CAPITULO 3 Fuerzas y campos magn´

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Fuerzas y campos magn´

eticos

E

n este cap´ıtulo1 _{estudiaremos someramente a las fuerzas magn´}_{eticas y sus campos}

vecto-riales asociados. Recordemos que entendemos comocampo vectoriala una regla que asocia un vector en cada punto de una región del espacio dada. Bastará entonces con dar un vector cuya dependencia espacial es concida. Estudiaremos a la fuerza que experimenta una part´ıcula cargada en presencia de un campo magnético.

3.1 Fuerza y campo magn´

eticos

Experimentalmente es observado que una carga eléctrica qcon velocidad ~v en presencia de un campo magnético B~ está sujeto a una fuerza

1_{Este documento fue elaborado en L}A_{TEX por A. Anzaldo Meneses y puede ser bajado de} sites.google.com/site/answaldphysik ´o contactando al autor en alfons [email protected]

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~

F = q ~v × B.~ (3.1)

Esta relaci´on b´asica se conoce como

Fueza de Lorentz

. A esta definición la podemos interpretar como la definición de la intensidad del campo magnético. Por razones históricas, aunqueB~ es propiamente la intensidad de campo magnético, es denominado frecuentemente

inducción magnética. Nosotros lo denominaremos campo magnético. Las unidades f´ısicas del campo mágnetico son claramente N s/Cm que son denominados W/m2 _{(Weber por}

metro cuadrado) o bien T esla, ambas unidades en honor de investigadores destacados en el campo.

Evidentemente, por la definición misma de producto vectorial, la fuerza F~ es perpen-dicular al plano en el que se encuentran los vectores de velocidad y del campo magnético, y lógicamente a estos mismos. Si además hay un campo eléctrico entonces la fuerza que sentirá una carga q en presencia de ambos será

~

F = q(E~ + ~v × B~). (3.2)

Claramente si E~ =~0 entonces siendo la fuerza siempre perpendicular a la velocidad ten-dremos queF~·~v = 0 y por tanto el trabajo hecho porB~ es nulo. Además la fuerza debida aB~ nunca puede cambiar su magnitud |~v|, sino únicamente su dirección.

Un caso particular muy simple pero de gran importancia es para cuandoB~ es constante, entonces

F =|q|v B,

pero como F~ es perpendicular siempre a~v entonces el movimiento resultante es circular y

F = mv

2

R ,

siendoR el radio de la trayectoria y por ello

R = mv

|q|B,

y la frecuencia de las rotaciones es

ω= v

R =

|q|B m ,

que es conocida como la frecuencia ciclotr´onica por razones hist´oricas.

3.2 Fuerzas sobre Conductores

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semi-microsc´opico, suponemos que

portadores de carga

se trasladan en el material con-ductor con una velocidad efectiva ~v común. Pensemos entonces que en un conductor cil´ındrico, en un intervalo de tiempo ∆t, un conjunto de portadores de carga con car-gas qj cruzan una sección de área transversal fija. La carga total que atravieza dicha área

ser´a la suma de todas las cargas

∆Q=X

j

qj. (3.3)

La corriente el´ectrica ique porta el conductor se define2 _{como el cociente de esta cantidad}

de carga entre el tiempo transcurrido, en el l´ımite de intervalos de tiempo muy peque˜nos,

i= lim∆t→0

∆Q

∆t = dQ

dt . (3.4)

Si consideramos ahora a un segmento de longitud ∆`, en la direcci´on y sentido del vector ∆~`, la velocidad efectiva de los portadores de carga ser´a

~

v = lim∆t→0

∆~`

∆t = ~ d`

dt. (3.5)

Esta velocidad tambi´en es denominadavelocidad de arrastre. Ahora bien, la fuerza efectiva sobre un portador de carga qj debida a un campo magn´etico externo es

d ~Fj = qj

d~`

dt ×B.~ (3.6)

Por lo que sumando todas las contribuciones encontramos que la fuerza neta sobre el seg-mento d` de conductor con corriente i ser´a

d ~F =X

i

d ~Fi = dQ

d~`

dt ×B.~ (3.7)

Pero usando la definici´on de corriente anterior tendremos que sumando sobre todas las fuerzas d ~F y los segmentos d`

~ F =

Z

i ~d`×B.~ (3.8)

Esta integral de l´ınea se simplifica para un segmento rectil´ıneo en un campo magn´etico homg´eneo en

~

F =i ~`×B.~

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Esta relaci´on heur´ıstica es muy importante para nosotros y nos da la

fuerza que ejerce

un campo magn´

etico

B

~

sobre un segmento de conductor de longitud

`

que

porta una corriente el´

ectrica

i

.

