derivadas 11 pdf

(1)

198

11

. Derivadas

1. TASA DE V ARIACIÓN MEDIA

1. a) La masa al cabo de t

1

= 10 días es:

M (10) = 50 ⋅ e

−0,1 ⋅ 10

= 18,39

La masa al cabo de t

2

= 20 días es:

M (20) = 50 ⋅ e

−0,1 ⋅ 20

= 6,77

b) La tasa de variación media entre

dos instantes

nos la va- ha producido que se a la velocidad media da la

riación de la función entre ambos instantes. Por tanto, si calculamos dichas tasas:

TVM [t

0

, t

1

] = TVM [t

1

, t

2

] =

Vemos, pues, que

el material se ha

desintegrado más diez días, los primeros rápidamente en

ya que

la tasa [t media en de variación

0

, t

1

] es mayor, en

valor ab- soluto, que la de [t

1

, t

2

].

2. La pendiente de la

recta coincide con la

tasa de

varia- puntos de los dos función entre de la ción media

abs- cisa considerados:

3. Calculamos la

tasa de variación media

de la

velocidad media del móvil en los dos intervalos:

Por tanto, el móvil

va más rápido entre

las 3 h y

las 5 h.

2. DERIVADA DE UNA

FUNCIÓN EN UN PUNTO

4. Aplicamos la

definición de derivada de

una función

en un punto:

TVM f

f ) ( ] , [

(

) 12 19 1219

19 12 399

336 7

9 =

− − = − =

TVM f

f () ] [,

() 5 35

3 5 3 175

111 2

32 =

− − = − =

m TV M f

f − = − =

− −− =

−−

= ] , [

() ( )

( ) (

) 1 2 12

2 1 8 1

3 3

= −

− =

− − =−

Mt Mt

t t

( ) ( ) , ,

, ₁ 1 2 ₂

67 7 18 39

20 10 11 6

= − − =

− − =−

Mt Mt

t t

( ) ( ) ,

, ₀ 0 1 ₁

1839 50

10 0 31 6

a) b)

5. La ecuación de la

recta tangente a la

gráfica de

f en 2 es: x =

y − f (2) = f ′ (2) (x − 2)

Cal cul am os f (2) y f ′ (2):

•f (2) =− (2)

2

+ 6 ⋅ 2 − 3 = 5

• Si sustituimos estos valores, se tiene:

y − 5 = 2 (x − 2) ⇒ 2 x − y + 1 = 0

6. Aplicamos la

definición de derivada lateral

teniendo diferentes expresiones analíticas que f tiene en cuenta

a la izquierda y a la derecha de 2:

= =

= − → _lim h − → _lim h

h

h 0

0

1 1

= +

− − −

= − → _lim

( ) ( )

h

h 0

2 2 2 2

′ = +

−

= − → ₋ _f

f h f

h h

( ) lim ( )

() 2 2

2

0

= − +

= ) 2 h 0 → lim( h

2

= − + = −

+

= → lim → lim

( )

h h

h

h 0

2 0

2 2

= − + + + − −

= → lim

( ) ( )

h

h h

h 0

2 2

62 3

5

′ = +

−

= → f

f h f

h h

() lim ( )

() 2 2

2

0

= − −

+

=− 2 ) h _h ( 0 → lim h

2 1 2

= − −

+ = −

− +

= → lim ) ( → lim

( )

(

) h h

h h

h h h

h h

h 0

2 2 0 2

2 1 2

1

= +

− = − +

+

= → lim ₎ ₍ → lim

( )

(

) h h

h h h

h

h 0

2 2 0 2

2

1 1 1

1 1

′ = +

−

= → g

g h g

h h

() lim ( )

() 1 1

1

0

= −

= → → lim → lim

( ) lim(

) h h h

h h

h 0

2 0 0

8 8

= −

+ −− + − − +−

= → lim

( ) ( ) ( ) ( )

h

h h

h 0

2

2 1 1 6 1 1 6

′− = −

+ − −

= → f

f h f

h h

( ) lim ( ) (

) 1 1 1

0

Derivadas

1 1

198

11

. Derivadas

1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA

1. a) La masa al cabo de t1=10 días es:

M (10) =50 ⋅e−0,1 ⋅10₌_18,39

La masa al cabo de t2=20 días es:

M (20) =50 ⋅e−0,1 ⋅20₌_6,77

b) La tasa de variación media entre dos instantes nos

da la velocidad media a la que se ha producido la va-riación de la función entre ambos instantes. Por tanto, si calculamos dichas tasas:

TVM [t0, t1] =

TVM [t1, t2] =

Vemos, pues, que el material se ha desintegrado más rápidamente en los primeros diez días, ya que la tasa

de variación media en [t0, t1] es mayor, en valor

ab-soluto, que la de [t1, t2].

2. La pendiente de la recta coincide con la tasa de varia-ción media de la funvaria-ción entre los dos puntos de abs-cisa considerados:

3. Calculamos la tasa de variación media de la velocidad media del móvil en los dos intervalos:

Por tanto, el móvil va más rápido entre las 3 h y las 5 h.

2. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

4. Aplicamos la definición de derivada de una función en un punto:

TVM[ ,12 19] f( )19 f( )12

19 12

399 336

7 9

= −

− =

− ₌

TVM[ , ]3 5 f( )5 f( )3

5 3

175 111

2 32

= −

− =

− ₌

m=TVM − = f − −f

− − = − − =

[ , ] ( ) ( )

( )

1 2 2 1

2 1

8 1

3 3

= −

− =

−

− = −

M t M t

t t

( ) ( ) , ,

,

2 1

6 77 18 39

20 10 1 16

= −

− =

−

− = −

M t M t

t t

( ) ( ) ,

,

1 0

18 39 50

10 0 3 16

a)

b)

5. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en

x =2 es:

y −f (2) =f′(2) (x −2)

Calculamos f (2) y f′(2):

• f (2) = −(2)2₊₆_⋅₂₋₃₌₅

•

Si sustituimos estos valores, se tiene:

y −5 =2 (x −2) ⇒ 2 x −y +1 =0

6. Aplicamos la definición de derivada lateral teniendo en cuenta que f tiene expresiones analíticas diferentes a la izquierda y a la derecha de 2:

= = =

→ − → −

lim lim

h h

0 0 1 1

= + − − − =

→ −

lim( ) ( )

h

h h

0

2 2 2 2

′ − = + − =

→ −

f f h f

h

( )2 lim (2 ) ( )2

0

= − + =

→

lim ( )

h 0 h 2 2

= − + = − + =

→ →

lim lim ( )

h h

h

h h

h

0 2

0

2 2

= − + + + − − =

→

lim ( ) ( )

h

h h

h

0

2

2 6 2 3 5

′ = + − =

→

f f h f

h

( )2 lim (2 ) ( )2

0

= − −

+ = −

→

lim

( )

h

h h

0 2

2

1 2

= − −

+ =

− −

+ =

→ →

lim

( ) lim

( )

h h

0 2

2 ₀ 2

2 1

= +

−

= − +

+ =

→ →

lim( ) lim ( )

( )

h h

h

h h

0

2 2

0

2 2

1 1

1

1 1 1

1

′ = + − =

→

g g h g

h

( )1 lim (1 ) ( )1

0

= − = − = − =

→ → →

lim lim( ) lim ( )

h h h

h h

0 2

0 0

8 8

= − + − − + − − + − =

→

lim ( ) ( ) ( ) ( )

h

h h

h

0

2 2

6 1 1 6 1 1

′ − = − + − − =

→

f f h f

h

( )1 lim ( 1 ) ( )1

0

(2)

199

11

. Derivadas

Puesto que f′(2−_{) =}_{1 y f}_′(2+_{) =}_{0, no existe f}_{′(2); y por}

tanto, f no es derivable en x =2.

