Notas variable compleja Prof Yoel

DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES SECCI ´ON DE MATEM ´ATICA

NOTAS DE VARIABLE COMPLEJA Version 2010-I.1

Prof. Yoel Monsalve

He escrito estas notas con el prop´osito de que puedan ser utilizadas como referencia por los alumnos del Curso de Matem´atica IV, de acuerdo al programa de estudios de la UNEXPO. Asimismo, he tenido la intenci´on de elaborar un material de una f´acil y c´omoda lectura, y que no obstante pueda abarcar el temario que se pretende explicar.

Presentaremos aqu´ı un nuevo conjunto num´erico, que ampl´ıa al de los ya existentes de los n´umeros naturales, los n´umeros enteros y los n´umeros reales. Es decir, vamos a presentar un conjunto num´erico m´as amplio que estos anteriores.

Uno de los prop´ositos perseguidos hist´oricamente con los llamados “n´umeros complejos”, es poder definir un conjunto que contenga un elemento o n´umero con la propiedad de que al ser multiplicado por s´ı mismo, se obtenga como resultado ₋1. Es decir, un n´umero cuyo cuadrado sea ₋1, por lo que este n´umero es, de cierta forma, una ra´ız cuadrada de ₋1. Con esto, dicho conjunto proporciona una soluci´on al hist´orico y antiguo problema dedefinir las ra´ıces cuadradas de n´umeros negativos.

Un conjunto osistemanum´erico consiste b´asicamente de un conjunto de elementos, llamados n´umeros, y una serie deoperaciones, definidas en este conjunto y para estos n´umeros. Por ejem-plo, en el sistema de n´umeros reales, se definen las operaciones de suma y multiplicaci´on, y con base en ´estas, se definen luego la resta, la divisi´on, y posteriormente las ra´ıces, los logaritmos, etc.

Para el sistema de n´umeros complejos, vamos a empezar definiendo, en primer lugar, cu´ales son sus elementos, es decir, cu´ales son los as´ı llamados n´umeros complejos. Luego, definiremos la suma y la multiplicaci´on de n´umeros complejos, y veremos c´omo, en base a ´estas, se pueden definir la resta y la divisi´on. Seguidamente demostraremos que, bajo la operaci´on de multipli-caci´onas´ı definida, existe un n´umero — denotado comoi, y llamado unidad imaginaria— con la propiedad de que su cuadrado es igual a₋1.

1.

El sistema de numeros complejos

El sistema de n´umeros complejos¡C,+,_·¢consiste en el conjunto de todos los pares ordenados de n´umeros reales:

junto con dos operaciones, llamadassuma (+) ymultiplicaci´on(_·).

Parte real y parte imaginaria. Dado un complejo:

z= (x, y)

el n´umerox se llamala parte real de z, denotada:

x= Re_{z_}

y el n´umeroy se llama la parte imaginariade z, denotada:

y= Im_{z_}

Hay que notar que, pese al nombre, tantox como y son, en s´ı mismos, n´umeros reales.

Ejemplo 1. Sea el complejo (2,₋3). Su parte real es:

Re_{(2,₋3)_}= 2

y su parte imaginaria es:

Im_{(2,₋3)_}=₋3

Y es de hacer notar que, tanto su parte real, como su parte imaginaria, son n´umeros reales: la parte real es el n´umero (real) 2, y la parte imaginaria es el n´umero (real)₋3.

N´umero real puro, y n´umero imaginario puro. Al n´umero complejo cuya parte imaginaria sea cero, se le llamar´a a veces n´umero real puro. As´ı por ejemplo, el complejo (₋7,0) se dice que es real puro.

Del mismo modo, al complejo cuya parte real sea cero, se le llamar´a a veces n´umero imag-inario puro. As´ı por ejemplo, el complejo (0,5) se dice que es imaginario puro.

Representaci´on gr´afica de un n´umero complejo. La representaci´on gr´afica de un n´umero complejo se realiza como la de un punto normal de coordenadas (x, y) en el denominado plano complejo, que no es m´as que el mismo plano cartesiano, pero denominando al eje de abscisas comoeje real, y al eje de ordenadas comoeje imaginario.

Figura 1.1.1: Representaci´on gr´afica del n´umeroz=x+iy en el plano complejo.

Las operaciones de suma (oadici´on) y multiplicaci´on (oproducto) de complejos se definen me-diante:

SUMA. Dados dos complejos:

z1= (x1,y1), z2 = (x2,y2)

la suma dez yw es el complejo:

z1 + z2 = (x1+x2, y1+y2)

MULTIPLICACI ´ON. Dados dos complejos:

z1= (x1,y1), z2 = (x2,y2)

el producto dez yw es el complejo:

z1z2 = (x1x2−y1y2, x1y2+y1x2)

es decir, de acuerdo con la siguiente regla mnemot´ecnica (que ayuda a su memorizaci´on):

( 1◦₁◦ _{− 2}◦₂◦_{, 1}◦₂◦ _{+ 2}◦₁◦ ₎

Ejemplo 2. Dados:

z1 = (2,3), z2 = (−1,4)

Soluci´on. Aplicando la definici´on:

z1+z2 = (2,3) + (−1,4) = (2−1, 3 + 4) = (1,7)

z2+z1 = (−1,4) + (2,3) = (−1 + 2, 4 + 3) = (1,7)

¡ de modo quez1+z2 =z2+z1!. Por otra parte:

z1z2 = (2,3)·(−1,4) = ¡(2)(−1)−(3)(4), (2)(4) + (3)(−1)¢ = (−2−12,8−3) = (−14,5)

y:

z2z1 = (−1,4)·(2,3) = ¡(−1)(2)−(4)(3), (−1)(3) + (4)(2)¢ = (−2−12,−3 + 8) = (−14,5)

¡ de modo quez1z2 =z2z1!.