Definimos al

momento dipolar magntico

de una espira plana cerrada conduc-tora con corriente iy ´area A como el vector

~

µ=i ~A,

en donde A~ tiene magnitud igual al área A de la espira y apunta perpendicularmente a ésta. En presencia de un campo mágnético B~ la torca ejercida sobre la espira será

~τ =~µ × B,~

con magnitud signada µ = iABsenφ, en donde φ es el ángulo entre el campo mágnético y la normal a la espira. Para un solenoide conteniendo N espiras paralelas simplemente habrá que multiplicar al momento mágnetico por N.

3.3 Ley de Gauss para el Magnetismo

El flujo magnético a traves de un área está dado por

ΦB =

Z

~ B·dA.~

La

Ley de Gauss del Magnetismo

nos dice que el flujo a traves de una superficie cerradaS se cancela

I

S

~

B ·dA~ = 0. (3.9)

Esta relación nos dice queno existen los monopolos magnéticos, en notorio contraste con la existencia de las cargas eléctricas

I

S

~

E·dA~ = Q

0

Estas dos leyes forman parte de las ecuaciones de Maxwell.

3.4 Ley de Amp

ere

`

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B = µ0i

2πR, (3.10)

en donde R es la distancia al eje del cable y µ0 es una constante con valor de 4π ×

10−7_{W b/Am}_{= 410}−7_{N s}2_/C2_{, llamada ahora constante de permeabilidad. Este resultado}

es una confirmaci´on de una ley b´asica conocida posteriormente y denominada

Ley de

Amp

`

ere

I

C

~

B·d`~ =µ0i,

en donde la integral de l´ınea es hecha sobre una curva cerrada suave C, e i es la corriente eléctrica que fluye por el área acotada por C. Ésta es otra de las cuatro ecuaciones de Maxwell. Además, Oersted encontró que las l´ıneas de campo magnético constante son c´ırculos concéntricos perpendiculares al conductor y cuyo sentido se determina fácilmente por la regla de la mano derecha colocando al pulgar en la dirección de la corriente.

3.4.1 Ley de Biot-Savart

En base a observaciones experimentales se encontró (1820) que el campo mágnético gener-ado a una distancia r por un elemento diferencial d`~ que porta una corriente i está dado por

~

dB = µ0i ~d`×rˆ 4π r2 .

Esta relaci´on es conocida como

Ley de Biot-Savart

, pero en general cualquier re-sultado que se obtenga mediante ella tambi´en puede ser obtenido por medio de la ley de Amp`ere y de forma mucho mas simple.

Ejemplo. Para un segmento recto de longitud 2a situado sobre el eje y desde −a hasta a

tenemos que en un punto situado sobre el eje x, para z = 0, el campo magn´etico ser´a

~

B = µ0i 4π

Z a

−a

sen(θ)dy r2 k,ˆ

en donde el ´anguloθ que hacend`~ y~r se obtiene usando

sen(θ) = sen(π−θ) = _p x

x2₊_y2.

Substituyendo llegamos a

~

B = µ0i 4π

Z a

−a

xdykˆ

(x2₊_y2₎3/2 =

µ0iaˆk

2πx√x2₊_a2.

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3.5 Problemas

Problema 1.

Una part´ıcula con una cargaqy una masamconocidas viaja inicialmente en la direcci´on del eje y con una rapidez v0. Ingresa a una zona que contiene un campo

magnéticoB uniforme y perpendicular al plano{x, y}. Después de una distancia dsale del campo y avanza hasta chocar con una pared. a). Determinar el radioR de la trayectoria en la región con campo magnético. b). Obtener el valor de la desviación ∆x.

Problema 2.

Un haz de electrones con carga−e, masamy energ´ıa cinéticaKconocidas sale de un tubo acelerador. A una distanciad de la salida del haz se encuentra una pared perpendicular a la dirección del haz. a). Mostrar que si la magnitudBdel campo magnético perpendicular al haz satisface

B ≥ √

2mK ed ,

entonces el haz no choca con la pared. b). ¿Que sentido debe tener el campo magn´etico?

Problema 3.

Un alambre de longitudLy masam está suspendido como se muestra en presencia de un campo magnéticoB perpendicular. Determinar la magnitud y el sentido de la corriente que tiene que circular por el alambre para suprimir la tensión en los soportes.

