Dinámica del punto material

Dinámica del punto material

La dinámica es la parte de la mecánica clásica desarrollada por Isaac Newton que estudia el moviendo de los cuerpos en relación con la causa que lo provoca. La mecánica Newtoniana alcanzo en el transcurso de dos siglos éxitos tan enormes que muchos científicos estaban convencidos de su omnipotencia. En nuestros días la mecánica clásica sigue teniendo una gran aplicación, pues sin los conocimientos de la mecánica clásica seria imposible construir un puente o enviar un satélite al espacio. La mecánica clásica, basada en las leyes de Newton, es la mecánica de los cuerpos de grandes masas (en comparación con la masa de los átomos), que se mueven a pequeñas velocidades (en comparación con la de la luz).

En la tumba del creador de la mecánica clásica, Newton, están esculpidas las siguientes palabras:

Aquí yace

Sir Isaac Newton

Quien con la fuerza casi divina de su mente explico por primera vez con la ayuda de su método matemático los movimientos y las formas de los planetas, las rutas de los cometas, los flujos y reflujos del océano. Fue el primero en investigar la diversidad de los rayos luminosos y las peculiaridades de los colores que de aquí provenían y que nadie ni siquiera sospechaba hasta aquella época.

Interpretador aplicado, perspicaz y correcto de la naturaleza, de las antigüedades y de la Sagrada Escritura.

Glorifico en su doctrina al Todopoderoso creador. Con su vida demostró sencillez requerida por el Evangelio.

Que se alegren los mortales que en medio de ellos vivió tal ornato del género humano. Nació el 25 de diciembre de 1642. Murió el 20 de marzo de 1727.

1

CONTENIDO

La dinámica se sustenta en los siguientes conceptos fundamentales:

1.1

Punto Material.

como sucede con la tierra puede hacer ambas cosas a la vez. Si en algún momento queremos estudiar el movimiento de la tierra alrededor del sol, por ejemplo conocer su posición, no es necesario tener en cuenta su rotación sobre su propio eje, solo nos interesa su traslación, además la tierra se vera como un pequeño punto en relación con el tamaño y la distancia al sol. Por lo tanto para esta situación la tierra se puede modelar como un punto

material.

Un punto material es entonces un cuerpo de dimensiones muy pequeñas;

una pelota de béisbol es muy pequeña comparada con la tierra. El concepto de punto material se utiliza para modelar y obtener información del sistema físico que se esta estudiando.

1.2

Masa.

En física clásica el concepto de masa se define como la medida de la inercia

de un cuerpo. La inercia es la capacidad de un cuerpo de conservar su estado de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme. La masa es una cantidad aditiva; es decir la masa de un cuerpo se puede representar como la suma de sus partes.

1.3

Fuerza.

A la medida de la interacción entre dos cuerpos se le conoce con el nombre

de fuerza. Debido a que esta interacción es mutua y simétrica, los dos

cuerpos que interactúan se ven afectados, sintiendo ambos la misma magnitud de fuerza pero en sentidos contrarios.

Esta definición permite intuir dos características fundamentales de las fuerzas: son cantidades vectoriales y siempre aparecen en parejas. Esta última característica da origen a una de las leyes del movimiento: La tercera Ley de Newton.

Debido a su carácter vectorial, las leyes de adición de vectores pueden ser utilizadas en la suma de fuerzas que actúan sobre un cuerpo determinado. En muchas ocasiones se acostumbra representar el conjunto de interacciones que actúan sobre un cuerpo mediante una sola fuerza llamada fuerza neta.

una de ellas es una componente de la fuerza original. En la figura se muestra la descomposición de la fuerza F en otras dos: F_xy F_y, cada una en

la dirección de los ejes x e y respectivamente.

En el análisis del movimiento de un cuerpo puede ser útil observar independientemente la fuerza neta que actúa sobre él en cada una de las dimensiones.

En la naturaleza existen diferentes tipos de fuerzas, aunque todas se pueden explicar en función de cuatro de ellas llamadas las Fuerzas Fundamentales las cuales son: la fuerza gravitacional, la fuerza electromagnética, la interacción nuclear fuerte y la interacción nuclear débil.

1.4

Primera Ley de Newton

La primera ley de movimiento fue descubierta por Galileo y reformulada por Newton. Se formula de la siguiente manera:

Sí la fuerza neta sobre una partícula es cero entonces su velocidad es

constante.

