Conceptos básicos I

Conceptos básicos:

Relación y Funciones

Cálculo Diferencial e Integral

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

Funciones

•

Definición:

•

Sean

A

y

B

conjuntos no vacíos. Una función de

A

en

B

es una

relación que asigna a cada elemento

x

del conjunto

A

uno y solo

un elemento

y

del conjunto

B

.

Se expresa como:

f:

A

B

x

f(x) =

y

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

Funciones

oFormalidad matemática: Se dirá:

• f : A B

• b € B es la imagen de a € A bajo la función f y se denota por b= f(a)

• Dom f =A

• Si (x, y) € f ^ (x, z) € f y = z (Unívoca)

Toda función es relación, pero no toda relación es función.

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

Funciones

•

Dominio

:

es el conjunto de todos los valores para los cuales está

definida la función y se denota

Dom

f

.

•

Recorrido:

es el conjunto de todos los valores que toma la variable

independiente

(Y),

y se denota

Rec

f

.

•

Función Creciente:

es aquella que al aumentar la variable

independiente, también aumenta la variable dependiente.

•

Función Decreciente:

es aquella que al aumentar la variable

independiente, la variable dependiente disminuye.

•

Función Constante:

es aquella que para todos los valores de la

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

Funciones

Dominio Rango

Entrada x Salida y

Función f

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

Funciones

•

Función Continua:

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

Funciones

•

Función Discontinua:

Es

aquella

que

no

es

continua, es decir, presenta

separaciones y/o saltos en su

gráfica.

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

Funciones

•

Función Periódica:

Es aquella en la que su gráfica

se

repite

cada

cierto

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

Funciones

•

Conceptos

Fundamentales:

• Si tenemos una relación f entre

dos conjuntos A y B, f se dirá

función si a cada valor del conjunto de partida A le corresponde uno y sólo un valor en el conjunto de llegada B.

f(x)

A f B

a

x

b = f(a)

f(x)

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

Funciones

•

Conceptos

Fundamentales:

• La variable x corresponde a la

variable independiente y la variable cuyo valor viene determinado por el que toma x, se llama variable independiente. Se designa generalmente por y o f(x)

[se lee “f de x”]. Decir que “y” es función de “x” equivale a decir que “y” depende de “x”.

A f B

a

x

b = f(a)

U n ive rs id ad P ol it éc n ic a d e B a ja C al if or n ia

Funciones

•

Rango o Recorrido de

f:

Es aquel subconjunto

del

codominio en el cual todos

sus elementos son imagen de

alguna

preimagen

del

dominio

o

conjunto

de

partida. Se denota por

Rec

f

.

1 2 3 4 5 6 7 a b c d e 1 2 3 4 5 6 7

A f B

Se puede ver que para todo elemento de A, existe sólo una imagen en B.

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

Funciones

• Luego para la función f denotada:

• Dominio de f = Dom f = A = {a, b, c, d, e}

• Codominio = B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} • Rango o Recorrido de f = Rec f = {1, 2, 3, 4, 7}

a b c d e

1 2 3 4 5 6 7

A f B

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

Clasificación de funciones

a) Función Inyectiva:

Una inyección de

A

en

B

es toda

f

de

A

en

B,

de modo que a

elementos distintos del dominio

A

le

corresponden

imágenes

distintas en el codominio

B.

Cada elemento de

A

tiene una

única imagen en

B

(y sólo una),

de tal forma que se verifica que

#

A

≤ #

B.

Como se ve, 4 € B y no es imagen de ningún elemento de A a

b c d

1 2 3 4 5

A f B

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

Clasificación de funciones

b)

Función

Epiyectiva

o

Sobreyectiva:

Una epiyección o sobreyección de

A

en

B,

de modo que todo

elemento del codominio

B

es

imagen de, al meno, un elemento

del dominio

A.

