Tema 1

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República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria

Universidad Politécnica Territorial del Oeste de Sucre “Clodosbaldo Russián” Cumaná – Estado Sucre

Programa Nacional de Formación en Informática

Unidad Curricular:

Investigación de Operaciones

Facilitador:

Msc. Leonardo Javier Malavé Quijada

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Investigación de Operaciones - Temario

• Tema # 1.- Formulación de Modelos en Investigación de Operaciones

• Tema # 2.- Modelos de Programación Lineal: Método Gráfico y Método Simplex

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Investigación de Operaciones – Tema # 1

a.- Sistema: es una combinación de componentes que actúan conjuntamente y

cumplen determinado objetivo. Un sistema no está limitado a los objetivos físicos; el

concepto de sistema puede ser aplicado a fenómenos abstractos y dinámicos.

b.- Modelo: es la representación simplificada y en cierta forma idealizada de un

sistema del mundo real, con el propósito de estudiarla. En Investigación de

Operaciones se tratan modelos abstractos.

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Investigación de Operaciones – Tema # 1

mundo real, sobre la base de leyes físicas, químicas y tecnológicas.

c.- Formulación de Modelos en Investigación de Operaciones: es la representación

del modelo empleando un código lógico-matemático, para describir las relaciones

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Investigación de Operaciones – Tema # 1

4 características a tomar en consideración: sencillez, confiabilidad, bajo costo de

desarrollo y manejabilidad

c.- Para que se construyen Modelos en Investigación de Operaciones?

• Una vez construido el modelo, es posible analizarlo matemáticamente y encontrar nuevas acciones, que no son aparentes. Esto conlleva a la reformulación del

sistema.

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Investigación de Operaciones – Tema # 1

d.- Elementos básicos en los Modelos:

• Variables y parámetros de decisión: Las variables de decisión son las incógnitas (o decisiones) que deben determinarse resolviendo el modelo. Los parámetros son los

valores conocidos que relacionan las variables de decisión con las restricciones y

función objetivo. Los parámetros del modelo pueden ser determinísticos o

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Investigación de Operaciones – Tema # 1

• Restricciones: Para tener en cuenta las limitaciones tecnológicas, económicas y otras del sistema, el modelo debe incluir restricciones (implícitas o explícitas) que

restrinjan las variables de decisión a un rango de valores factibles.

• Función Objetivo: La función objetivo define la medida de efectividad del sistema como una función matemática de las variables de decisión. La solución óptima será

aquella que produzca el mejor valor de la función objetivo, sujeta a las

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Investigación de Operaciones – Tema # 1

Ejemplo

Un fabricante está tratando de decidir sobre las cantidades de producción para dos

artículos: mesas y sillas. Se cuenta con 96 unidades de material y con 72 horas de

mano de obra. Cada mesa requiere 12 unidades de material y 6 horas de mano de

obra. Por otra parte, las sillas usan 8 unidades de material cada una y requieren 12

horas de mano de obra por silla. El margen de contribución es el mismo para las mesas

que para las sillas: $5.00 por unidad. El fabricante prometió construir por lo menos dos

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Investigación de Operaciones – Tema # 1

• Variables y parámetros de decisión:

X₁ = número de mesas producidas

X₂ = número de sillas producidas

• Restricciones:

a) El material está limitado a 96 unidades. Cada mesa se lleva 12 unidades de material

y cada silla usa 8 unidades. La primera restricción es, entonces:

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Investigación de Operaciones – Tema # 1

b) el total de horas de mano de obra. Una mesa se lleva 6 horas, una silla 12 horas y se

dispone de un total de 72 horas

6X₁ +12X₂ <= 72

c) El fabricante prometió producir por lo menos dos mesas.

X₁ >= 2

d) Restricciones de No negatividad:

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Investigación de Operaciones – Tema # 1

• Función Objetivo

¿Cuál es el objetivo? Es maximizar la contribución a la ganancia. Cada unidad de mesas

o sillas producidas contribuirá con $5 en la ganancia. Así las dos alternativas son la

producción de mesas y la producción de sillas. Ahora puede escribirse la función

objetivo:

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Investigación de Operaciones – Tema # 1

• Por tanto mi Modelo queda de la siguiente forma Max Z = 5 X₁ + 5 X₂

s.a:

12X₁ + 8X₂ <= 96

6X₁ +12X₂ <= 72

X₁ >= 2

X₁ >= 0

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Investigación de Operaciones – Tema # 1

Ejemplo

Un comprador está tratando de seleccionar la combinación más barata de dos

alimentos, que debe cumplir con ciertas necesidades diarias de vitaminas. Los

requerimientos vitamínicos son por lo menos 40 unidades de vitamina W, 50 unidades

de vitamina X y 49 unidades de vitamina Y. Cada onza del alimento A proporciona 4

unidades de vitamina W, 10 unidades de vitamina X y 7 unidades de vitamina Y; cada

onza del alimento B proporciona 10 unidades de W, 5 unidades de X y 7 unidades de Y.

