Sistemas de ecuaciones lineales Problemas resueltos

Ap

un

tes

Ap

un

tes

Problemas

Resueltos

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Clasificar y resolver el Sistema de Ecuaciones Lineales : x%3y'5

2x_%y_'5 ´

´ ´

´

Clasificación.-Matriz de Coeficientes 1 3

2 1

Matriz ampliada 1 3 5

2 1 5

Como /00

00 /0000

1 3

2 1 ' &5 … 0 6 Rang(A) ' 2

Ampliada :

(A/b) es una matriz 2x3 y *A* es un menor de orden 2 no nulo 6 _{Rang(A/b) = 2}

número de incógnitas: 2

Rang(A) = Rang(A/b) = nº incógnitas 6

Sistema Compatible Determinado (Una única solución)

´ ´ ´

´ _{Resolución : Mediante la Regla de Cramer}

x _'

/00

00 /0000

5

5 3

1 &5 '

&10 &5 ' 2

y _'

/00

00 /0000

1

2 5

5

&5 ' &5 &5 ' 1

SOLUCIÓN ÚNICA:

2.- Clasificar y resolver el Sistema de Ecuaciones Lineales :

x

1&x2'5

2x

1&2x2'0

´

Clasificación.-Matriz de Coeficientes : A _' 1 &1

2 &2

Coeficientes : /00

00 /0000

1 _&1

2 &2 ' 0 6 *1* … 0 6 Rang(A) ' 1

Ampliada 1 &1 5 6 _{Rang(A/b) = 2}

2 &2 0 6 *1* … 0

/00

00 /0000

1 &1

2 _&2 ' 0

/00

00 /0000

1 5

2 0 ' &10 … 0

Rang(A) … Rang(A/b) 6

Sistema Incompatible

(El Sistema no tiene solución) ´

´ ´

´ _{Resolución.-}

El Sistema no tiene solución, por lo tanto no se puede resolver.

3.- Clasificar y resolver el Sistema de Ecuaciones Lineales :

x_%3y_%z_'2

2x_%y_&z_'8

x_&y_%3z'&8

´

Clasificación.-Matriz de Coeficientes A '

1 3 1

2 1 &1

1 &1 3

Matriz ampliada (A/b) '

1 3 1 2

2 1 &1 8

Coeficientes: /00000

000 0

/00 000 000 0

1 3 1

2 1 _&1

1 &1 3

… ₀ 6 Rang(A) ' 3

Ampliada : Como (A/b) es una matriz 3x4 y *A* es un MENOR no nulo de

orden 3

6 _{Rang(A/b) = 3}

número de incógnitas = 3

Rang(A) = Rang(A/b) = nº incógnitas 6

Sistema Compatible Determinado

(Una única solución)

´ _{Resolución : Mediante la Regla de Cramer}

x _'

/00 000 000 0

/00 000 000 0

2

8 &8

3 1

1 _&1 &1 3 &22 '

&44 &22 ' 2

y _'

/00 000 000 0

/00 000 000 0

1

2

1 2

8 &8

1 &1

3 &22 '

&22 &22 ' 1

z _'

/00 000 000 0

/00 000 000 0

1 3

2 1

1 _&1 2

8 &8 &22 '

66

&22 ' &3

SOLUCION :

/00 000 0

x _' 2

y _' 1

z _{' &}3

Apuntes

X.B.

Sistemas Ecuaciones Lineales

4.- Clasificar y resolver el Sistema de Ecuaciones Lineales :

2x _% y _& z _' 0

x _& 2y _% z _' 4

3x _% 2y _% 2z _' 3

2x _% 4y _% z _{' &}1

[ Sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas ]

´

Clasificación.-Matriz de Coeficientes A _'

2 1 _&1

1 _&2 1

3 2 2

2 4 1

Aplicando el método de Gauss para hallar el Rango de la matriz

Y _{Rang (A) = 3}

/00 000 000 000 000 /00 000 000 000 000

2 1 _&1

1 _&2 1

3 2 2

2 4 1

2 1 _&1

0 _&5 3

0 1 7

0 6 4

/00 000 000 000 000 /00 000 000 000 000

2 1 _&1

0 _&5 3

0 0 38

0 0 &38

/00 000 000 000 000

2 1 _&1

0 _&5 3

0 0 38

0 0 0 7

7

7

Matriz ampliada (A/b) _'

2 1 _&1 0

1 _&2 1 4

3 2 2 3

2 4 1 _&1

De nuevo aplicando el método de Gauss para hallar el Rango de la matriz

Y /00 000 000 000 000 /00 000 000 000 000

2 1 _&1 0

1 _&2 1 4

3 2 2 3

2 4 1 _&1

2 1 _&1 0

0 _&5 3 8

0 1 7 6

0 6 4 _&2

/00 000 000 000 000 /00 000 000 000 000

2 1 _&1 0

0 _&5 3 8

0 0 _&38 _&38

0 0 _&38 _&38

/00 000 000 000 000

2 1 _&1 0

0 5 _&3 _&8

0 0 _&38 _&38

0 0 0 0 7

7

7

Rang (A/b) = 3

número de incógnitas = 3

Rang(A) = Rang(A/b) = nº incógnitas 6

Sistema Compatible Determinado

Apuntes

X.B.

Sistemas Ecuaciones Lineales

´ _{Resolución :}

Ya que se trata de un Sistema Compatible Determinado, para hallar su

solución vamos a aplicar los tres métodos que conocemos para obtenerla, con el fin de enriquecer al máximo nuestra operativa.

6 _{Parte común. Puesto que se trata de un S.C.D. con Rangos de la matriz de}

coeficientes y matriz ampliada igual a tres, seleccionaremos tres (ecuaciones

linealmente independientes) de las cuatro ecuaciones de las que consta el Sistema. Observando las tablas empleadas en el proceso de GAUSS, elegiremos las tres primeras ecuaciones (de las cuales, hemos obtenido el Rango).