Cada elemento de

B

es imagen de por lo menos un

elemento de

A. Se verifica que #

A

≥ #

B. Es decir, que en este caso el

codominio es igual al recorrido.

a b c d

1 2

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

Clasificación de funciones

c) Función Biyectiva:

una función

f

es biyectiva de

A

en

B

si y sólo si la función

f

es tanto

Inyectiva como Epiyectiva a la vez,

por lo que se verifica que #A

= #B

y que a cada elemento de

A

le

corresponde una única imagen en

B

y que cada imagen de

B

le

corresponde una preimagen en

A.

a b c

1 2 3

A f B

U n ive rs id ad P ol it éc n ic a d e B a ja C al if or n ia

Formas de representar una función

X Y -3 0 -2 1 -1 2 0 3 1 4 2 5 3 6 X Y -3 0 -2 1 -1 2 0 3 1 4 -2 5 -3 6 S I es u n a F u n ci ó n N O e s u n a F u n ci ó n

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

Formas de representar una función

2.

Podemos

representar

una

función por medio de un diagrama

de flechas, o diagrama sagital. Si

sale una sola flecha del conjunto

de valores de

,

es una función.

Y

1

2

3

4

X

-2

-1

0

1

2

3

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

Formas de representar una función

2.

Podemos

representar

una

función por medio de un diagrama

de flechas, o diagrama sagital. Si

sale

más

de

una

flecha

del

conjunto de valores de

NO ES

una función.

X

-2

-1

0

1

2

3

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

Formas de representar una función

3. Podemos representar una función por medio de un conjunto de

pares ordenados. Si todos los valores de la componente en

del

conjunto

(, )

es diferente, si es una función.

, = {

−

, 0 ;

−

, 1 ;

−

, 2 ;

, 3 ;

, 4 ;

−

, 5 ; (

, 0)}

, = {

−

, 0 ;

−

, 1 ;

−

, 2 ;

, 3 ;

, 4 ;

, 5 ; (

, 0)}

No es una función Si es una función

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

Formas de representar una función

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

Prueba de la Línea Vertical

.

No es una función Si es una función

Una gráfica representa una función si al trazar a lo largo de toda la

gráfica una línea vertical y toca solamente un solo punto entre esta y la

gráfica.

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

Ejemplos de funciones y no función

Podemos representar una función por medio de una ecuación, para poder determinar si una ecuación es una función no es tan sencillo, se tienen que tener conocimiento de la misma.

=

+ 4 + 4

₊

₌₂₅

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

Ejercicio:

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

Ejercicio:

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

Funciones

•

Funciones lineales

•

Funciones polinomiales

•

Funciones potencia

•

Funciones racionales

•

Funciones algebraicas

•

Funciones trigonométricas

•

Funciones exponenciales

•

Funciones logarítmicas

•

Función Constante.

•

Función Cuadrática.

•

Función Cúbica.

•

Función Valor Absoluto.

•

Función Raíz Cuadrada.

•

Función Máximo Entero.

•

Función racional.

•

Función Compuesta y operación

U n ive rs id ad P ol it éc n ic a d e B a ja C al if or n ia

Dominio y Rango de una Función en una tabla de valores

X

Y

-3

0

-2

1

-1

2

0

3

1

4

2

5

3

6

X

Y

0

-3

1

-2

2

-1

3

0

4

1

5

2

6

3

X

Y

⋮

⋮

-2

1

-1

2

0

3

1

4

2

5

⋮

⋮

Dominio

Rango: 0,6

Dominio: 0,6 Rango: −3,3

Dominio: −∞, ∞ Rango: −∞, ∞

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

Dominio y Rango de una Función en una gráfica

Dominio: −5,5 Rango: −4,6

Dominio Rango

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

Dominio y Rango de una Función en una gráfica

Dominio:[0, ∞)

Dominio Rango

Ran$%: [0, ∞)

=

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

Dominio y Rango de una Función en una gráfica

Dominio:[−2,2]

Dominio Rango

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

Dominio y Rango de una Función en una gráfica

Dom'('%: −∞, 1 u(1, ∞)

Dominio

Rango Rango: −∞, 0 *(0, ∞)

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

1. Función Constante.

La función constante es considerada la función más sencilla, y esto es porque para cualquier valor de “” la variable “” no cambia, es decir, permanece constante. Tiene la forma:

Por ejemplo,

= +

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

1. Función Constante.

Características: El Dominio siempre es −∞, ∞ y su Rango el valor de la constante “C”, su gráfica siempre es una línea horizontal en “,”, por lo que su pendiente es cero.

