Muller Algebra Lineal Avanzada

(1)

Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa

Carrera de Matem´

aticas

Algebra Lineal

Hans C. M¨

uller Santa Cruz

(2)

(3)

Prefacio . . . iii

I.- Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales . . . 1

1.- Preliminares . . . 1

2.- Espacios de Generaci´on Finita . . . 8

3.- Aplicaciones Lineales . . . 13

4.- Anillo de Homomorfismos . . . 20

5.- Matriz de una Aplicaci´on Lineal . . . 23

6.- Cambio de Base . . . 28

7.- Operaciones Elementales sobre Matrices . . . 33

8.- Signo de las Permutaciones . . . 38

9.- Formas Multilineales Alternadas . . . 42

10.- Determinantes . . . 47

11.- Matriz Adjunta . . . 53

II.- Complemento . . . 57

1.- Espacios Vectoriales Cocientes . . . 57

2.- Dual de un Espacio Vectorial . . . 61

3.- Formas Bilineales Sim´etricas . . . 65

4.- Espacios Euclidianos . . . 71

5.- Formas Herm´ıticas, Espacios Unitarios . . . 77

III.- Formas Normales . . . 81

1.- Vectores y Valores Propios . . . 81

2.- Triangularizaci´on y Diagonalizaci´on . . . 87

3.- Endomorfismos Normales de un Espacio Unitario . . . 90

4.- Descomposic´on Can´onica . . . 98

5.- Teorema de Hamilton Cayley . . . 103

6.- Endomorfismos Nilpotentes . . . 105

(4)

(5)

El Algebra Lineal es una de las ramas fundamentales de las Matemáticas; por un lado, porque es herramienta de trabajo imprescindible en otras áreas de las matemáticas como el Análisis, la Geométr´ıa, el Análisis Numérico, las Estad´ısticas y otras; por otro lado, las aplicaciones del Algebra Lineal en la solución de problemas de otras disciplinas y ciencias es moneda corriente.

El texto de Algebra Lineal está inscrito dentro el desarrollo que pretende dar la Carrera de Matemáticas en su nueva formulación. Este texto contiene lo más importante dentro lo que es el Algebra Lineal, dando el vocabulario y conceptos de base para una buena utilización, presentando los razonamientos de manera rigurosa y en lo posible elegante, mostrando ejemplos donde el Algebra Lineal es un instrumento de solución a los problemas presentados.

Para un buen asimilación de los conocimientos y razonamientos de este texto; las definiciones y conceptos más significativos están escritos en negrillas, estos deberán ser memorizados y manipulados fluidamente. Los resultados mas importantes están expresados en losteoremas, corolarios y proposiciones, estos deberán también ser memorizados para manejarlos de manera fluida. Las demostraciones de este texto deberán ser trabajadas, con la finalidad de adquirir las diferentes técnicas de demostración que se emplean en el Algebra Lineal. Con fines pedágogicos, en algunos paragrafos se presentan los resultados fundamentales que serán tratados en el paragrafo en cuestión, estos están escritos en carácteresitálicos.

(6)

Cap´ıtulo I

Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

I.1 Preliminares

Cuerpos Conmutativos

Tanto en el colegio, como en los primeros cursos universitarios, se ha tenido un contacto directo con: Qel conjunto de los n´umeros racionales =_{n/m_|n, menteros, m₆= 0_};

Rel conjunto de los números reales; Cel conjunto de los números complejos. Estos tres conjuntos están dotados de:

una adici´on: α+β una multiplicaci´on: α·β que verifican las tres familias de axiomas:

I. Adici´on

i) la adici´on es conmutativa,α+β=β+α.

ii) la adici´on es asociativa, (α+β) +γ=α+ (β+γ). iii) existe un elemento cero 0 tal que 0 +α=α+ 0 =α,_∀α. iv)_∀αexiste un opuesto₋α, tal que α+ (₋α) = 0.

II. Multiplicaci´on

i) la multiplicaci´on es conmutativa,α_·β=β_·α. ii) la multiplicaci´on es asociativa, (α_·β)_·γ=α_·(β_·γ). iii) existe el elemento uno 1, tal que 1_·α=α,_∀α. iv)_∀β₆= 0, β posee un inversoβ−1_{= 1/β, tal que}_β

·β−1_{= 1.}

III. Distributividad

i)α·(β+γ) =α·β+α·γ. ii) (α+β)·γ=α·γ+β·γ.

Un conjunto K, provisto de una adición y de una multiplicación se llama cuerpo conmutativo, si satisface los tres grupos de axiomas mencionados más arriba.

Remarca.-Un conjuntoKprovisto de una adición y de una multiplicación que satisface las tres familias de axiomas, quizás excepto el axioma II.i se llamacuerpo.

Proposici´on I.1.1.-En un cuerpo conmutativoK, se tiene 1) El elemento0 es ´unico.

2) El opuesto deαes ´unico.

(7)

5) Se tieneα·0 = 0,∀α.

Demostraci´on:

1.- Sup´ongase que 0 y 0′ _{son ceros, entonces}

0′ = 0 + 0′= 0′+ 0 = 0_⇒0 = 0′. 2.- Seaα_∈K,−αy₋α′ _{opuestos de}_{α. Se tiene}

−α=₋α+ 0 =₋α+ (α+ (₋α′)) = (₋α+α) + (₋α′) = 0 +α′=α′. 3.- Ejercicio.

4.- _⇐trivial,

α+α=α,

⇒

(α+α) + (₋α) =α+ (₋α), α+ (α+ (₋α)) = 0,

α+ 0 = 0 ⇒α= 0. 5.- Utilizando el punto 4) de la proposici´on, se tiene

α_·0 =α_·(0 + 0),

α_·0 =α_·0 +α_·0_⇒α_·0 = 0.

En lo que sigue del cap´ıtulo K denotar´a un cuerpo conmutativo. Se convendr´a α₋β =α+ (₋β) y αβ=α_·β.

Espacios Vectoriales

Unespacio vectorialsobreK,K-espacio vectorial, es un conjuntoV provisto de dos operaciones: V _×V _→V

(x, y)_7→x+y adici´on

K×V _→V (α, x)_7→αx multiplicaci´on por escalar

que verifican los dos sistemas de axiomas:

I Adici´on

i) la adici´on es conmutativax+y=y+x,∀x, y∈V.

ii) la adici´on es asociativa (x+y) +z=x+ (y+z),_∀x, y, z_∈V. iii) existe un cero, 0_∈V tal que 0 +x=x,_∀x_∈V.

iv) Todox_∈V posee un opuesto₋x, tal quex+ (₋x) = 0.

II Multiplicaci´on por escalar

i)α(βx) = (αβ)x,_∀α, β_∈K,∀x_∈V. ii) (α+β)x=αx+βx, _∀α, β_∈K,∀x_∈V. iii)α(x+y) =αx+αy,_∀αK, x, y_∈V.

Definici´on I.1.2.- Un subconjuntoU 6=∅ deV espacio vectorial, es unsubespacio vectorialdeV, si x, y∈U ⇒αx+βy∈U, ∀α, β∈K.

(8)

I.1 Preliminares 3 1.- Kes un espacio vectorial sobreK, para la adici´on y la multiplicaci´on deK.

2.- Sea Kn ₌ _{_{(α1, α2, . . . , α}

n)|αi ∈ K, i = 1, . . . , n}, con la adici´on y la multiplicaci´on por escalar,

definidas:

(α1, α2, . . . , αn) + (β1, β2, . . . , βn) = (α1+β1, α2+β2, . . . , αn+βn),

α(α1, α2, . . . , αn) = (αα1, αα2, . . . , ααn),

es un espacio vectorial sobreK.

3.- {0} ⊂V y V son subespacios vectoriales de V, si V es un espacio vectorial. Son conocidos como los

subespacios trivialesde V.

Proposici´on I.1.3.-En un espacio vectorial V, sobre un cuerpoK, se tiene: 1.- El elemento0_∈V es ´unico, as´ı como el opuesto₋x.

2.-y_∈V,y+y=y _⇐⇒ y= 0. 3.-α0 = 0,_∀α_∈K.

4.-0x= 0,_∀x_∈V.

5.- Seanα_∈K,x_∈V, entonces

αx= 0_⇒α= 0o x= 0.

Demostraci´on.- Los incisos 1,2,3,4 ejercicios. El punto 5, si α = 0 est´a demostrado, sino α ₆= 0, por consiguiente

α−1(αx) =α−10, 1x= 0,

x= 0.

Convención.-Generalmente el elemento cero 0 deV espacio vectorial se lo denota también 0. En lo que sigue se utilizará esta notación.

Ejemplos

4.- SeaX un conjunto no nulo, se define

KX₌

{f :X _→K}

el conjunto de las aplicaciones deX enK. KX _{es un espacio vectorial para}

(f+g)(x) =f(x) +g(x)

(αf)(x) =α(f(x)) (I.1.1)

El cero deKX _{es la aplicaci´}_{on 0 :}_x_7→_0.

En particularRR₌

{f :R→B_} es un espacio vectorial con las operaciones (I.1.1). 5.- _C0_(R,_{R) =}

{f :R→R,continua_} es un espacio vectorial con las leyes (I.1.1). 6.- Se dice quep:R→Res polinomial si

p(t) =

n X

i=0

αiti, αi∈R, αn6= 0;

n es el grado de p. Se denota _P el conjunto de las funciones polinomiales y _Pn el conjunto de las

funciones polinomiales de grado_≤n.

Ejercicio.-Mostrar que_P es un subespacio vectorial de_C0_(R,_{R) y}

Pnes un subespacio vectorial deP.

Remarca.-Un subespacio vectorial es en si mismo es un espacio vectorial.

