Sistemas de ecuaciones lineales Teoría

S

is

te

m

es

d

'E

q

u

ac

io

n

s

L

in

ea

ls

Apuntes de

Teoría

2 Bachillerato

* Definición y Conceptos

* Solución de un Sistema

* Tipos de Sistemas

* Estudio de los Sistemas :

Ë

_{Clasificación}

Ë

_Resolución

* Regla de Cramer

* Método del Pivote

* Sistemas Equivalentes

* Ideas Complementarias

* Sistemas Parametrizados

XB

Apunts

Sistemes

1 2 n

9 9 9

1 6 _a

11x1 % a12x2 % ... %a1nxn ' b1

2 6 a₂₁x₁ % a₂₂x₂ % ... %a_2nx_n ' b₂

.... _% .... _% ... _% .... _' ...

m 6 _a

m1x1 % am2x2 % ... %amnxn ' bm

( I )

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Ecuación Lineal

Dadas las incógnitas x₁ , x₂ , x₃ , ..., x_n y los coeficientes a₁ , a₂ , a₃ , ..., a_n , b 0ú_.

Llamamos ECUACIO LIEAL CO COEFICIETES REALES a una

ecuación de la forma :

a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ + ... + a_nx_n = b

Ejemplo 1.-

3x + 2y + z = 5 Es una ecuación lineal, incógnitas x, y, z.

2x1 + x2 - x3 + x4 = 0 Es una ecuación lineal, incógnitas x1 , x2 , x3 , x4

5x2 _{+ 2xy + 3y = 7 NO es una ecuación lineal (los términos de la ecuación 5x}2 _y 2xy ‘rompen’ la linealidad de la ecuación).

Sistema de Ecuaciones Lineales

Un SISTEMA DE " m " ECUACIONES LINEALES y " n " INCÓGNITAS con COEFICIENTES REALES ( en adelante, Sistema de Ecuaciones Lineales, o,

simplemente, en este tema, Sistema de Ecuaciones), es un conjunto de m ecuaciones lineales que deben cumplirse simultáneamente ( m 0ù_{, m} $ _{1 )}

Elementos de un Sistema de Ecuaciones Lineales.

< _x

1, x2, x3, ..., xn son las Incógnitas.

<_{a11, a12, a13, ..., amn son los coeficientes.} < _b

1, b2, b3, ...,bm son los términos independientes.

Ejemplo 2.-

2x + 3y + 5z = 2

4x + 3y - 3z = 3 A Es un Sistema de 2 ecuaciones lineales con tres incógnitas (x,y,z)

XB

Apunts

Sistemes

Un Sistema de Ecuaciones Lineales también podemos escribirlo así :

Expresión Matricial del Sistema

a

11 a12 ... a1n

a

21 a22 ... a2n

.... .... .... ....

a_m1 a_m2 ... a_mn

@

x

1

x

2

...

x_n

'

b

1

b

2

...

b_m

O así :

Expresión Vectorial del Sistema :

x₁

a₁₁ a

21

! a_m1

% x₂

a₁₂ a

22

! a_m2

% ··· _% x_n

a_1n a

2n

! a_mn

' b₁ b

2

! b_m

Dando lugar a nuevos elementos:

< _{La matriz de COEFICIETES, : A '}

a₁₁ a₁₂ ... a_1n a₂₁ a₂₂ ... a_2n .... .... ... ...

a_m1 a_m2 ... a_mn

m × n

< _{La matriz AMPLIADA, : ( A/b ) '}

a

11 a12 ... a1n b1

a₂₁ a₂₂ ... a_2n b₂

.... .... .... .... ...

a_m1 a_m2 ... a_mn b_m

m× (n%1)

De forma que, matricialmente, podemos escribir un Sistema de Ecuaciones Lineales de la siguiente forma:

XB

Apunts

Sistemes

siendo 'A', la matriz de coeficientes, 'b' la matriz columna de términos independientes, y

la matriz columna de incógnitas.

X _'

x₁

x

2

...

x_n

Ejemplo : El sistema de ecuaciones lineales 2x % 3y % 5z ' 2 se escribe

4x & 3y % 3z ' 3

matricialmente 2 3 5

4 &3 3 ·

x y z

' 2

3

y vectorialmente x 2

4 % y

3

&3 % z

5

3 '

2 3

Ejercicios :

1.- Obtener la expresión matricial y vectorial de los siguientes Sistemas de Ecuaciones Lineales indicando el número de ecuaciones y las incógnitas, así como la matriz de coeficientes y la matriz ampliada.