7. a) Escribimos f (x) =!x −2 !como una función

defi-nida a trozos:

o sea:

Calculamos f′(2−_{) y f}_′(2+_{) teniendo en cuenta que}

f tiene expresiones analíticas diferentes a la iz-quierda y a la derecha de 2:

Puesto que f′(2−_{) = −1 y f}_′(2+_{) =}_{1, no existe f}_′(2);

y por tanto, f no es derivable en x =2.

b) Calculamos f′(0−_{) y f}_′(0+_{) teniendo en cuenta que}

′ + = + − =

→ +

f f h f

h

( )0 lim (0 ) ( )0

0

= = =

→ − → −

lim lim

h h

0 0

4

4 4

= + − =

→ −

lim ( )

h

h h

0

4 0 0

′ − = + − =

→ −

f f h f

h

( )0 lim (0 ) ( )0

0

= =

→ +

lim

h 0 1 1

= + − − − = =

→ + → +

lim ( ) ( ) lim

h h

0 0

2 2 2 2

′ + = + − =

→ +

f f h f

h

( )2 lim (2 ) ( )2

0

= − = −

→ −

lim ( )

h 0 1 1

= − + − − = − =

→ − → −

lim ( ) ( ) lim

h h

0 0

2 2 2 2

′ − = + − =

→ −

f f h f

h

( )2 lim (2 ) ( )2

0

f x x

x

si x si x

( )= −

−

< ≥ 

 

2 2

f x x

x

si x si x

( )= − −( )

−

− < − ≥ 

 

2 2

2 0

= = =

→ + → +

lim lim

h h

h

h h

0 2

0 0

= + − − − =

→ +

lim [( ) ] ( )

h

h h

0

2 2

2 2 2 2

′ + = + − =

→ +

f f h f

h

( )2 lim (2 ) ( )2

0

Puesto que f′(0−_{) =}_{4 y f′(0}+_{) =}_{1, no existe f}_{′(0); y}

por tanto, f no es derivable en x =0.

c) Escribimos f como una función definida a trozos:

Calculamos f′(3−_{) y f}_′(3+_{) teniendo en cuenta que}

Como f′(3−_{) = −6 y f}_′(3+_{) =}_{6, no existe f}_{′(3), y por}

tanto, f no es derivable en x =3.

8. a) Escribimos f como una función definida a trozos:

La gráfica de f es, pues, la de la parábola x2₋_{1 en}

(−∞, −1]![1, +∞) y la de la parábola 1 −x2

en (−1, 1).

En x = −1 y x =1 la función tiene sendos puntos

an-gulosos, luego la función no es derivable en ellos.

f x x si x x

x

( )= − − ≥ ⇔ ∈ − ∞ −( , ] [ ,+ ∞)

−

2 2

2

1 1 0 1 1

1

! ( , )

si x2− < ⇔ ∈ −1 0 x 1 1

   

= + =

→ +

lim ( )

h

h h h

0

6

= + + − − =

→ +

lim

h

h h h

0

2

9 6 9 0

= + − − − =

→ +

lim ( ) ( )

h

h h

0

2 2

3 9 3 9

′ + = + − =

→ +

f f h f

h

( )3 lim (3 ) ( )3

0

= − − = −

→ −

lim( )

h

h h h

0

6

= − − − − =

→ −

lim

h

h h h

0

2

9 9 6 0

= − + − − =

→ −

lim ( ) ( )

h

h h

0

2 2

9 3 3 9

′ − = + − =

→ −

f f h f

h

( )3 lim (3 ) ( )3

0

f x x si x x

x

( )= − − ≥ ⇔ ∈ − ∞ −( , ] [ ,+ ∞)

−

2 2

2

9 9 0 3 3

9

! ( , )

si x2− < ⇔ ∈ −9 0 x 3 3

   

= + − = = =

→ + → + → +

lim lim lim

h h h

h h

0 0 0

0 0

1 1

–2 –1 1 2

1 2 3

Y

X

|x2_–_1|

11

. Derivadas

Puesto que f

′

(2 − )

=

1 y f

′

(2 + )

=

0, no existe f

′

(2); y por

tanto, f no es derivable en x

=

2.

7. a) Escribimos f (x)

=

! x

−

2 ! como una

función definida a trozos:

o sea: Calculamosf

′

(2 − ) y f

′

(2 + ) teniendo en cuenta

que la iz- diferentes a expresiones analíticas f tiene

quierda y a la derecha de 2:

Puesto que f

′

(2 − )

=−

1 y f

′

(2 + )

=

1, no existe f

′

(2); 2. = y por tanto, f no es derivable en x

b) Calculamos f

′

(0 − ) y f

′

′ = +

−

= + → ₊ _f

f h f

h h

( ) lim ( )

() 0 0

0

= =

= − → _lim h − → _lim h

h

h 0

0

4 4

4

= +

−

= − → _lim

( )

h

h 0

40 0

′ = +

−

= − → ₋ _f

f h f

h h

( ) lim ( )

() 0 0

0

=

= ₁ + 0 → _lim h

1

= +

− − − =

= + → + → _lim

( ) ( )

lim h h

h h h

h 0 0

2 2

′ = +

−

= + → ₊ _f

f h f

h h

( ) lim ( )

() 2 2

2

0

= −

=− ₎ ₁ − 0 → _lim( h

1

= −

+ − − = −

= − → − → _lim

( ) ( )

lim h h

h h h

h 0 0

2 2 2

2

′ = +

−

= − → ₋ _f

f h f

h h

( ) lim ( )

() 2 2

2

0

f x x

x six six

() = − − <

≥

   2 2 2

2

f x x x six six

() (

) − − =

− −

< − ≥

   2 2 2

0 2 0

= =

= + → _lim h + → _lim h

h h

h 0

2 0

0

= +

− − −

= + → _lim

[( ) ] ( )

h

h 0

2

2 2 2 2 2

′ = +

−

= + → ₊ _f

f h f

h h

( ) lim ( )

() 2 2

2

0 Puesto que

f

′

(0 − )

=

4 y f

′

(0 + )

=

1, no existe f

′

(0); y 0. = por tanto, f no es derivable en x

c) Escribimos f

como una función definida

a trozos:

Calculamos f

′

(3 − ) y f

′

Comof

′

(3 − )

=−

6 y f

′

(3 + )

=

6, no existe f

′

(3), y por 3. = tanto, f no es derivable en x

8. a) Escribimos f

a trozos:

La gráfica de f es,

pues, la de la parábola x

2 −

1 en 1 la parábola la de ) y +∞ [1, 1]! − , −∞ (

−

x

2

en (

−

1, 1). En x

=−

1 y x

=

1 la función tiene

sendos puntos

an- ellos. derivable en no es la función gulosos, luego

fx x six x

x

() (

, ] [,

) +∞ ∞− ∈− ⇔ ≥ − − =

− 2 2

2

1 1 0 1

1

1 !

