Módulos isoartinianos, isoneterianos e isosimples

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Módulos isoartinianos, isoneterianos e

isosimples

Eduardo Iván Nava Rodríguez

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Benemérita Universidad Autónoma de Puebla

Facultad de Ciencias Físico Matemáticas

Título de la tesis

Módulos isoartinianos,

isoneterianos e isosimples

Tesis para obtener el grado de

Licenciado en Matemáticas

Presenta

Eduardo Iván Nava Rodríguez

Director de tesis

Dr. César Cejudo Castilla

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Agradecimientos

„

¡Ay reata no te revientes! ¡Que es el último jalón!

—Antiguo Proverbio Mexicano

Estimado lector, tienes en tus manos mi último suspiro, mis patadas de

ahogado, la conclusión, el cierre, el fin. En estas páginas que, como las de

casi toda tesis de licenciatura, han de ser agraviadas por el polvo y los años,

traducen en símbolos el esfuerzo continuo, la taquicardia de los desvelos, el

hartazgo, la frustración y las lágrimas del deseo de abandono. Pero bueno,

ya sin tanto drama, es importante que sepas que el mérito no es exclusivo, ya

que, como dicen por ahí, mi barrio me respalda.

Atento aviso: Si eres un ávido lector y practicante de la buena redacción,

notarás un exagerado uso de la palabra “Gracias” y, a decir verdad, no

me importa, son agradecimientos. Hay tantas personas a quienes debo las

gracias que quisiera haber hecho caso a cierto profesor de la facultad y

haber consumido Omega 3 y comido muchas almendras, porque quizás así

tendría la memoria inmaculada y con certeza no me faltaría mencionar un

solo nombre, pero estoy tranquilo pues, si sabes que falta el tuyo, también

sabes que se debe achacar a lo despistado que soy o a mi memoria, que

no excede la de un ratón. Empezamos por el principio. Gracias Don Moy,

Doña Tere, abuelitos. Gracias por haberme dado tanto cariño, por ser tan suaves conmigo, por haberme permitido crecer en un entorno en el que

se observa como es la vida de bonita cuando se ponen a bailar un Rock

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& Roll las virtudes, el esfuerzo, el amor y la empatía. Gracias Doña Caro, mamá. Gracias por traerme a este mundo y no adoctrinarme, por dejarme

pensar lo que quiera y apoyarme incondicionalmente, por las oportunidades

que me brindas y sobre todo, gracias por este pecho inflado de orgullo y

estas ganas de inflar el tuyo. Gracias a mi familia, tan bonita. Gracias por

soportarme, abrazarme, aconsejarme. Sobre todo gracias porque, pese a que

la evidencia apuntara lo contrario, siempre creyeron que lo lograría. Gracias

Carmelita, mi viejita. Gracias por aguantarme de pequeño, por irme a buscar al parque cuando ya eran las 5 y, sobre todo, por enseñarme que existe

el amor infinito y dejarme sentirlo. Y ya que estamos hablando de tanto

amor, es importante agradecer a las mujeres que me han acompañado en el

viaje del amor romántico, el amor que quema las montañas, desborda los

ríos y que hace que arda el pecho. Gracias por compartir la vida conmigo y

haberme mostrado lo que está uno dispuesto a hacer por alguien que no es

de tu familia. Para los entendidos de la luz de los hechos, de sobra está decir

que, por respeto, omitiré sus nombres, ellas saben bien quienes son. Gracias

amigos, sobre todo aquellos que me acompañaron estos dos últimos años de

licenciatura. Gracias por reír conmigo en los buenos momentos y por aceptar

la pesada y desagradable labor de recoger lo que quedaba de mí y ayudarme

a reconstruirme cada que lo necesité. Gracias por aceptar trabajar conmigo

aunque yo aprenda a paso de caracol y por no dejarme claudicar. GraciasCata, Toño, Mireya, Uriel, Fernando, Yansi, Itzel, Alba, David, Karina, BrunoyCoco. Sería yo un pecho frío de no agradecer a mis profesores, de quienes recibí el

conocimiento y quienes me auxiliaron a desarrollar mis habilidades. Gracias

profesorÁngel Contreras, de quien aprendí a ser meticuloso y ordenado en mi labor y por enseñarme que el número de intentos es finito. Gracias profesor

Bulmaro Juárez por mostrarme la belleza de la Probabilidad, enseñarme a soportar la Estadística y por sus buenos consejos. Gracias profesor David Herrera, por enseñarme a vencer la pereza y a no temer a los problemas, por difíciles que estos aparenten ser. Gracias a mis sinodales, los profesores

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me ofrecieron sus consejos. Gracias a mi profesor (y sinodal)Juan Angoa, a quien debo el don de haberme dado cuenta de que las matemáticas son más

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Índice general

1 Introducción 1

2 Preliminares de Teoría de Anillos 3

2.1 Definiciones Básicas . . . 3

2.2 Anillos Von Neumann Regulares y Dominios de Ideales Princi-pales . . . 7

3 Preliminares de Teoría de R-Módulos 9 3.1 Definiciones Básicas . . . 9

3.2 Submódulos . . . 11

3.3 Morfismos de R-módulos . . . 21

3.4 Sucesiones Exactas Cortas . . . 27

3.5 Productos y Coproductos . . . 29

3.6 Pullback y Pushout de R-módulos . . . 35

3.7 Módulos Inyectivos y Proyectivos . . . 39

3.8 Módulos Artinianos y Neterianos . . . 45

3.9 Dimensión de Krull . . . 47

3.10 Algunos Resultados Auxiliares . . . 56

4 Algunas Clases Especiales de Anillos 59 4.1 V-anillos y Von Neumann Regularidad. . . 59

4.2 Anillos Triangulares. . . 63

4.3 Anillos de Valuación Discreta . . . 68

5 Módulos isoartinianos, isoneterianos e isosimples 77 5.1 Definiciones y Primeros Resultados . . . 77

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5.2 Condiciones Bajo las Cuales Equivalen Simple e Isosimple . . 82

5.3 Anillos Isoartinianos e Isoneterianos . . . 86

5.4 Otros Resultados Importantes . . . 89

5.5 El Anillo de Endomorfismos de un Módulo Isosimple . . . 93

6 Apéndice 97

6.1 Desviación de un Copo . . . 97

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1 Introducción

Como suele ocurrir en Matemáticas, la abstracción y la creación de nuevas

teorías, comienza con sustitución de ciertas condiciones, o bien, con hipótesis

más débiles. Así, en cuanto a las estructuras algebraicas, debe resultar natural

cuestionar si, al reemplazar una igualdad por un isomorfismo, se obtendrán

resultados interesantes. En esta tesis se estudian nuevas clases de anillos y

módulos que fueron introducidos por Zahra Nazemian y Alberto Facchini

en su artículo “Modules with chain conditions up to isomorphism” [1], las

cuales, buscan generalizar los conceptos de módulos artinianos, neterianos

y simples. Se dice que un R-módulo M es isoneteriano si dada cualquier cadena ascendenteA1 ≤A2 ≤A3 ≤ · · · de submódulos de M, existen ∈N

tal que para toda i ≥ n, Ai ∼= An. Dualmente, M es isoartiniano si dada

cualquier cadena descendente A1 ≥ A2 ≥ A3 ≥ · · · de submódulos de M,

existen ∈_Ntal que para todai≥n,Ai ∼=An. Por último,M es unR-módulo

isosimple si M 6= 0 y M es isomorfo a todos sus submódulos no cero. El objetivo es establecer las diferencias y similitudes entre la teoría clásica y los

nuevos conceptos. Por ejemplo, se sabe que unR-móduloM es neteriano si y sólo si, todo conjunto no vacío de submódulos deM admite un elemento máximo y, dualmente,M es unR-módulo artiniano si y sólo si, todo conjunto no vacío de submódulos deM, admite un elemento mínimo. Se demuestran resultados análogos para módulos isoneterianos e isoartinianos. Se dice que

