Ecuaciones, sistemas e inecuaciones

ACTIVIDADES INICIALES

I. Determina si los siguientes números reales son raíces del polinomio P (x) x3 6x2

3x 10.

x 1 x 1 x 2 x 2 x 5

Los números dados se sustituyen directamente en el polinomio:

P(1) 13 _{6 1}2 _{3 1 10 8 0} ⇒ _{1 no es raíz de P(x);}

P(1) (1)3 _{6 (1)}2 _{3 (1) 10 0} ⇒ _{1 es raíz de P(x)}

P(2) 23 _{6 2}2 _{3 2 10 0} ⇒ _{2 es raíz de P(x);}

P(2) (2)3 _{6 (2)}2 _{3 (2) 10 28 0} ⇒ _{2 no es raíz de P(x)}

P(5) 53 _{6 5}2 _{3 5 10 0} ⇒ _{5 es raíz de P(x).}

II. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones.

a)

b)

a)

⇒

⇒

b)

⇒

(1)

EJERCICIOS PROPUESTOS

2.1. Realiza las siguientes operaciones con polinomios.

a) (3x2

2x 5) (2x2

x 3) b) (2x 3) (2x2

2) x (2x2

x 1) c) 4(x3

x 3) 2(x2

3x) (2x 5)

a) (3x2_2x5)(2x2_x3)6x4_3x3_9x2_4x3_2x2_6x10x2_5x156x4_7x3_17x2_11x15

b) (2x 3)(2x2 _{2) x(2x}2 _{x1) 4x}3 _4x6x2 _{6 2x}3 _x2 _{x 6x}3 _7x2 _{5x 6}

c) 4(x3_x3)2(x2_3x)(2x5)4x3_4x124x3_10x2_12x2_30x8x3_2x2_34x12

2.2. Efectúa las siguientes divisiones. a) (3x3

2x2

x 5) (3x2

2) b) (3x4 2x2

x 4) (x 2) c) (x3 3x2

x 6) (2x 3)

a) b)

c) Como el divisor no es de la forma x a, antes de aplicar Ruffini se dividen el dividendo y el divisor por 2.

1₂x2 9 4x

2 8

3

Para obtener el resto se multiplica por 2 el último término

R 2

2

1 1 6

2₈1

2₈1

x 3

2 1₂x3 3

2x

2 1

2x 3

x 3

2

x3 _3x2 _{x 6}

_{2x 3}

2xy24 xy15

x9⇒ y6

2xy24

xy15

y1

x3

5(129y)4y19

x129y

5x4y19

x9y12

2(x 1) (y 2) 24 3

—

3

x

— y

2y 15 3x 2(x 2y) 19

— 3

x

— 3y 4

2

_{Ecuaciones, sistemas e inecuaciones}

3x3 _2x2 _{x 5 3x}2 ₂ 3x3 _2x2_{2x 3x} 2

3 (cociente) 3x3 _2x2 _{x 5}

3x3 _2x2 4

3

3x3 _2x2 _x2x2 _x 1 3

9 (resto)

Como el divisor es de la forma x a, se aplica la re-gla de Ruffini.

2 3 0 2 10 24 2 3 6 12 20 42 2 3 6 10 21 46 Cociente: 3x3 _6x2 _{10x 21. Resto: 46}

2.3. Halla, sin hacer la división, el valor de m para que el polinomio 2x4 9x3

2x2

6x 3m tenga por resto 12 al dividirlo por x 2.

Por el teorema del resto se tiene:

12 2 (2)4

9 (2)3

2 (2)2

6 (2) 3m ⇒12 20 3m ⇒ m 3

3 2

2.4. Calcula el valor de k para que el polinomio: a) P (x) x3

x2

2x k sea divisible por x 2.

b) P (x) x3 2x2

kx 4 sea divisible por x 2.

a) Por el teorema del factor se tiene: 23 ₂2 _{2 2 k 0} ⇒ _{8 4 4 k 0} ⇒ _{k 8}

b) Por el teorema del factor se tiene: (2)3_{2 (2)}2_{k (2) 40} ⇒_{8 8 2k4 0} ⇒_{k 6}

2.5. En cada caso, factoriza el polinomio dado y halla sus raíces enteras.

a) *x4 _4x3 _2x2 _{4x 3e) 6x}3 _11x2 _{6x 1}

b) 9x2

12x 4 f) x4 4x3

3x2

11x 6 c) x4

16 g) x4 3x3

3x2

3x 2 d) 2x3 _5x2

x 6 h) x6 _9x4

a) Aplicando la regla de Ruffini dos veces:

1 1 4 2 4 3 1 1 1 3 1 3

1 1 3 1 3 0 1 1 1 2 3

1 1 2 3 0

Así: x4_4x3_2x2_4x3(x1)2_(x2_2x3) Se calculan las dos últimas raíces:

x

2

2 4 1

2

2

2 4

⇒

⇒ ⇒ x4_4x3_2x2_4x3(x1)2_(x1)(x3) Raíces enteras: 1, 1 (doble) y 3.

b) x 12

18 0 2₃

Así, 9x2 _{12x 4 9}

_x 2 3

2

(3x 2)2 No tiene raíces enteras.