7.- Consideremos el sistema lineal homogeneo denecuaciones ymincognitas, dado por

    

a11ξ1 + a12ξ2 + _{· · ·} + a1mξm = 0

..

. ...

(9)

donde losaik pertenecen aK.

Ejercicio.-Mostrar que las soluciones de este sistema forman un subespacio vectorial deKm_.

Proposici´on I.1.4.-SeanV yW dos espacios vectoriales sobre un cuerpoK. El conjunto producto V _×W =_{(v, w)_|v_∈V, w_∈W_}

es unK-espacio vectorial, para

(v1, w1) + (v2, w2) = (v1+v2, w1+w2), α(v, w) = (αv, αw).

Demostraci´on.-Ejercicio.

Proposici´on I.1.5.-Sea_{Ui}i∈I una familia de subespacios deV. Entonces \

i∈I

Uies un subespacio vectorial

deV, donde _\

i∈I

Ui ={x∈V|x∈Ui, ∀i∈I}.

Remarca.- [

i∈I

Ui={x∈V|∃i∈I, con x∈Ui}no es en general un subespacio vectorial de V.

Definición I.1.6.-SeaAun subconjunto deV. El subespacioengendradoporAes el subespacio vectorial más pequeño que contieneA, se lo denota por < A >.

Se tiene<∅>={0}. Existen subespacios deV que contienen un subconjuntoA deV, por ejemploV mismo. Por consiguiente se tendr´a

< A >= \

A⊂U subespacio

U.

En realidad< A >est´a formado por el conjunto de lasv∈V que se escriben bajo la forma v= X

suma finita

αiai, αi∈K, ai∈A.

Mostrar esta ´ultima afirmaci´on es un interesante ejercicio, hacerlo.

Se dice queA_⊂V engendraV si y solamente si< A >=V. Por la anterior observaci´on, esta definici´on significa que todov_∈V se escribe como

v= X suma finita

αiai, αi∈K, ai∈A.

Ejemplos

8.- K espacio vectorial sobre K. Sea α ₆= 0, entonces < _{α_} >= K. En efecto, sea β _∈ K, se tiene β= (βα−1_)α.

9.- Kn_{. Introducimos los elementos}

e1= (1,0, . . . ,0), e2= (0,1,0, . . . ,0), . . . , en= (0, . . . ,0,1).

{e1, e2, . . . , en}engendraV. En efecto sea (α1, . . . , αn)∈Kn, se tiene

α1, . . . , αn) = n X

(10)

I.1 Preliminares 5 10.- Ejercicio.-Mostrar que

<{t→ti}i≥0>=P y Pn=<{t→ti}ni=0> 11.- Sean U1, U2, . . . , Un subespacios vectoriales deV, se denota

U1+U2+_{· · ·}+Un

elsubespacio engendrado por

n [

i=1 Ui.

Ejercicio.-Mostrar que los elementos de

n X

i=1

son aqu´ellos deV que se escriben bajo la forma

v=

n X

i=1

ui, ui∈U.

Definici´on I.1.7.- Se dice que la familia{v1, . . . , vm} deV eslinealmente dependiente si y solamente

si existenα1, α2, . . . , αn ∈Kno todos nulos, tales que n X

i=1

αivi= 0.

Si _{v1, . . . , vm} no es linealmente dependiente, se dice que es linealmente independiente; es decir,

{v1, . . . , vm} es linealmente independiente si y solamente si n

X

i=1

αivi= 0⇒α1=α2=· · ·=αm= 0.

Se dice que∅ 6=A⊂V, no necesariamente finito, eslinealmente dependiente, si existe{v1, . . . , vm} ⊂A

linealmente dependiente.

Se dice que ∅ 6=A ⊂ V, no necesariamente finito, eslinealmente independiente si toda familia finita

{v1, . . . , vm} ⊂Aes linealmente independiente. Se conviene que∅ es linealmente independiente.

Ejemplos

12.- A=_{0_}, entonces Aes linealmente dependiente.

13.- Los vectores ei,i= 1, . . . , n deKn definidos en el ejemplo 9, forman una familia linealmente

indepen-diente.

14.- Sea V 6={0} un espacio vectorial, 0 =6 x∈V, entonces {x} es linealmente independiente. En efecto, utilizando la proposici´on (I.1.3), punto 5, se tieneαx= 0⇒α= 0.

15.- SeaP el espacio de las funciones polinomiales reales.

Ejercicio.-Mostrar que el conjunto

A={t7→ti}i≥0 es una familia linealmente independiente de_P.

Definici´on I.1.8.-Se dice queB_⊂V es unabasedeV espacio vectorial si y solamente siB es linealmente independiente yB engendraV.

Ejemplos

16.- V =K, sea α∈K, conα6= 0, entonces{α} es una base deK. 17.- V =Kn_{. El conjunto}_{_{e1, e2, . . . , e}

n}es una base deKn.

18.- _{t_7→ti

}n

(11)

Proposici´on I.1.9.- El subconjuntoxii∈I del espacio vectorialV es una base deV, si y solamente si todo

elementov∈V se escribe de manera ´unica bajo la forma

v= X

sumaf inita

αivi, αi ∈K.

Demostraci´on.-En los ejercicios propuestos de la pr´actica.

Aplicaci´on a los Sistemas Lineales

    

a11ξ1 + a12ξ2 + _{· · ·} + a1mξm = 0

..

. ...

an1ξ1 + an2ξ2 + · · · + anmξm = 0

(I.1.2)

Planteando

a1=(a11, a21, . . . , an1)∈Kn,

.. .

am=(a1m, a2m, . . . , anm)∈Kn,

b=(b1, b2, . . . , bn)∈Kn.

El sistema (I.1.2) es equivalente a resolverξ1a1+ξ2a2+· · ·+ξmam=b. Por consiguiente:

i) El sistema (I.1.2) tiene una soluci´on, si y solamente sib_∈<_{a1, . . . , am}>.

(12)

I.2 Espacios de Generaci´on Finita 7

I.2 Espacios de Generaci´

on Finita

Se dice que el espacio vectorialV es degeneraci´on finitasi posee unsistema de generadoresfinito, es decir si existev1, v2, . . . , vn∈V, tales que todov∈V, se escribe como

v=

n X

i=1

αivi, αi∈K.

Ejemplos

1.- Kn _{es de generaci´on finita, porque es engendrado por}

{e1, e2, . . . , en}.

2.- El espacioP de las funciones polinomiales no es de generación finita. Esto se verá más adelante. 3.- Ejercicio.- Si V y W son espacios vectoriales sobre K cuerpo, mostrar que V ×W es de generación

finita.

En este parágrafo se verá como resultado principal que los espacios vectoriales de generación finita tienen bases finitas, además que todas las bases de un espacio vectorial de generación finita tienen el mismo número de elementos.

Teorema I.2.1.- Intercambio de Grassmann.- Sea V ₆= _{0_} un espacio de generaci´on finita. Sea Gr =

{y1, y2, . . . , yr} un sistema de generadores deV. SeaL={x1, . . . , xs}un subconjunto linealmente

indepen-diente enV. Entonces: i)r≥s;

ii) Existen(r−s)elementosyis+1, yis+2, . . . , yir deGrtales que

{x1, . . . , xs, yis+1, yis+2, . . . , yir}engendraV.

Demostración.-Por inducción sobres, dondeses el número de elementos deL. Paras= 0, el enunciado es cierto de manera trivial.

Supongamos cierto el teorema paras₋1, cons >0. A demostrar que el teorema es cierto paras. Se utiliza la hip´otesis de inducci´on paraL′₌

{x1, x2, . . . , xs−1}, obteniendo: i)r_≥(s₋1),

ii) existenyis, yis+1, . . . , yir enGrtales que

{x1, . . . , xs−1, yis, yis+1, . . . , yir}engendraV.

Si es necesario renumerar losyi, se puede suponer queyij =yj, es decir

{x1, . . . , xs−1, ys, . . . , yr}engendraV.

Por lo tanto, el elementoxs se puede escribir como combinaci´on lineal de

x1, . . . , xs−1, ys, . . . , yr

xs= s−1

X

i=1 αixi+

r X

j=s

βjyj,

losβj no son todos nulos, sino L′ ser´ıa linealmente dependiente.

De ah´ı, se deduce quer_≥s, existe unj, conβj 6= 0. Si es necesario renumerar losyj, se puede suponer

queβs6= 0. De donde

xs= s−1

X

i=1

αixi+βsys+ r X

j=s+1

βjyj. (I.2.1)

El siguiente paso, es mostrar que_{x1, . . . , xs, ys+1, . . . , yr}engendraV. Seav∈V, por hip´otesis de inducci´on,

se puede escribir

v=

s−1

X

i=1

γixi+δsys+ r X

i=s+1

(13)

por otro lado, se tiene a partir de (I.2.1)

ys= s−1

X

i=1

−αi

βs

xi+

1 βs

xs+ r X

j=s+1

−βj

βs

yj,

introduciendo esta última expresión en (I.2.2) y efectuando los cálculos necesarios se llega a

v=

s X

i=1 α′ixi+

r X

i=s+1 δ′jyj.

Corolario I.2.2.- Sea V un espacio vectorial de generaci´on finita y Gr un sistema de generadores de V. Entonces todo subconjunto linealmente independiente contiene a lo mas#(Gr).

Consecuencia.-Sea V un espacio vectorial, se supone queV contiene un subconjunto infinito linealmente independiente, entoncesV no es de generaci´on finita. Por lo tantoP, no es de generaci´on finita.

Corolario I.2.3.-SeaV espacio vectorial de generaci´on finita yLun subconjunto linealmente independiente deV. Entonces se puede completarLen un sistema finito de generadores deV.