R es un anillo isoartiniano derecho siRR es isoartiniano, dualmente,R es

isoneteriano derecho siRRes isoneteriano. Un famoso teorema de Hopkins

[2, Teorema 15.20] establece que un anillo artiniano derecho es neteriano

derecho. En aras de pronunciar el interés en estos nuevos conceptos, se

presenta un ejemplo de un anillo isoartiniano derecho que no es isoneteriano

derecho. En el primer capítulo se enuncian las definiciones y resultados más

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elementales de las clases de anillos utilizadas. En el segundo capítulo, se traza

una ruta teórica corta y comprensiva entre los conceptos más elementales y

estos nuevos objetos de la teoría de R-módulos, terminando con una sección dedicada a la discusión de resultados sobre módulos uniformes, dimensión

uniforme, módulos Hopfianos y Dedekind-finitos que son cruciales para la

comprensión de algunas demostraciones de propiedades sobre estas nuevas

clases de módulos. En el quinto capítulo se estudian los módulos

isoartinia-nos, isoneterianos e isosimples y sus distintas características. Se observa el

comportamiento de sus submódulos, así como condiciones suficientes para

garantizar la cerradura bajo sumas directas. Más aún, se estudian los

en-domorfismos de un módulo isosimple para comprender la estructura de su

anillo de endomorfismos. Finalmente, se incluye un apéndice con algunas

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2 Preliminares de Teoría de

Anillos

2.1 Definiciones Básicas

Definición 2.1.

Unanilloes una estructura(R,+,·,0), dondeRes un conjunto no vacío,+y

·son operaciones binarias enR tales que: (R,+,0)es un grupo abeliano.

·es asociativa.

·se distribuye sobre +a izquierda y derecha.

Observación.

Naturalmente,+es llamada suma de Ry ·multiplicación de R. Como suele ser costumbre, la yuxtaposición de elementos deR, indicará multiplicación y, por simplicidad, nos referiremos a(R,+, ·,0)comoR.

SeaRun anillo.

1. Diremos queR esconmutativosi·es conmutativa.

2. Diremos que R esanillo con uno si existe 1 ∈ R tal que(R,·,1)es un monoide.

SeaRun anillo con uno.

1. Sear∈R, diremos quertieneinverso multiplicativo izquierdosi existe

x∈Rtal quexr= 1.

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2. Sea r∈R, diremos quertieneinverso multiplicativo derecho si existe

y∈R tal query= 1.

3. Sea r ∈ R, diremos que r es unaunidad si tiene inverso multiplicativo izquierdo e inverso multiplicativo derecho.

Notación.

Adaptaremos la siguiente notación para el conjunto de unidades de un anillo:

R∗ ={r ∈R|r es unidad}.

SeaR un anillo con uno.

1. Diremos que R es unanillo con divisiónsi todo elemento no cero de R

tiene inverso multiplicativo.

2. Diremos queRes un camposi es conmutativo yR\ {0}=R∗.

Convención.

En el desarrollo subsecuente de esta tesis, todos los anillos tienen uno.

SeanR un anillo eI ⊆Rtal que(I,+,0)es un subgrupo de(R,+,0).

1. Diremos queI es unideal izquierdodeR siRI ={ra|r ∈R, a∈I} ⊆

I, es decir,I absorbe productospor izquierda.

2. Diremos queI es unideal derecho deR si IR={ar | r ∈R, a∈ I} ⊆

I,es decir,I absorbe productospor derecha.

3. Diremos queI es unideal bilateral(o simplemente ideal) deRsiI es un ideal izquierdo y derecho.

SeanRun anillo ya∈R. Es muy sencillo verificar queRa={ra|r∈R}es un ideal izquierdo deR yaR={ar |r ∈R}es un ideal derecho deR. Definición 2.6.

SeanR un anillo ya∈R.

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2. Al idealaRlo llamaremosideal principal derechogenerado pora.

Observación.

SiRes conmutativo, Ra=aR.

Notación.

SiR es un anillo conmutativo, denotaremos el ideal principal generado pora

como(a).

Sean R un anillo e I un ideal izquierdo de R. Diremos que I es un ideal izquierdo máximodeRsi:

I 6=R.

Para todo ideal izquierdoJ ⊆R, siI ⊆J, entoncesJ =I óJ =R.

Observación.

Notemos que la definición de ideales máximos “tiene lado”, es decir, también existen ideales derechos máximos e ideales bilaterales máximos; la definición de éstos últimos es análoga a la definición anterior.

Sean R un anillo conmutativo yP un ideal de R. Diremos que P es un ideal primodeR, si:

P 6=R.

Para todosa, b∈R tales queab∈P, se tiene quea ∈P ób ∈P.

Lema 2.9.

SeaRun anillo con uno. Todo ideal izquierdo (derecho) propio, está contenido en un ideal izquierdo (derecho) máximo.

Demostración

Sea J un ideal izquierdo propio de R y consideremos Γ = {I ⊆ R |

Ies un ideal izquierdo propio deRtal queJ ⊆I}. Notemos queΓ6=_∅, pues

J ∈Γ. SeaC una cadena enΓy consideremosS

C. Claramente, S

C es una cota superior de C. Luego, C es una cadena de ideales propios de R que

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contienen a J, de donde, S

C es un ideal propio de R que contiene a J. Así, por el Lema de Zorn,Γadmite un elemento máximoP, que es el ideal

(17)

2.2 Anillos Von Neumann Regulares y

Dominios de Ideales Principales

SeanRun anillo yr∈R.

Diremos queres un divisor izquierdo del cero, si existex∈R\ {0}tal querx= 0.

Diremos quer es undivisor derecho del cero, si existe x∈ R\ {0}tal quexr= 0.

Diremos que r es undivisor del cero, si es divisor izquierdo del cero ó divisor derecho del cero.

Sea D un anillo. Diremos que D es un dominio si 0 es el único divisor del cero en D y diremos que D es un dominio entero, si D es un dominio y es conmutativo.

SeaDun dominio.

1. Diremos queDes undominio de ideales principales izquierdos(DIPI) si todo ideal izquierdo deD, es un ideal principal izquierdo.

2. Diremos queDes undominio de ideales principales derechos(DIPD) si todo ideal derecho deD, es un ideal principal derecho.

SeaR un anillo. Diremos queResVon Neumann regular(VNR) si para cada

a∈R, existe x∈Rtal quea=axa.

Observación.

Notemos que la noción de ser VNR ”no tiene lado", pues la definición es la misma para derecha e izquierda.

(18)

Proposición 2.14.

SeaR un anillo. Las siguientes afirmaciones son equivalentes. 1. R es Von Nuemann regular.