=5

- = 0

.%-'('%: (−∞, ∞)

/0($%: 5

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

2. Función Lineal.

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

2. Función Lineal.

Algunas de las formas más comunes que podemos encontrar en una función lineal son:

1.

2.

-3.

4.

5.

donde “-” es la pendiente (positiva o negativa) y “9” es el valor donde intersecta la grafica con el eje “”.

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

2. Función Lineal.

Ejemplo: =

Esta es la ecuación lineal en su forma fundamental. - = 1 y 9 = 0, por lo que la gráfica es una línea recta que esta a 45° y que pasa por el origen.

.%-'('%: (−∞, ∞) /0($%: (−∞, ∞)

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

2. Función Lineal.

Ejemplo: = 5

Esta es la ecuación lineal en su forma = -, - =5 y 9 = 0, por lo que la gráfica es una línea recta que esta por arriba de los 45° y que pasa por el origen.

.%-'('%: (−∞, ∞) /0($%: (−∞, ∞) = 5

=

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

2. Función Lineal.

Ejemplo: = <

=

Esta es la ecuación lineal en su forma = -, - = <

= y 9 = 0, por

lo que la gráfica es una línea recta que esta por debajo de los 45° y que pasa por el origen.

.%-'('%: (−∞, ∞) /0($%: (−∞, ∞) = 1₃

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

2. Función Lineal.

Ejemplo: = −

Esta es la ecuación lineal en su forma negativa. - = −1 y 9 = 0, por lo que la gráfica es una línea recta que esta a 45° pero ahora en forma descendente y que pasa por el origen.

.%-'('%(−∞, ∞) /0($%(−∞, ∞) = −

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

2. Función Lineal.

La función lineal cuya forma es

= - + 9

, nos

muestra que la gráfica se traslada sobre el eje “

”, “

9

”

unidades hacía arriba si esta sumando y “

9

” unidades hacía

abajo si esta restando.

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

Graficación de Funciones por “Simple Inspección”.

Para realizar la graficación por “simple inspección”, se requiere conocer algunos movimientos estratégicos de las funciones, siempre se parte de la función fundamental, y los movimientos más comunes sobre la función son los siguientes:

1. Traslaciones horizontales. 2. Traslaciones verticales.

3. Compresión y Alargamiento Verticales. 4. Reflexión.

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

Graficación de Funciones por “Simple Inspección”.

1. Traslación horizontal de gráficas.

Una traslación horizontal de una gráfica se presenta sobre el eje

de las “

” tal como se muestra a continuación:

Sea

+ > 0

.

i.

La gráfica de

= − +

es la de

= ()

desplazada

+

unidades hacía la derecha.

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

Graficación de Funciones por “Simple Inspección”.

2. Traslación vertical de gráficas.

Una traslación vertical de una gráfica se presenta sobre el eje de las “” tal como se muestra a continuación:

Sea + > 0.

i. La gráfica de = + + es la de = () desplazada + unidades hacía arriba.

ii. La gráfica de = x − c es la de = () desplazada + unidades hacía abajo.

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

Graficación de Funciones por “Simple Inspección”.

3. Compresión y Alargamiento Verticales de Gráficas.

Para cualquier constante

+ > 0

, la forma básica de la gráfica de

= + · $()

es igual que la de

= $()

, pero con un cambio en

la escala vertical. Los dominios de

+ · $()

y

$()

son iguales,

y las gráficas tienen las mismas abscisas al origen.