(

,) 11 ∈− x ⇔ 0 < 1 − ₂ six

    

= +

= + → _lim

( )

h

h h

h 0

6 6

= +

+ − −

= + → _lim h

h h

h 0

2 6 9

9 0

= +

− − −

= + → _lim

( ) ( )

h

h 0

2

2 3 9 3

9

′ = +

−

= + → ₊ _f

f h f

h h

( ) lim ( )

() 3 3

3

0

= − −

=− − → _lim

( )

h

h h

h 0

6 6

= −

− − −

= − → _lim h

h h

h 0

2 6 9 9

0

= −

+ − −

= − → _lim

( ) ( )

h

h 0

2

2 3 3 9

9

′ = +

−

= − → ₋ _f

f h f

h h

( ) lim ( )

() 3 3

3

0

fx x six x

x

() (

, ] [,

) +∞ ∞− ∈− ⇔ ≥ − − =

− 2 2

2

9 9 0 3

3

9 !

( ,

) 33 ∈− x ⇔ 0 < 9 − ₂ six

    

= +

− = =

= + → _lim h + → _lim h + → _lim h

h h h

h 0 0

0

0 0 1

1

–

2

–

1 1

2

1

2

3

Y X

(3)

200

11

. Derivadas

b) En x = 0 la gráfica de

f tiene como recta

tangente el eje de ordenadas, es decir, tangente vertical.

Las pendientes de las

rectas secantes por la

de- izquierda, no por la y, a infinito recha tienden

hay rectas secantes, pues

f no está definida

para 0. x <

Así pues, la función no es derivable en x = 0.

c) En [2, +∞ ), la gráfica de

f es la de

la parábola 3, y en (−∞, 2) es la de la recta 2 x + 2 x

+ 3.

En la gráfica se

observa que las pendientes de

las muy pareci- lados, son por ambos rectas secantes,

das al aproximarse a x = 2.

Comprobaremos si f es derivable en

x =

2 analíti- camente:

= =

= − → _lim h − → _lim h

h

h 0

0

2 2

2

= +

+ −

= − → _lim h

h

h 0

4 2 3 7

= +

+ − +

= − → _lim

( ) ( )

h

h 0

2 2 3 2 2

3

′ = +

−

= − → ₋ _f

f h f

h h

( ) lim ( )

() 2 2

2

0

Puesto que f ′ (2

−

) = 2 y f ′(2

+

) = 4, no existe f

′

(2), y 2. por tanto, f no es derivable en x =

9. a) Escribimos f

a trozos:

— Veamos si f

cumple las condiciones de

continuidad en el punto x

0

= 3:

•Existe f (3)

= 0.

•E xis te el l ím ite en el pu nto y es fin ito :

•El lí mit e c oin cid e c on la im age n d el pun to:

Por tanto, la función

f es continua en

el punto x

0

= 3.

—C alc ule mo s l as der iva das la ter ale s d e f ′

en x

0

= 3:

Puesto que f ′(3

−

) =− 1 y f ′ (3

+

) = 1 no

existe = ′(3), y por tanto, f no es derivable en x f

3.

=

= ₁ + 0 → _lim h

1

= +

− − − =

= + → + → _lim

( ) ( )

lim h h

h h h

h 0 0

3 3 3 3

′ = +

−

= + → ₊ _f

f h f

h h

( ) lim ( )

() 3 3

3

0

= −

=− ₎ ₁ − 0 → _lim( h

1

= −

+ − − = −

= − → − → _lim

( ) ( )

lim h h

h h h

h 0 0

3 3 3

3

′ = +

−

= − → ₋ _f

f h f

h h

( ) lim ( )

() 3 3

3

0

lim ()

() f = 0 = x f 3 → h

3

⇒

= x () f 3 → lim h

0

lim () lim(

)

lim () lim

h h

f x x

f x

→ →

− −

+

= −

=

= 3 3

3

3 0

3 3

3

0 = − +

    

⇒ ) x (

fx xs

ix x si x

()

= − <

− ≥

  

3 3

= +

= + → + → _lim

( ) lim(

) h h

h h

h

h 0 0

4 4

4

= +

+ + −

= + → _lim h

h h

h 0

2 4 4

3 7

= +

+ − +

= + → _lim

( ) ( )

h

h 0

2

2 2 3 2

3

′ = +

−

= + → _f

f h f

h h

() lim ( )

() 2 2

2

0

1 2

1

2 3

4

X

Y x

1 2

7

12 3

X

Y f

3 1

-1 4

200

11

. Derivadas

b)

En x =0 la gráfica de f tiene como recta tangente

el eje de ordenadas, es decir, tangente vertical. Las pendientes de las rectas secantes por la de-recha tienden a infinito y, por la izquierda, no hay rectas secantes, pues f no está definida para

x <0.

Así pues, la función no es derivable en x =0.

c) En [2, +∞), la gráfica de f es la de la parábola

x2₊_{3, y en (}_−∞_{, 2) es la de la recta 2 x}₊_3.

En la gráfica se observa que las pendientes de las rectas secantes, por ambos lados, son muy

pareci-das al aproximarse a x =2.

Comprobaremos si f es derivable en x =2

analíti-camente:

= = =

→ − → −

lim lim

h h

0 0

2

2 2

= + + − =

→ −

lim

h

h h

0

4 2 3 7

= + + − + =

→ −

lim ( ) ( )

h

h h

0

2

2 2 3 2 3

′ − = + − =

→ −

f f h f

h

( )2 lim (2 ) ( )2

0

Puesto que f′(2−₎₌_{2 y f}_′₍₂+₎₌_{4, no existe f}_′_{(2), y}

por tanto, f no es derivable en x =2.

9. a) Escribimos f como una función definida a trozos:

— Veamos si f cumple las condiciones de

conti-nuidad en el punto x0=3:

• Existe f (3) =0.

• Existe el límite en el punto y es finito:

• El límite coincide con la imagen del punto:

Por tanto, la función f es continua en el punto

x0=3.

— Calculemos las derivadas laterales de f′ en

x0=3:

Puesto que f′(3−₎_{= −}_{1 y f}_′₍₃+₎₌_{1 no existe}

f′(3), y por tanto, f no es derivable en x =3.