En estas condiciones existen dos posibilidades para el movimiento de la partícula:

• La partícula recorre distancias iguales en tiempos iguales y su movimiento es rectilíneo.

• La partícula se encuentra en reposo y permanece en este estado.

Dicho en otras palabras, un cuerpo conservará su estado de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme si las fuerzas que actúan sobre él se anulan y es necesario que una fuerza neta actúe sobre él para cambiar la dirección o la rapidez del movimiento.

La segunda parte de la primera ley de movimiento hace referencia a los sistemas inerciales de referencia. Un sistema de referencia inercial es aquel en el cual una partícula libre de toda influencia externa se mueve con velocidad constante. Las leyes de la mecánica son válidas sólo en sistemas de referencia inerciales; en estos sistemas el espacio es isótropo y homogéneo y el tiempo es homogéneo.

1.5

Segunda Ley de Newton.

La segunda ley de Newton se encarga de cuantificar el concepto de fuerza. Nos dice que la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es proporcional a la aceleración que adquiere dicho cuerpo. La constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo, de manera que podemos expresar la relación de la siguiente manera:

F = m a

Tanto la fuerza como la aceleración son magnitudes vectoriales, es decir, tienen, además de un valor, una dirección y un sentido. De esta manera, la Segunda ley de Newton debe expresarse como:

a m F 

La unidad de fuerza en el Sistema Internacional es el Newton y se representa por N. Un Newton es la fuerza que hay que ejercer sobre un cuerpo de un kilogramo de masa para que adquiera una aceleración de 1 m/s2_{, o sea, 1 N = 1 Kg · 1 m/s}2 _.

La expresión de la segunda ley de Newton que hemos dado es válida para cuerpos cuya masa sea constante. Si la masa varia, como por ejemplo un cohete que va quemando combustible, no es válida la relaciónF ma

Vamos a generalizar la segunda ley de Newton para que incluya el caso de sistemas en los que pueda variar la masa.

Para ello primero vamos a definir una magnitud física nueva. Esta magnitud física es la cantidad de movimiento o impulso que se representa por la letra p y que se define como el producto de la masa de un cuerpo por su velocidad, es decir:

v m p

La cantidad de movimiento o impulso también se conoce como momento lineal. Es una magnitud vectorial y, en el Sistema Internacional se mide en

Kg·m/s. En términos de esta nueva magnitud física, la segunda ley de

Newton se expresa de la siguiente manera:

La fuerza que actúa sobre un cuerpo es igual a la variación temporal de la cantidad de movimiento de dicho cuerpo, es decir,

dt p d F 

dt

dm

v

dt

v

d

m

dt

v

m

d

F



(

)







Como la masa es constante 0

dt dm

y recordando la definición de aceleración, nos queda

F



m

a

Tal y como habíamos visto anteriormente.

Otra consecuencia de expresar la segunda ley de Newton usando la cantidad de movimiento o impulso es lo que se conoce como Principio de

conservación de la cantidad de movimiento. Si la fuerza total que actúa

sobre un cuerpo es cero, la segunda ley de Newton nos dice que:

0 

dt p d

Es decir, que la derivada de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo es cero. Esto significa que la cantidad de movimiento debe ser constante en el tiempo (la derivada de una constante es cero). Esto es el

Principio de conservación de la cantidad de movimiento: si la fuerza

total que actúa sobre un cuerpo es nula, la cantidad de movimiento del cuerpo permanece constante en el tiempo.

1.6

Tercera Ley de Newton

Tal como comentamos en al principio de la segunda ley de Newton las fuerzas son el resultado de la acción de unos cuerpos sobre otros.

La tercera ley, también conocida como Principio de acción y reacción nos dice que si un cuerpo A ejerce una acción sobre otro cuerpo B, éste realiza sobre A otra acción igual y en sentido contrario.

Esto es algo que podemos comprobar a diario en numerosas ocasiones. Por ejemplo, cuando queremos dar un salto hacia arriba, empujamos el suelo para impulsarnos. La reacción del suelo es la que nos hace saltar hacia arriba.

Hay que destacar que, aunque los pares de acción y reacción tenga el mismo valor y sentidos contrarios, no se anulan entre si, puesto que actúan sobre

cuerpos distintos.

A B B

A F

F ,   ,

1.7

Clasificación de las Fuerzas.

