SOLUCIÓN EJERCICIOS DE SISTEMAS
EJERCICIOS DE DISCUSIÓN DE SISTEMAS
1. Discutir según valores de m el sistema de ecuaciones lineales
2 1
2 3
3 2 1
x y z x z x y mz
SOLUCIÓN
2 1 3 2
3 1
2 3
1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1
' 1 0 2 3 0 2 3 4 0 2 3 4
3 2 1 0 4 3 2 0 0 3 6
F F F F
F F
A
m m m
Sistema equivalente
2 1
2 3 4
3 6
x y z y z
m z
Si m 3 ;rg A( )2 y rg A( ')3. Incompatible
Si m 3 rg A( )rg A( ')3. Compatible determinado
3 3 2 3 6
; ;
3 3 3
m m
x y z
m m m
2. Discutir según valores de k el sistema de ecuaciones lineales 2
2 2 0
3 2
x ky z x y z x z
SOLUCIÓN
Cambiar la ecuación 1 y la 3
2 1 3 2
3 1 2
1 0 3 2 1 0 3 2 1 0 3 2
2 1 2 0 0 1 4 4 0 1 4 4
1 1 2 0 4 4 0 0 4( 1) 4( 1)
F F F kF
F F
k k k k
Sistema equivalente
3 2
4 4
4( 1) 4( 1)
x z
y z
k z k
Si k 1;rg A( )rg A( ') 2 3 (nº de incógnitas) INDETERMINADO 2 3 ; 4 4
x z y z
Si k 1;rg A( )rg A( ')3 (nº de incógnitas) COMPATIBLE DETERMINADO
3. Discutir según valores de a el sistema homogéneo
2
2 0
2 ( 2) ( 4) 0
( 1) 0
x a y z
x a a y a z
a x a y a z
SOLUCIÓN
La condición necesaria y suficiente para que exista solución distinta de la trivial el determinante de la matriz de los coeficientes debe ser nulo.
2 1 3 1 Sacar factor a
2 2
1 2 1 1 2 1 0 0
2 ( 2) 4 0 2 ( 2) 4 2
1 1 1 1 2
C C
C C
a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a
2
1 0 0
0
2 ( 1) 0
1 2 1
1 1 2
a a a
a a a a a a
a a
a a
Para
0
2 0
0
0
0 x x z
a y y
x
z
INDETERMINADO
Para
2 0
1 2 3 0
0
x y z x z
a x y z y z
y z z z
INDETERMINADO
Para a
0, 1
SOLUCIÓN TRIVIAL (0, 0, 0)4. Discutir según valores del parámetro
a
el sistema de ecuaciones lineales2
2
3
x
y
z
a
x
y
az
a
x
y
z
a
SOLUCIÓN
2 2 1 3 3
3 3 1
' ' 2
' 2
1
2
1
1
2
1
1
1
0
1
1
0
2
3
1
0
1
1
F F F F F F
F F F
a
a
a
a
a
a
a
1
2
1
0
1
1
0
0
0
a
a
a
a
;
2
(
1)
0
x
y
z
a
y
a
z
az
a
;
1 2 1
0 1 1
0 0
A a a
a
Discusión:
A
a
0
a
1
2
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
;
rg A
( )
rg A
( ')
2
. Compatible indeterminado2
0
0
x
x
y
z
y
y
z
z
La intersección de los dos planos es una recta.