2.

Propiedades de las operaciones en

C

Las operaciones de suma y multiplicaci´on en el conjunto de los n´umeros complejos obedecen a ciertas propiedades (conmutatividad, asociatividad, etc), que enumeraremos a continuaci´on.

Propiedades de la SUMA de n´umeros complejos.

1. Conmutatividad: z1+z2 =z2+z1, para cualesquiera z1, z2 ∈C.

En efecto, esto es f´acil de probar. Sean

z1 = (x1, y1), z2= (x2, y2)

entonces:

z1+z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+x2, y1+y2)

mientras que:

z2+z1 = (x2, y2) + (x1, y1) = (x2+x1, y2+y1)

pero como — en virtud de la propiedad conmutativa de los n´umeros reales— se tiene quex1+x2 =x2+x1, y tambi´eny1+y2 =y2+y1, se concluye quez1+z2 = z2+z1.

2. Asociatividad: ¡z1+z2¢+z3 = z1+¡z2+z3¢, para cualesquiera z1, z2, z3 ∈C.

3. Existencia de elemento neutro: El par complejo (0,0) se denomina neutro adi-tivo porque al ser sumado con cualquier n´umero complejo, el resultado es este mismo n´umero. En efecto:

(x, y) + (0,0) = (x, y)

para todo (x, y) _∈ C. Es decir, el par (0,0) es el elemento neutro de la suma, tambi´en llamado el cero complejo. Indicaremos a veces este n´umero como 0 (en negrilla para indicar que es un par complejo, y no el cero real ordinario).

4. Existencia de elemento opuesto: Elopuesto aditivo(o simplemente opuesto) de un n´umero complejoz, es cierto n´umero denotado como₋z, tal que al ser sumados estos dos, el resultado sea el elemento neutro — o cero — definido en el punto anterior.

Para entender esto mejor, vamos a explicarlo primero en el caso de los reales, y luego pasemos al caso complejo. En el caso de los reales, por ejemplo, el opuesto aditivo del n´umero 3 es el n´umero₋3, ya que la suma de estos dos n´umeros es el cero real:

3 + (₋3) = 0

y al mismo tiempo, el opuesto de₋3 es 3 (porque (₋3) + 3 = 0), es decir,el opuesto, del opuesto de 3, es nuevamente 3.

Debemos notar que el cero es el ´unico n´umero que es su propio opuesto, y que el opuesto de un n´umero dado es ´unico (esto es, un n´umero no puede tener dos opuestos aditivos distintos).

En el caso complejo, dado un n´umero cualquiera z= (x, y), su opuesto aditivo ser´a un n´umero₋zcon la propiedad de que al ser sumado conz, el resultado sea el cerocomplejo, es decir:

z + (₋z) = 0

Siz= (x, y), entonces su opuesto es ₋z= (₋x,₋y), ya que se verifica la propiedad:

z + (₋z) = (x, y) + (₋x,₋y) = ¡x+ (₋x), y+ (₋y)¢ = (0,0)

De este modo, el opuesto del complejo (2,3) es (₋2,₋3), el opuesto de (1,₋5) es (₋1,5), etc.

Debemos notar que el cero complejo 0 = (0,0), es el ´unico n´umero que es su propio opuesto. Adem´as, es cierto tambi´en en los complejos, queel opuesto, del opuesto, de un n´umeroz, es otra vez z:

−(₋z) = z .

Propiedades de la MULTIPLICACI ´ON de n´umeros complejos.

En efecto, esto es f´acil de probar. Sean

z1 = (x1, y1), z2= (x2, y2)

entonces:

z1·z2 = (x1, y1) · (x2, y2) = (x1x2−y1y2, x1y2+y1x2)

mientras que:

z2·z1 = (x2, y2) · (x1, y1) = (x2x1−y2y1, x2y1+y2x1)

pero como x1x2 =x2x1, y1y2 =y2y1, . . . etc, se sigue que:

z1·z2 =z2·z1

2. Asociatividad: ¡z1·z2 ¢

·z3 = z1· ¡

z2·z3 ¢

, para cualesquiera z1, z2, z3 ∈C.

Esta propiedad se demuestra definiendo z1 = (x1, y1), z2(x2, y2), z3 = (x3, y3), y

desarrollando por separado las expresiones ¡z1·z2 ¢

·z3 y z1· ¡

z2·z3 ¢

, para evidenciar que son iguales. Es un procedimiento te´oricamente sencillo, pero tedioso, por lo que no lo vamos a hacer aqu´ı. Se puede dejar como ejercicio para el estudiante interesado.

3. Existencia de elemento neutro: La multiplicaci´on — al igual que la suma — admite un elemento neutro. Pero al ser la multiplicaci´on una operaci´on distinta de la adici´on, los elementos neutros de ´estas dos no son iguales.