2. Todo ideal principal izquierdo (derecho) deRes generado por un elemento idempotente.

Demostración

Basta demostrar la equivalencia para ideales principales izquierdos, ya que la

demostración para ideales principales derechos, es simétrica.

[1 ⇒2]

Sea Ra un ideal principal izquierdo de R. Como R es VNR, existe x ∈ R

tal que a = axa. Luego, notemos que (xa)(xa) = (x)(axa) = xa, de modo que e =xa es un elemento idempodente deR. Es claro que, comoe =xa, entonces e ∈ Ra, en consecuencia Re ⊆ Ra; además, notemos que, como

ae =axa =a, entoncesa∈Re, asíRa⊆Re. Por lo tantoRa=Re.

[2 ⇒1]

Sea a ∈ R y consideremos Ra. Por hipótesis, existee ∈ R idempotente tal que Ra = Re, luego a = xe y e = ya para algunos x, y ∈ R. Finalmente,

aya=ae=xe2 ₌_xe₌_a_.

SeaRun dominio. Diremos queR es undominio de Ore derechosi para todo

x, y ∈R, existenr, s∈Rtales quexr =ys 6= 0

Observación.

(19)

3 Preliminares de Teoría de

R-Módulos

3.1 Definiciones Básicas

SeaRun anillo. Diremos queM es unR-módulo izquierdosi: 1. M es un grupo abeliano.

2. Existe una operación (ley de composición externa)·:R×M −→M que satisface las siguientes condiciones:

a) Para todasr1, r2 ∈R y todax∈M,(r1r2)·x=r1(r2·x).

b) Para todasr1, r2 ∈R y todax∈M,(r1+r2)·x=r1·x+r2·x.

c) Para todar∈R y todax1, x2 ∈M,r·(x1+x2) =r·x1+r·x2.

d) Para todax∈M,1R·x=x.

Recordemos que, dado un grupo abeliano M, End(M) = {f : M → M |

fes un morfismo de grupos} es un anillo con uno al considerar la suma y producto naturales (suma y composición de funciones).

Sean R un anillo y M un grupo abeliano. Una Representación de R es un morfismo de anillos,ρ:R−→End(M).

Observación.

SeanM un grupo abeliano yR un anillo. Para cadar∈Ryx∈M definimos

ρr : M −→M, definida por x7−→ r·x, donde·es una función que satisface las condiciones de laDefinición 3.1. Observemos que, por la condición(a), para

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cada r ∈ R, ρr ∈ End(M). Consideremos ρ : R −→ End(M) definida por

r 7−→ρry notemos que, por las condiciones(b),(c)y(d),ρes un morfismo de anillos. Por lo tanto,ρes una representación deR.

SeaR un anillo. Diremos que(M, ρ)es un R-módulo izquierdo si: 1. M es un grupo abeliano.

2. ρ : R −→ End(M), definida por r 7−→ ρr, donde ρr(x) = r·x, es una representación de R.

Observación.

Simétricamente se define el concepto deR-módulo derecho.

SeanRySanillos. Diremos queM esR-S-bimódulo(o simplementeR-S-módulo) siM es unR-módulo izquierdo yM es unS-módulo tal que para todar ∈R, todas∈S y todam ∈M,r(ms) = (rm)s.

Notación.

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3.2 Submódulos

SeanM unR-módulo izquierdo y _∅6=N ⊆M.

1. Diremos queN es unsubmódulodeM si, con la suma y ley de composi-ción externa heredadas porM,N es unR-Módulo izquierdo.

2. Si N ₍ M, es un submódulo de M, diremos queN es un submódulo propio deM.

SiM es unR-módulo izquierdo, es muy sencillo comprobar que{0}yM son submódulos deM.

Notación.

A la relación “N es un submódulo deM” la denotaremos comoN ≤M y a la relación “N es un submódulo propio deM” comoN M. Al submódulo {0}lo denotaremos simplemente como0.

SeaM unR-módulo izquierdo y ∅6=N ⊆M, entonces, las siguientes

afirma-ciones son equivalentes.

1. N ≤M.

2. N es un subgrupo deM y para todasr∈R ym ∈N,rm∈N. 3. Para todasm, m1, m2 ∈N yr ∈R,m1+m2 ∈N yrm∈N.

Es muy sencillo verificar que si M es un R-módulo izquierdo y m ∈ M, entonces Rm = {rm | r ∈ R} es un submódulo deM. Simétricamente, si

M es unR-módulo derecho ym ∈M, entoncesmR={mr |r ∈ R}, es un submódulo deM.

Sea M un R-módulo izquierdo y m ∈ M. Al submódulo Rm le llamaremos submódulo cíclico generado porm.

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SeaM unR-módulo izquierdo.

1. Diremos queM escíclicosi existe m0 ∈M tal queM =Rm0.

2. Diremos que M es simple si 0 6= M y para todo N ≤ M, N = 0, ó

N =M. Es decir,0yM son los únicos submódulos deM.

3. SeaN ≤M, diremos queN es un submódulo mínimoen M si,06=N y para todoL≤M tal queLN, se tiene queL= 0.

4. SeaN ≤M, diremos queN es un submódulo máximoen M si, N 6=M

y para todoL≤M tal queN L, se tiene queL=M.

Lema 3.9.

SeaM unR-módulo izquierdo.M es simple si y sólo si, para todam∈M\ {0},

Rm=M.

Demostración

[⇒]

SeanM unR-módulo simple ym ∈M\ {0}. Observemos quem= 1m∈Rm, de dondeRm6= 0, pero M es simple, por lo tantoRm=M.

[⇐]

Sean M un R-módulo tal que para toda m ∈ M \ {0}, Rm = M y 0 6=

N ≤ M. Seam ∈ N \ {0}, entonces Rm= M, pero Rm≤ N, por lo tanto

N =M.

Lema 3.10.

SeaM unR-módulo izquierdo y{Nλ ≤M |λ∈Λ}una familia de submódulos deM, entonces T

λ∈Λ

Nλ es un submódulo deM.

Demostración

Sean m1, m2 ∈ T λ∈Λ

Nλ, entonces, para toda λ ∈ Λ, m, m1, m2 ∈ Nλ. Como

cadaNλ es un submódulo deM,m1+m2 ∈Nλ, de donde m1+m2 ∈ T λ∈Λ

Nλ.

Análogamente se comprueba que si r ∈ R y m ∈ T λ∈Λ

Nλ, entonces rm ∈ T

λ∈Λ

Nλ. Por lo tanto, T λ∈Λ

(23)

Corolario 3.11.

SeaM unR-módulo izquierdo y{Nλ ≤M |λ∈Λ}una familia de submódulos deM. Entonces T

λ∈Λ

Nλ es el mayor submódulo deM contenido en cadaNλ.

Demostración

Es claro que, para toda λ ∈ Λ, T λ∈Λ

Nλ ⊆ Nλ. Ahora, si A es un submódulo

deM tal que, para todaλ ∈Λ,A≤ Nλ y T λ∈Λ

Nλ ⊆A, entonces A⊆ T λ∈Λ

Nλ,

pues es subconjunto de cada uno de los miembros de la intersección. Pero,

T λ∈Λ

Nλ ⊆A, entoncesA = T λ∈Λ

Nλ.

Lema 3.12.

SeanM unR-módulo izquierdo y X⊆M, entonces

A=          _n P i=1

rixi |ri ∈R, xi ∈X, n∈N

siX 6=_∅

0 siX =_∅

es un submódulo deM.