Para

+ > 1

.

La gráfica de

= + · $

es un

alargamiento vertical.

Para

0 < + < 1

.

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

Graficación de Funciones por “Simple Inspección”.

4. Reflexión de Gráficas.

Para cualquier constante

+ > 0

, la forma básica de la gráfica de

= + · $()

es igual que la de

= $()

, pero con un cambio en

la escala vertical. Los dominios de

+ · $()

y

$()

son iguales,

y las gráficas tienen las mismas abscisas al origen.

La gráfica de

= −$

es una

reflexión respecto del eje x

de

la de

= .

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

Graficación de la Función Lineal por simple inspección.

La función lineal cuya forma es = - + 9, nos muestra que la gráfica se traslada sobre el eje “”, “9” unidades hacía arriba si esta sumando y “9” unidades hacía abajo si esta restando, como en el siguiente ejemplo:

= + 3

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

2. Graficación de la Función Lineal por simple inspección.

= + 3 =

.%-'(%: (−∞, ∞) /0($%: (−∞, ∞)

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

2. Graficación de la Función Lineal por simple inspección.

= − 2

.%-'('%: (−∞, ∞) /0($%: (−∞, ∞)

=

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

2. Graficación de la Función Lineal por simple inspección.

= 3 − 2

.%-'('%: (−∞, ∞) /0($%: (−∞, ∞)

= = 3 − 2

Como - = 3 la línea se inclina un poco más hacía el eje de las “”.

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

2. Graficación de la Función Lineal por simple inspección.

= 1_{3 − 2}

.%-'('%: (−∞, ∞) /0($%: (−∞, ∞)

=

Como - = 1/3

la línea se inclina un poco más hacía el eje de las “”.

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

2. Graficación de la Función Lineal por simple inspección.

La función lineal cuya forma es = ( ± 9) ± +, nos muestra que la gráfica se traslada “9” unidades sobre el eje “” y “+” unidades sobre el eje “”, como en el siguiente ejemplo:

= − 2 + 1

En este ejemplo tenemos que observar primero que se trata de una función lineal, por lo que tenemos que partir de la función fundamental = , luego que existe una traslación de 2 unidades a la derecha y 1 unidad hacía arriba.

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

2. Graficación de la Función Lineal por simple inspección.

= − 2 + 1

.%-'('%: (−∞, ∞) /0($%: (−∞, ∞)

=

El punto pivote se recorre primero 2 unidades a la derecha y 1 hacía arriba a

45°.

= − 2 + 1

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

2. Graficación de la Función Lineal por simple inspección.

La función lineal cuya forma es 0 + 9 = +, nos muestra que la función no esta despejada para la variable “”, por lo que se despeja y se pone en la forma canónica. Como por ejemplo:

−4 + 2 = −8

Despejando la variable “” tenemos,

2 = 4 − 8 = 2 − 4

Para graficar tenemos que observar que como - > 0, su pendiente es positiva y se aproxima al eje “” en forma ascendente. Y como tiene la forma − +, tiene una traslación sobre el eje de las “” negativas 4 unidades.

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

2. Graficación de la Función Lineal por simple inspección.

En resumen:

= es la función fundamental, con pendiente - = 1, y 9 =

0, de esta se debe de partir para graficar cualquier otra.

= - nos muestra la inclinación de la línea, esta en forma ascendente si - > 0 y descendente si - < 0.

Si 0 < - < 1 la gráfica se proyecta hacía el eje de las “”.

Si −1 < - < 0, la gráfica se proyecta hacía el eje de las “” negativa.

Si = - ± 9, la gráfica presenta una traslación sobre el eje de las “”, ±9 unidades.

Si = ± 9 ± + , la función tiene una traslación sobre el eje “” ±9 *('F0FGH, y sobre el eje “” ±+ *('F0FGH.

