Notas de Econometría Financiera Macroeconometría
Aplicada
Ignacio Lobato
Hasta ahora hemos supuesto el modelo
E(y/x) = β0+x0β,
V(y/x) = σ2
El primer supuesto dice que la media condicional dey dadox es lineal
(linealidad)
El segundo supuesto dice que la varianza condicional de y dado x es
constante (homocedasticidad)
Desvío: Nota que siy yx se distribuyeran conjuntamente normal, los
dos supuestos anteriores se cumplen
Hasta ahora hemos supuesto el modelo
E(y/x) = β0+x0β, V(y/x) = σ2
El primer supuesto dice que la media condicional dey dado x es lineal (linealidad)
El segundo supuesto dice que la varianza condicional de y dado x es
constante (homocedasticidad)
Desvío: Nota que siy yx se distribuyeran conjuntamente normal, los
dos supuestos anteriores se cumplen
Hasta ahora hemos supuesto el modelo
E(y/x) = β0+x0β, V(y/x) = σ2
El primer supuesto dice que la media condicional dey dado x es lineal
(linealidad)
El segundo supuesto dice que la varianza condicional de y dado x es constante (homocedasticidad)
Desvío: Nota que siy yx se distribuyeran conjuntamente normal, los
dos supuestos anteriores se cumplen
Hasta ahora hemos supuesto el modelo
E(y/x) = β0+x0β, V(y/x) = σ2
El primer supuesto dice que la media condicional dey dado x es lineal
(linealidad)
El segundo supuesto dice que la varianza condicional de y dado x es
constante (homocedasticidad)
Desvío: Nota que siy yx se distribuyeran conjuntamente normal, los dos supuestos anteriores se cumplen
Hasta ahora hemos supuesto el modelo
E(y/x) = β0+x0β, V(y/x) = σ2
El primer supuesto dice que la media condicional dey dado x es lineal
(linealidad)
El segundo supuesto dice que la varianza condicional de y dado x es
constante (homocedasticidad)
Desvío: Nota que siy yx se distribuyeran conjuntamente normal, los
dos supuestos anteriores se cumplen
En este tema estudiaremos como podemos hacer inferencia sobre βen caso de que el segundo supuesto no se cumpla (Heterocedasticidad)
V(y/x) =σ2(x)
donde σ2(x) es una función positiva dex.
hay dos caminos:
1 seguir usando MCO
2 hacer un supuesto sobre la forma de la Heterocedasticidad y usar MC
Generalizados Factibles (MCGF)
En el caso de MCGF por ejemplo proponer
σ2(x) =exp(x0γ)
o proponer
En este tema estudiaremos como podemos hacer inferencia sobre βen
caso de que el segundo supuesto no se cumpla (Heterocedasticidad)
V(y/x) =σ2(x)
donde σ2(x) es una función positiva dex.
hay dos caminos:
1 seguir usando MCO
2 hacer un supuesto sobre la forma de la Heterocedasticidad y usar MC
Generalizados Factibles (MCGF)
En el caso de MCGF por ejemplo proponer
σ2(x) =exp(x0γ)
o proponer
En este tema estudiaremos como podemos hacer inferencia sobre βen
caso de que el segundo supuesto no se cumpla (Heterocedasticidad)
V(y/x) =σ2(x)
donde σ2(x) es una función positiva dex. hay dos caminos:
1 seguir usando MCO
2 hacer un supuesto sobre la forma de la Heterocedasticidad y usar MC
Generalizados Factibles (MCGF)
En el caso de MCGF por ejemplo proponer
σ2(x) =exp(x0γ)
o proponer
En este tema estudiaremos como podemos hacer inferencia sobre βen
caso de que el segundo supuesto no se cumpla (Heterocedasticidad)
V(y/x) =σ2(x)
donde σ2(x) es una función positiva dex.
hay dos caminos:
1 seguir usando MCO
2 hacer un supuesto sobre la forma de la Heterocedasticidad y usar MC
Generalizados Factibles (MCGF)
En el caso de MCGF por ejemplo proponer
σ2(x) =exp(x0γ)
o proponer
En este tema estudiaremos como podemos hacer inferencia sobre βen
caso de que el segundo supuesto no se cumpla (Heterocedasticidad)
V(y/x) =σ2(x)
donde σ2(x) es una función positiva dex.
hay dos caminos:
1 seguir usando MCO
2 hacer un supuesto sobre la forma de la Heterocedasticidad y usar MC Generalizados Factibles (MCGF)
En el caso de MCGF por ejemplo proponer
σ2(x) =exp(x0γ)
o proponer
En este tema estudiaremos como podemos hacer inferencia sobre βen
caso de que el segundo supuesto no se cumpla (Heterocedasticidad)
V(y/x) =σ2(x)
donde σ2(x) es una función positiva dex.
hay dos caminos:
1 seguir usando MCO
2 hacer un supuesto sobre la forma de la Heterocedasticidad y usar MC
Generalizados Factibles (MCGF)
En el caso de MCGF por ejemplo proponer
σ2(x) =exp(x0γ)
o proponer
En este tema estudiaremos como podemos hacer inferencia sobre βen
caso de que el segundo supuesto no se cumpla (Heterocedasticidad)
V(y/x) =σ2(x)
donde σ2(x) es una función positiva dex.
hay dos caminos:
1 seguir usando MCO
2 hacer un supuesto sobre la forma de la Heterocedasticidad y usar MC
Generalizados Factibles (MCGF)
En el caso de MCGF por ejemplo proponer
σ2(x) =exp(x0γ)
o proponer
la propuesta es seguir usando MCO pero teniendo cuidado a la hora de calcular los errores estandar
la propuesta es seguir usando MCO pero teniendo cuidado a la hora de calcular los errores estandar
Propiedades de MCO bajo Heterocedasticidad
1 Insesgadez
2 Consistencia
Propiedades de MCO bajo Heterocedasticidad
1 Insesgadez
2 Consistencia
Propiedades de MCO bajo Heterocedasticidad
1 Insesgadez
2 Consistencia
El estimador MCO
b =En(xx´) 1En(xy)
usando Leyes de los Grandes Números
En(xx´)!p E(xx´)
En(xy)!p E(xy)
y usando Slutsky
b=En(xx´) 1En(xy)!p E(xx´) 1E(xy) =β
Consistencia o Insesgadez se mantiene tengas o no heterocedasticidad
El estimador MCO
b =En(xx´) 1En(xy)
usando Leyes de los Grandes Números
En(xx´)!p E(xx´)
En(xy)!p E(xy)
y usando Slutsky
b=En(xx´) 1En(xy)!p E(xx´) 1E(xy) =β
Consistencia o Insesgadez se mantiene tengas o no heterocedasticidad
El estimador MCO
b =En(xx´) 1En(xy)
usando Leyes de los Grandes Números
En(xx´)!p E(xx´)
En(xy)!p E(xy)
y usando Slutsky
b=En(xx´) 1En(xy)!p E(xx´) 1E(xy) =β
Consistencia o Insesgadez se mantiene tengas o no heterocedasticidad
El estimador MCO
b =En(xx´) 1En(xy)
usando Leyes de los Grandes Números
En(xx´)!p E(xx´)
En(xy)!p E(xy)
y usando Slutsky
b=En(xx´) 1En(xy)!p E(xx´) 1E(xy) =β
Consistencia o Insesgadez se mantiene tengas o no heterocedasticidad
El estimador MCO
b =En(xx´) 1En(xy)
usando Leyes de los Grandes Números
En(xx´)!p E(xx´)
En(xy)!p E(xy)
y usando Slutsky
b=En(xx´) 1En(xy)!p E(xx´) 1E(xy) =β
Consistencia o Insesgadez se mantiene tengas o no heterocedasticidad
El estimador MCO
b =En(xx´) 1En(xy)
usando Leyes de los Grandes Números
En(xx´)!p E(xx´)
En(xy)!p E(xy)
y usando Slutsky
b=En(xx´) 1En(xy)!p E(xx´) 1E(xy) =β
La diferencia es que ahora
b
a Np(β,
E(xx´) 1E(
ε2xx´)E(xx´) 1
n )
donde ε=y x0β
Nota que
E(ε/x) = 0
V(ε/x) = σ2(x)
Nota que bajo homocedasticidad, usando la Ley de Esperanzas Iteradas
E(ε2xx´) =ExE(ε2xx´/x) =Ex(xx´E(ε2/x)) =σ2E(xx0)
