INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE CÓDIGOS

(1)

INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE CÓDIGOS

Jimmy Olmedo Díaz

UNIVERSIDAD DENARIÑO

Licenciatura en Matemáticas Seminario de Teoría de Números

(2)

QUÉ ES UN CÓDIGO Canal DISTANCIA DE HAMMING Equivalencia de Códigos Bibliografía

1 _{QUÉ ES UN CÓDIGO}

Una Idea Inicial Códigos de Bloque Tasa de Información

2 Canal

3 _{DISTANCIA DE HAMMING}

Detección de errores Corrección de errores peso de un código

4 _{Equivalencia de Códigos}

Códigos Perfectos

(3)

Una Idea Inicial

Códigos de Bloque Tasa de Información

2 Canal

Códigos Perfectos

(4)

Una Idea Inicial Códigos de Bloque

Tasa de Información

2 Canal

Códigos Perfectos

(5)

2 Canal

Códigos Perfectos

(6)

2 Canal

Códigos Perfectos

(7)

2 Canal

Códigos Perfectos

(8)

2 Canal

Detección de errores

Corrección de errores peso de un código

Códigos Perfectos

(9)

2 Canal

Detección de errores Corrección de errores

peso de un código

Códigos Perfectos

(10)

2 Canal

Códigos Perfectos

(11)

2 Canal

Códigos Perfectos

(12)

2 Canal

Códigos Perfectos

(13)

2 Canal

Códigos Perfectos

(14)

1 _{QUÉ ES UN CÓDIGO} Una Idea Inicial Códigos de Bloque Tasa de Información

2 Canal

Códigos Perfectos

(15)

Una Idea Inicial

Códigos de Bloque Tasa de Información

2 Canal

Códigos Perfectos

(16)

Una Idea Inicial

(17)

Una Idea Inicial

(18)

Una Idea Inicial

(19)

Una Idea Inicial

Definición (Código)

(20)

Una Idea Inicial

Definición (Código)

(21)

Una Idea Inicial

Los símbolos de redundancia permiten la detección de errores, sin embargo, el corregirlos es algo más complejo.

La teoría de códigos tiene como objetivo la detección y corrección de errores en la transmisión de información mas no el de mantenerla oculta, este campo concierne a la criptografía.

De esta manera, surgen dos preguntas:

1 _{¿Cómo se realizan los procesos de codificación y}

decodificación de los mensajes?

2 _{¿Cómo se detectan y se corrigen los posibles errores}

(22)

Una Idea Inicial

(23)

Una Idea Inicial

(24)

Una Idea Inicial

(25)

Códigos de Bloque

1 _{QUÉ ES UN CÓDIGO} Una Idea Inicial

Códigos de Bloque

2 Canal

Códigos Perfectos

(26)

Códigos de Bloque

Definición (Códigos de bloque)

SeanA={a1,a2, . . . ,aq}un conjunto finito, llamadoalfabeto y An el conjunto de todas lasn-uplas sobreA. Cualquier

subcon-junto no vacíoC deAn es llamado uncódigo de bloque q-ario.

Cada elemento enC se llamapalabra códigoy siC contieneM

elementos, entonces se dice que el códigoC tiene longitudn y

tamañoMo simplemente queCes un(n,M)-código.

Un subconjunto de un códigoC, es unsubcódigodeC. SiC no

(27)

Códigos de Bloque

Definición (Códigos de bloque)

SeanA={a1,a2, . . . ,aq}un conjunto finito, llamadoalfabeto y An el conjunto de todas lasn-uplas sobreA. Cualquier

subcon-junto no vacíoC deAn es llamado uncódigo de bloque q-ario.

Cada elemento enC se llamapalabra códigoy siC contieneM

elementos, entonces se dice que el códigoC tiene longitudn y

tamañoMo simplemente queCes un(n,M)-código.

Un subconjunto de un códigoC, es unsubcódigodeC. SiC no

(28)

Códigos de Bloque

Normalmente, el alfabeto se toma del campo de Galois de orden

q, es decir,A=Fq, dondeqes una potencia de primo.