2x _% y _& z _' 0

x _& 2y _% z _' 4

3x _% 2y _% 2z _' 3

´_{Aplicando la Regla de Cramer :}

x _'

/00 000 000 0

/00 000 000 0

0 1 _&1

4 _&2 1

3 2 2

/00 000 000 0

/00 000 000 0

2 1 _&1

1 &2 1

3 2 2

' &19 &19 ' 1

y _'

/00 000 000 0

/00 000 000 0

2 0 _&1

1 4 1

3 3 2

/00 000 000 0

/00 000 000 0

2 1 _&1

1 &2 1

3 2 2

' 19

&19 ' &1

z _'

/00 000 000 0

/00 000 000 0

2 1 0

1 _&2 4

3 2 3

/00 000 000 0

/00 000 000 0

2 1 _&1

1 &2 1

3 2 2

Apuntes

X.B.

Sistemas Ecuaciones Lineales

SOLUCIÓN ÚNICA:

x _' 1

y _{' &}1

z _' 1

SOLUCIÓN ÚNICA:

x ' 1

y _{' &}1

z _' 1

´ _{Aplicando el método del Pivote, utilizando la última de las tablas obtenidas} en el cálculo del rango de la matriz ampliada, y escribiendo el correspondiente Sistema de Ecuaciones Lineales, del cual tenemos los coeficientes:

x y z _!

2 1 _&1 _!

0 5 _&3 _!

0 0 _&38 _!

/00 000 000 000 00

0 &8 &38

El sistema equivalente obtenido es

2x _% y _& z _' 0

5y & 3z ' &8

&38z ' &38

)))))>

2x&1 &1 '0

x ' 1

))))))>

5y& 3' &8

y ' &1

6 _{z ' 1}

´_{Utilizando el método de la matriz inversa, es factible en este caso:}

El Sistema de Ecuaciones Lineales matricialmente, se expresa así

2x _% y _& z _' 0

x _& 2y _% z _' 4

Apuntes

X.B.

Sistemas Ecuaciones Lineales

SOLUCIÓN ÚNICA:

x _' 1

y _{' &}1

z _' 1

x_%2y%3z'13

2x&y%z'6

3x_%y_%4z_'19

2 1 _&1

1 _&2 1

3 2 2

x y z

' 0

4

3

Y

x y z

'

2 1 _&1

1 _&2 1

3 2 2

&1

· 0

4

3

x y z

'

&6 &19

&4 &19

&1 &19 1

&19 7 &19

&3 &19 8

&19 &1 &19

&5 &19

· 0

4

3 '

1 &1

1

Bien. A partir de este problema espero que tus elementos de cálculo sean más potentes, eso sí, los alumnos teledirigidos se encontrarán incómodos ante esta avalancha ‘operativa’. ¿ Qué método es mejor ?. Sin duda, la Regla de Cramer da una potencia operativa muy general. ( La necesitamos en muchos problemas de Cálculo, Estadística, Geometría, Algebra, etc.).

En Cálculo Numérico, el método de Gauss es muy eficaz.

5.- Clasificar y resolver :

´

Clasificación.-Matriz de Coeficientes A _'

1 2 3

2 _&1 1

3 1 4

Ampliada (A/b) _'

1 2 3 13

2 _&1 1 6

Apuntes

X.B.

Sistemas Ecuaciones Lineales

Coeficientes : /00000

000 0

/00 000 000 0

1 2 3

2 _&1 1

3 1 4

' 0 6 /00

00 /0000

1 2

2 &1 … 0 6 Rang(A) ' 2

Ampliada: 6 _{Rang(A/b) = 2}

1 2 3 13

2 &1 1 6

3 1 4 19 6 /00

00 /0000 1 2

2 &1 … 0

/00 000 000 0

/00 000 000 0 1 2 3

2 &1 1

3 1 4

' 0

/00 000 000 0

/00 000 000 0 1 2 13

2 &1 6

3 1 19

' 0

número de incógnitas = 3

Rang(A) = Rang(A/b) < nº incógnitas 6

Sistema Compatible Indeterminado

(Infinitas soluciones)

´ _{Resolución :}

Utilizando la variante de la Regla de Cramer para Sistemas Compatibles Indeterminados.

En primer lugar, seleccionamos las ecuaciones independientes. Elegiremos aquellas correspondientes al MENOR del cual obtuvimos el rango

x_%2y%3z'13

2x_&y_%z_'6

Como hay 3 incógnitas y el rango del sistema es 2 6

Grado de libertad = 3 - 2 = 1.

Parametrizaremos una incógnita ( p.ej. "z" ), así x%2y'13&3z

2x&y'6&z

Resolviendo ahora mediante la Regla de Cramer:

x _'

/00

00 /0000

13 & 3z

6 _& z

2 &1

/00

00 /0000

1 2

2 &1

' &25%5z

Apuntes

X.B.

Sistemas Ecuaciones Lineales

CONJUNTO DE SOLUCIONES :

/00 000 000 000 0

x_' 5&z

y_' 4_&z z_' z

œ z 0 ú

2x _% 3y _% 5z _% t _' 1

x % y & z % t ' 0

2x & y & z % 2t ' 2

3x & 2z % 3t ' 2

y _'

/00

00 /0000

1

2

13 _& 3z

6 & z

/00

00 /0000

1 2

2 _&1

' &20%5z

&5 ' 4&z

Así pues,

Una pausa (...) y seguimos (...)

6.- Clasifica y resuelve :

´ ´ ´

´ _{Clasificación.}

Coeficientes A _'

2 3 5 1

1 1 &1 1

2 &1 &1 2

3 0 _&2 3

Ampliada: (A/b) _'

2 3 5 1 1

1 1 _&1 1 0

2 _&1 _&1 2 2

3 0 &2 3 2

Apuntes

X.B.