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

2. Función Lineal.

Ejercicio 1.1 En los ejercicios 1 a 10, determine el dominio, rango y gráfica de cada una de las funciones:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

2. Función Lineal.

Ejercicio 1.2 En los ejercicios 1 a 5, Conteste lo que se pide:

1. ¿Qué valor debe tomar “-”, si se tiene una función lineal a?: a) 45°, b) 65°, c) 30° con respecto del eje “”.

2. ¿Hacía donde y cuanto se traslada la gráfica de = + 5?.

3. De la siguiente función ¿hacía donde se inclina la gráfica de la función: = <

L + 2?.

4. ¿En que función se convierte una ecuación lineal cuya pendiente es

- = 0?.

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

3. Función Cuadrática.

Una función definida por una ecuación de la forma:

= = 0 _{+ 9 + +, donde 0 ≠ 0}

Es una función cuadrática, y su gráfica es una parábola.

La parábola más sencilla corresponde a elevar al cuadrado una función, definida por = ; esto es, la ecuación cuadrática donde 0 = 1, 9 = 0 y + = 0.

=

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

3. Función Cuadrática.

La función cuadrática, en su forma fundamental es = , y nos representa gráficamente una parábola. Sus principales características son que la parábola puede abrir hacía arriba o hacía abajo. El dominio de esta función siempre es (−∞, ∞) en todos los casos y el rango va desde el punto pivote hasta +∞ o −∞. Además de que la parábola puede abrirse o cerrarse dependiendo del valor de “0”.

=

.%-'('%: (−∞, ∞) R0($%: [0, ∞)

Punto pivote o Vértice

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

3. Función Cuadrática.

Algunas de las formas más comunes que podemos encontrar en una función cuadrática son:

1.

2.

3.

4.

5.

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

3. Función Cuadrática.

La función cuadrática, en su forma = 0, nos representa gráficamente una parábola que de acuerdo a su valor de “0” se cumple lo siguiente:

i. La gráfica abre hacía arriba cuando 0 > 0, y abre hacía abajo

cuando 0 < 0.

ii. Cuanto mayor es la magnitud de “0”, la gráfica tiene mayor pendiente y es más cerrada que la fundamental = .

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

3. Función Cuadrática.

La función cuadrática, en su forma = 0, para: a) 0 = 1 y b) 0 = −1

=

.%-'('%: (−∞, ∞) R0($%: [0, ∞)

O'$. 10) P0Q0 0 = 1 O'$. 19) P0Q0 0 = −1

.%-'('%: (−∞, ∞) R0($%: (−∞, 0]

(, )

(, )

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

3. Función Cuadrática.

La función cuadrática, en su forma = 0, para 0 > 1

R = S

.%-'('%: (−∞, ∞) R0($%: [0, ∞) = 2

= 3

R = TS

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

3. Función Cuadrática.

La función cuadrática, en su forma = 0, para 0 < 0 < 1

R = S

.%-'('%: (−∞, ∞) R0($%: [0, ∞) = 1₂

= 1₃

R = _{T S}

(, )

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

3. Función Cuadrática.

La función cuadrática, en su forma = 0, para 0 < 1

R = −S

.%-'('%: (−∞, ∞) R0($%: (−∞, 0]

= −2

= −3

R = −TS

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

3. Función Cuadrática.

La función cuadrática, en su forma = 0, para −1 < 0 <0

R = −S

.%-'('%: (−∞, ∞) R0($%: (−∞, 0]

= −1₂

= −1₃

R = −/TS

(, )

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

3. Función Cuadrática.

La función cuadrática, en su forma = ( ± 9)

= ( − 1)

.%-'('%: (−∞, ∞) R0($%: [0, ∞)

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

3. Función Cuadrática.

La función cuadrática, en su forma = 0 + 9 + +,

Ejemplo: ℎ = − 2 + 3,

Solución: Para solucionar esta función es necesario transformar la función a su forma canónica que es: = ( ± 9)±+ .