Así, cuando el alfabeto esF2,F3óF4, entoncesCes uncódigo binario, ternario o cuaternario,respectivamente.

Ejemplos de Códigos de Bloque

C1={(0,0,0)(0,1,1)(1,1,0)(1,1,1)}sobreF2es un

(3,4)-código binario.

C2={(2,0,1,0)(1,0,2,0)(1,1,2,2)(2,2,1,1)(2,1,2,1)}

sobreF3es un(4,5)-código ternario.

C3={(1, α, α)(α+1,0,1)(1,0, α)(α, α+1,1)}sobreF4

(29)

Códigos de Bloque

C1={(0,0,0)(0,1,1)(1,1,0)(1,1,1)}sobreF2es un

C2={(2,0,1,0)(1,0,2,0)(1,1,2,2)(2,2,1,1)(2,1,2,1)}

C3={(1, α, α)(α+1,0,1)(1,0, α)(α, α+1,1)}sobreF4

(30)

Códigos de Bloque

C1={(0,0,0)(0,1,1)(1,1,0)(1,1,1)}sobreF2es un

C2={(2,0,1,0)(1,0,2,0)(1,1,2,2)(2,2,1,1)(2,1,2,1)}

C3={(1, α, α)(α+1,0,1)(1,0, α)(α, α+1,1)}sobreF4

(31)

Códigos de Bloque

C1={(0,0,0)(0,1,1)(1,1,0)(1,1,1)}sobreF2es un

C2={(2,0,1,0)(1,0,2,0)(1,1,2,2)(2,2,1,1)(2,1,2,1)}

C3={(1, α, α)(α+1,0,1)(1,0, α)(α, α+1,1)}sobreF4

(32)

Códigos de Bloque

C1={(0,0,0)(0,1,1)(1,1,0)(1,1,1)}sobreF2es un

C2={(2,0,1,0)(1,0,2,0)(1,1,2,2)(2,2,1,1)(2,1,2,1)}

C3={(1, α, α)(α+1,0,1)(1,0, α)(α, α+1,1)}sobreF4

(33)

Códigos de Bloque

C1={(0,0,0)(0,1,1)(1,1,0)(1,1,1)}sobreF2es un

C2={(2,0,1,0)(1,0,2,0)(1,1,2,2)(2,2,1,1)(2,1,2,1)}

C3={(1, α, α)(α+1,0,1)(1,0, α)(α, α+1,1)}sobreF4

(34)

1 _{QUÉ ES UN CÓDIGO} Una Idea Inicial Códigos de Bloque

2 Canal

Códigos Perfectos

(35)

Definición (Tasa de Información)

Se interpreta como el número de coordenadas que guardan información del mensaje original sobre el total de coordenadas transmitidas. LaTasa de informaciónde un(n,M)−código

q-ario C, se define por:

R(C) = logq|C|

n

(36)

Definición (Tasa de Información)

Se interpreta como el número de coordenadas que guardan información del mensaje original sobre el total de coordenadas transmitidas. LaTasa de informaciónde un(n,M)−código

q-ario C, se define por:

R(C) = logq|C|

n

(37)

2 Canal

Códigos Perfectos

(38)

Definición

Un canal discreto sin memoria consta de un alfabeto de entrada

A = {a1,a2, . . . ,aq}, un alfabeto de salidaB = {b1,b2, . . . ,bt}

conA⊆By un conjunto de probabilidades del canal o

probabi-lidades de transiciónP(bjrecibido|aienviado), que satisfacen:

t X

j=1

P(bj recibido|aienviado) =1

(39)

Definición

Un canal discreto sin memoria consta de un alfabeto de entrada

A = {a1,a2, . . . ,aq}, un alfabeto de salidaB = {b1,b2, . . . ,bt}

conA⊆By un conjunto de probabilidades del canal o

probabi-lidades de transiciónP(bjrecibido|aienviado), que satisfacen:

t X

j=1

P(bj recibido|ai enviado) =1

(40)

Además, si c= (c1,c2, . . . ,cn)y d= (d1,d2, . . . ,dn)son palabras

de longitudnsobreAyBrespectivamente, entonces:

P(d recibido|c enviado) =

n Y

i=1

(41)

Definición (Canal Simétrico q-ario)

Canal Simétrico q-ario

Es un canal sin memoria, con alfabetos de entrada y de salida

iguales, de tamañoq que cumple las siguientes condiciones:

1 Cada símbolo transmitido tiene la misma probabilidad

p<1/2 de recibirse en error.