Demostración

SiX =_∅, el resultado es inmediato. Supongamos queX 6=_∅.

i) Sea x ∈ X. Observemos que, por la forma de definir A, se tiene que

(−1)x, x∈A, asíx+ (−x) = 0∈A.

ii) Seana1, a2 ∈ A, entoncesa1 = n P i=1

rixi y a2 = m P i=1

r_i0x0_i, en consecuencia,

a1+a2 = n P i=1

rixi+ m P i=1

r_i0x0_i =r1x1+. . .+rnxn+r

0

1x

0

1+. . .+r

0

mx

0

m ∈A. iii)Seanr ∈Ry Pn

i=1

rixi =a∈A, entonces

ra = rPn_i=1rixi = r(r1x1 +. . .+rnxn) = r(r1x1) +. . . r(rnxn) = (rr1)x1+

. . .+ (rrn)xn ∈A.

Por lo tanto,Aes un submódulo deM.

Sea M un R-módulo izquierdo. Al submódulo definido en el lema anterior le llamaremossubmódulo generado porX y lo denotaremos por(X].

(24)

SeaM unR-módulo izquierdo y X ⊆M, entonces(X]es el menor submódulo deM que contiene aX. Más aún, (X] =T_{

A ≤M |X ⊆A}.

Demostración

Observemos que siX =_∅, entonces(X] = 0y las afirmaciones son evidentes. Supongamos que X 6= _∅ y observemos que, para toda x ∈ X : 1x ∈ (X], de dondeX ⊆(X]. SeaN ≤ M tal queX ⊆N, entonces, todas las sumas finitas de los elementos de la formarixi conxi ∈X, ri ∈R son elementos de

N, de donde (X] ≤N. Luego, como X ⊆(X], entoncesX ⊆ N. De modo que (X]es, en efecto, el menor de los submódulos deM que contienen aX. Ahora, veamos la igualdad.

[⊆] Recordemos que (X] y T_{

A ≤ M | X ⊆ A} son submódulos de M. Además, es claro queX está contenido en T_{

A ≤ M | X ⊆ A}, pues está contenido en cada uno de sus elementos. Así(X]≤T_{

A≤M |X ⊆A}.

[⊇] Como X ⊆ (X] y (X] ≤ M, entonces (X] ∈ {A ≤ M | X ⊆ A}, de donde,(X]⊆T_{

A≤M |X ⊆A}. Notación.

Si M es un R-módulo izquierdo y X ⊆ M, utilizaremos sin distinción las notaciones(X]yRX.

Observación.

Si M es un R-módulo derecho y X ⊆ M, al submódulo generado por X lo denotaremos por [X) y su definición es simétrica. Por otro lado, si M es un

R-S-módulo y(X]⊆M, el submódulo generado porX se define como

RXS = (X) =         

_n P i=1

rixisi |ri ∈R, xi ∈X, si ∈S, n∈N

siX 6=_∅

(25)

1. Diremos queX ⊆M es unconjunto generador deM siM = (X]. 2. Diremos queM esfinitamente generadosi existe un subconjunto finito

X ⊆M, tal que(X] =M.

3. Diremos que X ⊆ M es libre si para todo subconjunto finito de X,

{x1, . . . , xn}, se cumple que n P i=1

rixi = 0conri ∈R, se tiene que para toda

i∈ {1, . . . , n},ri = 0.

4. Diremos queX ⊆M es unabasedeM siX es libre y genera aM.

Observación.

Si M es un R-módulo izquierdo con conjunto generador X, entonces dado

m∈M existenx1, . . . xn∈X yr1, . . . , rn ∈Rtales quem=r1x1+. . .+rnxn, pero puede que estos no sean únicos y quen no sea fijo.

Sean M un R-módulo izquierdo, X ⊆ M un conjunto generador de M y

m ∈ M. Diremos que m admite una representación esencialmente única con elementos deX si, dadas dos representacionesm = Pn

i=1

rixi = n P i=1

r0_ixi, con

ri, ri0 ∈ R, xi ∈ X parai ∈ {1, . . . , n} yxi 6=xj parai 6= j, se tiene que para todai∈ {1, . . . , n},ri =ri0.

Teorema 3.17.

SeaM unR-módulo izquierdo con conjunto generadorX, entoncesX es una base para M si y sólo si, todo elemento de M admite una representación esencialmente única con elementos deX.

Demostración

[⇒]

Supongamos quem = Pn i=1

rixi = n P i=1

r0_ixi, entonces, n P i=1

(ri −r0i)xi = 0. Como

X es libre, entonces para todai ∈ {1, . . . , n}, ri −r0i = 0. Por lo tanto, para

todai∈ {1, . . . , n},ri =ri0.

(26)

[⇐]

ComoX es un conjunto generador deM, basta demostrar que X es libre. Sean {x1, . . . , xn} ⊆ X y ri ∈ R con i ∈ {1, . . . , n}, tales que

n P i=1

rixi = 0.

Observemos que0 = Pn i=1

0·xi, de donde, n P i=1

rixi = n P i=1

0·xi. Así, comomadmite

representación esencialmente única, para todai∈ {1, . . . , n},ri = 0.

Lema 3.18.

SeanM un R-módulo izquierdo y{Ai ≤M |i∈I}una familia de submódulos deM, entonces,

[ i∈I Ai # =          ( P i∈ I0

ai |ai ∈Ai,I0 ⊆I finito )

si I 6=_∅

0 siI =_∅

Demostración

SiI =_∅, el resultado es inmediato. Supongamos queI 6=_∅.

[⊆]

Sea x ∈ S i∈I

Ai #

, entonces x = Pn i=1

rixi con xi ∈ S i∈I

Ai, ri ∈ R y n ∈ N, de

donde, existen Ai1, . . . , Ain tales que para toda j ∈ {1, . . . , n} : xi ∈ Aij.

Notemos que, como cadaAij ≤M, entonces cada sumandorixi ∈Aij. Por lo

tanto,x∈

( P i∈I0

ai |ai ∈Ai,I0 ⊆I finito )

.

[⊇]

Sea x∈

( P

i∈I0ai |ai ∈Ai,I

0 _⊆_I _finito )

, entonces existeI0 ⊆I finito tal que

x= P

i∈I0ai con ai ∈Ai para todai ∈I

0_{. Así poniendo cada}_x

i como 1·xi, se

tiene que xtiene una representación como sumas finitas de elementos de los

Ai. Por lo tanto, x∈ S i∈I

Ai #

.

SeanM un R-módulo izquierdo y{Ai |i∈ I}una familia de submódulos de

M. Definimos lasuma de los submódulosAi como P i∈I

Ai = (S i∈I

Ai].

(27)

1. N es submódulo máximo deM.

2. Para todom∈M \ {0}, sim /∈N, entoncesM =Rm+A.

Demostración

[1⇒ 2]

Sea m ∈ M \ {0} tal que m 6∈ A, entonces, A A +Rm, pero A es un submódulo máximo deM, en consecuencia,A+Rm=M.

[2⇒ 1]

Supongamos que existeB ≤M tal queA B, luego existem ∈B tal que

m6∈A. Notemos quem6= 0ya que0∈A, se sigue queA+Rm=M, pero

Rm≤ B yA B, entoncesM = Rm+A ≤B, de dondeM =B y por lo

tantoAes máximo.

