INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA
MECÁNICA Y ELÉCTRICA
DESPACHO ECONOMICO DE UN SISTEMA
TERMOELÉCTRICO A CORTO PLAZO.
T E
S I S
QUE PARA OBTENER EL TITULO DE
INGENIERO ELECTRICISTA.
P R E S E N T A N:
C. FLORES SILVA ANGEL
C. MENDOZA MONROY MANUEL ALEJANDRO
C. ROSALES ARROYO FERNANDO
ASESORES:
M. en C. FABIÁN VÁZQUEZ RAMÍREZ
M. en C. OBED ZARATE MEJÍA
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Flujos Optimos Control de Frecuencia Puntos Base Despacho Económico Configurador de Redes Procesador de Información en Tiempo Real Asignación de Unidades Coordinación Hidrotérmica Anual Pronóstico de Escurrimientos y Lluvias Datos en Tiempo Real Pronóstico de Carga
a Mediano Plazo
Pronóstico del Clima
Pronóstico de Carga a Mediano Plazo
Pronóstico del Clima Coordinación Hidrotérmica a Corto Plazo Programación de Mantenimientos Programación de Consumos de Combustibles Inventarios de Combustibles Unidades Disponibles Contratos de Combustibles Datos de Salidas Forzadas Datos de Lluvias Escurrimientos y Embalses Agua Disponible Restricciones Operativas Generación Hidraúlica Disponible Unidades Térmicas
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El despacho económico consiste básicamente en usar los recursos energéticos (térmicos, hidráulicos, solares, eólicos, etc.) disponibles para la generación de energía eléctrica en una forma optima de tal manera que cubra la demanda de electricidad a un mínimo costo y con un determinado grado de confiabilidad, calidad y seguridad.
Este consiste también en conocer la cantidad de potencia que debe suministrar cada generador para satisfacer una condición de demanda de los consumidores minimizando los costos de generación del sistema eléctrico sujeto a diferentes tipos de restricciones operativas de las plantas de generación tales como: rapidez para tomar la carga en el sistema caldera#turbina#generador, limites de generación, reserva rodante, tipos de combustible, etc.
Sin dejar a un lado las restricciones de transmisión y seguridad de la red eléctrica.
Esto es como una sintonización de todos los generadores operando a un mismo costo incremental.
!
El problema del despacho económico sin perdidas se fundamenta en una optimización estática en el tiempo, es decir, se minimiza el costo de producción en un instante para un valor de demanda del sistema, los generadores se ajustan para cumplir con los requerimientos de energía de los consumidores, satisfaciendo además otro tipo de restricciones propuestas.
La figura 4.1 muestra como los generadores conectados a una sola barra que alimentan a una carga concentrada.
El problema se formula como la minimización de los costos generadores
formando la función objetivo.
Se incluye además la restricción de que todos los generadores cumplen con la demanda.
1 2 ...
T N
F = + +F F +F ... (4.1)
1 2
0 PD PG PG ... PGN
ϕ = = − − − − ……….(4.2)
Donde: PD = Potencia de Demanda.
Cuando existe una restricción de igualdad, se propone una función extendida de Lagrange.
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PG2
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PGN
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El método más frecuentemente usado para restricciones es empleando los multiplicadores de Lagrange. La técnica será presentada usando dos variables independientes y una ecuación de restricción para ilustrar los conceptos. Luego el procedimiento será extendido al caso general de variables independientes y ecuaciones de restricción. Para el caso de dos variables independientes, tenemos:
Optimizar: ( )
Sujeta a : ( ) = 0
Mostraremos como surgen los multiplicadores de Lagrange y como un problema con restricciones puede ser convertido a un problema sin restricciones. La función beneficio y la ecuación de restricción son expandidas en una serie de Taylor. Luego, usando los términos de primer orden se tiene:
1 2 1 2 1 2 1 2 0 dy dy
dy dx dx
dx dx df df dx dx dx dx = + = +
Esta forma de la ecuación de restricción será usada para eliminar dx2 en la
función beneficio. Resolviendo para dx2 se tiene:
1 2 1 2 f x dx dx f x ∂ ∂ = − ∂ ∂
Este ecuación se reemplaza en la ecuación para dy y se obtiene:
1 1 1 1 2 2 f x y y
dy dx dx
y re#arreglando se tiene:
2
1
1 1 1
2
( )
0
y x
y f y f
dy dx
f
x x x
x λ −∂ ∂ ∂ + = → =∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Ahora podemos definir λ como el valor de [–∂y/∂x2 / ∂f/∂x2] en el punto estacionario de la función restringida. Esta razón de derivadas parciales λ es una constante en el punto estacionario, y la ecuación anterior puede escribirse como: 1 1 1 1 1 ( ) y f dy dx x x o y f dy x x λ λ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ + = ∂ ∂
En el punto estacionario dy = 0, y esto da:
1 ( ) 0 y f x λ ∂ + = ∂
Ahora si L es definido como L = y + λf, se tiene:
1 0 L x ∂ = ∂
Esta es una de las condiciones necesarias para localizar los puntos estacionarios de una función sin restricción L la cual es construida a partir de la
función beneficio y(x1,x2) y la ecuación de restricción f(x1,x2) = 0. Ahora las
mismas manipulaciones pueden ser repetidas para obtener las demás condiciones necesarias: 2 0 L x ∂ = ∂
Por lo tanto, el problema con restricciones puede ser convertido a un problema
sin restricciones mediante la formación de la función , o ,
y resolviendo este problema por los métodos previamente desarrollados de establecer las primeras derivadas parciales iguales a cero. Esto dará dos
Ejemplificando el metodo de lagrange al despacho economico:
La condición necesaria para encontrar el mínimo de la función es derivando el Lagrangiano e igualando a cero dicha derivada (Gradiente del Lagrangiano).