c) Se utilizan las igualdades notables:

x4 ₁₆

₍

_x2

₎

2

42 _(x2 _{4) (x}2 ₄₎ (x2 ₂2_)(x2 _{4) (x 2)(x 2)(x}2 ₄₎ Raíces enteras 2 y 2.

d) Aplicando la regla de Ruffini se tiene:

1 2 5 1 6 1 2 2 7 6

1 2 7 6 0 Por lo tanto:

2x3 _5x2 _{x 6 (x 1)(2x}2 _{7x 6)} Se calculan las raíces del cociente obtenido:

x 7

4 1 ⇒

⇒ 2x3 _5x2 _{x 6 2(x 1)(x 2)}

_x 3 2

Las raíces enteras son 2 y 1.

e) Aplicando la regla de Ruffini se tiene: 1 6 11 6 1 1 6 6 5 1 1 6 5 1 0 De esta forma:

6x3 _11x2 _{6x 1 (x 1)(6x}2 _{5x 1)}

Ahora se calculan las otras dos raíces:

x 5

1 2

1 ⇒

⇒6x3 _11x2 _{6x16(x 1)}

_x 1 2

x

1 2

Luego la única raíz entera es 1

f) Es un ejemplo de polinomio sin raíces enteras y que no se puede factorizar de forma sencilla.

g) Aplicando la regla de Ruffini se tiene:

1 1 3 3 3 2 1 1 1 2 1 2

1 1 2 1 2 0 Así se llega a:

x4_3x3_3x2_3x2(x1)(x3_2x2_x2) Usando de nuevo la regla de Ruffini:

2 1 2 1 2 2 1 2 0 2

2 1 0 1 0 Con lo que:

x4 _3x3 _3x2 _{3x 2 (x 1)(x 2)(x}2 ₁₎

que ya no puede factorizarse más en R. Las raíces enteras son 1 y 2.

h) Se extrae factor común y se utilizan las identidades no-tables:

x6 _9x4 _x4_(x2 _{9) x}4 _{(x 3)(x 3)}

Las raíces enteras son 3, 0 (doble) y 3.

x 1

2

x 1

3 5

25

24

₁₂

x 2

x 3

2 7

49

48

₄

12

144

144

₁₈

x 3

2.6. Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes polinomios. a) P (x) x3 _3x2 _{4 y Q (x)}

x2 _{2x 1}

b) P (x) x5 _3x4 _2x3 _6x2 _{x 3 y Q (x) x}3 _3x2 _{x 3} c) P (x) x, Q (x ) x2

x y R (x) x3 2x2

x

d) P (x) 12x3 4x2

3x 1 y Q (x) 12x3 16x2

7x 1 e) P (x) x2 _{6x 8, Q (x)}

x2 _{4 y R (x) 2x}2 _4x a) P(x) (x1)(x 2)2 ⇒_{Q(x) (x 1)}2

m.c.d. {P(x), Q(x)} x 1 m. c. m. {P(x), Q(x)} (x 1)2_{(x 2)}2 _x4 _2x3 _3x2 _4x4

b)P(x) (x1)2_{(x 1)}2_{(x 3) Q(x) (x 1)(x 1)(x 3)}

m.c.d. {P(x), Q(x)} (x 1)(x 1)(x 3) Q(x) m. c. m. {P(x), Q(x)} (x 1)2_{(x 1)}2_{(x 3) P(x)}

c) P(x) x Q(x) x(x 1) R(x) x(x 1)2

m.c.d. {P(x), Q(x), R(x)} x P(x) m. c. m. {P(x), Q(x), R(x)} x(x 1)2 _R(x)

d)P(x) (2x 1)(2x 1)(3x 1) Q(x) (2x 1)2_{(3x 1)} m.c.d. {P(x), Q(x)} (2x 1)(3x 1) 6x2 _{5x 1}

m.c.m. {P(x), Q(x)} (2x 1)(2x 1)2_{(3x 1) 24x}4 _20x3 _2x2 _{5x 1}

e)P(x) (x4)(x 2) Q(x) (x 2)(x 2) R(x) 2x(x 2)

m.c.d. {P(x), Q(x), R(x)} 1 m. c. m. {P(x), Q(x), R(x)} (x 2)(x 2)2x(x4) 2x4 _8x3 _8x2 _32x

2.7. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas.

a) b)

a) x 1 b) x

x

3 2

2.8. Resuelve las siguientes operaciones con fracciones algebraicas y simplifica el resultado.

a)—

a a

2

b

— —a

b

4

b2

— a d)—

x a

2

a x

2 — —x

x

a a

—

b)— 2

6

x

— —

2 4

x

— —

x2 1

6

4

— e)

c) (x2 y2₎

—1

x— —

1

y—

a)

a a

2

b

a

b

4

b2

a ab

b a

2 ab2

b)

2

6

x

₂4 _x

x2 1

6

4

10

x x

2

4 12

c) (x2 _y2₎

1

x

1

y

xy(x

x

y)(

y x y)

x2_{y xy}2

d)

x a

2

a x

2

x_x a_{a x}1_a

e) 1 1 1 2

x x

1 1

3₂x_x2₁ 1

2_xx₁1 1

1

x

x

1 (a x)(x a)

