.

“Q não é um paralelogramo”.

Que sentença segue dessas, usando a regra modus tollens?

Além dessas, uma tautologia útil é a condicional:

Provando essa tautologia usando a tabela-verdade

𝐴 ⟶ 𝐵 ⟺ ¬𝐴 ∨ 𝐵

𝑨

𝑩

¬𝑨

¬𝑨 ∨ 𝑩

𝑨 ⟶ 𝑩

𝑨 ⟶ 𝑩 ⟺ ¬𝑨 ∨ 𝑩

V

V

F

V

V

V

V

F

F

F

F

V

F

V

V

V

V

V

As regras de dedução para a lógica proposicional são de dois tipos: Equivalência e Inferência.

REGRAS DE DEDUÇÃO

Para testar se 𝑃₁ ∧ 𝑃₂ ∧ 𝑃₃ ∧ ⋯ ∧ 𝑃_𝑛 ⟶ 𝑄é uma tautologia, podemos construir uma tabela verdade ou usar um sistema de regras de dedução.

Regras de Equivalência: As regras de equivalência dizem que determinados pares de fórmulas lógicas são equivalentes. Elas preservam os valores lógicos. Uma fórmula lógica verdadeira continua verdadeira se for feita uma substituição em um de seus componentes.

Expressão Nome de Regra de Equivalência

𝑃 ∨ 𝑄 ⟺ 𝑄 ∨ 𝑃 𝑃 ∧ 𝑄 ⟺ 𝑄 ∧ 𝑃 Comutatividade 𝑃 ∨ 𝑄 ∨ 𝑅 ⟺ 𝑃 ∨ 𝑄 ∨ 𝑅 𝑃 ∧ 𝑄 ∧ 𝑅 ⟺ 𝑃 ∧ 𝑄 ∧ 𝑅 Associatividade 𝐴 ∨ 𝐵 ∧ 𝐶 ⟺ 𝐴 ∨ 𝐵 ∧ 𝐴 ∨ 𝐶 𝐴 ∧ 𝐵 ∨ 𝐶 ⟺ 𝐴 ∧ 𝐵 ∨ 𝐴 ∧ 𝐶 Distributividade ¬ 𝑃 ∨ 𝑄 ⟺ ¬𝑃 ∧ ¬𝑄 ¬ 𝑃 ∧ 𝑄 ⟺ ¬𝑃 ∨ ¬𝑄

Leis de De Morgan

𝑃 ⟶ 𝑄 ⟺ ¬𝑃 ∨ 𝑄 Implicação

𝑃 ⟺ ¬ ¬𝑃 Dupla negação

𝑃 ⟷ 𝑄 ⟺ 𝑃 ⟶ 𝑄 ∧ 𝑄 ⟶ 𝑃 Definição de equivalência

𝐴 ∨ 0 ⟺ 𝐴 𝐴 ∧ 1 ⟺ 𝐴 Elementos neutros

1 𝐴 ⟶ 𝐵 Hipótese;

2 ¬𝐴 ∨ 𝐵 1, Implicação;

3 𝐵 ∨ ¬𝐴 2, Comutatividade;

4 ¬ ¬𝐵 ∨ ¬𝐴 3, Dupla negação;

5 ¬𝐵 ⟶ ¬𝐴 4, Implicação e Conclusão. Exemplo: Prove que 𝐴 ⟶ 𝐵 ⟺ ¬𝐵 ⟶ ¬𝐴 usando regras de dedução.

Regras de Inferência:Diferente das regras de equivalência, as regras de inferência funcionam somente em uma direção. As regras de inferência descrevem quando uma

sentença mais fraca pode ser deduzida de uma sentença mais forte. Uma regra de inferência da forma 𝑃 ⟹ 𝑄 permite que, sabendo 𝑃 (sentença mais forte) possamos deduzir 𝑄

(sentença mais fraca). O contrário não é verdade.

Expressão

Nome da Regra de Inferência

𝐴 ⟶ 𝐵 ∧ 𝐴 ⟹ 𝐵

Modus ponens

𝐴 ⟶ 𝐵 ∧ ¬𝐵 ⟹ ¬𝐴

Modus tollens

𝐴 ∧ 𝐵 ⟹ 𝐴

𝐴 ∧ 𝐵 ⟹ 𝐵

Simplificação

𝐴 ⟹ 𝐴 ∨ 𝐵

𝐵 ⟹ 𝐴 ∨ 𝐵

Adição

Considere agora a sentença:

Exemplo de regra de inferência:

Considere as proposições:

𝐴 = “Pedro é o autor”. 𝐵 = “O livro é de ficção”.

O modo de negação (modus tollens) permite então escrever:

𝐴 ⟶ 𝐵 ∧ ¬𝐵 ⟹ ¬𝐴.

