Fco Javier Corral 2017-2018 01. Una partícula con carga q y masa m penetra con una velocidad v en una zona donde hay un campo magnético uniforme B. Calcular:
a) la fuerza que actúa sobre la partícula y el trabajo efectuado por dicha fuerza.
b) el radio de la trayectoria circular descrita en el caso en que v y B sean perpendiculares
Al entrar en el campo magnético la fuerza que actúa es F qv B
La partícula describe una trayectoria circular. La fuerza es perpendicular a v y al desplazamiento en cada momento, por lo que el trabajo es nulo.
W F·e F·e·cos 0
El radio de la trayectoria es: FMAG FCP q·v·B mv2 R mv
R qB
02. Un protón y un electrón se mueven en un campo magnético uniforme B bajo la acción del mismo. Si la velocidad del electrón es 8 veces mayor que la del protón y ambas son perpendiculares a las líneas del campo magnético, deduzca la relación numérica existente entre:
a) Los radios de las órbitas que describen. b) Los periodos orbitales de las mismas.
Datos: mP=1836 mE qP=1,6·10-19 C qE=-1,6·10-19 C
El radio de la órbita descrita es P P E P
E E P E
R m q v B
mv 1836 1 1
R 229,5
qB R m q v B 1 1 8
El radio que describe el protón es 229,5 veces mayor. Si el protón describe la órbita hacia arriba el electrón la describe hacia abajo (por eso lo del signo negativo)
El periodo es el tiempo que tarda en dar una vuelta completa
P P E
E P E
T 2 R v
2 R
T 229,5·8 1836
v T v 2 R
03. Para caracterizar el campo magnético uniforme que existe en una región se utiliza un haz de protones con una velocidad de 5·105 m/s. Si se lanza el haz en la dirección del eje X, la trayectoria de los protones
es rectilínea, pero si se lanza en el sentido positivo del eje Z, actúa sobre los protones una fuerza de 10-14
N dirigida en el sentido positivo del eje Y.
a) Determine, razonadamente, el campo magnético (módulo, dirección y sentido).
b) Describa, sin necesidad de hacer cálculos, cómo se modificaría la fuerza magnética y la trayectoria de las partículas si se lanzaran electrones con la misma velocidad.
La fuerza del campo magnético es F qv B luego
14
19 5
F 10
B 0,125 T
qv 1,6·10 ·5·10
en dirección del eje OX positivo
Si se lanzan electrones, describen circunferencias de radio más pequeño (1850 veces) en el plano YZ, en la parte negativa del eje OY. La fuerza del campo magnético es la misma pero va en sentido contrario porque la carga es negativa.
v q
B F
B
v
v
Fco Javier Corral 2017-2018 04. Un electrón se mueve en el seno de un campo magnético B con una velocidad perpendicular de valor v=20000 km/s, describiendo un arco de circunferencia de 0,5 m de radio.
a) Determine el valor del campo B.
b) Si la velocidad del electrón formara un ángulo de 45º con B ¿cómo sería la trayectoria?
a) Sabemos que el radio de la órbita descrita es
mv mv 9,1·10 ·2·1031 197
R B 2,28G
qB R q 0,5·1,6·10
b) Si la velocidad es la misma la velocidad tiene dos componentes: paralela y perpendicular a B.
7 1
7 1
v v sen45 2 ·10 ms
v v cos 45 2 ·10 ms en perpendicular describe una circunferencia de radio mv
R 0,35m
qB
y da una vuelta cada
2 R 7
T 1,56·10 s
v . En ese tiempo avanza en paralelo e v t 2,21m luego la trayectoria es una hélice de radio 0,35 m y un paso de rosca de 2,21 m
05. Un electrón es acelerado por una diferencia de potencial de 350 V y penetra en una zona en la que hay un campo magnético uniforme perpendicular al plano del papel de intensidad 1,5·10-4 T. La anchura de la
región es de 3 cm. Calcular: a) La trayectoria descrita
b) La desviación vertical al salir del campo magnético
El trabajo que hace el campo eléctrico se convierte en energía cinética:
19
2 7 1
31
2qV 2·1,6·10 ·350 1
qV mv v 1,11·10 ms
2 m 9,1·10
cuando entra en el campo magnético describe una trayectoria circular de
radio
31 7
19 4
mv 9,1·10 ·1,11·10
R 0,42m
qB 1,6·10 ·1,5·10
el electrón sale de la zona de campo magnético y sigue en línea recta con la misma velocidad con la que entró.