2 _{Si un símbolo es recibido en error, entonces cada uno de}

losq−1 posibles errores es igualmente probable.

P(xi|ci) =  



1−p sixi =ci p

(42)

Definición (Canal Simétrico q-ario)

1 _{Cada símbolo transmitido tiene la misma probabilidad}

P(xi|ci) =  



1−p sixi =ci p

(43)

Definición (Canal Simétrico q-ario)

P(xi|ci) =  



1−p sixi =ci p

(44)

Definición (Canal Simétrico q-ario)

P(xi|ci) =  



1−p sixi =ci p

(45)

De esta manera, para un canal simétrico q-ario se tiene que:

P(x recibido|cenviado) =

n Y

i=1

P(xi recibido|ci enviado)

=

p q−1

e

(1−p)n−e

Dondeees el número de coordenadas en las cualesxyc

(46)

Decodificación por máxima verosimilitud

LaDecodificación por máxima verosimilitud (MLD)determina que si una palabrax es recibida, entoncescx ∈Ces la palabra

probablemente enviada sicmaximiza las probabilidades del

canal; es decir:

P(x recibido|cx enviado) =m«ax

c∈C P(x recibido|c enviado)

Existen dos tipos de MLD, ladecodificación por máxima

(47)

Decodificación por máxima verosimilitud

LaDecodificación por máxima verosimilitud (MLD)determina que si una palabrax es recibida, entoncescx ∈Ces la palabra

probablemente enviada sicmaximiza las probabilidades del

canal; es decir:

P(x recibido|cx enviado) =m«ax

c∈C P(x recibido|c enviado)

Existen dos tipos de MLD, ladecodificación por máxima

(48)

2 Canal

3 _{DISTANCIA DE HAMMING} Detección de errores Corrección de errores peso de un código

Códigos Perfectos

(49)

Distancia de Hamming

Definición(Distancia de Hamming)

Sean xy y palabras de longitud n sobre un alfabeto A, la

dis-tancia de Hammingentrexyy, denotada pord(x;y), se define

como el número de coordenadas en las cualesxyydifieren, es

decir, six =x1x2. . .xney =y1y2. . .yn, entonces:

d(x,y) = #{i:1<i<n,xi 6=yi}

Alternativamente, la distancia de Hamming se define así:

d(x,y) =d(x1,y1) +d(x2,y2) +· · ·+d(xn,yn)

d(xi,yi) =

0 sixi =yi

(50)

Distancia de Hamming

d(x,y) = #{i:1<i<n,xi 6=yi}

d(x,y) =d(x1,y1) +d(x2,y2) +· · ·+d(xn,yn)

d(xi,yi) =

0 sixi =yi

(51)

Distancia de Hamming

d(x,y) = #{i:1<i<n,xi 6=yi}

d(x,y) =d(x1,y1) +d(x2,y2) +· · ·+d(xn,yn)

d(xi,yi) =

0 sixi =yi

(52)

Distancia de Hamming

Ejemplo

SeaA={0,1,2},x=10112 yy=20110, entonces:

d(x,y) = d(1,2) +d(0,0) +d(1,1) +d(1,1) +d(2,0)

= 1+0+0+0+1

(53)

Distancia de Hamming

Ejemplo

SeaA={0,1,2},x=10112 yy=20110, entonces:

d(x,y) = d(1,2) +d(0,0) +d(1,1) +d(1,1) +d(2,0)

= 1+0+0+0+1

(54)

Teorema

Seanx,y,z palabras de longitudnsobreA. Entonces:

1 0≤d₍x_,y₎≤nyd₍x_,y_{) =}0 si y sólo six ₌y.

2 _d₍_x_,_y_{) =}_d₍_y_,_x₎_.

(55)

Teorema

2 _d₍_x_,_y_{) =}_d₍_y_,_x₎_.

(56)

Teorema

2 _d₍_x_,_y_{) =}_d₍_y_,_x₎_.

(57)

Teorema

2 _d₍_x_,_y_{) =}_d₍_y_,_x₎_.

(58)

Decodificación por distancia mínima

Si x es una palabra de un código C enviada a través de un

canal de comunicación, ésta se decodifica comocx sid(x,cx)

es la mínima entre todas las palabras código yx, es decir:

d(x,cx) =min{d(x,c),c ∈C}

Aquí también se presentan dos tipos de decodificación:la

(59)

Decodificación por distancia mínima

(60)

Decodificación por distancia mínima

(61)

Decodificación por distancia mínima

Ejemplo

Para el códigoC={01101,00011,10110,11000}Usemos la decodificación por distancia mínima incompleta para

decodificar las siguientes palabras recibidas:

1 ₀₁₁₁₁

(62)

Solución

Distancias entre 01111 y las palabras deC

d(01111,01101) =1 d(01111,00011) =2

d(01111,10110) =3d(01111,11000) =4

Distancias entre 11011 y las palabras deC d(11011,01101) =3 d(11011,00011) =2

(63)

Solución

Distancias entre 01111 y las palabras deC d(01111,01101) =1

d(01111,00011) =2

d(01111,10110) =3d(01111,11000) =4

(64)

Solución

d(01111,10110) =3d(01111,11000) =4

(65)

Solución

d(01111,10110) =3

d(01111,11000) =4

(66)

Solución

d(01111,10110) =3d(01111,11000) =4

(67)

Solución

d(01111,10110) =3d(01111,11000) =4

Distancias entre 11011 y las palabras deC

d(11011,01101) =3 d(11011,00011) =2

(68)

Solución

d(01111,10110) =3d(01111,11000) =4

Distancias entre 11011 y las palabras deC d(11011,01101) =3

d(11011,00011) =2

(69)

Solución

d(01111,10110) =3d(01111,11000) =4

(70)

Solución

d(01111,10110) =3d(01111,11000) =4

d(11011,10110) =3

(71)

Solución

d(01111,10110) =3d(01111,11000) =4

(72)

Decodificación por distancia mínima

Mediante el siguiente teorema, se relacionan las dos reglas de decodificación vistas, cuando se utiliza un canal simétrico q-ario con probabilidad de crucep<1/2

Teorema

Para un canal simétrico q-ario con probabilidad de cruce

(73)

Decodificación por distancia mínima

Mediante el siguiente teorema, se relacionan las dos reglas de decodificación vistas, cuando se utiliza un canal simétrico q-ario con probabilidad de crucep<1/2

Teorema

Para un canal simétrico q-ario con probabilidad de cruce

(74)

Decodificación por distancia mínima

Definición (Distancia mínima)

La distancia mínima de un código C, denotada por d(C), se define pord(C) =min{d(c,d) :c,d ∈C,c6=d}:

(75)

Decodificación por distancia mínima

Definición (Distancia mínima)

La distancia mínima de un código C, denotada por d(C), se define pord(C) =min{d(c,d) :c,d ∈C,c6=d}:

(76)

2 Canal

Corrección de errores peso de un código

Códigos Perfectos

(77)

Detección de errores

Código detector det-errores

Un código C detecta t-errores si cada vez que se envía una

palabra código y ocurren entre 1 yt errores durante la transmi-sión, la palabra resultante no es una palabra código. Un código

Cdetecta exactamentet- errores, si este detecta t errores, pero

no detectat+1 errores (es decir, existe al menos una palabra

código la cual cambiandot+1 coordenadas origina una nueva

(78)

Detección de errores

Ejemplo

El código ternarioC ={000000,000111,111222}es un detec-tor de 2- errores ya que al enviar cualquier palabra código y cambiar cualquier 2 o menos coordenadas de cada palabra, la palabra resultante no es una palabra código, es decir:

000000→000111 necesita cambiar 3 coordenadas,

(79)

Detección de errores

Ejemplo

El código ternarioC ={000000,000111,111222}es un detec-tor de 2- errores ya que al enviar cualquier palabra código y cambiar cualquier 2 o menos coordenadas de cada palabra, la palabra resultante no es una palabra código, es decir:

(80)

Teorema

Un código C detecta exactamente t-errores si y sólo si

d(C) =t+1

(81)

Teorema

Un código C detecta exactamente t-errores si y sólo si

d(C) =t+1

(82)

Corrección de errores

2 Canal

3 _{DISTANCIA DE HAMMING} Detección de errores

peso de un código

Códigos Perfectos

(83)

Corrección de errores

Código corrector det-errores

Un código C corrige t-errores si la decodificación por

distan-cia mínima corrige todos los errores de tamaño t o menos en

cualquier palabra código. Un códigoC corrige exactamente t

-errores, si este corriget-errores, pero no corrige(t+1)-errores.

Ejemplo

Consideremos el código binario de repeticiónC = {000,111}. Determinar la decodificación por distancia mínima cuando:

Ha ocurrido un solo error en la transmisión

(84)

Corrección de errores

Código corrector det-errores

Un código C corrige t-errores si la decodificación por

distan-cia mínima corrige todos los errores de tamaño t o menos en

cualquier palabra código. Un códigoC corrige exactamente t

-errores, si este corriget-errores, pero no corrige(t+1)-errores.

Ejemplo

Consideremos el código binario de repeticiónC = {000,111}. Determinar la decodificación por distancia mínima cuando:

Ha ocurrido un solo error en la transmisión

(85)

Corrección de errores

Las posibles palabras recibidas en caso de ocurrir un error si 000 es la palabra enviada son:

001 010 100

Si fuesen dos los errores en la transmisión de 000, las posibles palabras recibidas son:

(86)

Corrección de errores

001

010 100

(87)

Corrección de errores

001 010

100

(88)

Corrección de errores

001 010 100

(89)

Corrección de errores

001 010 100

(90)

Corrección de errores

001 010 100

011

(91)

Corrección de errores

001 010 100

011 110

(92)

Corrección de errores

001 010 100

(93)

Corrección de errores

001 010 100

(94)

Corrección de errores

Un resultado que permite determinar cuál es el número de erro-res que corrige un código es el siguiente:

Teorema

Un códigoCcorrige exactamentet-errores si y sólo si

d(C) =2t+1 ód(C) =2t+2.

Corolario

d(C) =d si y sólo siCcorrige exactamente

d−1

2

(95)

Corrección de errores

Teorema

d(C) =2t+1 ód(C) =2t+2.

Corolario

d−1

2

(96)

Corrección de errores

Teorema

d(C) =2t+1 ód(C) =2t+2.

Corolario

d−1

2

(97)

peso de un código

2 Canal

3 _{DISTANCIA DE HAMMING} Detección de errores Corrección de errores

peso de un código

Códigos Perfectos

(98)

peso de un código

Peso de un código

Definición (Peso)

Seax una palabra enFnq,el pesodex, denotado porwt(x), se

define como el número de coordenadas no nulas enx, es decir:

wt(x) =d(x,0)

Donde0es la palabra cero.

Alternativamente, el peso dex =x1x2. . .xnsobreFqn, se

puede definir como:

(99)

peso de un código

Peso de un código

Definición (Peso)

Seax una palabra enFnq,el pesodex, denotado porwt(x), se

define como el número de coordenadas no nulas enx, es decir:

wt(x) =d(x,0)

Donde0es la palabra cero.

Alternativamente, el peso dex =x1x2. . .xnsobreFqn, se

puede definir como:

(100)

peso de un código

Definición (Intersección de palabras)

Seanx =x1x2. . .xnyy =y1y2. . .yndos palabras,La intersec-ción dexyy se define como:

x∩y = (x1y1,x2y2, . . .y2yn)

Lema

1 _{Para todo}_x_,_y ∈_Fn q,

d(x,y) =wt(x−y)

2 _{Para todo}_x_,_y ∈_Fn 2,

(101)

peso de un código

x∩y = (x1y1,x2y2, . . .y2yn)

Lema

1 _{Para todo}_x_,_y _∈_Fn q,

d(x,y) =wt(x−y)

(102)

peso de un código

x∩y = (x1y1,x2y2, . . .y2yn)

Lema

1 _{Para todo}_x_,_y _∈_Fn q,

d(x,y) =wt(x−y)

(103)

peso de un código

corolario

Para todox,y ∈F₂n,d(x,y) =w(x+y)

Lema

1 Six_,y ∈Fn

q entonces:

wt(x) +wt(y)≥wt(x+y)≥wt(x)−wt(y)

2 _Si_x_,_y ∈_Fn

2, entonceswt(x∩y) =x·y(mod2) 3 _x _∈_Fn

2, entonceswt(x) =x·x(mod2) 4 _x _∈_Fn

(104)

peso de un código

corolario

Para todox,y ∈F₂n,d(x,y) =w(x+y)

Lema

1 _Si_x_,_y ∈_Fn

q entonces:

wt(x) +wt(y)≥wt(x+y)≥wt(x)−wt(y)

2 _Si_x_,_y ∈_Fn

2, entonceswt(x∩y) =x·y(mod2) 3 x ∈Fn

2, entonceswt(x) =x·x(mod2) 4 _x _∈_Fn

(105)

peso de un código

Peso de un Código

SeaC un código.El peso mínimo (de Hamming) de C,

denotado porwt(C)es el mínimo de los pesos de las palabras

no nulas deC, es decir:

wt(C) =min{wt(c) :c ∈C,c 6=0}

Ejemplo

Para los códigosC1={000 101 010 111}y

C2={000000 000111 001110 011100}se tiene

(106)

peso de un código

Peso de un Código

SeaC un código.El peso mínimo (de Hamming) de C,

denotado porwt(C)es el mínimo de los pesos de las palabras

no nulas deC, es decir:

wt(C) =min{wt(c) :c ∈C,c 6=0}

Ejemplo

Para los códigosC1={000 101 010 111}y

C2={000000 000111 001110 011100}se tiene

(107)

peso de un código

Definición (Código de peso constante)

Un código depeso constante C es aquel en el que todas sus

palabras pesan igual, es decir,wt(c) =k, parak ∈Ny para

todoc∈C

Notación: Un (n,M,d,w)-código es un código de longitud n,

(108)

peso de un código

Definición (Código de peso constante)

Un código depeso constante C es aquel en el que todas sus

palabras pesan igual, es decir,wt(c) =k, parak ∈Ny para

todoc∈C

Notación: Un (n,M,d,w)-código es un código de longitud n,

(109)

peso de un código

Enumeradores de Peso

Si C es un(n,M)-código, se denota conAk el número de

palabras deC de pesok, es decir,

Ak = #{c ∈C |wt(c) =k}

Los númerosA0, . . . ,An, se conocen comola distribución de pesos de Cy la suma formal

W_C(s) =

n X

k=0 Aksk

(110)

peso de un código

Ejemplo

Sea el código

C={000000,000111,001110,011100,

100011,110001,111000,111111}

Entonces, tendremos queA₀=A₆=1;A₁=A₂=A₄=A5=0

yA3=6.El enumerador de peso será:

(111)

peso de un código

Ejemplo

Sea el código

C={000000,000111,001110,011100,

100011,110001,111000,111111}

Entonces, tendremos queA0 =A6=1;A1=A2=A4=A5=0

yA3=6.El enumerador de peso será:

(112)

2 Canal

4 _{Equivalencia de Códigos} Códigos Perfectos

(113)

Código Sistemático

Un (n,M)-código q-ario permite codificar M mensajes fuente.

Sin embargo, ciertos tipos de códigos con los mismos paráme-tros facilitan este proceso de codificación.

Definición (Código Sistemático)

Es aquel (n,qk)-código q-ario en el que al restringir todas las palabras a sólok posiciones, se obtienen lasqk posibles pala-bras de longitudk de la fuente. Al conjunto de estask

posicio-nes se le llamaConjunto de información y los símbolos de las

palabras código en estas posiciones son llamadossímbolos de

(114)

Código Sistemático

Un (n,M)-código q-ario permite codificar M mensajes fuente.

Sin embargo, ciertos tipos de códigos con los mismos paráme-tros facilitan este proceso de codificación.

Definición (Código Sistemático)

Es aquel (n,qk)-código q-ario en el que al restringir todas las palabras a sólok posiciones, se obtienen lasqk posibles pala-bras de longitudk de la fuente. Al conjunto de estask

posicio-nes se le llamaConjunto de información y los símbolos de las

palabras código en estas posiciones son llamadossímbolos de

(115)

Códigos Equivalentes

Dos(n,M)-códigosC1yC2se dicen equivalentes (y se denota C1'C2) si existe una permutaciónσde lasncoordenadas y

permutacionesπ1, π2, . . . , πndel alfabeto tales que

c₁c₂. . .cn ∈C1si y sólo siπ1(cσ(1))π2(cσ(2)). . . πn(cσ(n))∈C2

Ejemplo

Los códigosC1={00100,00011,11111,11000}y

C2={00000,01101,11011,10110}son equivalentes, donde

σ=

1 2 3 4 5 1 4 3 2 5

yπ={π1, π2, π3, π4, π5}, con

(116)

Códigos Equivalentes

Dos(n,M)-códigosC1yC2se dicen equivalentes (y se denota C1'C2) si existe una permutaciónσde lasncoordenadas y

permutacionesπ1, π2, . . . , πndel alfabeto tales que

c₁c₂. . .cn ∈C1si y sólo siπ1(cσ(1))π2(cσ(2)). . . πn(cσ(n))∈C2

Ejemplo

Los códigosC1={00100,00011,11111,11000}y

C2={00000,01101,11011,10110}son equivalentes, donde

σ=

1 2 3 4 5 1 4 3 2 5

yπ={π1, π2, π3, π4, π5}, con

(117)

Transformación Monomial

Si en el caso anterior, cadaπi :Fq →Fqes la multiplicación por

un escalar no ceroαi enFq, es decir,

πi(s) =αis

Entonces, la funciónµ:F_qn→F_qndefinida por:

µ(c1c2. . .cn) =π1(cσ(1))π2(cσ(2)). . . πn(cσ(n))

(118)

Múltiplo escalar equivalentes

Dos(n,M)-códigosC1yC2sobreFsonMúltiplo escalar

equiva-lentessi existe una transformación monomialµde gradonpara la cualµ(C1) =C2dondeµ(C1) ={µc :c ∈C1}

Ejemplo/Ejercicio

Los códigos ternariosC1={000,111,022,021}y C2={000,102,201,202}son equivalentes, donde

σ=

1 2 3 2 1 3

conπ1=π2es la permutación identidad y

(119)

Múltiplo escalar equivalentes

Dos(n,M)-códigosC1yC2sobreFsonMúltiplo escalar

equiva-lentessi existe una transformación monomialµde gradonpara la cualµ(C1) =C2dondeµ(C1) ={µc :c ∈C1}

Ejemplo/Ejercicio

Los códigos ternariosC1={000,111,022,021}y C2={000,102,201,202}son equivalentes, donde

σ=

1 2 3 2 1 3

conπ1=π2es la permutación identidad y

(120)

Lema

Si 0 ∈ A, entonces cualquier (n,M)-código sobre el alfabetoA

es equivalente (pero no necesariamente múltiplo escalar equi-valente) a un códigoC0 que contiene la palabra código cero.

Lema

SiC1yC2son equivalentes entoncesd(C1) =d(C2). Además,

(121)

Lema

Si 0 ∈ A, entonces cualquier (n,M)-código sobre el alfabetoA

es equivalente (pero no necesariamente múltiplo escalar equi-valente) a un códigoC0 que contiene la palabra código cero.

Lema

SiC1yC2son equivalentes entoncesd(C1) =d(C2). Además,

(122)

Códigos Perfectos

2 Canal

Códigos Perfectos

(123)

Códigos Perfectos

Definición (Esfera-Volumen)

Seax una palabra enAn, donde|A|=q yr ≥0,La esfera de radio r centrada en xes el conjunto

Sq(x,r) ={y ∈An:d(x,y)≤r}

Elvolumen Vq(n,r)de la esferaSq(x,r)es el número de elementos deSq(x,r), independientemente del centro.

Lema

El volumenVq(n,r)de la esferaSq(x,r)está dado por

Vq(n,r) =

r X

k=0

n k

(124)

Códigos Perfectos

Definición (Esfera-Volumen)

Seax una palabra enAn, donde|A|=q yr ≥0,La esfera de radio r centrada en xes el conjunto

Sq(x,r) ={y ∈An:d(x,y)≤r}

Elvolumen Vq(n,r)de la esferaSq(x,r)es el número de elementos deSq(x,r), independientemente del centro.

Lema

El volumenVq(n,r)de la esferaSq(x,r)está dado por

Vq(n,r) =

r X

k=0

n k

(125)

Códigos Perfectos

Definición (Radio de Empaquetamiento y Recubrimiento)

El radio de empaquetamiento de C (pr(C)), con C ⊂ An_{, es}

el mayor enteror para el cual las esferas Sq(x,r) sobre cada

palabra x ∈ C son disjuntas. El radio de recubrimiento de C

(cr(C)) es el menor entero s para el cual las esferas Sq(c,s)

sobre cada palabrac cubren aAn

(126)

Códigos Perfectos

Definición (Radio de Empaquetamiento y Recubrimiento)

El radio de empaquetamiento de C (pr(C)), con C ⊂ An_{, es}

el mayor enteror para el cual las esferas Sq(x,r) sobre cada

palabra x ∈ C son disjuntas. El radio de recubrimiento de C

(cr(C)) es el menor entero s para el cual las esferas Sq(c,s)

sobre cada palabrac cubren aAn

(127)

Códigos Perfectos

Teorema

Considerando los empates como errores, un códigoC corrige

t-errores si y sólo si las esferasSq(c,t)sobre cada palabra

código son disjuntas.

Corolario

Considerando que los empates son siempre reportados como errores, un códigoCcorrige exactamente t-errores si y sólo si

(128)

Códigos Perfectos

Teorema

Considerando los empates como errores, un códigoC corrige

t-errores si y sólo si las esferasSq(c,t)sobre cada palabra

código son disjuntas.

Corolario

Considerando que los empates son siempre reportados como errores, un códigoCcorrige exactamente t-errores si y sólo si

(129)

Códigos Perfectos

Códigos perfectos

Un códigoC∈An se diceperfectosipr(C) =cr(C), o sea, si existe un númeror para el cual las esferasSq(c,r)centradas

sobre cada palabra códigocson disjuntas y cubren aAn, es decir

An= [

c∈C

(130)

Códigos Perfectos

Teorema (Condición de empaquetamiento de esferas)

SeaC un (n,M,d).código q-ario, C es un código perfecto si y

sólo si d= 2t +1 yM·Vq(n,t) =qn, es decir,

M=qn t

X

k=0

n k

(131)

Códigos Perfectos

Códigos quasi-perfectos

(132)

2 Canal

Códigos Perfectos

(133)

López, J.&Ruiz, H. (2013). La matemática de la teoría de códigos.Trabajo presentado como requisito parcial para optar al título de Licenciado en Matemáticas

(134)