Sistemas Ecuaciones Lineales

/00 000 000 000 000

1 1 &1 1 ! 0

2 3 5 1 ! 1

2 _&1 _&1 2 _! 2

3 0 _&2 3 _! 2

1 1 &1 1 ! 0

0 1 7 &1 ! 1

0 _&3 1 0 _! 2

0 _&3 1 0 _! 2

/00 000 000 000 000

/00 000 000 000 000

1 1 &1 1 ! 0

0 1 7 &1 ! 1

0 0 22 _&3 _! 5

0 0 22 _&3 _! 5

/00 000 000 000 000

1 1 &1 1 ! 0

0 1 7 &1 ! 1

0 0 22 _&3 _! 5

0 0 0 0 _! 0 7

7

7

ÆÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÉÉÇ

A

ÆÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÇ

(A/b)

CONJUNTO DE SOLUCIONES :

/00 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

x' 18&20t 22

y' &13%t 22

z_' 5%3t

22

t' t

œ _t 0 ú Rang(A) = 3

Rang(A/b) = 3

número de incógnitas = 4

Rang(A) = Rang(A/b) < nº incógnitas 6

Sistema Compatible Indeterminado

(Infinitas soluciones)

Operando con el Sistema Equivalente obtenido en la última tabla del cálculo de los Rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada

´ _{Resolución :}

x_%y_&z_%t_'0

y_%7z_&t_'1

22z&3t'5 6

x_' 18&20t

22

y_' &13%t

22

z_' 5%3t

22

Apuntes

X.B.

Sistemas Ecuaciones Lineales

x%y%2z'0

ax_&y_&z_'0

2x %az'2

A _'

1 1 2

1 _&1 _&1

2 0 1

6 /00

00 /0000

1 1

1 _&1 … 0 6 Rang(A) ' 2

(A/b) _'

1 1 2 0

1 _&1 _&1 0

2 0 1 2

6 /00

00 /0000

1 1

1 _&1 … 0

/00 000 000 0

/00 000 000 0

1 1 2

1 _&1 _&1

2 0 1

' 0

/00 000 000 0

/00 000 000 0

1 1 0

1 &1 0

2 0 2

… ₀

7.- Clasificar el Sistema de Ecuaciones Lineales según valores de a0000úúúú_:

´ _{Clasificación.-}

Matriz de coeficientes : A _'

1 1 2

a _&1 &1

2 0 a

Matriz ampliada : (A/b) '

1 1 2 0

a _&1 _&1 0

2 0 a 2

Como A es una matriz cuadrada, hallaremos su determinante :

*A* = - a2 - a + 2

Ahora, Si *A* _' 0 6 &a2 _{& a % 2 ' 0 '>} /00

00

a_'1

a_'&2

Estudiemos el Sistema para cada uno de los valores del parámetro "a _{" obtenidos.}

i) Si a _{= 1 (Sustituyendo este valor en las matrices de coeficientes y ampliada}

)

Apuntes

X.B.

Sistemas Ecuaciones Lineales

A _'

1 1 2

&2 &1 &1 2 0 _&2

6 /00

00 /0000

1 1

&2 &1 … 0 6 Rang(A) ' 2

(A/b) _'

1 1 2 0

&2 &1 &1 0 2 0 &2 2

6 /00

00 /0000

1 1

&2 _&1 … 0

/00 000 000 0

/00 000 000 0

1 1 2

&2 &1 &1

2 0 2

' 0

/00 000 000 0

/00 000 000 0

1 1 0

&2 &1 0

2 0 2

… ₀

DISCUSIÓN :

/00 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 0

a_' 1 Rang(A)'2

Rang(A/b)'3 S. Incompatible (no tiene solución)

a'&2 Rang(A)'2

Rang(A/b)'3 S. Incompatible (no tiene solución)

a… _1,&2

Rang(A)_'3

Rang(A/b)'3

número de incógnitas ' 3

S. Compatible Determinado (solución única)

ax%y%2z ' 0

x&y%2z ' 0

2x %4z ' 0

ii) Si a _{= -2}

6 _{Rang(A/b) = 3}

iii) Si a … _{1, -2}

*A*… 0 6 Rang(A) = 3. Como *A* es un menor de orden 3 no nulo de (A/b) 6

Rang(A/b) = 3

8.- Clasificar según valores de a 0000úúúú _:

Apuntes

X.B.

Sistemas Ecuaciones Lineales

CLASIFICACIÓN :

/00 000

a _' 1 Rang(A)'2 S. H. Compatible Indeterminado ( Infinitas Soluciones )

a … ₁ Rang(A)'3 S. H. Compatible Determinado ( Solución trivial )

mx_%y_%z_'2

x_%my_%z_'2

x_%y_%mz_'2

´ _{Clasificación.-} A _'

a 1 2

1 _&1 2

2 0 4

*A* = -4a _{+ 4. Si -4}a _{+ 4 = 0} 6 a _{= 1}

i) Si a _{= 1}

A _'

1 1 2

1 _&1 2

2 0 4

6 /00

00 /0000

1 1

1 &1 … 0 6 Rang(A) ' 2

ii) Si a … ₁

*A*… ₀ 6 _{Rang(A) = 3}

9.- Clasificar según valores de m 0000úúúú _:

´ ´ ´

´ _{Clasificación.-}

Matriz de coeficientes: A _'

m 1 1

1 m 1

1 1 m

Matriz ampliada (A/b) '

m 1 1 2

1 m 1 2

1 1 m 2

Como A es una matriz cuadrada, hallaremos su determinante :

Apuntes

X.B.