(x a)(x a)2

(x y)(x y)

x_xyy

6x 12 4x 8 16

(x 2)(x2)

a2_b2_{(b 1 b}2₎

ab4

a2_b3 _a2_b2 _a2_b4

ab4

(x 2)(x 3)(x 3)

(x 3)(x2)2 (x 3)(x 1)2_{(2x 1)}

(x 1)(x 3)(2x 1)

x3 2x2

9x 18 ———

x3 7x2

16x 12 2x4

x3 11x2

11x 3 ————

2x3 3x2

8x 3

1 —

1

1

1

—

1 —1

1 —1

x—

————–

1

1

1

1

1 1

1 1

x

1

1

1

1

1 1

2.9. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas.

a)—2x 4 3

—— 2

x

— —3x 5

1

— 2x 1 d)—x

2 2 1

— —2x 4 3

— —x 6

2 — —5

1 9 2 —

b) 2(3x 2) x (x 1) 4 e) 6x4

13x3 8x2

17x 6 0

c) (x 1)3 _{(x 1)}3 _{7 f) 2x}4

x3 _{3x 18 0}

a) 2x 4 3

₂x 3x₅1 2x 1 ⇒ 10x 15 10x12x4 40x 20 ⇒ 32x 9 ⇒ x

3 9

2

b) 2(3x2)x(x1) 4 ⇒ 6x4x2_x40 ⇒ _x2_5x0 ⇒ _x(x5)0 ⇒_{x 0; x 5}

c) (x1)3_(x1)3₇ ⇒ _x3_3x2_3x1(x3_3x2_3x1)7 ⇒ _6x2₅ ⇒ _x

5 6

; x

5

6

d)x

2

2 1

2x₄ 3 x₆ 2 5₁9₂ ⇒ 6x2 _{6 6x9 2x}2 ₅₉ ⇒ _8x2 _{6x 44 0} ⇒

⇒4x2 _{3x 22 0} ⇒_x 3

9 8

3

52

3₈19 ⇒ x 1

4 1

; x 2

e) 6x4_13x3_8x2_17x60 ⇒ _{(x1)(x2)(2x3)(3x1)0} ⇒ _{x 1; x 2; x} 3 2; x

1 3

f) 2x4 _x3 _{3x 18 0} ⇒ _{(x 2)(x}2 _{3)(2x 3) 0} ⇒ _{x 2; x} 3 2

2.10. Escribe una ecuación polinómica de tercer grado tal que una solución sea 2 y la suma y el producto de las otras dos valgan 4 y 5, respectivamente.

(x 2)(x2 _{4x5) 0}⇒ _x3 _2x2 _{3x 10 0 Aunque no todas las soluciones son reales.}

2.11. Resuelve las siguientes ecuaciones. a) x4

17x2

16 0 c) x3 2x2

15x 0 b) 2(x 1)4

8x3

8(x 3) 8 0 d)—2

x

4 2 — 3x2

6

a) x4 _17x2 _{16 0}

z2 _{17z 16 0} ⇒

⇒ z 17

2 5

b) 2(x 1)4 _8x3 _{8(x 3) 8 0} ⇒

⇒ 2x4_8x3_12x2_8x28x3_8x2480 ⇒

⇒ 2x4 _12x2 _{14 0} ⇒ _x4 _6x2 _{7 0}

⇒ z2 _{6z 7 0} ⇒

⇒ z 6

2 8

c) x3 _2x2 _{15x 0} ⇒ _x(x2 _{2x15) 0} ⇒

⇒

d)2

x

4 2 3x

2 ₆ ⇒ _{24 3x}4 _6x2 ⇒

3x4 _6x2 _{24 0} ⇒ _x4 _2x2 _{8 0}

z2 _{2z 8 0} ⇒

⇒ z 2

2 4 3

2

2₂ 6

_zz 4 ₂ x2_x⇒2 ⇒x2; x 2

2no es real

z x2

z2 _x4

x 3

x 5

x 0

x 2

2

64

1 4 ⇒

z 1 x2 ⇒ _{x 1; x 1}

z 7 x2 ⇒ _{7 no es real} 6

36

28

₂

z x2

z2 _x4

z 16 x2_⇒

x 4; x 4

z 1 x2 ⇒_{x 1; x 1}

17

289

64

₂

z x2

2.12. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales.

a) x 2 —2

x— 1 b) 2x —2

1

2

x

— 7 —11x 9

11

— c)—4

x— —x

4 2 — 3

a) x22

x1 ⇒ x

2_2x2x⇒ _x2_3x20 ⇒ _x ⇒ _x3

2 1 ⇒

b) 2x

2 1

2

x 7

11x

9 11

⇒ 9(2 x)2x 9 12 9 7(2 x) (2 x)(11x 11) ⇒

⇒ 36x 18x2 _{108 126 63x 22x 22 11x}2 _11x⇒ _7x2 _{88x 256 0} ⇒

⇒ x 88

14

576

⇒ x 88

1

4 24

c) 4

x x

4

2 3 ⇒ 4(x 2) 4x 3x(x 2) ⇒4x 8 4x 3x

2 _6x⇒ _3x2 _{2x 8 0} ⇒

⇒ x 2

6

100

2₆ 10

2.13. Encuentra la solución de estas ecuaciones racionales.

a)—1

x— —x

1 2 — —

x

1 3 — —7

8— b)—

2 3

x

— —2

x x

1 3

— —

3x 1

1

3

— c)—

x

2

x

2

— —

x

3

x

2

— —

x2 6

x2 4 —

a) 1

x x

1 2

_x1 3 7 8 ⇒ 8x

2 _{8x 8 7x}3⇒ _7x3 _8x2 _{8x 8 0} ⇒ _{(x 2)(7x}2 _{6x 4) 0} ⇒

⇒

b)2 3

x

2_xx ₁3 _3x11₃ ⇒ 2x(x 1) 3(2x 3) 11 ⇒ x2 _{2x 1 0} ⇒

⇒ x 2

2 4 4

1

2

⇒

c)