Las tres leyes de Newton nos permiten estudiar el movimiento de los cuerpos a partir de las fuerzas que actúan sobre ellos. Es necesario que conozcamos cuáles son las fuerzas que actúan sobre los cuerpos. En esta sección vamos a comentar brevemente las principales fuerzas que podemos encontrarnos al estudiar el movimiento de un cuerpo.

Las principales fuerzas que nos vamos a encontrar al estudiar el movimiento de un cuerpo son: el peso, la normal, la fuerza de rozamiento y la fuerza elástica. Veamos cada una de ellas por separado.

1.7.1 La fuerza de gravedad y el peso.

A causa del efecto de la fuerza de atracción de la tierra, todos los cuerpos caen con la misma aceleración con relación a la superficie terrestre. Esto significa que en un sistema de referencia ligado con nuestro planeta, sobre todo cuerpo de masa m actúa una fuerza dirigida hacia el centro de la tierra llamada fuerza de gravedad. A la magnitud de la fuerza de gravedad se le denomina

el peso del cuerpo.

g

m

F

g



En la figura de la derecha aparecen algunos ejemplos que muestran hacia donde está dirigida la fuerza de gravedad en diferentes situaciones: un cuerpo apoyado sobre el suelo y un cuerpo que se mueve por un plano inclinado.

1.7.2 La normal

N .

En la figura de la izquierda se muestra hacia donde está dirigida la fuerza normal en los dos ejemplos que aparecían en la figura anterior para la fuerza de gravedad. Como ya hemos dicho, siempre es perpendicular a la

superficie de contacto y está dirigida hacia arriba, es decir, hacia fuera

de la superficie de contacto.

1.7.3 La fuerza de rozamiento

La fuerza de rozamiento es una fuerza que

aparece cuando hay dos cuerpos en contacto y es una fuerza muy importante cuando se estudia el movimiento de los cuerpos. Es la causante, por ejemplo, de que podamos andar (cuesta mucho más andar sobre una superficie con poco rozamiento, hielo, por ejemplo, que por una superficie con rozamiento como por ejemplo, un piso rugoso.

Existe rozamiento incluso cuando no hay movimiento relativo entre los dos cuerpos que están en contacto. Hablamos entonces de Fuerza de

rozamiento estática. Por ejemplo, si queremos empujar un armario muy

grande y hacemos una fuerza pequeña, el armario no se moverá. Esto es debido a la fuerza de rozamiento estática que se opone al movimiento. Si aumentamos la fuerza con la que empujamos, llegará un momento en que superemos está fuerza de rozamiento y será entonces cuando el armario se pueda mover. Una vez que el cuerpo empieza a moverse, hablamos de fuerza

de rozamiento dinámica. Esta fuerza de rozamiento dinámica es mayor

que la fuerza de rozamiento estática.

La experiencia nos muestra que:

 la fuerza de rozamiento entre dos cuerpos no depende del tamaño de

la superficie de contacto entre los dos cuerpos, pero sí depende de

cuál sea la naturaleza de esa superficie de contacto, es decir, de que materiales la formen y si es más o menos rugosa.

 la magnitud de la fuerza de rozamiento entre dos cuerpos en contacto es

proporcional a la normal entre los dos cuerpos, es decir:

N

F

roz





1.7.4 La fuerza elástica.

Las fuerzas elásticas son de gran importancia en la vida cotidiana, se aplican en elementos tan simples como una pinza de ropa o en el sistema de amortiguamiento de un vehículo, pasando por los colchones ortopédicos y últimamente en los mejores zapatos deportivos. ¡Si desea brincar bien alto compre unos zapatos que tengan resortes!

Las fuerzas elásticas se manifiestan principalmente en los resortes. Generalmente reciben el nombre de fuerzas restauradoras, ya que si usted estira un resorte el tiende a retomar su forma inicial, igual a lo que sucede con una cauchera, un globo de caucho, etc.

En lo sucesivo veremos el

comportamiento de tales fuerzas en los resortes que son los elementos de interés. Si no se le aplica ninguna fuerza a un resorte, él mantiene su longitud natural Lo, (ver figura lateral). Si el resorte se

coloca vertical, por ejemplo, en un soporte y enseguida se une a él un cuerpo de masa m, el resorte se estirara cierta distancia x.

En este momento el peso del cuerpo mg es igual a la fuerza que hace el resorte para poder soportarlo.

