ESCUELA DE ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIONES
TEMA:
DISEIO E IMPLEMENTA CION DE A NTENA S
FRA CTA LES PA RA UHF
MEMORIA DE PROYECTO DL FIN DL
CARRERA PRE VIA A LA OBTENCION DEL TITULO DL INGENJERO EN ELECTRONJCA Y TELECOMUNICACIONES.
AUTORES: Francisco Alberto Sandoval Noreña
Sigifredo Gabriel Fire Guamán
DIRECTOR:
Ing. Marco Morocho Y aguana
IJNIVERSIDAI) TECNICA PARTICULAR DL LOU
L, U4.4h4
O446&cdIt L4t
ESCUELA DE ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIONES
TEMA:
DISESO E IMPLEMENTA CION DE A NTENA S
FRA CTA LES PA RA UHF
MEMORIA DE PROYECTO DE FIN DE CARRERA PREVIA A LA OBTENCIÔN DEL TITULO DE INGENLERO EN ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIONES.
AUTORES:
Francisco Alberto Sandoval Noreña
Sigjfredo Gabriel Pre Guamán
DIRECTOR:
Ing. Marco Morocho Y aguana
I ngenie ro
Marco Moroct'io
DIRECTOR DE TESIS
CE R TI FIG A:
Que el presente Proyecto de Fin de Carrera, previo a la obtenciOn del tItulo de INGENIERO EN ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIONES , ha sido dirigido y revisacio en todas sus partes, por lo mismo, cumple con los requisitos legales exigidos por la Universidad Técnica Particular de Loja, quedando autorizada su presentaciOn.
CESION DE DERECHOS
Los Autores, declaran estar de acuerdo con la disposiciôn del Estatuto Orgánico de la Universidad Técnica Particular de Loja en su Art. 67, en el cual se enuncia lo
siguiente: "Forman parte del patrimonio de la Universidad la propiedad
intelectual y tesis de grado que se realicen a través o con el apoyo financiero académico o institucional (operativo) de la Universidad".
Francisco Alberto Sandoval Noreña
AUTORIA
El presente proyecto de Fin de Carrera con cada una de sus observaciones, análisis, evaluaciones, conclusiones y recomendaciones emitidas, es de absoluta responsabilidad de los autores.
Ademãs, es necesario indicar que la información de otros autores empleada ene I presente trabajo está debidamente especificada en fuentes de referencia y apartados bibliográficos.
Francisco Alberto Sandoval Noreña
INTROOUCCIÔN
El presente documento tiene la finalidad de exponer los resultados obtenidos durante la realización del proyecto de fin de carrera con respecto at diseño y apticacion de antenas fractales. Para 10 cual se presenta primeramente una introducción al amplio campo de la geometria fractal, sus ejemplos más representativos y aplicacián de estos en el mundo real.
A continuaciOn se trata el tema de los fractales aplicados especificamente para antenas, en donde se explican ]as ventajas de usar dichas figuras como elementos radiadores, asI como tamblén se da una descripciôn muy detallada de los modelos utilizados como son: La Isla de Koch y el Triangulo de Sierpinski. En esta secciôn tamblén Se descnben los parémetros utilizados en el diseño tanto de las antenas como del balun y del reflector.
Los resultados obtenidos en la simulación de los prototipos se presentan en el capitulo 3. El cual se encuentra dividido en cuatro secciones, la primera es una introducciOri a los resultados en donde se describe el software utilizado y los parámetros que se midieron en cada antena. Las dos secciones siguientes presentan los resultados de cada uno de los cuatro modelos, dos basados en Ia Isla de Koch y dos en el triángulo de Sierpinski. A continuación se explican los aspectos relacionados con la construcciôn de los prototipos.
OBJETIVOS
Objetivo General:
. Diseñar e implementar antenas con forma fractal para UHF.
Objetivos Especificos:
Establecer pautas de diseño que permitan relacionar las dimensiones de la antena con respecto a los parámetros de la misma.
• Diseñar y simular una antena fractal utilizando la curva de Koch para UHF. • Diseñar y simular una antena fractal utilizando el triángulo de Sierpinski para
UHF.
DEDICATORIA
A mis hijas (Evelyn y Paola) por ser la
Iuz que me ilumina cada dia por muy
nublado que este.
Gabriel Vire
A mis padres, Lubin y Fabiola. A José y
Maria, mis hermanos.
AGRADECIMIENTO
A nuestro director de proyecto de fin de carrera, Ing. Marco Morocho por su acertada gula, constante preocupacion, tiempo y esfuerzo dedicado a este proyecto.
Al Ing. Fernando Cabrera, quien permitiO realizar las pruebas iniciales con sus equipos y nos facilitO la obtenciOn de algunos de los componentes utilizados en la implementación.
Al Ing. Bolivar Aguilera, Jefe del Departamento Técnico del Centro de Metrologla de la Fuerza Terrestre, y todo el personal que labora en esta instituciOn, por permitirnos conocer y realizar las pruebas prácticas en dicho lugar, además de brindarnos su apoyo incondicional.
Los Autores
A Dios, a mis gulas y maestros. Los de aqul y los de alIã.
A mi famUia que me apoya anImica, moral, material y econOmicamente durante todos estos años.
A mi padre: por su ejemplo.
A mi madre: por la aceptación incondicional y el apoyo mutuo que hemos conquistado.
A Andreita por todo su apoyo y por soportarme por tanto tiempo.
Y ml.
A Dios, Iuz en la penumbra.
A ml padre, porque ahora goza to que siempre buscó. Gracias por tu
protección a la distancia. AUn hoy, aunque no estás cerca me enseñas
muchas cosas.
A ml madre por sus oraciones, su apoyo incondicionat, por ser la fuerza que
motiva el avanzar en el largo sendero. Gracias, te quiero.
A ml hermano, José, por su apoyo, su compania, y su fortaleza. Por soportar
a este ermitaño.
A ml hermana, Maria, alegrIa y sencillez. Fie[ companIa de ml madre.
A la familia Torres-Jara, que con cariño que con cariño nos acogieron, y toda
la familia Jara, por hacemos parte de su vida.
A la chica del viento, gracias por tu compania, tu cariño, la confianza
depositada en mi. For tu apoyo a cada paso, por ser Iuz y alegrIa.