x

2

x

2

_x3 x_{2 x}2 6

x2 4

⇒ 2x(x 2) 3x(x 2) 6x2⇒ _x2 _{2x 0} ⇒

⇒ x(x 2) 0 ⇒

2.14. Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales.

a)—x

x

1

— x —5

2— b)

x

4

x

1 5 c)

x

7

2x

x

1

a) x

x

1

x 5

2 ⇒

x

x

1

2x₂5 ⇒ 2x 2 (2x 5)

x

⇒ (2x 2)2

_{(2x 5)}

x

2 ⇒

⇒ 4x2 _{4 8x (4x}2 _{25 20x)x}⇒ _4x3 _24x2 _{33x 4 0} ⇒ _{(x 4)(4x}2 _{8x 1) 0} ⇒

⇒

b)

x

4

x

1 5 ⇒

x

4 5

x1 ⇒

x

4

2

5

x

1

2⇒

⇒ x 4 25 x 1 10

x

1⇒ 10

x 1 20 ⇒

x

1 2 ⇒ x1 4 ⇒ x 5

c)

x

7

2

x

x

1 ⇒

x

7

2x

2

x

1

2⇒ x 7 2x 2

2x2

14x x 1 ⇒

⇒ 2

2x2

14x 8 2x⇒

2x2

14x 4 x⇒

2x2

14x

2 (4 x)2 ⇒

⇒ 2x2 _{14x 16 x}2 _8x⇒ _x2 _{6x 16 0} ⇒ _x 6

3 2

6

64

6₂10 ⇒ ⇒

x 8 solución falsa La ecuación no tiene solución.

x 2 solución falsa

x 1

2 3

, solución falsa

x 1

2 3

x 4

x 8

8

48

x 0

x 2 solución falsa

x 1

2

x 1

2

x 2

7x2 _{6x 4 0} No tiene soluciones reales

x 2

x 8

6

4 3 2

22

4

3

8

₆

x 8

x 6

1 4 4 3₇2 88

882

4 7

256

₁₄

x2

x1

3

32

4

2

2.15. Resuelve la ecuación

3x2

1

1 x.

3

x2 ₁

1x ⇒

3x2 ₁

x1 ⇒ x2_1(x1)3 ⇒ _(x1)3_1x2₀ ⇒ _(x1)3_(1x)(x1)0 ⇒

⇒ (x 1) [(x 1)2 _{(1 x)] 0} ⇒_{(x 1) (x}2 _{3x) 0} ⇒_{x (x 1) (x 3) 0} ⇒

2.16. Calcula el valor de un número tal que si se le suma una unidad y después se extrae la raíz cuadrada se ob-tiene el doble que al restarle 11 unidades y extraer la raíz cuadrada.

Número desconocido: x

x

12

x

1

1⇒

x

1

2

2

x

11

2 ⇒ x 1 4(x 11) ⇒ 3x 45 ⇒ x15

2.17. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas.

a) log 3x log 6 2 log x c) log—2x

x

2

— 2 log (x 1) log x

b) log (2x 3) log (x 2) 2 log 2 2 log 3d) log (4 5x) log (2x 2) log (2x x2_{) 1}

a) log 3x log 6 2logx⇒log 3xlog (6 x2₎ ⇒_{3x 6x}2⇒ _{3x(1 2x) 0} ⇒

b) log (2x 3) log (x 2) 2 log 2 2 log 3 ⇒ log2

x x

2 3

log (22 ₃2₎ ⇒ 2

x x

2 3

36 ⇒

⇒ 2x 3 36x 72 ⇒ x 7

3 5 4

c) log2x

x

2

2 log(x 1) log x⇒ log [2(x1)] logx 2 log (x 1) logx⇒

log 2 log (x 1) 2 log (x 1) ⇒ log (x 1) log 2 ⇒ x 1 2 ⇒x 3 Solución verdadera

d) log (4 5x) log (2x 2) log (2x x2_{) 1} ⇒ _{log [(4 5x) (2x 2)] log [10 (2x x}2_)] ⇒

⇒ 8x 8 10x2 _10x20x10x2⇒_2x8 ⇒ _{x 4 Solución falsa. La ecuación no tiene solución.}

2.18. Calcula el valor de un número sabiendo que si se añade a su logaritmo decimal el valor del logaritmo deci-mal de 2, el resultado es la unidad.

Sea xel número desconocido. logx log 2 1 ⇒ log 2x log 10 ⇒ 2x 10 ⇒ x 5

2.19. Calcula el valor de un número sabiendo que el doble de su logaritmo decimal es igual a la suma de los lo-garitmos decimales de 4 y de 9.