( )
T
F PG λϕ
Λ = + ………(4.3)
1 2 0 N PG PG V PG λ → ∂Λ ∂ ∂Λ ∂ Λ = = ∂Λ ∂ ∂Λ ∂ ………..(4.4)
Para cada generador se tiene:
1 0 i i dF
PG dPG λ
∂Λ = − =
∂ ……….(4.5)
Y para la restricción de igualdad
D N1 i 0
i
P PG
λ =
∂Λ = − =
∂
∑
……….(4.6)De (3.5) se tiene para la existencia de un mínimo, la función de Lagrange requiere que todas las unidades, operen a un mismo costo incremental.
El sistema de ecuaciones para la solución del despacho tendrá las siguientes condiciones:
i
i dF
dPG =λ N Ecuaciones
iMin i iMax
PG ≤PG ≤PG 2N Desigualdades ……….(4.7)
1
N
i D
i= PG =P
Para resolver las ecuaciones anteriores se han usado diferentes procedimientos de solución, tales como: métodos iterativos donde se empieza con un valor de λ inicial y se termina hasta que las potencias se ajustan a la demanda, soluciones directas y otras se basan en generadores con funciones de costos equivalentes.
Existen N + 1 ecuaciones y N + 1 incógnitas (NPG y una λ) y si el sistema de ecuaciones es lineal existe una solución única al despacho económico.
Al considerar una función cuadrática para el costo del generador se puede escribir. 1 1 1 1 2 2
2 0 0 1
0 2 0 1
0 0 1
2 1
1 1 1 0
N C C N N C D b PG b PG b PG P λ − − − − − = − − − − − − ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ………..(4.8)
El sistema anterior tiene la particularidad que puede ser fácilmente triangulizado, ayudando esto al algoritmo computacional.
Para λ se tiene:
2 1 2 i D i i b P c c λ + =
∑
∑
……….(4.9)Como todos los generadores operan aun mismo costo incremental la potencia de salida de (4.5) se obtiene para cada unidad como:
2 i i i b PG c λ−
'
Para que la solución sea factible los valores de potencia de generación encontrados con (4.8) deben estar dentro de ciertos límites.
PGMin ≤PGi≤PGMax ………..(4.11)
Si después de encontrar una solución con (3.8), algún generador viola uno de sus límites, existen procedimientos alternos para obtener una solución factible.
METODO I
• Eliminar la ecuación del sistema a solucionar y restar a la potencia de
demanda el valor del límite violado.
• Volver a solucionar el sistema y verificar si no existen otras violaciones
a límites de otros generadores, si se presentan, volver al paso anterior.
METODO II
• En el sistema de ecuaciones se sustituye el valor de la potencia violada y
se resuelve para las otras incógnitas.
• Si existen otras violaciones, se sustituyen los valores limites en cada
ecuación y se vuelve al paso anterior.
METODO I
1 1 1
2
2 0 0 1
2 1
1 1 1 0
N C N C N D b PG b PG P PG λ − − = − − − − − − − ⋯ ⋮ ⋮ ⋰ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ METODO II 1 1 1 1 2 2
2 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1
2 1
1 1 1 0
C viol N C N D b PG PG PG b PG P λ − − − − − − − − ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯
Se propone un formulario donde se incluye como restricción el cambio del punto de operación de la unidad como una rampa de carga [13].
Modelando esta restricción como la ecuación de la recta, donde el signo de la pendiente indica el aumento o disminución de la unidad.
PGop(T+ ∆ =T) P Top( )± ∆m( T) ………(4.14)
m PG T
∆ =
∆ Pendiente de carga
Donde:
m = Relación de cambio del generador (se especifica por generador y depende del tipo de unidad).
La inclusión de esta restricción propone nuevos límites de operación al generador, antes de realizar el despacho.
, ,
MinOP i iOP MaxOP i
PG ≤PG ≤PG ………(4.15)
La ecuación permite revisar límites en el cambio de potencia en un punto de operación, antes del despacho económico.