1.1 x_x%_&3y_y '_' 4₃

1.2

2x_{1 %} x_{2 '} 6

x

1 & x2 ' 3

3x₁ % x₂ ' 7

1.3

x

1 & x2 % x3 % x4 ' 1

2x_{1 %} x_{2 &} x_{3 %} 2x_{4 '} 3

1.4

x · a _% 3b _% 2c _' 5

3a & 2b ' 4

a _% b _& 3c _' 0

XB

Apunts

Sistemes

1 2 m

9 9 9

1 6 a

11x1 % a12x2 % ... %a1nxn ' b1

2 6 a

21x1 % a22x2 % ... %a2nxn ' b2

.... _% .... _% ... _% .... _' ...

m 6 _a

m1x1 % am2x2 % ... %amnxn ' bm

( I )

1.5 x₁

1 2 1 3

% x₂

2 1 0

&1

% x₃

4 0 1 2

% x₄

1 1

&1 0

% x₅

0 1 0 1

'

0 0 0 0

< < <

< _{Solución de un Sistema de Ecuaciones Lineales :}

Dado el S.E.L.:

"n" valores reales x₁*_,x 2

*_,...,x n

*_{, forman UA SOLUCIÓ del mismo, si, al sustituir :}

se satisfacen las m igualdades del sistema (I) /00

000 000 000 000 000 00

x

1 por x

(

1

x₂ por x₂(

...

x_n por x_n(

Ejemplo 3.- Dado el Sistema de Ecuaciones Lineales :

3x _% 2y _' 7

2x _% y _' 4 x ' 1 ; y ' 2 es una solución del mismo,

pues 3·1 % 2·2 ' 7 T

2·1 _% 2 _' 4 T

Ejercicios:

2.- Comprobar que x = 1, y = 2, z = -1 es una solución del Sistema de Ecuaciones Lineales :

x _% y _% z _' 2

x _% 2y _% z _' 4

&x _% y _% z _' 0

XB

Apunts

Sistemes

3x₁ % 2x₂ % x₃ ' 4

x_{1 &} x_{2 %} 2x_{3 '} 0 Sistema ORDINARIO

x _% y _% z _' 0

x _& y _% 2z _' 0

3x _% 2y _% 3z _' 0

Sistema HOMOGÉNEO

Lineales :

x _% y _% z _' 1

x _% y _% z _' 1

x _% y _% z _' 1

œ _{α, β} 0 ú

4.- Comprobar que x = 2 , y = 3 NO es solución del Sistema de Ecuaciones Lineales :

x _% 3y _' 11

3x _% 2y _' 10

Resolver un Sistema de Ecuaciones Lineales :

Entendemos por RESOLVER un Sistema de Ecuaciones Lineales al hecho de hallar todas las soluciones del mismo, si las tiene.

TIPOS DE SISTEMAS DE ECUACIOES LIEALES

Atendiendo al hecho de que un Sistema de Ecuaciones Lineales tenga o no solución, y al número de éstas, clasificamos los sistemas de ecuaciones lineales en:

<_{SISTEMA COMPATIBLE}

Un Sistema de Ecuaciones Lineales es COMPATIBLE si posee solución.

a) Si dicha solución es única

Y

Y

Y

Y

b) Si no es única ( hay infinitas )

Y

Y

Y

Y

(S.C.I.)

< < <

< _{SISTEMA ICOMPATIBLE}

Un Sistema de Ecuaciones Lineales es INCOMPATIBLE si no posee solución (S.I.) Por otro lado, atendiendo a los términos independientes del Sistema de Ecuaciones Lineales, clasificamos los sistemas en :

< _{SISTEMA ORDINARIO. Si alguno de los términos independientes es}

…

…

…

…

Ejemplo 4.-

XB

Apunts

Sistemes

x _% 3y _& z _' 2

2x % y % z ' 0

x_{1 %} x_{2 '} 0

x_{1 &} x_{2 '} 0

x

1 % 3x2 ' 0

x

1 & x2 % x3 ' x4

2x₁ % x₂ ' x₃

x_{1 %} x_{2 &} 3x_{3 %} x_{4 '} 0

2 1 3

1 1 _&1

0 2 &1

x₁

x

2

x

3

'

0

a

0

según valores de a 0 ú

1 2 3 4 5 6 7 8

x

y '

0 0 0 0

5.- Clasifica los siguientes Sistemas en Homogéneos y 2o Homogéneos :