En el caso de la operaci´on de multiplicaci´on, el neutro ha de ser un n´umero, llamado elemento unidady que denotaremos como 1, con la propiedad de que al ser multipli-cado por cualquier complejo z, el resultado sea el mismo n´umero z, es decir 1_·z =z. Este n´umero es el par complejo (1,0), puesto que si z= (x, y), entonces de acuerdo con ladefinici´on de multiplicaci´onantes dada:

(1,0)_·(x, y) = ( 1_·x ₋ 0_·y, 1_·y + 0_·x ) = (x, y)

De este modo, el par (1,0) se denominaneutro multiplicativoen los n´umeros comple-jos.

4. Existencia de elemento inverso: En la operaci´on de multiplicaci´on, el elemento in-verso viene a representar lo que el opuesto es para la operaci´on de adici´on.

Dado un complejo z distinto de cero, su inverso multiplicativo — denotado como z−1_{, o 1/z — es cierto n´umero con la propiedad de que:}

z_·z−1 = 1 = (1,0)

Ahora, ante todo resaltemos que no puede existir el inverso multiplicativo del complejo cero, ya que de ser as´ı, obtendr´ıamos una contradicci´on. En efecto, siz=0es el complejo nulo, y este tuviera un inversow, entonces, precisamente por ser z=0, el producto zw ser´ıa igual a 0, y no a 1. Debido a esto es que s´olo existe el inverso multiplicativo para los complejos distintos al cero.

Ahora bien, si z = (x, y), es un complejo no nulo, la f´ormula para determinar z−1 _es

la siguiente:

z−1 =

µ

x x2_+y2,−

y x2_+y2

¶

En efecto, este es el inverso dez, pues:

z_·z−1 _{= (x, y)·} µ

x x2_+y2,−

y x2_+y2

¶

=

µ

x2

x2_+y2 +

y2

x2_+y2, −

xy x2_+y2 +

yx x2_+y2

¶

=

µ

x2+y2 x2_+y2 ,

−xy+yx x2_+y2

¶

= (1,0)

Ejemplo 3. Vamos a calcular el inverso del n´umeroz= (4,₋3), y luego vamos a verificar

quez_·z−1 _{= (1,0), como es lo esperado. De acuerdo con la f´ormula antes dada para el inverso,}

tenemos:

z−1 _{= (4,−3)}−1 ₌ µ

4

42_{+ (−3)}2, −

(₋3) 42_{+ (−3)}2

¶ = µ 4 25, 3 25 ¶

y ahora efectuando el producto dez por z−1_{, para verificar que se obtiene el complejo unidad}

z_·z−1 _{= (4,−3)·} µ

4 25,

3 25

¶

=

µ

16 25+

9 25,

12 25 −

12 25

¶

=

µ

25 25, 0

¶

= (1,0)

Existen asimismo, algunas propiedades que resultan de la combinaci´on de la operaci´on de adici´on con la multiplicaci´on de complejos, por ejemplo, lasleyes distributivas:

i) z1·(z2+z3) = z1·z2 + z1·z3

ii) (z1+z2)·z3 = z1·z3 + z2·z3

3.

Elementos b´

asicos del sistema de n´

umeros complejos

Presentemos ahora un conjunto de definiciones y propiedades b´asicas que tienen lugar en el sistema de n´umeros complejos.

Resta y divisi´on de n´umeros complejos. Dados dos complejos z1,z2, laresta dez1

menosz2 (simbolizada z1−z2) , se define como la suma dez1 con el opuesto aditivo de z2. De

esta manera, si z1= (x1, y1), y z2 = (x2, y2), entonces:

z1−z2 = z1+ (−z2) = (x1, y1) + (−x2,−y2) = (x1−x2, y1−y2)

Por otra parte, siz2 6=0, la divisi´on de z1 entre z2 (simbolizada como z1/z2) se define como

la multiplicaci´on de z1 por el inverso multiplicativo de z2. De este modo, si z1 = (x1, y1), y

z2 = (x2, y2), entonces:

z1

z2

= z1·z2−1 = (x1, y1) · µ

x2

x22+y22

, ₋ y2 x22+y22

¶

Ejemplo 1. Vamos a dividir el complejoz1= (1−,3) entrez2 = (2,−5). Para ello, primero

calculamos el inverso o rec´ıproco dez2:

z2−1 = (2,−5)−1 = µ

2 4 + 25,

5 4 + 25

¶

=

µ

2 29,

5 29

¶

ahora efectuando el producto dez1 por el inverso de z2:

z1

z2

= z1·z2−2 = (−1,3)· µ

2 29,

5 29

¶

=

µ

−₂₉2 −15₂₉, ₋5 29 +

6 29

¶

=

µ

−17₂₉, 1 29

¶

Ejercicio. (a) Dividir (2,₋4) entre (1,6). Resp. (₋22/37,₋16/37)

(b) Dividir (₋2,3) entre (1,5). Resp. (1/2,1/2)

Potencias enteras de n´umeros complejos. La potencia de n´umeros complejos con exponente entero, se puede definir en t´erminos de la multiplicaci´on y el rec´ıproco. Si n es un enteropositivo, entonces zn queda definido como:

zn = z_·z . . . z

| {z }

nveces

Mientras que la potencia entera negativaz−m _{se define como el rec´ıproco dez}m_:

z−m ₌ ¡_zm¢−1

= 1

z_·z . . . z

| {z }

Ejemplo 2. Calculemos (1,2)2_:

(1,2)2 = (1,2)_·(1,2) = ( 1₋4, 2 + 2 ) = (₋3,4).