Existen unidades que no pueden realizar cambios en su potencia de salida, unidades con carga fija, para este caso se propone que no entren directamente al proceso de solución.
La manera de resolver el problema de restarle a la demanda la cantidad que aporta esta unidad, unidad no#coordinable, y que las demás unidades se coordinen para la nueva demanda.
( )
%
*
+
&
&
EJEMPLO 1.1: suponga que se desea hacer el despacho económico para tres unidades generadoras, de las cuales sus datos característicos están descritos a continuación y la demanda a satisfacer en la etapa de planeación es de 850MW. Sea el conjunto de 3 unidades siguientes:
, - de vapor a base de carbón.
. /=600 MW, . = 150 MW
2
1( 1) 510.0 7.2 G1 0.00142 G1
Mbtu
H PG P P
h
= + +
, - de vapor a base de combustoleo.
. /=400 MW, . = 100 MW
2
2( 2) 310.0 7.85 G2 0.00194 G2
Mbtu
H PG P P
h
= + +
,"- de vapor a base de combustoleo.
. /=200 MW, . = 50 MW
2
3( 3) 78.0 7.97 G3 0.00482 G3
Mbtu
H PG P P
h
= + +
El costo del combustible para cada unidad es:
, -C1’= 1.1 $/Mbtu.
, -C2’= 1.0 $/Mbtu.
,"-C3’= 1.0 $/Mbtu.
Entonces ,
´
1 1 1 1 1
´
2 2 2 2
´
3 3 3 3 3
2
1 1 1 1
2
2 2 2 2 2
2
3 3 3 3
( ) ( ) ( )1.1 561 7.92 0.001562 $ /
( ) ( ) ( )1.0 310 7.85 0.00194 $ /
( ) ( ) ( )1.0 78 7.97 0.00482 $ /
G G G G G
G G G G G
G G G G G
C P H P C H P P P h
C P H P C H P P P h
C P H P C H P P P h
= = = + +
= = = + +
= = = + +
Las condiciones de primer orden son:
1 1
7.92 0.003124 G
G
dL
P
dP = + =λ
2 2
7.85 0.003880 G
G
dL
P
dP = + =λ
3 3
7.97 0.009640 G
G
dL
P
dP = + =λ
1 2 3 850 0
G G G
dL
P P P
dλ = + + − =
Reescribiendo en forma matricial las ecuaciones (a)#(d) se tiene:
0 003124 0 0 1
0 0 003880 0 1
0 0 0 009640 1
1 1 0 0
. . . − − − 1 2 3 G G G P P P λ = 7 92 7 85 7 97 850 . . . − − −
Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales anterior se obtiene:
1 2 3 393.17 334.60 122.23 9.1482$ / G G G P MW P MW P MW MWh λ = = = =
El generador 1 (PG1) esta proporcionando una potencia de 393.17 MW, el
generador 2 (PG2) proporciona una potencia de 334.60 MW, el generador 3 (PG3)
En la tabla se muestra que las potencias generadas están dentro de los límites operativos.
Generador
1 150.0 600.0 393.17
2 100.0 400.0 334.60
3 50.0 200.0 122.23
EJEMPLO 1.2: Resolviendo el ejemplo anterior con un cambio de costo del
combustible para la unidad uno(PG1).
Ahora supóngase que el costo del carbón es de 0.9 $/Mbtu. Entonces:
´
1 1 1 1 1
1 ( G ) 1( G ) 1 1( G )0.9 459 6.48 G 0.001280 G $ /
C = P =H P C =H P = + P + P h
El nuevo sistema de ecuaciones que se tiene es:
0 0 0 2 5 6 0 0 0 1
0 0 0 0 3 8 8 0 0 1
0 0 0 0 0 9 6 4 0 1
1 1 1 0
. . . − − − 1 2 3 G G G P P P λ = 6 48 7 85 7 97 850 . . . − − −
Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales anterior se obtiene:
1 2 3 705.15 112.16 32.69 8.2851$ / G G G P MW P MW P MW MWh λ = = = =
El generador 1 (PG1) esta proporcionando una potencia de 705.15 MW, el
generador 2 (PG2) proporciona una potencia de 112.16 MW, el generador 3 (PG3)
λ λ λ
Sin embargo tanto como están fuera de sus límites operativos, por lo
que la nueva función lagrangiana es:
1 2 3 1 2 3 1 1 3 3
1( ) 2( ) 3( ) 850 1( ) 3( )
Max Min
G G G G G G G G G G
L=C P +C P +C P +λ −P −P −P +µ P −P +µ P −P
Las condiciones de primer orden son:
1 1
1 6.48 0.00256 G G
dL
P
dP = + +µ λ=
2 2
7.85 0.00388 G G
dL
P
dP = + =λ
3 3
3 7.97 0.00964 G G
dL
P
dP = + −µ λ=
1 2 3 850 0
G G G
dL
P P P
dλ = + + − =
1 1 1 0 Max G G dL P P
dµ = − =
3 3 3 0 Min G G dL P P
dµ = − =
Rescribiendo en forma matricial las ecuaciones (a)#(f) se tiene: 1 2 3 1 2
0.00256 0 0 1 1 0 6.48
0 0.00388 0 1 0 0 7.85
0 0 0.00964 1 0 1 7.97
1 1 1 0 0 0 850
1 0 0 0 0 0 600
0 0 1 0 0 0 50
Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene: 1 2 3 1 3 600.0 200.0 50.0 8.626$ / 0.83 0.174 G G G P MW P MW P MW MWh λ µ µ = = = = = − = −
Nótese que el ultimo valor de λ que el calculado previamente. Esto se debe a que en el caso inicial la unidad U#1, siendo mas barata, genera mas que lo permitido por su limite máximo (705.16 y 600 MW respectivamente), y que la diferencia (105.16 MW) se tiene que generar con las unidades relativamente mas caras (U#2 y U#3).
Considerando las desigualdades, las condiciones para el óptimo de CT varían
ligeramente a:
( )
i
i i i i
i G Min Max
G G G
G
dC P
P P P dP = →λ 〈 〈
( )
i
i i i
i G Max
G G
G
dC P
P P dP 〈λ→ =
( )
i
i i i
i G Min
G G
G
dC P
P P dP 〉λ→ =
Donde estas expresiones son conocidas como condiciones de Kuhn#Tucker.
Lo importante aquí, es que ante la existencia del alcance de los límites de generación, el costo incremental de sistema ya será diferente del costo incremental de los generadores operando bajo tales condiciones.
Revisando las condiciones de Kuhn#Tucker para la última solución presentada se observa que el generador 3 no cumple ya que:
3
3
3( )
7.97 0.00964(50) 8.4528.626
G
G
dC P
dP = + =
Obteniendo las condiciones de primer orden y escribiéndolas en forma matricial se tiene:
1
2
3
1
0.00256 0 0 1 1 6.48
0 0.00388 0 1 0 7.85
0 0 0.00964 1 0 7.97
1 1 1 0 0 850
1 0 0 0 0 600
G G G P P P λ µ − − − − − =−
Resolviendo se obtiene:
1 2 3 1 600.0 187.13 62.83 8.576$ / 0.56 G G G P MW P MW P MW MWh λ µ = = = = =
El generador 1 (PG1) esta proporcionando una potencia de 600 M, el generador 2
(PG2) proporciona una potencia de 187.13 MW, el generador 3 (PG3) proporciona
una potencia de 62.83 MW y el costo incremental es 9.14 $/MWh, el nuevo multiplicador de Lagrange asociado a el costo de la unidad uno es 0.56.
El multiplicador de Lagrange esta asociado con el alcance del limite máximo de generación de la unidad 1, de modo que en caso general, este multiplicador
puede denotarse como . La interpretación del valor de es la siguiente:
si el valor del limite máximo de un generador no#marginal (en su limite) se
incrementara en , entonces se podría reducir el costo de operación, ya que
se reduciría generación de unidades marginales (dentro de limites y de alto costo) y se aumentaría generación en la maquina que se cambio el limite.
En el caso particular de tener costos de operación lineales, con una unidad
marginal con costo proporcional , el cambio en el costo se puede expresar
mediante:
De esta forma µMax
es el factor de sensibilidad de la reducción en el costo total de operación, resultado del incremento en el límite máximo del generador . De
ahí que el nombre asociado a µMax
sea el de costo marginal de la restricción.
, ( )
i i
i
Max m Max T m Max
T i G G Max i
G
C
C b P b P b b
P µ
∆
∆ = ∆ − ∆ → = − = −
La tabla resume las condiciones para los generadores con diversos puntos operativos.
! " # $
Generadores Marginales i i G C P λ ∂ = ∂ 0 Max Min µ =µ = Generadores en Máximo i Max i G C P λ= ∂ +µ ∂ 0; 0 Max Min µ 〉 µ = i i G C P λ〉∂ ∂ Generadores en Mínimo i Min i G C P λ〉 ∂ +µ ∂ 0; 0 Max Min µ 〉 µ = i i G C P λ〈∂ ∂
En una representación grafica, la Figura 5.2 muestra el cambio en el despacho de generación.
En la condición operativa antes del cambio, el generador G3 es la unidad
marginal y el costo marginal asociado es m
b . Si el generador cambia su límite
máximo, la generación de aumentara, ya que es de menor costo, y la
generación de ! disminuirá. Como no se consideran perdidas de transmisión
los cambios de generación son iguales en magnitud, en este caso el generador queda sin cambio.
λ
En la figura 5.2 el área A+ representa el incremento en el costo debido al cambio
en el generador G1, mientras que el área A# representa la disminución en costo
debido a la reducción en la generación de G3.