Sistemas Ecuaciones Lineales

Si m3_{&3m%2 ' 0 6} /00

00

m_'1

m_'&2

Asignando valores al parámetro:

i) Si m = 1

A _'

1 1 1

1 1 1

1 1 1

6 /00000

000 0 /00 000 000 0

1 1 1

1 1 1

1 1 1

/00 000 000 0

1 1 1

0 0 0

0 0 0

6 Rang(A) ' 1

(A/b) _'

1 1 1 2

1 1 1 2

1 1 1 2 6 /00000

000 0 /00 000 000 0

1 1 1 2

1 1 1 2

1 1 1 2

/00 000 000 0

1 1 1 2

0 0 0 0

0 0 0 0

6 Rang(A/b) _' 1

ii) Si m = -2

A _'

&2 1 1 1 &2 1

1 1 _&2 6 /00

00 /0000

&2 1

1 &2 … 0 6 Rang(A) ' 2

(A/b) _'

&2 1 1 2 1 _&2 1 2

1 1 &2 &2 6 /00

00 /0000

&2 1

1 &2 … 0

/00 000 000 0 /00 000 000 0

&2 1 1 1 _&2 1

1 1 &2

' 0 /00 000 000 0 /00 000 000 0

&2 1 2 1 &2 2

1 1 2

… ₀

6 _{Rang(A/b) = 3}

iii) Si m … 1, -2

*A*… ₀ 6 _{Rang(A) = 3.}

Apuntes

X.B.

Sistemas Ecuaciones Lineales

CLASIFICACIÓN :

/00 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

m_' 1

Rang(A)'1

Rang(A/b)'1

número de incógnitas ' 3

S. Compatible Indeterminado ( Infinitas soluciones )

m'&2 Rang(A)'2

Rang(A/b)'3 S. Incompatible ( No tiene solución )

m… _1,&2

Rang(A)'3

Rang(A/b)'3

número de incógnitas _' 3

S. Compatible Determinado ( Solución Única )

ax_%2y_%3z_'1

x_&y_%2z_'b

2x_%y_%5z_'3

Observa que :

Para hallar el rango de las matrices del Sistema, no empleamos siempre el mismo método. Debemos elegir, en cada caso, aquél que nos resulte más fácil.

10.- Clasificar según valores de los parámetros a_{, b} 0000úúúú _:

´ _{Clasificación.-}

Matriz de coeficientes: A _'

a 2 3

1 &1 2

2 1 5

Matriz ampliada: (A/b) '

a 2 3 1

1 _&1 2 b

2 1 5 3

Como A es una matriz cuadrada, hallaremos su determinante : *A* = -7a _{+ 7 ;}

-7a _{+ 7 = 0} 6a _{= 1}

i) Si a _{= 1}

A _'

1 2 3

1 &1 2

2 1 5

6 /00

00 /0000

1 2

Apuntes

X.B.

Sistemas Ecuaciones Lineales

Si a _' 1 y b _' 2

Rang(A)'2

Rang(A/b)'2

número de incógnitas _' 3

S. C. Indeterminado ( Infinitas soluciones )

Si a _' 1 y b … 2 Rang(A)'2

Rang(A/b)'3 S. Incompatible ( no tiene solución )

Si a … 1 y œ b 0 ú

Rang(A)'3

Rang(A/b)'3

número de incógnitas _' 3

S. C. Determinado (Solución Unica )

Si a = 1 y b = 2

(A/b) '

1 2 3 1

1 _&1 2 b

2 1 5 3 6 /00

00 /0000

1 2

1 &1 … 0

/00 000 000 0

/00 000 000 0

1 1 3

1 &1 2

2 1 5 ' 0

/00 000 000 0

/00 000 000 0

1 2 1

1 &1 b

2 1 3

' 3b&6

Si 3b - 6 = 0 6 b = 2

Si b = 2 Rang(A/b) = 2

Si b … 2 Rang(A/b) = 3

[ Es importante comprender el razonamiento anterior para afianzar la técnica de MENORES ORLADOS en el cálculo del RANGO de una matriz]

ii) Si a … ₁

*A*… 0 6 Rang(A) = 3

*A* es un MENOR no nulo de la matriz (A/b) que es una matriz 3x4 6

Rang(A/b) = 3 œ _b 0ú

´ _Resolución.

Hemos encontrado en la discusión del sistema, dos situaciones de compatibilidad, vamos a dar su solución en cada caso :

Hemos obtenido

/00000

Rang (A) _' 2

Rang (A/b) _' 2

Apuntes

X.B.

Sistemas Ecuaciones Lineales

CONJUNTO DE SOLUCIONES:

x _' &5 % 7λ

&3

y _' 1 % λ

&3

z _' λ

œ λ 0 ú

Si a … 1 y œ b 0 ú

Seleccionemos , pues, 2 ecuaciones linealmente Independientes de las 3 :

x _% 2y % 3z ' 1

x _& y _% 2z ' 2

6 _{Grado de libertad} Y _{3 - 2 = 1}

Parametricemos una incógnita, por ejemplo z = 8

x % 2y ' 1 & 3λ x & y ' 2 & 2λ

Y /00

00 /0000

1 2

1 &1 ' &3 … 0

Mediante la regla de Cramer

x _'

/00

00 /0000

1 _& 3λ ₂

2 _& 2λ &₁

&3 '

&5 _% 7λ

&3

y '

/00

00 /0000

1 1 _& 3λ

1 2 _& 2λ

&3 '

1 _% λ

&3

Hemos obtenido /00000

000 0

Rang (A) _' 3

Rang (A/b) _' 3

número de incógnitas _' 3

Sistema Compatible Determinado

Apuntes

X.B.

