Bloque A 1.- Sea A =

JUNIO 2005

Bloque A

1.- Sea A = _ 0 1_. 1 0

−

 

a) Calcula A2 y expresa el resultado en función de la matriz identidad. b) Utiliza la relación hallada con la matriz identidad para calcular A2005.

2.- Se considera la función f (x) = − ax2 _{+ 5x − 4.}

a) Calcula el valor de a para que la recta tangente a la función en el punto x = 3 corte al eje OX en el punto x = 5.

b) Calcula, además, el área de la región limitada por dicha tangente, el eje OX y la función f (x), para el valor de a obtenido anteriormente.

3.- En una empresa de auditorias se ha contratado a tres personas para inspeccionar a las empresas bancarias realizando las correspondientes auditorias. La primera de ellas se encarga de efectuar el 30 %, la segunda el 45 % y la tercera el 25 % restante. Se ha comprobado que de las inspecciones realizadas por la primera persona, el 1% son erróneas; la segunda comete errores en el 3 % de los casos y la tercera en el 2 % de los casos.

a) Calcula la probabilidad de que, al elegir al azar una inspección, ésta sea errónea.

b) Al elegir una inspección correcta, ¿cuál es la probabilidad de que la haya realizado la segunda persona?

4.- La probabilidad de que un cazador novato cobre una pieza es 0,4. Si lo intenta 5 veces, calcula la probabilidad de que cobre una pieza al menos 3 veces.

Bloque B

1.- En una ebanistería se fabrican dos tipos de mesas: mesas de comedor y mesas para ordenador. Las mesas de comedor necesitan 4 m2 de madera y las mesas para ordenador 3 m2. El fabricante dispone de 60 m2 _{de madera y decide confeccionar al menos 3 mesas de comedor y al menos el}

doble de mesas de ordenador que de mesas de comedor. Además, por cada mesa de ordenador obtiene un beneficio de 200 €, mientras que obtiene un beneficio de 300 € por cada mesa de comedor. ¿Cuántas mesas de cada tipo debe fabricar para obtener el beneficio máximo?

2.- a) Representa gráficamente las curvas f (x) = x2− 2x y g (x) = 1 − 2x. b) Calcula el área del recinto que limitan dichas curvas.

3.- Una variable aleatoria X sigue una distribución normal de media 4 y varianza 9: a) Calcula P (3,4 ≤ X ≤ 4,6).

b) Encuentra un valor a tal que P (4 − 6a ≤ X ≤ 4 + 6a) = 0,75.

SOLUCIONES

Bloque A

1.- Sea A = _ 0 1_. 1 0

−

 

a) Calcula A2 y expresa el resultado en función de la matriz identidad. b) Utiliza la relación hallada con la matriz identidad para calcular A2005.

Solución:

a)

A2 = _ 0 1_· _ _= _ 1 0

−

 

0 1

1 0

−

 

1 0

0 1

− 

 −

 = (–1)



1 0 = – I 0 1

 

 

b)

A2005 = A2004 + 1 = A2004 · A = (A2)1002 · A = (– I)1002 ·A = I · A = A = 0 1 1 0

 

₋ 

 

2.- Se considera la función f (x) = − ax2 + 5x − 4.

a) Calcula el valor de a para que la recta tangente a la función en el punto x = 3 corte al eje OX en el punto x = 5.

b) Calcula, además, el área de la región limitada por dicha tangente, el eje OX y la función f (x), para el valor de a obtenido anteriormente.