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

XB

Apunts

Sistemes

Dividiremos este importante e interesante estudio en dos bloques :

a) Clasificar el SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES ( Averiguar a qué tipo pertenece )

b) Resolver el SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES ( Buscar su/s solución/es si la/s tiene )

a) Clasificación de un SISTEMA

Para clasificar un Sistema de Ecuaciones Lineales emplearemos el teorema de Rouché-Fröbenius, según el cual, dado el sistema de ecuaciones lineales A · X = b con matriz de coeficientes A y matriz Ampliada (A/b) :

Teorema de Rouché-Fröbenius

µ µµ

µ _Sistemas

ordinarios

< _{Rang(A) = Rang(A/b) = nº Incógnitas} Y _Sistema

Compatible Determinado

( Solución Unica )

< _{Rang(A)= Rang(A/b) < nº Incógnitas} Y _Sistema

Compatible Indeterminado

(Infinitas soluciones)

< _Rang(A)

…

solución )

µ µµ

µ _Sistemas

homogé-neos

< _{Rang(A) = nº Incógnitas} Y _{Sistema Homogéneo}

Compa-tible Determinado

( Solución trivial, x₁=...=x_n=0 )

< _{Rang(A)< nº Incógnitas} Y _{Sistema Homogéneo}

Compati-ble Indeterminado

(Infinitas Soluciones )

Siendo Rang(A), el rango de la matriz de coeficientes y Rang(A/b) el rango de la matriz ampliada

Observa varios detalles :

< < <

< _{El Teorema de Rouché Fröbenius nos permite clasificar un Sistema de}

Ecuaciones Lineales hallando tan sólo dos rangos

( El rango de la matriz de los coeficientes y el rango de la matriz ampliada. Cuando ambos rangos coinciden les llamaremos rango del sistema )

< < <

< _{El Rang(A) nunca puede ser mayor que Rang(A/b)}

( El Rango de la matriz de coeficientes nunca puede ser mayor que el rango de la matriz ampliada ) (¡¡¡...!!! Obvio. )

< < <

XB

Apunts

Sistemes

( Por eso sólo se nombra el Rango de A en el teorema de Rouché Fröbenius).

< < <

< _{En un sistema homogéneo, sólo hay dos opciones, o tiene solución trivial, o}

tiene infinitas soluciones.

< _{El número de Ecuaciones de un Sistema, no "importa" para su clasificación.}

Para hallar los rangos de la matriz de coeficientes o de la ampliada, podemos emplear las técnicas ya conocidas,

< _{Método del PIVOTE o de Gauss (MdP o MdG)}

< _{Método de Menores Orlados (MMO), según convenga. [ Se estudiaron en}

el tema MATRICES ]

ESQUEMA DEL TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBEIUS

µ _Sistemas

ORDINARIOS

< _{Si Rang(A) = Rang(A/b) = n}

Y

S.C.D.

< _{Si Rang(A) = Rang(A/b) < n.}

Y

S.C.I.

< _{Si Rang(A)}

…

Y

µ _Sistemas

HOMOGÉNEOS

< _{Si Rang(A) = n}

Y

< _{Si Rang(A) < n}

Y

Veamos, a continuación, a través de unos ejemplos, la forma adecuada de emplear el teorema.

Ejemplo 5 : Clasificar

x _% 2y _& 3z _' 0

2x % y % 2z ' 5

x _& y _& z _{' &}1

[ Sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas ]

Matriz de Coeficientes : A _'

1 2 _&3

2 1 2

1 &1 &1

Matriz Ampliada : (A/b) '

1 2 &3 0

2 1 2 5

XB

Apunts

Sistemes

Vamos a hallar sus Rangos mediante el método de Gauss :

Coeficientes : Rang(A) = 3

1 2 &3

2 1 2

1 &1 &1

/00 000 000 0 /00 000 000 0

1 2 &3

0 _&3 8

0 &3 2

/00 000 000 0

1 2 &3

0 _&3 8

0 0 6

7

7

7

Ampliada : Rang(A/b) = 3

1 2 _&3 _! 0

2 1 2 ! 5

1 _&1 _&1 _{! &}1

/00 000 000 0 /00 000 000 0

1 2 _&3 _! 0

0 &3 8 ! 5

0 _&3 2 _{! &}1

/00 000 000 0

1 2 _&3 0

0 &3 8 5

0 0 6 6

7

7

7

nº Incógnitas = 3

En virtud del teorema de Rouché-Fröbenius

Rang(A) = Rang(A/b) = nº de incógnitas :

SISTEMA COMPATIBLE DETERMIADO ( El sistema tiene una única solución )

Ejemplo 6 : Clasificar

x

1 % 3x2 ' 5

2x₁ % 6x₂ ' 10

&x

1 & 3x2 ' &5

[ Sistema de 3 ecuaciones lineales con 2 incógnitas ]

Matriz de Coeficientes : A _'

1 3 2 6

&1 &3

Matriz Ampliada : (A/b) '

1 3 5 2 6 10

&1 _&3 _&5

Vamos a hallar sus Rangos por el método de Gauss :

Coeficientes : Rang(A) = 1

1 3 2 6

&1 &3

/00 000 000 0 /00 000 000 0 1 3 0 0 0 0 7

Ampliada : Rang(A/b) = 1

1 3 5 2 6 10

&1 _&3 _&5

/00 000 000 0 /00 000 000 0

1 3 5 0 0 0 0 0 0

XB

Apunts

Sistemes

nº Incógnitas = 3

Según el teorema de Rouché-Fröbenius

Rang(A) = Rang(A/b) = nº de incógnitas :

SISTEMA COMPATIBLE IDETERMIADO ( El sistema tiene infinitas soluciones )

Ejemplo 7 : Clasificar

2x₁ & x₂ % x₃ ' &1

x

1 % 3x2 % 2x3 ' 2

3x_{1 %} 2x_{2 %} 3x_3' 4

[ Sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas ]

Matriz de Coeficientes : A _'

2 &1 1

1 3 2 3 2 3

Matriz Ampliada : (A/b) _'

2 _&1 1 _&1

1 3 2 2 3 2 3 4

Vamos a hallar sus Rangos por el método de MENORES ORLADOS :

Coeficientes : /00000 Rang(A) = 2

000 0

/00 000 000 0

2 _&1 1

1 3 2 3 2 3

' 0 ; /00

00 /0000

2 _&1

1 3

… ₀

Ampliada :

2 &1 1 &1

1 3 2 2 3 2 3 4

6 /00

00 /0000

2 &1

1 3 … 0

/00 000 000 0

/00 000 000 0

2 _&1 1

1 3 2 3 2 3

' 0

/00 000 000 0

/00 000 000 0

2 &1 &1

1 3 2 3 2 4

… ₀

Rang(A/b) = 3

Rang(A) ………… _Rang(A/b)

XB

Apunts

Sistemes

< _{Hemos fijado el menor no nulo de orden 2,} /00 _{y los dos menores de}

00 /0000 2 &1

1 3

orden 3 se han obtenido mediante orlación. Como uno de ellos es … ₀ Y _Rang

(A/b) = 3

Ejemplo 8 : Clasificar

x_{1 %} 3x_{2 %} 2x_3% x_{4 '} 0

2x

1 & x2 % x3 % 2x4 ' 0

x

1 & 4x2 &x3 % x4 ' 0

[ Sistema Homogéneo de 3 ecuaciones lineales con 4 incógnitas ]

Matriz de Coeficientes : A _'

1 3 2 1

2 _&1 1 2

1 &4 &1 1

Hallaremos el Rango por el método de Gauss

Coeficientes: /00000 Rang(A) = 2

000 0

1 3 2 1

2 _&1 1 2

1 &4 &1 1

1 3 2 1

0 _&7 _&3 0

0 &7 &3 0

/00 000 000 0

/00 000 000 0

1 3 2 1

0 _&7 _&3 0

0 0 0 0

7

7

nº incógnitas = 3

Rang(A) < nº INCÓGNITAS

SISTEMA HOMOGÉEO COMPATIBLE IDETERMIADO ( El sistema homogéneo tiene infinitas soluciones ]

Y con este ejemplo, cerramos esta primera toma de contacto con la técnica apropiada para clasificar un Sistema de Ecuaciones Lineales. ¡¡ Utilízalas como método !!.

RESOLUCIÓ DE SISTEMAS DE ECUACIOES LIEALES

Naturalmente ¡¡ Sistemas Compatibles !!.

Para resolver un Sistema de Ecuaciones Lineales vamos a seguir dos métodos :

< _{Regla de CRAMER}

< _{Método del PIVOTE o Método de Gauss}

< < <

XB

Apunts

Sistemes

< < <

< _{SISTEMAS COMPATIBLES DETERMIADOS}

Puesto que en un Sistema Compatible Determinado, el rango de la matriz de coefi-cientes coincide con el rango de la matriz ampliada y con el nº de incógnitas,

seleccionaremos en primer lugar , tantas ecuaciones Linealmente Independientes como indique el rango de la matriz de COEFICIENTES.

A continuación, el valor de cada incógnita se obtiene como el COCIETE de dos determinantes :

* UMERADOR: Determinante obtenido reemplazando en la matriz de coefi-cientes, la columna correspondiente a la incógnita que estamos hallando, por la columna de términos independientes, det (Ax, Ay, Az, etc).

* DEOMIADOR: Determinante de la matriz de coeficientes.

Veamos la Regla de Cramer mediante un ejemplo :

Ejemplo 9 : Resolver /00000

000 0

x _% y _& 3z ' &6

x _% 2y _% z _' 7

&x _& y _& z _{' &}6

[ Sistema de 3 ecuaciones lineales con tres incógnitas ] * Clasificación

Matriz de Coeficientes:A _' Rang(A) = 3

1 1 _&3

1 2 1

&1 &1 &1

6 _det(A) … ₀

Ampliada : Sin necesidad de cálculo, Rang(A/b) = 3

[ Al ser A un menor de orden 3 no nulo de la matriz ampliada y no poder ser el rango de ésta superior a 3 ]

Rang(A) = Rang(A/b) = nº de incógnitas

SISTEMA COMPATIBLE DETERMIADO ( El sistema tiene una única solución )

* Resolución

Como Rang(A) = 3 Y _{seleccionamos tres Ecuaciones Linealmente Independientes ,}

XB

Apunts

Sistemes

x '

/00 000 000 0

/00 000 000 0

&6 7

&6

1 _&3

2 1

&1 &1

det(A) '

&8

&4 ' 2

9

y _'

/00 000 000 0

/00 000 000 0

1 1

&1

&6

7

&6

&3

1

&1

det(A) '

&4

&4 ' 1

SOLUCIÓN :

/00 000 000 0

x _' 2

y _' 1

z _' 3

9

z _'

/00 000 000 0

/00 000 000 0

1 1 1 2

&1 &1

&6

7

&6

det(A) '

&12

&4 ' 3

Aplicando el teorema de Cramer /00000

000 0

x _% y _& 3z _{' &}6

x _% 2y _% z _' 7

&x _& y _& z _{' &}6

[ Observa el "movimiento" de la columna de términos Independientes en los determinantes del numerador según la incógnita a la que correspondan ]

Comprobación : ( Sustituyendo la Solución en las Ecuaciones del Sistema )

2 _% 1 _& 3·3 _{' &}6 T

2 _% 2·1 _% 3 _' 7 T

&2 & 1 & 3 ' &6 T

Problemas : Resolver mediante la Regla de Cramer , los sistemas :

6.-

x _& 2y _' 0

2x _% y _' 5

XB

Apunts

Sistemes

(A/b)

ÂÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÄÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÃ A

ÂÅÅÅÅÅÅÅÄÅÅÅÅÅÅÅÅÃ

/00 000 000 000 000

1 1 1 1 ! 2

2 1 3 1 ! &1

1 2 1 0 ! 0

1 &1 2 1 ! &1

1 1 1 1 ! 2

0 &1 1 &1 ! &5 0 1 0 &1 ! &2 0 &2 1 0 ! &3

/00 000 000 000 000

/00 000 000 000 000

1 1 1 1 ! 2

0 &1 1 &1 ! &5 0 0 1 &2 ! &7 0 0 &1 2 ! 7

/00 000 000 000 000

1 1 1 1 ! 2

0 &1 1 &1 ! &5 0 0 1 &2 ! &7

0 0 0 0 ! 0

7

7

7 7.-

x_{1 %} x_{2 %} x_{3 '} 3

2x_{1 &} x_{2 %} x_{3 '} 3

x

1 & x2 ' 0

< < <

< _{SISTEMAS COMPATIBLES IDETERMIADOS}

Para resolver un Sistema Compatible Indeterminado mediante la regla de Cramer, hemos de introducir una pequeña variante que complementa la técnica anterior:

i) Seleccionar tantas ecuaciones independientes como indique el Rango de A.

ii) Pasar como términos independientes al segundo miembro de cada ecuación, las mismas n-r incógnitas en cada ecuación, siendo r = Rang(A) y n el nº de incógnitas

[ Al nº n-r le llamaremos grado de libertad del sistema. ] iii) Aplicar la regla de Cramer.

Ejemplo 10.- Clasificar y resolver :

/00 000 000 000 000

x _% y _% z _% t _' 2

2x % y % 3z % t ' &1

x _% 2y _% z _' 0

x _& y _% 2z _% t _{' &}1

[ Sistema de 4 Ecuaciones Lineales con 4 incógnitas ]

6 _{Clasificación}

Coeficientes y Ampliada a la vez, observa esta nueva técnica para hallar simultánea-mente, por Gauss, el rango de la matriz de coeficientes y el rango de la matriz

ampliada:(Generando RECURSOS)

6 _{Rang(A) = 3}

6 _{Rang(A/b) = 3}

6 _{nº incógnitas = 4}

Rang(A) = Rang(A/b) < nº INCÓGNITAS

XB

Apunts

Sistemes

2&λ

&1_&λ

0 1 1 1 3 2 1 /00 000 000 0 /00 000 000 0

1 1 1 2 1 3 1 2 1

' 4λ&11

&1 ' 11&4λ

CONJUNTO DE SOLUCIONES :

/00 000 000 000 000 0

x_' 11_&4λ

y_' λ&2

z_' 2λ&7

t_' λ

œ _λ 0 ú

y _' /00 000 000 0 /00 000 000 0 1 2 1

2_&λ

&1&λ

0 1 3 1 /00 000 000 0 /00 000 000 0

1 1 1 2 1 3 1 2 1

' &λ%2

&1 ' λ&2

z _' /00 000 000 0 /00 000 000 0 1 1 2 1 1 2

2_&λ

&1&λ

0 /00 000 000 0 /00 000 000 0

1 1 1 2 1 3 1 2 1

' &2λ%7

&1 ' 2λ&7

6 _{Resolución por Cramer (Variante) :}

i) Seleccionamos 3 ecuaciones Linealmente Independientes:

x _% y _% z _% t _' 2

2x _% y _% 3z _% t _{' &}1

x _% 2y % z ' 0

[ Como Rang (A) = 3, hemos elegido las tres primeras ecuaciones que son las que en la tabla final nos han "marcado" el rango de la matriz ]

ii) Pasamos como parámetros 4 -3 = 1 incógnitas. Por ejemplo "t = 8" [ Grado de Libertad : 1 ]

x _% y _% z _' 2&λ

2x _% y _% 3z _{' &}1_&λ

x _% 2y _% z _' 0

XB

Apunts

Sistemes

Comprobación :

11&4λ % λ&2 % 2λ&7 % λ ' 2 T

2(11&4λ) % λ&2 % 3(2λ&7) % λ ' &1 T

11&4λ % 2(λ&2) % 2λ&7 % ' 0 T

11_&4λ & (λ&2) _% 2(2λ&7) _% λ ' &1 T

œ _λ 0 ú

OTA : El determinante de la matriz de los coeficientes de las incógnitas que no

parametrizamos, debe ser distinto de cero. Si es cero, parametrizar otra u otras incógnitas.

OBSERVA QUE: Para cada valor del parámetro obtenemos una solución diferente del Sistema

Problemas : Aplica la Regla anterior para resolver los Sistemas siguientes :

8.-

x _% y _% 3z ' 2

2x _% y _& z _' 1

3x _% 2y _% 2z _' 3

9.- x

1 % x2 % x3 & x4 ' 0

2x₁ & 2x₂ % 2x₃ ' 0

3x_{1 %} x_{2 %} x_{4 '} 0

MÉTODO DEL PIVOTE

SISTEMAS EQUIVALETES:

Dos sistemas de ecuaciones lineales decimos que son EQUIVALENTES si poseen la misma solución.

Los sistemas que se obtienen multiplicando por constantes y sumando entre sí ecuaciones de un sistema dado son equivalentes.

Tanto para Sistemas Compatibles Determinados, como para los Sistemas Compati-bles Indeterminados, el método del PIVOTE o método de Gauss consiste en obtener un Sistema más sencillo en su estructura, pero con las mismas soluciones que el original, mediante combinaciones lineales entre sus ecuaciones. Ambos Sistemas serán, pues, EQUIVALENTES y las soluciones del Sistema más sencillo nos permitirán conocer las soluciones del original.

XB

Apunts

Sistemes

000 0

x_{1 %} 3x_{2 %} 2x_{2 '} 6

2x_{1 %} x_{2 %} x_{3 '} 4

x

1 & x2 % 2x3 ' 2

6 _{Clasificación}

Matriz de Coeficientes : /00000 000 0 /00 000 000 0

1 3 2 2 1 1

1 &1 2

'&12 … 0 6 Rang(A) ' 3

Ampliada : A es un MENOR no nulo de (A/b) del máximo orden 6

Rang(A/b) = 3 Nº Incógnitas = 3

Rang(A) = Rang(A/b) = nº incógnitas SISTEMA COMPATIBLE DETERMIADO

( Una única solución )

6 _{Resolución .- Tratemos de obtener un Sistema Equivalente mediante}

Combinacio-nes Lineales.