Si ahora colocamos un cuerpo con el doble de masa, el resorte ejercerá una fuerza justamente el doble de la anterior y el estiramiento del mismo será igualmente el doble de la inicial.

Si se llevan a cabo varias pruebas con diferentes cuerpos, se podrá comprobar que la fuerza realizada por el resorte es proporcional al estiramiento del mismo, operacionalmente se tiene que:

x

k

F

k





Donde k es el coeficiente de elasticidad del resorte y x la deformación del resorte.

Fk(x)

x

Lo

x _m

2x

2m

2mg

2Fk

2

Problemas resueltos.

Vamos a ver ahora una serie de ejemplos de problemas de Dinámica donde aplicamos los conceptos que hemos visto hasta ahora. En general, los problemas de Dinámica consisten en determinar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo y la aceleración con la que se mueve dicho cuerpo. Para esto hay que hacer uso de la segunda ley de Newton, que nos relaciona las fuerzas con la aceleración.

En primer lugar, vamos a hablar de lo que se conoce como Diagrama de cuerpo libre, que puede ser muy útil sobre todo a aquellos que empiezan a estudiar la dinámica. Después pasaremos a ver algunos ejemplos de problemas de Dinámica. Primero veremos el movimiento de un cuerpo sin rozamiento y posteriormente, estudiaremos el movimiento de un cuerpo con rozamiento.

2.1

Ejemplo No1.

Diagrama del cuerpo libre.

En este apartado vamos a ver el Diagrama de cuerpo

libre, que puede ser muy útil en la resolución de

problemas de Dinámica, sobre todo en el caso de que haya más de un cuerpo.

A la hora de resolver un problema de Dinámica, lo primero que hemos de hacer es ver cuales son las fuerzas que actúan sobre cada uno de los cuerpos que aparezcan en el problema. Una vez hecho esto, representar el

Diagrama de cuerpo libre para cada uno de los cuerpos que hay no es más

que representar para cada cuerpo por separado las fuerzas que actúan sobre él. Veamos un ejemplo de como hacer esto.

Consideremos el sistema que mostramos en el dibujo, formado por dos cuerpos A y B apoyados sobre el suelo. Supongamos que sobre A ejercemos una fuerza

F tal como aparece en el dibujo. Suponiendo que no existe rozamiento, vamos a tratar de calcular la aceleración con la que se mueve cada uno de los dos cuerpos.

En primer lugar, tal como hemos dicho antes, hay que ver cuales son las fuerzas que actúan sobre cada cuerpo. Estas fuerzas serán:

 Las normales sobre cada uno de los cuerpos que están dirigidas hacia arriba,

 Sobre el cuerpo B la fuerza que A realice sobre él, FAB y sobre el cuerpo A, debido a la tercera ley de Newton, la fuerza que B realizará sobre A como reacción, FBA. Los sentidos de estas fuerzas son los que se muestran en el dibujo.

 Sobre el cuerpo A, la fuerza F que le estamos aplicando nosotros.

Una vez hecho esto, representar los Diagramas de cuerpo libre es bastante sencillo. Sólo hay que ir dibujando para cada cuerpo por separado, las fuerzas que actúen sobre él, tal como se muestra en las dos figuras siguientes:

El siguiente paso para resolver el problema consiste en hacer uso de la Segunda ley de Newton para relacionar las fuerzas que actúan sobre cada cuerpo con las aceleraciones de cada uno de ellos. Como las fuerzas son vectores, habrá que aplicar la segunda ley de Newton para cada una de las componentes de la fuerza (generalmente las componentes x e y). Para ello elegiremos un sistema de referencia. Esto no es más que decidir que dirección será el eje x y cuál el eje y, cuales serán los sentidos positivo y negativo. Una vez decididos cuales serán los ejes de coordenadas, sólo tenemos que escribir la ecuación F ma

para cada eje.

Comencemos con el cuerpo A. En primer lugar, vamos a elegir los ejes de coordenadas. En este caso es fácil hacer la elección, el eje x será paralelo al suelo y el eje y perpendicular a éste, tal como se muestra en el dibujo. Tomaremos como positivas la parte derecha del eje x y la parte superior del eje y.