Problema 4.

Una espira rectangular de λ kilogramos por unidad de longitud gira en torno a uno de sus lados horizontales. Si la corriente i es conocida encuentra la magnitud y sentido de un campo magn´etico B~ paralelo al eje vertical necesarios para que la espira se mantenga en equilibrio con una inclinaci´onφ con respecto a la vertical.

Problema 5.

Un alambre recto y largo conduce una corriente I. Una espira con dos lados de longitudh paralelos al alambre a distanciasd y D conduce una corriente i. Halla la magnitud, sentido y direcci´on de la fuerza neta que el campo magn´etico producido por el alambre ejerce sobre la espira. ¿La espira es atra´ıda o repelida por el alambre?

Problema 6.

Dos alambres paralelos largos cuelgan horizontalmente de cordeles de longitud ` de un eje com´un. Si los almbre tienen una masa por unidad de longitud λ

y conduce corrientes con sentidos opuestos ¿Cual es el valor de la corriente para que los alambres cuelguen a una inclinaci´onφ con respecto a la vertical?

Problema 7.

Un tramo recto de alambre conductor de masa M y longitud L se en-cuentra sobre un plano inclinado sin fricción que forma un ánguloθ con la horizontal. Una fuente de voltaje está conectada a los extremos del cable y se aplica un campo magnético uniforme B~ en dirección vertical hacia arriba. Determina la magnitud y el sentido de la corriente para que el alambre permanezca en reposo.

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corriente i, se encuentra en un campo magnético B en dirección vertical apuntando hacia arriba. a). Obtén la fuerza sobre cada lado de la espira y la fuerza neta sobre de ella. b). Calcula al momento de torsión (el momento de las fuerzas aplicadas sobre la espira).

Soluci´on. a). Tenemos que la fuerza magn´etica sobre un segmento rect´ılineo es

~

F =i~L×B.~

Numeremos a los segmentos de tal forma que los segmentos inclinados paralelos sean el I(descendente) y el III (ascendente) y los segmentos horizontales sean el II (de izquierda a derecha) y el IV (de derecha a izquierda) de acuerdo al sentido de la corriente. Entonces eligiendo coordenadas de tal modo que el plano horizontal sea el plano{zx}g y la direcci´on vertical sea la del eje y, tenemos que

~

B =Bˆj, ~LII =aˆi=−~LIV, L~III =b(sen(φ)ˆj−cos(φ)ˆk=−L~IV,

y con ellas

~

FIII =ibBcos(φ)ˆi=−F~I, ~FII =iaBˆk =−F~IV,

en donde empleamos que ˆj×ˆj = 0 y ˆk×ˆj =−ˆi, Con lo cual la fuerza neta se anula

~

FN eta=F~I+F~II +F~III +F~IV =~0.

b). El momento de torsi´on de la espira est´a dado por

~τ =~µ×B~

en la cual el momento dipolar magn´etico ~µest´a definido mediante

~ µ=i ~A,

para una espira plana con corriente i y ´area A. El vector A~ es perpendicular al ´area de la espira y su sentido se especifica mediante la regla de la mano derecha. En el plano {y, z}

los vectores A~ y B~ hacen un ´angulo φ por lo que entonces

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Ex´amen tercera unidad. Diciembre del 2009.

Problema 1.

Se deja caer una esfera de masaM con una cargaQpor un pozo vertical. A una profundidad de h metros la esfera entra en una zona con un campo magnético homogéneo de magnitud B en dirección horizontal. Despreciando la resitencia con el aire determina la magnitud y la direcci ón de la fuerza que el campo ejerce sobre la esfera en el momento en que entra en el campo.

Solución. Las coordenadas del plano horizontal son (z, x) y en la dirección vertical y. Si el campo magnético es de derecha a izquierda entonces B~ =−Bkˆ. Dado que la carga cae con aceleración constanteg, entonces si parte del reposo de la posición inicial y(0) = 0 al tiempo t= 0

~v =−gtˆj, y=−gt

2

2 .

Si al tiempo th ha ca´ıdo una altura h, con y(th) = −h, para entrar en la zona de campo

magn´etico, entonces se sigue que

th =

s 2h

g .

La fuerza magn´etica es

~

F =Q~v×B~ =BQgtk,ˆ

ya que ˆj×ˆi=−kˆ. As´ı que la fuerza en el momento en que Qentre al campo ser´a

~

F(th) =BQ

p 2ghk.ˆ