A mis amigos de REMAR, de la carrera, a todos aquellos que recuerdo con apreclo a pesar de que me tildan de ingrato.
Y al dios de las ondas, por estar de nuestro lado.
TABLA DE CONTENIDO
CERTIFICACION... II
CESIONDE DERECHOS ...III
AUTORIA... IV
INTRODLJCCION... V
OBJETIVOS...VI
OBJETIVOGENERAL: ... VI
OBJETIVOSEs pECIFICoS ...VI
DEDICATORIA... . ... VII
AGRADECIMIENTO...VIII
TABLADE CONTENIDO ...X
LISTADE FIGURAS ...XII
LISTADE TABLAS ... XIV
1 GENERAUDADES... 1
1.1 ORIGEN DE LOS FRACTALES . ... 2
1.2 GEOMETRIAFRACTAL ... 3
1.3 DIMENsION TOPOLOGICA V DIMENSION FRACTAL [2] • ... 4
1.4 CLASIIICACION DL LOS FRACTALES . ... 6
1.5 FRACTALES CIASICOS . ... 8
1.5.1 El conjunto de Cantor: ...8
1.5.2 La Curva de Peano ... ... ... 10
1.5.3 Lo Curva de Hilbert ... ... ... ... 11
1.5.4 LaCurvacle Von Koch ...12
1.5.5 El Triángulo de Sierpinski ... ... ... 13
1.5.6 ConjuntosdeJulia ... 14
1.5.7 FractaldeMandeibrot ... ... ... 15
1.6 FRACTALES EN EL MuNoo REAL [1] ...16
2 ANTENAS FRACTALES ... 19
2.1 INTRODUCCION ...19
2.2 PROPIEDADES DE LAS ANTENAS FRACTALES ...19
2.3 ISLA DE KocI-1 ... ... 21
2.3.2 Longitud .23
2.3.3 Dise flo de Ia antena. ... ... .... ... ... ... ... 24
2.3.4 Ancho de Ia Microcinta ... ... 27
2.4 TRIANGULO DE SIERPINSKI ...29
2.4.1 Diseflo del Dipolo ...31
2.4.2 C61culo de/dipobo ...33
2.4.3 Dipolo basado en el triánqulo de Sierpinski [Cuarta Iteracidn] ... ... 37
2.5 BALUN 0 SIMETRIZADOR ...38
2.6 DIsE0 DEL REFLECTOR ...43
3 DESARROLLO DE PROTOTIPOS ...46
3.1 SIMULACIONDE LAS ANTENAS ...46
3.2 RESULTADO DE LAS SIMULACIONES DE LAS ANTENAS BASADAS EN LA ISLA DE KOCH ... 46
3.2.1 Antena Isla de Koch con tres iteraciones ... ... ... ... 47
3.2.2 Antena Isla de Koch con dos iteraciones...49
3.3 RESULTADO DE LAS SIMULACIONES PARA LA ANTENA CON ELTRIANGULO DE SIERPINSKI ...51
3.3.1 Antena en base ala tercera iteracidn del triángulo de Sierpinski. ... 51
3.3.2 Antena en base a/a cuarta iteraci6n del tnángubo de Sierpinski ... .. ... ... 53
3.4 CONSTRUCCION DE LOS PROTOTIPOS ...55
4 VALIDACION DE RESULTADOS...59
4.1 RESULTADOS DE LAS PRUEBAS EXPERIMENTALES...63
4.1.1 Respuesta en Impedancia ... .. ... ... ... 63
4.1.2 Diagrama de Radiacidn ...70
5 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ...76
5.1 CONCLUSIONES ... 76
5.2 RECOMENDACIONES ...78
6 TRABAJOS CITADOS ...80
7 BIBLIOGRAFIA ...81
8 ANEXOS ...83
8.1 ANEXO I: CENTRO DE METROLOGIA DE LA FUERZATERRESTRE...83
LISTA DE FIGURAS
FIG. 1.1 CONJUNTO OF CANTOR 2
FIG. 1.2 FRACTALES LINEALES: (A) CONJUNTO DE CANTOR, (B) ISLA DE KOCH, (C) TRIANGULO DE
SIERPINSKI (CREADOS ATRAVES DE FRACTI NT [41) 7
FIG. 1.3 FRACTALES NO LINEALES: (A) CONJUNTO OF MANDELBROT, (B) CONJUNTO DE JULIA
(CREADOS A TRAVES OF FRACTINT [41) 8
FIG, 1.4 CONJUNTO DE CANTOR 9
FIG. 1.5 CURVA DE PEANO: (A) PRIMERA ITERACION, (B) SEGUNDA ITERACION, (C) TERCERA
ITERACION, (D) CUARTA ITERACION (CREADA CON FRACTINT [41) 10
FIG. 1.6 CURVA OF HILBERT: (A) PRIMERA ITERACION, (B) SEGUNDA ITERACION, (C) TERCERA
ITERACIÔN, (0) CUARTA ITERACIóN (E) OCTAVA ITERACION (CREADA CON FRACTINT [41) 11
FIG. 1.7 CURVA OF KOCH: (A) ITERACION CERO, (B) PRIMERA ITERACIN, (C) SEGUNDA ITERACION,
(D) TERCERA ITERACIÔN. CREADA CON FRACTINT [41 12
FIG. 1.8TRIANGULO DESIERPINSKI, PROCESO DE CONSTRUCCIóN: (A) ITERACION CERO, (B) PRIMERA
ITERACION, (C) SEGUNDA ITERACIóN, (D) TERCERA ITERACIãN. 13
FIG. 1.9 CONJUNTO OF JULIA [4] 15
FIG. 1.10 FRACTAL DE MANDELBROT [4] 15
FIG. 2.1 ISLA DE KOCH A DIFERENTES ITERACIONES, (A) ITERACION CERO, (B) PRIMERA ITERACIÔN,
(C) SEGUNDA ITERACION, (D) TERCERA ITERACIÔN. 22
FIG. 2.2 GENERACIN DE LA CURVA DE KOCH: (A) ITERACIóN CERO, (B) ITERACION UNO. 22
FIG. 2.3 CURVA DE KOCH EN LA 3RA. ITERACION. 23
FIG. 2.4 ITERACION CERO DE LA ISLA DE KOCH 25
FIG. 2.5 ANTENA FRACTAL DE KOCH A LA TERCERA ITERACION. 26
FIG. 2.6 GANANCIA DE LOS MODELOS A DISTINTAS ITERACIONES 27
FIG. 2.7 SECCION DE LA ANTENA CON UN ANCHO DE CINTA DE 2.5 MM. 28
FIG. 2.8 GANANCIA DE LOS MODELOS CON DISTINTO ANCHO DE CINTA, A LA 3RA. ITER. 29
FIG. 2.9 DISTRIBUCIN OF CORRIENTE PARA UN DIPOLO FRACTAL CON TRIANGULO OF SIERPINSKI,
PARA LAS FRECUENCIAS (DE IZQUIERDA A DERECHA) DE 900, 1800, 3600 MHZ. 30
FIG. 2.10 ALTURAS PARA EL DIPOLO BASADO EN EL TRIANGULO DE SIERPINSKI 34
FIG. 211 INTRODUCCION DE PARCHES OF ACOPLAMIENTO 36
FIG. 2.12 ESTRUCTURA OF ANTENA FRACTAL CON TRIANGULO DE SIERPINSKI CLASICO SIMULADO 36
FIG. 2.13 DIPOLO BASADO EN TRIANGULO DE SIERPINSKI [CUARTA ITERACIÔNJ 37
FIG. 2.14 DESCRIPCION DE LINEAS EQUILIBRADAS V NO EQUILIBRADAS. (6) 38
FIG. 2.15 SIMETRIZACION MEDIANTE ESTRUCTURA [6] 39
FIG. 2.16 BALUN EN ANTENA FRACTAL 41
FIG. 3.1 ANTENA ISLA DE KOCH CON TRES ITERACIONES. 48
FIG. 3.2 DISTRIBUCION DE CORRIENTE A 915 MHZ. 49
FIG. 3.3 ANTENA ISLA DE KOCH CON DOS ITERACIONES. 50
FIG. 3.4 DISTRIBUCION DE CORRIENTE A 915 MHZ. 51
FIG. 3.5 GRAFICA GANANCIA VS FRECUENCIA PARA ANTENA CON TRIANGULO DE SIERPINSKI EN
TERCERA ITERACION SIN PLANO REFLECTOR 52
FIG. 3.6 GRAFICA GANANCIA VS FRECUENCIA PARA ANTENA CON TRIANGULO DE SIERPINSKI EN
TERCERA ITERACION CON PLANO REFLECTOR 53
FIG. 3.7 GRAFICA DE GANANCIA VS FRECUENCIA PARA LA CUARTA ITERACIÔN DEL TRIANGULO DE
SIERPINSKI SIN PLANO REFLECTOR 54
FIG. 3.8 GRAFICA DE GANANCIA VS FRECUENCIA PARA LA CUARTA ITERACION DEL TRIANGULO DE
SIERPINSKI CON PLANO REFLECTOR 55
FIG. 3.9 PROTOTIPOS DE PRUEBA EN BAQUEUTA. (A) DE TERCERA ITERACION TRIANGULO DE
SIERPINSKI. (B) DE ISLA KOCH TERCERA ITERACIN. (C) CONECTOR UTILIZADO RP-SMA
MACHO-MACHO 56
FIG. 3.10 PROTOTIPOS FINALES EN FIBRA DE VIDRIO 57
FIG. 3.11 CONECTOR RP-SMA PARA PSB 58
FIG. 4.1 ESQUEMA DEL MONTAJE PARA REALIZAR LAS MEDICIONES 59
FIG. 4.2 MAXI UNIVERSAL ADAPTER KIT, MODEL 5748 OF ITTROMANA AN ITT CANNON COMPANY.