Ejemplo 3. Para calcular (1,2)3, primero notamos que:

(1,2)3 = (1,2)2_·(1,2)

y usando el valor de (1,2)2 _{que se obtuvo en el ejemplo anterior:}

(1,2)3 = (1,2)2_·(1,2) = (₋3,4)_·(1,2) = (₋3₋8, ₋6 + 4 ) = (₋11,₋2) .

Ejemplo 4. Para calcular (2,₋1)−3_{, primero hallamos el valor de (3,−1)}3_{. Repitiendo las}

ideas del ejemplo anterior, podemos obtener:

(2,₋1)3 = (2,₋11)

por lo cual:

(2,₋1)−3 = (2,₋11)−1 =

µ

2 125,

11 125

¶

.

Conjugado complejo. Dado un complejo z = (x, y), su conjugado de z es el n´umero obtenido al invertir el signo de su parte imaginaria. Es decir, el conjugado dez — denotadoz, ´oz∗ _{— es:}

z = z∗ = (x,₋y)

Por ejemplo, el conjugado de (₋1,4) es (₋1,₋4), el conjugado de (4,7) es (4,₋7), . . . etc.

M´odulo de un n´umero complejo. Dado un complejo z = (x, y), el m´odulo de este n´umero — denotado _|z_| — es la distancia que geom´etricamente existe en el plano complejo entre el punto (x, y) y el origen, es decir:

|z_| = _|(x, y)_| = px2_+y2

Por ejemplo, el m´odulo de (₋1,4) es:

¯

El inverso, el conjugado y el m´odulo de un n´umero complejo, satisfacen ciertas propiedades, en relaci´on con las operaciones de suma, multiplicaci´on y divisi´on. Veamos una lista de algunas de las m´as importantes de ellas a continuaci´on:

Propiedades relativas al inverso de un n´umero complejo

1. (zw)−1 _{= z}−1_·w−1_{, si z, w6=0}

2. (zw)−1 = z−

1

w−1, si z, w6=0

3. (z−1₎−1 _{= z, si z6=0}

Debe tenerse cuidado en esto: el inverso de una sumano es igual a la suma de los inversos, o sea, (z+w)−1 _{=6 z}−1 _{+ w}−1_.

Propiedades relativas al conjugado de un n´umero complejo

1. (z+w)∗ _{= z}∗ _{+ w}∗

2. (z₋w)∗ _{= z}∗ _{− w}∗

3. (zw)∗ ₌ ¡_z∗¢ ¡_w∗¢

4. ³z

w

´∗

= z∗

w∗, si w6=0

5. ¡z−1¢∗ ₌ ¡

z∗¢−1_{, si w6=0}

6. z z∗ _{= |z|}2

o de manera equivalente, reemplazando la notaci´on de asterisco por la notaci´on de barra superior:

1. (z+w) = z + w

2. (z₋w) = z ₋ w

3. (zw) = z w

4. ³z

w

´

= z

w, si w6=0

5. ¡z−1¢ ₌ ¡_z¢−1_{, si w6=0}

Propiedades relativas al m´odulo de un n´umero complejo

1. _|zw_| = _|z_{| |}w_|

2. ¯¯ ¯

z w

¯ ¯ ¯ =

z

w, si w6=0

3. ¯¯z−1¯¯ = 1

|z_|, si z6=0

4. _|z_|= 0 si y s´olo si z=0

5. _|z+w_{| ≤ |}z_|+_|w_| (“desigualdad triangular”)

Equivalencia entre un n´umero complejo con parte imaginaria nula, y un n´umero real. Si tenemos un n´umero complejo cuya parte imaginaria es nula, entonces es costumbre denotarlo solamente por su parte real. M´as precisamente, si se tiene el complejo (x,0), cuya parte imaginaria es nula, entonces establecemos una equivalencia entre este n´umero complejo y el n´umero realx, escribiendo as´ı:

(x,0) = x

As´ı por ejemplo, (2,0) = 2; (₋5,0) =₋5; . . . etc.

N´otese que de esta manera, se establece una relaci´on biyectiva (1)_{, entre el conjunto de}

to-dos los n´umeros complejos con parte imaginaria nula, y el conjunto de todos los n´umeros reales.

4.

El n´

umero complejo

i (unidad imaginaria). Forma bin´

omica.

Vamos en esta parte a definir un n´umero complejo el cual tiene la propiedad de que al ser elevado al cuadrado, el resultado es igual a ₋1. Por lo cual, este n´umero es una ra´ız cuadrada del n´umero negativo₋1, al cual se le conoce con el nombre deunidad imaginaria.

Se define el n´umero complejo icomo el par ordenado (0,1). Entonces, vemos que:

i_·i = (0,1)_·(0,1) = ( 0_·0 ₋ 1_·1, 0_·1 + 1_·0 ) = (₋1,0)

es decir:

i2₌₋₁

Sean ahorax,y dos n´umeros reales. Vamos a calcular el valor de la expresi´on:

(x,0) + (0,1)(y,0)

1

veamos, pues:

(x,0) + (0,1)(y,0) = (x,0) + ( 0_·y ₋ 1_·0, 0_·0 + 1_·y ) = (x,0) + (0, y)

= (x, y)

es decir, escribiendo (x,0) =x, y (y,0) =y:

x+iy= (x, y)

Esta identidad establece la llamadaforma bin´omicade un n´umero complejo, que es una ma-nera alternativa de representaci´on de los n´umeros. De este modo, por ejemplo el complejo (2,3) se escribe como 2 + 3i, el complejo (₋1,4) se escribe como ₋1 + 4i, . . . etc.