Sistemas Ecuaciones Lineales

SOLUCIÓN ÚNICA a … ₁ y œ b 0 ú

x _' b & 2 a _& 1

y _' 8 % 5ab & 6b & 6a

&7a _% 7

z _' &3 & 3a % 4b & ab

&7a _% 7

3x_&7y _' a

x%y ' b

5x_&13y _' 5a_&2b

ax _% 2y _% 3z _' 1

x & y % 2z ' b

2x % y % 5z ' 3

/00 000 000 0

/00 000 000 0

a 2 3

1 &1 2

2 1 5

' &7a _% 7

x '

/00 000 000 0

/00 000 000 0

1 2 3

b &1 2

3 1 5 &7a % 7 '

14 & 7b

&7a % 7 '

b & 2

a _& 1

y _'

/00 000 000 0

/00 000 000 0

a 1 3

1 b 2

2 3 5 &7a % 7 '

8 _% 5ab _& 6b _& 6a

&7a % 7

z _'

/00 000 000 0

/00 000 000 0

a 2 1

1 _&1 b

2 1 3 &7a % 7 '

&3 _& 3a _% 4b _& ab

&7a % 7

Comentario : Te puede causar una cierta confusión esta solución única, tan

parametrizada. Piensa que, para cada valor de a … _{1 y b} 0 ú

obtendrías un Sistema diferente cuya única solución la obtendrías

sustituyendo los valores de a _{y b en la solución parametrizada.}

Apuntes

X.B.

Sistemas Ecuaciones Lineales

Como /00

00 /0000

3 &7

1 1 … 0 6 Rang(A) ' 2 œ a,b 0 U

(A/b) _'

3 _&7 a

1 1 b

5 _&13 5a_&2b

1 2 a_%b_&1 6 /00

00 /0000

3 _&7

1 1 … 0

/00 000 000 0

/00 000 000 0

3 _&7 a

1 1 b

5 _&13 5a_&2b

' 32a_&16b

/00 000 000 0

/00 000 000 0

&3 _&7 a

1 1 b

1 2 a_%b_&1

' 11a_&3b_&10

´ _{Clasificación.- Matrices :} A _'

3 &7

1 1

5 _&13

1 2

(A/b) _'

3 &7 a

1 1 b

5 _&13 5a_&2b

1 2 a_%b_&1

Tomemos este menor no nulo para estudiar el rango de la matriz (A/b)

Veamos para qué valores de a y b se anulan simultáneamente los dos MENORES ORLADOS, resolvamos este ‘mini’Sistema de Ecuaciones.

32a _{- 16b = 0} 6 _{b = 2}a 6 _{b = 4}

11a _{- 3b - 10 = 0} 6 _{5a - 10 = 0} 6 a _{= 2} A

Estudiemos los valores obtenidos procedentes del sistema de Ecuaciones con incógnitas a y b.

i) Si a _{= 2 y b = 4}

Rang(A) = 2

Rang(A/b) = 2. Los dos MENORES de orden 3, son nulos.

ii) Si a… _{2 ó b} … ₄

Rang(A) = 2

Rang(A/b) = 3. Alguno de los dos MENORES de orden 3, es … 0.

Apuntes

X.B.

Sistemas Ecuaciones Lineales

DISCUSION :

Si a_' 2 y b_'4

Rang(A)_'2

Rang(A/b)_'2

número de incógnitas _' 3

Sistema Compatible Determinado

( Solución única )

Si a…2 ó b … 4 Rang(A)'2

Rang(A/b)_'3

Sistema Incompatible

( no tiene solución )

bx%2y&z ' a

2x%y%4z ' 2

3x%3by%3z ' 4

A _'

1 2 &1

2 1 4

3 3 3

6 /00

00 /0000

1 2

2 1 … 0 6 Rang(A) ' 2 Observa que :

6 _Cuando a _{= 2 y b = 4} Y _{Los dos menores orlados dan cero}

6 _Cuando a… _{2 ó b} … ₄ Y _{Alguno ( ó ambos ) de los menores orlados}

es distinto de cero

12.- Clasifica según a_{, b} 0000úúúú _:

´ _{Clasificación.- Matrices :} A _'

b 2 &1

2 1 4

3 3b 3

(A/b) '

b 2 &1 a

2 1 4 2

3 3b 3 4

Como A es una matriz cuadrada, hallaremos su determinante

*A* = -12b2 _{-3b + 15 6}

Si -12b2 _{- 3b + 15 = 0 6} /00

000 000

b_' 1

b_{' &} 5

4

Apuntes

X.B.

Sistemas Ecuaciones Lineales

1 2 _&1 a

2 1 4 2

3 3 3 4 6 /00

00 /0000

1 2

2 1 … 0

/00 000 000 0 /00 000 000 0

1 2 &1

2 1 4

3 3 3

' 0 /00 000 000 0 /00 000 000 0

1 2 a

2 1 2

3 3 4

' 3a_&6

(A/b) '

&5

4 2 &1 a

2 1 4 2

3 &15

4 3 4 6 /00

00 /0000

2 &1

1 4 … 0

/00 000 000 000 000 000 /00 000 000 000 000 000 &5

4 2 &1

2 1 4

3 _&15 4 3 ' 0 /00 000 000 000 00 /00 000 000 000 00

2 _&1 a

1 4 2

&15

4 3 4

' 18a _% 63

2 [ El rango de la matriz (A/b) depende de los dos MENORES ORLADOS ]

Si 3a _{- 6 = 0} 6 _{a = 2}

Si a _{= 2} 6 _{Rang(A/b) = 2}

Si a … ₂ 6 _{Rang(A/b) = 3}

ii) Si b = -5/4

A _'

& 5

4 2 &1

2 1 4

3 _& 15 4 3

6 /00

00 /0000

2 _&1

1 4 … 0 6 Rang(A) ' 2

[ Razonando como antes ]

Si 18a _{+ 63/2 = 0} 6a _{= -7/4}

a _{= -7/4} 6 _{Rang(A/b) = 2}

a … _-7/4 6 _{Rang(A/b) = 3}

iii) Si b … 1,-5/4

Apuntes

X.B.