60
FIG. 4.3 ANTENA YAGI 902 MHZ. 60
FIG. 4.4 SPECTRUM ANALYZER HP (HEWLETT PACKARD) MODEL 8565E. 30 HZ A 50GHZ 60
FIG. 4.5 NETWORK ANALIZER HP (HEWLETT PACKARD) MODEL 8753D. 30KHZ A 6GHZ 61
FIG. 4.6 SIGNAL GENERATOR HP (HEWLETT PACKARD) MODEL 8657B. 31 A 2000 KHZ 61
FIG. 4.7 ANALIZADOR DE ESPECTROS Y ANTENA YAGI DE 902 MHZ 62
FIG. 4.8 GENERADOR DE FUNCIONES Y ANTENA A PROBAR 62
FIG. 4.9 MEDICIONES SIN PLANO REFLECTOR 62
LISTA DE TABLAS
TABLA 2.1 COMPARACION DE DIPOLO BASADO EN ELTRIANGULO DE SIERPINSKI ENTIRE LA FORMA
CLASICA DEL FRACTAL Y LA FORMA LINEAL. 35
TABLA 2.2 VARIACION DEL DIAGRAMA DE RADIACIN CAMPO LEJANO RESPECTO A LA VARIACION DE
LONGITUD DEL BALUN (2. RESPECTO A LA MENOR FRECUENCIA) 42
TABLA 2.3 COMPARACION DE DIAGRAMAS DE RADIACIÔN YVALORES MAXIMOS DE GANANCIA PARA
ANTENAS FRACTALES CON TRIANGULO DE SIERPINSKI CON YSIN PLANO REFLECTOR. 44
TABLA 3.1 RESULTADOS DE LA SIMULACION DE LA ISLA DE KOCH CON 3 ITERACIONES. 48
TABLA 3.2 RESULTADOS DE LA SI MULACION DE LA ISLA DE KOCH CON 2 ITERACIONES. 50
TABLA 3.3 RESULTADO DE LAS SIMULACIONES PARA LA ANTENA EN BASE A LA TERCERA ITERACIÔN
DEL TRIANGULO DE SIERPINSKI 51
TABLA 3.4 RESULTADO DE LAS SIMULACIONES PARA LA ANTENA EN BASE A LA CUARTA ITERACION
DEL TRIANGULO DE SIERPINSKI 53
TABLA 4.2 IMAGENES DE RESPUESTA EN IMPEDANCIA, ANTENA DE SIERPINSKI, SIN PLANO, TERCERA
ITERACION 63
TABLA 4.4 IMAGENES DE RESPUESTA EN IMPEDANCIA, ANTENA DE SIERPINSKI, SIN PLANO, CUARTA
ITERACIãN 64
TABLA 4.6 IMAGENES DE RESPUESTA EN IMPEDANCIA, ANTENA DE SIERPINSKI, CON PLANO,
TERCERA ITERACION 65
TABLA 4.8 IMAGENES DE RESPUESTA EN IMPEDANCIA, ANTENA DE SIERPINSKI, CON PLANO, CUARTA
ITERACION 66
TABLA 4.10 IMAGENES DE RESPUESTA EN IMPEDANCIA, ANTENA ISLA DE KOCH, SIN PLANO,
SEGUNDA ITERACION 67
TABLA 4.12 IMAGENES DE RESPUESTA EN IMPEDANCIA, ANTENA ISLA DE KOCH, SIN PLANO, TERCERA
ITERACION 67
TABLA 4.14 IMAGENES DE RESPUESTA EN IMPEDANCIA, ANTENA ISLA DE KOCH, CON PLANO,
SEGUNDA ITERACIÔN 68
TABLA 4.16 IMAGENES DE RESPUESTA EN IMPEDANCIA, ANTENA ISLA DE KOCH, CON PLANO,
TERCERA ITERACION 69
TABLA 4.17 VALORES DE POTENCIA PARA ANTENA DE SIERPISNKI A 922,91 MHZ - TERCERA
ITERACION, SIN PLANO 70
TABLA 4.18 VALORES DE POTENCIA PARA ANTENA DE SIERPISNKI A 1813,4 MHZ - TERCERA
ITERACION, SIN PLANO 71
TABLA 4.19 VALORES DE POTENCIA PARA ANTENA DE SIERPISNKI A 922,91 MHZ - TERCERA
TAB LA 4.20 VALORES DE POTENCIA PARA ANTENA DE SIERPISNKI A 922,91 MHZ - TERCERA
ITERACIÔN, SIN PLANO Y POLARIZACIÔN VERTICAL 72
TABLA 4.21 VALORES DE POTENCIA PARA ANTENA DE SIERPISNKI A 1733 MHZ - TERCERA ITERACIÔN,
SIN PLANO 72
TABLA 4.22 VALORES DE POTENCIA PARA ANTENA ISLA DE KOCH A 940 MHZ - SEGUNDA ITERACIÔN,
SIN PLANO 73
TABLA 4.25 VALORES DE POTENCIA PARA ANTENA ISLA DE KOCH A 940 MHZ - TERCERA ITERACIÔN,
SIN PLANO 73
TABLA 4.26 VALORES DE POTENCIA PARA ANTENA ISLA DE KOCH A 1816,28 MHZ - TERCERA
ITERACION, SIN PLANO 74
TABLA 4.23 VALORES DE POTENCIA PARA ANTENA ISLA DE KOCH A 1849,16 MHZ - SEGUNDA
ITERACION, CON PLANO 74
TABLA 4.24 VALORES DE POTENCIA PARA ANTENA ISLA DE KOCH A 941 MHZ - SEGUNDA ITERACION,
I GENERALIDADES:
A través de mucho tiempo en la historia, las matematicas basaron el estudio de [as formas que rodean el entorno por medio de la geometrIa euclidiana, la cual fundamenta su estrategia de análisis en las propieclades y mediciones de elementos tales como puntos, IIneas, pianos y volümenes. Pero, para la mayoria de estructuras que se presentan en la naturaleza resulta casi imposible, definirlas y descnbirlas con exactitud a través de este limitado conjunto de elementos. Entre ellas, por ejemplo, una linea costera, ramificaciones arbOreas o bronquiales, rocas, montañas, nubes, piantas, etc. Es por esto que se buscaron nuevas alternativas y artilugios matemáticos que permitan mayor exactitud y precision para dicha tarea. De esta necesidad surgen los fractales, término que encierra un conjunto de estructuras complejas e irregulares descntas par medio de algontmos matemáticos y computacionales.
El término fractal, fue introducido hace relativamente poco tiempo por el "padre de los fractales", Benoit Mandelbrot 1 , en 1975. La palabra fractal procede del adjetivo latino fractus que significa "interrumpido", "irregular' o "fraccionario". A través del tiempo se han venido dando varios conceptos de los fractales, mas no hay hasta la actualidad un consenso total con respecto a todo Ia que abarca dicho término. Pero se tiene clara que estos objetos tienen coma caracteristicas fundamentales la propiedad de autosimilitud, y su dimensiOn fraccionaria.
La geometrIa fractal no remplaza a la euclidiana, más bien, viene a convertirse en un complemento, y aunque la mayoria de autores toman coma punto de partida para sus comparaciones y análisis la geometria euclidiana, otros proponen que es más preciso establecer diferencias considerando la propiedad de diferenciabilidad. De esta forma, la geometria fractal permite el análisis de formas no-diferenciables a cualquier escala. La geometrIa diferenciable estudia las formas geometricas que
1
miradas en pequeno" son lisas. Y, aunque las formas que estudia Ia geometria euclidea pueden ser diferenciables, la clasificaciôn geometria euclidea/no-euclidea no coincide con Ia clasificación geometria diferenciable/no diferenciable.
1.1 ORIGEN DE LOS FRACTALES:
La geometria fractal es una extension de la Geometria clásica, no remplaza a ninguna de sus areas, pero profundiza y enriquece su potencial. Desde su nacimiento es evidente la ligadura tan estrecha que mantiene con la Matemática modema. Con independencia del momento reciente de su concepciOn, es indudable que hasta que las Matemáticas no alcanzaron un nivel propicio, el progreso de los fractales estaba muy limitado. Ahora, par el contrario, está experimentando un fuerte desarrollo pues camina en paralelo con Ia gran aplicaciOn de [as Matemáticas que es la de los potentes ordenadores en los que necesita apoyarse. [1]
La busqueda del significado de "continuidad" llevO a Cantor a construir el conjunto que Ileva su nombre y que es uno de los primeros fractales que se han estudiado (1883). Dicho conjunto se forma tomando una recta, par ejemplo de longitud la unidad, dividiéndola en tres partes iguales y, desechando el tercio central, se repite esta operaciOn un nümero infinito de veces y se obtiene el conjunto de Cantor (Fig. 1.1), vemos que, en cada paso que damos, aparecen dos nuevos conjuntos idénticos al del paso anterior, con una escala reductora de un tercio. Por ella se concluye que es un fractal. Posee la cualidad de autosemejanza a cualquier escala.
MUL
II II
II II
El concepto de fractal se puede abordar desde dos puntos de vista, sin embargo se acepta comUnmente que un fractal es un objeto geometrico compuesto de elementos también geometricos de tamaño y orientación variable, pero de aspecto similar. Con la particularidad de que Si un objeto fractal se le aumenta, los
elementos que aparecen vuelven a tener el mismo aspecto independientemente de cuál sea la escala que se utilice, y formando parte, como en un mosaico de los elementos mayores. Es decir estos elementos tienen una estructura geométrica recursiva.
En el tiempo que ha transcurrido desde que Mandeibrot formuló la definiciOn de fractal, es asombrosa la cantidad y la rapidez con que cientificos han elaborado modelos para descrthir y para comprender como Ia naturaleza crea sus formas, y como el crecimiento en la naturaleza está vinculado a modelos fractales.
En 1990, Kenneth Falconer2 , en su obra titulada "Fractal Geometry: Mathematical
Foundations and Applications", de la editorial John Wiley and Sons, explica que una estructura fractal debe satisfacer alguna o algunas de las propiedades siguientes:
1. Posee detalle a todas las escalas de observaciôn.
2. No es posible describirlo con geometria Euclidiana, tanto local como globalmente.
3. Posee alguna clase de autosemejanza, posiblemente estadIstica.
4. Su dimension fractal es mayor que su dimensiOn topolOgica.
5. El algoritmo que sirve para describirlo es muy simple, y posiblemente de carácter recursivo.
2 Kenneth Falconer, es profesor de Matemática Pura en la School of Mathematics and
Statistics de la University of St Andrews. Trabaja en el Analysis Research Group, donde maritiene un interés principal par la geometria y dinámica fractal y multifractal. Su pagina
1.3 DimensiOn topologica y dimensiOn fractal [2]:
El concepto de dimensián topolOgica fue introducido por Henri Poincar6 3 . La
definiciOn inductiva dada por Poincaré al introducir este concepto fue la siguiente:
El conjunto vacIo tiene dimensiOn —1.
Si los bordes de los entornos pequenos de todos los puntos del ente son espacios (n-1)-dimensionales, decimos que el espacio que consideramos es n-dimensional.
AsI, segUn esto, se tiene:
Conjunto vacIo: dimensiOn topolOgica: D = -1
Punto: dimensiOn topolOgica: D = 0
Segmento: dimensiOn topolOgica: D = 1
Cuadrado: dimensiOn topolOgica: D = 2
Cubo: dimensiOn topolOgica: 0 = 3
Otra definiciôn de Ia dimensiOn topolOgica de un objeto geometrico la dio K. Devlin
en 1988. Es la definición porel movimiento:
En una curva solo es posible moverse en una direcciOn, adelante a hacia atrás. En
una superficie es posible ir adelante, atrás, a derecha, a izquierda. En un volumen
es posible moverse, además, hacia arriba, hacia abajo. La curva tiene una dimension, la superficie tiene dos dimensiones y el volumen tiene tres dimensiones.