Utilizando la forma bin´omica, podemos perfectamente realizar todas las operaciones que ya conocemos para los n´umeros complejos. Por ejemplo, vamos a repetir el ejemplo 2 de la secci´on 1, utilizando la forma bin´omica. Sean:

z1 = 2 + 3i, z2 =−1 + 4i

entonces efectuamos la suma z1+z2 simplemente sumando por algebraicamente, por separado,

las partes reales y las partes imaginarias:

z1+z2 = (2 + 3i) + (−1 + 4i) = 2 − 1 + 3i + 4i = 1 + 7i .

Para multiplicar dos complejos utilizando la forma bin´omica, multiplicamos distributivamente, recordando quei2 _{=−1. Por ejemplo:}

z1z2 = (2 + 3i) (−1 + 4i) = 2(−1) + 2(4i) + (3i)(−1) + (3i)(4i)

= ₋2 + 8i ₋3i + 12i2 = ₋2 + 8i ₋3i ₋ 12 = ₋14 + 5i .

Conjugado y m´odulo de un n´umero, expresado en forma bin´omica. Las defini-ciones de conjugado y m´odulo de un n´umero complejoz=x+iy se escribir´ıan en forma bin´omica como:

conjugado: z∗ _{= x−iy}

m´odulo: _|z_| = px2_+y2

Inverso y divisi´on de n´umeros complejos, utilizando la forma bin´omica. Co-mo Ud. podr´a notar, la f´ormula para el inverso o rec´ıproco de un n´umero complejo, es escribe en la forma bin´omica como:

(x+iy)−1 ₌ x−iy

Por ejemplo:

(4₋3i)−1 = 4 + 3i 42_{+ (−3)}2 =

4 + 3i 25

lo cual podemos usar para efectuar divisiones de n´umeros complejos:

−1 + 3i 2₋5i =

(₋1 + 3i)_·(2 + 5i)

4 + 25 =

−2₋5i+ 6i₋15

29 =

−17 +i 29 .

Ejercicio. (a) Efectuar el forma bin´omica 2−4i 1 + 6i.

(b) Efectuar en forma bin´omica −2 + 3i 1 + 5i .

5.

Argumento de un n´

umero complejo. Operaciones en la forma

exponencial.

5.1. Argumento complejo

Consideremos la representaci´on gr´afica de un n´umero complejoz=x+iy (figura 5.1.1):

Figura 5.1.1: Representaci´on gr´afica del n´umero z = x + iy, donde se aprecia el m´odulo r y el argumentoθ.

Como sabemos, la distanciar del puntozal origen, es el m´odulo dez:

r =_|z_|=px2_+y2

Ahora, como se puede ver en la figura, si no zes nulo, el segmento lineal entre el origen y el punto z, sub-tiende un ´anguloθcon respecto al semieje positivo x. Este ´angulo θ es llamado un argumento del n´umero complejo z, y escribimos:

El concepto de argumento multivaluado. Pero surge ahora una cuesti´on delicada: El argumento no es ´unico, pues existe una infinidad de valores posibles para el argumento θ del n´umeroz, estando todos estos valores diferenciados por un m´ultiplo entero de 2π.

En efecto, sea por ejemplo el complejo imagi-nario z = ₋i. Entonces, un valor de arg_{z_} en que podr´ıa pensarse esθ1=−π/2. Sin embargo,

otro valor (menos obvio) esθ2 = 3π/2 (ver

figu-ra 5.1.2). Por cierto, n´otese el peque˜no detalle de queθ2 es igual justamente aθ1+ 2π.

Figura 5.1.2: Dos argumentos distintos del n´umeroz=₋i.

Consideremos otro ejemplo. Sea z = 1 +i. Ob-servando la figura (5.1.3), se nota que un posible valor de arg_{z_} esθ0 =π/4.

Luego, otro posible valor de arg_{z_}es:

θ1 = θ0+ 2π =

π

4 + 2π = 9π

4 Otro ser´ıa:

θ2 = θ0+ 4π =

π

4 + 4π = 17π

4 otro:

θ3 = θ0+ 4π =

π

4 + 6π = 25π

4 y as´ı sucesivamente.

Hemos visto entonces que si θ0 es un cierto argumento cualquiera de z, existe una infinidad

de valores de arg_{z_}, dados por:

θn=θ0+ 2nπ.

Luego, tenemos que ponernos de acuerdo para elegir un cierto argumento, entre todos los dem´as, y trabajar s´olo con ese. De este modo, se conviene llamarargumento principal al´unicoargumento θque verifica:

−π < θ _≤π y lo denotamos Arg_{z_}.(2)

Nota: Debemos mencionar que no existe una convenci´on acerca de cu´al es el argumento del complejo nulo. Entonces, al complejo nulo no se le asigna ning´un argumento espec´ıfico.

Por ejemplo, para el complejoz=₋i, el argumento principal es₋π/2, y no 3π/2, pues 3π/2 no est´a comprendido en el intervalo principal (₋π, π].

Del mismo modo, para el complejoz= 1 +i, el argumento principal es solamente π/4, y no ninguno de los otros que antes hallamos.