Vamos a aplicar ahora la segunda ley de Newton en cada uno de los ejes. En el eje y, las fuerzas que hay son la normal y el Peso con sentido contrario. De acuerdo con el convenio que hemos decidido antes, la normal será positiva y el peso negativo. Tenemos así:

Ay A A

A M g M a

Ahora bien, los dos cuerpos se van a mover por el piso, por lo que no habrá movimiento en la dirección y. La aceleración en esa dirección debe ser, por tanto, cero. Nos queda entonces:

0

 M g N_{A A}

De aquí podemos obtener el valor de la normal para el cuerpo A: g

M NA  A

Veamos que sucede en la dirección del eje x. Las fuerzas que hay son la fuerza F que aplicamos nosotros y la fuerza que el cuerpo B ejerce sobre A,

FBA. La primera tendría sentido positivo y la segunda negativo, de acuerdo con los ejes que hemos elegido anteriormente. De esta manera, al aplicar la segunda ley de Newton obtenemos:

FF_BA M_Aa_A

Con esta ecuación no podemos calcular nada más por ahora, ya que desconocemos cuanto vale FBA. Vamos a ver entonces qué ecuaciones obtenemos para el cuerpo B.

Para el cuerpo B tomaremos el mismo sistema de ejes que para A y el mismo criterio de signos. En el eje y procedemos exactamente igual que para el cuerpo A ya que tenemos la normal y el peso solamente. Igual que entonces, la aceleración en el eje y será cero puesto que el cuerpo ni se levanta ni se hunde en el piso. Nos quedará entonces que:

g M N_B  _B

Osea, que la normal que actúa sobre B es igual al peso de B.

En la dirección x, la única fuerza que actúa sobre el cuerpo B es la que ejerce A sobre él, FAB. Por tanto, la segunda ley de Newton nos dice que:

B B

AB M a

F 

En esta ecuación desconocemos tanto la fuerza como la aceleración del cuerpo B. Ahora bien, por la tercera ley de Newton, las fuerzas FAB y FBA, tienen el mismo valor (aunque sentido contrario, tal como las hemos representado en los dibujos). Además, como los dos cuerpos se mueven conjuntamente, las aceleraciones tienen que ser las mismas ya que si no lo fueran, los cuerpos se separarían al moverse uno más rápido que el otro. Por tanto:

a

a

a

_A



_B



AB BA F F 

De esta forma, las ecuaciones para el eje x en los dos cuerpos quedan de la siguiente manera:

a M F

a M F_BA  _B

Con lo cual tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (a y FBA). Si sustituimos en la primera ecuación el valor de FBA que nos da la

segunda ecuación y despejamos la aceleración obtenemos:

) (MA MB F

a _

Hemos obtenido así la aceleración con la que se mueven los dos cuerpos, que era lo que era lo que pretendíamos.

2.2

Ejemplo No 2.

En este ejemplo vamos a considerar un cuerpo de masa m que está sobre un plano inclinado tal como se muestra en el dibujo. Supondremos que existe rozamiento entre el cuerpo y el plano inclinado y vamos a tratar de calcular la aceleración con la que se mueve el cuerpo. Sobre el cuerpo no aplicamos ninguna fuerza por lo que, en principio, el cuerpo caerá hacia abajo por el plano inclinado. Lo primero que tenemos que hacer es dibujar todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo y que son:

- Fuerza de gravedad, dirigida hacia el piso, tal como se muestra en la figura.

- Fuerza normal, en dirección perpendicular al plano inclinado, que es la superficie de apoyo del cuerpo, tal como se puede ver en el dibujo.

- Fuerza de rozamiento, paralela al plano inclinado (la superficie de contacto) y dirigida hacia arriba del plano ya que estamos suponiendo que el cuerpo se mueve hacia abajo.

Una vez que tenemos todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, el siguiente paso consiste en dibujar el Diagrama de cuerpo libre, aunque en este caso, al haber sólo un cuerpo, podemos usar como diagrama el dibujo anterior en el que hemos dibujado todas las fuerzas.

Pasamos ahora a elegir el sistema de referencia. Para facilitar el cálculo conviene elegir unos ejes de coordenadas de manera que uno de ellos tenga la

dirección del movimiento. En este caso vamos a tomar

sentido hacia abajo del plano inclinado (normalmente se toma el sentido del movimiento del cuerpo) y para el eje y hacia arriba de la superficie del plano inclinado.