Una definiciOn distinta de dimensiOn topolOgica es la definiciOn por semejanza,
Ilamada también de autosemejanza, que sugirió Felix Hausdorff 4 en 1919,
readaptada posteriormente por Besicovich5 (dimensiOn de Hausdorif-Besicovich):
Henri Poincaré, fue un prestigioso matemãtico fiancés, cientifico teórico y filOsofo de la ciencia. Algunos de sus trabajos más importantes incluyen los tres volümenes de Los
nuevos métodos de la mecánica celeste, y Lecciones de mecánica ce/este. También
escribió numerosas obras de epistemologia, propedéutica, metodologia y divulgaciôn cientifica.
Felix Hausdorff, tue un matemático alemán que está considerado como uno de los
Si al obtener desde un ente H, N entes iguales, semejantes al original, con razón de semejanza a, entonces la dimension topológica de H es el nUmero real D que
verifica:
N.E0
= 1
110 sea, Ln N + D Ln c = 0. Par tanto:
D Ln(N)
Ln(1/e)
Esta definiciôn se puede justificar desde la teoria de la medida:
La medida de la uniOn de N figuras que no se solapan Al, A2,..., AN, es la suma algebraica de sus medidas:
m(unión) = >lm(A k) 1.3
Si una figura A es semejante a otra figura A', con razôn de semejanza a, la medida
de A es proporcional a la medida de A', siendo la constante de proporcionalidad una potencia de la razOn de semejanza:
W A ) (1) m(A') 1.4
Asi pues, para obtener la definiciOn de Hausdorif-Besicovich mediante Ia mediciOn de un segmento AB del que se obtienen N subsegmentos iguales, cuya razOn de semejanza con AB es a, despreciando el resto del segmento. La media total del
segmento AB es la suma de Ia medida de todos los subsegmentos iguales:
m(A B) = m(S) = N m(s 1 ) 1.5
Por otra parte:
m(A B)=().m(si) 1.6
El exponente D es, pues, Ia que Husdorif-Besicovich llama dimensiOn de autosemejan za.
Ejemplos elementales:
conjuntos, Teoria Descriptiva de Conjuntos, Teoria de la Medida, Anãlisis Funcionat y Teoria de Funciones.
Abram Samoi/ovitch Besicovitch (24 Enero 1891 - 2 Noviembre 1970) fue un matemático
Ruso-Judio, quien trabajo en Inglaterra.
Un segmento:
Si se lo divide, por ejemplo, en dos partes iguales. N = 2, = 1/2. Se tiene:
D In In 1
in() 1n2
DimensiOn de autosemejanza: D = 1.
Un cuadrado:
Si se lo dividide, por ejemplo, en 4 cuadrados iguales. N = 4. E = 1/2. Se tiene:
D=—InN 1n4 2
In() In2
DimensiOn de autosemejanza: o = 2.
Un cubo:
Si se Ic divide, por ejemplo, en 8 cubos iguales. N = 8. r = %. Se tiene:
D InN in8
- In
-Dimension de autosemejanza: D = 3.
La dimensiOn topolOgica en el sentido de Poincaré o de Devlin coincide en general con la dimensiOn por semejanza de Hausdorff-Besicovich. Pero en los fractales no ocurre asi. Se dice entonces, que la dimension definida por Poincaré o Devlin es su
Dimension Topológica y que la dimension por semejanza de Hausdorif-Besicovich
es su Dimension FractaL
1.4 Clasificación de los fractales:
Existen diferentes formas de clasificar los fractales de acuerdo a las propiedades que los describen. A continuaciOn se presentan dos de ]as clasificaciones más populares.
• De acuerdo a la propiedad de autosimilitud, los fractales pueden ser divididos en tres amplias categorlas, que son:
1.7
1.8
1.9
geométrico. A menudo se encontran en fractales definidos por sistemas de
funciones iteradas (IFS). Ejemplos: conjunto de Cantor, triangulo de Sierpinski,
curva de Peano, copo de nieve de Koch, curva del dragon, esponja de Menger, etc.
Cuasiautosimilitud: Exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a
diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y
distorsionadas de si mismos. Matemáticamente D.Sullivan definiO el concepto de
conjunto cuasiauto-similar a partir del concepto de cuasi-isometria. Los fractales
definidos por relaciones de recurrencia son normalmente de este tipo. Como
ejemplo se tiene: el conjunto de Mandeibrot, conjunto de Julia, y el fractal de
Lyapunov, etc.
Autosimilitud estadIstica: Es el tipo más débil de autosimilitud, se exige que el
fractal tenga medidas numéricas a estadisticas que se preserven con el cambio de
escala. Los fractales aleatorios son ejemplos de fractales de este tipo. Asi se tiene,
el movimiento browniano, el vuelo de Levy, los paisajes fractales o los árboles
brownianos.
De acuerdo a la linealidad, se describen dos tipos de fractales:
Fractales lineales:
Los fractales lineales son aquellos que se construyen con un
cambio en la variación de sus escalas. Esto implica algo muy importante, los
fractales lineales son exactamente idOnticos en todas sus escalas hasta el infinito.
Es decir si se ye una parte especifica muy pequena de una forma fractal se la vera
igual o similar a la forma original del fractal, solamente que más pequena. En la Fig.
1.2 se presentan algunos ejemplos. [3]
(a)
(b) (c)
Fractales no lineales: Los fractales no lineales se generan creando distorsiones no lineales o complejas. Es decir son fractales que presentan una estructura similar, pero no son exactamente igual a su original. Si se ye de cerca una parte especifica de un fractal se parecerá al original pero tendrá unas pequenas variaciones. En la Fig. 1.3 se muestran algunos ejemplos. [3]
(a) (b)
Fig. 1.3 Fractales no lineales: (a) Conjunto de Mancleibrot, (b) Conjunto de Julia (Creados a través de Fractint 141)
1.5 Fractales Clásicos:
Existen algunas estructuras que pueden ser consideradas como las pioneras dentro de los fractales y que fueron desarrolladas entre fines del siglo lxx y principios del XX, entre ellas se puede mencionar el conjunto de Cantor (1883), la curva de Peano (1890), la curva de Hilbert (1891), la isla de Von Koch (1906), el triangulo de Sierpinski (1915), el conjunto de Julia (1918), el dragon de Levy (1938), entre otros.
1.5.1 El conjunto de Cantor:
El conjunto o polvo de Cantor, conocido de tal forma por su precursor George Cantor6 en 1883, es un destacado subconjunto fractal del intervalo real [0,1]; quizás la primera estructura fractal de la que se tiene registro.
6 Georg Cantor (n. San Petersburgo, 3 de marzo de 1845, m. Halle, 6 de enero de 1918) fue
La construcción del conjunto de Cantor, fractal realizado mediante remoción de partes de una figura geometrica, se hace utilizando el siguiente algoritmo:
Estado inicial: Un segmento 0-1.
Etapa 1: Se divide el segmento en ties partes iguales y se elimina la parte central.
Etapa 2: Iterar la etapa 1 con cada uno de los segmentos obtenidos
La reuniOn de los "infinitos" segmentos que no han sido eliminados es el conjunto de Cantor, formado por una sucesiOn de segmentos cuyas longitudes "tienden" a cero. Es claro que los extremos de cada subintervalo pertenecen 0 y 1, 1/3 y 2/3,
1/9, 2/9, 7/9 y 8/9, 1/27..., hay una infinidad de puntos: los 1/3m están todos
incluidos, con n describiendo los naturales. Pero hay mucho más, por ejemplo 1/4 es un elemento del conjunto de Cantor.
Fig. 1.4 Conjunto de Cantor
Sin embargo, el conjunto es pequeño cuando se considera su longitud: el intervalo inicial [0,1] mide 1, y a cada paso, se le quita un tercio, 10 que hace que su longitud se multiplique por 2/3. La sucesiOn geométrica u = (2/3)n tiende hacia cero, Por Ic
tanto el conjunto de Cantor es de medida nula. Esto implica, en particular, que el conjunto de Cantor no puede contener ningün intervalo de medida no nula.
Al calcular la dimension del corijunto de Cantor se tiene:
In InZ
1.10
ifl(- 1n3
1.5.2 La Curva de Peano
La
Curva de Peano,
nombre en honor al matemático itaiiano Giuseppe Pean07
, es
una curva que, en su Ilmite, recubre todo el piano. Al cambiar la dimension en su
limite se sitüa en el contexto de la geometrIa fractal.
La construcción de dicha curva puede reaiizarse mediante dos métodos distintos,
uno de ellos es:
Partimos de un segmento de iongitud unidad. Deducimos 9 nuevos segmentos,
cada uno de longitud 1/3, que situamos en la disposición representada en la
primera gráfica de la Fig. 1.5, de la secuencia. Comenzando con un intervalo, este
se sustituye por una curva poligonal autointersecante formada por nueve
segmentos iguales. Este proceso se repite en cada uno de estos nueve segmentos
continuando el proceso indefinidamente. El objeto asI engendrado es estrictamente
autosemejante, ya que puede obtenerse como reunion de n9 conjuntos
semejantes a Q, reducidos cada uno de elios en la proporciOn 1/k=1/3.