Solución:

a) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto x = 3 viene dada por:

y – f (3) = f ‘ (3) (x – 3)

Calculemos f (3) y f ‘ (3):

f (3) = –a · 32 + 5 · 3 – 4 = 11 – 9a

f (x) = − ax2 + 5x − 4 ⇒ f ‘ (x) = –2ax + 5 ⇒ f ‘ (3) = –6a + 5

La ecuación de la recta tangente será:

y – (11 – 9a) = (–6a + 5) (x – 3)

Dicha recta tangente ha de cortar al eje OX en el punto x = 5, es decir, ha de pasar por el punto (5, 0). Por tanto:

0 – (11 – 9a) = (–6a + 5) (5 – 3)

– 11 + 9a = –12a + 10 ⇒ 21a = 21 ⇒ a = 1

b) El área que nos piden es la de la región sombreada en la siguiente figura:

Dicho área vendrá dada por:

Área = 4 2 5

3 (− + − − +x 5) ( x 5x−4)dx+ 4(− +x 5)d

∫

∫

3 (x −6x+9)dx+ 4(− +x 5)d

∫

∫

=

4 5

3 2

2

4 3

3 9 5

3 2

x x x x + x

− + − +



 











 

 _{− +} _{− − + + −} ₊ _{− − +}

    

   

  



 _=

= 28 9 25 1

3 2



− +_ −

   2

  

 

  = 1 1_{3 2}+ =5₆ u2

3.- En una empresa de auditorías se ha contratado a tres personas para inspeccionar a las empresas bancarias realizando las correspondientes auditorías. La primera de ellas se encarga de efectuar el 30 %, la segunda el 45 % y la tercera el 25 % restante. Se ha comprobado que de las inspecciones realizadas por la primera persona, el 1 % son erróneas; la segunda comete errores en el 3 % de los casos y la tercera en el 2 % de los casos.

a) Calcula la probabilidad de que, al elegir al azar una inspección, ésta sea errónea.

b) Al elegir una inspección correcta, ¿cuál es la probabilidad de que la haya realizado la segunda persona?

Solución:

Denotemos por E y C los sucesos:

“ E “ = “inspección errónea” “ C “ = “inspección correcta”

0,01 _E

P1

0,99 C

0,03 0,30

0,45 E

P2

0,97 C

0,02 0,25

E P3

0,98 C

Con esto:

P (E) = P (P1) · P (E / P1) + P (P2) · P (E / P2) + P (P3) · P (E / P3) =

= 0,30 · 0,01 + 0,45 · 0,03 + 0,25 · 0,02 = 0,0215

En consecuencia, la probabilidad de que la inspección sea correcta es:

P (C) = 1 − P (E) = 1 − 0,0215 = 0,9785

b)

P (P2 / C) = ( )· ( / )2 2 0, 45·0,97 0,3465 0, 446

( ) 0,9875 0,9875

P P P C P

P C = = ≈

4.- La probabilidad de que un cazador novato cobre una pieza es 0,4. Si lo intenta 5 veces, calcula la probabilidad de que cobre una pieza al menos 3 veces.

Solución:

Se trata de una distribución de probabilidad binomial:

B (5; 0,4) → n = 5; p = 0,4; q = 0,6

Como sabemos, para la B (n, p), la probabilidad de r aciertos en n intentos es:

P (X = r) = _n p r

   

r _q n - r

En este caso:

P (X ≥ 3) = P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) = 5 3

    

 0,43 · 0,62 +  5₄  

 0,44 · 0,6 +  5₅  

 0,45 =

Bloque B

1.- En una ebanistería se fabrican dos tipos de mesas: mesas de comedor y mesas para ordenador. Las mesas de comedor necesitan 4 m2 de madera y las mesas para ordenador 3 m2. El fabricante dispone de 60 m2 de madera y decide confeccionar al menos 3 mesas de comedor y al menos el doble de mesas de ordenador que de mesas de comedor. Además, por cada mesa de ordenador obtiene un beneficio de 200 €, mientras que obtiene un beneficio de 300 € por cada mesa de comedor. ¿Cuántas mesas de cada tipo debe fabricar para obtener el beneficio máximo?

Solución:

Se trata de un problema de programación lineal. Sean x e y el número de mesas de comedor y de ordenador respectivamente. A partir del enunciado del problema podemos establecer las siguientes condiciones:

4x + 3y ≤ 60 x ≥ 3 y ≥ 2x

La función a maximizar, que nos da el beneficio obtenido por el fabricante es:

F (x, y) = 200x + 300y

Dibujemos la región factible:

Los vértices de esta región son los puntos:

A = (3, 6) B = (3, 16) C = (6, 12)

El máximo de la función objetivo se presentará en uno de estos puntos. Veamos en cual:

Por tanto el beneficio máximo es de 5400 euros y se consigue elaborando 3 mesas de comedor y 16 mesas de ordenador.