Sea xel número desconocido. 2 logxlog4 log9 ⇒logx2_log36 ⇒_x2₃₆ ⇒

2.20. Resuelve las ecuaciones exponenciales:

a)— 2

1

x

— 16—

x (x

2

1)

—

c) 13x2_2x —

1 1

3 — 0

b) 3 2x _{2 3}x _{d) 2}2x2_3x5

16

a) 2

1 x 16

x(x

2

1)

⇒ 2x ₂4 x(x

2

1)

⇒ x 2x(x 1) ⇒2x2 _{x 0 ⇒x(2x 1) 0 ⇒}

b) 3 2x _{2 3}x ⇒

2

3

x

2

3⇒ x 1 c) 13x2_2x

1 1

3 0 ⇒ 13 x2_2x

131 _{⇒ x}2 _{2x 1 ⇒ x}2 _{2x 1 0 ⇒ (x 1)}2 _{0 ⇒ x 1}

d) 22x2_3x5

16 ⇒ 22x2_3x5

24 ⇒ _2x2_3x54 ⇒ _2x2_3x90 ⇒_2(x3)

_x3

2

0 ⇒

x3

x3

2

x 0

x 1

2

x 6 Solución verdadera

x 6 Solución falsa

x 0 solución falsa

x 1

2 solución verdadera

x 0

x 1

2.21. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 2x1

2x ₂x1

7 d) 5x3 5x1

3120 0

b) 2x4 ₈x _{0 e) 5}2x _{30 5}x1 _{125 0}

c) 32x ₃x1 ₃x1 _{1 f) 2 10}2x4 _{3 10}x2 _{5 0}

a) 2x1 ₂x ₂x1 ₇ ⇒ ₂x

1

2 1 2

7 ⇒ 2 x 7

2 7 ⇒ 2

x ₂ ⇒ _{x 1}

b) 2x4 ₈x ₀ ⇒ ₂x4

₍

₂3

₎

x

23x ⇒ _{x4 3x}⇒ _2x4 ⇒_{x 2}

c) 32x ₃x1 ₃x1 ₁ ⇒

₍

₃x

₎

2 1 33

x _{3 3}x _{1 0, tomando z 3}x ⇒ _3z2 _{10z 3 0} ⇒

⇒ z 10

6 8

⇒ (deshaciendo el cambio)

d) 5x3₅x1₃₁₂₀₀ ⇒ ₅x₅35

5 x

31200 ⇒

531 5

5

x₃₁₂₀ ⇒ ₅x3 5

1 4 20

1 5

25 ⇒ x2

e) 52x _{30 5}x _{125 0} ⇒

₍

₅x

₎

2

30 5x _{125 0} ⇒ _z2 _{30z 125 0} ⇒

⇒ z 30

2 20

⇒ (deshaciendo el cambio)

f) 2 102x4 _{3 10}x2 _{5 0} ⇒ _{20 000}

₍

₁₀x

₎

2

300 10x _{5 0} ⇒ _{20 000z}2 _{300z 5 0} ⇒

⇒4000z2_60z10 ⇒_z6 8

0 0

00

140

⇒

⇒(deshaciendo el cambio)

2.22. Resuelve los siguientes sistemas lineales.

a)

c)

b)

d)

a)

⇒

9E311E2 ⇒

Solución única (x 2, y 3, z 1)

b)

⇒

Solución única

x 2

3 5 6 , y

3 1

6

, z 3

2

c)

⇒

Solución única (x 4, y 1, z 2)

d)

⇒

3E3E2 ⇒

Solución única (x 2, y 3, z 0)

4xy5z5

9y21z27 ⇒ z0, y3, x2 15z0

4xy5z5 9y21z27 3y2z9 4E25E1

E3E1 4xy5z5

5xyz13 4x2y3z14

2x y z 11

3y 3 ⇒ y 1, z 2, x 4

y z 3

E2 E1 2E3 E1 2x y z 11

2x 2y z 8

x y z 7

2x 4y z 0

18y z 2 ⇒ z 3

2, y 3 1

6 , x 2

3 5 6 4z 6

2E2 3E1

E3 E2 2x 4y z 0

3x 3y 2z 1 3x 3y 2z 5

x2y2z2

9y7z20 ⇒ z1, y3, x2 5z5

x2y2z2 9y7z20 11y8z25

E23E1

E35E1

x2y2z2 3x3yz14 5xy2z15

4x y 5z 5 5x y z 13 4x 2y 3z 14 2x 4y z 0

3x 3y 2z 1

3x 3y 2z 5

2x y z 11 2x 2y z 8

x y z 7

x 2y 2z 2

3x 3y z 14

5x y 2z 15

x2

10x_{0,025, sin solución real}

z102

z0,025

x2

x1

z 25

z 5

30

900

500

₂

x 1

x 1

z 3

z 1

3 10

100

36

2.23. Estudia el número de soluciones de los siguientes sistemas lineales, y en caso de que existan, hállalas.

a)

b)

c)

d)

a)

⇒

E

2 3

E2 ⇒

⇒

Infinitas soluciones:

⇒

b)

⇒

⇒

E3E2 ⇒

El sistema es incompatible. No tiene solución.

c)