Método del Pivote :

/00 000 000 000 000 000 0 x

1 x2 x3

E

1 1 3 2 ! 6

E

2 2 1 1 ! 4

E

3 1 &1 2 ! 2

x

1 x2 x3

1 3 2 ! 6

E)

2 ' &2E1%E2 6 0 &5 &3 ! &8

E)

3 ' &E1%E3 6 0 &4 0 ! &4

/00 000 000 000 000 000 /00 000 000 000 000 000 x

1 x2 x3

1 3 2 ! 6

0 &5 &3 ! &8

E))

3 ' 4E

)

2&5E

)

3 6 0 0 &12 ! &12

Sistema Equivalente :

/00 000 000 000 0 x

1 % 3x2 % 2x3 ' 6

& 5x

2 & 3x3 ' &8

&12x

3 ' &12

))))))))))))>

x

1%3%2'6

x

1 ' 1

))))))))>

&5x₂&3' &8

x

2'1

)))> x

3 '

&12

&12 ' 1

SOLUCION : /00 000 000 0 x

1 ' 1

x

2 ' 1

x

3 ' 1

¿ Sencillo, no ?

Comprobación :

1 _% 3·1_% 2·1 _' 6 T

2·1% 1% 1 ' 4 T

XB

Apunts

Sistemes

Ejemplo 11.- Clasificar y resolver : /00000

000 0

x _% y _& z _' 2

2x _% 3y _% 2z _' 5

x _% 2y _% 3z _' 3

6 _{Clasificación}

Matriz de Coeficientes : /00000 000 0 /00 000 000 0

1 1 &1

2 3 2 1 2 3

'0 6 /00

00 /0000

1 1 2 3

… ₀ 6 _{Rang(A) ' 2}

Ampliada : 6

1 1 &1 2

2 3 2 5 1 2 3 3

6 /00

00 /0000

1 1 2 3

… ₀6

/00 000 000 0 /00 000 000 0

1 1 &1

2 3 2 1 2 3

' 0 /00 000 000 0 /00 000 000 0

1 1 2 2 3 5 1 2 3

' 0

Rang(A/b) = 2 Rang(A) = 2 Nº incógnitas = 3

Rang(A) = Rang(A/b) < nº incógnitas SISTEMA COMPATIBLE IDETERMIADO

( El sistema tiene infinitas soluciones )

Grado de Libertad 3-2 = 1

6 _{Resolución: Método del Pivote}

/00 000 000 000 0 E

1 1 1 &1 ! 2

E

2 2 3 2 ! 5

E

3 1 2 3 ! 3

1 1 _&1 _! 2

E)

2 ' &2E1 % E2 6 0 1 4 ! 1

E)

3 ' &E1 % E3 6 0 1 4 ! 1

/00 000 000 00 /00 000 000 00

1 1 _&1 _! 2

0 1 4 _! 1

E))

3 ' &E

)

2 % E

)

3 6 0 0 0 ! 0

Sistema equivalente : /00 00

x _% y _& z _' 2

y _% 4z _' 1

6 _{x%1&4z&z ' 2} 6 _{x ' 1%5z}

XB

Apunts

Sistemes

CONJUNTO DE SOLUCIONES :

/00 000 000 000 0

x _' 1_%5z

y _' 1&4z

z _' z

œ _z 0 ú

6 _{Comprobación :}

1%5z _% 1&4z _& z _' 2 T

2(1%5z) % 3(1&4z) % 2z _' 5 T

1%5z _% 2(1&4z) % 3z _' 3 T

6 _{También podríamos dar un vector solución}

x y z

'

1 1 0

% z

5

&4 1

OTA:

* El orden en el que tomemos las ecuaciones de un sistema, no influye en la solución del mismo. ( Podemos ordenar las ecuaciones en el orden que nos convenga para operar con mayor sencillez.)

Ejemplo : 2y % 3x ' 5 son

Siste-&y _% x _' 7 ó

x _& y _' 7

3x _% 2y _' 5

mas de Ecuaciones Lineales Equivalentes.

* En ocasiones, puede ser conveniente tomar el orden de las incógnitas en orden diferente al asignado para operar con mayor facilidad.

¿ Cuándo conviene cambiar el orden ? Generalmente, para agilizar el proceso en el método del PIVOTE ( Los unos en las esquinas son muy favorables en los cálculos )

OBSERVA QUE: * Al emplear el método del PIVOTE, no es necesario clasificar previamente el Sistema, pues con la última tabla obtenida pode-mos hallar el rango de la matriz de coeficientes y el de la am-pliada.

* Para cada valor de la variable parametrizada obtenemos una Solución del Sistema.