C´omo determinar el valor del argumento principal. Para determinar el argumen-to principal de un complejo no nulo z = x+iy, observamos en la figura *** que si r = _|z_|, entonces del tri´agulo rect´angulo:

[Aqui va la figura]

  

 

x

r = cosθ, por tanto x=rcosθ y

r = senθ, por tanto y =rsenθ As´ı, obtenemos las famosas y conocidas relaciones:

½

x = rcosθ (1) y = rsenθ (2)

De donde, al dividir la ecuaci´on (2) entre la (1):

y x = tgθ

2

Ahora bien, no siempre es cierto queθ= tg−1_{(y/x), esto vale s´olo siz se ubica en el primer o}

cuarto cuadrante, es decir, six >0. Pero sizse ubica en el segundo o tercer cuadrante, o sea, si x <0, entonces debemos “corregir” el valor que proporciona la funci´on arco-tangente, sumando o restandoπ. En resumen, podemos decir queθ se calcula seg´un:

θ =

      

     

tg−1 y

x, si x >0 (cony≥0, o y <0) [es decir, si z∈Ic ´oz∈IVc]

π+ tg−1 y

x, si x <0 pero y≥0 [es decir, siz∈IIc]

π₋tg−1 y

x, si x <0 pero y <0 [es decir, siz∈IIIc]

Estas f´ormulas no tienen sentido si x = 0 (no existe y/x). Lo que sucede en este caso es que siendox= 0, para que z₆=0, entonces deber´a sery >0, ´oy <0 (pero no puede sery= 0). En decir, z es un imaginario puro. En este caso, si z = iy, con y > 0 entonces, obviamente, Arg_{z_}=π/2, pero siz=iy, cony <0 entonces Arg_{z_}=₋π/2.

5.2. La f´ormula de Euler. N´umeros complejos en forma exponencial.

Seaθ un n´umero real. La famosa e importante indentidad:

eiθ = cosθ+isenθ

se conoce comoF´ormula de Euler. Por ejemplo:

eiπ/4 = cosπ

4 + isen π 4 =

1 √

2 + i 1 √

2 = 1 +i

√ 2

eiπ/2 = cosπ

2 + isen π 2 = i

Geom´etricamente,eiθ representa un punto en la circunferencia de radio unitario, subtendiendo un ´angulo θ con el semieje real positivo (figu-ra 5.2.1).

Figura 5.2.1: Representaci´on gr´afica del n´umeroeiθ.

Ahora bien, sea z =x+iy un complejo no nulo, y sean r su m´odulo y θ un argumento suyo, entonces:

z = x+iy = rcosθ + isenθ = r¡cosθ + senθ¢

| {z }

eiθ

o sea:

z = reiθ

Geom´etricamente,z=reiθ _{representa un punto}

en una circunferencia de radio r, subtendiendo un ´anguloθ con el semieje real positivo (figura 5.2.2)

Figura 5.2.2: Representaci´on gr´afica de un n´umero complejo en la forma exponen-cial.

Ejemplo. Escribir en forma exponencial, el n´umero:

z= 1 +i√3

Soluci´on. Calculando el m´odulo r y el argumento θ:

r = _|z_| = ¯¯1 +i√3¯¯ = √1 + 3 = 2

θ = tg−1₍√_{3) =} π

3 (se usa esta f´ormula porque el n´umero z est´a en el primer cuadrante)

As´ı, tenemos que:

z=reiθ = 2eiπ/3

Ejemplo. Escribir en forma exponencial, el n´umero:

−3 + 3i√3

Soluci´on. Calculando el m´odulo r y el argumento θ:

r = _|z_| = ¯¯₋3 + 3i√3¯¯ = √9 + 3 = √12 = 2√3

θ = π+ tg−1

Ã√

3 3

!

= π₋tg−1 √1

3 = π− π 6 =

5π

5.3. Multiplicaci´on de n´umeros complejos usando la forma exponencial

Sean dos complejos, expresados en la forma exponencial comoz1 =eiθ1 yz2 =eiθ2. Entonces:

z1z2 = r1r2ei(θ1+θ2)

en otras palabras, para multiplicar complejos en la forma exponencial,se multiplican los m´ odu-los, y se suman los argumentos.

En efecto, vamos a probar que esto es as´ı. Tenemos:

z1·z2 = r1eiθ1r2eiθ2 = r1¡cosθ1+isenθ1¢ · r2¡cosθ2+isenθ2¢

= r1r2·(¡cosθ1+isenθ1¢·¡cosθ2+isenθ2¢

= r1r2 £(cosθ1cosθ2−senθ1senθ2)

+i(senθ1cosθ2+ cosθ1senθ2) ¤

= r1r2¡cos(θ1+θ2) +isen(θ1+θ2)¢

= r1r2ei(θ1+θ2).

Ejemplo. Calcular, realizando la multiplicaci´on en forma exponencial:

2eπi/3_·4e−πi/6_,

y devolviendo el resultado a la forma rectangular.

Soluci´on. S´olo debemos recordar que para multiplicar complejos en forma exponencial, mul-tiplicamos los m´odulos, y sumamos los argumentos:

2eπi/3_·4e−πi/6 _{= 2·4·e}i(π3−

π

6) = 8_·eπi/6 = 8_·³cosπ

6 +isen π 6

´

(formula de Euler)

= 8_·

Ã√

3 2 +i

1 2

!