Teorema I.2.4.- Un espacio vectorial de generación finita, posee bases finitas. Más precisamente, de todo sistema de generación finita, se puede extraer una base; es decir si Gr_⊂V engendraV, existe una base B deV conB _⊂Gr. Si el espacio esV =_{0_}, se conviente que_∅ es la base deV.

Demostraci´on.- Supongamos que V ₆=_{0_}, sino el teorema est´a mostrado. Sea Gr=_{y1, y2, . . . , yr} un

sistema de generadores deV. Se eligeB_⊂Grtal queB es linealmente independiente yB es maximal para esta propiedad; es decir, siB&B′

⊂Gr, entonces B’ es linealmente dependiente. La existencia del conjunto B está asegurada por que todo subconjunto linealmente enV cuenta con un número finito de elementos y además este numero está acotado porr, el número de generadores deGr.

Afirmamos que B es una base, con lo que el teorema estar´ıa demostrado. En efecto,B es linealmente independiente por construcci´on. Solo queda mostrar queB engendraV. Si es necesario renumerar, se puede suponer que

B={y1, y2, . . . , ys}.

Sis=r, se tieneB=Gry por consiguienteB es un sistema de generadores.

Si s < r, por maximilidad de B, el subconjunto _{y1, y2, . . . , ys, yi}, para i = s+ 1, . . . , r es linealmente

dependiente. Por lo tanto para cadai=s+ 1, . . . , r, existenα1, α2, . . . , αn yβ ∈Kno todos nulos, tales que s

X

k=1

αkyk+βyi= 0.

Se observa queβ 6= 0, por que sinoB no ser´ıa linealmente independiente. Por consiguiente

yi= s X

k=1

−αk

β yk, s < i≤r. (I.2.3)

Por otro lado, seav_∈V, comoGres un sistema de generadores, se tiene tambi´en

v=

s X

k=1 γkyk+

r X

i=s+1

γiyi, γj ∈K.

Introduciendo (I.2.3), en cada uno de losyi cons < i≤r, se tiene finalmente

v=

s X

k=1

(14)

I.2 Espacios de Generaci´on Finita 9

Proposición I.2.5.- Sea V un espacio vectorial de generación finita. Entonces, todas las bases de B son finitas y comportan el mismo número de elementos. Este número se llamadimensióndeV y se escribe

dimKV, dim(V), dimV.

Se tiene quedimV es el n´umero m´aximo, respectivamente m´ınimo, de elementos de un subconjunto lineal-mente independiente enV, respectivamente que engendraV.

Demostraci´on.-a) Por el corolario I.2.2 del teorema de Grassman, todas las bases deV son finitas. b) Sean{v1, v2, . . . , vn} y{v1′, v2′, . . . , vm′ }dos bases deV. Utilizando el teorema de Grassmann con:

Gr={v1, v2, . . . , vn}, L={v1′, v2′, . . . , vm′ } ⇒m≤n,

Gr=_{v′1, v2′, . . . , vm′ }, L={v1, v2, . . . , vn} ⇒m≤m.

c) Se denota dla dimensi´on de V. SeaLun subconjunto linealmente independiente de V. Por el teorema de Grassmann, conGruna base yL, se tiene

d= #(Gr)_≥#(L).

d) SeaGrun subconjunto finito deV que engendra V yBuna base deV, por el teorema de Grassmann, se tiene

#(GR)≥#(B) =d.

Ejemplos

4.- dim(Kn_{) =}_n.

5.- dim(Pn) =n+ 1.

6.- Ejercicio.- Mostrar que siV yW son de generación finita, entoncesV ×W es de generación finita y además

dim(V ×W) = dim(V) + dim(W).

Remarca En general un espacio vectoria posee bases y todas sus bases tienen el mismo ”numero“ de elementos, o siV no es de generaci´on finita, se dice que V es degeneraci´on infinita.

Proposici´on I.2.6.-Sea V de dimensi´ondyv1, v2, . . . , vn nelementos de V, entonces:

i Sin > d,_{v1, v2, . . . , vn}es linealmente dependiente.

ii Sin < d,_{v1, v2, . . . , vn}no engendraV.

iii Sin=d, los enunciados siguientes son equivalentes: a) _{v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente,

b) _{v1, v2, . . . , vn} engendraV,

c) _{v1, v2, . . . , vn} es una base deV.

Demostraci´on.-Los incisos i,ii comoEjercicio. Mostremos el inciso iii).

a)⇒b) Sea B = {x1, . . . , xd} una base de B, utilizando Grassman con Gr =B y L ={v1, v2, . . . , vn}, se

tiene que{v1, v2, . . . , vn}engendraV.

b)_⇒c) De todo sistema de generadores se puede extraer una base.

c)_⇒a) trivial.

Proposici´on I.2.7.- Sea V un espacio vectorial de generaci´on finita. Entonces, todo conjunto linealmente independiente puede ser completado en una base deV.

Demostraci´on.- Sea L ={x1, . . . , xs} un subconjunto linealmente independiente. B ={y1, . . . , yd} una

base deV. Por el teorema de Grassmann, si es necesario renumerar los yi, el subconjunto

{x1, . . . , xs, ys+1, . . . , yd}

(15)

Proposición I.2.8.- Sea V de generación finita y U un subespacio de V. Entonces, U es de generación finita y se tienedim(U)≤dim(V). Además

dim(U) = dim(V) ⇐⇒ U =V.

Demostraci´on.-Se observa que un subconjunto linealmente independiente deU es tambi´en un subconjunto linealmente independiente deV.

Los subconjuntos linealmente independientes deV, tienen a lo sumo dim(V) elementos. Por lo tanto, los subconjuntos linealmente independientes deU son finitos con a lo m´as dim(V) elementos.

Se eligeB=_{u1, u2, . . . , un}un subconjunto linealmente independiente maximal; es decir, siB&B′⊂

U, entoncesB′ _{es linealmente dependiente.}

Afirmamos que B es una base de U, con lo que estar´ıa demostrado que U es de generaci´on finita y dim(U)_≤dim(V). En efecto, seau_∈U, a demostrar que existeα1, . . . , αn∈K, tales que

u=

n X

i=1 αiui.

Siu_{∈ {}u1, u2, . . . , un}est´a claro.

Siu_{6∈ {}u1, u2, . . . , un}, se consideraB′={u1, u2, . . . , un, u}, por maximilidadB′es linealmente dependiente.

Por consiguiente, existenβ1, . . . , βn, β no todos nulos tales que

0 =

n X

i=1

βiui+βu.

beta₆= 0, sinoB ser´ıa linealmente dependiente, entonces

u=

n X

i=1

−βi

β ui.

Falta probar que dim(U) = dim(V)_⇒ U =V. Sea B =_{u1, . . . , un} una base de U, es por lo tanto un

subconjunto linealmente independiente deU y por consiguiente deV, por la proposicion I.2.6 inciso iii),B

es una base deV. La implicaci´on del otro sentido es trivial

Proposición I.2.9.- (Fórmula de Dimensión).- Sea V de generación finita. P y Q subespacios de V. Entonces

dim(P+Q) = dim(P) + dim(Q)−dim(P∩Q).

Demostraci´on.-En los ejercicios de la Pr´actica.

Ejemplo

7.- La intersecci´on de dos planos vectoriales diferentes enR3 _{es una recta vectorial. En efecto, se tiene:} P+Q=R3_{, porque sino}_P ₌_Q,

(16)

I.3 Aplicaciones Lineales 11

I.3 Aplicaciones Lineales

Definici´on I.3.1.- SeanV yW dos espacios vectoriales. Se dice que la aplicaci´on f :V →W

eslineal, ohomomorfismo de espacios vectoriales, si

f(v1+v2) =f(v1) +f(v2), ∀v1, v2∈V; f(αv) =αf(v), _∀α_∈K, ∀v_∈V.

Remarca.-f(0) = 0, en efectof(0) =f(0 + 0) =f(0) +f(0).

Se denota por Hom(V, W) el conjunto de las aplicaciones lineales deV enW.

Proposici´on I.3.2.-Hom(V, W)es un espacio vectorial para las operaciones definidas por: (f+g)(v) =f(v) +g(v),

(αf)(v) =αf(v).

Demostraci´on.- Ejercicio.

Definición I.3.3.- Una aplicación lineal biyectiva se llamaisomorfismo, una aplicación linealf :V _→V se llama endomorfismo, End(V) = Hom(V, V). Un endomorfismo biyectivo se llama automorfismo, Gl(V) =_{automorfismos deV_}.

Ejemplos y/o Ejercicios

1.- SeaU un subespacio deV espacio vectorial, entonces la inclusi´on U _→V

u_7→u es lineal.

2.- La aplicaci´on definida por

Kn

→Kn

(α1, . . . , αn)7→(α1, . . . , αp,0, . . . ,0) p≤n

es lineal.

3.- V =R2_{. Las siguientes aplicaciones, estudiadas en el curso de Geometr´ıa, son lineales:} rotaci´on de centroO,

simetr´ıa de eje que pasa por 0, homotecia de centro 0.

4.- SiV =P espacio de las funciones polinomiales. Las siguientes aplicaciones son lineales: D:P → P

p_7→p′

Dn _:

P → P

p_7→p(n)

5.- ConsideremosV =C0_([0,_1],_{R) =}_{_f _{: [0,}_1]_→_R_continua_}_{. Las siguientes aplicaciones son lineales:}

C0_([0,_1],_R)

→R

f 7→f(a), a∈[0,1] f _7→

Z 1

0

(17)

La aplicaci´onf → max

x∈[0,1]|f(x)| no es lineal. 6.- Consideremos el sistema

    

a11ξ1 + a12ξ2 + _{· · ·} + a1mξm = b1

..