Sistemas Ecuaciones Lineales

CLASIFICACIÓN :

Si b _' 1 y a ' 2

Rang(A) ' 2

Rang(A/b) ' 2

número de incógnitas _' 3

Sistema Compatible Indeterminado

(Infinitas soluciones)

Si b ' 1 y a … ₂ Rang(A) ' 2 Rang(A/b) ' 3

Sistema Incompatible

(no posee solución)

Si b ' &5

4 y a ' &

7 4

Rang(A) ' 2

Rang(A/b) ' 2

número de incógnitas _' 3

Sistema Compatible Indeterminado

(Infinitas soluciones)

Si b ' &5

4 y a

… _&7

4

Rang(A) ' 2

Rang(A/b) ' 3

Sistema Incompatible

(no posee solución)

Si b… _1,&5

4 y

œ _a 0 ú

Rang(A) ' 3

Rang(A/b) ' 3

número de incógnitas _' 3

Sistema Compatible Determinado

(Solución única)

ax%by%z ' 1

x%aby%z ' b

x_%by_%az _' b2

*A* es un MENOR no nulo de orden 3 de la matriz (A/b) de 3x4 6

Rang(A/b) = 3 ; œa 0ú

13.- Clasificar según a_{, b} 0000úúúú _:

[Síguela con atención !. Es muy bella la discusión !]

Observa como combinamos el método de GAUSS con el método de MENORES ORLADOS

´ _{Clasificación.-}

Matrices :

Matriz de coeficientes A _'

a b 1

1 ab 1

1 b a

Matriz ampliada (A/b) _'

a b 1 1

1 ab 1 b

Apuntes

X.B.

Sistemas Ecuaciones Lineales

A _'

1 b 1

1 b 1

1 b 1

6 /00000

000 0

1 b 1

1 b 1

1 b 1

/00 000 000 0

1 b 1

0 0 0

0 0 0 7

6 _{Rang(A) ' 1} œ _b 0 ú

(A/b) _'

1 b 1 1

1 b 1 b

1 b 1 b2

6

/00 000 000 0

1 b 1 1

1 b 1 b

1 b 1 b2

/00 000 000 0

1 b 1 1

0 0 0 1_&b

0 0 0 1_&b2

6

Si b_'1 6 Rang(A) _' 1

Si b … ₁ Rang(A/b)'2 !Cuidado¡ pues parecía que

b _{' &}1 era un valor a estudiar

A _'

&2 b 1 1 &2b 1

1 b _&2 6 /00

00 /0000

&2 1

1 1 … 0 6 Rang(A) ' 2 œ b 0 ú

Al ser la matriz de coeficientes una matriz cuadrada, empezaremos por hallar su determinante

*a* ₌ a3_{b -3}a_{b + 2b} 6

Si a3_{b - 3ab + 2b = 0 6 b}

(a3

&3a_%2) _' 0 6 /00000

000 0

b_' 0

a_' 1

a_{' &}2

6 _{Los valores que anulan el determinante de A son} a _{= 1, -2 y b = 0. Estudiemos,}

pues, estos valores.

i) a _{= 1}

[ Para cualquier valor de b, el Rango de la matriz es 1]

[ Obviamente estudiaremos solamente los valores de b que anulan simultáneamente las dos últimas filas, es decir b=1, descartando la opción b=-1 ]

Apuntes

X.B.

Sistemas Ecuaciones Lineales

&2 b 1 1 1 &2b 1 b

1 b _&2 b2

6 /00

00 /0000

&2 1 1 1 … 0

/00 000 000 0

/00 000 000 0

&2 b 1 1 &2b 1

1 b &2 ' 0

/00 000 000 0

/00 000 000 0

&2 1 1 1 1 b

1 &2 b2

' &3b2_%

3b&3

/00

00 /0000

&2 1

1 1 es un BUEN MENOR para ORLAR pues carece de parámetros

A _'

a 0 1

1 0 1

1 0 a

6 1 … 0

/00

00 /0000

a 1

1 1 ' a&1 ; si a & 1 ' 0 Y a ' 1

/00

00 /0000

a 1

1 a ' a

2_&

1 ; si a2 _&

1 ' 0 Y a ' ± 1

(A/b) _'

a 0 1 1

1 0 1 0

1 0 a 0 6 /00

00 /0000

1 1

1 0 … 0 6

/00 000 000 0

/00 000 000 0

a 1 1

1 1 0

1 a 0

' a_&1

Si -3b2 - 3b - 3 = 0 6 b _' %3± &27 6œ _b 0ú _{Rang(A/b) = 3}

2 ó ú

[ Al ser una discusión en los números reales, no podemos considerar soluciones en el cuerpo de los números complejos]

iii) b = 0

[ L o s m enores orlados con una columna de ceros, dan cero directamente, los obviamos pues ]

Como ambos MENORES se anulan a la vez, para a _{= 1, tendremos :}

Si a = 1 6 _{Rang(A) = 1}

Apuntes

X.B.

Sistemas Ecuaciones Lineales

CLASIFICACIÓN :

Si a _' 1 y b _' 1

Rang(A)_'1

Rang(A/b)_'1

número de incógnitas _' 3

Sistema Compatible Indeterminado

(Infinitas soluciones )

Si a _' 1 y b … 1 Rang(A) ' 1

Rang(A/b) _' 2

Sistema Incompatible

(No tiene solución)

Si a _{' &}2 y œ b 0 ú Rang(A) ' 2

Rang(A/b) ' 3

Sistema Incompatible

(No tiene solución)

Si b _' 0 y a _' 1 Rang(A) ' 1

Rang(A/b) _' 2

Sistema Incompatible

(No tiene solución)

Si b ' 0 y a … ₁ Rang(A) ' 2

Rang(A/b) ' 3

Sistema Incompatible

(No tiene solución)

Si a … _{1,&2 y b} … ₀ Rang(A)'3

Rang(A/b) ' 3

Sistema Compatible Determinado

(Solución única)

Si a _{-1 = 0} 6 a _{= 1}

Si a _{= 1} 6 _{Rang(A/b) = 2}

Si a… ₁ 6 _{Rang(A/b) = 3}

iv) Si a… _{1, -2 y b} … ₀

*A*… ₀ Y _{Rang (A) = 3 y como *A* es un MENOR NO NULO de orden 3}

de la matriz Rang(A/b) = 3

14. Clasificar según valores de m, n 0000úúúú, el sistema:

mx % ny % z ' 1

x % ny % mz ' 1

Apuntes

X.B.