y llegamos al resultado visto antes
b
a Np(β,
σ2E(xx´) 1
La diferencia es que ahora
b
a Np(β,
E(xx´) 1E(
ε2xx´)E(xx´) 1
n )
donde ε=y x0β
Nota que
E(ε/x) = 0
V(ε/x) = σ2(x)
Nota que bajo homocedasticidad, usando la Ley de Esperanzas Iteradas
E(ε2xx´) =ExE(ε2xx´/x) =Ex(xx´E(ε2/x)) =σ2E(xx0)
y llegamos al resultado visto antes
b
a Np(β,
σ2E(xx´) 1
La diferencia es que ahora
b
a Np(β,
E(xx´) 1E(
ε2xx´)E(xx´) 1
n )
donde ε=y x0β
Nota que
E(ε/x) = 0
V(ε/x) = σ2(x)
Nota que bajo homocedasticidad, usando la Ley de Esperanzas Iteradas
E(ε2xx´) =ExE(ε2xx´/x) =Ex(xx´E(ε2/x)) =σ2E(xx0)
y llegamos al resultado visto antes
b
a Np(β,
σ2E(xx´) 1
La diferencia es que ahora
b
a Np(β,
E(xx´) 1E(
ε2xx´)E(xx´) 1
n )
donde ε=y x0β
Nota que
E(ε/x) = 0
V(ε/x) = σ2(x)
Nota que bajo homocedasticidad, usando la Ley de Esperanzas Iteradas
E(ε2xx´) =ExE(ε2xx´/x) =Ex(xx´E(ε2/x)) =σ2E(xx0)
la matriz
E(xx´) 1E(ε2xx´)E(xx´) 1
es fácil de estimar de forma consistente
En(xx´) 1En(ε2xx´)En(xx´) 1
la matrizEn(ε2xx´)la podemos escribir
1
n
n
∑
i=1ei2XiXi0
dondeei son los residuos MCO de Y sobreX
y dondeXi es un vector de dimensiónp+1 con las i simas
observaciones de las variables explicativas
Esto se conoce como errores estandar robustos, de White, o de Eicker-White
la matriz
E(xx´) 1E(ε2xx´)E(xx´) 1 es fácil de estimar de forma consistente
En(xx´) 1En(ε2xx´)En(xx´) 1
la matrizEn(ε2xx´)la podemos escribir
1
n
n
∑
i=1ei2XiXi0
dondeei son los residuos MCO de Y sobreX
y dondeXi es un vector de dimensiónp+1 con las i simas
observaciones de las variables explicativas
Esto se conoce como errores estandar robustos, de White, o de Eicker-White
la matriz
E(xx´) 1E(ε2xx´)E(xx´) 1
es fácil de estimar de forma consistente
En(xx´) 1En(ε2xx´)En(xx´) 1
la matrizEn(ε2xx´)la podemos escribir
1
n
n
∑
i=1ei2XiXi0
dondeei son los residuos MCO de Y sobreX
y dondeXi es un vector de dimensiónp+1 con las i simas
observaciones de las variables explicativas
Esto se conoce como errores estandar robustos, de White, o de Eicker-White
la matriz
E(xx´) 1E(ε2xx´)E(xx´) 1
es fácil de estimar de forma consistente
En(xx´) 1En(ε2xx´)En(xx´) 1
la matrizEn(ε2xx´)la podemos escribir
1
n
n
∑
i=1
ei2XiXi0
dondeei son los residuos MCO deY sobreX
y dondeXi es un vector de dimensiónp+1 con las i simas
observaciones de las variables explicativas
Esto se conoce como errores estandar robustos, de White, o de Eicker-White
la matriz
E(xx´) 1E(ε2xx´)E(xx´) 1
es fácil de estimar de forma consistente
En(xx´) 1En(ε2xx´)En(xx´) 1
la matrizEn(ε2xx´)la podemos escribir
1
n
n
∑
i=1ei2XiXi0
dondeei son los residuos MCO deY sobreX
y dondeXi es un vector de dimensiónp+1 con las i simas observaciones de las variables explicativas
Esto se conoce como errores estandar robustos, de White, o de Eicker-White
la matriz
E(xx´) 1E(ε2xx´)E(xx´) 1
es fácil de estimar de forma consistente
En(xx´) 1En(ε2xx´)En(xx´) 1
la matrizEn(ε2xx´)la podemos escribir
1
n
n
∑
i=1ei2XiXi0
dondeei son los residuos MCO deY sobreX