Primero, si el trinomio no es al cuadrado perfecto, hay que forzarlo:

0 + 9 + + = 0 + _{0 + +}9

Ahora se suma y se resta el término V⁄_W dentro de los paréntesis:

0 _{+ 9 + + = 0 +} 9

0 + 209

− ₂₀9 + +

= 0 ₊ V

W + V W

− 0 _WV + +

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

3. Función Cuadrática.

La función cuadrática, en su forma = 0 + 9 + +,

Ejemplo: ℎ = − 2 + 3,

Solución: Primero se completa el cuadrado de esta ecuación cuadrática sumando y restando el termino

9 20

= _{2 · 1}−2 = −1 _{= 1,}

Para obtener:

ℎ = _{− 2 + 3 = − 2 + 1 + 3 − 1 = − 1 + 2}

ℎ = ( − 1)₊₂

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

3. Función Cuadrática.

La función cuadrática, en su forma = 0 + 9 + +,

Ejemplo: ℎ = − 2 + 3, que en su forma canónica es:

ℎ = ( − 1)₊₂

.%-'('%: (−∞, ∞) R0($%: [2, ∞)

(, )

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

3. Función Cuadrática.

La función cuadrática, en su forma = 0 + 9 + +,

Ejemplo: f = 2 + 12 + 17,

Sol.

Factorizar el 2 de los primero dos términos y sacar el tercero.

= 2 _{+ 6 + 17}

Calcular el tercer término del paréntesis mediante _WV y sumar y restar a la ecuación. 0 = 2, 9 = 12, + = 17.

9 20

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

3. Función Cuadrática.

La función cuadrática, en su forma = 0 + 9 + +,

Ejemplo: f = 2 + 12 + 17,

Sol.

= 2 _{+ 6 + 9 − 2(9) + 17}

Simplificar para llegar a la forma canónica

= 2 + 3 _{− 18 + 17}

= 2 + 3 _{− 1.}

Para graficar, hay que realizar una traslación de 3 unidades hacía la izquierda, seguida por 1 lugar hacía abajo y sufre una

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

3. Función Cuadrática.

La función cuadrática, en su forma = 0 + 9 + +,

Ejemplo: f = 2 + 12 + 17,

Sol.

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

3. Función Cuadrática.

La función cuadrática, en su forma = 0 + 9 + +,

Ejemplo: f = 2 + 12 + 17,

Sol.

k S = S + ₋ =

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

3. Función Cuadrática.

La función cuadrática, en su forma = 0 + 9 + +,

Ejemplo: f = 2 + 12 + 17,

Sol.

k S = S + ₋

=

k S = S + −

.%-'('%: (−∞, ∞) R0($%: [−1, ∞)

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

3. Función Cuadrática.

La función cuadrática, en su forma = 0 + 9 + +,

Si la función se torna un poco más compleja, como en el ejemplo siguiente, se puede hacer uso de las siguientes ecuaciones para facilitar calcular la forma canónica y encontrar su vértice.

Ejemplo: = −<₌ + 2 + 3,

Identifica los valores de 0, 9 y + y sustitúyelos en las siguientes ecuaciones:

= 0 + ₂₀9 + 40+ − 9₄₀

Vértice en: l − V

W,

LWmnVo LW .

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

3. Función Cuadrática.

La función cuadrática, en su forma = 0 + 9 + +,

Ejemplo: = −<

= + 2 + 3,

Si 0 = −<

=, 9 = 2 y + = 3 y sustituyendo en las siguientes ecuaciones

tenemos:

= 0 + ₂₀9 + 40+ − 9₄₀

= − 1_{3 +} 2

2 · − 13

+ 4 · − 13 · 3 − (2) 4 · − 13

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

3. Función Cuadrática.

La función cuadrática, en su forma = 0 + 9 + +,

Ejemplo: = −<

= + 2 + 3,

Si 0 = −<

=, 9 = 2 y + = 3 y sustituyendo en las siguientes ecuaciones

tenemos:

Vértice en: l − V

W,

LWmnVo LW .

l − 2

2 · − 13 ,

4 · − 13 · 3 − 2

4 · − 13 l 3,6

La parábola abre hacía abajo y se expande con factor de −<

=.