⇒

⇒

Infinitas soluciones:

⇒

d)

⇒

E2 5E1 ⇒

2E3 E2 ⇒

Sistema compatible determinado. Solución:

2.24. Resuelve los siguientes sistemas.

a)

b)

c)

d)

a)

⇒2x19212x2_96x22 ⇒ _6x2_47x850 ⇒ _x 47 1

2

13 ⇒

b)

⇒8x2x2_15x25⇒_2x2_23x250⇒_x23 4

27 ⇒

c)

⇒

⇒ y2

1 ⇒ No tiene soluciones reales.

d)

⇒ 3x2 _{12x 12 0} ⇒ _x2 _{4x 4 0} ⇒_x ⇒

x 2

y 1

4

(4)2

16

₂

y 2x 3

x2

(2x 3)2 3

x y

y2 ₁

x y 0

xy 1

x1, y2

x2

2 5 , y1

5 7

y8

5 2x

x

8

5 2x

3x5

x5, y 2

x 1

6 7 , y 7

3

y82x

2x3(82x)2₂₂

2x y 3

x2 _y2 ₃

x y 0

xy 1

2x 5y 8

xy 3x 5

2x y 8 2x 3y2 ₂₂

x 2 2

2 5 2

2₁8₁ 1₂3₂

y 3 1

4 8

4 2

2₂5₂

z 1

1 4 1

xy2z 2

4y13z12 11z 14

xy2z 2

4y13z12 2yz 1

xy2z 2

5xy3z2 2yz 1 2yz 1

5xy3z2

xy2z 2

x 7

5

t

y t

z 4

5

t

y t

5z 4y 4t ⇒ z 4

5

t

x 3y 2z 3t 8

5

t

7₅t

x 3y 2z 0

4y 5z 0

x 3y 2z 0

4y 5z 0 4y 5z 0

E2 E1

E3 2E1

x3y 2z 0

xy 3z 0

2x 2y z 0

yz8x 1

4z11y 1 01

yz8x 1

4z11x 1 4z11x2

E2E1

E32E1

yz8x 1

y3z3x0 2y2z5x0 5x2y2z0

3xy3z0 8xyz 1

x 3t

5 4

y 7t

5 4

z t

z t

5y 7z 4 7t 4 ⇒ y 7t

5 4

x 2z y 2t 7t

5 4

3t ₅4

x y 2z 0

5y 7z 4

xy 2z 0

5y 7z 4 0 0

x y 2z 0

5y 7z 4 10y 14z 8

E2 2E1

E3 5E1

xy 2z 0

2x 3y 3z 4 5x 5y 4z 8

2y z 1

5x y 3z 2

x y 2z 2

x 3y 2z 0

x y 3z 0

2x 2y z 0 5x 2y 2z 0

3x y 3z 0

8x y z 1

x y 2z 0

2.25. Halla la solución de los siguientes sistemas.

a)

b)

a)

⇒

⇒ 17y2 ₀ ⇒ _{y 0} ⇒

b)

⇒

⇒ 2y4 _19y2 _{9 0} ⇒ _y2 19

4 17 ⇒

{ y2 1 2 ⇒

{ y2 ₉ ⇒

2.26. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones exponenciales.

a)

b)

a)

⇒5E1 E2 ⇒2

x2_{5 2}x _{4 45} ⇒ ₂x₍₂2_{5) 41} ⇒ ₂x ₄₁ ⇒ _{x log} 241 ⇒

⇒

⇒

⇒

⇒ La ecuación no tiene soluciones reales.

b)

⇒E1 3E2⇒ 7

y _{3 7}y2 _{16 3 340} ⇒ ₇y_{(1 3 7}2_{) 1036} ⇒

⇒ 148 7y ₁₀₃₆ ⇒₇y 1 1

0 4

3 8

6

7 ⇒ y 1 ⇒

⇒

⇒

2.27. Encuentra la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones logarítmicas.

a)

b)

a)

⇒log

y x

3 ⇒x 103_y⇒

⇒ _{log (10}3_y4_{) 5} ⇒

⇒ 103_y4 ₁₀5 ⇒ _y4 ₁₀2 ⇒ _{y 10} ⇒

b)

⇒ log

y x

1 ⇒ x 10y ⇒

⇒

⇒

2.28. Comprueba si los números reales indicados pertenecen a la solución de las inecuaciones correspondientes.

a) x 2 de la inecuación x3 x2

x 6 b) x —1

e— de la inecuación x ln x 0

c) x 0,5 de la inecuación 2x _{x 2 3}x

a) Sí forma parte de la solución de la inecuación, ya que (2)3

(2)2

2 8 4 2 6 6.

b) No forma parte de la solución de la inecuación, ya que 1

e ln

1

e

1

e 1

1

e e

0.

c) Sí forma parte de la solución de la inecuación, ya que 20,5 0,5 2 30,5

1 2

2,5

1 3

0.