. ...

an1ξ1 + an2ξ2 + · · · + anmξm = bn

(I.3.1)

Planteando

a1=(a11, a21, . . . , an1)∈Kn,

.. .

am=(a1m, a2m, . . . , anm)∈Kn,

b=(b1, b2, . . . , bn)∈Kn.

La escritura vectorial de (I.3.1) est´a dada porξ1a1+ξ2a2+· · ·+ξmam=b.

Se asocia a (I.3.1) la aplicaci´on lineal a:Km

→Km

(ξ1, . . . , ξm)7→ξ1a1+ξ2a2+· · ·+ξmam

Resolver el sistema (I.3.1) es equivalente a encontrarξ= (ξ1, . . . , ξm)∈Kmtal que

a(ξ) =b.

7.- Seaf :V _→W un isomorfismo, entonces f−1_:_W

→V es lineal. En efecto

f−1(w1+w2) =f−1(f(v1) +f(v2)) =f−1(f(v1+v2)) =v1+v2=f−1(w1) +f−1(w2), f−1(αw) =f−1(αf(v)) =f−1(f(αv)) =αv=αf−1(w).

El resultado principal de este par´agrafo, est´a dado por: ”SiV yW son espacios vectoriales, {v1, . . . , vn}

una base de V, entonces para toda sucesi´on (w1, w2, . . . , wn) de elementos de W, existe exactamente una

aplicaci´on linealf :V _→W tal quef(vi) =wi, parai= 1,2, . . . , n.

Definici´on I.3.4.- SeanP yQdos subespacios deV. SiP_∩Q=_{0_}, en lugar deP+Q, se escribeP_⊕Q

suma directadeP yQ.

Proposici´on I.3.5.-Si P_∩Q=_{0_}, la aplicaci´on

P_×Q_→P_⊕Q_⊂V (x, y)_7→x+y es un isomorfismo.

Definici´on I.3.6.- SeanP yQdos subespacios deV. Se dice que P yQsonsuplementarios, o bienP es

suplementariodeQ, siV =P_⊕Q.

Ejemplo

(18)

I.3 Aplicaciones Lineales 13 subespacios vectoriales del espacio de las funciones reales. Se tiene que

V =P_⊕Q, dondeV es el espacio de las funciones reales. En efecto

p(t) =f(t) +f(−t)

2 +q(t) =

f(t)₋f(₋t)

2 yf(t) =p(t) +q(t).

se tiene queV =P_⊕Q.

Proposici´on I.3.7.-SeaP _⊂V un subespacio vectorial deV espacio vectorial de dimensi´on finita, entonces existe al menos un suplementario deP.

Demostraci´on.-Sea_{v1, . . . , vn} una base deP, la cual se la prolonga en

{v1, . . . , vn, vn+1, . . . , vd}base deV. Planteamos

Q=<_{vn+1, . . . , vd}>,

Definici´on I.3.8.- (Vocabulario) Sea f : V _→ W una aplicaci´on lineal. Sea V1 un subespacio de V, entonces

f(V1) =_{w_∈W_|∃v_∈V1tal que f(v) =w_}. SiV1=V, entoncesf(V) se llama laimagen def y se denota Im(f). SeaW1 un subespacio deW, entonces

f−1(W1) =_{v_∈V_|f(v)_∈W_}. SiW1={0},f−1({0}) se llamanucleodef se denota ker(f).

Proposici´on I.3.9.- f(V1) y f−1_(W1) _{de la definici´on precedente son subespacios vectoriales de} _V _y _W respectivamente.

Proposici´on I.3.10.- Seaf :V _→W lineal, entonces

f es sobreyectiva _⇐⇒ Im(f) =W, a)

f es inyectiva _⇐⇒ ker(f) =_{0_}, b)

f es biyectiva ⇐⇒ ker(f) ={0} yIm(f) =W. c)

Demostraci´on.-El punto a) es evidente. b)_⇒Seav_∈ker(f), entonces

f(v) = 0 =f(0)_⇒v= 0.

⇐Seanv1 yv2tales quef(v1) =f(v2), por consiguiente f(v1₋v2) = 0,

v1−v2∈ker(f)⇒v1−v2= 0 ⇒v1=v2.

c) Consecuencia directa de a) y b).

Teorema I.3.11.-Fórmula de Dimensión.-SeaV espacio vectorial de dimensión finita yf :V _→W lineal. Entonces Im(f)es de generación finita y se tiene

(19)

Demostraci´on.- a) Sea {v1. . . , vm} una base deV, entonces {f(v1), . . . , f(vm)} engendra Im(f), por lo

que Im(f) es de generaci´on finita.

En efecto, seaw∈Im(f), por definici´on existev∈V tal quef(v) =w. Se tiene

v=

m X

i=1

αivi ⇒f(v) = m X

i=1

αif(vi).

b)Sea_{v1, . . . , vn}una base de ker(f) que se completa a

{v1, . . . , vn, vn+1, . . . , vm}base de V.

Afirmamos que B = _{f(vn+), . . . , f(vm)} es una base de Im(f), con lo que quedar´ıa demostrada la

f´ormula de dimensi´on.

En efecto,Bengendra Im(f), por a) se tiene que_{f(v1), . . . , f(vm)}engendra Im(f), ahora bienf(v1) =

· · ·=f(vn) = 0.

B es linealmente independiente, seanαn+1, . . . , αm∈Ktales que m

X

i=n+1

αif(vi) = 0,

por consiguiente

0 =f

m X

i=n+1 αivi

!

⇒

m X

i=n+1

αivi∈ker(f).

Por lo tantov_∈ker(f), tambi´en se escribe como

n X

i=1

βivi. De donde

n X

i=1 βivi=

m X

i=n+1 αivi,

por independencia lineal, se tiene necesariamente que losαi= 0.

Corolario I.3.12.- Seaf :V →W lineal con V yW de dimensi´on finita, entonces: a) SidimV >dimW, entoncesf no es inyectiva.

b) SidimV <dimW, entonces f no es sobrectiva.

c) SidimV = dimW, las tres condiciones siguientes son equivalentes: i)f es inyectiva,

ii)f es sobreyectiva, iii)f es biyectiva.

Demostración.-Se utiliza la fórmula de dimensión.

a) dim ker(f) = dimV −dim Im(f)≥dimV −dimW >0, de donde ker(f)6={0}, por consiguiente f no es inyectiva.

b)dim Im(f) = dimV₋dim ker(f)_≤dimV <dimW, de donde Im(f)₆=W, por lo tantofno es sobreyectiva. c) i)_⇐⇒ii)

dim ker(f) = 0 _⇐⇒ dimW = dim Im(f) _⇐⇒ f es sobreyectiva.

Por lo tanto una funci´on inyectiva es sobreyectiva y por consiguiente biyectiva, con lo que esta mostrada

i)_⇒iii).

Remarca.-El corolario I.3.12 es falso si la dimensi´on de los espacios no es finita. ConsideremosPel espacio de las funciones polinomiales reales. La aplicaci´on

(20)

I.3 Aplicaciones Lineales 15 es sobreyectiva, pero no inyectiva.

Teorema I.3.13.- Fundamental.- Sea {v1, . . . , vn} una base de V espacio vectorial. Entonces, para toda

sucesi´onw1, . . . , wn de elementos deW, existe exactamente una aplicaci´on linealf :V →W, tal que

f(vi) =wi, i= 1, . . . , n.

“Una aplicaci´on lineal es enteramente determinada por el comportamiento de la imagen de su base”.

Demostraci´on.-a) Existencia.

Para todov_∈V, se tiene una escritura ´unicav=

n X

i=1

αivi,αi∈K. Se plantea

f(v) =

n X

i=1 αiwi,

función bien determinada por que losαi son únicos. Por construcción se tienef(vi) =wipara i= 1, . . . , n.

Falta ver quef es lineal, seanv yv′ _{dos elementos de} _V_{, entonces}

v=

n X

i=1

αivi, v′= n X

i=1

α′_ivi ⇒v+v′= n X

i=1

(αi+α′i)vi.

Por consiguiente:

f(v) =

n X

i=1

αiwi f(v′) = n X

i=1

α′_iwi f(v+v′) = n X

i=1

(αi+α′i)vi.

Se constata quef(v+v′_{) =}_f_{(v) +}_f_(v′_{), lo mismo para}_f_{(αv) =}_αf_(v).

b) Unicidad.

Seanf yg aplicaciones lineales deV enW, tales quef(vi) =g(vi) parai= 1, . . . , n. Se tiene

f(v) =f(

n X

i=1

αivi) = n X

i=1

αif(vi) = n X

i=1

αig(vi) =g( n X

i=1

αivi) =g(v).

Proposici´on I.3.14.- SiV yW dos espacios de dimensi´on finita. Entonces,V yW son isomorfos, es decir existe un isomorfismoV _→W, si y solamente si dimV = dimW.

Demostración.- Si V y W son isomorfos, entonces dimV = dimW, caracter´ıstica de la fórmula de di-mensión.

Si dimV = dimW, sean{v1, . . . , vn}y{w1, . . . , wn} bases deV yW respectivamente. Por el teorema

fundamental existe f : V → W lineal tal que f(vi) = wi. Utilizando la demostraci´on de la proposici´on

fórmula de dimensión para aplicaciones lineales, se constata que Im f =W, por consiguiente la aplicación es biyectiva, consecuencia del corolario I.3.12.

Proposici´on I.3.15.- Sea_{v1, . . . , vn} una base deV, entonces la aplicaci´on

Hom(V, W)−→ϕ W ×W× · · · ×W =Wn f _7→(f(v1), f(v2), . . . , f(vn))

es un isomorfismo de espacios vectoriales.