La dimension de Hausdorif- Besicovitch para la curva de Peano. Viene dada par:
D inN 1n9
2
-
1n() - 1113=() (b)
[image:27.554.169.387.407.609.2](C) (d)
Fig. 1.5 Curva de Peano: (a) primera iteración, (b) segunda iferación, (c) tercera iteración, (d) cuarta iteración (Creada con Fractint f4J)
Giuseppe Peano
(27 de agosto, 1858 - 20 de abril, 1932) fue un matemático y filôsofo
italiano, conocido por sus contribuciones a Ia Teoria de conjuntos. Peano publicá más de
doscientos libros y articuios, la mayoria en matemáticas. La mayor parte de su vida la
dedicO a enseñar en Turin.
(d)
(e)
(a) (b)
17- r
(C)
Se puede observar que su dimensiOn fractal es 2, es decir, tiene la misma
dimensiOn que una superficie plana debido a que la curva rellena el piano y todos
los puntos del piano pertenecen a la curva de Peano al continuar el proceso hasta
el infinito. Este fractal es una de las excepciones (junto con el triángulo de
Sierpinski y el polvo de Cantor) a la definiciOn de Mandeibrot ya que la dimensiOn
Hausdorif - Besicovitch excede a La dimensiOn topolOgica, que es 1 y además es
entera y no fraccionaria.
1.5.3 La Curva de Hubert
[image:28.554.92.418.396.598.2]Para construir la curva de Hubert 8 se procede asi: se parte del cuadrado unidad
dividido en cuatro partes iguales y se unen sus centros tal como indica en la Fig.
1.6. Seguidamente, se divide cada uno de los cuadrados en cuatro partes y se
repite el proceso; se conectan sus centros, comenzando siempre por el cuadrado
inferior izquierdo y terminando en el cuadrado inferior derecho. Este proceso se
repite indefinidamente y se obtiene la curva de Hubert.
Fig. 1.6 Curia de Hubert: (a) primera iteración, (b) segunda iteración, (c) tercera iteraciôn, (d) cuarta iteraciôn
(e)
Octava iteración (Creada con Fractint [4])David Hilbert (23
de enero de
1862,KOngsberg, Prusia Oriental -
14de febrero de
1943,1.5.4 La Curva
de
Von Koch9La curva de Koch es uno de los fractales más utilizados al momento de realizar antenas, para obtener este, basta, al igual que con otros fractales, con describir como se consiguen las primeras iteraciones. Se parte de un segmento de recta (iteraciôn cero), el cual se divide en tres partes iguales, el segmento central se remplaza por un triángulo equilatero de lado igual a dicho segmento pero suprimiendo el lado que deberia ii sobre éI. El proceso de iteración descnto se comprende mejor al apreciar las graficas resultantes que se muestran en la Fig. 1.7.
•/\.• ., ../\ '7
Fig. 1.7 Curva de Koch: (a) iteración cero, (b) primera iteraciôn, (c) segunda Iteración, (d) tercera iterac!ón. Creada con Fractint (41
Cabe destacar que la curva de Koch presenta una aparente longitud infinita, esto puede concluirse del proceso de construcción. Para cada proceso de iteraciOn, la longitud se incrementa a:
4 Lk-1 1.12
Donde Lk_t representa la longitud de la curva en el paso precedente. La letra k
simboliza la iteración. Cuando el nümero de iteraciones incrementa la longitud de la curva diverge. Debido a esto, se evidencia que la longitud no es una medida ütil
Niels Fabian He/ge von Koch (25 de enero de 1870 - 11 de marzo de 1924) fue un
matemático sueco. Von Koch escribiO muchos articulos sobre teoria de nümeros. Uno de sus resultados (1901) fue el teorema que probaba que la hipOtesis de Riemann. DescribiO la
curva que Ileva su nombre Koch en un articulo del año 1904 titulado 'Acerca de una curva
(c
0
(a:
AAAA AAAAAA
•. A A
(d
para describir la curva de Koch, puesto que no es posible definir el limite de un nUmero infinito de iteraciones. Además como se aprecia en las graficas, la curva de Koch se construye eficazmente de esquinas por 10 que ninguna tangente ocurre en la curva. La curva de Koch no es una curva lisa y no es diferenciable en ninguna parte.
La dimension de autosimilaridad para la curva de Koch, considerando que en este caso
N
= 4 y c= 1/3, es igual a:D
= log(4) tog (3) = 1. 2618La dimension Euclidiana de la curva de Koch es 2, por to que se necesita dos coordenadas para especificar todos los puntos de la misma.
1.5.5 El Triangulo de Sierpinski
Este particular fractal, fue introducido por el matemático polaco Waclaw Sierpinski10. Se puede describir de la siguiente manera: Como punto de partida se cuenta con un triangulo equilátero de lado igual a la unidad (iteraciOn 0). A continuaciOn, se toma los puntos medios de cada uno de los lados y se traza a través de ellos un triangulo equilAtero invertido de lado igual a %. El cual se recorta (iteraciOn 1). Seguidamente, para las iteraciones consecutivas repetimos el proceso con cada uno de los diferentes triangulos que se van formando por et proceso de iteraciOn.
1.13
Fig. 1.8 Triangulo de Sierpinski, proceso de construcción: (a) Iteración cero, (b) primera iteraciôn, (c) segunda iteración, (d) tercera iteraciôn.
10 Waclaw Sierpiriski (Varsovia, 1882- id., 1969) Matemático polaco. Miembro fundador de la
Como se puede apreciar en la gráfica, el triangulo de Sierpinski es autosimilar. Se puede descomponer en ties figuras congruentes. En definitiva, para una iteración del triángulo de Sierpinski k, dicho fractal se divide en 3k piezas autosimilares las
cuales al aumentarse en un factor 2 < nos Ilevan a la figura original.
La dimension de autosimilandad para el triàngulo de Sierpinski, tomando en cuenta lo expuesto en los parrafos anteriores, se ye determinada por los valores: N = 3 y =
1/2, yes igual a:
D = log (Z) = (3) 1.58496... 1.14
1.5.6 Conjuntos de Julia
Estos conjuntos son la fuente de aigunos de los fractales mäs interesantes y conocidos de la actualidad. En el año 1918 fue cuando Gaston Julia 11 , matemático frances, publicó su trabajos acerca de estos conjuntos que Ilevan su nombre.
Los conjuntos de Julia se definen a través de una funciOn racional definida en el piano complejo Z. Tomada una funciôn R(z[n+1]) = P(z[n]) / Q(z[n]), donde P(z[n]) y Q(z[n]) son polinomios definidos en Z y la n representa el valor de z en la n-ésima iteraciOn, el conjunto de Julia asociado a R incluye a todos los puntos del piano complejo tales que al aplicarles un nümero n de veces Ia funciOn R el resultado siempre se encuentra dentro de un determinado limite (es decir, el resultado no tiende a infinito, sino que estã acotado por un cierto valor). Lin ejemplo se aprecia en Ia Fig. 1.9.
Gaston Maurice Julia (3 de febrero de 1893, Sidi Bel Abes, Argelia -19 de marzo de 1978,
Paris, Francia) tue un matemàtico frances. Julia fue un precursor en los fractales. Fue el primero en estudiar el tema Su notoriedad culminô al ser publicado su articulo informe sobre ía iteracián de las funciones racionales (Memoire sur l'tération des fonctions
rationne/les) en la revista francesa de matemàticas Journal de Mathemotiques Pures et
Fig. 1.9 Conjunto do Julia f4J
1.5.7 Fractal de Mandeibrot
Este fractal debe su nombre al matemático Benoit Mandelbrot, que en 1979
comenzó a estudiar un conjunto de puntos en el piano complejo Z tales que el
conjunto de Julia correspondiente a ellos era conexo y a la vez no computable.
Dicho conjunto de puntos se conoce también como conjunto de Mandelbrot.
Un fractal de Mandeibrot de orden n, se calcula operando sobre una ecuaciôn de
nümeros complejos (la ecuación de Mandeibrot). En realidad, existen muchos
fractales de Mandeibrot, la diferencia entre cada uno de ellos es su orden. Una vez
conocida dicha ecuaciOn, ya es posible determinar si un punto del piano complejo
pertenece o no a un fractal de orden n. Un ejemplo se evidencia en la Fig. 1.10.
1.6 Fractales en el Mundo Real [1]
El estudio de la teorla fractal ha permitido la aplicación de los principios en una gran variedad de areas, a continuaciôn se preserita una tabla en donde se describen el Area de aplicaciOn asI como también ]as ventajas que ha aportado el uso de esta teorla a diferentes ciencias.
AREA DESCRIPCION
Recientemente se han descubierto una familia de fractales con caracterIsticas similares a las de los spin magneticos en las transiciones de fase o de los bloques elementales fracturados para los modelos de percolación.
El movimiento browniano de una particula sometida al bombardeo incesante de millones de pequeñisimas partIculas de aire, recorre un camino fractal de dimension FIsica
proxima a 2. Algo muy parecido al comportamiento de las partIculas subatOmicas.
Existen modelos estadisticos de Geometria fractal para el análisis de resistencias en estructuras complejas, o de propagaciOn de la corrosiOn o también para estudiar el comportamiento de aeronaves frente a turbulencias formadas por fuertes rafagas variables de viento.