En una forma similar a la descrita, se puede realizar el análisis de reducir el límite máximo, solo que, en este caso, se tendrá un incremento en costo, ya que el generador marginal tomara mayor carga a expensas del generador que reduce su limite.
Por otro lado, también es importante analizar el impacto de cambios en limites
mínimos de generación ( )
i
Min G
P
∆ , lo que lleva a la interpretación del valor de
Min
µ .
Si una maquina queda en su mínimo, generalmente su costo incremental será mayor al de las unidades marginales. Entonces, una manera de reducir costos de operación seria disminuyendo los mínimos operativos de los generadores donde es factible hacerlo. Lo cual, a su vez, causa un aumento en la producción de los generadores marginales.
De esta forma, considerando costos lineales de operación y un generador
marginal con costo proporcional m
b , el cambio en el límite mínimo del
generador ( )
i
Min G
P
∆ produce un cambio en el costo de operación ∆CT:
, ( )
i i
i
m Min Min T m Miin
T G i G Min i
G C
C b P b P b b
P µ
∆
∆ = ∆ − ∆ → = − = −
∆
λ
D PD
La interpretación es similar a la del límite máximo; µMiin
es un coeficiente de sensitividad que mide el cambio en costo de operación debido al cambio en el límite mínimo de generación.
En forma grafica, la figura 5.3 muestra los puntos mas relevantes del análisis.
En la condición inicial se tienen tres generadores en el mínimo (G G G1 2 3), para
un nivel de demanda D. el generador marginal es G6. Si se reduce el mínimo
del generador G1 se deberá aumentar la producción de G6.
EJEMPLO 1.3: suponga que se desea hacer el despacho económico para tres unidades generadoras, de las cuales sus datos característicos están descritos a continuación y la demanda a satisfacer en la etapa de planeación es de 450MW.
Sea el conjunto de 3 unidades siguientes:
+ ,
La ecuación característica de cada unidad generadora:
% &
Generador Constante Coeficiente Lineal Coeficiente Cuadrado
H1 225 8.4 P 0.0025 P2
H2 729 6.3 P 0.0081 P2
H3 400 7.5 P 0.0025 P2
Multiplicando las ecuaciones características de cada unidad generadora por el costo inicial:
( )
2(
)
21 1 1 225 8 4. 1 0 002. 1 0 80. 180 6 72. 1 0 002. 1
PG =H C = + P+ P = + P+ P
Potencia Mínima
MW
Potencia Máxima
MW
Costo inicial del Combustible
$
45 350 0.80
45 350 1.02
( )
2(
)
2 3 3 3 400 7 5. 3 0 0025. 3 0 90. 360 6 75. 3 0 00225. 3PG =H C = + P + P = + P + P
Construyendo el Lagrangiano:
(
)
(
)
(
)
[
]
1 1 2 2 3 3 450 1 2 3
L C PG= +C PG +C PG +λ −PG −PG −PG
1 1
6 72 0 004. . L PG PG δ λ δ = + = 2 2
6 426 0 01652. . L PG PG δ λ δ = + = 3 3
6 75 0 0045. . L
PG PG
δ λ
δ = + =
Re#escribiendo en forma matricial tenemos:
0 004 0 0 1
0 0 016524 0 1
0 0 0 0045 1
1 1 1 0
. . . − − − 1 2 3 PG PG PG λ = 6 72 6 426 6 75 450 . . . − − −
Los resultados son:
PG1= 205.951 MW
PG2= 67.6474 MW
PG3= 176.401 MW
Costo incremental= λ= 7.543 $/MWh.
El generador 1 (PG1) esta proporcionando una potencia de 205.951 MW, el
generador 2 (PG2) proporciona una potencia de 67.64 MW, el generador 3 (PG3)
proporciona una potencia de 176.40 MW y el costo incremental (λ) es 7.54 $/MWh.
Comprobando:
λ = 6.72 + 0.004 (205.951) = 7.54
λ = 6.426 + 0.016524 (67.6474) = 7.54
!
! "
!
#
#
$
%
" %& "
$ &
# $
EJEMPLO A1[13-14]
DATOS
En la siguiente tabla se muestran los datos de las unidades.
Unidad Tipo
Combustible Costo $/Gcal Potencia Mínima Mw Potencia Máxima Mw
1 TULU1 COM 63.25 260 300
2 VAEU1 GAS 64.06 75 145
MODELOS
Las curvas (consumo) de entrada-salida de cada una de las unidades son:
) 1 ...( 43 . 112 6560 . 1 0014108 . 0 1 2 1
1 = + +
g g Hr Gcal q ) 2 ...( 78943 . 37 8692 . 1 0025323 . 0 2 2 2
2 = + +
g g Hr Gcal q
El modelo de costo Vs. generación de las unidades es la curva de entrada-salida, afectada por el costo del combustible:
Para la unidad TULU1
( )
1 1( )
1 * ($/ ) 1 g q g Costo GcalF =
( )
( )
F g1 1 =q g1 1 *63 25.