En la figura sen 0,03 0,071 4,096 cos 0,997
0,42
y la desviación vertical es: d 0,42 0,42cos 1,26·10 m2
06. Un electrón penetra perpendicularmente en un campo magnético de 2,7 T con una velocidad de 2500 km/s. Calcular:
a) el radio de la órbita que describe b) la frecuencia del movimiento
El radio es
31 6
6 19
mv 9,1·10 ·2,5·10
R 5,27·10 m
qB 1,6·10 ·2,7
el periodo del movimiento es T 2 R 1,32·10 s11
v
y la frecuencia f 1 7,58·10 Hz10
T
07. Un electrón tiene una energía cinética de 3,7 keV sigue una trayectoria circular en un campo magnético B = 2 T. Calcula:
a) el radio de la trayectoria
b) el número de vueltas que da en un minuto. 0,03m
d
0,42m
Fco Javier Corral 2017-2018 La energía cinética es
19
3 16
C
1,6·10 J
E 3,7·10 eV 5,92·10 J 1eV
, y de aquí sacamos la velocidad que lleva el
electrón 2 C 7 1
C
2E 1
E mv v 3,61·10 ms
2 m
El radio de la órbita que describe es
31 7
4 19
mv 9,1·10 ·3,61·10
R 1,026·10 m
qB 1,6·10 ·2
la frecuencia es
7
11 4
3,61·10 v
f 3,66·10 Hz
2 R 2 ·1,026·10
y en un minuto da un total de 60·3,66·1011=2,196·1013 vueltas.
08. Se sabe que en una zona hay un campo eléctrico E y otro magnético B. Una partícula cargada con carga q entra en dicha región con una velocidad v, perpendicular a B, y se observa que no sufre desviación alguna. ¿Qué relación existe entre las direcciones de los tres vectores E, B y v? ¿Cuál es la relación entre los módulos de los tres vectores?
Los campos eléctrico y magnético son perpendiculares entre sí y perpendiculares a la velocidad de la partícula. Si no se desvía es porque el campo eléctrico hace una fuerza sobre la carga y el campo magnético una igual y de sentido contrario. En ese caso:
MAG ELE
F F qv B qE v B E
Si v y B no fueran perpendiculares la velocidad y los dos campos son paralelos. La fuerza del campo eléctrico acelera o frena la partícula en la dirección del movimiento, pero no la desvía. La fuerza el campo magnético se anula
F qv B 0 porque el producto vectorial es cero. No se pueden relacionar los valores de E y B.
09. Un electrón que se mueve con una velocidad de 107 m/s entra en una zona en la que hay un campo
magnético uniforme. El electrón describe una trayectoria semicircular de 0,05 m de radio dentro esa zona y sale en dirección paralela a la de entrada en sentido opuesto. Sabiendo que la relación carga/masa del electrón es 1,76·1011 C/kg, calcular el vector campo magnético.
11 12
q 1,76·10 m 5,68·10
m q
El radio de la órbita es:
7
12 3
mv m v 10
R B 5,68·10 1,1·10 T
qB q R 0,05
El campo B es perpendicular al papel y sale de él.
10. Un electrón se mueve con una velocidad de 3·106 m/s en el interior de un condensador de 20 cm de
longitud y 10 cm de separación entre placas entre las que hay una diferencia de potencial de 150 V. Calcular la intensidad y dirección de un campo magnético que superpuesto al eléctrico haga que el electrón no se desvíe.
Para que no se desvíe los efectos de los dos campos se anulan.
4
E M 6
E V 150
F F Eq qvB B 5·10 T
v v d 3·10 ·0,1
la dirección es perpendicular al papel y saliendo (e-)
FM
B
F
E
Fco Javier Corral 2017-2018 11. En una región del espacio coexisten un campo eléctrico uniforme de 5000i V m-1 y un campo magnético
uniforme de 0,3j T:
a) ¿Qué velocidad (módulo, dirección y sentido) debe tener una partícula cargada para que atraviese dicha región sin desviarse?
b) Calcule la intensidad de un campo eléctrico uniforme capaz de comunicar a un protón en reposo dicha velocidad tras desplazarse 2 cm.
a) Para que no se desvíe las fuerzas eléctrica y magnética tienen que ser iguales y de sentido contrario. Supongamos una carga positiva.