Demostraci´on.-ϕes lineal:

ϕ(αf) = ((αf)(v1), . . . ,(αf)(vn))

=α(f(v1), . . . , f(vn)) =αϕ(f),

ϕ(f+g) = ((f+g)(v1), . . . ,(f+g)(vn))

= (f(v1) +g(v1), . . . , f(vn) +g(vn))

(21)

El teorema fundamental indicar´a queϕes biyectiva.

Aplicaci´

on a los Sistemas Lineales

Consideremos el sistema denecuaciones anincognitas

    

a11ξ1 + a12ξ2 + · · · + a1nξn = b1

..

. ...

an1ξ1 + an2ξ2 + · · · + annξn = b2

(I.3.2)

Proposición I.3.16.- Los enunciados siguientes son equivalentes para el sistema (I.3.2). i)_∀(bi)∈K, existe a lo más una solución del sistema (I.3.2).

ii)_∀(bi)∈K, existe al menos una soluci´on del sistema (I.3.2).

iii)_∀(bi)∈K, existe exactamente una soluci´on del sistema (I.3.2).

iv) El sistema homogeneo asociado a (I.3.2) admite(ξi= 0)como ´unica soluci´on.

Demostración.- Al sistema (I.3.2), se asocia la aplicación linel a, ver ejemplo 6 de este parágrafo. Por consiguiente

Resolver (I.3.2) _⇐⇒ Encontrar todos losξ_∈Kn _{tal que}_{a(ξ) =}_b.

Es decir encontrar,a−1₍_{_b_}_{). Los enunciados de la proposici´}_{on se traducen} i)∀b∈Kn_,_a−1₍

{b}) comporta a lo m´as un elemento ⇐⇒ aes inyectiva. ii)∀b∈Kn_,_a−1₍

{b}) comporta al menos un elemento ⇐⇒ aes sobreyectiva. iii)_∀b_∈Kn_,_a−1₍

{b_}) comporta exactamente un elemento _⇐⇒ aes biyectiva. iv)a−1₍

{0_}) =_{0_{} ⇐⇒} kera=_{0_}.

(22)

I.4 Anillo de Homomorfismos 17

I.4 Anillo de Homomorfismos

Proposici´on I.4.1.- Seanf _∈Hom(U, V)yg _∈Hom(V, W), entoncesg_◦f _∈Hom(U, W), dondeU, V, W son espacios vectoriales.

Demostraci´on.-Se tiene:

g◦f(u1+u2) =g(f(u1+u2)) =g(f(u1) +f(u2))

=g(f(u1)) +g((u2)) =f ◦g(u1) +f ◦g(u2), g_◦f(αu) =g(f(αu))

=g(α(f(u))

=αg(f(u)) =αg◦f(u).

Sobre End(V), se tiene unaadicion

(f+g)(v) =f(v) +g(v), y una“ multiplicaci´on”que es la composici´on de aplicaciones

(g_◦f)(v) =g(f(v)).

Estas dos leyes de composici´on interna o operaciones verifican los axiomas siguientes:

I.- Adici´on

i la adici´on es asociativa; ii la adici´on es conmutativa;

iii existe un elemento cero 0 tal que 0 +f =f, para todof;

iv Para todof _∈End(V), existe un opuesto (₋f), tal que f+ (₋f) = 0.

II.- Multiplicaci´on

i la multiplicaci´on es asociativa;

ii existe un uno 1, tal que 1_◦f =f_◦1 =f, para todof. 1 =id:V →V

v_7→v

I.- Distributividad

i f◦(g+h) =f◦g+f◦h; ii (f+g)◦h=f◦h+g◦h.

Un conjuntoAcon una adici´on y una multiplicaci´on que satisface los tres sistemas de axiomas descritos, se llamaanillo.

Se dice queA es unaanillo conmutativo, si Aes una anillo cuya multiplicación es conmutativa. Por lo tanto, End(V) con la adición y la composición de aplicaciones es un anillo.

Ejemplos

1.- Zcon la adici´on y la multiplicaci´on usual es un anillo conmutativo. 2.- Un cuerpo (conmutativo) es un anillo (conmutativo).

3.- End(V) no es un anillo conmutativo si dimV ≥ 2. En efecto, sea {v1, . . . , vn} una base de V y

consideremos los endomorfismos definidos por: f :V _→W

v1_7→αv1 v2_7→βv2

vi 7→vi, i≥3;

g:V _→W v1_7→v1+v2 v2_7→v2

(23)

entonces

g_◦f :V _→W

v1_7→αv1+βv2 v27→βv2

vi7→vi, i≥3;

f _◦g:_→W

v1_7→α(v1+v2) v27→βv2

vi7→vi, i≥3;

Siα6=β, se tienef ◦g(v1)6=g◦f(v1) y por consiguientef◦g6=g◦f.

Definici´on I.4.2.- SeaAyB dos anillos. Una aplicaci´onf :A_→B es unhomomorfismo de anillossi i f(a1+a2) =f(a1) +f(a2),

ii f(a1a2) =f(a1)f(a2), iii f(1) = 1.

Definici´on I.4.3.-SeaAun anillo, se dice queI_⊂Adiferente del conjunto vacio es unideal por izquierda (por derecha), si

i _∀x, y_∈I_⇒x+y_∈I,

ii x_∈I, a_∈A_⇒ax_∈I (xa_∈I).

Grupos

UngrupoGes un conjunto dotado de una ley de composici´on interna o operaci´on G_×G_→G

(g1, g2)7→g1∗g2 tal que

i (g1∗g2)∗g3=g1∗(g2∗g3),∀g1, g2, g3∈G(Asociatividad); ii Existe unelemento neutroetal quee∗g=g∗e=g,∀g∈G; iii Todo elementog_∈Gposee uninversog′ _{tal que}

g_∗g′ =g′_∗g=e. Se dice queGun grupo esconmutativooabeliano si ademas

g1∗g2=g2∗g1, ∀g1, g2∈G.

Notaci´on Multiplicativa

SiGes un grupo y la operaci´on_∗ se la denota por_·, es decir G_×G_→G (g1, g2)_7→g1_·g2

el elemento neutro (uno) se denota por 1 y el inverso se denota porg−1_.

Notaci´on Aditiva (Reservada a los grupos abelianos) SiGes un grupo y la operaci´on∗ se la denota por +, es decir

G×G→G (g1, g2)_7→g1+g2

el elemento neutro (cero) se denota por 0 y el elemento inverso (opuesto) se denota por−g.

Ejemplos

4.- (Z,adici´on) es un grupo abeliano. 5.- (Z,multiplicaci´on) no es grupo.

(24)

I.4 Anillo de Homomorfismos 19 7.- SeaE un conjunto.

SE={f :E→E biyectiva}

con la composici´on de aplicaciones es un grupo no conmutativo si #(E)_≥3. 8.- SeaV un espacio vectorial, elgrupo lineal

Gl(V) =_{f :V _→V automorfismo_} con la composici´on de aplicaciones es un grupo no conmutativo.

Definici´on I.4.4.- Sean (G,∗) y (H, ⋆) dos grupos. Un homomorfismo de gruposes una aplicaci´on tal que

f(g1_∗g2) =f(g1)⋆ f(g2).

Ejemplo

9.- La aplicaci´on

(R,+)_→(R− {0_},_·) x_7→ex

(25)

I.5 Matriz de una Aplicaci´

on Lineal

SeaV un espacio vectorial y_{v1, . . . , vn} una base deV, entonces existe un isomorfismo natural dado por

ϕ:V _→Kn

vi 7→ei, i= 1, . . . , n

donde_{e1, . . . , en} es la base can´onica deKn. Por consiguiente, si v= n X

i=1

αivi, se tiene

ϕ(v) = (α1, α2, . . . , αn)∈Kn.

El elemento deK,αi, se llama lai-sima componentedevrespecto a la base{v1, . . . , vn}yv∈V puede

escribirse en forma de componentes respecto a la base _{v1, . . . , vn}como

v= (α1 α2 · · · αn) o bienv=    

α1 α2 .. . αn

  

;

la segunda escritura envector columnaser´a muy util para lo que sigue en el curso.

UnamatrizAden_×ma coeficientes enKes un tablero denfilas ymcolumnas de elementos deK

A=

   

a11 a12 _{· · ·} a1m

a21 a2m

..

. ...

an1 an2 · · · anm   

.

El conjunto de las matricesn_×ma coeficientes en K, se lo denota porMn,m(K).

SeanV yW dos espacios de dimensi´onmynrespectivamente,

{v1, . . . , vm}una base de V,

{w1, . . . , wn}una base de W;

seaf :V _→W lineal, se tiene para cada uno de los elementos de la base deV

f(vj) = n X

i=1

aijwi=   

a1j

.. . anj

 

 j= 1, . . . , m;

donde losaij∈K. Por consiguiente, se puede asociar af y a las bases{v1, . . . , vm}y{w1, . . . , wn}, la matriz

Mf =    

a11 a12 _{· · ·} a1m

a21 a2m

..

. ...

an1 an2 · · · anm   

∈Mn,m(K)

que se llamala matriz def respecto a las bases_{v1, . . . , vm}y{w1, . . . , wn}. Se observa inmediatamente

(26)

I.5 Matriz de una Aplicaci´on Lineal 21

Receta.-Para construir la matriz def respecto a las bases{vi}y{wj} disponer en vectores columnas las

componentes def(vj) respecto a la base{wj}.

Remarca.-Mn,m(K) est´a en biyecci´on conKnm, pero con las nociones de fila y columna.