= 4¡√3 +i¢

Ejemplo. Calcular, realizando la multiplicaci´on en forma exponencial:

e2πi/3_·3eπi/2,

Soluci´on. Procediendo como antes (3):

e2πi/3_·3eπi/2 = 3_·ei(23π+

π

2) = 3_·e7πi/6

= 3_·

µ

cos7π

6 +isen 7π

6

¶

( f´ormula de Euler)

Aqu´ı, debemos calcular el coseno y el seno del ´angulo 7π/6, que es mayor a π/2. Como 7π/6 es un ´angulo en el tercer cuadrante, tenemos:

      

cos7π

6 = −cos π

6 = −

√ 3

2 (porque en el tercer cuadrante, el coseno es negativo)

sen7π

6 = −sen π

6 = −

1

2 (porque en el tercer cuadrante, el seno es negativo)

Luego:

e2πi/3_·3eπi/2 = 3_·

Ã

− √

3 2 −i

1 2

!

= ₋3( √

3 +i)

2 .

5.4. Inverso o rec´ıproco de un n´umero complejo usando la forma exponencial

Seaz=reiθ un n´umero complejo no nulo, expresado en la forma exponencial. Por definici´on, el inverso dezes otro n´umeroz−1 _{tal que:}

z_·z−1 _{= 1}

Ahora, pensemos en n´umeror−1_e−iθ_{. Si hacemos la multiplicaci´on de z por este otro n´umero,}

obtenemos:

¡

reiθ)_·¡r−1e−iθ¢ = r r−1_·eiθe−iθ = 1_·e0 = 1_·(cos 0 +isen 0) = 1

De este modo,r−1_e−iθ _{es el inverso de z. Tenemos:}

z−1 ₌ ³_reiθ´−1 ₌ 1

r e −iθ

Ejemplo. Desarrollar, y llevar a la forma rectangular:

1 2eπi/3

3

Soluci´on. De acuerdo a la f´ormula anterior:

1 2eπi/3 =

1 2 ·e

−πi/3 ₌ 1

2

³

cosπ

3 −isen π 3 ´ = 1 2 Ã 1 2 −i

√ 3 2

!

= 1−i √

3 4

5.5. Divisi´on de n´umeros complejos usando la forma exponencial

Sean los dos complejos expresados en forma exponencial comoz1 =r1eiθ1, yz2 =r2eiθ2. Por

definici´on, la divisi´on dez1 entre z2 equivale a la multiplicaci´on dez1 por el inverso de z2:

z1

z2

=z1·(z2)−1

pero en el punto anterior vimos que:

(z2)−1 = ³

r2eiθ2 ´−1

= 1

r2

e−iθ2

entonces:

z1

z2

= z1·(z2)−1 = r1eiθ1 ·

1 r2

e−iθ2 ₌ r1 r2 ·

ei(θ1−θ2)

o sea:

z1

z2

= r1 r2 ·

ei(θ1−θ2)

Ejemplo. Calcular, realizando la multiplicaci´on en forma exponencial:

8i 1 +i√3,

y devolviendo el resultado a la forma rectangular.

Soluci´on. LLevando cada n´umero a la forma exponencial:

calculando m´odulo y argumento:

(

m´odulo: r1 = |8i| = 8

argumento: θ1 = arg{8i} = π/2

As´ı: 8i= 8eπi/2

b)z2 = 1 +i

√

3 = r2eiθ2

calculando m´odulo y argumento:

(

m´odulo: r2 = |1 +i√3| = 2

argumento: θ2 = arg{1 +i

√

3_} = π/3

As´ı: 1 +i√3 = 2eπi/3

Luego:

z1

z2

= 8e

πi/2

2eπi/3 = 4·e i(π

2−

π

3) = 4eπi/6

= 4_·³cosπ

6 +isen π 6

´

= 4_·

Ã√

3 2 +i

1 2

!

= 2¡√3 +i¢.

5.6. Potencias enteras de n´umeros complejos usando la forma exponencial

Sea el complejo expresado en forma exponencial comoz=reiθ_{. Deseamos calcular la potencia}

zn, donden es un entero. Entonces:

zn = ³reiθ´n = reiθ_·reiθ. . . reiθ

| {z } = r

n_e

nveces

i_·z(θ+θ}|+. . . θ{) _{= r}n_ei(nθ)

n veces

Por lo tanto:

zn = ³reiθ´n = rnei(nθ)

sines cualquier valor entero (positivo, negativo o cero (4)).

4

Ejemplo. Calcular, y expresar el resultado en la forma rectangular:

(1₋i)5

Soluci´on. Primero, llevamos el n´umeroz= 1₋ia la forma exponencial:

z = 1₋i = reiθ

m´odulo: r=_|1₋i_|=√1 + 1 =√2

argumento: θ= arg_{1₋i_}=₋π/4

As´ı:

1₋i = √2e−πi/4

luego, entonces:

(1₋i)5 = ³√2e−πi/4´5 _{= (}√₂₎5_·e−5πi/4

= (√2)4_·√2_·

µ

−√1 2+i

1 √ 2

¶

= 4(₋1 +i).