Una vez elegido los ejes de coordenadas que vamos a utilizar, vamos a escribir la segunda Ley de Newton para cada uno de los ejes. En este caso, tal como podemos ver en los dibujos, la fuerza peso tiene componentes, tanto en el eje x como en el eje y. En el dibujo vemos como determinar las componentes del peso. El ángulo que forma el peso con el eje y es el ángulo del plano inclinado. De esta manera, la componente y del peso se obtiene multiplicando el módulo del vector por el coseno del ángulo y la componente x se obtiene multiplicando por el seno del ángulo.

Veamos ahora la segunda ley de Newton para cada uno de los ejes. Comenzaremos por el eje y. Las fuerzas que actúan en esta dirección son la normal y la componente y del peso. La primera tiene sentido positivo y la segunda sentido negativo de acuerdo con el criterio de signos que estamos usando. Tenemos entonces:

0

cos







mg

ma

y

N



Igual que en el ejemplo anterior, la aceleración en la dirección y es cero puesto que el cuerpo no se va a separar del plano inclinado. Podemos despejar el valor de la normal:



cos

mg

N



En el eje x las fuerzas que actúan son la componente x del peso y la fuerza de rozamiento. La primera tiene sentido positivo y la segunda tendrá sentido negativo. De esta manera, aplicando la segunda ley de Newton obtenemos la siguiente ecuación:

x

r ma

F mgsen



 

Donde hemos llamado

a

x, a la aceleración en el eje x ya que hemos visto que no hay aceleración en la dirección y. Como vimos al hablar de la fuerza de rozamiento, está es igual al producto del coeficiente de rozamiento , por la normal. Escribiendo esto en la ecuación anterior obtenemos:

x ma N mgsen









Como ya hemos obtenido anteriormente que la normal es igual a la componente y del peso, sustituyendo en la ecuación nos queda:

x

ma

mg

De aquí podemos despejar la aceleración con la que se moverá el cuerpo:

) cos (









 g sen

a

Con lo que hemos obtenido la aceleración con la que se mueve el cuerpo tal como pretendíamos al principio.

Vemos que, como era de esperar, la aceleración con la que cae el cuerpo depende del coeficiente de rozamiento. Hay un valor de dicho coeficiente de rozamiento para el cual el cuerpo no caerá y se quedará quieto en el plano inclinado. Dejamos para el lector el cálculo de ese valor.

2.3

Ejemplo No 3.

La maquina de Atwood. Consideremos dos cuerpos que cuelgan verticalmente sobre una polea sin rozamiento y masa insignificante como se muestra en la figura de la derecha.

Sea que m2m1 y encontremos la aceleración

con la que se mueve el sistema y la tensión en el hilo.

De acuerdo con el sistema de referencia que se encuentra al lado del dibujo y aplicando la segunda ley de newton para cada uno de los cuerpos tenemos:

Para el cuerpo de masa m1:

y y

y T m g ma

F  ₁  ₁  _{1 1}



Donde T1 es la magnitud de la tensión T1 y a1y es la proyección de la

aceleración a₁ de acuerdo con el sistema de referencia elegido. Para el cuerpo de masa m2:



  

y

y

y T m g ma

F 2 2 2 2

Observe que a1 a2, ya que son dos cantidades vectoriales que tienen

diferentes direcciones; pero a1y a2y as, donde as es la aceleración con la

que se mueve el sistema. En problemas como este en los que la polea se modela como sin masa y sin fricción, la tensión en la cuerda en ambos lados de la polea es la misma por lo tanto T1 T2 Thilo. Despejando T1 de la primera

ecuación y remplazando en la segunda ecuación tenemos que:

m1

m2

a1

a

2

y

1 2 1 2 m m m m g a_s    , _        2 1 2 1 2 m m m m g T

2.4

Ejemplo No 4.

Un carrito de masa M 500gramos esta unido a una masa m200gramos mediante una cuerda. En el momento inicial el carrito tenía una velocidad inicial

s m v_o 7 y se movía hacia la izquierda por un plano horizontal. Determinar el valor y sentido de la velocidad del carrito, el lugar, donde se encontrara y el espacio recorrido después de t = 5s.

Para este caso las ecuaciones de la dinámica se escribirán de la siguiente forma:

ma T

mg  , T Ma, Donde T es la tensión en la cuerda.

Resolviendo, obtenemos: g g

M m m a 7 2    .

De las ecuaciones del movimiento, hallamos 2

2 1 _at t

v

x _o  , v_f v_o at.

Resolviendo este sistema de ecuaciones, encontramos que dentro de 5s el carrito se encontrara en el mismo lugar (x0)y tendrá una velocidad

s m

vf 7 dirigida hacia la derecha.