Proposici´on I.5.1.-Resultado principal.-Sea_{vi}mi=1una base deV y{wj}ni=1una base deW. La aplicaci´on

Hom(V, W)_→Mn,m(K)

f _7→Mf respecto a las bases en cuesti´on,

es biyectiva.

Demostraci´on.-Recordamos que

Hom(V, W)_→Wn

f 7→(f(v1), . . . , f(vn))

es un isomorfismo de espacios vectoriales y que

W →Kn

w=

n X

i=1 wi 7→

 

α1 .. . αn

 

es otro isomorfismo. De esta manera

Hom(V, W) −→ Wn _−→ _Knm∼₌_M

n,m(K)

f 7→(f(v1), . . . , f(vn))7→    

a11 a12 · · · a1m

a21 a2m

..

. ...

an1 an2 · · · anm    

es biyectiva.

Ejemplos

1.- Consideremos la proyección del plano R2 _{sobre el eje}_{x. La matriz de la proyección respecto a la base} canónica está dada por

e1_→e1

e2→e2 ⇒Mf =

1 0 0 0

2.- Ejercicio.-Determinar las matrices respecto a la base can´onica de las aplicaciones lineales del curso de Geometr´ıa, es decir: rotaciones, homotecias, simetr´ıas, similitudes, etc.

Transcripci´

on de las Operaciones Lineales en T´

erminos de Matriz

Una vez determinada la relaci´on existente entre el conjunto de las matrices y el espacio de los homomorfismos es transcribir las operaciones de las aplicaciones lineales en t´erminos de operaciones de matrices.

SeanV espacio vectorial de base_{v1, . . . , vm}yW espacio vectorial de base{w1, . . . , wn}. Consideremos

las aplicaciones lineales

f, g:V _→W, cuyas matrices respecto a las bases en cuesti´on son

A= (aij), B= (bij)

(27)

Proposici´on I.5.2.-Sea C= (cij)la matriz def+g respecto a las mismas bases en cuesti´on, entonces

C=A+B cij =aij+bij.

SeaD la matriz deαf respecto a las bases_{vi} y{wj}, entonces

D=αA dij=αdij

Corolario I.5.3.-Se tiene

Hom(V, W)→Mn,m(K)

f _7→Mf respecto a las bases{vi} y{wj},

es un isomorfismo de espacios vectoriales, con la adición y la multiplicación por escalares. El siguiente paso es determinar la matriz de la composición de aplicaciones lineales. Sean: U espacio vectorial con{u1, . . . , ul} base;

V espacio vectorial con{v1, . . . , vm}base;

W espacio vectorial con{w1, . . . , wn}base;

los homomorfismos:

f :U _→V g:V _→W. ¿Cual es la matriz deg_◦f :U _→W respecto a las bases_{ui} y{wj}.?

Sean:

A= (aik) la matriz def respecto a las bases{ui}y{vk};

B= (bkj) la matriz degrespecto a las bases{vk} y{wj};

C= (cij) la matriz deg◦f respecto a las bases{ui}y{wj}.

Por lo tanto

g_◦f(ui) = n X

i=1 cjiwj

||

g(f(ui)) =g m X

k=1 akivk

!

=

m X

k=1

akig(vk)

=

m X

k=1 aki

 

n X

j=1 bjkwj



=

n X

j=1

m X

k=1 bjkaki

!

wj,

=_⇒cji= m X

k=1 bjkaki.

Por consiguienteC es la matriz obtenida de multiplicarBA, es decir C=BA.

Por el uso frecuente de algunas matrices, vale la pena citarlas:

I=Ir=    

1 0 _{· · ·} 0

0 1 0

. ..

0 1

  

(28)

I.5 Matriz de una Aplicaci´on Lineal 23 Se tieneIrA=A,∀A∈Mr,d(K); yBIr=B,∀B∈Ms,r(K). Ir se llama lamatriz identidad.

0∈Mp,q(K) es la matriz cuyos coeficientes son nulos.

Corolario I.5.4.-Mn,n(K)con la adición y la multiplicación es un anillo (no conmutativo sin≥2). Además

la aplicaci´on (dimV =n):

End(V)_→Mn,n(K)

f _7→Mf

es un isomorfismo de anillos.

Para el espacioV =Kn _{con la base can´}_{onica, se dispone de un isomorfismo can´}_onico

Gl(Kn₎

−→Gl(n,K) ={A_∈Mn,n(K)|Aes inversible}

∩

End(Kn₎

→Mn,n(K)

f 7→Mf matriz def respecto a la base can´onica deV.

Remarca.- Seaf :V →W lineal, A= (aij) la matriz de f respecto a las bases {vi}y {wj}. Seav ∈V,

¿Como calcular f(v)? Se escribev=

n X

i=1

, entonces

f(v) =

m X

i=1

αjf(vj) = m X

j=1 αj

n X

i=1 aijwi

!

=

n X

i=1

 

m X

j=1 aijαj

 wi,

lo que en notaci´on de componentes se traduce a

  

β1 .. . βn

 

=α1

 

a11 .. . an1



+_{· · ·}+αm  

a1m

.. . anm



=

 

a11 _{· · ·} a1m

..

. ...

an1 · · · anm  

 

α1 .. . αm



(29)

I.6 Cambio de Base

Sean:

V espacio vectorial,{v1, . . . , vm},{v′1, . . . , v′m} dos bases deV;

W espacio vectorial,{w1, . . . , wn},{w′1, . . . , w′n}dos bases deW;

Se tiene

Hom(V, W)_−→∼ Mn,m(K)

f 7→A(f): matriz def respecto a{vi}y{wj},

Hom(V, W)_−→∼ Mn,m(K)

f 7→A′(f): matriz def respecto a{v′i}y{wj′},

Programa.-Explicitar la aplicaci´on

Mn,m(K)→Mn,m(K)

A(f)_7→A′(f).

Noci´

on de Matriz de Pasaje

Sean{v1, . . . , vm}y{v′1, . . . , vm′ } dos bases deV. Se escribe

vj= m X

i=1

mijv′i, M = (mij)∈Mm,m(K),

se llama lamatriz de pasajede{vi} a{v′i}.

M es tambi´en la matriz de la aplicaci´on identidad deV respecto a_{vi}en la fuente y{vi′}en el destino.

De la misma manera se defineN = (nij)∈Mn,n por

wj= n X

i=1 nijw′i,

la matriz de pasaje de{wj} a{w′j}.

Proposici´on I.6.1.-Sean{vi},{vi′} y{vi′′}, tres bases deV espacio vectorial. Se denota

M = (mij)la matriz de pasaje de{vi}a {vi′},

M′_{= (m}′

ij)la matriz de pasaje de{vi′} a{v′′i}.

EntoncesM′_M _{es la matriz de pasaje de}

{vi} a{vi′′}.

Demostraci´on.-Se tiene:

vj = m X

k=1

mkjvk′, vk′ = m X

i=1 m′ikvi′′,

obteniendo as´ı

vj= m X

k=1 mkj

m X

i=1 m′_ikv′′_i

!

,

de donde

vj= m X

i=1

m X

k=1

m′_ikmkj !

| {z }

m′′ij

(30)

I.6 Cambio de Base 25

por lo tantoM′′₌_M′_M_.

Proposici´on I.6.2.- SeaA_∈Mm,m(K), si existeB∈Mm,m(K)tal queAB=I o BA=I, entoncesAes

una matriz inversible de inversaB.

Proposici´on I.6.3.-Para las matrices de pasaje se tiene: a) Las matrices de pasaje son inversibles.

b) N yM como antes, se tiene

A(f) =N−1_A′_(f_)M.

Demostraci´on.-a) Se utiliza la proposici´on I.6.1 conM′ _{la matriz de pasaje de}

{v′

i} a{vi}. obteniendo de

esta maneraM′_M ₌_{I, por la proposici´}_{on I.6.2 se tiene que} _M _{es inversible.}

b) recordemos:

vj = m X

k=1 mkjvk′,

wj′ = n X

i=1 ˜

nijwi con (˜nij) =N−1,

f(vj) = n X

i=1

aijwi conA(f) = (aij),

f(v′

j) = n X

i=1 a′

ijwi conA′(f) = (a′ij).

Para mostrar el punto b), es suficiente mostrar que

aij = (N−1A′M)ij

Se tiene:

f(vj) =f X

k

mkjv′k !

=X

k

mkjf(vk′)

=X

k

mkj X

l

a′_lkw′_l

!

=X

l X

k

a′_lkmkj !

| {z }

(AM)lj=clj

w′_l

=X

l

clj X

i

˜ nilwi

!

=X

i X

i

˜ nilclj

!

| {z }

(N−1_A′_M₎

ij

wi.

Por lo tantoaij = (N−1A′M)ij.

Corolario I.6.4.- Sea V espacio vectorial con las bases {v1, . . . , vm} y {v′1, . . . , v′m}. Para f ∈ End(V),

se denotaA(f), respectivamente A′_(f_{), la matriz de}_f _{en la base} _{_{v1, . . . , v}

m}, respectivamente en la base

{v′

1, . . . , v′m}. Se denotaM la matriz de pasaje de{vi} a{v′i}. Entonces

A(f) =M−1A′(f)M.

Aplicaci´

on al Rango de una Matriz

(31)

Proposici´on I.6.6.- Sea f :V →W lineal de rango r. Entonces existe una base{v1, . . . , vm}de V y una

base{w1, . . . , wn} deW tales que

f(vi) =wi parai= 1, . . . , r;

f(vi) = 0 parai=r+ 1, . . . , m.

Dicho de otra forma, la matriz def respecto a_{vi}y{wj} es de la forma

Ir 0

0 0

.