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

3. Función Cuadrática.

Ejemplo: = −<

= + 2 + 3,

= −<₌ − 3 _{+ 6, forma canónica l (3,6)}

(, p)

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

3. Función Cuadrática.

Ejercicio 2.1 Grafique cada una de las siguientes funciones y determine el dominio y rango de la misma.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

4. Función Cúbica.

Una función definida por una ecuación de la forma:

= = 0= _{+ 9 + + + F, donde 0 ≠ 0}

Es una función cúbica, y su gráfica se muestra en la sig. figura.

La función cúbica más sencilla corresponde a elevar al cubo una función, definida por = =; esto es, la ecuación cúbica donde

0 = 1, 9 = 0, + = 0 y F = 0.

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

= =

4. Función Cúbica.

La función cúbica, en su forma fundamental es = =. Sus principales características son que el dominio y rango de esta función siempre es (−∞, ∞) en todos los casos. Además de que la gráfica puede abrirse o cerrarse dependiendo del valor de “0”.

.%-'('%: (−∞, ∞) R0($%: (−∞, ∞)

Punto pivote

(, )

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

4. Función Cúbica.

La función cúbica, en su forma = 0=, para: a) 0 = 1 y b) 0 = −1

= =

.%-'('%: (−∞, ∞) R0($%: −∞, ∞

O'$. 10) P0Q0 0 = 1 O'$. 19) P0Q0 0 = −1

.%-'('%: (−∞, ∞) R0($%: −∞, ∞

(, ) _{(, )}

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

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a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

4. Función Cúbica.

La función cúbica, en su forma = 0=, para 0 > 1

R = S

.%-'('%: (−∞, ∞) R0($%: (−∞, ∞) = 2=

= 3= R = TS

(, )

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

4. Función Cúbica.

La función cúbica, en su forma = 0=, para 0 < -1

R = −S

.%-'('%: (−∞, ∞) R0($%: (−∞, ∞) = −2=

= −3= R = −TS

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

4. Función Cúbica.

La función cúbica, en su forma = 0=, para 0 < 0 < 1

R = S

.%-'('%: (−∞, ∞) R0($%: (−∞, ∞) = 1₂ =

= 1₃ =

R = _{T S}

(, )

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

4. Función Cúbica.

La función cúbica, en su forma = 0=, para −1 < 0 < 0

R = −S

.%-'('%: (−∞, ∞) R0($%: (−∞, ∞) = −1₂ =

= −1₃ =

R = −_{T S}

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

4. Función Cúbica.

La función cúbica, en su forma canónica es = 0 ± 9 = ± +. Para trazar estas gráficas es necesario utilizar la técnica de “Graficación por Simple Inspección”, es decir, las traslaciones horizontales y verticales, la reflexión y la compresión o alargamiento de la función.

Ejemplo: Trace la gráfica de la siguiente función:

= 3 − 2 = +1

Solución: Es una función cúbica que se comprime un factor de 3, seguida por una traslación hacía la derecha de 2 unidades y finalmente 1 unidades hacía arriba.

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

4. Función Cúbica.

Ejemplo: Trace la gráfica de la siguiente función y determine el dominio y rango:

= 3 − 2 = +1

R = S R = S

= 3 − 2 = ₊₁

= 3 − 2 =

U

n

ive

rs

id

ad

P

ol

it

éc

n

ic

a

d

e

B

a

ja C

al

if

or

n

ia

4. Función Cúbica.

La función cúbica en su forma:

= 0= + 9 + + + F,

No es tan sencillo de graficar, aquí se requiere determinar los ceros del polinomio o mejor conocido como las raíces del polinomio, por lo que se deja abierto el tema al alumno para su posterior aprendizaje.