Los perfiles y grietas de un macizo montañoso presentan autosemejanza fractal, igual que un bosque de helechos o Naturaleza el delta de un gran rio. Se ha comprobado que la propagaciOn de un incendio forestal en una plantaciOn ordenada de ãrboles sigue una conducta fractal.
Durante el zincado
0
galvanizado de superficies, se produce una distribuciOn idéntica al crecimiento de los lndustriaEl estudlo de fallas, la morfologla fluvial (deltas, canales, etc.), la Topografia terrestre, análisis de terremotos y Geologia Sismo-tectánica, etc. se están abriendo camino par modelos fractales que ayudan al avance en investigaciones hasta ahora problemáticas.
La GeometrIa fractal ha demostrado su utilidad en la detección de almacenamientos bajo el agua a en la Militar trazabilidad del movimiento de submannos, como en
análisis medioambiental para la determinación del origen y ruta seguida par nubes de Iluvia ácida.
También se puede encontrar fractales en diferentes facetas del Arte. Al Ampliar los bordes del Conjunto de Mandeibrot se encontra figuras iguales a los mandalas
0
dibujos budistas introductorios a la meditación. Igualmente se encuentran en las artes islàmicas, celtas, egipcias
0
aztecas. En la pintura abstracta se encuentra obras de Dail, Escher o Pollock con auténticos diseños fractales. En los sonidos y en la mUsica podemos encontrar distribuciones de frecuencias fractales, desde el ruido de una catarata a el golpeteo de las olas del mar al canto de un pájaro o a una obra de Bach(0
de los Beatles). En Arquitectura se puede observar Ia Sagrada Familia de Gaudi, a los detalles fiIigransticos del barroco coma verdaderos fractales. Las catedrales goticas son buenos ejemplos de vision intuitiva fractal.Par ültimo, nosotros somos fractales. Nuestros pulmones, el sistema sanguineo, el cerebro, tienen estructuras fractales. Se ajustan a la propiedad de autosemejanza en los cambios de escala. Los pulmones con una superficie cerrada poseen curvas de longitud infinita con grandes grupos de perfiles curvos con exactamente los mismos limites. Asi es como maximizan los pulmones su superficie de intercambio. Par ejemplo, los bronquios en sus siete primeras ramificaciones tienen una dimensiOn fractal diferente a Ia dimensiOn de las ramificaciones de mayor nivel. Recuerde que la superficie pulmanar puede cubrir una pista de tenis, mientras que su volumen casi cabe en una pelota de tenis.
raIz cuarta. Piense que artenas que ocupan aproximadamente solo el 3% del volumen del cuerpo, son capaces de Ilegar a todas [as células del organismo para suministrar los nutnentes necesarios utilizando Ia menor cantidad posible de sangre y todo el proceso transcurriendo a través de interfaces comunes en contacto fIsico.
2 ANTENASFRACTALES
2.1 lntroducción:
En la actualidad, los sistemas de comunicaciones necesitan antenas con gran
ancho de banda y reducido tamaño con respecto a las antenas conocidas
tipicamente. Pci Ic cual, se ha buscado opciones que satisfagan dichas
necesidades. Una alternativa son las antenas fractales, las cuales por su estructura
permiten log ran estos objetivos.
Existe un sin nümero de fractales, pero dentro del ãmbito de la aplicacion en
antenas, entre los más utilizados podrIa mencionarse: Ia isla de Koch, el triangulo
de Sierpinski, los fractales de árbol en dos y ties dimensiones, la curva de Koch, la
curva de Hubert, el fractal de Mandelbord, etc. Estos de acuerdo a su forma y
propiedades son aplicados a diferentes tipos de antenas como ]as antenas de
bucle, dipolos, antenas multibanda y la formación de arreglos.
En esta tesis se abarca el estudio a detalle de los dipoles utilizando la isla de Koch
y el tnangulo de Sierpinski.
2.2 Propiedades de
las Antenas Fractales
Par mucho tiempo la dependencia del tamaño de la antena con respecto a la
longitud de onda ha marcado la tendencia de diseño de las mismas, 10 cual en
ocasiones se ha convertido en un verdadero problema debido a la preferencia hacia
la miniaturizac,ôn de los diferentes equipos. En este sentido, la utilización de formas
fractales y arreglos puede ayudar a sobrepasar estos altercados contribuyendo con
una amplia y variada gama de formas geométricas con disposiciones propicias para
las necesidades de antenas actuales.
Asi pues, ]as antenas realizadas en base a geometrIas euclidianas ya no permiten dar soluciôn a estos iriconvenientes, por Ic cual ha sido necesario la busqueda y desarroilo de nuevos diseños que permitan soiventar la arremetida de las innovaciones de las comunicaciones inaiámbricas del presente.
Como se describe anteriormente, existen vanas razones por Ic cual utilizar formas fractales en el diseño de antenas, las más importantes se detailan a continuación [3]:
1. Los fractales presentan geometrIas autosimilares (contienen varias copias de Si misma a diferentes escalas), Ic que permite que al aplicar dicha forma
a una antena, esta adquiera propiedades multibanda.
2. La dimensián fractal de aigunos fractales (tendencia a longitudes infinitas en Areas finitas), permite la reducción del tamaño de las antenas a realizar respecto a una hecha en base a geometrias euclidianas.
3. Muchos de los fractales cuentan con formas irregulares, bordes afilados, discontinuidades y esquinas, los cuales mejoran notablemente la radiación electromagnética, por lo que estas geometrias se constituyen elementos radiantes eficientes.
4. Las antenas realizadas en base a geometrias fractales, suelen tener incrementos notables respecto a la impedancia de entrada, to cual permite facilitar el acople entre Ia antena y la linea de transmisión.
5. Se pueden conseguir factores de calidad (Q) bajos reconociendo que existen limites fundamentales referidos a cuan pequenas pueden ser las antenas, y que explican que una antena es pequeña cuando puede ser encerrada en una esfera radian, es decir, una esfera con radio a = J27r si la estructura Ilena bien la esfera circunscrita se logran factores de calidad bajos y polio tanto el ancho de banda puede ser mejorado.
6. Debido a que combinan la robustez de la colocaciôn aleatona con Ia eficiencia de una ordenaciOn coherente, los arregios de antenas consiguen un mejor desempeno.
de bucle at utilizar fractales como la isla de Koch, la curva de Minkowski, etc., en
donde se busca minimizar el tamaño de la antena e incrementar la impedancia de
entrada. Por separado se presenta el estudio de estructuras como el triangulo de
Sierpinski cuya estructura permite lograr antenas multibandas. AsI pues, de
acuerdo a las diferentes estructuras fractales utilizadas podemos lograr ciertas
ventajas concretas.
2.3 Isla de Koch
Fue inicialmente ideada par Helge Von Koch, con elfin de demostrar sus estudios
matemãticos en la obtenciOn de curvas continuas sin tangente en punto alguno.
Pero inmediatamente luego de su publicación, Ernesto Césaro demostró que la
curva en cuestiôn es auto-semejante, y junto con otras caracteristicas coma
dimensiOn fraccionana y formaciOn por iteraciOn, permiten a esta figura el obtener la
denominaciOn de fractal.
En este estudia se decidiO tomar este fractal para analizar sus propiedades coma
antena debido a la caracteristica que posee de aumentar considerablemente su
longitud de acuerdo a la iteraciOn, sin que esto incida en el espacia ocupado par
dicha figura, con el fin de obtener antenas con un comportamiento aceptable a
determinada frecuencia y que además su pequeño tamaño da mayores
posibHidades de usa.
A
cVFig. 2.1 Isla de Koch a diferentes iteraciones, (a) Iteraciôn cero, (b) primera iteración, (c) segunda iteración, (d) tercera iteración.
Este tipo de fractal es ampliamente estudiado para ser usado como antena ya que como se puede ver, la longitud de la curva aumenta significativamente con la iteraciOn, pero el area ocupada por ésta se mantiene casi constante. En el siguiente capitulo se detalla cada una de las caracterIsticas y propiedades que tiene dicha figura al ser usada como elemento radiador.
2.3.1 Dimension
Para obtener la dimension de la Isla de Koch, primeramente se explicará la forma en que se genera dicha figura, la cual está dada por el siguiente algoritmo. Se inicia con un segmento de recta de longitud L, luego a este se lo divide en tres partes iguales, y la parte del centro es reemplazada por dos segmentos de longitud L13, ubicados de tal forma que un extremo de cada segmento este unido al otro formando un ángulo de 600 y los otros extremos de cada segmento se unan a los segmentos iniciales. Esto se puede observar en la Fig. 2.2.
(a
(b)
log (4)
11
log Ij 2.1
Para las siguientes iteraciones el proceso a seguir consiste en escalar Ia figura a 1/3 y reemplazar cada segmento por dicha figura, el resultado de la iteraciôn 3 se puede ver en la Fig. 2.3:
L, L L.
Fig. 2.3 Cuava de Koch en la 3ra. Iteración.
Prosiguiendo con el ejemplo, a continuación se obtiene la dimension de la figura fractal que se dibujO. Para ello se utiliza la ecuaciOn 1.2, en este caso el valor de N es 4, debido a que (a figura inicial es reemplazada por 4 copias más pequenas de
Si
misma, cuyo tamaño es un tercio del original, de ahI que el valor de e es de 1/3.Por lo tanto se tiene que la dimensiOn de la curva de Koch es:
D =1.2618595 2.2
Como se puede ver su dimensiOn no es un nUmero entero, sino que es un nümero fraccionarlo, que es de donde los fractales obtienen su nombre.