y dondeXi es un vector de dimensiónp+1 con las i simas
observaciones de las variables explicativas
Esto se conoce como errores estandar robustos, de White, o de
la matriz
E(xx´) 1E(ε2xx´)E(xx´) 1
es fácil de estimar de forma consistente
En(xx´) 1En(ε2xx´)En(xx´) 1
la matrizEn(ε2xx´)la podemos escribir
1
n
n
∑
i=1ei2XiXi0
dondeei son los residuos MCO deY sobreX
y dondeXi es un vector de dimensiónp+1 con las i simas
observaciones de las variables explicativas
Esto se conoce como errores estandar robustos, de White, o de Eicker-White
El otro camino es hacer MC Generalizados factibles (MCGF)
Para ello debemos proponer una forma funcional para la varianza condicional
V(y/x) =σ2(x,γ)
y luego estimar de forma consistente estos parámetrosγ
esta estimación se puede hacer en dos etapas
primero estimar por MCO y guardar los residuos comoei
segundo estimar por MC No Lineales el modelo
ei2 =σ2(Xi,γ) +errori
esto proporciona estimaciones consistentes de estos parámetros γ,bγ.
Entonces MCGF es MCO de Yi/σ(Xi,γb)sobre Xi/σ(Xi,bγ)
El otro camino es hacer MC Generalizados factibles (MCGF)
Para ello debemos proponer una forma funcional para la varianza condicional
V(y/x) =σ2(x,γ)
y luego estimar de forma consistente estos parámetrosγ
esta estimación se puede hacer en dos etapas
primero estimar por MCO y guardar los residuos comoei
segundo estimar por MC No Lineales el modelo
ei2 =σ2(Xi,γ) +errori
esto proporciona estimaciones consistentes de estos parámetros γ,bγ.
Entonces MCGF es MCO de Yi/σ(Xi,γb)sobre Xi/σ(Xi,bγ)
El otro camino es hacer MC Generalizados factibles (MCGF)
Para ello debemos proponer una forma funcional para la varianza condicional
V(y/x) =σ2(x,γ)
y luego estimar de forma consistente estos parámetrosγ
esta estimación se puede hacer en dos etapas
primero estimar por MCO y guardar los residuos comoei
segundo estimar por MC No Lineales el modelo
ei2 =σ2(Xi,γ) +errori
esto proporciona estimaciones consistentes de estos parámetros γ,bγ.
Entonces MCGF es MCO de Yi/σ(Xi,γb)sobre Xi/σ(Xi,bγ)
El otro camino es hacer MC Generalizados factibles (MCGF)
Para ello debemos proponer una forma funcional para la varianza condicional
V(y/x) =σ2(x,γ)
y luego estimar de forma consistente estos parámetrosγ
esta estimación se puede hacer en dos etapas
primero estimar por MCO y guardar los residuos comoei
segundo estimar por MC No Lineales el modelo
ei2 =σ2(Xi,γ) +errori
esto proporciona estimaciones consistentes de estos parámetros γ,bγ.
Entonces MCGF es MCO de Yi/σ(Xi,γb)sobre Xi/σ(Xi,bγ)
El otro camino es hacer MC Generalizados factibles (MCGF)
Para ello debemos proponer una forma funcional para la varianza condicional
V(y/x) =σ2(x,γ)
y luego estimar de forma consistente estos parámetrosγ
esta estimación se puede hacer en dos etapas
primero estimar por MCO y guardar los residuos comoei
segundo estimar por MC No Lineales el modelo
ei2 =σ2(Xi,γ) +errori
esto proporciona estimaciones consistentes de estos parámetros γ,bγ.