“Se Pedro é o autor, então o livro é de ficção. O livro não é de ficção. Portanto Pedro não é o autor”.

Neste caso, se 𝑃 é verdadeira, então 𝑄 é verdadeira, mas não vice-versa.

Suponha que 𝐴 ⟶ 𝐵 ∧ 𝐶 e 𝐴 seja duas hipóteses em um argumento. Ou seja:

SEQUÊNCIA DE PROVA

𝐴 ⟶ 𝐵 ∧ 𝐶 ∧ 𝐴

Uma sequência de prova para o argumento poderia começar com os seguintes passos:

1 𝐴 ⟶ 𝐵 ∧ 𝐶 Hipótese;

2 𝐴 Hipótese;

3 𝐵 ∧ 𝐶 1, 2, Modus ponens.

A justificativa para o passo 3 é que os passos 1 e 2, juntos, têm a forma necessária para aplicar o modus ponens 𝑃 ⟶ 𝑄 ∧ 𝑃 ⟶ 𝑄, onde, neste caso, temos que 𝑃 = 𝐴 e 𝑄 = 𝐵 ∧ 𝐶.

Dessa forma, provamos que 𝐴 ⟶ 𝐵 ∧ 𝐶 ∧ 𝐴 ⟹ 𝐵 ∧ 𝐶.

Escreva uma sequência de prova para a seguinte asserção. Justifique cada etapa.

Exemplo:

¬ 𝑝 ∧ ¬𝑞 ∧ ¬𝑞 ⟹ ¬𝑝.

Queremos provar que ¬ 𝑝 ∧ ¬𝑞 ∧ ¬𝑞 implica em ¬𝑝. Nossas hipóteses são:

¬ 𝑝 ∧ ¬𝑞 e ¬𝑞

Expressão

Nome da Regra

1

¬ 𝑝 ∧ ¬𝑞

Hipótese.

2

¬𝑞

Hipótese.

3

¬𝑝 ∨ ¬¬𝑞

1, De Morgan.

4

¬𝑝 ∨ 𝑞

3, Dupla negação.

5

𝑝 ⟶ 𝑞

4, Implicação.

Os resultados do exercício a seguir são fundamentais para estudos desenvolvidos em técnicas digitais, onde as diversas portas lógicas são expressas em termos de ¬ e ∧.

Exercício:Prove que quaisquer dos conectivos estudados pode ser expresso usando somente os conectivos ¬ e ∧.

Resolução – Disjunção (V): Na coluna da direita é apresentada a justificativa para a correspondente equivalência:

1 𝐴 ∨ 𝐵 Hipótese.

2 ¬¬ 𝐴 ∨ 𝐵 1, Dupla negação. 3 ¬ ¬𝐴 ∧ ¬𝐵 3, De Morgan. 4 ¬ ¬𝐴 ∧ ¬𝐵 Conclusão

Resolução – Condição (⟶): Examinando a tabela-verdade da condição 𝐴 ⟶ 𝐵 vemos que é falsa somente quando 𝐴 é verdadeira e 𝐵 é falsa, o que nos leva a supor que representa

¬ 𝐴 ∧ ¬𝐵 . Vamos provar isso:

1 𝐴 ⟶ 𝐵 Hipótese.

2 ¬𝐴 ∨ 𝐵 1, Implicação.

3 ¬ 𝐴 ∧ ¬𝐵 2, De Morgan.

Solução: 𝐴 ⟶ 𝐵 ⟺ ¬ 𝐴 ∧ ¬𝐵 .

Resolução – Bi-condição:Examinando a tabela-verdade da bi-condição 𝐴 ⟷ 𝐵 vemos que é verdadeira quando ambas são verdadeiras ou quando ambas são falsas, o que nos permite escrever: 𝐴 ⟷ 𝐵 ⟺ 𝐴 → 𝐵 ∧ 𝐵 → 𝐴 . Por se tratar de uma equivalência, usarei a

expressão da direita como hipótese:

1 𝐴 → 𝐵 ∧ 𝐵 → 𝐴 Hipótese.

2 ¬𝐴 ∨ 𝐵 ∧ ¬𝐵 ∨ 𝐴 1,Implicação. 3 ¬ 𝐴 ∧ ¬𝐵 ∧ ¬ ¬𝐴 ∧ 𝐵 2, De Morgan.

Um argumento em português formado por declarações simples pode ser testado logicamente por um processo em duas etapas:

ARGUMENTOS VERBAIS

1º - Simbolize cada declaração usando fórmulas proposicionais; 2º - Prove a validade do argumento construindo uma sequência de

demonstração através das regras de dedução para a lógica proposicional.

Exemplo:O argumento a seguir é válido?

“Meu cliente é canhoto, mas, se o diário não tiver sumido, então meu cliente não é canhoto. Portanto, o diário sumiu”.