Sea M un R-módulo izquierdo. SiM es finitamente generado, entonces todo submódulo propio deM está contenido en un submódulo máximo deM.

Demostración

Sea {m1, . . . , mt} ⊆ M un conjunto generador deM y sea N M.

Consi-deremosΦ ={A | N ≤A M}. Observemos queΦ6= _∅, pues N ∈ Φ. Es claro que(Φ,⊆) es un copo. Sea {Aj | j ∈ J} = Γ ⊆ Φuna cadena en Φ

y pongamos C = S j∈J

Aj. Por construcción, C es cota superior deΓ. Vamos

a demostrar que C ∈ Φ, es decir, N ≤ C M. Como N ≤ Aj para todo

j ∈ J, entonces N ⊆ C. Ahora, notemos que C ≤ M, pues si m1, m2 ∈ C

existen Aj1, Aj2 ∈ Γ tales que m1 ∈ Aj1 y m2 ∈ Aj2, luego, como Γ es una

cadena,m1+m2 ∈Aj1

S

Aj2 ⊆C. Por otro lado, seanr ∈Rym∈C. Como

m ∈ C, m = aj ∈ Aj para algún j ∈ J y como Aj ≤ M, rm ∈ Aj, de

donde, rm ∈ C. Por lo tanto, C ≤ M y N ≤ C. Luego, supongamos que

C = M, entonces {m1, . . . , mt} ⊆ C, en consecuencia, existe Aj ∈ Γ, tal

que {m1, . . . , mt} ⊆ Aj, se sigue queM = ({m1, . . . , mt}] ≤ Aj, de donde,

Aj =M, lo cual es una contradicción, pues Aj M. Por lo tanto,C ∈Γes

una cota superior deΓ. Así, por el Lema de Zorn, existeDelemento máximo enΦ. Finalmente, veamos queDes submódulo máximo de M. Sea LM

tal que D ≤ L, como N ≤ D, entonces N ≤ L M, lo cual implica que

(28)

L ∈ ΦyD ≤ L, en consecuenciaD =L. Por lo tanto, D es un submódulo

máximo deM que contiene aN.

Corolario 3.22.

SiM es unR-módulo izquierdo finitamente generado diferente de0, entonces

M admite un submódulo máximo.

Demostración

Aplicando la proposición anterior conN = 0 se sigue el resultado. Lema 3.23.

Sea M un R-módulo izquierdo. M es finitamente generado si y sólo si, para toda familia{Ai |i ∈I} de submódulos deM tal queM = P

i∈I

Ai, existe una subfamilia finita {Ai |i∈I0} ⊂ {Ai |i∈I}tal queM = P

i∈I0Ai.

Demostración

[⇒]

Supongamos queM es finitamente generado, entonces existeX ={x1, . . . , xn}

subconjunto de M, tal que (X] = M. Sea {Ai | i ∈ I}una familia de

sub-módulos de M tal queM = P i∈I

Ai, entonces, para cadaj ∈ {1, . . . , n}, existe

Ij ⊆I finito, tal que xj = P i∈Ij

aji, conaji ∈ Aji. SeaI0 = n S j=1

Ij. Es claro que

I0 es finito y además,M = (X]≤ P i∈I0Ai. [⇐]

La demostración se sigue inmediatamente deM = P m∈M

Rm. Definición 3.24.

SeaM unR-módulo izquierdo, diremos queM esfinitamente cogeneradosi para cada familia{Ai ≤ M | i∈ I} de submódulos deM, tal que T

i∈I

Ai = 0, existeI0 ⊆I finito, tal que T

i∈I0Ai = 0.

Proposición 3.25(Ley Modular).

Sean M un R-módulo izquierdo y A, B, C ≤ M tales que B ≤ C, entonces (A+B)∩C = (A∩C) + (B ∩C) = (A∩C) +B.

Demostración

(29)

Seac∈(A+B)∩C, entonces c∈C yc=a+b, para algunosa ∈Ayb ∈B. Luego,a=c−b ∈A y comoB ≤C,c−b∈C en consecuencia,a∈A∩Cy

b∈B. Por lo tanto a+b ∈(A∩C) +B.

[⊇]

Sea d ∈ (A∩C) +B, entonces d = a+b para algunos a ∈ A∩C yb ∈ B, y como B ≤ C, se tieneb ∈ C, luego a+b ∈ C y a+b ∈ A+B, es decir,

a+b∈(A+B)∩C. Definición 3.26.

Sean M un R-módulo izquierdo y{Ni}i∈I una familia de submódulos de M. Diremos que M es la suma directa interna de la familia {Bi}i∈I, lo cual denotaremos porM = L

i∈I

Bi, si se cumplen las siguientes dos condiciones 1. M = P

i∈I

Bi.

2. Para todai∈I,BiT P j∈I\{i}

Bj = 0.

1. Diremos que N1 ≤ M essumando directo de M si existe N2 ≤ M tal queM =N1LN2.

2. Diremos queM esinescindiblesi los únicos sumandos directos son 0y

M.

3. Diremos que M semisimple si todo submódulo de M es un sumando directo.

SeaM unR-módulo izquierdo yN ≤M. El conjunto M

N ={m+N |m∈M} es unR-módulo izquierdo con las siguientes operaciones.

1. Para todasm1, m2 ∈M,(m1+N) + (m1+N) = (m1+m2) +N. 2. Para todar ∈Ry todam ∈M,r(m+N) =rm+N.

Sean M un R-módulo izquierdo yN ≤M. Definimos el módulo cociente(o módulo factor) deM conN como M

N ={m+N |m∈M}.

(30)

Observación.

Sea R un anillo e I un ideal bilateral deR. Al igual que con los R-módulos, podemos construir el cociente R_I, de manera completamente análoga. En [3, Sección 3.2] el lector puede encontrar información sobre los morfismos de anillos y, en particular, sobre el epimorfismo canónico de anillosν : R R/I .

Lema 3.30.

SeanR un anillo eI un ideal bilateral deR.M es un(R/I)-módulo izquierdo si y sólo si,M es unR-módulo izquierdo tal queIM = 0.

Demostración

[⇒]

SeaM unR/I-módulo izquierdo, entonces existeρ:R/I −→End(M) repre-sentación deR/I. Consideremos el epimorfismo canónico de anillos

ν : R R/I y notemos queρν :R−→End(M), es una representación deR, asíM es unR-módulo. Además, observemos queKerν =I, en conse-cuencia, sir∈I,ν(r) = 0, de dondeρ(ν(r)) = 0, es decir, para todam∈M,

rm= 0. Por lo tanto IM = 0.

[⇐]

SeaM unR-módulo anulado porIy seanr1, r2 ∈Rtales quer1 ≡r2 m´od I,

entoncesr1−r2 ∈I. Luego, sim∈M,(r1 −r2)m = 0, es decir,r1m=r2m.

De modo que la ley de composición externa dada por (r+I)m =rm está

(31)

3.3 Morfismos de R-módulos

SeanM y N R-módulos izquierdos yf :M −→N una función. Diremos quef

es unmorfismo deR-módulos izquierdossi, para todas m1, m2 ∈M y todas

r1, r2 ∈R,f(r1m1+r2m2) =r1f(m1) +r2f(m2).

Observación.