2.3.2 Longitud
menor de 10 habitual, 10 cual se podia comprobar más adelante, ya que se consigue una reducciôn considerable del tamaño con respecto a la antena diseñada con el triángulo de Sierpinski. La longitud total en cualquier iteraciOn está dada por la ecuaciôn 2.3:
L
=i
* ()" 2.3Donde
L
es la longitud total de la curva,I
es la longitud inicial de la curva y n es la iteracián a la que se desea determinar la longitud. Por ejemplo S i se desea determinar (a longitud a la tercera iteración de (a curva de Koch, cuyo segmento inicial mide 20 cm, se tiene 10 siguiente:L
= 20 * ()3
2.4
L
=47.4074 cm
2.5En este ejemplo se puede ver claramente (a ventaja de este modelo, su tamaño seguirà siendo de 20 cm pero su longitud real es de más del doble, lo cual hace idôneo a este fractal para la reducciOn del tamaño de Ia antena.
2.3.3 Diseho de la antena
2.3.3.1 Longitud de la antena
Por definición la longitud, es decir el perImetro de la Isla de Koch es infinito, no puede ser deterrninado puesto que su iteración también es infinita y al aplicar la ecuaciOn 2.3 para determinar la longitud podremos darnos cuenta de este fenOmeno. Por to tanto es comUn realizar solamente cierto nUmero de iteraciones a un determinado fractal, dando de esa forma la posibilidad de un uso práctico.
Tomando en cuenta lo expuesto y dado que los modelos se van a diseñar para la banda de 900 MHz, especificamente para el rango de frecuencias de 902 a 928 MHz, se tiene que de acuerdo a la ecuaciOn 2.6 las longitudes de onda iran de 0.3233 m a 0.3326 m, siendo 0.32795 la longitud de onda central (?).
I = c/f 2.6
Se decidiô que la longitud del modelo a la iteraciOn cero sea de k, para de esa forma al aumentar el nUmero de iteraciones se obtenga una antena con una longitud efectiva mucho mayor a la longitud de onda central, lo cual de acuerdo a simulaciones previas da una mayor ganancia, este resultado se puede comprobar más adelante, en donde se presentan los resultados a distintas iteraciones, teniendo un mejor desempeño el modelo con la iteraciOn mâs alta.
Por lo tanto, tomando en cuenta que el balun tiene una longitud de Xj4, es decir de
8.2 cm, la longitud de la Isla de Koch a La iteraciOn cero (1) debe ser de
aproximadamente 25 cm, que es el valor con el que iniciamos nuestro diseño, el modelo y la longitud de cada lado del triangulo se puede ver en la Fig. 2.4.
2.3.3.2 Selecciôn de la iferaciôn
Como se mencionO anteriormente, inicialmente se tomaron varias iteraciones de la Isla de Koch, para con ellas realizar un análisis previo y asi determinar que iteraciones de dicho fractal nos serian de mayor utilidad al ser usados como antenas. Finalmente se seleccionO la segunda y tercera iteración debido a dos razones muy importantes:
• El objetivo at utilizar este modelo de fractal, es el de conseguir una reducción considerable en el tamaño de la antena, es por ello que es razonable que se utilice una mayor iteracióri ya que de esa forma se consigue una longitud mayor de la antena dentro de un area muy pequena. De acuerdo a esto to ideal seria utilizar una iteraciOn bastante grande, pero nuestro modelo Ilega a su IImite en la tercera iteración ya que, como se puede ver en Ia Fig. 2.5, no se puede realizar otra iteración más, debido a que el ancho de la linea no nos permite, y at hacerlo las lineas tienden a montarse entre si con to que se reduce la longitud de la anteria.
Fig. 2.5 Antena fractal de Koch a Ia fercera iteración.
análisis más extenso. En la Fig. 2.6 se pueden observar los resultados de dichas simulaciones.
4,00
' 2,00 ----•---
TIT
0,00
\-_77
-2,00 0 20 40 0 80 100,420 140 160 180
(3 -4,00 -6,00
Grados [0]
- teraciOn cero - lera. Iter. 2da. Iter. ---- 3ra. Iter.
Fig. 2.6 Ganancia de los modelos a distintas iteraciones
De acuerdo a 10 que se ye en la Fig. 2.6 se puede concluir que la ganancia de la antena va a mejorar a iteraciones mayores a la tercera, pero sin embargo la realizaciOn de dichos modelos se ye limitada debido al espesor de la microcinta, ya que coma se explicó anteriormente al realizar una iteraciOn más a la Isla de Koch se pierde el contorno de Ia figura ya que empiezan a sobreponerse las cintas, esto produce que los resultados no sea los esperados y debido a ello se descartó el análisis a iteraciones superiores.
2.3.4 Ancho de la Microcinta
De acuerdo a to que se explicO en la secciOn anterior, el ancho de la cinta juega un papel muy importante en la realizaciOn de los diseños, ya que de ella depende la maxima iteraciOn que se puede utilizar en un determinado modelo, 10 cual repercute directamente en Ia ganancia que se obtendrá. Par esta razôn es muy importante seteccionar adecuadamente este parámetra.
=
• La primera razOn se debe a que estas antenas se diseñaron para un equipo cuya potencia de transmisiOn es de 10W a un voltaje de 12V, es decir que por dicha cinta debe fluir una corriente de 0.833 A. Tomarido en cuenta las caracteristicas eléctricas de la cinta se tiene que el ancho minimo que se puede utilizar es de 1mm, caso contrario se puede provocar calentamiento de la microcinta, 10 cual desencadenaria en pérdidas de potencia y en la introducciOn de ruido en la señal, P01 lo tanto las simulaciones debian partir
con dicho valor. Es justamente en este momento que también se limita Ia iteraciôn que se puede utilizar de la Isla de Koch ya que la cuarta iteración es ónicamente factible si el ancho de la cinta es de 0.5 mm o menos.
• Teniendo como limite inferior del ancho de la cinta un valor de 1mm, se procede a determinar el limite superior, y se Ilega a la conclusion de que si el ancho de la cinta es mayor a 2mm, ésta ya no es capaz de describir correctamente el contorno de la Isla Koch, como se puede ver en la Fig. 2.7, en donde especificamente es el contorno interno el que, al no poder describir adecuadamente la figura fractal provoca esos espacios señalados en la figura como segmentos de color rojo, esto significa que la corriente ya no va seguir el contorno de la figura sino que va a pasar directamente 10 cual hace que esos picos, es decir los segmentos de cinta agregados por la Ultima iteraciOri realizada, no realiceri ninguna funciOn en la antena, y por 10 tanto se vuelvan innecesarios. Debido a este fenOmeno se limita, como ya se dijo, el ancho de la cinta a 2 mm.
4,0
2,0
-D
()
C 0
-2,0
CD -40
140 160 180
Una vez determinados los limites dentro de los cuales el ancho de Ia cinta puede variar, se diseñaron varios modelos con distintos valores para determinar el ancho adecuado que permitiria a la antena dar los mejores resultados. Estos resultados se pueden apreciar en Pa Fig. 2.8, en donde a pesar de que la variación de la ganancia es muy poca, se puede determinar fádHmente que un ancho de 2 mm de la microcinta es la mejor opcion para nuestros diseños.
-6,0 Grados [0]
—1mm —1.25 mm 1.5 mm
1.75 mm
Fig. 2.8 Ganancia de los modelos con distinto ancho do cinta, a (a 3ra. iter.
2.4 Triangulo de Sierpinski
Como ya se ha mencionado, este fractal presenta propiedades multibanda al ser aplicado a una antena, dando como resultado diagramas de radiación de campo lejano similares para diferentes frecuencias GUyO nimero va en proporciOn al de
iteraciones con los que se trabaja.
cualquiera, tomando en cuenta que la variaciOn del angulo contenido por los lados afecta la impedancia de la antena a obtener y de igual manera modifica el factor de separaciOn de las frecuencias para las cuales trabajará la antena. Para un triangulo equilatero, tenemos que el ángulo contenido es de 60 1 , por cuanto el factor de obtención de las frecuencias es 2. Esta estructura a nuestro parecer es de las más aconsejables para trabajar puesto que mantiene un factor estable para todas las iteraciones y facilita el cálculo de la estructura en todo sentido.
Para el diseño se parte de la frecuencia más baja que se desea, en este caso 900MHz, por tanto, si se utilizara una geometria con tres iteraciones de Un triàngulo equilatero, se tendrIa diagramas de radiaciOn similares para aproximadamente las frecuencias de 1800 y 3600 MHz.
Las propiedades multibanda de este tipo de antena son más notorios al analizar las gráficas de distribuciOn de corriente sobre la superficie de la antena (Fig. 2.9), ya que se presentan propiedades de similaridad a través de las bandas y un comportamiento multifrecuencial e independiente de la frecuencia.
AVA
A
OVA
AYAAY.
Surface current [A/m]
0.702 0.632 0.582 0.402 0.421 0.381 0.281 0.211 0.140 0.070 0,000
2.4.1 Diseño del Dipolo
El diseño de una antena basada en el triangulo de Sierpinski, pràcticamente se ye definida por dos parámetros: la altura de Ia antena (h) y el angulo de apertura siendo estas las variables con las cuales se puede interactuar al momento de establecer el diseño para una determinada aplicaciOn.
