Presentación Movimiento ondulatorio pdf

(1)

Vibraciones y Ondas

(2)

yOndas mecánicas: Necesitan de un medio material para transmitirse: sonido.

yOndas electromagnéticas: No necesitan de medio material para su propagación: luz.

►Movimiento ondulatorio

►Clasificación de las ondas

►Propagación de ondas

►Ecuación de una onda

►Ondas armónicas

►Principio de Huygens

►Propiedades

►Interferencia

Una onda representa el movimiento de

propagación de una perturbación de un punto a otro sin que exista transporte neto de materia. En una onda se propaga energía.

Propagación de una onda en el agua

En una onda se representa cómo varía la magnitud perturbada en función del espacio y el tiempo. ►Ondas

estacionarias

(3)

Según el número de dimensiones en que se propaga

yUnidimensionales: Se propagan en un única dirección: ondas en una cuerda

yBidimensionales: Se propagan en dos direcciones: ondas en el agua

yTridimensionales: Se propagan en todas las direcciones: sonido y luz.

Según la dirección de oscilación y la de propagación de la onda

yLongitudinales: Si coincide la dirección de oscilación de la propiedad perturbada y la de propagación de la onda.

yTransversales: Si la dirección de oscilación de la propiedad perturbada es perpendicular a la dirección de propagación de la onda.

Onda Longitudinal Onda Transversal ►Movimiento

ondulatorio

►Propiedades

►Ondas estacionarias

(4)

Para que una onda mecánica se propague por un medio debe tener: elasticidad e

inercia.

yEn general, la velocidad de propagación de una

onda en un medio se puede expresar como:

_propiedad

_inercial

elástica

propiedad

v

=

yEn el caso de ondas propagándose en una cuerda de

tensión T y densidad lineal de masa μ:

=

_μ

T

v

yEn la figura se representa el movimiento de un pulso transmitiéndose por una cuerda.

yCada punto de la cuerda alcanza una altura “y” diferente.

yEsta altura “y” depende de la distancia “x” a la que está el punto considerado y del tiempo “t” transcurrido, ya que el pulso avanza en la dirección de la cuerda.

La ecuación que representa la propagación de una onda es una función de la coordenada de la dirección de avance y del

tiempo y se le llama Función de Onda.

y

=

f

(

x

,

t

)

►Movimiento

ondulatorio

►Propiedades

(5)

yEn la figura se representa el movimiento de una onda que se mueve hacia la derecha visto desde dos sistemas de referencia distintos: uno fijo, O, y otro que se mueve solidario con el pulso, O’.

yPara el observador O los valores de “y” son función de “x” y de “t”, es decir, y=f(x,t).

yPara el observador O’, los valores de “ y’ ” sólo son función de “ x’ “ ya que para él la onda permanece estática, es decir, y’ =f(x’).

⇒

=

⋅

−

=

f

(

x

,

t

)

;

y

'

f

(

x

'

)

;

x

'

x

v

t

;

y

'

y

=

f

(

x

−

v

⋅

t

)

ySi la onda se desplazase hacia la izquierda su ecuación sería:

y

=

f

(

x

+

v

⋅

t

)

Ecuación General

de la Onda

)

t

v

x

(

f

y

=

±

⋅

►Propiedades

(6)

Onda armónica en una cuerda producida por un oscilador armónico

La perturbación que se propaga en forma de onda armónica es producida por un oscilador armónico.

)

t

v

x

(

k

sen

A

)

t

,

x

(

y

=

±

⋅

)

t

v

x

(

k

cos

A

)

t

,

x

(

y

=

±

⋅

Parámetros de una onda armónica

λ

Longitud de onda_{en idéntico estado de perturbación.}: Distancia entre dos puntos consecutivos que se encuentran

T

Período_{estado de perturbación.}: Tiempo que tarda un punto cualquiera en repetir un determinado

f

Frecuencia_{de perturbación por unidad de tiempo.}: Número de veces que un determinado punto repite cierto estado

v

Velocidad de propagaciónde tiempo. Esta velocidad no es la misma que la de oscilación de un punto del : Desplazamiento efectuado por la onda en la unidad medio.

k

Número de onda_{es decir, k = 2}_π_/_λ: Número de longitudes de onda que hay en una distancia 2_. π,

►Propiedades

(7)