( )
1 0.08923 12 104.742 1 7111.1975 $ ...(3)1 + + = Hr g g g F
( )
( )
(
)
F g2 2 =q g2 2 64 06. +γ
( )
2 0.16222 22 119.74 2 2420.7633 $ ....(4)2 + + = Hr g g g F
Las curvas de costo incremental de las unidades se obtienen derivando las funciones de costo de cada una de ellas.
) 5 ....( 742 . 104 17847 . 0 1 1
1 = g +
dg dF ) 6 ....( 74 . 119 32444 . 0 2 2
2 = +
g dg
dF
Despachando a costo incrementales iguales λ se tiene:
dF
dg g
1
1
1
0 17847 104 742
= . + . =λ dF dg g 2 2 2
0 32444 119 74
= . + . =λ
g1 +g2 =400
Resolviendo para λ, obtenemos:
λ =156 1199. $/Mw-Hr
g1 =287 88. Mw
g2 =112 12. Mw
COSTO DE GENERACIÓN
Evaluando g1 y g2 en las ecuaciones (3) y (4), se obtiene el costo de generación de cada unidad y el costo total.
( )
CONSUMO DE COMBUSTIBLE
Evaluando g1 y g2 en las ecuaciones (1) y (2), se obtiene el consumo de generación de cada unidad y el consumo total
( )
q g1 1 =706 07. Gcal/Hr
( )
q g2 2 =279 19. Gcal/Hr
26 . 985
=
T
q Gcal/Hr
GRAFICA DE CURVAS.
En la figura 1 se muestra la gráfica de las curvas de costo incremental de cada una de las unidades y la curva de costo incremental equivalente. También se muestra el costo incremental equivalente (λ =156 1199. $/Mw-Hr) al que se despacharon las unidades, para cubrir la demanda (400 Mw).
Costo Incremental (Sobreprecio=0.0)
140 145 150 155 160 165 170
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Mw
$
/M
w
-H
r VAEU1
TULU1 EQUIV
EJEMPLO 2[13-14]
En las siguientes tablas se muestran las características generales, mediciones de régimen térmico, curvas de arranque en caliente y en frío de la unidad 1 de la central Presidente Adolfo López Mateos (Tuxpan).
Clave TUVU1
Número de modelo 104
Tiempo mínimo de paro frío 16 horas
Tiempo mínimo de operación 16 horas
Potencia de diseño 350.0 MW
Combustible 1 COM
Combustible 2 DIS
Costo combustible 1 146.48 $/Gcal
Costo combustible 2 245.19 $/Gcal
Costo de mantenimiento 0.0
Costo de operación 0.70 $/Mwh
% de variación combustible 1 70.00
% de variación combustible 2 30.00
Cantidad base del combustible 1 391.335 Gcal/hr Cantidad base del combustible 2 167.715
Gcal/hr
Generación mínima 200.00 MW
Generación máxima 325.00 MW
Generación MW
% Potencia Diseño
Régimen Térmico Kcal/Kwhr
Q Gcal/Hr
175.0 50 2482.00 434.175
262.5 75 2387.00 626.5875
Tiempo en paro frío (horas)
Consumo (Gcal)
0 0.0
12 286.00
24 415.00
36 473.00
48 499.0
54 505.0
[image:75.595.214.383.100.230.2]60 510.0
Tabla 4. Curva de arranque en caliente.
Ordenada al origen 0.0 Gcal
Pendiente 1000.00 Gcal/hr
Modelo de entrada salida
Obtener el modelo de entrada salida de la unidad 1 de la central Presidente Adolfo López Mateos (Tuxpan).
Aplicando la ecuación 14 y datos de la tabla 2.
= − 1125 . 1880 209 . 7 029959048 . 0 25 . 222031 5 . 787 3 5 . 787 3 012380952 . 0 3 012380952 . 0 000055328 . 0 1 c b a
Resolviendo con Texas Instruments TI-92 Plus
Hr Gcal
a=50.67451763 /
2 18669066. /
b= Gcal MWHr
2
0 000027339. /
c= Gcal MW Hr
( )
g g g(
Gcal Hr)
Modelo de consumo específico
El modelo de consumo específico se obtiene con la expresión:
( )
50 67451763(
)
2 18669066 0 000027339 .
. . /
q g
g Gcal MW Hr
g = g + + −
1.1 Consumo específico a máxima eficiencia
Utilizando la formula 16 , la potencia a máxima eficiencia es:
50 67451763
0 000027339 1361.45
* .
.
g = = MW
se acota a 325.00 MW, (límite superior) sustituyendo en la ecuación 17 el consumo específico a máxima eficiencia es:
50 67451763
2 18669066
325 00 (0.000027339)(325.00)=2.35147583371 Gcal/ MWh
*
*
( ) .