La altura permite establecer las frecuencias de trabajo de la antena considerando la relación proporcional entre las alturas de los triangulos formados por las diferentes iteraciones. La altura maxima se ye definida por la frecuencia menor de operacion y de igual forma la altura menor se corresponde con la frecuencia mayor de trabajo. Para determinar la altura maxima utilizamos Ia fOrmula experimental definida en [31:
umax = k-cos(O/2)5 2.7
f.
En donde:
fn = frecuencia de resonancia del triángulo formado por ]a n-esima iteraciOn.
c = velocidad de la luz.
h = altura superior de un ]ado del dipolo.
e = ángulo de apertura.
= periodo de operaciôn
ii = nUmero de iteraciOn k = constante igual a: 0,152
expresa como:
8— 2
A
Siendo:
= frecuencia de resonancia del tnàngulo formado por la n-esima iteración.
f+i = frecuencia de resonancia del triángulo formado por la n+1 iteraciOn.
= perlodo de operaciOn.
Y como ya se ha mencionado con anterioridad las alturas de los triangulos formados por las iteraciones se relacionan con las frecuencias de operaciOn, por Ia cual:
8 = 2 2.9
Mediante estas fOrmulas se puede determinar el valor de las alturas correspondientes para el diseño.
P01
otra pane, el angulo de apertura permite modificar en ocasiones la impedancia de entrada de la antena y sobre todo se utiliza para obtener con mayor precisiOn las bandas de trabajo puesto que como es de suponerse al disminuir et ángulo de apertura, se trasladan las frecuencias de resonancia a valores menores, pero si dicho ángulo es muy estrecho, se pierde las caracterIsticas multibanda de la antena.Con esta teonia se puede proceder a realizar los câlculos y posteniormente las simulaciones correspondientes.
2.4.2 Cálculo del dipolo
Se utiliza como punto de partida un triangulo equilátero para la construcción del fractal.
P01
lo cual el angulo de apertura en este caso será de 600. Y a su vez elpeiiodo de operaciOn, igual a 2.
Se procede entonces a calcular la altura maxima de la antena para la iteración 1 del fractal a través de la formula 2.7, la cual es:
h. = 0.152 E cos(6/2)g5n 2.10 In
En donde para este caso especifico:
fn = 900 MHz
C = 300 000 000 m/s
0 = 60°
n=1
Remplazando los valores tenemos:
300
hmax[m] = 0.152 * - * 900 cos(60 012) * 21
hmax[m ] = 0.08775724 h... [cm] = 8.78
Para obtener las alturas correspondientes a los triángulos de las demàs iteraciones, se utiliza la ecuaciOn 2.9, de la cual se despeja h. 1 . Hecho esto, se obtiene:
L
11n11
-Asi pues las alturas de los triangulos para las iteraciones 2 y 3 son:
8.78
h 2[cin] = = 4.39
4.39
[image:51.552.82.474.75.361.2]h 3[Cm] = = 2.2
Fig. 2.10 Aituras para el dipolo basado en el trianguIo de SierpinsVJ
Como parte complementaria, se calcula el lado del triangulo, que es también una medida necesaria para Ia construcción del fractal. Esto, a través de geometria básica. Asi pues:
h 2.12
cosO
Por 10 que el valor del lado para el triangulo mayor es:
8.78
I = cos 300
1 [cm] = 10, 14
substraldos presentan una superficie y no es un modelo lineal coma el que se implementará en las antenas a realizar (Tabla 2.1), pero a su vez se puede sustentar a través de las pruebas en simulaciOn, que los cambios que esto produce son mInimos en cuanto a ganancia de la antena obteniendo valores minimamente mayores en el trazado lineal, lo cual resultarIa poco apreciable en experiencias prácticas. Pero por otra vez, al utilizar la forma lineal del fractal, se reduce la malla necesitada por el programa de simulaciOn y por ende se optimiza recursos al momento de Ia misma, tanto en tiempo, como en memoria ram y procesador necesario para el análisis de resultados en simulación. Esto a la larga representa una ventaja, debido a la gran cantidad de simulaciones a realizar al considerar diferentes variaciones de parámetros, y coma se enuncio en primera instancia, no compromete las caracteristicas de la estructura fractal y sus propiedades como antena multibanda.
Tabla 2.1 Comparación de dipolo basado en el triangulo de sierpinski entre Ia forma clésica del fractal y la forma lineal.
900
MHz
1800 MHz
3600 MHz
Fractal
clásico
Ganancia -9.67623 dB 2.01004 dB 6.88989 dB (clásico)
Fractal lineal
Parche de
Acoplamiento
los difererites triAngulos menores que se van formando at avanzar en las iteraciones, es par esto que Ia ganancia es menor para el fractal clásico respecto at lineal. Debido a esto, para conseguir una antena en base al fractal clásico se agregan parches de acoplamiento, entre los diferentes triángulos to cual provee baja resistencia de conductividad a Ia corriente que procura penetrar dentro de un punto superior de la estructura. El tamaño del parche de acoplamiento depende de los triangulos que son conectados. [5]
Fig. 2.11 Introducción de patches de acoplamiento
Hasta este punto, se tiene la estructura básica. Para completar el diseño de la
antena, falta incluir el análisis respecto al balun, puesto que se pretende construir
un dipolo. Dicha explicaciOn se expone en los items siguientes.
2.4.3 Dipolo basado en el triangulo de Sierpinski [Cuarta Iteracion]
Con la idea de incorporar un punto de referencia para realizar comparaciones con
respecto a cambio de los parámetros de la antena con respecto al camblo en el
nümero de iteraciones del fractal, se incorpora un diseño que cuenta con cuatro
iteraciones. Su diseno y cálculo está basado en las mismas ecuaciones, ya antes
detalladas para el diseño anterior con la sola diferencia de que se debe hallar una
altura más.
[image:54.552.80.457.332.578.2]2.2
h4 [cin] = -- = 1.1
Fig. 2.13 Dipolo basado en trianqulo de Sierpinskifcuarta iteracionJ
correspondientes para la misma. Puesto que conforme se avanza en las iteraciones, comienzan a tornarse irrealizables en la práctica.
2.5 Balun o simetrizador
Los balun (o simetrizadores) son dispositivos que transforman lineas equilibradas (balanceadas o simetricas) a lIneas no equilibradas (no balanceada o no simétrica). Como 10 indica su nombre: balun: balanced to unbalanced. Lo inverso es también cierto.
Los balun permiten alimentar de forma equilibrada estructuras simétricas, como por ejemplo los dipolos, con lineas de transmisiOn asimétricas, como los cables coaxiales.
"Una lInea equilibrada es aquella en la que los dos conductores que la forman se encuentran al mismo potencial pero con signo cambiado respecto a tierra. Una lInea no equilibrada es la que tiene los dos conductores a distinto potencial, par ejemplo uno de ellos conectados a tierra". [6]
Lineas Equilibradas:
+V/2
Bifilar BifilarApantallada
Coplanar -V/2
Lineas no Equilibradas:
Coaxial Microcinta (microstrip)
[image:55.552.146.396.403.603.2]Stripline 0
Fig. 2.14 Descripciôn de Iineas equilibradas y no equilibradas. (1)
2.5. 1.1 Simetrización mediante estructura
La Fig. 2.15 a) muestra, simplificado, el modelo de una antena alimentada por una linea coaxial conectada a masa. El hecho de que uno de los brazos tenga una conexión directa a tierra provoca una asimetrIa en la estructura y una diferencia en las corrientes que circulan por los brazos de la antena. Una soluciôn para simetrizar la estructura es hacer que los caminos a tierra desde ambos brazos sea igual. Como indica la Fig. 2.15 b) De esta manera, por la simetria del conjunto, las
corrientes en los brazos de la antena deben ser iguales, asi como las corrientes que desde los extremos del generador se derivan a masa, pero estamos cortocircuitando la alimentaciOn. En realidad lo que se ha hecho es colocar una Ilnea de transmisión en paralelo con el generador y cortocircuitada en su extremo, con lo que desde el generador se vera una impedancia que será el paralelo de la antena y de la linea de simetrizaciOn. Para evitar cortocircuitar el generador, si se hace que la linea sea de longitud X14, en su extremo se tendrá un circuito abierto y
las corrientes se anularán. Hay que hacer notar que, aunque la longitud de la Ilnea de simetrizaciOn no sea ?J4 Fig. 2.15 C), la estructura sigue siendo simétrica, por 10
que las corrientes en los brazos de la antena seguirán siendo iguales. El problema es que entonces en la Ilnea varlan la impedancia vista desde el extremo del cable coaxial.
-
I
-I
77777777
'////////
b)
////////// '//////)///////
[image:56.552.168.380.436.671.2]d)
![Fig. 1.6 Curia de Hubert: (a) primera iteración, (b) segunda iteración, (c) tercera iteraciôn, (d)cuarta iteraciôn (e) Octava iteración (Creada con Fractint [4])](https://thumb-us.123doks.com/thumbv2/123dok_es/2362520.13285/28.554.92.418.396.598/hubert-primera-iteracion-iteracion-iteracion-iteracion-iteracion-fractint.webp)