Ejemplo. Calcular, y expresar el resultado en la forma rectangular:

(√3₋i)21

Soluci´on. Primero, llevamos el n´umeroz=√3₋ia la forma exponencial:

z = √3₋i = reiθ

m´odulo: r=_|√3₋i_|=√3 + 1 = 2

argumento: θ= arg_{√3₋i_}=₋π/6

As´ı: _√

luego, entonces:

(√3₋i)21 = ³2e−πi/6´21 = (2)21_·e−21πi/6

= 221_·e−7π/2 ³21₆ se simplifica como 7₃´

= 221_·

µ

cos7π

2 −isen 7π

2

¶

= 221i .

6.

Raices complejas

Seaw0 un complejo no nulo. Decimos quez es una ra´ız n−´esima de w0 si:

zn = w0 (*)

en cuyo caso escribimosz= (w0)1/n. Como veremos m´as adelante, existennvalores distintos de

zque satisfacen (*), luego,existen n ra´ıces n₋´esimas distintas de cada complejo w0 6= 0.

As´ı por ejemplo, distinto a como sucede con los reales, en los n´umeros complejos existen, para cadaw0 6= 0, dos ra´ıces cuadradas distintas, tres r´aices c´ubicas distintas, cuatro ra´ıces de cuarto grado distintas, etc.

Para determinar el conjunto de valores dezque satisfacen(*), escribamoszyw0 en la forma

exponencial:

w0 = r0eiθ0

z = ρeiφ

luego,(*)equivale a:

zn = w0

³

ρeiφ´n = r0eiθ0

ρn_·ei nφ = r0·eiθ0

para que se cumpla la igualdad, los m´odulos deben ser iguales, entonces:

ρn = r0

ρ = √n_r

y:

ei nφ = eiθ0

cos(nφ) +isen(nφ) = cos(θ0) +isen(θ0)

de donde:

n φ = θ0+ 2kπ

φ = θ0+ 2kπ

n (2)

parakentero.

Con(1) y(2):

z = (w0)1/n = ρ eiφ = √nr0ei(θ0+2kπ)/n

z = (w0)1/n = √nr0ei(θ0+2kπ)/n (3)

En realidad, la f´ormula (3) s´olo proporciona n valores distintos de z, que son los que se obtienen parak= 0,1, . . . , n₋1:

      

     

k= 0 : z1 = √nr0eiθ0/n

k= 1 : z2 = √nr0ei(θ0+2π)/n

k= 2 : z3 = √nr0ei(θ0+4π)/n

..

. ...

k=n₋1 : zn = √nr0ei(θ0+2(n−1)π)/n

Y no se obtienen m´as valores dez que estos. Pues, si por ejemplok=n, entonces se obtiene:

zn+1 = √nr0ei(θ0+2nπ)/n = √nr0eiθ0/n+2πi = √nr0eiθ0/ne2πi = √nr0eiθ0/n = z1

y similarmente, uno podr´ıa ver que:

zn+2 = z2

zn+3 = z3

es decir, los valores empiezan arepetirse c´ıclicamente. Por lo tanto, no se obtendr´an ya nuevos valores dez, al tomar valores dek mayores a n₋1.

Por esta raz´on, solamente consideramos los valores dezque se consiguen al tomar los valores desdek= 0 hastak=n₋1, lo que hace un total den valores distintos de (w0)1/n.

Es bueno saber que, geom´etricamente, las nra´ıces n₋´esimas de un complejo w0 =r0eiθ0 se

ubican sobre una circunferencia de radio √n_r

0, separadas entre s´ıa intervalos angulares iguales,

cada uno de valor a 2π/n(la separaci´on angular entre un punto y otro).

Ejemplo. Hallar las tres ra´ıces c´ubicas de la unidad.

Soluci´on. Primero, escribimos w0= 1 en la forma exponencial:

w0 = 1 =r0eiθ0

entonces:

r0 = |w0| = 1

θ0 = Arg{w0} = 0

Aplicando la f´ormula (3) con n= 3:

11/3 = √3

r₀ei(θ0+2kπ)/3 _{= e}2kπi/3

luego, parak= 0,k= 1,k= 2, obtenemos los tres valores (complejos) de las tres ra´ıces c´ubicas de la unidad:

para k= 0: z1 = e0 = 1

para k= 1: z2 = e2πi/3 = cos¡2₃π¢+isen¡2₃π¢ = −1₂ +i

√

3 2

para k= 2: z3 = e4πi/3 = cos¡4₃π¢+isen¡4₃π¢ = −1₂ −i

√

3 2

Ejemplo. Hallar todas las soluciones dez4_{+ 1 = 0.}

Soluci´on. En el campo de los reales, esta ecuaci´on no tiene soluciones, pero s´ı las tiene en el campo de los complejos; de hecho presenta cuatro soluciones.

Veamos, la ecuaci´onz4+ 1 = 0 equivale a:

es decir,ztoma todos los valores de la ra´ız de cuarto grado de₋1. Llevandow0=−1 a la forma

exponencial:

w0 = −1 = r0eiθ0

entonces:

r0 = | −1| = 1

θ0 = Arg{−1} = π

luego:

(₋1)1/4 = (w0)1/4 = √4r0ei(θ0+2kπ)/4

= 1_·ei(π+2kπ)/4 = ei(2k+1)π/4

parak= 0,1,2,3. Las ra´ıces son entonces:

parak= 0: z1 = eiπ/4 = 1+√₂i

parak= 1: z2 = e3πi/4 = −√1+₂i

parak= 2: z3 = e5πi/4 = −√1−₂i