0
a
1
2
1
0
1
1
0
0
0
a
a
a
a
;
rg A
( )
rg A
( ')
3
.Compatible determinado:
2
1
0
(
1)
0
1
1 0
1
x
y
z
a
x
a
x
y
y
a
z
y
a
z
a z
a
z
Interpretación de la ecuación obtenida:
Observar que para cada valor del parámetro
a
se obtienen tres planos y que al ser el sistema compatible determinado los tres planos se cortan en un punto. Otra cuestión es observar que todos estos puntos están alineados siendo la tercera coordenada de todos ellos -1 mientras que la primera coordenada es opuesta a la segunda. Esto no da pie a pensar que los planos se corten según una recta como en el caso anterior.5. Discutir según valores del parámetro
a
el sistema de ecuaciones lineales1
1
1
ax
y
z
x
ay
z
x
y
az
En el caso de que el segundo miembro sea el vector bt
l m n
indicar para que valores de los parámetros l m n, , el sistema es indeterminado.SOLUCIÓN
1
1
1
1
1
1
a
A
a
a
;C
1'
C
1
C
2
C
3 ;2
1
1
2
1
2
1
a
A
a
a
a
a
Sacar el factor
(
a
2)
de la 1ª columna:1 1
1
(
2) 1
1
1 1
A
a
a
a
2 2 1
3 3 1
'
'
F
F
F
F
F
F
;2
1
1
1
(
2) 0
1
0
(
2)(
1)
0
0
1
A
a
a
a
a
a
1
a
1 1 1
1
1 1 1
1
1 1 1
1
;
rg A
( )
rg A
( ') 1
. Compatible Indeterminado
1;
;
;
1
x
y
z
x
y
z
Es un plano.2
a
' '
2 2 1 3 3 2
' 3 3 1
2 2
2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
0
3
3
3
0
3 3
3
1
1
2
1
0
3
3
3
0
0
0
6
F F F F F F
F F F
;
( )
2
( ')
3
rg A
rg A
Incompatible;1 y
2
a
a
Compatible Determinado ;
1
2
x
y
z
a
En el caso de que el segundo miembro sea el vector bt
l m n
indicar para que valores de los parámetros l m n, , el sistema es indeterminado.ax
y
z
l
x
ay
z
m
x
y
az
n
Ya se ha resuelto el determinante de la matriz de los coeficientes:
2
(
2)(
1)
A
a
a
Para
a
1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
l
m
n
( ) 1 Para que
( ') 1
rg A
rg A
l
m
n
Para
a
2
1 2 3 '1
2
1
1
0
0
0
1
2
1
1
2
1
1
1
2
1
1
2
F F F F
l
l
m
n
m
m
n
n
( )
2 Para que
( ')
2
0
EJERCICIOS RESUELTOS POR GAUSS
6. Dado el sistema de ecuaciones lineales con incógnitas
x y z t v, , , ,
3 2 4 1
1
2 0
x y z t v x y v
x z t v
Analizar, escalonando la matriz del sistema, si dicho sistema es compatible SOLUCIÓN
2 1 2 1
3 1
2 3
3
2
3
1
2
4 1
1
1
1 0
0 1
1
1
1 0
0 1
1
3
1
2
4 1
1
1
0
1
2 1
0
1
0
1
2 1
0
1
1 0
0
1
1
1
1 0
0
1
1
0
2
2
4
4
4
0
2
2
4
4
4
0
1 1
2
2
1
0
0
0
0
0
1
F F F F
F F
F F
El sistema es INCOMPATIBLE
7. Resolver el sistema de ecuaciones lineales por el método de Gauss
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3
1 2 3 4
2
8
2
2
3
3
20
2
4
3
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2 1 2 3
3 1 4 1
4 3
2
2
1
1 2
1
8
1
1
2
1
8
2
2
3
3
20
0
0
1
1
4
1
1
1
0
2
0
2
1
1
6
1
1 4
3
4
0
0
2
4
12
1
1
2
1
8
1
1
2
1
8
0
2
1
1
6
0
2
1
1
6
0
0
1
1
4
0
0
1
1
4
0
0
2
4
12
0
0
0
2
4
F F F F
F F F F
F F
4
1 2 3 4
2 3 4 3
3 4
2
4
1
4
2
2
8
2
2
6
4
2
2
4
6
2
2
3
2
2
4
8
2
2(2)
3
7
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
8. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss-Jordan
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2
7
2
5
2
6
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
SOLUCIÓN
2 1 3 2 2
3 1
3
1 2 3
2 8
3 1
4
2
1
2
1
7
1
2
1
7
1
2
1
7
2
5
2
6
0
1
0
8
0
1
0
8
3
2
1
1
0
8
4
20
0
0
4
84
1
2
1
7
1
0
0
2
0
1
0
8
0
1
0
8
0
0
1
21
0
0
1
21
F F F F F
F F
F
F F F
1
2
3
2
8
21
x
x
x
9. Resolver mediante el método de Gauss el sistema de ecuaciones.
2 3
1 2 3
1 2 3
3 5
2 3 7
4 5 2 10
x x
x x x
x x x
SOLUCIÓN
1 2 1
2
Ampliada 3
0 1 3 5 0 1 3 5
2 3 1 7 ' 2 3 1 7
4 5 2 10 4 5 2 10
F F
x
x A
x
3 2 1 3 2
2 3 1 7
2 3 1 7 2 3 1 7
0 1 3 5 0 1 3 5 0 1 3 5
4 5 2 10 0 1 0 4 0 0 3 9
F F FF
Pivotes:
2, 1,3
1 2 3
2 3 3 2 1
3
2 3 7
9 7 (3) 3(4)
3 5 3 ; 5 3(3) 4 ; 1
3 2
3 9
x x x
x x x x x
x
10. Resolver por el método de Gauss el sistema de ecuaciones mediante la estrategia de pivote parcial
2 3
1 2 3
1 2 3
3 5
2 3 7
4 5 2 10
x x
x x x
x x x
SOLUCIÓN
1 1 3
2 2 Ampliada
4
0 1 3 5 4 5 2 10
' 2 3 1 7 2 3 1 7
0 1 3 5
4 5 2 10
F
F F
F
A
2 2 3
3 2
4 5 2 10 4 5 2 10
4 5 2 10
1
0 0 2 0 1 3 5 0 1 3 5
2
1 3 9
0 0 2
0 1 3 5 0 0
2 2 2
F
F F
F
1 2 3
2 3 3 2 1
3
4 5 2 10
3 5 3 ; 5 3(3) 4 ; 1
3 1
2 2
x x x
x x x x x
x
11. Resolver por el método de Gauss el sistema de ecuaciones mediante la estrategia de pivote total
2 3
1 2 3
1 2 3
3 5
2 3 7
4 5 2 10
x x
x x x
x x x
SOLUCIÓN
1 2 2 1
1 3 2
2 1 3
2 1 3 Ampliada
3 5 5
0 1 3 5 1 0 3 5
' 2 3 1 7 3 2 1 7 , ,
5 4 2 10
4 5 2 10
5 4 2 10 5 2 4 10
5 4 2 10
2 1 1 2
3 2 1 7 0 1 0 1
5 5 5 5
1 0 3 5
4 13
0 7
5 5
C C F F
F C C
F F F
A x x x
13 4
0 7
5 5
2 2 3
3 2 3 1
13
5 2 4 10
5 2 4 10
13 4 13 4
, , 0 7 0 7
5 5 5 5
1 2 6 6
0 1 0 0
5 5 13 13
F
F F
F
x x x
2 3 1
1
3 1 2
3 1
5 2 4 10
1
13 4
7 4
5 5
3
6 6
13 13
x x x
x
x x x
x x
12. Resolver por el método LU el sistema de ecuaciones lineales: 1
2 3
2 1 1 1
; 4 1 0 2
2 2 1 7
x
Ax b x
x
Escribir las matrices elementales que generan la matriz U SOLUCIÓN
Método de Gauss
2 2 1 3 1
2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1
4 1 0 2 0 1 2 4 0 1 2 4
2 2 1 7 2 2 1 7 0 3 2 8
F F FF
3 3 2
2 1 1 1 2 1 1 1
0 1 2 4 0 1 2 4
0 3 2 8 0 0 4 4
F F
Para el método LU hay un procedimiento sencillo: Se prepara una hipermatriz fila B que tiene como bloque
b
11 la matriz identidad y como bloqueb
12 la matriz de los coeficientes del sistema. Se transforma la matrizb
12 en una matriz U triangular superior por el método de Gauss y en la matrizb
11 se van colocando por debajo de la diagonal principal los multiplicadores utilizados para obtener la matriz U.Finalmente en la matriz triangular inferior que procede de