Sistemas Ecuaciones Lineales

´ _{Clasificación.-}

Matrices :

Matriz de coeficientes A '

m n 1

1 n m

m 1 1

Matriz ampliada A/b '

m n 1 1

1 n m 1

m 1 1 n

*A* = mn + 1 + m2n - mn - m2 - n = 1 + m2n - m2 - n

Si 1 + m2_{n - m}2 _{- n = 0 Y}

m2 ( n-1 ) - (n-1) = 0 Y ( m2 - 1 ) · ( n - 1 ) = 0 Y

/00

00 /0000

m2 _{& 1 ' 0 Y m'1, &1} n _& 1 _' 0 Y n _' 1

[ Observa: Las operaciones efectuadas para hallar m y n ]

i) Si m = 1

A _'

1 n 1

1 n 1

1 1 1

6

GAUSS 1 n 1

0 0 0

0 1 _& n 0

Y n ' 1 Rang(A) ' 1

n … ₁ Rang(A) ' 2

(A/b) '

1 n 1 1

1 n 1 1

1 1 1 n 6

GAUSS 1 n 1 1

0 0 0 0

0 1 & n 0 n & 1

Y n ' 1 Rang(A/b) ' 1

n … ₁ Rang(A/b) ' 2

ii) Si m = -1

Y

A _'

&1 n 1 1 n _&1 &1 1 1

6

GAUSS &1 n 1

0 2n 0

0 1 & n 0

Como no hay ningún valor de "n" que anule simultáneamente las dos filas Y

Rang (A) = 2 œ n 0ú

Apuntes

X.B.

Sistemas Ecuaciones Lineales

&1 n 1 1 1 n &1 1 &1 1 1 n

6 /00

00 /0000

1 1

&1 1 ORLAMOS _ /00000

000 0

/00 000 000 0

n 1 1

n _&1 1

1 1 n

' &2n2 _{% 2}

` /00000

000 0

/00 000 000 0

&1 1 1 1 _&1 1 &1 1 n

' 0

[ Observa: Seleccionamos un MENOR sin parámetros para ORLAR]

si -2n2 + 2 = 0 Y _n2

= 1 Y _{n = ± 1}

si n = 1 Y _{Rang (A/b) = 2}

si n = -1 Y Rang (A/b) = 2

si n … _{1, -1} Y _{Rang (A/b) = 3}

iii) Si n = 1

A_'

m 1 1

1 1 m

m 1 1

6

GAUSS

(2ªcolumna)

m 1 1

1 _& m 0 m _& 1

0 0 0

Y Si m ' 1 Rang(A) ' 1

Si m … 1 Rang(A) _' 2

(A/b)_'

m 1 1 1

1 1 m 1

m 1 1 1 6

m 1 1 1

1 _& m 0 m _& 1 0

0 0 0 0

Y Si m ' 1 Rang(A/b) ' 1

Si m … 1 Rang(A/b) _' 2

CLASIFICACIÓ;

m = 1 y n = 1

Rang (A) _' 1

Rang (A/b) _' 1

número de incógnitas _' 3

Sistema Compatible Indeterminado ( Infinitas Soluciones )

m = 1 y n … 1

Rang (A) _' 2

Rang (A/b) _' 2

número de incógnitas _' 3

Apuntes

X.B.

Sistemas Ecuaciones Lineales

m = -1 y n = 1

Rang (A) ' 2

Rang (A/b) ' 2

número de incógnitas _' 3

Sistema Compatible Indeterminado ( Infinitas Soluciones )

m = -1 y n = -1

Rang (A) ' 2

Rang (A/b) ' 2

número de incógnitas _' 3

Sistema Compatible Indeterminado ( Infinitas Soluciones )

m = -1 y n … _{1, -1} Rang (A) ' 2

Rang (A/b) _' 3

Sistema Incompatible ( ;o tiene solución )

n = 1 y m = 1

Rang (A) _' 1

Rang (A/b) _' 1

número de incógnitas _' 3

Sistema Compatible Indeterminado ( Infinitas Soluciones )

n = 1 y m … ₁

Rang (A) ' 2

Rang (A/b) ' 2

número de incógnitas _' 3

Sistema Compatible Indeterminado ( Infinitas Soluciones )

m … _{1, -1 y n} … ₁

Rang (A) ' 3

Rang (A/b) ' 3

número de incógnitas _' 3

Sistema Compatible Determinado ( Solución única )

Apuntes

X.B.

Sistemas Ecuaciones Lineales

1. Dado el sistema x

2

1

1

% y

1 &1

1 %

3

0

1 '

&1 0

2

1.1. Es Compatible Determinado 1.2. Es Compatible Indeterminado 1.3. Es Incompatible

2. En un Sistema de Ecuaciones Lineales con mayor número de ecuaciones que incógnitas, se tiene :

2.1. El Sistema es necesariamente Compatible Indeterminado 2.2. El Sistema puede ser Compatible

2.3. Carece de sentido matemático pues un Sistema no puede tener más ecuaciones que incógnitas.

3. La solución del Sistema es :

2 0 2 &1 0 3 1 0 5

x y z

' 0

0

0

3.1. x = 0 ; y = 0 ; z = 0 solamente

3.2. x = 0 ; y = y ; z = 0 œ _y 0ú

3.3. x = x ; y = 0 ; z = z œ x, z 0ú

4. La clasificación del Sistema del apartado 3 es :

4.1. Sistema Homogéneo Compatible Determinado 4.2. Sistema Homogéneo Compatible Indeterminado 4.3. Sistema Incompatible

5. Sean A 0 _{Mn, v} 0 _{Mnx1. Si el Sistema Homogéneo ( A -} 8_{I) v = 0,} 80ú_{, es}

Compatible Indeterminado :

5.1. Rang ( A - 8_{I) = n}

5.2. Rang ( A - 8I) > n

Apuntes

X.B.