2.- a) Representa gráficamente las curvas f (x) = x2− 2x y g (x) = 1 − 2x. b) Calcula el área del recinto que limitan dichas curvas.

Solución:

a) Trazamos en primer lugar la parábola f (x) = x2− 2x. Para ello, calculemos su vértice:

xv =

a b 2

− = 2

2·1

−

− = 1 ⇒ yv = 12 – 2 · 1 = –1

Por tanto el vértice es el punto (1, –1). Además, los puntos de corte de la gráfica de f (x) con el eje OX son las raíces de la ecuación f (x) = 0:

f (x) = x2 _{– 2x = 0 ⇒ x = 0 y x = 2}

De aquí deducimos que la parábola corta al eje OX en los puntos (0, 0) y (2, 0). Para completar el dibujo de la parábola podemos dar algunos valores:

x −2 −1 3 4 f (x) = x2− 2x 8 3 3 8

Por otra parte, la función g (x) = 1 – 2x tiene como representación gráfica un recta. Calculemos algunos de sus puntos mediante una tabla de valores:

x –2 –1 0 1 2

g (x) = 1 – 2x 5 3 1 –1 –3

La gráfica simultánea de ambas funciones será pues:

b) El área que nos piden calcular es la de la región sombreada de la figura anterior. Calculemos en primer lugar los puntos de corte de las gráficas:

A = 1 2

1 (1 2 ) (x x 2 )x d

−  − − − 

∫

1( 1)

= x dx

− − +

∫

_{− + −}  ₋₁

  

   =

4 3 u

2

3.- Una variable aleatoria X sigue una distribución normal de media 4 y varianza 9: a) Calcula P (3,4 ≤ X ≤ 4,6).

b) Encuentra un valor a tal que P (4 − 6a ≤ X ≤ 4 + 6a) = 0,75.

Solución:

a) Tenemos una distribución normal N (4, 3). Para calcular la probabilidad pedida, tipifiquemos la

variable mediante el cambio Z = X − µ

σ :

P (3,4 ≤ X ≤ 4,6) = P 3, 4 4 4,6 4

3 Z 3

− _{< <} −

 



 = P (−0,2 < Z < 0,2) =

= P (Z < 0,2) − P (Z < −0,2) = 2 · 0,5793 − 1 = 0,1586

b) Apliquemos de nuevo la tipificación a la variable, con el mismo cambio anterior:

P (4 − 6a ≤ X ≤ 4 + 6a) = P 4 6 4 4 6 4

3 3

a

Z a

− − _{< <} +

 

−

 

 = P (−2a < Z < 2a) =

= P (Z < 2a) − P (Z < −2a) = P (Z < 2a) – [1 – P (Z < 2a)] = 2 P (Z < 2a) − 1 = 0,75

Por tanto, despejando P (Z < 2a) de la expresión anterior tendremos que: P (Z < 2a) = 0,875

Buscando en la tabla de una distribución normal tipificada el valor de Z al que le corresponde una probabilidad de 0,875, obtenemos que Z = 1,15. Por tanto:

2a = 1,15 ⇒ a = 0,575

4.- Calcula P (A ∪ B) y P (A ∩ B) sabiendo que P (A ∪ B) − P (A ∩ B) = 0,4 ; P (A) = 0,6 y P (B) = 0,8.

Solución:

Como sabemos, se tiene que:

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) ⇒ P (A ∪ B) + P (A ∩ B) = 0,6 + 0,8 = 1,4

Por el propio enunciado tenemos que:

P (A ∪ B) − P (A ∩ B) = 0,4

Resolvamos el sistema formado por estas dos ecuaciones:

Sumándolas:

2 P (A ∪ B) = 1,8 ⇒ P (A ∪ B) = 0,9

Restándolas: