Soluciones a los ejercicios y problemas

(1)

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

PÁGINA 74

R A C T I C A

E c u a c i o n e s d e 1.º y 2.º g r a d o s

1

Resuelve las siguientes ecuaciones: a) (4x+ 3)(4x– 3) – 4(3 – 2x)2= 3x

b) 2x+ 3(x– 4)2= 37 + (x– 3)(x+ 3)

c) – = x– 2

d) – = 1 +

a) 16x2– 9 – 4(9 + 4x2– 12x) = 3x

16x2_{– 9 – 36 – 16}_x2_{+ 48}_x_{= 3}_x ₈ ₄₈_x_{– 3}_x_{= 45}₈ ₄₅_x_{= 45}₈ _x_{= 1} Solución: x = 1

b) 2x+ 3(x2– 8x+ 16) = 37 + x2– 9

2x+ 3x2– 24x+ 48 = 28 +x2 8 2x2– 22x+ 20 = 0

x2– 11x+ 10 = 0 8 x= = Soluciones: x₁= 10, x₂= 1

c) – = –

4x+ 12 – 5x2+ 10x– 5 = 25x– 5x2– 20x– 20 9x+ 27 = 0 8 x= –3

Solución: x= –3

d) (x– 1)(x+ 2) – 4(x– 3) = 12 + 2(x+ 1)(x– 2)

x2+x– 2 – 4x+ 12 = 12 + 2x2– 2x– 4

x2₊_x_{– 2 = 0}₈ _x_{= =} Soluciones: x₁= 1, x₂= –2

1 –2 –1 ± 3

2

x2_{+ 4}_x_{+ 4} 4 5x

4

x2_{– 2}_x_{+ 1} 4

x+ 3 5

10 1 11 ± 9

2

(x+1)(x– 2) 6

x– 3 3 (x–1)(x+ 2)

12

)

x + 2

2

(

5 4 (x– 1)2

4

x+ 3 5

P

(2)

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

2

_{Comprueba que las ecuaciones siguientes son de 2.º grado incompletas.}

Resuélvelas sin aplicar la fórmula general. a) – = 1 –

b) (x+ 1)2_{– (}_x_{– 2)}2_{= (}_x_{+ 3)}2₊_x2_{– 20}

c) – = –

d)x x+ – + = 0 a)x+ 7 – 3(x2_{+ 1) = 12 – 4(}_x2_{+ 2)}

x+ 7 – 3x2– 3 = 12 – 4x2– 8

x2₊_x_{= 0}₈ _x₍_x_{+ 1) = 0}₈ _x_{= 0;}_x_{= –1} Soluciones: x₁= 0, x₂= –1

b)x2_{+ 2}_x_{+ 1 –}_x2_{+ 4}_x_{– 4 =}_x2_{+ 6}_x_{+ 9 +}_x2_{– 20} 2x2– 8 = 0 8 x2= 4 8 x= 2; x= –2

Soluciones: x₁= 2, x₂= –2

c) 3x(x– 2) – 2(x+ 1) = 6(x– 3) – 4(x– 4) 3x2_{– 6}_x_{– 2}_x_{– 2 = 6}_x_{– 18 – 4}_x_{+ 16}

3x2– 10x= 0 8 x(3x– 10) = 0 8 x= 0; x= Soluciones: x₁= 0, x₂=

d)x – + = 0

3x(2x+ 1) – 3(x– 2) + 2(x2_{– 1) = 0}

6x2+ 3x– 3x+ 6 + 2x2– 2 = 0 8 8x2+ 4 = 0 8 No tiene solución.

3

Averigua cuáles de las siguientes “ecuaciones” no tienen solución y cuá-les tienen infinitas soluciones. (Recuerda que en realidad no son ecuaciones, porque no tienen término en x).

a)x– = 2x–

b) (3x+ 2)2– (3x– 2)2= 24x

c) – = –

d) (3x+ 1)(2x– 3) – (x– 3)(6x+ 4) = 7x

a) 4x– 2(1 – x) = 8x– 2x+ 7 4x– 2 + 2x= 6x+ 7

6x– 6x= 9 8 0x= 9 8 No tiene solución. 2 + x

4 (x– 1)2

16 1 + x

2 (x+ 1)2

16

2x– 7 4 1 – x

2

x2– 1 3

x– 2 2

)

2x+ 1

2

(

10 3

x2_{– 1} 3

x– 2 2

)

1 2

(

x– 4 3

x– 3 2

x+ 1 6

x(x– 2) 4

x2_{+ 2} 3

x2_{+ 1} 4

x+ 7 12

(3)

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

b) 9x2+ 4 + 12x– 9x2– 4 + 12x= 24x

0x= 0 8 Tiene infinitas soluciones.

c)x2_{+ 2}_x_{+ 1 – 8(1 +}_x_{) =}_x2_{– 2}_x_{+ 1 – 4(2 +}_x₎

x2+ 2x+ 1 – 8 – 8x= x2– 2x+ 1 – 8 – 4x

–6x– 7 = –6x– 7 8 0x= 0 8 Tiene infinitas soluciones. d) 6x2_{– 7}_x_{– 3 – (6}_x2_{– 14}_x_{– 12) = 7}_x

6x2– 7x– 3 – 6x2+ 14x+ 12 = 7x

0x= –9 8 No tiene solución.

4

_{Resuelve las siguientes ecuaciones:}

a) – = b)x+ – = x2_{– 2}

c) (x– 2)2= x– d) (x+ 1)2= (5x+ 6) – (2x2+ 1) e) 2 x+ 2+ = – x (7x+ 1) – 4

a) 4(x2_{– 6}_x_{+ 9) – (4}_x2_{– 4}_x_{+ 1) = 35} 4x2– 24x+ 36 – 4x2+ 4x– 1 = 35 –20x= 0

Solución: x= 0

b) 6x+ 3(3x+ 1) – 2(x– 2) = 6(x2– 2) 6x+ 9x+ 3 – 2x+ 4 = 6x2– 12

6x2– 13x– 19 = 0 8 x= = Soluciones: x₁= ; x₂= –1

c) 2(x2– 4x+ 4) = 4x– 11 2x2– 8x+ 8 – 4x+ 11 = 0

2x2– 12x+ 19 = 0 8 x= 8 No tiene solución. d) 2(x2+ 2x+ 1) = 5x2+ 6x– 2(2x2+ 1)

2x2+ 4x+ 2 = 5x2+ 6x– 4x2– 2

x2_{– 2}_x_{+ 4 = 0}₈ _x₌ ₈ _{No tiene solución.}

e) 4x2_{+ 4}_x_{+ 1 + 25}_x_{= 5}_x_{+ 1 – 14}_x2_{– 8}

18x2_{+ 24}_x_{+ 8 = 0}₈ ₉_x2_{+ 12}_x_{+ 4 = 0}₈ _x_{= =}_– Solución: x= – 2

3

2 3 –12 ± 0

18 2 ±√–12

2

12 ±√–8 4 19

6

19/6 –1 13 ± 25

12

)

1 2

(

25x

2

)

1 2

(

x

2 11

4 1

2

x– 2 3 3x+ 1

2 35

16 (2x– 1)2

16 (x– 3)2

4

(4)

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

O t r a s e c u a c i o n e s

5

_Resuelve.

a)x4– 5x2+ 4 = 0 b) 4x4– 17x2+ 4 = 0 c)x4– 3x2– 4 = 0 d)x4– x2– 6 = 0 a) Cambio de variable: x2₌_y

y2– 5y+ 4 = 0 8 y= = =

x2= 4 8 x₁= 2; x₂= –2

x2_{= 1}₈ _x

3= 1; x4= –1

Soluciones: x₁= 2, x₂= –2, x₃= 1, x₄= –1

b) Cambio de variable: x2₌_y

4y2_{– 17}_y_{+ 4 = 0}₈ _y_{= =}₌

x2= 4 8 x₁= 2; x₂= –2

x2= 8 x₃= ; x₄= –

Soluciones: x₁= 2, x₂= –2, x₃= , x₄= –

c) Cambio de variable: x2= y

y2– 3y– 4 = 0 8 y= = Soluciones: x₁= 2; x₂= –2

d) Cambio de variable: x2= y

y2– y– 6 = 0 8 y= =

Soluciones: x₁= , x₂= –

6

Resuelve.

a)x4– 4x2+ 3 = 0 b)x4– 16 = 0

c)x4_{– 25}_x2_{= 0} _d)_x4_{– 18}_x2_{+ 81 = 0}

e) (x2+ 1)2+ 6 = 5(x2+ 1) f ) (2x2+ 1)2– 5 = (x2+ 2)(x2– 2) a) Cambio de variable: x2₌_y

y2– 4y+ 3 = 0 8 y= =

Soluciones: x₁= , √3 x₂= –√3, x₃= 1, x₄= –1

y= 3 8 x= ±√—3

y= 1 8 x= ±1 4 ± 2

2 4 ±√16 – 12

2

√3

y= 3 8 x2= 3 8 x= ±√—3

y= –2 8 No vale. 1 ± 5

2

1 ±√1 + 24

2

y= 4 8 x2= 4 8 x= ±2

y= –1 8 No vale 3 ± 5

2 3 ±√9 + 16

2

1 2 1

2 1

4

4 1/4 17 ± 15

8 17 ±√225

8

4 1 5 ± 3

2 5 ±√25 – 16

2

(5)

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

b)x4= 16 8 x= ±

Soluciones: x₁= 2, x₂= –2

c)x2(x2– 25) = 0

Soluciones: x₁= 0, x₂= 5, x₃= –5

d) Cambio de variable: x2= y

y2_{– 18}_y_{+ 81 = 0}₈ _y₌ _{= 9}₈ _x2_{= 9} Soluciones: x₁= 3, x₂= –3

e)x4+ 2x2+ 1 + 6 = 5x2+ 5

x4_{– 3}_x2_{+ 2 = 0. Cambio de variable:}_x2₌_y

y2– 3y+ 2 = 0 8 y=

Soluciones: x₁= , x₂= – , x₃= 1, x₄= –1

f ) 4x4+ 4x2+ 1 – 5 = x4– 4

3x4+ 4x2= 0 8 x2(3x2+ 4) = 0 8 x2= 0 8 x= 0 3x2_{+ 4 = 0 no tiene solución.}

La solución de la ecuación es x= 0.

7

_Resuelve.

a) + 3x= b) – = –3x

c) + = d)x– =

a) 2(x+ 2) + 2x· 3x= x(5x+ 6)

2x+ 4 + 6x2= 5x2+ 6x 8 x2– 4x+ 4 = 0 8 (x– 2)2= 0 8 x= 2 Comprobamos sobre la ecuación inicial la validez de la solución. Solución: x= 2.

b) 4(x– 4) – (x– 1) = –3x· 4x

4x– 16 – x+ 1 = –12x2 ₈ ₁₂_x2_{+ 3}_x_{– 15 = 0}₈ ₄_x2₊_x_{– 5 = 0}

x= =

Se comprueba sobre la ecuación inicial que las dos soluciones son válidas.

Soluciones: x₁= 1, x₂= – 5 4

x₁= 1

x₂= –10/8 = –5/4 –1 ± 9

8 –1 ±√81

8

3x– 1 2

x– 1

x+ 1 2

3

x+ 3

x2 x– 3

x

x– 1 4x x– 4

x

5x+ 6 2

x+ 2

x

√2

y= 2 8 x= ±√—2

y= 1 8 x= ±1

3 ±√9 – 8

2 18 ±√0

2

4

√16

(6)

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

c) 3x(x– 3) + 3(x+ 3) = 2x2

3x2_{– 9}_x_{+ 3}_x_{+ 9 – 2}_x2_{= 0}₈ _x2_{– 6}_x_{+ 9 = 0}₈ ₍_x_{– 3)}2_{= 0}₈ _x_{= 3} Se comprueba que la solución es válida.

Solución: x= 3

d) 2x(x+ 1) – 2(x– 1) = (3x– 1)(x+ 1)

2x2+ 2x– 2x+ 2 = 3x2+ 2x– 1 8 x2+ 2x– 3 = 0

x= =

Se comprueba que las dos soluciones son válidas. Soluciones: x₁= 1, x₂= –3

8

a) – 3 = b) – = 3

c) – = d) – =

a) (x+ 1)x– 3x(x– 1) = (2 – x)(x– 1)

x2+x– 3x2+ 3x= –x2+ 3x– 2 8 x2– x– 2 = 0

x=

Se comprueba la validez de las dos soluciones. Soluciones: x₁= 2, x₂= –1

b)x(3x+ 1) – (4x+ 3) = 3x(4x+ 3)

3x2+x– 4x– 3 = 12x2+ 9x 8 9x2+ 12x+ 3 = 0 8 3x2+ 4x+ 1 = 0

x= = =

Las dos soluciones son válidas.

Soluciones: x₁= –1, x₂= –

c) 2(3x+ 4) – (x+ 3) = x+ 19

6x+ 8 – 3 = x+ 19 8 4x= 14 8 x= = Solución: x=

d)x– 2(x+ 3) = 2 – 5x

x– 2x– 6 = 2 – 5x 8 4x= 8 8 x= 2 Solución: x= 2

7 2

7 2 14

4 1

3

–1 –1/3 – 4 ± 12

6

–4 ±√16 – 12

6

x₁= 2

x₂= –1 1 ± 3

2

2 – 5x x2_{+ 3}_x 2

x

1

x+ 3

x+ 19 4x+ 6 1

2 3x+ 4

x+ 3

1

x

3x+ 1 4x+ 3 2 – x

x x+ 1

x– 1

x₁= 1

x₂= –3 –2 ± 4

2 –2 ±√16

2

(7)

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

9

_Resuelve.

a)x+ = 2x+ 1

b)3x+ = 35

c)x+ 1 – = 0

d) = x+ 2

a) = x+ 1 8 25 – x2₌_x2_{+ 2}_x_{+ 1}₈ ₂_x2_{+ 2}_x_{– 24 = 0}

x2+x– 12 = 0 8 x= = =

Comprobación:

x= 3 8 = 3 + 1 8 x= 3 es solución.

x= – 4 8 ?– 4 + 1 8 x= – 4 no vale. Solución: x= 3

b) = 35 – 3x 8 6x+ 10 = 1 225 + 9x2_{– 210}_x 9x2– 216x+ 1 215 = 0 8 x2– 24x+ 135 = 0

x= = =

Comprobación:

x= 15 8 ?35 – 45 no vale.

x= 9 8 = 37 – 27 8 Válida. Solución: x= 9

c) = x+ 1 8 5x+ 1 = x2+ 2x+ 1 8 x2– 3x= 0 Comprobación:

x= 0 8 = 1 8 Válida.

x= 3 8 = 3 + 1 8 Válida. Soluciones: x₁= 0, x₂= 3

d)

(

)

2= x2+ 4x+ 4 8 4x2+ 7x– 2 – x2– 4x– 4 = 0 3x2+ 3x– 6 = 0 8 x2+x– 2 = 0 8 x= = Comprobación:

x= 1 8 = 1 + 2 8 x= 1 es solución.

x= –2 8 = –2 + 2 8 x= –2 es solución. Soluciones: x₁= 1, x₂= –2

√16 – 14 – 2

√4 + 7 – 2

1 –2

–1 ±√1 + 18

2

√4x2_{+ 7}_x_{– 2}

√15 + 1

√1

x= 0

x= 3

√5x+ 1

√54 + 10

√6 · 15 + 10

15 9 24 ± 6

2 24 ±√36

2

√6x+ 10

√25 – 16

√25 – 9

3 – 4 –1 ± 7

2

–1 ±√1 + 48

2

√25 – x2

√4x2+ 7x– 2

√5x+ 1

√6x+ 10

√25 – x2

(8)

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

10

_{Dos de las siguientes ecuaciones no tienen solución. Averigua cuáles son}

y resuelve las otras. a)x– 17 =

b) – = 0

c) – = 0

d) 2 + 4x= 5

a)x2_{– 34}_x_{+ 289 = 169 –}_x2

2x2– 34x+ 120 = 0 8 x2– 17x+ 60 = 0

x= = =

Comprobación:

x= 12 8 12 – 17 = 8 No vale.

x= 5 8 5 – 17 = 8 No vale. No tiene solución.

b) = 8 x2+ 3 = 3 – x 8 x2+x= 0 Comprobación:

x= 0 8 = 8 Es solución.

x= –1 8 = 8 Es solución. Soluciones: x₁= 0, x₂= –1

c) = 8 5x– 7 = 1 – x 8 6x= 8 8 x= = Comprobación:

? 8 No vale.

La ecuación no tiene solución.

d) 4(5 – 4x) = (5 – 4x)2 8 20 – 16x= 25 + 16x2– 40x

16x2– 24x+ 5 = 0 8 x= = = Comprobación:

x= 8 2 + 4 · = 5 8 x= es solución.

Soluciones: x₁= , x₂= 1 4 5

4

1 4 1

4 1

√

5 – 4 · — 4 1

4

5 4 5

4 5

√

5 – — · 4 4 5

4

5/4 1/4 24 ± 16

32 24 ±√256

32 4

√

1 – — 3 4

√

5 · — – 7 3

4 3 8 6

√1 – x

√5x– 7

√4

√3

x= 0

x= –1

√3 – x

√x2+ 3

√169 – 25

√169 – 289 12 5 17 ± 7

2 17 ±√49

2

√5 – 4x

√1 – x

√5x– 7

√3 – x

√x2+ 3

√169 – x2

(9)

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

11

_{Di cuáles son las soluciones de las siguientes ecuaciones:}

a) (x– 2)(2x– 3) = 0 b)x(x– 3)(x+ 1) = 0 c) (x+ 5)(x2– 4) = 0 d)x(x2+ 4) = 0 e) (x– 2)(x2_{– 2}_x_{– 3) = 0} _{f )}_x₍_x2_{+ 3}_x_{+ 2) = 0} a)x– 2 = 0 8 x₁= 2; 2x– 3 = 0 8 x₂=

Soluciones: x₁= 2, x₂=

b) Soluciones: x₁= 0; x₂= 3; x₃= –1

c)x₁= –5; x2= 4 8 x₂= 2; x₃= –2 Soluciones: x₁= –5; x₂= 2; x₃= –2

d)x= 0; x2_{+ 4}_?₀ Solución: x= 0

e)x₁= 2; x2_{– 2}_x_{– 3 = 0}₈ _x_{= =} Soluciones: x₁= 2; x₂= 3; x₃= –1

f )x₁= 0; x2_{+ 3}_x_{+ 2 = 0}₈ _x_{= =} Soluciones: x₁= 0; x₂= –2; x₃= –1

12

Descompón en factores y resuelve.

a)x3– 4x= 0 b)x3+ x2– 6x= 0 c)x3_{+ 2}_x2_–_x_{– 2 = 0} _d)_x3_–_x2_{– 5}_x_{– 3 = 0} a)x(x2– 4) = 0

Soluciones: x₁= 0; x₂= 2; x₃= –2

b)x(x2+x– 6) = 0 8 x₁= 0; x2+x– 6 = 0 8 x= = Soluciones: x₁= 0; x₂= –3; x₃= 2

c) x2_{+ 3}_x_{+ 2 = 0}₈ _x_{= =}

Soluciones: x₁= 1; x₂= –1; x₃= –2

d) x2_{– 2}_x_{– 3 = 0}₈ _x_{= =}

Soluciones: x₁= –1 (doble); x₂= 3 1 –1 –5 –3

–1 –1 2 3

1 –2 –3 | 0

–1 3 2 ± 4

2

1 2 –1 –2

1 1 3 2

1 3 2 | 0

–1 –2 –3 ± 1

2

–3 2 –1 ± 5

2

x₂= –2

x₃= –1 –3 ± 1

2 –3 ±√9 – 8

2

x₂= 3

x₃= –1 2 ± 4

2 2 ±√4 + 12

2 3

2

3 2

(10)

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

PÁGINA 75

S i s t e m a s d e e c u a c i o n e s

13

_{Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones y comprueba las}

solucio-nes:

a) b)

c) d)

a) 8

17y= 51 8 y= 3 Si y= 3 8 5x+ 27 = 17 8 5x= –10 8 x= –2 Solución: x= –2; y= 3

b)

3,3x= 62,7 8 x= 19

y= 30 – 19 = 11

Solución: x= 19; y= 11

c) 8

–2y= 16 8 y= –8 2x+ 24 = 24 8 x= 0

Solución: x= 0; y= –8

d) 8

5x = –15 8 x= –3 2(–3) + 3y= –3 8 3y= 3 8 y= 1

Solución: x= –3; y= 1

2x+ 3y= –3 8 – 4x– 6y= 6 3x+ 2y= –7 8 9x+ 6y= –21 2x+ 3y= –3

3x+ 3 + 2y– 2 + 6 = 0 °

¢ £

2x– 3y= 24 –2x+ y= –8 2x– 3y= 24

2x– y= 8 °

¢ £

y= 30 – x

6,5x+ 3,2(30 – x) = 158,7 8 6,5x+ 96 – 3,2x= 158,7 °

¢ £

15x+ 27y= 51 –15x– 10y= 0 5x+ 9y= 17

–3x– 2y= 0 °

¢ £

2x

— + y+ 1 = 0 3

x+ 1 y– 1

— + — + 1 = 0

2 3

° § § ¢ § § £

x y

— – — = 4

3 2

x y

— – — = 2 2 4 ° § § ¢ § § £

x+ y= 30

6,5x+ 3,2y= 158,7 °

¢ £ 5x+ 3 = 20 – 9y

2x– 3y= 5x– y

° ¢ £

(11)

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

14

_{Resuelve los siguientes sistemas aplicando dos veces el método de}

reduc-ción: a)

b)

a) 273x– 252y= 2 667 –273x– 221y= –1 248

– 473y= 1 419 8 y= –3 221x– 204y= 2 159

252x+ 204y= 1 152

473x = 3 311 8 x= 7 Solución: x= 7, y= –3

b) –215x– 135y= –275 215x– 103,2y= –2 107

–238,2y= –2 382 8 y= 10 103,2x+ 64,8y= 132

135x– 64,8y= –1 323

238,2x = –1 191 8 x= –5 Solución: x= –5, y= 10

15

_{Averigua cuál de los siguientes sistemas no tiene solución y cuál tiene}

in-finitas soluciones: a)

b)

a) Tiene infinitas soluciones.

b) ° ¢ No tiene solución. £

x– y= –5 4x– 4y= –17 °

¢ £

° ¢ £

x+ 2y= 4 3x+ 6y= 12 °

¢ £

5 + x= y

7x– y+ 17 = 3x+ 3y

° ¢ £

x+ y= 4 – y

3x– 5 = 7 – 6y

° ¢ £

8,6x+ 5,4y= 11 25x– 12y= –245 °

¢ £

13x– 12y= 127 21x+ 17y= 96 °

¢ £

(12)

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

16

_{Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:}

a) b)

a) 8

8y= 40 8 y= 5 8 2x+ 15 = 15 8 x= 0 Solución: x= 0, y= 5

b) 8

5y= 10

y= 2 8 2x– 6 = –8 8 2x= –2 8 x= –1 Solución: x= –1, y= 2

17

Resuelve.

a) b)

c) d)

a)

y2– 3y+ 2 = 0 8 y=

Soluciones: x₁= –2, y₁= 1; x₂= –1, y₂= 2

b)

y=

Soluciones: x₁= 0, y₁= 1; x₂= –1, y₂= 2

c)

–6x2_{+ 15}_x_{– 9 = 0}₈ ₂_x2_{– 5}_x_{+ 3 = 0}₈ _x₌ Si x₁= 2 8 y₁= 3 – 4 = 1

Si x₂= 3 8 y₂= 3 – 6 = –3

Soluciones: x₁= 2, y₁= 1; x₂= 3, y₂= –3

x₁= 2

x₂= 3 5 ± 1

2

y= 3 – 2x

x(3 – 2x) – (3 – 2x)2_{= 0}₈ ₃_x_{– 2}_x2_{– 9 – 4}_x2_{– 12}_x_{= 0}

° ¢ £

y₁= 1 8 x₁= 1 – 1 = 0

y₂= 2 8 x₂= 1 – 2 = –1 3 ± 1

2

x= 1 – y

(1 – y)y+ 2y= 2 8 y– y2_{+ 2}_y_{= 2}₈ _y2_{– 3}_y_{+ 2 = 0}

° ¢ £

y₁= 1 8 x₁= 1 – 3 = 2

y₂= 2 8 x₂= 2 – 3 = –1 3 ±√1

2

x= y– 3

(y– 3)2₊_y2_{= 5}₈ _y2_{– 6}_y_{+ 9 +}_y2_{– 5 = 0}₈ ₂_y2_{– 6}_y_{+ 4 = 0}

° ¢ £

3x+ 2y= 0

x(x– y) = 2y2– 8 °

¢ £ 2x+ y= 3

xy– y2= 0 °

¢ £

x+ y= 1

xy+ 2y= 2 °

¢ £

x– y+ 3 = 0

x2+ y2= 5 °

¢ £

–2x+ 3y= 8 2x+ 2y= 2 2x– 3y= –8

2x+ 2y= 2 °

¢ £ 2(x+ 2) – 3y+ 1 = –3

2x+ 3 + 2y+ 14 = 19 °

¢ £

6x+ 9y= 45 –6x– y= –5 2x+ 3y= 15

–6x– y= –5 °

¢ £

2x+ 30 – 3y+ 3 = 48 42 – 6x– 1 – y= 36 °

¢ £ 2(x+ 15) + 3(y+ 1) = 48

6(7 – x) – (1 – y) = 36 °

¢ £

x+ 2 3y– 1 –3 — – — = —

5 10 10

2x+ 3 y+ 7 19 — + — = —

8 4 8

° § § ¢ § § £

x+ 15 3(y+ 1) — + — = 3

8 16

7 – x 1 + y

— – — =3

(13)

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

d)

x2= 4

Soluciones: x₁= 2, y₁= –3; x₂= –2, y₂= 3

18

_{Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción y}

comprue-ba que tienen cuatro soluciones:

a) b)

c) d)

a)

2x2 = 50 8 x2= 25 8 x= ±5

Si x= 5 8 25 +y2= 41 8 y2= 16 8 y= ±4 Si x= –5 825 +y2= 41 8 y2= 16 8 y= ±4

Soluciones: x₁= 5, y₁= 4; x₂= 5, y₂= – 4; x₃= –5, y₃= 4; x₄= –5, y₄= – 4

b)

4x2 = 36 8 x2= 9 8 x= ±3

Si x= 3 8 27 + 2y2_{= 35}₈ _y2_{= 4}₈ _y_{= ±2} Si x= –3 8 27 + 2y2= 35 8 y2= 4 8 y= ±2

Soluciones: x₁= 3, y₁= 2; x₂= 3, y₂= –2; x₃= –3, y₃= 2; x₄= –3, y₄= –2

c)

2x2_{+ 2}_x _{= 60}₈ _x2₊_x_{= 30}₈ _x2₊_x_{– 30 = 0}

x= = =

• Si x= –6 8 36 +y2– 6 +y= 32 8 y2+y– 2 = 0

y= = =

• Si x= 5 8 25 +y2+ 5 +y= 32 8 y2+y– 2 = 0 8 y=

Soluciones: x₁= –6, y₁= –2; x₂= –6, y₂= 1; x₃= 5, y₃= –2; x₄= 5, y₄= 1 –2

1 –2

1 –1 ± 3

2 –1 ±√1 + 8

2

–6 5 –1 ± 11

2

–1 ±√1 + 120

2

x2₊_y2₊_x₊_y_{= 32}

x2_–_y2₊_x_–_y_{= 28}

° ¢ £

3x2+ 2y2= 35

x2– 2y2= 1 °

¢ £

x2+y2= 41

x2_–_y2_{= 9}

° ¢ £

x2_{+ 2}_y2₊_x_{+ 1 = 0}

x2– 2y2+ 3x+ 1 = 0 °

¢ £

x2₊_y2₊_x₊_y_{= 32}

x2– y2+ x– y= 28 °

¢ £

3x2+ 2y2= 35

x2_{– 2}_y2_{= 1} °

¢ £

x2+ y2= 41

x2_–_y2_{= 9} °

¢ £

3

x₁= 2 8 y₁= – — · 2 = –3 2

3

x₂= –2 8 y₂= – —(–2) = 3 2

3

y= – —x

2

3 3 5 9

x

(

x+ —x

)

= 2

(

– —x

)

2– 8 8 —x2_{= —}_x2_{– 8}₈ _–2_x2_{= –8}

2 2 2 2

° § § ¢ § § £

(14)

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

d)

2x2 + 4x+ 2 = 0 8 x2+ 2x+ 1 = 0 8 (x+ 1)2= 0 8 x= –1 Si x= –1 8 1 + 2y2_{– 1 + 1 = 0}₈ ₂_y2_{= –1}₈ _{No tiene solución.}

I n e c u a c i o n e s

19

Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) 2x+ 7 <3 b)3 – xÌ9 c)3 Ì2x+ 2 d)3 – 2xÓx– 9 a) 2x<– 4 8 x<–2

Solución: (–@, –2)

b) 3 – xÌ9 8 –xÌ6 8 xÓ–6 Solución: [–6, +@)

c) 2xÓ1 8 xÓ

Solución: , +@

d) –2x– xÓ–9 – 3 8 –3xÓ–12 8 3xÌ12 8 xÌ4 Solución: (–@, 4]

20

Resuelve.

a) <x+ 1 b) + 3 Ó

c) 2x– 2(3x– 5) <x d)x– 1 – <0 a) 7 – 3x<2x+ 2 8 –5x<–5 8 5x>5 8 x>1

Solución: (1, +@)

b) 2x+ 8 + 18 Óx+ 10 8 xÓ–16 Solución: [–16, +@)

c) 2x– 6x+ 10 <x 8 –5x<–10 8 5x>10 8 x>2 Solución: (2, +@)

d) 2x– 2 – x+ 1 <0 8 x– 1 <0 8 x<1 Solución: (–@, 1)

x– 1 2

x+ 10 6

x+ 4 3 7 – 3x

2

)

1 2

[

1 2

x2_{+ 2}_y2₊_x_{+ 1 = 0}

x2– 2y2+ 3x+ 1 = 0 °

¢ £

(15)

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

21

_{Halla las soluciones de los siguientes sistemas de inecuaciones:}

a) b)

c) d)

a)

Solución: (–2, 2)

b)

No tiene solución.

c)

Solución: (8, +@)

d)

Solución: (–@, 0)

22

Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado: a)x2– 4 Ì0 b)x2– 9 >0

c)x2– 4x<0 d)x2+ 3x>0 a)x2_{– 4}_Ì₀

x2– 4 = 0 8 (x+ 2)(x– 2) = 0

Solución: [–2, 2]

–2 2

No Sí No

x= 2

x= –2

0 1/3

3x+ 39 <39 – 2x 8 5x<0 8 x<0 3x– 5 <– 4 8 3x<1 8 x<1/3 °

¢ £

–12 8

2x+ 5

—<x– 1 8 2x+ 5 <3x– 3 8 –x<–8 8 x>8 3

x 2x– 1

— – 1 <— 8 5x– 15 <6x– 3 8 –x<12 8 x>–12

3 5

° § § ¢ § § £

1 4

5x– 3 Ìx+ 1 8 4xÌ4 8 xÌ1 2x+ 6 Óx+ 2 8 xÓ– 4

° ¢ £

–2 2

2 – x>0 8 –x>–2 8 x<2 2 +x>0 8 x>–2

° ¢ £

x+ 13 39 – 2x

—<—

6 18

3x– 5 —<– 1

4 ° § § ¢ § § £ 2x+ 5

—<x– 1 3

x 2x– 1

— – 1 <—

3 5

° § § ¢ § § £

5x– 3 Ìx+ 1 2x+ 6 Óx+ 2 °

¢ £ 2 – x>0

2 + x>0 °

¢ £

(16)

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

b)x2– 9 >0

x2– 9 = 0 8 (x+ 3)(x– 3) = 0

Solución: (–@, –3) «(3, +@)

c)x2_{– 4}_x_<₀

x2_{– 4}_x_{= 0}₈ _x₍_x_{– 4) = 0}

Solución: (0, 4)

d)x2+ 3x>0

x2+ 3x= 0 8 x(x+ 3) = 0

Solución: (–@, –3) «(0, +@)

23

_{Resuelve las siguientes inecuaciones:}

a) (x– 1)(x– 5) <0 b) (x+ 2)(x– 3) >0 c) (4 – x)(2 + x) Ó0 d) 2x(3 – x) Ì0 a) (x– 1)(x– 5) <0

(x– 1)(x– 5) = 0

Solución: (1, 5)

b) (x+ 2)(x– 3) >0 (x+ 2)(x– 3) = 0

Solución: (–@, –2) «(3, +@)

–2 3

Sí No Sí

x= –2

x= 3

1 5

No Sí No

x= 1

x= 5

–3 0

Sí No Sí

x= 0

x= –3

0 4

No Sí No

x= 0

x= 4

–3 3

Sí No Sí

x= 3

x= –3

(17)

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

c) (4 – x)(2 + x) Ó0

(4 – x)(2 +x) = 0

d) 2x(3 – x) Ì0 2x(3 – x) = 0

Solución: (–@, 0] «[3, +@)

24

_{Traduce a lenguaje algebraico:}

a) La mitad de un número menos 10 unidades es menor que 7.

b) Si a los tres cuartos de un número le resto 2, obtengo más que si a su mitad le sumo 5.

c) El producto de dos números consecutivos no supera a 8.

d) El perímetro de un rectángulo cuya base mide 3cm más que la altura es me-nor que 50 m.

a) – 10 <7 b) x– 2 > + 5 c)x(x+ 1)Ì8 d) 4x+ 6 <50

PÁGINA 76

I E N S A Y R E S U E L V E

25

Resuelve estas ecuaciones de grado superior a dos en las que puedes des-pejar la incógnita:

a)x3– 64 = 0 b) – x3= 0

c) + = 0 d) – = 0

a)x3_{– 64 = 0}₈ _x3_{= 64}₈ _x_{= = =}_4. Solución: x= 4

b) – x3_{= 0}₈ _{625 –}_x4_{= 0}₈ _x_{= ±} _{= ±5} Soluciones: x₁= 5, x₂= –5

4

√625 625

x

3

√43

3

√64

2 81x3

x

8 16

9x2 3x

4

625

x

P

x

2 3

4

x

2

0 3

Sí No Sí

x= 0

x= 3

–2 4

No Sí No

x= 4

x= –2

(18)

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

c) + = 0 8 27x3_{+ 64 = 0}₈ _x_{= =}_–

Solución: x= –

d) – = 0 8 81x4– 16 = 0 8 x4= 8 x= ±

Soluciones: x₁= , x₂= –

26

a) = 2 + b) 1 = –

c) – = 2

d) + =

a) 2x= 2(x2– 1) +x(x+ 1)

2x= 2x2– 2 + x2+x 8 3x2– x– 2 = 0

x= = =

Solución: x= –

b) 2(x2– 9) = 6x– x(x+ 3) 8 2x2– 18 = 6x– x2– 3x 8 x2– x– 6 = 0

x= = =

Solución: x= –2

c) 4 – x– (2 – x)(x+ 1) = 2(x2+ 2x+ 1) 4 – x– 2x– 2 + x2₊_x_{= 2}_x2_{+ 4}_x_{+ 2}₈

8 x2– 2x+ 2 = 2x2+ 4x 8 x2+ 6x= 0 Soluciones: x₁= 0, x₂= –6

d) 2x+ 4 + (x+ 4)(x– 5) =x 8 2x+ 4 +x2_–_x_{– 20 =}_x ₈ _x2_{– 16 = 0}₈ _x_{= ±4} Soluciones: x₁= 4, x₂= – 4

x= 0

x= –6

x= 3 8 No vale.

x= –2 1 ± 5

2 1 ±√25

2

2 3

1 8 No vale. –2/3

1 ± 5 6 1 ±√25

6

1

x– 5

x+ 4

x

2x+ 4

x2– 5x

2 – x x+ 1 4 – x

x2+ 2x+ 1

x

2x– 6 3x

x2– 9

x x– 1 2x

x2– 1

2 3 2

3

2 3 16

81 2

81x3 x

8

4 3

4 3 64

√

– — 27 16

9x2 3x

4

(19)

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

27

_Resuelve.

a)x+ = –1 b) + = 2

c) + = 4 d) – = 2

☞

Mira los ejercicios resueltos de la página 64.

a) = –1 – x 8 7 – 3x= 1 +x2_{+ 2}_x ₈ _x2_{+ 5}_x_{– 6 = 0}

x= = =

Comprobación:

x= –6 8 –6 + = –1

x= 1 8 1 + = 3 ?–1 8 No vale. Solución: x= –6

b) = 2 – 8 3x– 2 = 4 +x– 4 8 (4 )2= (6 – 2x)2 8 8 16x= 36 + 4x2– 24x 8 4x2– 40x+ 36 = 0 8 x2– 10x+ 9 = 0

x= =

Comprobación:

x= 9 8 + ?2 8 No vale.

x= 1 8 + = 2 Solución: x= 1

c) = 4 – 2 8 5x– 6 = 16 + 2x– 8 8 (8 )2_{= (22 – 3}_x₎2 ₈

8 128x= 484 + 9x2– 132x 8 9x2– 260x+ 484 = 0

x= =

Comprobación:

x= 8 + = + = ?4 8 No vale.

x= 2 8 + = 4 Solución: x= 2

d) = 2 + 8 5x+ 1 = 4 +x+ 1 + 4 8

8 4x– 4 = 4 8 = x– 1 8 x+ 1 = x2– 2x+ 1 8 8 x2_{– 3}_x_{= 0}

Comprobación:

x= 0 8 – = 0 ?2 8 No vale.

x= 3 8 – = 2 Solución: x= 3

√4

√16

√1

x= 0

x= 3

√x+ 1

√5x+ 1

√4

56 3 22

3 34

3 484

√

9 1 156

√

9 242

9

242/9 2 260 ± 224

18

√2x

√x

√5x– 6

√1

√9

√25 9 1 10 ± 8

2

√x

√3x– 2

√7 – 3

√7 – 18

–6 1 –5 ± 7

2 –5 ±√49

2

√7 – 3x

√x+ 1

√5x+ 1

√5x– 6

√2x

√3x– 2

√x

√7 – 3x

(20)

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

28

_Resuelve.

a) (9x2_{– 4)(2}_x_{– 3)}2 b)x3_–_x2_–_x_{– 2 = 0} c)3x3– 10x2+ 9x– 2 = 0 d) 2x3– 3x2– 9x+ 10 = 0

a) (9x2– 4)(2x– 3)2= 0

Soluciones: x₁= , x₂= – , x₃=

b)

x2+x+ 1 = 0 8 No tiene solución. La solución es x= 2.

c)

3x2– 7x+ 2 = 0 8 x=

Soluciones: x₁= 1; x₂= 2; x₃=

d)

2x2_–_x_{– 10 = 0}₈ _x₌

Soluciones: x₁= 1, x₂= –2, x₃= 5 2

x= –2

x= 5/2 1 + 9

4 2 –3 –9 10

1 2 –1 –10

2 –1 –10 | 0

1 3

x= 2

x= 1/3 7 ± 5

6 3 –10 9 –2

1 3 –7 2

3 –7 2 | 0 1 –1 –1 –2

2 2 2 2

1 1 1 | 0

3 2 2

3 2

3

4 2 2

9x2_{– 4 = 0}₈ _x2_{= —} ₈ _x

1= —; x2= —

9 3 3

3 (2x– 3)2_{= 0}₈ ₂_x_{– 3 = 0}₈ _x

3= —₂

(21)

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

29

_{Resuelve y comprueba las soluciones.}

a) b)

c) d)

a)

6 – 3x+ 3x= – 4x+ 2x2 ₈ ₂_x2_{– 4}_x_{– 6 = 0}₈ _x2_{– 2}_x_{– 3 = 0}

x=

Soluciones: x₁= –1, y₁= 3; x₂= 3, y₂= –1

b)

20y+ 60 – 40y= 3y– 2y2 8 2y2– 23y+ 60 = 0 8 y= Si y= 4 8 x= 3 – 8 = –5

Si y= 8 x= 3 – 2 · = –12

Soluciones: x₁= –5, y₁= 4; x₂= –12, y₂=

c)

+y= 5 8 +y= 5 8 8 2y= 6 8 y= 3 8 x= 9 – 6 + 1 = 4

Solución: x= 4, y= 3

d) ₈ _y₌

2 = + 1 8 2 = 8

8 (2 )2= 2 8 4(x+ 1) = 8

8 36x+ 36 = 4x2+ 8x+ 4 8 4x2– 28x– 32 = 0 8 8 x2_{– 7}_x_{– 8 = 0}₈ _x₌

Si x= –1 8 y= –1

Si x= 8 8 y= = 5

Soluciones: x₁= –1, y₁= –1; x₂= 8, y₂= 5 16 – 1

3

x= –1

x= 8 7 ± 9

2

4x2_{+ 8}_x_{+ 4} 9

)

2x+ 2 3

(

√x+ 1

2x– 1 + 3 3

√x+ 1 2x– 1

3

√x+ 1

2x– 1 3 2√—x+ 1 = y+ 1

2x– 3y= 1 °

¢ £

√(y– 1)2

√y2– 2y+ 1

y2– 2y+ 1 = x

√—x+y= 5 8

° ¢ £ 15 2 15 2 15 2

x= 4

x= 15/2 23 ± 7

4 20y+ 20x= xy 8 20y+ 20(3 – 2y) = (3 – 2y)y

x= 3 – 2y °

¢ £

x= –1 8 y= 2 + 1 = 3

x= 3 8 y= 2 – 3 = –1 2 ± 4

2

y= 2 – x

3(2 – x) + 3x= –2x(2 – x) °

¢ £ y= 2 – x

3y+ 3x= –2xy °

¢ £

2√—x+ 1 = y+ 1 2x– 3y= 1 °

¢ £

y2– 2y+ 1 = x

√—x+ y= 5 °

¢ £

1 1 1

— + — = —

x y 20

x+ 2y= 3 °

§ ¢ § £

x+ y= 2

1 1 2

— + — = – —

x y 3

(22)

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

30

_Resuelve.

a) b)

c) d)

a)

Hacemos el cambio x2= z 8 z2– 34z+ 225 = 0 8 z=

Si z= 25

Si z= 9

Soluciones: x₁= 5, y₁= 3; x₂= –5, y₂= –3; x₃= 3, y₃= 5; x₄= –3, y₄= –5

b)

Cambio: x2= z 8 z2– 16z– 720 = 0 8 z= =

Si z= 36

Soluciones: x₁= 6, y₁= 2; x₂= –6, y₂= –2

c)

8 x4_{– 17}_x2_{+ 16 = 0. Hacemos el cambio}_x2₌_z_:

z2– 17z+ 16 = 0 8 z= = =

Si z= 16

Si z= 1

Soluciones: x₁= 4, y₁= 1; x₂= – 4, y₂= –1; x₃= 1, y₃= 4; x₄= –1, y₄= – 4

x= 1 8 y= 4

x= –1 8 y= – 4

x= 4 8 y= 1

x= – 4 8 y= –2

16 1 17 ± 15

2 17 ±√172– 64

2 4

y= —

x

4 x2+ 4

(

x + —

)

2= 25 8

(

—

)

2= 25 8 x4+ 8x2+ 16 = 25x2 8

x x

° § § ¢ § § £

x= 6 8 y= 2

x= –6 8 y= –2

36

–20 (no vale) 16 ± 56

2 12

y= —

x

12 720

x2– 5

(

—

)

2= 16 8 x2– — = 16 8 x4– 16x2– 720 = 0

x x2

° § § ¢ § § £

x= 3 8 y= 5

x= –3 8 y= –5

x= 5 8 y= 3

x= –5 8 y= –3

25 9 34 ± 16

2 15

y= —

x

15

x2+

(

—

)

2= 34 8 x4+ 225 = 34x2 x

° § § ¢ § § £

82

x2₊_y2_{= —} 9

x y= –1 °

§ ¢ § £

x y= 4 (x+ y)2= 25 °

¢ £

x y= 12

x2– 5y2= 16 °

¢ £

x y= 15

x2+ y2= 34 °

¢ £

(23)

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

d)

Cambio: x2₌_z

9z2_{– 82}_z_{+ 9 = 0}₈ _z_{= =}₌

Si z= 9

Si z=

Soluciones: x₁= 3, y₁= ; x₂= –3, y₂= ; x₃= , y₃= –3; x₄= , y₄= 3

31

Resuelve.

a) b)

a)

8 2 = 3 8 x=

Si x= 8 y= 4 – =

Solución: x= , y=

b)

2x+ y= 0 8 y= –2x (lo sustituimos en la 1.a_ecuación)

x2+ (–2x)2+ 2x= 0 8 5x2+ 2x= 0 8 x(5x+ 2) = 0 Si x= 0 8 y= 0

Si x= – 8 y=

Soluciones: x₁= 0, y₁= 0; x₂= – , y₂= 4 5 2

5 4

5 2

5

x= 0

x= –2/5

x2₊_y2_{+ 2}_x_{= 0} –x2– y2+ y= 0 °

¢ £

5 2 9 4

5 2 3 2 9

4

9 4

√x y= 4 – √—x

(4 + √—x)2= 4 +x 8 16 +x– 8√—x= 4 +x 8 8√—x= 12 8

° ¢ £

x2₊_y2_{+ 2}_x_{= 0}

x2+ y2– y= 0 °

¢ £

√—x= 4 – y y2= 4 + x

° ¢ £

–1 3 1

3 1

3 –1

3

x= 1/3 8 y= –3

x= –1/3 8 y= 3 1

9

x= 3 8 y= –1/3

x= –3 8 y= 1/3

9 1/9 82 ± 80

18

82 ±√6 724 – 324

18

1 82 82

x2₊

(

_{– —}

)

2_{= —}₈ _x4_{+ 1 – —}_x2_{= 0}₈ ₉_x4_{– 82}_x2_{+ 9 = 0}

x 9 9

1

y= – —

x ° § § ¢ § § £

(24)

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

32

_{Resuelve las siguientes inecuaciones:}

a) + < b) – > –

c) (x+ 1)2_{– (}_x_{– 1)}2_{+ 12}_Ó₀ _{d) 2(}_x_{– 11) – 3}_x_{(1 – 3}_x₎_Ì₍₃_x_{+ 2)}2 a) 2(5x– 16) + (x+ 8) <4(x+ 1)

10x– 32 + x+ 8 <4x+ 4 8 7x<28 8 x<4 Solución: (–@, 4)

b) 3(2 – x) – 6(2 +x) >3(2x+ 7) – 4(2x+ 5) 6 – 3x– 12 – 6x>6x+ 21 – 8x– 20 –7x>7 8 7x<7 8 x<1 Solución: (–@, 1)

c)x2_{+ 2}_x_{+ 1 –}_x2_{+ 2}_x_{– 1 + 12}_Ó₀ 4x+ 12 Ó0 8 4xÓ–12 8 xÓ–3 Solución: [–3, +@)

d) 2x– 22 – 3x+ 9x2Ì9x2+ 12x+ 4 –13xÌ26 8 13xÓ–26 8 xÓ–2 Solución: [–2, +@)

33

Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado: a)x2+ 2x– 3 >0 b)x2– 3x– 10 Ì0 c)x2_{– 4}_x_{– 5}_<₀ _{d) 2}_x2_{+ 9}_x_{– 5}_Ó₀ a)x2_{+ 2}_x_{– 3}_>₀

x2_{+ 2}_x_{– 3 = 0}₈ _x_{= =}₌

Solución: (–@, –3) «(1, +@)

b)x2– 3x– 10 Ì0

x2– 3x– 10 = 0 8 x= =

c)x2– 4x– 5 <0

x2– 4x– 5 = 0 8 x= = =

–1 5

No Sí No

5 –1 4 ± 6

2

4 ±√16 + 20

2

–2 5

No Sí No

5 –2 3 ±√49

2

–3 1

Sí No Sí

1 –3 –2 ± 4

2 –2 ±√4 + 12

2

2x+ 5 3 2x+ 7

4 2 + x

2 2 – x

4

x+ 1 3

x+ 8 12 5x– 16

6

(25)

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

d) 2x2+ 9x– 5 Ó0

2x2+ 9x– 5 = 0 8 x= = =

Solución: (–@, –5] « , +@

34

Resuelve. a) –x2+ 3x– 2 Ó0 b) –x2_{+ 2}_x₊₃_Ì₀ c)x2– 2x– 7 >5 – x

d)x2<

a) –x2_{+ 3}_x_{– 2}_Ó₀

x2– 3x+ 2 = 0 8 x= = =

Solución: [1, 2]

b) –x2+ 2x+ 3 Ì0

x2_{– 2}_x_{– 3 = 0}₈ _x_{= =}₌

Solución: (–@, –1] «[3, +@)

c)x2– 2x– 7 >5 – x 8 x2– x– 12 >0

x2– x– 12 = 0 8 x= = =

Solución: (–@, –3) «(4, +@)

d)x2_< ₈ ₆_x2_<_x_{+ 7}₈ ₆_x2_–_x_{– 7}_<₀

6x2_–_x_{– 7 = 0}₈ _x_{= =}₌

Solución: –1, 7

)

6

(

–1 7/6

No Sí No

7/6 –1 1 ± 13

12 1 ±√1 + 168

12

x+ 7 6

–3 4

Sí No Sí

4 –3 1 ± 7

2 1 ±√1 + 48

2

–1 3

Sí No Sí

3 –1 2 ± 4

2 2 ±√4 + 12

2

1 2

No Sí No

2 1 3 ± 1

2 3 ±√9 – 8

2

x+ 7 6

)

1 2

[

–5 1/2

Sí No Sí

1/2 –5 –9 ± 11

4 –9 ±√81 + 40

4

(26)

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

35

_{Resuelve las inecuaciones siguientes:}

a)3x(x+ 4) – x(x– 1) <15 b) 2x(x+ 3) – 2(3x+ 5) + x>0 c) – <

a) 3x2+ 12x– x2+x– 15 <0 8 2x2+ 13x– 15 <0

2x2+ 13x– 15 = 0 8 x= = =

Solución: – , 1

b) 2x2+ 6x– 6x– 10 +x>0 8 2x2+x– 10 >0

2x2₊_x_{– 10 = 0}₈ _x_{= =}₌

Solución: –@, – «(2, +@)

c) 3x2– 27 – x2+ 4 <5 – 10x 8 2x2+ 10x– 28 <0 8 x2+ 5x– 14 <0

x2+ 5x– 14 = 0 8 x= = =

36

Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

a) b)

a)

Solución: (14, +@)

b)

Solución: (–2, –1)

–2 –1

3x– 3 + 4x+ 4 >3x– 7 8 4x>–8 8 x>–2 2x– 1 + 8x<2x– 9 8 8x<–8 8 x<–1 °

¢ £

19/5 14

x+ 2 <2x– 12 8 14 <x 8 x>14

16 – 2x<3 + 3x– 6 8 19 <5x 8 x>19/5 °

¢ £

x– 1 2x+ 2 3x– 7 — + —>—

2 3 6

2x– 1 2x– 9 — + 2x<—

4 4

° § § ¢ § § £

x+ 2 x

—<— – 3

4 2

8 – x 1 + x

—<— – 1

3 2

° § § ¢ § § £

–7 2

Sí No

No

–7 2 –5 ± 9

2

–5 ±√25 + 56

2

)

5 2

(

–5/2 2

Sí No Sí

2 –5/2 –1 ± 9

4 –1 ±√1 + 80

4

)

15

2

(

–15/2 1

No Sí No

–15/2 1 –13 ± 17

4 –13 ±√169 + 120

4 1 – 2x

3

x2– 4 15

x2– 9 5

(27)

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

37

_{Algunas inecuaciones no tienen solución y otras tienen por solución}

cual-quier número. Busca entre las siguientes las que son de estos tipos. a)x2_{+ 4}_>₃ _b)_x2₊_x_{+ 2}_<₀

c)x2+ 7 <5x d)x2+ 4x+ 4 >0 a)x2+ 4 >3 8 x2>–1 Solución: (–@, +@) b)x2₊_x_{+ 2}_<₀ _{No tiene solución.} c)x2_{+ 7}_<₅_x ₈ _x2_{– 5}_x_{+ 7}_<₀ _{No tiene solución.} d)x2+ 4x+ 4 >0 8 (x+ 2)2>0 Solución: (–@, +@)

38

_{Comprueba que estos dos sistemas de inecuaciones no tienen solución.}

a) b)

a)

No tiene solución.

b)

No tiene solución.

PÁGINA 77

P r o b l e m a s d e e c u a c i o n e s y s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s

39

Una empresa de alquiler de coches cobra por día y por kilómetros reco-rridos. Un cliente pagó 160 € por 3 días y 400 km, y otro pagó 175 € por 5 días y 300 km. Averigua cuánto cobran por día y por kilómetro.

x 5 días y 5 kilómetros recorridos

1 100y= 275 8 y= 0,25 3x+ 0,25 · 400 = 160 8 3x= 60 8 x= 20

La empresa cobra 20 €por día y 0,25 €por cada kilómetro recorrido. 15x+ 2 000y= 800

–15x– 900y= –525 °

¢ £ 3x+ 400y= 160 5x+ 300y= 175 °

¢ £

–8 4

3x+ 5 <2x– 3 8 x<–8

x+ 3 <7x– 21 8 24 <6x 8 x>4 °

¢ £

1

8x+ 7 <16 – x 8 9x<9 8 x<1 –3x+ 5 <2x 8 5 <5x 8 x>1 °

¢ £

3x+ 5 <2x– 3

x+ 3

—<x– 3 7

° § ¢ § £ 8x+ 7 <16 – x

–3x+ 5 <2x

° ¢ £