y 2

x 20

32y 64

x 10y

30y 2y 64

x 10y

3x 2y 64 logxlogy 1

y

10

x 103

10

log (103_{y) log (y}3_{) 5}

x 103_y logx3 logy 5

logxlogy 3

3x 2y 64 log x log y 1 log x 3log y 5

log x log y 3

x 2

y 1

3x ₉

y 1

3x _{7 16}

y 1

3x ₇y ₁₆

3x1 ₇y2 ₃₄₀

x log241

5y ₃₂

x log241 5y _{9 41}

x log241 41 5y ₉ 2x

5y 9 2x2₅y1₄

3x ₇y ₁₆

3x1

7y2 ₃₄₀ 2x ₅y ₉

2x2

5y1 4

x 1; y 3

x 1; y 3

x 3

2

; y

2 2

x 3

2

; y

2 2

x 3

y

y

9 2 2y

2 ₁₉

xy 3

x2 _2y2 ₁₉

x 4; y 0

x 4; y 0 6x2 _9y2 ₉₆

6x2 _8y2 ₉₆ 3E1

2E2 2x2 _3y2 ₃₂

3x2 _4y2 ₄₈

xy 3

x2 2y2

19 2x2 _3y2 ₃₂

3x2

4y2 ₄₈

2.29. Resuelve las inecuaciones de primer grado:

a)—x 2

3 — —x

8 2

— —

2

x

— b) 2x 3 —

2

x

— x —3x 6 1

— c) x2(x1) 3(x2) —x 2

38 —

a) x 2

3

x₈ 2 ₂x ⇒ 4x 12 x 2 4x ⇒x 10 ⇒ x 10 ⇒ Solución: [10, )

b) 2x3 2

x

x 3x

6 1

⇒12x18 3x6x3x 1 ⇒0 19 ⇒La inecuación no tiene solución.

c) x 2(x 1) 3(x 2) x 2

38

⇒ 2x 4x 4 6x 12 x38 ⇒ 11x 22 ⇒ x 2 ⇒

⇒Solución: (, 2)

2.30. Halla la solución de las siguientes inecuaciones polinómicas.

a)2x2

3x 0 e) 3x (2x 1) x2

5x 1 b) 3x2

x 24 0 f) x3 2x2

x 0

c) x3 _{4x 0 g) x}4 _{1 0}

d) x3 _x2 _{x 1 0 h) (x 1)(x 4) 6}

En la mayoría de los casos se obtiene la solución a partir de la tabla de signos de los factores de los polinomios:

a) 2x2 _{3x 0}⇒_{x(2x 3) 0}

Solución: x

0, 3 2

b) 3x2 _{x 24 0}⇒ _{(x 3)(3x8) 0}

Solución: x (, 3]

8 3,

c) x3 _{4x 0}⇒ _{x(x 2)(x 2) 0}

Solución: x (2, 0) (2, )

d)x3_x2_{x1 0}⇒ _(x1)(x1)2 ₀ ⇒ _{(x1) 0} ya que el factor (x 1)2_{es siempre positivo excepto} para x 1, por tanto la solución es x 1 ⇒

⇒ x (, 1].

(En esta solución está incluido el punto x 1, para el que el polinomio también se anula.)

e) 3x(2x1)x2_5x1 ⇒ _7x2_8x10 ⇒

⇒(x 1)(7x 1) 0

Solución: x

, 1

7

[1, )

f) x3 _2x2 _{x 0}⇒_{x(x 1)}2 ₀ ⇒

⇒{x 1} {x0}

ya que el factor (x 1)2_{es siempre positivo excepto} para x1, por tanto la solución es x{1}[0,).

g)x4 _{1 0} ⇒ _{(x1)(x 1)(x}2 _{1) 0} Como x2_{1 es siempre positivo, basta considerar los} otros dos factores:

Solución: x (, 1] [1, )

h) (x 1)(x4) 6⇒ (x 1)(x 2) 0

Solución: x (2, 1)

x

2x3

polinomio

0 — 3

2—

x1

7x1

polinomio

—

1

7— 1

x1

x1

polinomio

1 1

x2

x1

polinomio

2 1

x2

x

x2

polinomio

2 0 2

x + 3

3x2

polinomio

3 — 8

2.31. Resuelve las inecuaciones racionales siguientes.

a)—5 2 x x 2 1

— 0 c)—

4x2 4x x 5 5

— 0 e)—x

2 x3 4 x x 5

— 0

b)—x

x 2 2 x x 2 2

— 0 d)—

x2

x

3

9

— 0 f) —2

x x 3 1 3

— 0

De nuevo las soluciones se obtienen utilizando la tabla de signos de los factores. Hay que recordar que las raí-ces de los denominadores nunca pueden pertenecer a la solución mientras que las de los numeradores perte-necen si la desigualdad incluye el signo igual.

EJERCICIOS

Polinomios

2.32. Calcula el valor numérico de cada polinomio en los puntos x 2 y x 0,15.

a) P(x) x4 _2x2 _{3b) P(x) —}1

3—x 3 _—2

5—x 2 _—3

4—x 2 a) P(2) 24 _{2 2}2 _{3 16 8 3 21}

P(0,15) (0,15)4 _{2 (0,15)}2 _{3 2,95}

b)P(2) 1 32

3 2

52

2 3

42 2 8 3 8 5 3 2 2 2 3 3 0

P(0,15) 1 3(0,15)

3 2

5(0,15)

2 3

4(0,15) 2 1,88 a) 5

2 x x 2 1 0

Solución: x

, 1 2

2 5,

b)x

x 2 2 x x 2

2 0 ⇒

( ( x x 1 1 ) ) ( ( x x 2 2 ) ) 0

Solución: x (, 2) [1, 1) [2, )

c)