Entonces MCGF es MCO de Yi/σ(Xi,γb)sobre Xi/σ(Xi,bγ)
El otro camino es hacer MC Generalizados factibles (MCGF)
Para ello debemos proponer una forma funcional para la varianza condicional
V(y/x) =σ2(x,γ)
y luego estimar de forma consistente estos parámetrosγ
esta estimación se puede hacer en dos etapas
primero estimar por MCO y guardar los residuos comoei
segundo estimar por MC No Lineales el modelo
ei2 =σ2(Xi,γ) +errori
esto proporciona estimaciones consistentes de estos parámetros γ,bγ.
Entonces MCGF es MCO de Yi/σ(Xi,γb)sobre Xi/σ(Xi,bγ)
El otro camino es hacer MC Generalizados factibles (MCGF)
Para ello debemos proponer una forma funcional para la varianza condicional
V(y/x) =σ2(x,γ)
y luego estimar de forma consistente estos parámetrosγ
esta estimación se puede hacer en dos etapas
primero estimar por MCO y guardar los residuos comoei
segundo estimar por MC No Lineales el modelo
ei2 =σ2(Xi,γ) +errori
esto proporciona estimaciones consistentes de estos parámetros γ,bγ.
Entonces MCGF es MCO de Yi/σ(Xi,γb)sobre Xi/σ(Xi,bγ)
El otro camino es hacer MC Generalizados factibles (MCGF)
Para ello debemos proponer una forma funcional para la varianza condicional
V(y/x) =σ2(x,γ)
y luego estimar de forma consistente estos parámetrosγ
esta estimación se puede hacer en dos etapas
primero estimar por MCO y guardar los residuos comoei
segundo estimar por MC No Lineales el modelo
ei2 =σ2(Xi,γ) +errori
esto proporciona estimaciones consistentes de estos parámetros γ,bγ.
Entonces MCGF es MCO de Yi/σ(Xi,γb)sobre Xi/σ(Xi,bγ)
El otro camino es hacer MC Generalizados factibles (MCGF)
Para ello debemos proponer una forma funcional para la varianza condicional
V(y/x) =σ2(x,γ)
y luego estimar de forma consistente estos parámetrosγ
esta estimación se puede hacer en dos etapas
primero estimar por MCO y guardar los residuos comoei
segundo estimar por MC No Lineales el modelo
ei2 =σ2(Xi,γ) +errori
esto proporciona estimaciones consistentes de estos parámetros γ,bγ.
El otro camino es hacer MC Generalizados factibles (MCGF)
Para ello debemos proponer una forma funcional para la varianza condicional
V(y/x) =σ2(x,γ)
y luego estimar de forma consistente estos parámetrosγ
esta estimación se puede hacer en dos etapas
primero estimar por MCO y guardar los residuos comoei
segundo estimar por MC No Lineales el modelo
ei2 =σ2(Xi,γ) +errori
esto proporciona estimaciones consistentes de estos parámetros γ,bγ.
Entonces MCGF es MCO de Yi/σ(Xi,γb)sobre Xi/σ(Xi,bγ)
Resumen
MCGF es complicado y arbitrario
Resumen
MCGF es complicado y arbitrario
Resumen
MCGF es complicado y arbitrario
Ejemplo
SALIDA 1
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Included observations: 899
White Heteroskedasticity-Consistent Standard Errors & Covariance
Variable Coe¢ cient Std. Error t-Statistic Prob.
C -17766.84 1424.957 -12.46833 0.0000
LOG(Z1) 2116.400 157.2934 13.45511 0.0000
Z2 311.4864 47.75287 6.522883 0.0000
Z3 292.3367 87.12519 3.355363 0.0008
Z4 9.276353 16.01485 0.579235 0.5626
Z5 7.441149 16.33873 0.455430 0.6489
Z6 -886.3335 220.5673 -4.018426 0.0001
Estos resultados se reportan así
b
Y = 17,766.8
(1424.9)
+2,116.4
(157.2)
log(X1) +311.5
(47.8) X2+292(87.1.3) X3
+9.28