= =

→ +

lim

h 01 1

= + − − − = =

→ + → +

lim( ) ( ) lim

h h

0 0

3 3 3 3

′ + = + − =

→ +

f f h f

h

( )3 lim (3 ) ( )3

0

= − = −

→ −

lim ( )

h 0 1 1

= − + − − = − =

→ − → −

lim ( ) ( ) lim

h h

0 0

3 3 3 3

′ − = + − =

→ −

f f h f

h

( )3 lim (3 ) ( )3

0

lim ( ) ( )

h→3f x = =0 f 3

⇒ =

→

lim ( )

h 3f x 0

lim ( ) lim ( )

lim ( ) lim

h h

f x x

f x

→ →

− −

+

= − =

=

3 3

3

3 0

33+ −3 =0

   

⇒

(x )

f x x si x

x si x

( )= − <

− ≥

  

3 3

= + = + =

→ + → +

lim( ) lim ( )

h h

0 0

4

4 4

= + + + − =

→ +

lim

h

h h h

0

2

4 4 3 7

= + + − + =

→ +

lim( ) ( )

h

h h

0

2 2

2 3 2 3

′ = + − =

→ +

f f h f

h

( )2 lim (2 ) ( )2

0

1 2

3 4 _X

Y

x

1 2

7 12

3 X

Y

f

3

1

(4)

201

11

. Derivadas

b) — Para determinar si f es continua en x =4,

de-bemos comprobar que f cumple las condicio-nes de continuidad:

• Existe f (4) =4.

Como los límites laterales no coinciden no existe el límite de f en este punto.

Puesto que no se cumple la segunda condición,

f no es continua en x =4.

— Si f no es continua en x =4, tampoco, puede ser

derivable.

c) Escribimos f como una función definida a trozos:

— Veamos si cumplen las condiciones de

conti-nuidad para x =2:

• Existe f (2) =0.

• Existe el límite en x =2 y es finito:

• El límite coincide con la imagen del punto:

Así, se tiene que f es continua en x =2.

— Calculamos f′(2−_{) y f}_′(2+_{) teniendo en cuenta}

que f tiene expresiones analíticas diferentes a la izquierda y a la derecha de 2:

= − + = − + = −

→ − → −

lim ( ) lim ( )

h h

0 0

4

4 4

= − − − − =

→ −

lim

h

h h h

0

2

4 4 4 0

= − + − − =

→ −

lim ( ) ( )

h

h h

0

2 2

4 2 2 4

′ − = + − =

→ −

f f h f

h

( )2 lim (2 ) ( )2

0

lim ( ) ( )

h→2f x = =0 f 2

⇒ =

→

lim ( )

h 2f x 0

lim ( ) lim ( )

lim ( ) lim

h h

f x x

f x

→ →

→

− −

+

= − =

=

2 2

2

4 0

→

→ + − =

  

 = 2

2 ₄ ₀

(x )

f x x si x

x si x

( ) ( , ] [ , )

(

= − ∈ − ∞ − + ∞

− ∈ −

2 2

4 2 2

4

!

22 2, )

   

lim ( ) lim

h→₄+f x =h→₄+x =4

lim ( ) lim ( )

h→₄−f x = h→₄− x+2 = + =4 2 6

Puesto que f′(2−_{) = −4 y f′(2}+_{) =}_{4, no existe}

f′(2); y, por tanto, f no es derivable en x =2.

d) — Para ver si f es continua en x =0, debemos

com-probar que:

• Existe f (0) =0.

Como los límites laterales no coinciden no existe el límite de f en este punto.

Como la segunda condición no se verifica, f

no es continua en x =0.

— Puesto que f no es continua en x =0, tampoco

puede ser derivable en x =0.

3. FUNCIÓN DERIVADA

10. Según la definición de función derivada, derivada se-gunda y derivada tercera, tenemos:

•

= − = =

→ →

lim lim

h 0 h h 0

4 4

0 0

′′′ = ′′ + − ′′ =

→

f x f x h f x

h

( ) lim ( ) ( )

0

= + − = = =

→ → →

lim ( ) lim lim

h h h

x h x

h

h h

0 0 0

4 4 4

4 4

′′ = ′ + − ′ =

→

f x f x h f x

h

( ) lim ( ) ( )

0

= + = + =

→ →

lim ( ) lim ( )

h h

h x h

h x h x

0 0

4 2

4 2 4

= + + − − + =

→

lim

h

x x h h x

h

0

2 2 2

2 4 2 4 2 4

= + − − − =

→

lim ( ) ( )

h

x h x

h

0

2 2

2 4 2 4

′ = + − =

→

f x f x h f x

h

( ) lim ( ) ( )

0

lim ( ) lim

h→₀+f x =h→₀+x =0

lim ( ) lim ( )

h→₀−f x =h→₀− x + = ⋅ + =

2 2

4 1 4 0 1 1

= + = + =

→ + → +

lim ( ) lim ( )

h h

0 0

4

4 4

= + + − − =

→ +

lim

h

h h h

0

2

4 4 4 0

= + − − − =

→ +

lim( ) ( )

h

h h

0

2 2

2 4 2 4

′ + = + − =

→ +

f f h f

h

( )2 lim (2 ) ( )2

0

11

. Derivadas

b) —Para determinar si

f es continua en

x

=

4, de- condicio- cumple las que f bemos comprobar

nes de continuidad:

•Existe f (4)

=

4.

Como los límites laterales

no coinciden no existe el límite de f en este punto.

Puesto que no se cumple la

segunda condición, 4. = f no es continua en x

—Si f n o e s c on tin ua en x

=

4, tampoco,

puede ser derivable.

c) Escribimos f

a trozos:

—V eam os si cum ple n l as con dic ion es de con

ti- 2: = nuidad para x

•Existe f (2)

=

0.

•E xis te el l ím ite en x

=

2 y es finito:

•El lí mit e c oin cid e c on la im age n d el pun to:

Así, se tiene que f es continua en x

=

2.

—Calculamos f

′

(2 − ) y f

′

(2 + ) teniendo

en cuenta analíticas diferentes tiene expresiones que f

a la izquierda y a la derecha de 2:

= − + = − +

=− − → − → _lim

( ) lim

(

) h h

h h

h

h 0 0

4 4

4

= −

− − −

= − → _lim h

h h

h 0

2 4 4 4

0

= −

+ − −

= − → _lim

( ) ( )

h

h 0

2

2 2 2 4

4

′ = +

−

= − → ₋ _f

f h f

h h

( ) lim ( )

() 2 2

2

0

lim ()

() f = 0 = x f 2 → h

2

⇒

= x () f 2 → lim h

0

lim () lim(

)

lim () lim

h h

f x x

f x

→ →

→

− −

+

= −

=

2 2

2

4 0

→ → +

− =

     =

2 2

4

0 ) x (

f x x si x

x si x

() (

, ] [, )

(

= − ∈−

∞− +∞

− ∈−

2 2

4 2

2

4

!

2 22, )

    

lim ()

lim h x f h

x + → = + →

= 4 4

4

lim () lim(

) + x − → h = x f − → h

= +

= 2 4 2 4 4

6

Puesto que f

′

(2 − )

=−

4 y f

′

(2 + )

=

4, no

existe = (2); y, por tanto, f no es derivable en x ′ f

2.

d) —Para ver si

f es continua en

x

=

0, debemos

comprobar que:

•Existe f (0)

=

0.

Como los límites laterales

no coinciden no existe el límite de f en este punto.

Como la segunda condición

no se

verifica, f 0. = no es continua en x

—P ues to que f n o e s c on tin ua en x

=

0, tampoco 0. = puede ser derivable en x

3. FUNCIÓNDERIV

ADA

10. Según la

definición de función derivada,

derivada segunda y derivada tercera, tenemos:

• • •

= − =

= 0 → lim h h 0 → lim h

4 4 0

0

′′′ = ′′ + − ′′

= → x f

f x h f x

h h

() lim ( ) ()

0

= +

− = =

= → → → lim

( ) lim

lim h h h

x h x

h h

h 0 0

0

4 4

4

′′ = ′ + − ′

= → x f

f x h f x

h h

() lim ( ) ()

0

= +

= → → lim

( )

lim(

) h h

h x h

h x

h

x 0 0

4 2 4

2 4

= +

+ − − +

= → lim h

x xh h x

h 0

2 2

2 2 4 2 4 2

4

= +

− − −

= → lim

( ) ( )

h

x h x

h 0

2

2 2 4 2

4

′ = +

−

= → x f

f x h fx

h h

() lim ( ) ()

0

lim ()

lim h x f h

x + → = + →

= 0 0

0

lim () lim(

) + x − → h = x f − → h

= ⋅ +

= 1 ₂ 0 4 1 ₂ 4 0 0

1

= +

= + → + → _lim

( ) lim(

) h h

h h

h

h 0 0

4 4

4

= +

+ − −

= + → _lim h

h h

h 0

2 4 4

4 0

= +

− − −

= + → _lim

( ) ( )

h

h 0

2

2 2 4 2

4

′ = +

−

= + → ₊ _f

f h f

h h

( ) lim ( )

() 2 2

2

(5)

202

11 . Derivadas 11. • • • 12. Aplicamos la definición de derivada para hallar la

derivada en cada uno de los casos:

• • = − + +

= → lim

( ) ( ) h x x h x x h h 0 3 3 3 3 lim ( ) () lim ( ) h h f x h f x h x h x

h → →

+ − = +

−

= 0 0

3 3 1 1 = − =− 2 2 4 3 x x x = − − + = − − + → → lim ( ) ( )

lim h h

x h h x x h h x h x x

h ₃ ₄ 0 ₂ ₂ 0

2 2

2

+ +

= 2 h

= − + + = − − − → → lim ( ) ( )

lim h h

x x h x x h h x x xh h 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2

2 h x x

h ) + (

= lim ( ) () lim ( ) h h f x h f x h x h x

h → →

+ − = +

−

= 0 0

2 2 1 1 = − − − + =−

=− ) ( → lim h

x xh h x x h x x x 0 2 2 3 3 2 6 4 6 6 2 6 6 = − − − +

= → lim

( ) ( ) h h x xh h hx x h 0 2 2 3 3 6 6 2 = − − − − +

= ) ( → lim h

x x x h xh h hx x h 0 3 3 2 2 3 3 3 2 2 6 6 2 = + − = − + + → → lim ( ) lim ( ) ( h h x h x h x x h x x h 0 3 3 0 3 3 3 2 2 2 2 ) ) 3 h = ′′′ = ′′ + − ′′

= → x f

f x h f x h h () lim ( ) () 0 = = 2 2 4 3 x x x = + + = + +

= → → lim

( ) ( ) lim (

) h h

h x h hx x h x h x x

h ₂ 0 ₂ ₂ 0

2 2 2 = − + + + +

= ) ( → lim h

x x xh h hx x h 0 2 2 2 2 2 2 ′′ = − + −− = − + + → → f x x h x h x x h h h () lim ( ) lim ( ) 0 2 2 0

2 1 1

2 2

2

2 h x x

h ( ) + = = − + = − +

=− xh x → lim h ) h x ( x → lim h

x ₂ 0 0

2 1 1 1 = − + + = − +

= → → lim

( ) ( ) lim (

) h h

x x h x x h h h hx x

h 0 0

′ = + − = + −

= → → x f

f x h fx h x h

x h 0 lim h ₍₎ ₎ ₍ 0 limh ()

1 1 • 13. a) b) c) (f + g) ′= f ′+ g ′ ↓ 14. a) f ′(x) = (4 x 6 − 3 x 2 − ln x + cos x)′= = (4 x 6 )′+ (−3 x 2 )′+ (−ln x)′+ (cos x) ′=

↑ ′= f) ⋅ (k

k ⋅ f ′ = 4 (x 6 )′− 3 (x 2 )′− (ln x) ′+ (cos x) ′= = − −

− 6 24

1 x 5 x

x sen x = ⋅ − ⋅ − +−

= ) x sen ( ₁ x ₁ ₋ ₂ x 2 3 ₁ ₋ ₆ x 6 4

= = − 1 5 1 5 4 5 4 5 x x f x x x f x

x = () ′ ⇒ = = ()

=

− ₁5 ₁5 5

1 1 5 = = 3 2 3 2 1 2 x x f x x x f x

x = () ′ ⇒ = = ()

=

− ₃2 ₃2 3

1 3

2

=−

=− ₋ 5

5 6

6 x _x

f x x x f x

x =− () ′ ⇒ = = ()

= ₋₋ 5 ₋ 5 ₁

5 51

=−

=− 4

4 ₃ 8

5 x x x = − − − − + + + → lim h x x h xh h x x h x h x h 0 3 2 2 3 8 7 6 2 5 3 4 6 4 4 6 4 + +

= 4 h

= − − − − +

= → lim

( ) ( ) h x x h xh h h x x h h 0 3 2 2 3 4 4 4 6 4 = − − − − − +

= ) ( → lim h

x x x h x h xh h x x h h 0 4 4 3 2 2 3 4 4 4 6 4 4 = − + +

= → lim

( ) ( ) h x x h x x h h 0 4 4 4 4 lim ( ) () lim ( ) h h f x h f x h x h x

h → →

+ − = +

−

= 0 0

4 4 1 1 = − =− 3

3 ₂ 6

4 x x x = − − − + + +

= → lim h

x xh h x x h x h x h 0 2 2 6 5 4 3 3 3 3 3 3 = − − − +

= → lim

( ) ( ) h x xh h h x x h h 0 2 2 3 3 3 3 = − − − − +

= ) ( → lim h

x x x h xh h x x h h 0 3 3 2 2 3 3 3 3 3

202

11 . Derivadas 11. • • •

12. Aplicamos la definición de derivada para hallar la de-rivada en cada uno de los casos:

• • = − + + = → lim ( ) ( ) h

x x h

x x h h

0

3 3

lim ( ) ( ) lim( )

h h

f x h f x

h

x h x

h → → + − = + − = 0 0 3 3 1 1

= −2₄x = −2₃

x x = − − + = − − + → →

lim ( )