La fuerza que hace el campo eléctrico va en la misma dirección de E:
F E·q
La fuerza magnética tiene que ir el sentido negativo de las X y para eso la velocidad tiene que ir en el sentido positivo del eje Z. Su valor es:
4 1 4 1
M E
E
F F qvB Eq v 1,67·10 ms v 1,67·10 kms B
b) La energía cinética del protón es comunicada por el campo eléctrico:
2 27 4 2
2 1
C A B 19
1 2
mv 1,67·10 ·(1,67·10 )
E mv q(V V ) qEd E 72,77NC
2qd 2·1,6·10 ·0,02
12. En un mismo punto de un campo magnético B dejamos en libertad un protón y un electrón. Los dos tienen la misma velocidad, perpendicular a las líneas del campo. Calcular la relación entre los radios de las órbitas descritas y entre los periodos de las mismas. Dato: mp= 1850 me
Las órbitas se describen en sentidos contrarios con un radio P P
E E
R m
mv
R 1850
qB R m
y como el periodo es P P
E E
T R 2 R
T 1850
v T R
13. Una partícula alfa entra con una velocidad v en una zona de 0,1m de anchura en la que hay un campo magnético uniforme perpendicular de 1,5 T. Calcular:
a) la velocidad mínima para que sea capaz de atravesar toda la zona. b) el radio descrito por un electrón que entre con la misma velocidad.
Para que pueda salir de la zona de campo magnético, el radio de la órbita que describe tiene que ser mayor que 0,1 m
19
6 1
27
mv R qB 0,1·3,2·10 ·1,5
R v 7,06·10 ms
qB m 6,8·10
Para el caso del electrón:
31 6
5 19
mv 9,1·10 ·7,06·10
R 2,68·10 m
qB 1,6·10 ·1,5
14. Dos partículas con la misma carga pero signo contrario se lanzan con velocidades diferentes, paralelas entre sí y en el mismo sentido, perpendiculares a un campo magnético. Las dos partículas chocan después de que la primera gire 90º y la segunda 150º. Calcular:
a) Relación entre los radio de las órbitas descritas. b) Relación entre las velocidades. c) Relación entre sus masas. d) Relación entre sus momentos lineales. E
B
FE
B
FM
v
0,1 m
Fco Javier Corral 2017-2018 La relación entre radios es muy sencilla, si se hace bien el dibujo:
2
1 2
1
R
R R sen30 2
R
Una partícula recorre R1
2
y la otra 15 R2
18 en el mismo tiempo, luego
2
2 2 2
1 1 1 1
15 18 1 2
R
v e 5R 10
v e R 3 R 3
Recordando que 2 2 2 2
1 1 1 1
R m v p mv
R 2
qB R m v p
Utilizando la última expresión 2 2 2 1
1 1 1 2
m v 2 m 2v 3 m v m v 5
15. Tenemos un triángulo de catetos 4 y 3 m en el plano del papel por el que circula una intensidad de 3A. Un campo magnético de 3 T es perpendicular al plano papel y entra en él. Calcular la fuerza total que actúa sobre cada lado y sobre el triángulo.
La fuerza del campo sobre cada hilo es F I·L B
3 4 5
F 3·3·3 27 T F 3·4·3 36 T F 3·5·3 45 T
En la figura, sen 3, cos 4
5 5
Las componentes de la fuerza total son
X 5 4
Y 5 3
4
F F cos F 45 36 0
5 F 0
3
F F sen F 45 27 0
5
16. Un protón 1
1H , un deuterón
2
1H y una partícula alfa
4 2
2He , acelerados desde el reposo por una misma
diferencia de potencial V, penetran posteriormente en una región en la que hay un campo magnético uniforme, B, perpendicular a la velocidad de las partículas.
a) ¿Qué relación existe entre las energías cinéticas del deuterón y del protón? ¿Y entre las de la partícula alfa y del protón?
b) Si el radio de la trayectoria del protón es de 0,01 m, calcule los radios de las trayectorias del deuterón y de la partícula alfa.
El protón y el deuterón tienen carga +1 y la partícula alfa +2. El protón tiene masa 1, el deuterón 2 y la partícula 4.
La energía cinética que adquieren dentro del campo eléctrico es:
PRO DEU
2
C E
ALF PRO
C PRO
PRO DEU PRO ALF PRO
PRO
E E
1
E mv W qV
E 2E 2
2E 2E 2 2
v v v v v v
m m 2 2
El radio de la trayectoria descrita en el campo magnético es:
PRO PRO PRO PRO
DEU PRO ALF PRO
PRO PRO
2 2
2 2
2m v 4 m v
mv
R R 2 R R 2 R
qB q B 2 q B
R2
B R1
F3
F4 F5
I
I I
B