. .
q g
g = + +
Determinar el consumo de cada combustible dada una generación de 280 Mw.
Datos de la Tabla 1
Supongamos una generación de 250 MW en un punto particular para determinar las bases.
Base del combustible tipo 1: q1 =391.335Gcal/Hr Base del combustible tipo 1: q2 =167.715Gcal/Hr
05 . 559 2 1+q =
q Gcal/Hr
Curva (consumo) de entrada-salida
( )
g g g(
Gcal Hr)
q =50.67451763+2.18669066 +0.000027339 2 /
Sustituyendo 280 MW en la ecuación anterior se obtiene la cantidad de calor suministrada por los dos combustibles.
La variación respecto a la base es:
∆q=q g( ) (− q1 +q2)
041 . 106 715 . 167 335 . 391 ( 09128 .
665 − + =
=
∆q Gcal/Hr
Ahora se reparte esta variación entre los dos combustibles de acuerdo al porciento de variación de cada uno de ellos, y se le suma a la cantidad base de cada uno.
Para el Combustible tipo 1
T1 q1 p1 q
100
= + (∆ ) Gcal/Hr.
5637 . 465 ) 041 . 106 ( 100 0 . 70 335 . 391
1 = + =
T Gcal/Hr
Para el Combustible tipo 2
T2 q2 p q
2 100
= + (∆ ) Gcal/Hr.
5273 . 199 ) 041 . 106 ( 100 30 715 . 167
2 = + =
T Gcal/Hr.
Determinar el costo por consumo de combustible dada una generación de 280 MW.
Datos de la Tabla 1
Función de costo C(g) $/Hr por operar al nivel g
Sustituyendo los datos en la Ec. 25 :
(
)
[
q p q q]
c[
q p(
q q)
]
(
c p c p) ( )
q g cg
C( )= 1 1 − 1 1 + 2 + 2 2 − 2 1 + 2 + 1 1+ 2 2 $/Hr
(
)
[
]
[
(
)
]
(
146.48*0.7 245.19*0.3) ( )
$/Hr 715 . 167 335 . 391 3 . 0 715 . 167 19 . 245 715 . 167 335 . 391 7 . 0 335 . 391 48 . 146 ) ( g q g C + + + − + + − =(
)
[
]
[
(
)
]
(
176.093)
(
50.67451763 2.18669066 0.000027339)
$/Hr 0 . 0 ) ( 2 g g gC = + + +
$/Hr 000484206 . 0 06091 . 385 42 . 8923 ) ( 2 g g g
C = + +
Finalmente se calcula el costo de generación, evaluando en la función de costos determinada anteriormente.. 000484206 . 0 06091 . 385 42 . 8923 )
(g g g2
C = + + $/Hr
280 * 280 * 000484206 . 0 00 . 280 * 06091 . 385 42 . 8923 ) 280 ( = + +
C $/Hr
ANEXO C
Con las bases matemáticas, se está en posibilidad de definir de manera más simple la programación lineal.
“La programación lineal (PL) consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función objetivo lineal sujeta a restricciones lineales”.Existen dos formas básicas de expresar un problema de PL, la forma estándar y la forma canónica.
o
En forma matricial:
min
s.a. = ≥ !
Donde:
ε Vector de costos ε Vector de recursos
ε Vector de variables ε Matriz de restricciones
Se considera (a menos que sea especificado) que todos lo vectores son vectores columna.
En forma extendida, la forma estándar es:
min 1 1 + 2 2 +……..+ n xn
s.a. a11 x1 + a12 x2 + ……+ a1n xn = b1
" " "
x1, x2, ………xn ≥ 0
o
En forma matricial la forma canónica se expresa como:
Min
s.a. ≥ ≥ 0
Con las misma definiciones para c, x, b y A. En forma extendida:
min 1 1 + 2 2 +……..+ n xn
s.a.
n mn m
m
n n
x a x a x a
x a x
a x a
+ +
+ +
2 2 1
1
1 2 12 1
11
≥
m
b b1
De esta manera de introducen los datos del problema al programa GINO:
Los resultados obtenidos son:
# $
El lenguaje fortran es uno de los lenguajes que forman el grupo de lenguajes de computador orientados a procedimientos, los cuales están fundamentados en la estructura del lenguaje usado originalmente para describir el problema, como también en el procedimiento empleado para resolverlo. Tiene por objeto descargar al programador de la tarea de reducir todos los cálculos y toma de decisiones a las pasos elementales requeridos por el repertorio limitado de operaciones ofrecido a nivel de lenguaje de maquina. FORTRAN es un acrónimo de FORmula TRANslation (traducción de formulas), diseñado especialmente para la manipulación de formulas científicas y la aplicación de métodos numéricos a la solución de problemas.