4x2 4x

x

5

5 0 ⇒ (4x

4x

5

)(x

5

1) 0 ⇒

⇒ _x 1 ₁ 0, si x 5

4 ⇒ x 1 0 ⇒ x 1 Por tanto la solución es x (, 1)

d)

x2

x

3

9 0 ⇒ (x 3

x

)( 3

x 3) 0

Solución: x (3, 0] (3, )

e)x

2 x3 4 x x 5

0 ⇒

x ( ( x x 5 1 ) ) ( ( x x 1 1 )

) 0 ⇒

⇒ x( x x 5

1) 0, si x1. Se halla ahora la solución:

Solución: x [5, 1) (0, ) {1}

Hay que excluir el valor 1 de la solución porque la ex-presión no está definida para él.

f) 2

x x 3 1 3

0 ⇒ 0 ⇒ 2

x x

1 3 0,

ya que el factor x2 _{x 1 es siempre positivo.}

Solución: x (, 3

2

(1, ) 2x3

(x1)(x2_x1)

2x + 1

5x2

fracción

—

1

2— —

2

5—

2x + 3

x1

fracción

—

3

2— 1

x + 2

x1

x1

x2

fracción

2 1 1 2

x3

x3

x3

fracción

3 0 3

x5

x1

x

fracción

2.33. Simplifica las siguientes expresiones polinómicas.

a) 2 (3x2)2_3(3x2)2_{2 (3x2) (3x2) e)}

_—2 3—x —

3 5—

—

3 2—x

2 _—2 5—

—2

6 5 — b) (3x 2)2

2 (2x 3)2

(2x 5) (x 5) f) (x2

4)(x2

4) (x 2) 2x (x3 8)

c) (2x2 _{2x 1) (3x}2 _{2x) 3x g) (x}3 _2x2 _{3x 4)(5x 2)}

d) (2x2 _{3x 2) (3x}2 _{x 1) (6x 10) x}3

a) 2 (3x2)2_{3 (3x2)}2_{2 (3x2) (3x2)2 (9x}2_{412x)3 (9x}2_{412x)2 (9x}2₄₎

18x2 _{8 24x 27x}2 _{12 36x 18x}2 _{8 27x}2 _{60x 4}

b) (3x2)2_{2 (2x3)}2_{(2x5) (x5)9x}2_{412x2 (4x}2_912x)(2x2_10x5x25)

9x2 _{4 12x 8x}2 _{18 24x 2x}2 _{10x5x 25 15x}2 _{3x 3}

c) (2x2 _{2x 1) (3x}2 _{2x) 3x 6x}4 _4x3 _6x3 _4x2 _3x2 _{2x 3x 6x}4 _10x3 _x2 _x

d) (2x2_{3x2) (3x}2_x1)(6x10)x3 _6x4_2x3_2x2_9x3_3x2_3x6x2_2x26x4_10x3

x3 _7x2 _{x 2}

e)

2 3x

3 5

3 2x

2 2

5

2 6

5 x

3 1

9 0 x2

1 4

5 x

2 6

5

₂6₅ x3 1

9 0 x2

1 4

5 x

f) (x2_{4) (x}2_{4) (x2)2x(x}3_8)(x4_{16) (x2)2x}4_16xx3_16x2x4_322x4_16xx3₃₂

g) (x3_2x2_{3x4) (5x2)5x}4_10x3_15x2_20x2x3_4x2_6x85x4_8x3_11x2_14x8

2.34. Demuestra esta igualdad algebraica. (x y z)2

x2

y2

z2 _2(xy

xz yz)

(xyx)2_(xyz)(xyz)x2_xyxzyxy2_yzzxzyz2_x2_y2_z2_2(xyxzyz)

2.35 Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones de polinomios.

a) (6x4 _7x3 _5x2 _{6x 6) (3x}2 _{2x 1)} b) (6x5 _7x3 _x2 _{11x 8) (3x}2 _{x 2)} c) (6x5 _10x4 _15x3 _7x2 _{3) (4x}2 _{4x 4)}

a) Cociente: 2x2 _{x 3.Resto: x 3}

b) Cociente: 2x3 2 3x

2 1

9 1 x

2 8

7

.Resto: 3

2 7

7 1 x 2

2 3

7 2

c) Cociente: 3 2x

3 _x2 1 4

3

x6.Resto: 37x 21

2.36 Aplica la regla de Ruffini para resolver las siguientes divisiones.

a) (3x3 2x2

x 3)

x —1

2—

d) (x

5 3x4

3x3 x2

4x 2) (2x 4) b) (2x4 _2x3 _2x2 _{2) (x 3 ) e) (2x}4 _x3 _2x2 _{x 1) (2x 3)} c) (x5 _2x3 _{2x 1) (2x 4)}

a) Cociente: 3x2 7 2x

3

4. Resto: 2 8

1

.d) Cociente: 1

2x

4 1

2x

3 5

2x

2 9

2x 11. Resto: 46

b) Cociente: 2x3 8x2

26x78. Resto: 232. e) Cociente: x3 2x2

4x 1

2 1

. Resto: 3 2

1

c) Cociente: 1 2x