( ) lim

h h

x h h x x h h

x h

x x h

0 2 2 0 4 3

2 2

2 ++h2 =

= − + + = − − − → → lim ( ) ( ) lim h h

x x h

x x h h

x x x h h

0

2 2

0

2 2 ₂ 22

2 2

x x h h( + ) =

lim ( ) ( ) lim( )

h h

f x h f x

h

x h x

h → → + − = + − = 0 0 2 2 1 1 = − − − + = − = − → lim ( ) h

x x h h

x x h

x x x 0 2 2 3 3 2 6 4

6 6 2 6 6

= − − −

+ =

→

lim ( )

( )

h

h x x h h

h x x h

0

2 2

3 3

6 6 2

= − − − − + = → lim ( ) h

x x x h x h h

h x x h

0

3 3 2 2 3

3 3

2 2 6 6 2

= + − = − + + → →

lim( ) lim

( )

(

h h

x h x

h

x x h

0

3 3

0

3 3

3

2 2 2 2

))3

h =

′′′ = ′′ + − ′′ =

→

f x f x h f x

h

( ) lim ( ) ( )

0

= 2₄x = 2₃

x x = + + = + + = → →

lim ( )

( ) lim ( )

h h

h x h

h x x h

x h x x h

0 2 2 0 2 2

2 2 = − + + + + = → lim ( ) h

x x x h h

h x x h

0

2 2 2

2 2 2 ′′ = − + − − ₌ − + + → →

f x x h x

h

x x h

h h

( ) lim( ) lim

( )

0

2 2

0 2

1 1 22

2 2

x x h h ( + ) ₌ = − + = − + = − → → lim

( ) lim

h 0x x h h 0_x2 _{x h} _x2

1 1 1

= − + + = − + = → → lim ( ) ( ) lim ( ) h h

x x h

x x h h

h h x x h

0 0

′ = + − = + − =

→ →

f x f x h f x

h x hh x

h h

( ) lim ( ) ( ) lim

0 0 1 1 • 13. a) b) c)

(f +g)′ =f′ +g′

↓

14. a) f′(x) =(4 x6₋_{3 x}2₋_{ln x}₊_{cos x)}_{′ =}

=(4 x6₎_{′ +}₍₋_{3 x}2₎_{′ +}₍₋_{ln x)}_{′ +}_{(cos x)}_{′ =}

↑

(k ⋅f)′ =k ⋅f′

=4 (x6₎_{′ −}_{3 (x}2₎_{′ −}_{(ln x)}_{′ +}_{(cos x)}_{′ =}

=24_x5−6_x−1 −

x sen x

= ⋅_{4 6}_x6 1− − ⋅_{3 2}_x2 1− −1+ − =

x ( sen x)

= 1 − =

5 1 5 4 5 4 5 x x

f x( )= 5x = x ⇒ ′f x( )= x − =

1 5 1 5 1 1 5

= 3 =

2 3 2 1 2 x x

f x( )= x3 = x ⇒ ′f x( )= x − =

3 2 3 2 1 3 2

= −₅ −6 = − 5

6

x x f x

x x f x x

( )= 1 = − ⇒ ′( )= −₅ − − =

5

5 5 1

= −4₈x3 = −4₅

x x = − − − − + + + → lim h

x x h x h h

x x h x h x h

0

3 2 2 3

8 7 6 2 5 3

4 6 4

4 6 4 ++h4 =

= − − − −

+ =

→

lim( )

( )

h

x x h x h h h

x x h h

0

3 2 2 3

4 4

4 6 4

= − − − − − + = → lim ( ) h

x x x h x h x h h

x x h h

0

4 4 3 2 2 3 4

4

4 6 4

4 = − + + = → lim ( ) ( ) h

x x h

x x h h

0

4 4

lim ( ) ( ) lim( )

h h

f x h f x

h

x h x

h → → + − = + − = 0 0 4 4 1 1

= −3₆x2 = −3₄

x x = − − − + + + = → lim h

x x h h

x x h x h x h

0

2 2

6 5 4 3 3

3 3

= − − −

+ =

→

lim( )

( )

h

x x h h h

x x h h

0 2 2 3 3 3 3 = − − − − + = → lim ( ) h

x x x h x h h

x x h h

0

3 3 2 2 3

3 3

(6)

203

11

. Derivadas

b)

↑

(f ⋅g)′ =f′⋅g +f ⋅g′

15. a)

b)

c) (g_!f)′=(g′_!f) ⋅f′ =((ln x)′_!(5 x4_{)) (5 x}4_{)′ =}

d) (f _!g)′=(f′_!g) ⋅g′ =((5 x4_)′

!(ln x)) (ln x)′ =

16. a) f (x) =arc cos x es la inversa de g (x) =cos x. Por

tanto:

Por el teorema fundamental de la trigonometría, sabemos que:

Y por tanto:

Luego:

′ = −

−

f x

x

( ) 1

1 2

= − 1−_x2

−sen arc( cos )x = − 1−cos (2 arccos )x =

sen x = 1−cos2x

′ =

′ = −

f x

g f x sen arc x

( )

( ( )) ( cos )

1 1

=((5 4⋅ _x3) (ln ))_x 1 = 20ln3

x

x x

! = 

 

 



 ⋅ = =

1

5 5 4 1

5 20

4

4 3

x !( x ) ( x ) x x x

= 5 1 4− = −

25

1 4 5

3

8 5

x x

x

x x

( ln ) ln

= − ⋅ ⋅ =

1

5 5 4

25

4 3

8

x x x x

x ln g

f

g f g f

f

x x x x



 

′

= ′ ⋅ − ⋅ ′₂ =(ln )′ 5 4 −ln (5 4)′′ =

(5x4 2)

= 5x3 4 ₂x−1

x

( ln )

(ln )

= ⋅ − = −

−

5 4 4 1 5 41 ₂₀ ₅

2

3 3

x x x

x x

x x x

ln

(ln )

ln

(ln )x2 =

f g

f g f g g

x x x x

 

  ′

= ′ ⋅ − ⋅ ′₂ =(5 4) ln′ −5 4 (ln )′′ =

(ln )x2

=  −

  =

+ −

x x x

x

3 5

2

5 1

2 5

5

ln ln

= 2 − + = − + − =

5

1 2

5

2

5 1

2 5

3 5

2

5 1

x x x

x x x x

ln ln

=( ) lnx ′ x+x (ln )x ′ =

2 5

′ =

(

)

′ =

( )

′ + ′ =

f x( ) 5x2lnx 5x2 lnx 5x2 (ln )x

b) f (x) =arc tg x es la función inversa de g (x) =tg x.

Puesto que g′(x) =(tg x)′ =1 +tg2_{x, se tiene:}

c) f (x) =arc cotg x es la función inversa de g (x) =

Puesto que

= −1 −cotg2_{x, se tiene:}

17. a) Calculamos la función inversa de f:

f (x) =2x _⇒ _{ln f (x) =}_{ln (2}x_{) =}_{x ln 2 ⇒}

Así pues, la inversa de f es

Puesto que

↑

(k f)′ =k ⋅f′

se tiene

b) Como y =ex _⇔ _x₌_{ln y, la función inversa de}

f (x) =ex_{es g (x) =}_{ln x.}

Puesto que

se tiene

c) es la inversa de g (x) =x2_.