b
11 se cambia el signo de los multiplicadores situados bajo los unos y se obtiene así la matriz L.Posteriormente
L c
b
U x
c
11 12
1 0 0 2 1 1 1 0 0 2 1 1
0 1 0 4 1 0 2 1 0 0 1 2
0 0 1 2 2 1 1 0 1 0 3 2
1 0 0 2 1 1
2 1 0 0 1 2
1 3 1 0 0 4
b b
1 0 0 2 1 1
2 1 0 ; 0 1 2
1 3 1 0 0 4
L U
1 1
2 2
3 3
1 0 0 1 1
2 1 0 2 4
1 3 1 7 4
L c b
c c
c c
c c
1 1
2 2
3 3
2 1 1 1 1
0 1 2 4 2 Que es la solución
0 0 4 4 1
U x c
x x
x x
x x
21 31 32 32 31 21
1 0 0 1 0 0 1 0 0 2 1 0 ; 0 1 0 ; 0 1 0 ; 0 0 1 1 0 1 0 3 1
E E E E E E A U
13. Resolver por el método de Doolitle el sistema de ecuaciones lineales 1
2 3
2 1 1 1
4 1 0 2
2 2 1 7
x x x
SOLUCIÓN
11 12 13
21 22 23
31 32 33
2 1 1 1 0 0
4 1 0 1 0 0
2 2 1 1 0 0
u u u
l u u
l l u
11 12
21 11 21 21 12 22 22
31 11 31 31 12 32 22 32
13
21 13 23 23
31 13 32 23 33 33
2 1
4 2 ; 1 1
2 1 2 3
1
0 2
1 4
u u
l u l l u u u
l u l l u l u l
u
l u u u
l u l u u u
1 0 0 2 1 1
2 1 0 ; 0 1 2
1 3 1 0 0 4
L U
1 0 0 2 1 1 2 1 1
2 1 0 0 1 2 4 1 0
1 3 1 0 0 4 2 2 1
L U A
Finalmente
1 1
2 2
3 3
1 0 0 1 1
2 1 0 2 4
1 3 1 7 4
L c b
c c
c c
c c
1 1
2 2
3 3
2 1 1 1 1
0 1 2 4 2 Que es la solución
0 0 4 4 1
U x c
x x
x x
x x
14. Dado el sistema de ecuaciones lineales
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2
0
2
5
4
1
4
9
6
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Comprobar que es definida positiva y resolverlo por el método de Cholesky SOLUCIÓN
1 2 3
1
2
1
1
2
1
1
2
2
5
4 ;
1
1 0.
1 0.
2
5
4
4
0
2
5
1
4
9
1
4
9
A
M
M
M
Al ser los menores principales mayores que cero es definida positiva además es una matriz simétrica luego es aplicable Cholesky.
12 13
11 11 21 31
11 11
2
1
1 1;
2 ;
1
1
1
a
a
r
a
r
r
r
r
2 2
22 22 21
5 2
1
r
a
r
32 23 21 31
22
1
1
4
2 1
2
1
r
a
r
r
r
2 2 2 2
33 33 31 32
9 1
2
2
r
a
r
r
La matriz obtenida es
1
0
0
2
1
0
1
2
2
R
Finalmente
1 1
2 2
3 3
1
0
0
0
0
; 2
1
0
1
1
1
2
2
6
2
y
y
R y
b
y
y
y
y
1 1
2 2
3 3
1
2
1
0
1
; 0
1
2
1
1
0
0
2
2
1
t
x
x
R x
y
x
x
x
x
que es la solución
EJERCICIOS VARIOS
15. Discutir según valores de a y b el sistema de ecuaciones lineales
ax
by
bz
a
bx
ay
bz
b
bx
by
az
a
En el caso
a
1 y
b
2
resolver, si es posible, por el método de Cholesky SOLUCIÓNSea A la matriz del sistema y A’ la matriz ampliada
;
'
a
b
b
a
b
b
a
A
b
a
b
A
b
a
b
b
b
b
a
b
b
a
a
1 3 2 3
2 2
0
1
0
0
(
) 0
1
(
) (
2 )
0
1
1
C C C C
a
b
b
a
b
b
b
b
a
b
a
b
b
a
b
b
a
b
a
b
b
b
a
b
a
b
a
a
a
2
(
) (
2 )
0
2
a
b
a
b
a
b
a
b
;
'
;
( )
( ') 1
a
a
a
a
a
b
A
a
a
a
a
rg A
rg A
a
a
a
a
'
3 1 2 3
2
2
( )
2
2 ;
'
2
; En
' :
( ')
3
2
2
b
b
b
b
rg A
a
b A
b
b
b
b
A
F
F
F
F
rg A
b
b
b
b
INCOMPATIBLE
y
2
( )
( ')