Una onda que se mueva hacia la derecha se expresa como:

f

v

T

v

=

λ

⇒

=

λ

⋅

vT

2 k

⇒

=

π

λ

π

=

v

k

T

2 π

_⇒

₌

ω

=

ω

)

t

v

x

(

k

sen

A

)

t

,

x

(

y

=

−

⋅

Aunque, al ser armónica, también se puede expresar como una función coseno, en función del estado inicial de la perturbación, es decir:

)

t

v

x

(

k

cos

A

)

t

,

x

(

y

=

−

⋅

Teniendo en cuenta que k·v = ω, la ecuación se puede expresar de la forma:

)

t

x

k

(

sen

A

)

t

,

x

(

y

=

−

ω

y

(

x

,

t

)

=

A

sen

(

k

x

+

ω

t

)

Si se mueve hacia la derecha Si se mueve hacia la izquierda ►Movimiento

ondulatorio

►Propiedades

(8)

yUna onda se propaga en forma de frentes de ondas.

yUn frente de onda es la superficie que une todos los puntos del medio alcanzados por el movimiento ondulatorio en el mismo instante.

Principio de Huygens

Todo punto de un medio hasta el cual llega una perturbación se comporta como un foco emisor de ondas secundarias que se propagan en la dirección de la perturbación.

La superficie tangente a todas las ondas secundarias en un instante dado constituye el siguiente frente de ondas.

yEn el frente de ondas S, los puntos A, B y C, se

comportan como focos emisores de ondas secundarias.

yEstas ondas secundarias alcanzan, en el mismo

instante los puntos A’, B’ y C’. La superficie tangente a estos puntos, S’, es el nuevo frente de ondas.

yA su vez, los puntos A’, B’ y C’, se convierten en focos emisores de ondas secundarias que originan el nuevo frente S’’, y así sucesivamente.

yEn la figura adjunta se muestra la propagación de frentes de ondas esféricos.

►Propiedades

(9)

yTanto la onda incidente como la reflejada, al propagarse por el mismo medio, se mueven a la misma velocidad.

Cuando una onda que se propaga por un medio llega a la superficie de separación de otro medio distinto, la onda se refleja cambiando de direcciónpero sigue propagándose por el mismo medio.

i

r

A

C

D

B

i

r

N

Medio 1

Medio 2

yEl frente de onda AB incide formando un ángulo “i” con la normal N a la superficie de separación.

yEl frente de onda reflejado CD forma un ángulo “r” con la normal N.

yCuando el punto B del frente de onda incidente llega a C, el punto A se encuentra en el punto D del frente de onda reflejado.

yComo el tiempo que transcurre y la velocidad de propagación son los mismos:

iˆ

sen

AC

BC

t

v

=

v

t

=

AD

=

AC

sen

rˆ

AC

sen

iˆ

=

AC

sen

rˆ

iˆ

=

Cuando una onda se refleja, el ángulo de incidencia y el de _{reflexión son iguales.}

►Propiedades

(10)

yEn el tiempo que B llega a C, se ha generado en el segundo medio un nuevo frente de ondas DC propagándose a distinta velocidad.

i

A

C

V

₁

B

i

r

N

D

r

V

₂

Medio 1

Medio 2

Cuando una onda que se propaga por un medio llega a la superficie de separación de otro

medio distinto, además de la onda reflejada, se produce otra onda que se propaga por el otro medio llamada onda refractada.

yLa onda refractada, al propagarse por otro medio lo hace a distinta velocidad de la

incidente, provocando un cambio de dirección

en su movimiento.

iˆ

sen

AC

t

v

BC

=

₁

=

rˆ

sen

AC

t

v

AD

=

₂

=

rˆ

sen

iˆ

sen

v

2 1

₌

yDividiendo m. a m. ambas ecuaciones:

ySi v₂< v₁ , i > r , la dirección de la onda refractada se acerca a la normal.

ySi v2 > v1 , i < r , la dirección de la onda refractada se aleja de la normal.

►Propiedades

(11)

ySi el tamaño de la abertura o el obstáculo es grande comparado con la longitud de la onda el fenómeno de la

difracción apenas es relevante.

ySi el tamaño es comparable con la longitud de la onda, el fenómeno de la

difracción adquiere importancia.

yEste es un fenómeno típicamente ondulatorio no dándose en el caso de partículas materiales.