Simétricamente se define el concepto de morfismo deR-módulos derechos.

Notación.

Sea f : M −→ N un morfismo de R-módulos izquierdos. Al referirnos a la imagen def, emplearemos sin distinción las notacionesImf yf[M]. SiA≤M,

f[A], denotará la imagen deAbajof. SiB ≤N,f−1[B]denotará la preimagen deB bajof.

Lema 3.32.

Sean M y N R-módulos izquierdos, A ≤ M, B ≤ N y f : M −→ N un morfismo deR-módulos izquierdos, entoncesf[A]≤N yf−1[B]≤M.

Seaf :M −→N un morfismo deR-módulos izquierdos. Definimos el kernel (o núcleo) de f comoKerf =f−1[0] ={x∈M |f(x) = 0}.

Observación.

Es muy sencillo verificar que la composición de morfismos deR-módulos izquier-dos es un morfismo deR-módulos izquierdos.

SeanM yN R-módulos izquierdos. Definimos los siguientes conjuntos:

HomR(M, N)={f :M →N |fes morfismo deR-módulos izquierdos}.

EndR(M)={f :M →M |fes morfismo deR-módulos izquierdos}.

(32)

Observación.

Simétricamente, si M es un R-módulo derecho, podemos definir el conjunto EndR(M) = {f : M → M | fes morfismo deR-módulos derechos}. En cual-quier caso,(End(M),+,◦)es un anillo no conmutativo con uno.

Seaf :M −→N un morfismo de R-módulos izquierdos.

1. Diremos quef es unmonomorfismosi se puede cancelar por la izquierda, es decir, para todog1, g2 ∈HomR(A, M),f g1 =f g2 implica queg1 =g2. 2. Diremos quef es unepimorfismosi se puede cancelar por la derecha, es

decir, para todog1, g2 ∈HomR(N, C),g1f =g2f implica queg1 =g2. 3. Diremos quef es unbimorfismosi es monomorfismo y epimorfismo. 4. Diremos que f es un isomorfismo si es invertible, es decir, existe g ∈

HomR(N, M)tal quegf = 1M yf g = 1N.

Teorema 3.36.

Seaf un morfismo deR-módulos izquierdos, entonces: 1. f es monomorfismo si y sólo si, es inyectiva. 2. f es epimorfismo si y sólo si, es suprayectiva.

3. f es isomorfismo si y sólo si, es biyectiva, si y sólo si, es bimorfismo.

Demostración

Ver [3, Teorema 3.1.5].

Notación.

Seaf :M −→N un morfismo de R-módulos izquierdos. Sif es monomorfismo, escribiremosf: M N . Sif es epimorfismo, escribiremos f: M N . Sif es isomorfismo, escribiremos f: M N .

SeanM yN R-módulos izquierdos. Diremos queM y N sonisomorfos(o que

(33)

Observación.

La relación de ser isomorfo “∼=” es una relación de equivalencia en la clase de todos losR-módulos izquierdosR-M od.

Lema 3.38.

Seaf :M −→N un morfismo deR-módulos izquierdos, entonces: 1. f es monomorfismo si y sólo siKerf = 0.

2. SiA ≤M, entoncesf−1[f[A]] = A+ Kerf. 3. SiB ≤N, entoncesf[f−1[B]] =B∩Imf. Además, sig :N −→M0, entonces:

1. Kergf =f−1[Kerg]. 2. Imgf =g[Imf].

Demostración

Ver [3, Lema 3.1.8].

Seanf :M −→N yg :N −→Lmorfismos deR-módulos izquierdos. 1. Sif yg son monomorfismos, gf es monomorfismo.

2. Sif yg son epimorfismos,gf es epimorfismo. 3. Sif yg son isomorfismos, gf es isomorfismo. 4. Sigf es monomorfismo,f es monomorfismo. 5. Sigf es epimorfismo,g es epimorfismo.

Sean M un R-módulo izquierdo yN ≤M. Al epimorfismov : M M_N

definido porm7−→m+N le llamaremosepimorfismo canónico.

Teorema 3.41. [Primer Teorema de Isomorfismos]

Si f : M −→ N un morfismo de R-módulos izquierdos, entonces existe un monomorfismofˆ: _KerM_f N tal quef = ˆf v, es decir, tenemos el siguiente triángulo conmutativo.

(34)

M

N

M

Kerf

f

v

ˆ f

Más aún, fˆes isomorfismo si y sólo sif es epimorfismo.

Demostración

Consideremosfˆ: _KerM_f −→N definida porfˆ(m+ Kerf) =f(m).

(i)Veamos quefˆes función.

Seanm1, m2 ∈ M tales que m1 + Kerf =m2+ Kerf, entoncesm1 −m2 ∈ Kerf es decir, existex∈Kerf tal quem1−m2 =x, de dondem1 =m2+x.

En consecuencia fˆ(m1+ Kerf) = f(m1) = f(m2 +x) = f(m2) + f(x) =

f(m2) + 0 = ˆf(m2+ Kerf).

(ii)Veamos quefˆes un morfismo deR-módulos.

Seanm1, m2 ∈M yr1, r2 ∈R, entoncesfˆ((r1m1+ Kerf) + (r2m2+ Kerf)) = ˆ

f((r1m1+r2m2) + Kerf) =f(r1m1+r2m2) =∗. Pero f es morfismo de R

-módulos, de donde∗=r1f(m1)+r2f(m2) = r1fˆ(m1+ Kerf)+r2fˆ(m2 + Kerf).

(iii)Veamos quefˆes monomorfismo.

Sean m1, m2 ∈ M tales que fˆ(m1+ Kerf) = ˆf(m2+ Kerf), entonces, ˆ

f(m1+ Kerf)−fˆ(m2+ Kerf) = 0, de donde, fˆ((m1−m2) + Kerf) = 0.

En consecuencia, f(m1 −m2) = 0, es decir, m1 −m2 ∈ Kerf. Por lo tanto,

m1+ Kerf =m2+ Kerf.

(iv)Veamos quef = ˆf v.

Sim∈M, entoncesv(m) =m+Kerf, de donde,fˆ(v(m)) = ˆf(m+ Kerf) =

f(m).

Finalmente, observemos quefˆes isomorfismo si y sólo si,Imf = Im ˆf =N,

(35)

Teorema 3.42. [Tercer Teorema de Isomorfismos] SeaAunR-módulo izquierdo y C ≤B ≤A, entonces, A

B ∼= (A/C)/(B/C).

Demostración

Consideremos los epimorfismos canónicosv1 : A A_C y

v2 : A_C (A/C)/(B/C) . Luego, por laProposición 3.39,v2v1 también

es epimorfismo. Así, por el Primer Teorema de Isomorfismos, A Kerv2v1

∼

=

(A/C)/(B/C). Después, por elLema 3.38,Kerv2v1 =v−11 [Kerv2] =v1−1 h

B C i

=

v₁−1[v1[B]] =B+ Kerv1 =B +C =B.

Lema 3.43.

Sean f : A −→ B, g : B −→ M y h : A −→ M morfismos de R-módulos izquierdos tales que el siguiente triángulo es conmutativo.

A

B

M

h

f

g

Es decir,h=gf, entonces,Imf + Kerg =g−1[Imh]yImf ∩Kerg =f[Kerh].

Demostración

(i)Veamos queImf + Kerg =g−1[Imh].

Como h = gf, entonces Imh = Imgf = g[Imf], de donde g−1[Imh] =

g−1[g[Imf]] = Imf+ Kerg.

(i)Veamos queImf ∩Kerg =f[Kerh].

Como h = gf, entonces Kerh = Kergf = f−1[Kerg], de donde f[Kerh] =

f[f−1[Kerg]] = Imf∩Kerg.

(36)

Corolario 3.44.

Sean f : A −→ B, g : B −→ M y h : A −→ M morfismos de R-módulos izquierdos tales queh =gf.

1. Sihes epimorfismo, entoncesImf + Kerg =B. 2. Sihes monomorfismo, entoncesImf∩Kerg = 0. 3. Sihes isomorfismo, entoncesB = Imf ⊕Kerg.

Demostración

Se sigue del lema anterior.

Seaf :M −→N un morfismo de R-módulos izquierdos.

Sifes un monomorfismo, diremos quefseescindesiImfes un sumando directo deN.

Sif es un epimorfismo, diremos quef seescindesiKerf es un sumando directo deM.

Lema 3.46.

Seanf :A−→B un monomorfismo deR-módulos yg :B −→C un epimorfis-mo deR-módulos.

1. f se escinde si y sólo si, es invertible a izquierda. 2. g se escinde si y sólo si, es invertible a derecha.

Demostración

(37)

3.4 Sucesiones Exactas Cortas

Sea n ≥ 3 un número natural. Sean M1, . . . , Mn R-módulos izquierdos y

fi : Mi −→ Mi+1 morfismos. Consideremos la sucesiónC : M1 f1

−→ M2

f2

−→

· · ·fn−→−1 Mn. Diremos que la sucesiónCesexactasi, para todai∈ {2, . . . , n−1}, Imfi−1 = Kerfi.

Observación.

Es sencillo comprobar que, sif : 0−→M es un morfismo deR-módulos, enton-cesImf = 0. Simétricamente, sif : M −→ 0, es un morfismo deR-módulos, entonces Kerf = M . En virtud de lo anterior, si el dominio o codominio de alguno de los morfismos de una sucesión exacta es el modulo cero, no etiqueta-remos el morfismo.

Diremos que una sucesión exacta C es una sucesión exacta corta si es de la formaC : 0−→M1

ϕ

−→M2 ψ

−→M3 −→0.

Diremos que una sucesión exacta corta es deltipo C1 si es de la forma

0−→Kerf −→i M −→f Imf −→0, dondef :M −→N es un morfismo deR-módulos.

Diremos que una sucesión exacta corta es deltipo C2 si es de la forma

0−→N −→i M −→v M

N −→0, donde M es unR-módulo yN ≤M.

Lema 3.50.

Toda sucesión exacta corta es, hasta isomorfismo, del tipoC1 y del tipoC2.

Demostración

SeaC : 0−→M1 ϕ

−→M2 ψ

−→M3 −→0una sucesión exacta corta.

(1)

Por la observación a laDefinición 3.47,M3 = Imψ, es decir,ψes epimorfismo.

Simétricamente,0 = Kerϕ, es decir,ϕes monomorfismo, de donde,M1 ∼=

(38)

Imϕ, peroImϕ= Kerψ, en consecuencia,Kerψ ∼=M1. De modo que, hasta

isomorfismo,C es del tipoC1.

(2)

Sea N = Kerψ ≤M2. Por el Primer Teorema de Isomorfismos, Imψ ∼= M_N2,

de modo queC también puede ser considerada, hasta isomorfismo, como del

(39)

3.5 Productos y Coproductos

Sea{Aλ |λ∈Λ}una familia no vacía de conjuntos no vacíos y consideremos

su producto cartesiano Q λ∈Λ

Aλ = {f : Λ → S λ∈Λ

Aλ | ∀λ ∈ Λ, f(λ) ∈ Aλ}, el

cual, por el Axioma de Elección, es no vacío.

Notación.

Sean f ∈ Q λ∈Λ

Aλ y γ ∈ Λ. Diremos que f(γ) = aγ ∈ Aγ es la γ-ésima componentedef. Además adoptaremos la notaciónf = (aλ).

Sea {Mλ | λ ∈ Λ} una familia de R-módulos izquierdos y consideremos el conjunto producto cartesiano Q

λ∈Λ

Mλ ={f : Λ→ S λ∈Λ

Mλ | ∀λ∈Λ, f(λ)∈Mλ} junto con las operaciones definidas a continuación:

Si(aλ),(bλ)∈ Q λ∈Λ

Mλ, entonces(aλ) + (bλ) = (aλ+bλ). Sir ∈Ry(aλ)∈ Q

λ∈Λ

Mλ, entoncesr·(aλ) = (r·aλ). Entonces Q

λ∈Λ

Mλ,+,· !

es unR-módulo izquierdo.

Sea{Mλ |λ ∈Λ}una familia deR-módulos izquierdos. Diremos que Q λ∈Λ

Mλ es elmódulo producto directode la familia{Mλ |λ ∈Λ}.

Sean {Mλ | λ ∈ Λ} una familia de R−módulos izquierdos y f ∈ Q λ∈Λ

Mλ. Definimos elsoporte def comoSop(f) ={λ ∈Λ|f(λ)6= 0}.

Sean {Mλ | λ ∈ Λ} una familia de R−módulos izquierdos y consideremos `

λ∈Λ

Mλ ={f ∈ Q λ∈Λ

Mλ |Sop(f)es finito}, entonces ` λ∈Λ

Mλ ≤ Q λ∈Λ

Mλ.

Demostración

(i)Primero, notemos que Sop [(0)] =_∅y_∅es finito, entonces0∈ ` λ∈Λ

Mλ.

(40)

(ii)Sean(aλ),(bλ)∈ ` λ∈Λ

Mλ, entoncesSop [(aλ)]ySop [(bλ)]son finitos.

Lue-go, de la definición de la suma en el producto directo, tenemos la igualdad

Sop [(aλ) + (bλ)] = Sop [(aλ+bλ)] = {λ ∈ Λ | aλ+bλ 6= 0}. Afirmamos que Sop [(aλ+bλ)] ⊆ Sop [(aλ)]∪Sop [(bλ)]. En efecto, siγ ∈ Sop [(aλ+bλ)],

en-toncesaγ+bγ 6= 0, de dondeaγ 6= 0óbγ 6= 0, así,γ ∈Sop [(aλ)]∪Sop [(bλ)].

Además, como la unión de conjuntos finitos es un conjunto finito,Sop [(aλ)]∪ Sop [(bλ)]es finito. Por lo tanto(aλ) + (bλ)∈ `

λ∈Λ

Mλ.

(iii)Seanr ∈Ry(aλ)∈ ` λ∈Λ

Mλ. Afirmamos queSop [(raλ)]⊆Sop [(aλ)]. En

efecto, siγ ∈Sop [(raλ)], entoncesraγ 6= 0, de dondeaγ 6= 0, en consecuencia,

γ ∈Sop [(aλ)]. Así, como Sop [(aλ)]es finito,Sop [(raλ)]también lo es. Por lo

tanto,r(aλ)∈ ` λ∈Λ

Mλ.