Demostración.-La fórmula de dimensión para aplicaciones lineales da dimV

| {z } m

= dim Im(f)

| {z }

r

+ dim ker(f)

| {z }

m−r

.

Se elije una base_{vr+1, . . . , vm}base de ker(f), se completa en

{v1, . . . , vr, vr+1, . . . , vm} base de V. Se toma como base de Im(f){f(v1), . . . , f(vr)} y luego se completa

esta base en una base deW.

Corolario I.6.7.-SeaB _∈Mn,m(K), entonces existe dos matricesN∈Gl(n,K)yM ∈Gl(m,K), tales que

N−1_BM₌

Ir 0

0 0

.

Demostraci´on.-Se aplica la proposici´on I.6.6 a b:Km

→Kn _{cuya matriz respecto a las bases can´}_onicas

esB.

Por la proposici´o precedente, existen_{v1, . . . , vm}y{w1, . . . , wn}bases deKmyKnrespecto a las cuales

la matriz asociada abes

B′ =

Ir 0

0 0

.

SeaM la matriz de pasaje de_{vi} a la base can´onica enKm,

N la matriz de pasaje de _{wi} a la base can´onica en Kn, entonces por la proposici´on I.6.3, se tiene B′ =

N−1_BM

Definici´on I.6.8.- SeaB_∈Mn,m(K)

B=

 

b11 . . . b1m

..

. ...

bn1 · · · bnm  

Se considera las filas deB como elementos deKm_{y las columnas de}_B _{como elementos de} _Kn

Elrango fila (columna)deB es la dimensi´on del subespacio deKm_(Kn_{) engendrado por las filas}

(colum-nas) deB.

El rango columna de B es igual al rango de la aplicaci´on b : Km _→ _Kn _{cuya matriz respecto a las}

bases can´onicas esB. En efecto, se tiene queb(ei) es la i-sima columna de la matrizB, la imagen debesta

engendrada porb(e1), . . . , b(em).

Transpuesta de una Matriz

SeaB _∈Mn,m(K). Se llamatranspuestadeB y se la denotaBt la matriz deMm,n(K) definida por

(Bt₎

(32)

I.6 Cambio de Base 27 De esta forma el rango fila de B es igual al rango columna de Bt_{. En efecto, el rango fila de}_B _{es igual al}

rango de la aplicaci´onbt_:_Kn_→_Km_{, cuya matriz respecto a las bases can´}_{onicas es} _Bt_.

Proposici´on I.6.9.-La transpuesta verifica las siguientes propiedades: i) (Bt₎t₌_B.

ii (AB)t₌_Bt_At_.

iii A_∈Gl(n,K)⇒At_∈_Gl(n,_K)_y_(At₎−1_{= (A}−1₎t_.

Demostraci´on.-i) y ii)ejercicio. Para el punto iii), se tiene

At(A−1)t= (A−1A)t=It=I⇒(At)−1= (A−1)t.

Proposici´on I.6.10.- El rango fila deB es igual al rango columna deB.

Demostraci´on.-Sear= rango columna deB. Por el corolario 1.6.7, existenN_∈Gl(n,K) yM _∈Gl(m,K) tales que

B=N−1

Ir 0

0 0

M.

Se tiene aplicando las propiedades de la matriz transpuesta

Bt₌_Mt

Ir 0

0 0

(M−1₎t_.

Se interpreta las matrices como aplicaciones lineales (respecto a las bases can´onicas); Bt _bt_:_Kn

→Km

Mt mt:Km→Km

(Nt)−1 (nt)−1:Kn→Km

Ir 0

0 0

ir:Kn→Km

(x1, . . . , xn)7→(x1, . . . , xr,0, . . . ,0).

Se tienebt₌_mt_i

r(nt)−1, ver el diagrama

Kn bt

−→ Km

(nt)−1↓ ↑mt

Kn ir

−→ Km

por lo tanto se tiene que rango(bt_{) = rango(i}

r) =r.

Definici´on I.6.11.- Sea B_∈Mn,m(K), elrango dedeB es

(33)

I.7 Operaciones Elementales sobre las Matrices

Justificaci´on.-Sea

    

a11ξ1 + a12ξ2 + · · · + a1mξm = b1

..

. ...

an1ξ1 + an2ξ2 + · · · + anmξm = bn

Se introduce

A= (aij)∈Mn,m,   

ξ1 .. . ξm

 

∈Km₌_M

m,1(K), b=

b1 .. .bn

!

∈Kn_.

Introduciendo la notaci´on matricial, el sistema de ecuaciones, se convierte en Aξ=b.

Se observa que siA=

Ir 0

0 0

, se encuentra la soluci´on a la vista.

En el par´agrafo precedente, se mostr´o que existenM yN inversibles tales que

A=N−1

Ir 0

0 0

M;

por consiguiente se tiene

Aξ=N−1

Ir 0

0 0

M ξ=b. Planteandob′₌_{N b}_y_ζ₌_{M ξ, se obtiene el sistema}

Ir 0

0 0

ζ=b′.

Por lo tanto, conociendoN se deduceζ y conociendoM−1_{se deduce} _ξ.

Programa.-Explicitar un procedimiento o algoritmo que permita calcularξ.

Se denota _Sn el conjunto de las biyecciones o permutaciones de {1,2, . . . , n}. Es un grupo para la

composici´on de aplicaciones llamadogrupo sim´etrico. Hayn! elementos en_Sn.

Una permutaci´onσde_{1,2, . . . , n_}se representa mediante

1 2 3 _{· · ·} n

σ(1) σ(2) σ(3) _{· · ·} σ(n)

(34)

I.7 Operaciones Elementales sobre las Matrices 29

Ejemplo

1.- Las 6 permutaciones deS3 tienen las representaciones siguientes:

id=

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 3 2

1 2 3 2 1 3

1 2 3 3 2 1

1 2 3 3 1 2

1 2 3 2 3 1

Para evitar una escritura pesada, en lugar denotarσ1_◦σ2la composición de permutaciones, se utilizará la notaciónσ1σ2.

Aσ_{∈ S}m, se asocia una aplicaci´on lineal mediante

ρ(σ) :Km

→Km

ei7→eσ(i)

donde _{e1, . . . , en} es la base can´onica deKm. La matriz M(σ) de ρ(σ) respecto a la base can´onica es de

la forma,M(σ) tiene los coeficientes nulos, excepto que en cada fila y columna el coeficiente no nulo es 1. Esta matriz se llama matriz depermutaci´on.

Proposici´on I.7.1.-La aplicaci´on

Sm ρ

→Gl(Km₎

σ7→ρ(σ) es un homomorfismo de grupo, representaci´on lineal de_Sm.

La aplicaci´on

Sm→Gl(m,K)

σ_7→M(σ) es un homorfismo de grupos, representaci´on matricial deSm.

Una vez conocidas las matrices de permutación, se debe determinar como actua las matrices de per-mutación sobre una matriz. Esto está dado en la:

Proposici´on I.7.2.- a) Multiplicar a la derechaB porM(σ)es equivalente a efectuar las correspondientes permutaciones de las columnas deB.

b) Multiplicar por la izquierdaBporM(σ)es equivalenTe a efectuar las correspondientes permutaciones de las filas deB.

Demostraci´on.- Ejercicio

Matrices Diagonales

Una matrizAdiagonal es de la forma

A=

   

a11 0

0 a22 . ..

0 amm

  

= diag(a11, a22, . . . , amm)

Proposici´on I.7.3.- a) Multiplicar B por la derecha con diag(d1, d2, . . . , dm)es lo mismo que multiplicar

la i-sima columna deB pordi, parai= 1, . . . , m.

b) MultiplicarBpor la izquierda condiag(d1, d2, . . . , dm)es lo mismo que multiplicar la i-sima fila deB por

di, parai= 1, . . . , m.

(35)

Sea B ∈Mn,m(K) de rango r. Se va encontrar un procedimiento para explicitar las matrices N−1 ∈

Gl(n,K) yM ∈Gl(m,K) tales que

N−1BM=

Ir 0

0 0

. SiB = 0, no hay nada que hacer.

SiB ₆= 0, entonces existe un coeficiente que no es nulo. Por consiguiente:

i) Multiplicando a la izquierda y derecha por matrices de permutaci´on, se lleva este coeficiente al lugar (1,1).

ii) Multiplicando por diag(b−111,1, . . . ,1) se va al casob11= 1. iii) Luego

   

1 0 · · · 0

−b21 .. .

−bn1

1 0 . .. 0 1        

1 b12 _{· · ·} b1m

b21 .. .

bn1 · · · bnm    =    

1b12 · · · b1m

0 .. . 0 B′        

1b12 _{· · ·} b1m

0 .. . 0 B′        

1₋b12 _{· · · −}b1m

0 .. . 0 1 0 . .. 0 1    =    

1 0 _{· · ·} 0 0 .. . 0 B′′    . Ejemplo

1.- Consideremos la matriz

B=

0 1 4 1 1 3

. Se tiene 0 1 1 0 B =

1 1 3 0 1 4

=B(1),

1 1 3 0 1 4



10 −11 −03

0 0 1



=

1 0 0 0 1 4

=B(2),

1 0 0 0 1 4



1 00 1 −04

0 0 1



=

1 0 0 0 1 0

.

De donde

M =



10 −11 −03

0 0 1

 



1 00 1 ₋04

0 0 1



 y N−1₌

0 1 1 0

.

Corolario I.7.4.-Una matriz A_∈Gl(m,K)se escribe como producto de: i) matrices de permutaci´on;

ii) matrices diagonales inversibles;

iii) matrices del tipoI+Lio I+Rj, dondeLi es la matriz cuyos coeficientes son nulos, excepto quiz´as los

lki conk > i;Hj es la matriz cuyos coeficientes son nulos, excepto quiz´as loshjk con k > j.