Un poco de historia:
• Este lenguaje procedural fue el primero de alto nivel (1957)
• Desarrollado por IBM para el IBM 704.
• Orientado a la eficiencia en la ejecución.
• Se creó la definición estándar del lenguaje en el 66.
• Otras versiones:
• FORTRAN 77
• FORTRAN 90
Código del programa que resuelve el despacho económico con multiplicadores de lagrange.
C PROGRAMA DE DESPACHO ECONOMICO
C UTILIZANDO OPERADORES DE LAGRANGE
C N NUMERO DE GENERADORES
C G GRADO DE LOS POLINOMIOS DE LOS GENERADORES
C PL CARGA
C P() POTENCIA INICIAL DE LA UNIDADES
C Y LAMDA
C ED() EVALUACIÓN DE LAS DERIVADAS
C GEN GENERACION TOTAL
C L() LAGRANGIANO
C PR POTENCIA DE REPARTO
USE MSIMSL INTEGER N, G
character*24 entrada, salida COMMON I,J,K
COMMON N,G,PL COMMON Y
WRITE(6,1001) READ(5,2000) salida
WRITE(6,2999) OPEN(2,file=salida) 2999 FORMAT(////)
c OPEN(2,FILE='OUT.SAL') READ(1,3000) N, G, PL, Y
3000 format(///////,59x,i4,/,59x,i4,/,59x,f8.3,/,59x,f8.3) c write(6,*)N,G,PL,Y
DO I = 1,N READ(1,3001) X(I) c WRITE(6,*) I,X(I)
DO J = 1, G+1 READ(1,3002) AA(I,J) c WRITE(6,*) AA(I,J)
END DO READ(1,3002) XMIN(I) READ(1,3002) XMAX(I) c WRITE(6,*) XMIN(I) c WRITE(6,*) XMAX(I)
c pause
END DO
3001 format(//////,59x,f8.3) 3002 format(59x,f8.3)
DO I=1,N DO J=1,G+1 A(I,J)=AA(I,J) END DO END DO X(N+1)=Y ***************************************************************
c WRITE(6,*)N,G,PL
c WRITE(6,108)(X(I),I=1,N+1) 108 FORMAT(F10.3)
c WRITE(6,106)((A(I,J),J=1,G+1),I=1,N) 106 FORMAT(/,10X,3F10.6)
c WRITE(6,115)(XMIN(I),I=1,N) 115 FORMAT(F10.3)
c WRITE(6,116)(XMAX(I),I=1,N) 116 FORMAT(10X,F10.3)
c PAUSE
DO 11 I=1,N DO 11 J=1,G 11 B(I,J)=0.0
DO 12 I=1,N ED(I)=0.0 12 EDD(I)=0.0
DO 5 I=1,N+1
5 L(I)=0.0
!CALCULO DE LAS DERIVADAS DO 13 I=1,N
DO 13 J=1,G 13 B(I,J)=J*A(I,J+1)
!EVALUACION DE LAS DERIVADAS DO 14 I=1,N
DO 14 J=1,G
14 ED(I)=ED(I)+B(I,J)*X(I)**(JT1)
!CONSTRUCCION DE LAGRANGIANO DO 15 I=1,N
L(N+1)=PLTGEN
!CALCULO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS DO 17 I=1,N
DO 17 J=1,GT1 17 C(I,J)=J*B(I,J+1)
!EVALUACION DE SEGUNDAS DERIVADAS DO 18 I=1,N
DO 18 J=1,GT1
18 EDD(I)=EDD(I)+C(I,J)*X(I)**(JT1)
!CALCULO DE LA CORRECCION DE LAS POTENCIAS CALL LSLRG (N+1,H, 10, L, 1, XX)
c WRITE(6,1081)(XX(I),I=1,N+1) 1081 FORMAT(F10.3)
c PAUSE
!SE CORRIGEN LAS POTENCIAS
!EL SIGNO MENOS ES PORQUE LAS CORRECCIONES POR DEFINICION !SON NEGATIVAS, CHECAR EL WOLLENBERG
DO 45 I=1,N+1 45 X(I)=X(I)TXX(I)
c WRITE(6,120)(X(I),I=1,N+1) c120 FORMAT(F10.4)
write(6,118)
118 FORMAT(10X,' Potencia Generada por las Unidades',//) WRITE(6,120)(I,X(I),I=1,N)
120 FORMAT(10X,'Unidad', i2, 5x, F10.3,' MW') WRITE(6,119)
WRITE(6,121)(X(N+1))
121 FORMAT(10X,'Costo Incremental', F10.5,' $/MWh') WRITE(6,119)
WRITE(2,1002) WRITE(2,119) write(2,118)
WRITE(2,119) WRITE(2,120)(I,X(I),I=1,N)
WRITE(2,119) WRITE(2,121)(X(N+1)) WRITE(2,119) 119 FORMAT(10X,//)