El carrito recorrerá un trayecto igual a

 

m

t a v

s o 17,5

2 2 2 1 2 2           

3

Problemas Propuestos

o v

M

16

3.1

Una fuerza F aplicada a un objeto de masa m₁ produce una aceleración de 2m/s2_{. La misma fuerza aplicada a un segundo objeto}

de masa m_´2 genera una aceleración de 1m/s2, ¿Cuál es el valor de la

razón de 1 2

m m

Res. ½.

3.2

Un estudiante de física se encuentra con las manos levantadas en la plataforma de una balanza médica. ¿Cómo varían las indicaciones de la balanza si el estudiante baja las manos aceleradamente?. Justifique su respuesta.

Res. La indicación de la balanza disminuye.

3.3

En un platillo de una balanza se encuentra una botella. Dentro de la botella hay una mosca. Mientras la mosca duerme la balanza esta equilibrada. ¿Se desequilibrara la balanza si la mosca al despertarse, se desprende de la pared de la botella y vuela inicialmente en dirección horizontal y después en dirección vertical hacia arriba con aceleración

a. Justifique su respuesta.

Res. El platillo de la balanza en el que se encuentra la botella con

la mosca, bajará.

3.4

Un objeto de 1Kg experimenta una aceleración dada por

2

) 4 3 (

s m j i

a  . Encuentre la magnitud de la fuerza resultante.

Res. 5N.

3.5

Una mosca, un poco distraída, choca con el parabrisas de un autobús que se mueve con una determinada rapidez. El objeto que experimenta una fuerza de impacto con mayor magnitud es:

(a) la mosca, (b) el autobús, (c) la misma fuerza es experimentada por ambos.

3.6

De acuerdo con el enunciado anterior. El objeto que experimenta la mayor aceleración es:

(a) la mosca, (b) el autobús, (c) la misma aceleración es experimentada por ambos.

3.7

En los extremos de un hilo que se apoya sobre una polea con eje fijo están colgadas a una altura

m

g

m₁ 100 y m₂ 200g. En el momento inicial las cargas están en reposo. Determinar la tensión del hilo cuando las cargas se mueven y el tiempo durante el cual la carga de masa m2 alcanza el piso. No

tomar en cuenta la masa de la polea y del hilo.

Res. T 1,3N, t1s

3.8

Al eje de una polea inmóvil se sujeta una carga de peso P como se muestra en la figura de la izquierda. ¿Con que fuerza F es necesario tirar del extremo de la cuerda, apoyada sobre la segunda polea, para que la carga P se mueva hacia arriba con aceleración a?,¿para que la carga este en reposo?. Menospreciar la masa de las poleas y de la cuerda.

Res. (1 )

2 g

a P

F   , para a0, tenemos

2 P F 

3.9

El bloque A de la figura desciende con aceleración constante a. Determine el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y la superficie. Res.

 

gCos a Tan 

P

F



3.10

El bloque A, de peso 3w, resbala con rapidez constante bajando por un plano S inclinado 36.9º mientras la tabla B, de peso w, descansa sobre A, estando sujeta con un hilo a la pared. a) Dibuje el diagrama del cuerpo libre para cada uno de los cuerpos. b) Si el coeficiente de fricción cinético es igual entre A y B y entre S y A, determina su valor.

3.11

Dos cuerpos de masa m1y m2 están

conectados por medio de una cuerda ligera que pasa por una polea sin fricción como se muestra en la figura de la izquierda. Si el ángulo de inclinación del plano inclinado es  y el coeficiente de rozamiento cinético es , encuentre una expresión para determinar la aceleración del sistema y la tensión en el hilo. Suponga que m1m2.

Res.

2 1

2

1 ( cos )

m m

g m sen

g m a_s



 

   

3.12

De acuerdo con el enunciado anterior; si m1 2m2 y

o

45



 ¿Cual

debe ser el coeficiente de rozamiento para que el sistema se encuentre en equilibrio?

Res. 0.28.

4

Bibliografia.

B. B. Bujovtsev, Problemas seleccionados de física elemental.

Raymond A. Serway, Física para ciencias e ingeniería, sexta edición. V. Grigoriev, Fuerzas en la naturaleza.

WWW.thales.cica.es

36.9º S

B _A

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m1g

N

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1

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1

m2g