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Investigación de Operaciones – Tema # 1

X₁ = Cantidad en Onzas de Alimento A

X₂ = Cantidad en Onzas de Alimento B

4X₁ + 10X₂ >= 40 (Vitamina W)

10X₁ + 5X₂ >= 50 (Vitamina X)

7X₁ + 7X₂ >= 49 (Vitamina Y)

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Investigación de Operaciones – Tema # 1

La meta en este problema es encontrar la manera menos costosa para satisfacer las

necesidades vitamínicas. Las dos alternativas disponibles son los alimentos A y B.

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Investigación de Operaciones – Tema # 1

Min Z = 5X₁ + 8X₂

s.a:

4X₁ + 10X₂ >= 40

10X₁ + 5X₂ >= 50

7X₁ + 7X₂ >= 49

X₁ >= 0

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Investigación de Operaciones – Tema # 1

Ejemplo

En una pastelería se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa

necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250

Bs, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho

y produce 400 Bs. de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta

150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no

pueden hacer mas de 125 tartas de cada tipo. ¿Cuántas tartas Vienesas y cuantas

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Investigación de Operaciones – Tema # 1

X₁ = Cantidad de Tartas tipo Vienesa a producir

X₂ = Cantidad de Tartas tipo Real a producir

X₁ + X₂ <= 150

0,25X₁ + 0,5X₂ <= 50

X₁ <= 125

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Investigación de Operaciones – Tema # 1

¿Cuál es el objetivo? Es maximizar el beneficio obtenido de vender las cantidades de

tartas Vienesas y Real . Ahora puede escribirse la función objetivo:

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Investigación de Operaciones – Tema # 1

Max Z= 250X₁+ 400X₂

s.a:

X₁ + X₂ <= 150

0,25X₁ + 0,5X₂ <= 50

X₁ <= 125

X₂ <= 125

X₁ >= 0

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Investigación de Operaciones – Tema # 1

Ejemplo

Una empresa fabricante de automóviles produce dos modelos, A y B. Tiene dos

factorías, F1 y F2. En F1 se producen diariamente 6 automóviles tipo A y 4 tipo B, con

un costo de 32.000 Bs diarios. F1 no funciona más de 50 días. En F2 se producen 4 de A

y 4 de B, con un costo de 24.000 Bs diarios. Para abastecer el mercado, se han de

poner a la venta al menos 360 automóviles de tipo A y al menos 300 de tipo B.

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Investigación de Operaciones – Tema # 1

X₁ = Cantidad de días de funcionamiento Factoría 1

X₂ = Cantidad de días de funcionamiento Factoría 2

6X₁ + 4X₂ >= 360

4X₁ + 4X₂ >= 300

X₁ <= 50

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Investigación de Operaciones – Tema # 1

¿Cuál es el objetivo? Es minimizar el costo de producción de días de funcionamiento

en las factorías F1 y F2 . Ahora puede escribirse la función objetivo:

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Investigación de Operaciones – Tema # 1

Min Z= 32000X₁+ 24000X₂

s.a:

6X₁ + 4X₂ >= 360

4X₁ + 4X₂ >= 300

X₁ <= 50

X₁ >= 0

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Investigación de Operaciones – Tema # 1

Ejemplo

Una persona quiere invertir 100.000 Bs en dos tipos de acciones A y B. Las de tipo A

tienen más riesgo, pero producen un beneficio del 10%. Las de tipo B son más seguras,

pero producen solo el 7% nominal. Decide invertir como máximo 60.000 Bs en la

compra de acciones A y, por lo menos, 20.000 Bs en la compra de acciones B. Además,

quiere que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo debe

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Investigación de Operaciones – Tema # 1

X₁ = Cantidad de dinero a invertir en Acciones Tipo A

X₂ = Cantidad de dinero a invertir en Acciones Tipo B

X₁ + X₂ <= 10000

X₁ <= 60000

X₂ >= 20000

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Investigación de Operaciones – Tema # 1

¿Cuál es el objetivo? Es maximizar el beneficio anual en las compras de acciones Tipo

A y Tipo B . Ahora puede escribirse la función objetivo:

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Investigación de Operaciones – Tema # 1

Max Z= 0.1X₁+ 0.07X₂

s.a:

X₁ + X₂ <= 10000

X₁ <= 60000

X₂ >= 20000

X₁ >= 0