3
a
b
a
b
rg A
rg A
COMPATIBLE DETERMINADO Casoa
1 y
b
2
no es definida positiva ya que 21
2
1 0
2
1
M
. No sepuede por tanto aplicar el método de Cholesky
16. Discutir el sistema de ecuaciones lineales en función de a y b.
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
0
2
2
1
x
x
x
x
x
x
x
ax
x
x
x
x
b
x
x
x
ax
En el caso
a
1 y
b
0
¿Cuáles son los pivotes? ¿Es definida positiva? ¿Puede resolverse por el método de Cholesky?SOLUCIÓN
Se coloca la 4ª ecuación en segundo lugar para evitar pivotes nulos
2 1 3 1 4 1
1 1
1
1
0
1
1
1
1
0
1 2
1
1
0
1
0
1
1
'
1 1
1
2
0
0
2
1
2
1 1
1
1
0
0
2
2
F F F F F F
a
a
A
a
a
b
b
4 3
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
2
1
2
0
0
2
1
2
0
0
2
2
0
0
0
1
2
F F
a
a
a
a
b
a
b
Sistema equivalente
1 2 3 4
2 4
3 4
4
0
(
1)
2
2
(
1)
2
(1
)
2
x
x
x
x
x
a
x
x
a
x
a x
b
DiscusiónSi
1
1 2 3 4 2
2 4 3
3 4 4
2 Incompatible:
( )
3;
( ')
4
2
0
1 2
Indeterminado
1
2
( )
( ')
3
2
1
1
4 incógnitas
1
b
rg A
rg A
x
x
x
x
x
x
a
b
rg A
rg A
x
x
x
x
x
x
Si
a
1
Compatible Determinadorg A
( )
rg A
( ')
4 número de incógnitas
1 2 3 4
9
(
1)
3
(
1)
4
2
;
;
;
1
1
1
1
a
b
b a
a
b a
b
x
x
x
x
a
a
a
a
El valor
a
1
es naturalmente un caso de compatible determinado.Ejemplo:
1 2 3 4 1
2 2
3 3
4 4
0
2
2
2
1;
0
;
1
2
2
1
2
2
x
x
x
x
x
x
x
a
b
x
x
x
x
Pivotes:
1;1; 2;2
. Como son positivos es definida positiva. No puede usarse el método de Cholesky por no ser simétrica la matriz del sistema.17. Dado el sistema de ecuaciones lineales
(
)
2
2
2
3
x
a
b z
a
cy
x
ay
z
a) Encontrar, si es posible algún valor de los parámetros a, b y c para los cuales sea posible resolverlo mediante el método de Cholesky
b) Encontrar el valor del parámetro c para que se pueda aplicar el método de Gauss.
SOLUCIÓN
La condición necesaria y suficiente para que sea posible resolverlo mediante el método de Cholesky es que la matriz sea simétrica y definida positiva.
Para la simetría las condiciones son
3 2 1
1
0
2
1
0
2
2
0
;
0
0
0
0
2
0
2
2
0
1
0
0
3
F F
a
b
a
A
c
c
a
b
El valor de
c
0
pero como el tercer pivote es -3 no es definida positiva la matriz luego NO es posible utilizar el método de Cholesky.Para aplicar el método de Gauss
c
0
18. Dado el sistema de ecuaciones lineales
1 2 3
1 2 3
1 2 3
4
2
4
10
2
10
14
26
4
14
21
39
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Resolver el sistema por el método de Cholesky SOLUCIÓN
4
2
4
2 10 14
4 14
21
A
11 21 21 11 21
2
4
2 ;
2
1
2
iir
a
a
r
r
r
31 31 11 31
4
4
2
2
a
r
r
r
2 2
22
10
21 22 2210 1
3
a
r
r
r
32 31 21 32 22 32
14
2 1
14
4
3
a
r
r
r
r
r
2 2 2 2 2
33
21
31 32 33 3321 2
4
1
a
r
r
r
r
Por tanto la matriz A se factoriza
4
2
4
2
0
0
2
1
2
2 10 14
1
3
0
0
3
4
4 14
21
2
4
1
0
0
1
t
A
R R
1 1
2 2
3 3
2
0
0
10
5
1
3
0
26
7
2
4
1
39
1
y
y
y
y
y
y
1 1
2 2
3 3
2
1
2
5
1
0
3
4
7
1
0
0
1
1
1
x
x
x
x
x
x
19. Discutir según valores de a y b el sistema de ecuaciones lineales
1
1
3
2
ax
y
z
a
x
ay
z
x
y
z
x
y
bz
Caso
a
1 y
b
0
resolver por el método LU SOLUCIÓNPasar la ecuación 3ª al primer lugar al no tener parámetros
2 1 3 1 4 3 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
'
1
1
1
0
1
2
0
3
1
2
0
4
3
1
F aF F F F F
a
a
a
a
A
a
a
b
b