Sistemas Ecuaciones Lineales

α _{1 2}

0 1 1

2 0 2

x y z

'

a b c

6.1. Es Compatible Determinado œ _(a,b,c) 0ú3

siempre que "… ₁

6.2. Es Compatible Determinado œ _(a,b,c) 0ú3 _{/ (a,b,c) … (0,0,0)}

6.3. Es Compatible Determinado œ _(a,b,c) 0ú3

siempre que " _{= 1}

7. Sea A 0 M4x3 (ú ) y b 0ú

4

7.1. El Sistema A · x = b es siempre Incompatible

7.2. El Sistema A · x = b es Incompatible, si det (A/b) … 0

7.3. El Sistema A · x = b nunca puede tener solución única

8. Dado el Sistema A · x = b, sea x* la solución del Sistema Homogéneo A· x = 0 y

x₀ una solución particular (A·x₀=b).

8.1. x* + x0 nos da la Solución del Sistema

8.2. x* _{+ x}

0 carece de sentido matemático

8.3. x* + x0 no es Solución del Sistema

9. Sea A 0 Mn una matriz REGULAR.

9.1. A · x = b es un Sistema Compatible Indeterminado œ _b 0 ún

9.2. A · x = b es un Sistema Incompatible œ _b 0ún

9.3. x = A-1 · b es la única solución del Sistema A · x = b

10. Un sistema de Ecuaciones Lineales :

10.1. Siempre tiene solución

10.2. Su clasificación depende del Rango de la matriz de coeficientes y de la ampliada

10.3. Nunca tiene solución única

SOLUCION

1. a 2.b 3.b 4.b 5.c 6.a

Apuntes

X.B.

Sistemas Ecuaciones Lineales

x

1 % 3x2 % 2x3 ' &1

2x₁ % x₂ & x₃ ' 4

3x_{1 %} x_{2 %} x_{3 '} 0

1.2.&

x₁ % 2x₂ % 3x₃ % 4x₄ ' 1

2x_{1 %} 4x_{2 %} 6x_{3 %} 8x_{4 '} 2

x_{1 %} 6x_{2 %} 9x_{3 %} 12x_{4 '} 3

1.3._&

2x

1 & x2 % x3 ' &1

x

1 % 3x2 % 2x3 ' 2

3x₁ % 2x₂ % 3x₃ ' 4

1.4._&

x _% y _% z _' 0

2x _& y _% 3z _' 0

x _& y _% 2z _' 0

1.5.&

&x _% y _% 2z _' 0

x _% 3y _{' &}z

2x _% y _% z _' 0

PROBLEMAS PROPUESTOS

1.- Clasificar y resolver los siguientes Sistemas de Ecuaciones Lineales : [ Operar por el método que se estime más conveniente en cada caso ]

Dar así mismo 2 soluciones diferentes del Sistema

11..- Sea A 0 _M3(ú_{) y el Sistema Homogéneo A · x = 0 ¿ Qué debe cumplir el}

det(A) para que el Sistema :

11.1. Sólo admita la solución trivial 11.2. Tenga infinitas soluciones

12..- Sea A 0 _Mn(ú_{) ,} 80ú _{y el Sistema Homogéneo (A -} 8_{I) · x = 0}

Apuntes

X.B.

Sistemas Ecuaciones Lineales

x _% (a_%2)y _% z _' 3

x _% y _% (a_%2)z _' 3

2x _% 3y _& az _' 1

x _% 2y _% 3z _' b

ax % 5y ' 2

ax _% 3y & 2z ' 1

2x % y % 5z ' 2

3x _% 4y _% 3z _' 3a

ax % y % z ' 1

x % ay % z ' b

x _% y _% ay _' b2

12.3. ¿ Qué condición debe cumplirse para que tenga infinitas soluciones ?

13..- Clasificar según valores de a 0ú _{Y resolver los casos de Compatibilidad.}

14.- Clasificar según a _{, b} 0ú

15.- Hallar para qué valores de a 0ú _{es compatible el Sistema}

16..- Clasificar según valores de a _{, b} 0ú

&2x _% y _% z _' 1

x _& 2y _% z _{' &}8

x _% y _& 2z _' 3

y como aplicación del resultado obtenido, clasificar:

ax _% y _% z _' 1%x

x _% ay _% z _' b_%y

x _% y _% az _' 3_%z

Apuntes

X.B.

Sistemas Ecuaciones Lineales

x % (λ % ₁₎y % z ' ₀

x _% y _% (λ % ₁₎z ' ₀

y resolverlo para λ ' _0, λ ' _1, λ ' &₃

x _% y _% mz _' 0

2x _% 3y _' z

y _% z _' mx

2p % 3r & 5q ' 7

r _& q _% 2p _' 3 &6q _% 4p _& 10 _{' &}4r

&7q % 6r ' &5p % 13

x_{1 %} x_{2 &} x_{3 %} x_{4 %} x_{5 %} x_{6 &} x_{7 %} x_{8 &} 2x_{9 '} 2

2x

1 % 3x2 % x3 & x4 ' 5

x

1 & x2 % 2x3 % x5 & x6 ' 2

x

4 % x5 % x6 & x7 & x8 & x9 ' 0

x_{6 %} 2x_{7 %} x_{8 '} 4

x_{3 %} x_{4 %} x_{9 '} 3

x

2 & x3 & 2x4 % 3x5 % x6 & x7 ' 1

x

7 & x8 % x9 ' 1

18..- Clasificar según valores de 80ú _.

19..- Clasificar según valores de m 0ú .

20..- Clasifica y resuelve según valores de p, q 0ú _.

21..- Clasifica y resuelve