Se llama Difracción al fenómeno por el cual una onda modifica su dirección de propagación al encontrarse con aberturas u obstáculos.

►Propiedades

(12)

ySupongamos dos ondas armónicas de la misma amplitud, longitud de onda y frecuencia angular pero de diferente fase moviéndose en el mismo medio:

Interferencia es el encuentro en un punto del espacio de dos o más movimientos ondulatorios que se propagan por el mismo medio.

Principio de superposición: La perturbación producida en un punto por dos o más ondas es igual a la suma algebraica de las perturbaciones producidas en dicho punto por cada una de las ondas consideradas de modo aislado.

)

t

kx

(

sen

A

y

₁

=

−

ω

)

t

kx

(

sen

A

y

₂

=

−

ω

−

δ

yCuando dichas ondas coincidan en un punto del medio, la perturbación “y” de ese punto, teniendo en cuenta el principio de superposición, será:

[

sen

(

kx

t

)

sen

(

kx

t

)

]

A

y

=

₁

+

₂

=

−

ω

+

−

ω

−

δ

ySi a = kx –ωt y b = kx –ωt –δ y

teniendo en cuenta que: ⎟⎠

⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = + 2 b a sen 2 b a cos 2 b sen a sen

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

_ω

₋

δ

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

δ

=

2 t

kx

sen

2 cos

A

2 y

Ecuación de la perturbación

resultante en cualquier punto

del espacio

►Propiedades

(13)

yLa onda resultante de la interferencia es también armónica (función seno).

yTiene la misma longitud de onda y frecuenciaque las ondas individuales.

yLa amplitud de la onda resultante, A’ = 2A cos δ/2,

depende de la diferencia de fasede las ondas individuales.

⇒

⋅

=

2 A

cos

0 '

A

A) Las ondas incidentes están en consonancia de fase (

δ

= 0 )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ ₋_ω ₋ δ ⋅

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ δ

=

2 t kx sen 2

cos A 2 y

A

2 '

A

=

Cuando dos ondas en consonancia de fase (desfase nulo) interfieren entre sí, lo hacen de manera constructiva, y la amplitud resultante es el doble de las amplitudes originales.

B) Las ondas incidentes están en oposición de fase (

δ

=

π

)

⇒

π

⋅

=

2 A

cos

'

A

'

=

0

Cuando dos ondas en oposición de fase (desfase π) interfieren entre sí, lo hacen de manera destructiva, y la amplitud resultante es cero, anulándose sus efectos.

►Propiedades

(14)

yEn la foto se muestra dos fuentes puntuales que vibran en consonancia de fase.

yProducen ondas circulares en la superficie del agua que interfieren en todos los puntos del espacio.

yEn este caso, la diferencia de faseentre las ondas que

interfieren se debe a la diferencia que hay entre las distancias

que recorre cada una hasta el punto de encuentro.

Dos ondas son coherentescuando su diferencia de fase es constante a lo largo del tiempo. Ondas procedentes de fuentes en consonancia de fase.

A) Interferencia constructiva.

A) Interferencia destructiva.

λ

=

Δ

d

n

En los puntos que satisfacen esta condición la interferencia es

constructiva y se producen máximos

(

)

2

1 n

2 d

=

+

λ

Δ

En los puntos que satisfacen esta condición la interferencia es

destructiva y se producen mínimos, anulándose entre ellas.

►Propiedades

(15)

yEn la figura se muestra el aspecto de las ondas

estacionarias que se producen en una cuerda fija por los dos extremos.

yLa interferencia se produce entre la onda que se mueve hacia la izquierda y su reflejada en la pared, moviéndose hacia la derecha.

yExisten puntos, llamados vientres, en los que la amplitud de oscilación es máxima.

yOtros puntos, llamados nodos, no oscilan nunca teniendo

amplitud nula.

yEl número de vientres y nodos depende de la frecuencia de oscilación.

ySi consideramos dos ondas idénticas moviéndose en sentidos opuestos sus ecuaciones serán:

Las ondas estacionarias son producidas por la interferencia entre dos ondas iguales que se propagan en el mismo medio pero en sentidos opuestos

)

t

kx

(

sen

A

y

₁

=

+

ω

y

₂

=

A

sen

(

kx

−

ω

t

)

yAplicando el principio de superposición y las relaciones trigonométricas vistas anteriormente, obtenemos la

ecuación de la onda estacionaria:

(

2 A

sen

kx

)

cos

t

y

=

⋅

ω

►Propiedades

(16)

yLa frecuencia de la onda estacionaria es igual a la de las ondas armónicas que se superponen.

yLa amplitud de la onda estacionaria, A’ = 2 A sen kx, es función de la posición “x”, de modo que hay puntos que oscilan con amplitud máxima y otros que no oscilan.