XB

Apunts

Sistemes

< _{Clasificar y resolver un Sistema de Ecuaciones Lineales en el que alguno de los}

coeficientes o algún término independiente no toma un valor específico, sino que es un parámetro, nos puede enriquecer en nuestra visión del tema, puesto que, de una vez, clasificamos todos aquellos sistemas que se obtienen para diferentes valores del ( ó los ) parámetros.

< _{La técnica a emplear es un uso riguroso del Teorema de Rouché-Fröbenius y un}

especial cuidado en el cálculo del Rango de las matrices. ( Es muy recomendable utilizar el método de MENORES ORLADOS ).

< _{Eh ! ¡ Un consejo !. Procura hallar los valores de los parámetros mediante el}

cálculo del determinante de la matriz de los coeficientes o la ampliada. Luego

fijaremos de uno en uno, cada valor obtenido y lo sustituiremos en las dos matrices ( coeficientes y ampliada ) pasando a estudiar el rango, bien ya sin parámetros, bien según él o los parámetros que queden.

Ver los problemas del 6 al 13

IDEAS

COMPLEMETARIA S

1º.- ¿ Cómo resolver de forma matricial un S.C.D. ?

Rang(A) = Rang(A/b) = nº incógnitas

Sea A· x = b ( Sistema formado por las Ecuaciones Linealmente Independientes )

6 _{A es una matriz cuadrada de orden "n" y como Rang(A) = n} Y _A … ₀ Y

A es inversible Y› _A-1

A · x = b

[ multiplicando por A-1 izda] A-1 · A · x = A-1 · b

[ A-1 _{· A = I ] x = A}-1 _{· b 6 permite hallar la solución.}

Ejemplo 13.- Resolver matricialmente : /00000

000 0

x _% 2y _% z _' 4

2x _% y _% z _' 4

x _& y _% z _' 1

Podemos expresar matricialmente el sistema anterior :

1 2 1 2 1 1

1 &1 1

·

x

y

z

'

XB

Apunts

Sistemes

1 2 1 2 1 1

1 _&1 1

·

x

y

z

'

4 4 1

6

x

y

z

'

1 2 1 2 1 1

1 _&1 1

&1

· 4 4 1

x

y

z

'

& 2

3 1 &

1 3 1

3 0 &

1 3

1 _&1 1

· 4 4 1

'

1 1 1

(A/b)

ÂÅÅÅÅÅÅÅÅÅÄÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÃ

A

ÂÅÅÅÅÅÅÄÅÅÅÅÅÅÅÃ

/00 000 000 0

1 _&1 2 _! 0

4 3 5 ! 0 3 4 3 _! 0

1 _&1 2 _! 0

0 7 &3 ! 0

0 7 _&3 _! 0

/00 000 000 0

/00 000 000 0

1 _&1 2 _! 0

0 7 &3 ! 0

0 0 0 _! 0

y comprobar fácilmente que se trata de un Sistema Compatible Determinado, con det (A)… ₀

SOLUCION :

/00 000 000 000

x _' 1

y _' 1

z _' 1

OTA : La matriz inversa se ha calculado por el procedimiento explicado en el tema MATRICES.

2º.- ¿ Cómo utilizar el "filtro" de Gauss para resolver un Sistema ?

En temas anteriores, para obtener bases de subespacios vectoriales, resolvíamos de una forma un poco "artesana" los sistemas homogéneos que aparecían. Veamos como podemos operar ahora a través de unos ejemplos.

Ejemplo 14.- Resolver: /00000 6666 _{Resolución :} 000

0

x _& y _% 2z _' 0

4x _% 3y _% 5z _' 0

3x _% 4y _% 3z _' 0

XB

Apunts

Sistemes

Rang(A) = Rang(A/b) < nº incógnitas

SISTEMA HOMOGÉEO COMPATIBLE IDETERMIADO ( El sistema tiene infinitas soluciones )

Grado de Libertad 3-2 = 1

x _& y _% 2z _' 0 6 x _' &11z

7

7y _& 3z _' 0 6 _{y '} 3z

7

Tomando las ecuaciones del Sistema Equivalente y parametrizando una incógnita tal como indica el grado de libertad del sistema.(Una alternativa sería dejar la solución en función de 'z' tal como hemos hecho en alguna otra solución. La idea es ir

aportando diferentes maneras de expresar una misma idea)

LAS SOLUCIONES DEL S.H.C.I. SON :

/00 000 000 000 000 000 000 000 00

x _' &11α

7

y _' 3α

7

z _' α œ _α 0 ú