Sejam as proposições:

𝐴 = “Meu cliente é canhoto”;

𝐵 = “O diário sumiu”; Solução:

A validade do argumento é estabelecida pela seguinte sequência de demonstração:

1 𝐴 Hipótese.

2 ¬𝐵 ⟶ ¬𝐴 Hipótese.

3 ¬ ¬𝐵 ∨ ¬𝐴 2, implicação.

4 𝐵 ∨ ¬𝐴 3, Dupla negação.

5 ¬𝐴 ∨ 𝐵 4, Comutatividade.

6 𝐴 ⟶ 𝐵 4, Implicação.

7 𝐵 1, 6 Modus ponens.

Poderíamos também usar uma sequência de demonstração mais curta, usando o modus tollens.

1 𝐴 Hipótese.

2 ¬𝐵 ⟶ ¬𝐴 Hipótese.

3 𝐵 1, 2, Modus tollens.

Na linha 3, usamos o fato de podermos identificar 𝑃 = ¬𝐵; 𝑄 = ¬𝐴; ¬𝑃 = 𝐵; ¬𝑄 = 𝐴.

Assim, pelo modus tollens: 𝑃 ⟶ 𝑄 ∧ ¬𝑄 ⟶ ¬𝑃 temos ¬𝐵 ⟶ ¬𝐴 ∧ 𝐴 ⟶ 𝐵.

𝑃

∧ 𝑃

∧ 𝑃

∧ ⋯ ∧ 𝑃

∧ 𝑅 ⟶ 𝑆

MÉTODO DEDUTIVO

Suponha que o argumento que queremos provar tenha a forma:

𝑃

∧ 𝑃

∧ 𝑃

∧ ⋯ ∧ 𝑃

⟶ 𝑅 ⟶ 𝑆

onde a conclusão é uma implicação. Ao invés de usar 𝑃₁, 𝑃₂, ..., 𝑃_𝑛 como hipóteses e inferir

𝑅 ⟶ 𝑆, o método dedutivo nos permite adicionar 𝑅 como uma hipótese adicional e depois inferir 𝑆. Em outras palavras, podemos provar

A justificativa para isso vem da seguinte tautologia: 𝐴 ⟶ 𝐵 ⟶ 𝐶 ⟺ 𝐴 ∧ 𝐵 ⟶ 𝐶.

Podemos provar essa tautologia usando uma sequência de prova:

1 𝐴 ⟶ 𝐵 ⟶ 𝐶 Hipótese.

2 ¬𝐴 ∨ 𝐵 ⟶ 𝐶 Implicação.

3 ¬𝐴 ∨ ¬𝐵 ∨ 𝐶 Implicação.

4 ¬𝐴 ∨ ¬𝐵 ∨ 𝐶 Associatividade.

5 ¬ 𝐴 ∧ 𝐵 ∨ 𝐶 De Morgan.

Solução: pelo método dedutivo, podemos escrever a expressão acima como:

𝐴 ⟶ 𝐴 ⟶ 𝐵 ∧ 𝐴 ⟶ 𝐵

Exemplo:

Provar que: 𝐴 ⟶ 𝐴 ⟶ 𝐵 ⟶ 𝐴 ⟶ 𝐵

1 𝐴 ⟶ 𝐴 ⟶ 𝐵 Hipótese.

2 𝐴 Hipótese.

3 ¬𝐴 ∨ 𝐴 ⟶ 𝐵 1, Implicação.

4 ¬𝐴 ∧ 𝐴 ∨ 𝐴 ⟶ 𝐵 ∧ 𝐴 2, 3, Distributividade.

5 0 ∨ 𝐴 ⟶ 𝐵 ∧ 𝐴 4, Complementaridade.

6 𝐴 ⟶ 𝐵 ∧ 𝐴 5, Elemento neutro.

7 𝐵 6, Modus ponens.

Essa expressão é chamada de silogismo hipotético.

Exemplo:

Provar que: 𝑃 ⟶ 𝑄 ∧ 𝑄 ⟶ 𝑅 ⟶ 𝑃 ⟶ 𝑅 .

Solução: usando o método dedutivo, podemos reescrever a expressão acima como:

𝑃 ⟶ 𝑄 ∧ 𝑄 ⟶ 𝑅 ∧ 𝑃 ⟶ 𝑅.

1 𝑃 ⟶ 𝑄 Hipótese.

2 𝑄 ⟶ 𝑅 Hipótese.

3 𝑃 Hipótese.

4 𝑄 1, 3, Modus ponens.

5 𝑅 2, 4, Modus ponens.

A expressão para o silogismo hipotético nos diz que se 𝐴 implica em 𝐵 e 𝐵 implica em 𝐶, então

𝐴 implica em 𝐶.