(

2 A

sen

kx

)

cos

t

y

=

⋅

ω

A) Localización de los nodos.

yEn los nodos la amplitud de oscilación, A’, es cero y esto ocurrirá cuando:

.

,

3 ,

2 ,

,

0 kx

sen

=

⇒

=

π

yY como k = 2π / λ , entonces:

⇒

λ

=

⇒

π

=

λ

π

.

,

2

3 ,

,

2 ,

0 x

.

,

3 ,

2 ,

,

0 x

2 ,....

3 ,

2 ,

1 ,

0 n

2 n

x

=

λ

=

La amplitud de cada punto es función de su posición

Los nodos están situados a distancias iguales a números enteros de medias longitudes de onda.

►Propiedades

(17)

(

2 A

sen

kx

)

cos

t

y

=

⋅

ω

B) Localización de los vientres.

yEn los vientres la amplitud de oscilación, A’, es máxima y esto ocurrirá cuando:

.

,

2

7 ,

2

5 ,

2

3 ,

2 kx

1 kx

sen

=

⇒

=

π

yY como k = 2π / λ, entonces:

⇒

λ

=

⇒

π

=

λ

π

.

,

4

7 ,

4

5 ,

4

3 ,

4 x

....

,

2

5 ,

2

3 ,

2 x

2 (

)

n

0 ,

1 ,

2 ,

3 ,....

4

1 n

2 x

=

+

λ

=

Los vientres están situados a distancias iguales a números impares de cuartas longitudes de onda.

►Propiedades

(18)

ySi consideramos una cuerda de longitud “L”, fija por ambos extremos. Los extremos fijos deben ser nodos, por lo que deberá cumplirse que:

⇒ =

λ λ

=

f 2

v n L f

v como

; 2 n L

L

2 v

n

f

=

yDando a n los valores 1, 2, 3, …, se obtienen las posibles frecuencias que darían lugar al establecimiento de ondas estacionarias. A estas frecuencias se les llama

armónicos.

μ

=

T

L

2 n

f

►Propiedades

(19)

yVamos a analizar la fotografía instantánea de la onda estacionaria en diferentes instantes de tiempo.

yEn rojo y azul se representan las ondas cuya

interferencia originan la onda estacionaria, en negro.

t = 0

yLas ondas que interfieren están en consonancia de fase, interfiriendo constructivamente, dando lugar a una onda de amplitud 2 A.

t = T/4

yLas ondas se han desplazado relativamente media longitud de onda, encontrándose en oposición de fase y la interferencia es destructiva.

t = T/2

yLas ondas vuelven a estar en consonancia de fase, pero invertidas con respecto a la situación inicial.

La existencia de nodos, al no oscilar nunca, implica que una onda estacionaria no

transporta energía de un punto a otro ►Movimiento

ondulatorio

►Propiedades

(20)

yEn el extremo cerrado se forma un nodo de

desplazamiento ya que las partículas de aire no pueden desplazarse. En el extremo abierto se produce un vientre.

►Propiedades

Las ondas estacionarias también pueden generarse por el sonido que se transmite dentro de tubos

A) Tubo abierto por uno de los extremos

(

)

λ = ⇒

+ = λ ⇒ λ + =

f v como

y ; 1 n 2

L 4 4

1 n 2 L

(

)

L

4 v

1 n

2 f

=

+

B) Tubo abierto por los dos extremos

⇒ =

λ =

λ ⇒ λ =

f v como

y ; n

L 2 2

n L

L

2 v

n

f

=

ySe forman vientres de desplazamiento en ambos extremos.

(21)

►Propiedades

►Animaciones y videos

Interferencia de ondas Ondas en

una cuerda

Tipos de Ondas

Difracción de Ondas

Ondas acústicas

Laboratorio de Ondas

ANIMACIONES

VIDEOS

De oscilac. a ondas

Reflexión de Ondas