Demostraci´on.-Se aplica el procedimiento de antes aAinversible. Finalmente se obtiene que I=P AQ,

dondeP es producto de matrices del tipo i), ii), iii); lo mismoQ. Entonces A=P−1Q−1.

Solo hay que mostrar que las inversas de i) ii) y iii) son del mismo tipo. Para i) y ii) no hay problema. Para

(36)

I.7 Operaciones Elementales sobre las Matrices 31

Mejora del Resultado

Definimos los siguientes subconjuntos deGl(m,K):

U−=

     1 0 ∗ . ..

∗ ∗ 1



_∈Gl(m,K)

  

matrices triangulares con 1 sobre la diagonal.

B+     

b11 ∗ ∗

0 . .. ∗

0 bmm



_∈Gl(m,K)

  

matrices triangulares superiores. Paraσ∈ Smse plantea

U−M(σ)B+={XM(σ)Y|X ∈ U−, Y ∈ B+}.

Proposición I.7.5.-Descomposición de Bruhat. Gl(m,K)es la reunión disjunta de subconjuntosU−M(σ)B+,

σ_{∈ S}m.

Demostraci´on.-i) SeaA∈Gl(m,K), se debe mostrar que existeX∈ U−,Y ∈ B+ yσ∈ Sm tales que

A=XM(σ)Y.

La demostración se la hará por inducción sobre m. El caso m = 1 es evidente. Supongamos cierto para m₋1, conm >1.

SeaA_∈Gl(m,K), y seaai,16= 0 el primer coeficiente no nulo de la primera columna deA. Se tiene:

       0 0 A12 ai1

am1 A22       

| {z }

A

diag(a−_i₁1,1, . . . ,1) =

         0 0 A12 1 ˜ ai+1,1

˜ am1

A22          ;          1 0 . .. 1

−˜ai+1,1 . ..

−˜am,1 1

                  0 0 A12 1 ai2 · · · aim

˜ ai+1,1

˜ am1

A22             

1 ₋ai2 · · · −aim

1 . .. 1     = 

01 C110 C120

0 C21 C22



.

Por hip´otesis de inducci´on existenU _∈Gl(m₋1,K) triangular inferior con 1 en la diagonal yB_∈Gl(m₋1,K) triangular superior,τ∈ Sm−1, tales que

C11 C22 C21 C22

(37)

o todav´ıa

U−1

C11 C22 C21 C22

B−1=M(τ)

U11 0 U21 U22

C11 C22 C21 C22

B11 B21

0 B22

=

T11 T12 T21 T22

.

Por consiguiente

A= ˜U



01 C110 C120

0 C21 C22

 _B˜



U110 01 00

U21 0 U22

 



01 C110 C120

0 C21 C22

 



10 B110 B120

0 0 B22

 

=



01 T110 T220

0 T21 T22

 

| {z }

M(σ) .

(38)

38 I Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

I.8 Signo de las Permutaciones

Recordemos que

Sm=

σ:_{1, . . . , m_}_{−→ {}biy. 1, . . . , m_}} Seana, b_{∈ {}1, . . . , m_},a₆= 0, la permutaci´on definida por

a7→b; b_7→a;

i_7→i, i₆=ayi₆=b se llamatransposici´ony se denota (a, b). Por consiguiente,

(a, b) =

1 2 · · · a · · · b · · · m 1 2 _{· · ·} b _{· · ·} a _{· · ·} m

.

Proposici´on I.8.1.- El grupo _Sm es engendrado por las transposiciones, es decir para σ ∈ Sm, existen

τ1, τ2, . . . , τp transposiciones, tales que

σ=τ1τ2· · ·τp.

Demostraci´on.-Por inducci´on sobrem. Param= 2 el enunciado es cierto.

Se supone cierto el enunciado param−1. Demostremos que se cumple param.

Sea σ ∈ Sm. Si σ(m) =m, se tiene que la restricci´on deσ sobre {1, . . . , m−1} es una permutaci´on que

pertenece aSm−1 y por hip´otesis de inducci´onσes el producto de transposiciones. Siσ(m)6=m, se considera σ′_{= (σ(m), m)σ. Por construcci´}_on_σ′_{(m) = (σ(m), m)σ(m)}

= m, de donde por el argumento del primer caso σ′ _{pertenece a}

Sm−1 y es producto de transposiciones, digamosσ′ ₌_τ1τ2

· · ·τp. Por lo tanto

σ= (m, σ(m))τ1τ2_{· · ·}τp.

Ejemplos

1.-

1 2 · · · m−1 m

2 3 · · · m 1

= (1, m)(1, m−1)· · ·(1,3)(1,2). 2.- La escritura deσcomo producto de transposiciones no es ´unica.

id= (a, b)(a, b) = (a, b)(a, b)(a, b)(a, b), (2,3) = (1,2)(1,3)(1,2).

Definici´on de signo de una permutaci´on

Introducimos_P =Rm_:_−→f _R_|_f _polinomial _.

f :Rm

→Res polinomial si

f(x1, . . . , xm) = X

finita

ai1,i2,...,imx

i1

1xi22· · ·ximm.

(39)

Aσ∈ Smse asocia la aplicaci´on

ϕ(σ) :P −→ P

X

finita

ai1,i2,...,imx

i1

1xi22· · ·ximm7→ X

finita

ai1,i2,...,imx

i1

σ(1)x

i2

σ(2)· · ·x

im

σ(m)

Ejemplo

3.- Consideremos

σ=

1 2 3 4 2 3 4 1

, f(x1, x2, x3, x4) =x21+ 3

2x1x3+x 12 4 . Entonces

ϕ(σ)(f(x1, x2, x3, x4)) =x2

σ(1)+ 3

2xσ(1)xσ(3)+x 12

σ(4)=x22+ 3

2x2x4+x 12 1 .

Proposici´on I.8.2.-ϕ(σ)es un automorfismo de (espacios vectoriales y de anillo), es decir: i) ϕ(σ)(f+g) =ϕ(σ)(f) +ϕ(σ)(g),

ii) ϕ(σ)(αf) =αϕ(σ)(f),

iii) ϕ(σ)(f_·g) =ϕ(σ)(f)_·ϕ(σ)(g). Adem´asϕ(σ1σ2) =ϕ(σ1)_◦ϕ(σ2).

Ejemplo

4.- Los polinomios sim´etricos elementales amvariables son: f1(x1, . . . , xm) =x1+x2+· · ·+xm;

f2(x1, . . . , xm) = X

i<j

xixj =x1x2+· · ·+xm−1xm;

f3(x1, . . . , xm) = X

i<j<k

x1xjxk;

.. .

fm(x1, . . . , xm) =x1x2· · ·xm.

Ejercicio.-Mostrar queϕ(σ)(fi) =fi parai= 1, . . . , m yσ∈ Sm.

Definamos el polinomiod_{∈ P}, como

d= Y

1≤i<j≤m

(xi−xj) = (x1−x2)· · ·(x1−xm)· · ·(xm−1−xm).

Siσ∈ Sm, entonces ϕ(σ)(d) =±d.Se plantea

sg(σ) = signo(σ) =

(

1 si ϕ(σ)(d) =d,

−1 si ϕ(σ)(d) =₋d.

Ejemplo

5.- En el espacio de las funciones polinomiales a 4 variables tenemos

d= (x1−x2)(x1−x3)(x1−x4)(x2−x3)(x2−x4)(x3−x4). Tomando la permutaci´on del ejemplo 3, se tiene

(40)

40 I Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

Proposici´on I.8.3.-Se tiene que

Sm

sg

−→ {±1}

es un homomorfismo de grupos.

Demostraci´on.-En efecto:

ϕ(σ1σ2)(d) = (ϕ(σ1)_◦ϕ(σ2))(d) =ϕ(σ1)(ϕ(σ2))(d)) =

ϕ(σ1)(sg(σ2)d) = sg(σ2)ϕ(σ1)(d) = sg(σ2) sg(σ1), Por consiguiente

sg(σ1σ2) = sg(σ1)sg(σ2).

Proposici´on I.8.4.-Sea τ una transposicion, entoncessg(τ) =−1.

Demostracion.-Seaτ = (a, b) cona < b, se tiene d=Y

i<j

(xi−xj)

= (xa−xb) Y

i<j i6=a,b j6=a,b

(xi−xj) Y

i<j

(xi−xa) Y

a<j j6=b

(xa−xj) Y

i<b i6=a

(xi−xb) Y

j>b

(xb−xj)

= (xa−xb) Y

i<a

[(xi−xa)(xi−xb)] Y

a<i<b

[(xa−xi)(xi−xb)]

Y

b<i

[(xa−xi)(xb−xi)] Y

i<j i6=a,b j6=a,b

(xi−xj);

ϕ(σ)(d) = (xb−xa) Y

i<a

[(xi−xb)(xi−xa)] Y

a<i<b

[(xb−xi)(xi−xa)] Y

b<i

[(xb−xi)(xa−xi)] Y

i<j i6=a,b j6=a,b

(xi−xj);

ϕ(σ)(d) =₋d.

Corolario I.8.5.-i) Si σ=τ1_{· · ·}τp, conτi transposicion, entonces

sg(σ) = (−1)p.

ii) Seaσ=τ1_{· · ·}τp=τ1′· · ·τp′′ dondeτiyτi′transposiciones, se tiene por i)sg(σ) = (−1)p= (−1)p

′

, entonces pyp′ _{tienen la misma paridad.}

C´alculo Pr´actico desg(σ)

Seaσ_{∈ S}m, la permutacion cuyo representaci´on es

0

B

1 2 i j m

(1) j (i) i (j) m (m)

1

C A