Puesto que:

g′(x) =(x2_{)′ =}_{2 x}2−1₌_{2 x}

f x( )= x

′ =

′ = = =

f x

g f x

f x

f x ex

( )

( ( )) ( )

( )

1 1

1

′ = ′ =

g x x

x

( ) (ln ) 1,

′ =

′ = =

f x

g f x

f x

x

( )

( ( ))

( ) ln

ln

1 1

1 2

2 2

= 1 ⋅ =

2

1 1

2

ln x xln

′ = _ _′ = ′ =

g x( ) lnx x

ln2 ln (ln )

1 2

g x( ) lnx

ln .

=

2

⇒x= 1 f x

2

ln ln ( )

= −

+ = − +

1 1

2 2

[cotg(arccotgx)] x

= −

+ =

1

1 _cotg2 ₍_arc_cotg_x₎

′ =

′ = − − =

f x

g f x f x

( )

( ( )) ( ( ))

1 1

1 cotg2

′ = ′ =

   ′

=

g x x

tg x

( ) (cotg ) 1

=cotgx = .

tg x 1

= +

1

1 x2

=

+ = + =

1 1

2 2

tg arc tg x( ) [ (tg arc tg x)]

′ =

′ = + =

f x

g f x tg f x

( )

( ( )) ( ( ))

1 1

1 2

11

. Derivadas

b) ↑

(f ⋅ g) ′= f ′⋅ g + f ⋅ g ′

15. a) b) c) (g

!

f)

′=

(g

′

!

f)

⋅

f

′=

((ln x)

′

!

(5 x

4

)) (5 x

4

)

′=

d) (f

!

g)

′=

(f

′

!

g)

⋅

g

′=

((5 x

4

)

′

!

(ln x)) (ln x)

′=

16. a) f (x)

=

arc cos x es la inversa de g

(x)

=

cos x.

Por tanto:

Por el teorema fundamental

de la

trigonometría, sabemos que:

Y por tanto: Luego:

′ = − −

f x x

() 1

1

2

=−

− 1

2 x

− =−

−

= ) x cos arc ( ₂ cos 1 ) x cos arc ( sen

sen x

x ₂ cos − 1 =

′ = ′ =

−

f x g f x sen arc x

() (( )) (

cos )

1 1

= ⋅

= )) (ln ) ((

ln 20 1 3 4 5

3

x x

x

!

=      

   

  ⋅ =

= 4 5 5 ₁

1 5 20

4 3 4

4 3

x x x

!

( ) ( )

= −

=

− 4 1 5

25 1

4 5

3 8 5

x x

x

( ln ) ln

= −

⋅ ⋅ =

1 5 5

4 25

4 3

8

x x x x

x

ln

g f g f g f

f x

x x

x − ₄ ′ = ′ ⋅ 2 − ′⋅ = _′    

4 5 ( ln 5 ) (ln

′ ′ =

)

(

) ₄ 5

2 x

=

− 4 5

1 x 2 ₃ x

x ( ln )

(ln )

= ⋅ −

= −

− 4 5

5 1 20 5

4 1 4

2 3

3 x x x x

x x

x

x _ln

(ln ) ln

(ln

) x

2

=

f g f g f g

g x

x x

x (ln ₄ 5 − n ′ )l ₄ 5 ( = ′ ⋅ 2 − ′⋅ = _′    

′ ′ =

)

(ln

) x

2

=

− _ 

  =

+ x x − x

x

3 5

2 5 1 2 5

5

ln ln

= +

=

− −

− 2

5 1

2 5

2 5 1 2

5 3

5 2

5

1 x x x

x x x

x ln ln

= ′ +

′= ) x (ln x x n )l x (

2 5 2

5

′ =

(

)

′ =

(

)

′ +

′= ) x (ln ₂ x ₅ x ln ₂ x ₅ x ln ₂ x ₅ x () f

b) f (x)

=

arc tg x es la función inversa de

g (x)

=

tg x.

Puesto que g

′

(x)

=

(tg x)

′=

1

+

tg

2

x, se tiene:

c) f (x)

=

arc cotg x es la función inversa de

g(x)

=

Puesto que

=−

1

−

cotg

2

x, se tiene:

17. a) Calculamos la función inversa de f:

f (x)

=

2

x ⇒

ln f (x)

=

ln (2

x

)

=

x ln 2

⇒

Así pues, la inversa de f es

Puesto que ↑

(k f ) ′= k ⋅ f ′

se tiene

b) Como y

=

e

x ⇔

x

=

ln y, la función

inversa de ln x. = (x) es g x e = f(x)

Puesto que se tiene

c) es la inversa de g (x)

=

x

2

.

Puesto que: g

′

(x)

=

(x

2

)

′=

2 x

2

−

1 =

2 x

f x

x = ()

′ = ′ =

=

= x f g x f

f x

f x e

x ()

(( )) ()

()

1 1

1

′ =

′= x x g

x

() (ln ) ,

1

′ = ′ =

= x f g x f

f x

x ()

(( )) () ln

ln ₁ 1 ₁

2

2 2

= ⋅ =

1 2 1 1

2 ln x x ln

′ =      ′ =

′= x g

x

x ()

ln ln ln

(ln

) 2

1 2

gx

x ln ()

ln

. 2 =

⇒

= x

f x

1

2 ln

ln ()

=− + =−

+

1

1 1

1 ₂

2 x )] x cotg arc ( cotg [

=− + =

1

2 cotg

cotg (

) x arc

′ = ′ =

− −

= )) x f (( )) x f (( g x () f

1 1

1

2 cotg

′ = ′=

      ′

= tgx ) x cotg ( x () g

1

=

= cotg

. tgx x

1

= + 1

1

2 x

= + =

+

= 2 )] tgx ₁ arc ( tg [ 1 ) tgx arc ₁ ( 2 tg 1

′ = ′ =

+

= )) x f (( tg )) x f (( g x () f

1 1

1

(7)

204

11

. Derivadas

Por tanto: Observamos que, efectivamente,

obtenemos el re- sultado que ya conocemos en los tres casos.

18. a) Puesto que

es una función exponencial-potencial estrictamente positiva, utilizamos el

método de

de- rivación logarítmica:

—T om am os log ari tm os nep eri an os a a mbo s l

a- sus propiedades: y aplicamos la igualdad dos de

f (x) = x

2 x − 1

⇒ ln f(x) = ln (x

2 x − 1

) =

= (2 x − 1) ln x

—Derivamos ambos lados de la igualdad: —Despejamos f

′ (x) y sustituimos f (x)

por su

ex- presión analítica:

b) Puesto que

es una función exponencial-potencial estrictamente positiva, utilizamos el

método de

de- rivación logarítmica.