Sea{Mλ |λ∈Λ}una familia deR-módulos izquierdos. Diremos que L λ∈Λ

Mλ = `

λ∈Λ

Mλ ≤ Q λ∈Λ

Mλ es la Suma Directa Externa(o coproducto) de la familia

{Mλ |λ ∈Λ}.

Observación.

SiΛes finito, ` λ∈Λ

Mλ = Q λ∈Λ

Mλ.

Sean{Mλ | λ ∈Λ} una familia deR-módulos izquierdos yγ ∈ Λ. Definimos los siguientes morfismos:

1. El morfismo πγ : Q λ∈Λ

Mλ −→ Mγ, dado por (aλ) 7−→ aγ es llamado proyección sobre laγ-ésima componente.

2. El morfismoιγ :Mγ −→`λ∈ΛMλ, dado poraγ 7−→(¯aγ), donde

(¯aγ)(λ) =     

aγ, siλ=γ 0 siλ6=γ

es llamadoinclusión de laγ-ésima componente en el coproducto.

3. El morfismoˆι: ` λ∈Λ

Mλ −→ Q λ∈Λ

(41)

Lema 3.57.

Sean{Mλ |λ∈Λ}una familia deR-módulos izquierdos yγ, δ∈Λ, entonces 1. πγ yπγ·ˆιson epimorfismos.

2. ιγ yˆι·ιγ son monomorfismos. 3. πδ·ˆι·ιγ =

    

1Mγ, siδ=γ 0 siδ6=γ

Teorema 3.58.

Sea {Mλ | λ ∈ Λ} una familia de R-módulos izquierdos, entonces ` λ∈Λ

Mλ = L

λ∈Λ

M_λ0, donde, para toda λ ∈ Λ, M_λ0 es un submódulo de ` λ∈Λ

Mλ tal que

M_λ0 ∼=Mλ. Es decir, la suma directa externa de una familia deR-módulos, no es más que una suma directa interna de copias de los elementos de la familia.

Demostración

Sea γ ∈ Λ, como ιγ es un monomorfismo, Mγ0 = ιγ[Mγ] es una copia de

Mγ, tal queMγ0 ≤ ` λ∈Λ

Mλ, en consecuencia, P λ∈Λ

M_λ0 ≤ ` λ∈Λ

Mλ. Ahora veamos

que ` λ∈Λ

Mλ ⊆ P λ∈Λ

M_λ0. Sea0 6= (aλ) ∈ ` λ∈Λ

Mλ, entonces Sop [(aλ)] es finito,

digamosSop [(aλ)] ={λ1, . . . , λn}. Así, en la notación de laDefinición 3.56,

tenemos que(aλ) = (¯aλ1) +· · ·+ (¯aλn) =ιλ1(aλ1) +· · ·+ιλn(aλn)∈

P λ∈Λ

M_λ0. Por lo tanto, `

λ∈Λ

Mλ = P λ∈Λ

M_λ0. Finalmente, veamos que la suma es directa. Sea(aλ)∈Mδ0

T P

λ∈Λ\{δ}

M_λ0, entonces(aλ) = (¯aδ)y(aλ) = (¯aλ1) +· · ·+ (¯aλn),

donde, para todoi∈ {1, . . . , n},λi 6=δ, en consecuencia,¯aλ1 =· · ·= ¯aλn = 0

y así(aλ) = 0. Por lo tanto, ` λ∈Λ

Mλ = L λ∈Λ

M_λ0.

Observación.

El teorema anterior justifica el por qué le llamamos “suma directa externa” al coproducto.

(42)

Teorema 3.59. [Propiedad Universal del Producto]

Si{Mλ |λ ∈Λ}es una familia deR-módulos izquierdos, entonces, el producto directo Q

λ∈Λ

Mλ tiene la siguiente propiedad universal: Para todo R-módulo izquierdoN y para toda familia de morfismos{fλ :N −→Mλ |λ∈Λ}, existe un único morfismo f : N −→ Q

λ∈Λ

Mλ tal que, para toda λ ∈ Λ, el siguiente diagrama conmuta:

N

M

λ

Q

λ∈Λ

M

λ

fλ

f

πλ

Demostración

Sean N un R-módulo izquierdo y {fλ : N → Mλ | λ ∈ Λ} una familia de

morfismos.

[Existencia]

Consideremos f : N −→ Q λ∈Λ

Mλ definida por x 7−→ (fλ(x)). Veamos que

f es una función. Sean x1, x2 ∈ N tales que x1 = x2, entonces, para toda

λ∈Λ,fλ(x1) =fλ(x2), de donde(fλ(x1)) = (fλ(x2)), es decirf(x1) =f(x2).

Ahora, veamos que es morfismo de R-módulos. Sean r1, r2 ∈ R y x1, x2 ∈

N, entonces f(r1x1+r2x2) = (fλ(r1x1 +r2x2)) = (r1fλ(x1) +r2fλ(x2)) =

r1(fλ(x1)) +r2(fλ(x2)) = r1f(x1) +r2f(x2). Luego, veamos que πλf =fλ.

Seanλ ∈Λ yx∈N, entonces(πλf) (x) = πλ(f(x)) =πλ(fλ(x)) =fλ(x).

[Unicidad]

Supongamos que existe otro morfismo g : N −→ Q λ∈Λ

Mλ tal que, para

toda λ ∈ Λ, πλg = fλ. Sea x ∈ N, entonces g(x) = (xλ) ∈ Q λ∈Λ

Mλ, así

(43)

Teorema 3.60. [Propiedad Universal del Coproducto]

Si{Mλ |λ∈Λ}es una familia deR-módulos izquierdos, entonces, el coproducto `

λ∈Λ

Mλ tiene la siguiente propiedad universal: Para todoR-módulo izquierdoN y para toda familia de morfismos{fλ :Mλ −→N}, existe un único morfismo

f : ` λ∈Λ

Mλ −→N tal que, para todaλ∈Λ, el siguiente diagrama conmuta:

N

M

λ

`

λ∈Λ

M

λ ιλ fλ f Demostración

La demostración es dual a la del teorema anterior considerando el morfismo

f : ` λ∈Λ

Mλ −→N, definido por(aλ)7−→ P γ∈Sop[(aλ)]

fγ(aγ).

Sean{Mi |i∈I},{Ni |i∈I}familias deR-módulos izquierdos y{fi :Mi →

Ni |i∈I}una familia de morfismos. Definimos los siguientes morfismos: 1. Q

i∈I

fi : Q i∈I

Mi −→ Q i∈I

Ni, dado por(ai)7−→(fi(ai))es llamadoMorfismo Producto Directo.

2. L i∈I

fi : L i∈I

Mi −→ L i∈I

Ni, dado por(ai)7−→(fi(ai)), es llamadoMorfismo Suma Directa.

Sean{Mi |i∈I},{Ni |i∈I}familias deR-módulos izquierdos y{fi :Mi →

Ni |i∈I}una familia de morfismos, entonces: 1. Q

i∈I

fi es monomorfismo si y sólo si, L i∈I

fi es monomorfismo, si y sólo si, para todai∈I,fi es monomorfismo.

(44)

2. Q i∈I

fi es epimorfismo si y sólo si, L i∈I

fi es epimorfismo, si y sólo si, para todai∈I,fi es epimorfismo.

3. Q i∈I

fi es isomorfismo si y sólo si, L i∈I

fi es isomorfismo, si y sólo si, para todai∈I,fi es isomorfismo.

Demostración