—T om am os log ari tm os nep eri an os a a mbo s l

a- sus propiedades: y aplicamos la igualdad dos de

f(x) = (cos x)

x

⇒

⇒ ln f (x) = ln [(cos x)

x

] = x ln (cos x)

—Derivamos ambos lados de la igualdad: =

ln (cos x) −

x tg x

—Despejamos f

′ (x) y sustituimos f (x)

por su

ex- presión analítica:

⇒ f ′(x) = f (x) [ln (cos x) −

x tg x] =

= (cos x)

x

[ln (cos x) −

x tg x]

1 f x f x x

xt

gx − ) s (co ln = () ′ ()

⇒

= ⋅ +

−

= ) x sen ( x ₁ cos x ) x cos ln( 1

1 f x f

x () ′ ()

=

= +

− _ 

  

− x

x x

x 2 1

2 2

1 ln

⇒ ′ = +

− _ 



 = x 2 x ln 2 x () f x () f

1

1 2

2 1

f x f x x

x ()

()

ln = ′

+ − ⇒

= +

− 2 2

1 lnx

x

1 2

2 1 1

f x f x x

x

x ()

() ln (

) − + = ′

=

′ = ′ =

= x f x f g x f

x

() (( )) ()

1 1

2 1

2

19. Puesto que

se trata de una función dada

en forma

im- implícita: de derivación el método plícita, utilizamos

—Derivamos ambos miembros

de la

igualdad, consi- aplicando la x y función de y es derando que

regla de la cadena:

(x

2

+ y

2

− 3 x + 4 y − 10)′= 0′

2 x + 2 y y ′− 3 + 4 y ′− 0 = 0

—Despejamos y ′:

4. DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN

20. Consideramos la

función r

0

= 1 m y

h = 5 mm = 0,005 m.

Aplicamos el concepto de

la diferencial de una

fun- ción:

∆ V

"

d V = V′ (r

0

) h

y, y a q ue sus tit uye ndo es

-tos valores: d V = 4 π r

0 2

h = 4 π⋅ 1

2

⋅ 0,005 = 0,0628 m

Este valor es una aproximación bastante

buena al

incremento exacto:

∆ V = V (r

0

+ h) − V (r

0

) =

21. Co nsi de ra mo s l a f un ció n y

h =− 0,02.

Puesto que aplicando la

aproximación

del incremento, ∆

f, por la diferencial, df, tenemos:

f (x

0

+ h) ≈ f( x

0

) + f ′(x

0

) h =

que es una buena aproximación del valor exacto: RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS

22. Calculemos las

primeras derivadas de f

para intuir

la expresión de la derivada n-sima:

f ′ (x) = 1 e

x

+ x e

x

= (1 + x) e

x

f ″(x) = (0 + 1) e

x

+ (1 + x) e

x

= (2 + x) e

x

f ′′′ (x) = e

x

+ (2 + x) e

x

= (3 + x) e

x

1598 3997

499 , ,

... =

= + ⋅−

= 4

1 2 16 00 2 39 97

5 , ) , (

′

= x f

x

() ,

1 2

fx x

x , = ()

= 0

16

= −

⋅

= 05 10 ₄ 3

4 3 13 0063

1 , π ₃ ) (, π

m

′ =      ′

= r r V

r ()

,

4 3

4 ₃

2 π π

V r

r ()

, =

4 3

3 π

(

) 4 2

2 3 0 3

2 2 4

y y x y

x y

+ ′+ − = ⇒ ′= − +

204

11

. Derivadas

Por tanto:

Observamos que, efectivamente, obtenemos el re-sultado que ya conocemos en los tres casos.

18. a) Puesto que es una función exponencial-potencial

estrictamente positiva, utilizamos el método de de-rivación logarítmica:

— Tomamos logaritmos neperianos a ambos la-dos de la igualdad y aplicamos sus propiedades:

f (x) =x2 x−1 _⇒ _{ln f (x)}₌_{ln (x}2 x−1₎₌

=(2 x −1) ln x

— Derivamos ambos lados de la igualdad:

— Despejamos f′(x) y sustituimos f (x) por su

ex-presión analítica:

b) Puesto que es una función exponencial-potencial

estrictamente positiva, utilizamos el método de de-rivación logarítmica.

— Tomamos logaritmos neperianos a ambos la-dos de la igualdad y aplicamos sus propiedades:

f (x) =(cos x)x _⇒

⇒ ln f (x) =ln [(cos x)x_]₌_{x ln (cos x)}

— Derivamos ambos lados de la igualdad:

=ln (cos x) −x tg x

— Despejamos f′(x) y sustituimos f (x) por su

ex-presión analítica:

⇒ f′(x) =f (x) [ln (cos x) −x tg x] =

=(cos x)x_{[ln (cos x)}₋_{x tg x]}

1

f x( )f x′( )=ln (cos )x −x tg x⇒

= ⋅1 ln (cos )+ 1 − =

cos ( )

x x

x sen x

1

f x( )f x′( )=

=  + −



 

−

x x

x

2 1 ₂_ln ₂ 1

⇒ ′ =  + −





 =

f x f x x

x

( ) ( ) 2ln 2 1

1

2 2 1

f x( )f x′( )= lnx+ −x ⇒

=2ln x+ −2 1

x 1

2 2 1 1

f x( )f x′( )= lnx+( x− )x =

′ =

′ = =

f x

g f x f x x

( )

( ( )) ( )

1 1

2

1 2

19. Puesto que se trata de una función dada en forma im-plícita, utilizamos el método de derivación implícita: — Derivamos ambos miembros de la igualdad, consi-derando que y es función de x y aplicando la regla de la cadena:

(x2₊_y2₋_{3 x}₊_{4 y}₋₁₀₎_{′ =}₀_′

2 x +2 y y′ −3 +4 y′ −0 =0

— Despejamos y′:

4. DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN

20. Consideramos la función r0=1 m y

h =5 mm =0,005 m.

Aplicamos el concepto de la diferencial de una fun-ción:

∆V "d V =V′(r0) h

y, ya que sustituyendo es-tos valores:

d V =4 πr₀2h =4 π ⋅12_⋅_0,005₌_{0,0628 m}

Este valor es una aproximación bastante buena al in-cremento exacto:

∆V =V (r0+h) −V (r0) =

21. Consideramos la función y

h = −0,02.

Puesto que aplicando la aproximación

del incremento, ∆f, por la diferencial, df, tenemos:

f (x0+h) ≈f (x0) +f′(x0) h =

que es una buena aproximación del valor exacto:

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS

22. Calculemos las primeras derivadas de f para intuir la expresión de la derivada n-sima:

f′(x) =1 ex₊_{x e}x₌₍₁₊_{x) e}x

f″(x) =(0 +1) ex₊₍₁₊_{x) e}x₌₍₂₊_{x) e}x

f′′′(x) =ex₊₍₂₊_{x) e}x₌₍₃₊_{x) e}x

15 98, =3 997 499, ...

= +4 1 ⋅ − =

2 16 ( , )0 02 3 997 5,

′ =

f x

x

( ) 1 ,

2

f x( )= x, x0 =16

= 4 − ⋅ =

3 1 005

4

3 13 0 0631

3

π( , ) π , m

′ = _ _′ =

V r( ) 4 r r ,

3 4

3 2

π π

V r( )= 4 r ,

3

π

(2 4) 2 3 0 3 2

2 4

y y x y x

y

+ ′ + − = ⇒ ′ = −