Ejercicios propuestos Rectas y Planos E. Boada

(1)

U

UNNIIVVEERRSSIIDDAADDNNAACCIIOONNAALLEEXXPPEERRIIMMEENNTTAALLPPOOLLIITTÉÉCCNNIICCAA "

"AANNTTOONNIIOOJJOOSSÉÉDDEESSUUCCRREE"" V

VIICCEE--RREECCTTOORRAADDOOPPUUEERRTTOOOORRDDAAZZ

D

DEEPPAARRTTAAMMEENNTTOODDEEEESSTTUUDDIIOOSSGGEENNEERRAALLEESS S

SEECCCCIIÓÓNNDDEEMMAATTEEMMÁÁTTIICCAA..

Ejercicios de Vectores y Geometría Analítica en el Espacio.

VECTORES.

1.

Dados los vectores

u

r

=

(

4 ,

1 ,

0 )

,

v

r

=

(−

1 ,

3 )

, y

w

r

=

(

2 ,

−

2 ,

4 )

:

a. Halle un vector de longitud 5 en la dirección del vector

u

r

-

v

r

.

b. Halle el ángulo entre los vectores

u

r

x

v

r

y

2 w

r

.

c. Halle el área del paralelogramo de lados adyacentes

v

r

2

w

r

1

,

y − .

d. Halle el volumen del paralelepípedo de lados adyacentes

u

r

v

r

2

w

r

1

,

y − .

e. Halle un vector de longitud 10 en la dirección del vector

u

r

x

v

r

.

f. Halle el ángulo entre los vectores

u

r

−

v

r

y

2 w

r

.

2.

Sea

v

=

(

7 ,

6 ,

−

3 )

y el punto

A

(

2 ,

−

1 ,

4 )

, halle las coordenadas el punto

B

, tal que el vector

→

AB

tenga la misma dirección de del vector

v

r

3.

Explique, usando vectores, un criterio para decidir si tres puntos dados son colineales o no.

4.

Dado el vector

i

j

k

r

3

2 +

+

=

v

, halle el valor de c tal que

c

v

=

5 r

.

5.

Comprobar, usando vectores , que los siguientes puntos son vértices de un paralelogramo y calcular su área: A(1,1,1), B(2,3,4), C(6,5,2) y D(7,7,5)

6.

Dados

u

r

,

v

r

,

w

r

vectores en

R

3, demostrar que

u

r

.(

v

r

+

w

r

)

=

u

r

.

v

r

+

u

r

.

w

r

7.

Halle un vector unitario cuyos ángulos directores sean iguales.

8.

Sean los puntos

A

(

0 ,

0 )

,

B

(

2 ,

3 ,

−

1 ),

C

(

1 ,

−

3 ,

0 )

. Halle el área del triángulo cuyos vértices son los puntos dados. Usando vectores, halle los ángulos interiores del triángulo mencionado.

9.

Demostrar que los puntos

A

(

−

1 ,

2 ,

3 )

,

B

(

3 ,

4 ,

−

2 )

y

C

(−

4 ,

8 ,

3 )

son los vértices de un triangulo rectángulo e isósceles.

10.

Dados los puntos

A

(

−

1 ,

2 ,

0 )

,

B

(

4 ,

−

2 ,

3 )

y

C

(

−

2 ,

1 ,

−

3 )

.

(2)

b.

Hallar las coordenadas del punto

D

, tal que

A

,

B

,

C

,

D

sean los vértices de un paralelogramo. ( Hay más de una solución)

c.

Halle el área del paralelogramo descrito.

11.

Halle un vector de longitud

5

con ángulos directores

α

,

β

,

γ

tal que

3 π

α

=

y

4 π

β

=

.

12.

Sean

u

r

=

(

−

1 ,

3 ,

2 )

,

v

r

=

(

1 ,

−

1 )

. Hallar Todos los vectores

x

r

que satisfacen

u

r

x

r

=

v

r

.

13.

Demuestre en cada caso que existen escalares

α

,

β

tales que:

a.

u

r

x

(

v

r

x

w

r

)

=

α

v

r

+

β

w

r

b.

(

u

r

x

v

r

)

x

w

r

=

α

u

r

+

β

v

r

14.

Demuestre que

u

r

x

(

v

r

x

w

r

)

=

(

u

r

⋅

v

r

)

v

r

−

(

u

r

⋅

w

r

)

w

r

15.

Demuestre que

(

u

r

+

λ

v

r

)

x

v

r

=

u

r

x

v

r

16.

Demuestre que

(

u

r

x

v

r

)

• z

r

=

u

r

• (

v

r

x

z

r

)

17.

¿Cuál de las siguientes expresiones NO está bien definida?

a.

u

r

• v

r

b.

(

_u

r

x

_v

r

)

−

₂1

(

_u

r

−

_v

r

)

_c.

₍

_u

r

_x

_v

r

₎

• _w

r

_d.

₍

_u

r

• _v

r

₎

• ₍

_u

r

_x

_v

r

₎

e.

(

u

r

• v

r

)(

u

r

x

v

r

)

f. g. h.

RECTAS Y PLANOS.

1.

Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto

Q

(

4 ,

−

2 ,

1 )

y es paralela a la recta

0

1

0

4

3

2 :

=

−

+

−

=

+

−

+

z

y

x

z

y

x

L

.

2.

Obtenga la fórmula de la distancia entre planos paralelos, y aplíquela para hallar la distancia del plano que pasa por el punto

Q

(

1 ,

0 ,

1 )

y es perpendicular a la recta

t

z

t

y

x

L

:

=

2 ,

=

1 −

,

=

, al plano de ecuación

y

=

z

+

1

.

3.

Dados los planos

π

₁

:

2 ax

−

3 y

+

6 z

−

7 +

b

=

0

,

π

₂

:

x

+

(

b

+

3 )

y

−

z

+

1 =

0

y la recta

y

z

x

L

−

=

−

1 =

2 −

3

1

2

1 :

1 .En cada caso, halle si es posible, valores de

a

y

b

tales que:

a. Los planos sean perpendiculares y la recta

L

x

−

=

z

−

1 =

2 −

y

3

1

2

1 :

1

(3)

b. Los planos sean perpendiculares y la recta

L

x

−

=

z

−

1 =

2 −

y

3

1

2

1 :

1 sea

paralela al plano

π

1 .

c. Los planos sean paralelos.

4.

Dado el plano de ecuación

2 x

+

y

+

z

−

4 =

0

, y la recta,

c

t

z

bt

y

t

x

L

:

=

2 ,

=

1 −

,

=

−

2 +

3 +

, Halle en cada caso valores de b y c, de tal manera que la recta dada

a. sea paralela al plano (pero no pertenezca al plano). b. pertenece al plano

c. intercepta al plano en un único punto

5.

Dados los planos:

4

5

4

6

3 =

−

+

=

+

−

z

y

x

z

y

x

a. Hallar el ángulo entre los planos.

b. Las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de los dos planos. c. Calcular la distancia del punto (1,0,4) a la recta intersección de los dos planos

8.

Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto

Q

(

4 ,

−

2 ,

1 )

0

1

0

4

3

2 :

=

−

+

−

=

+

−

+

z

y

x

z

y

x

L

.

9.

2 x

+

y

+

z

−

4 =

0

, y las rectas,

4

3

2

1 :

1

+

=

−

=

y

z

x

L

,

L

₂

:

x

=

2 t

,

y

=

1 −

2 t

,

z

=

−

2 t

+

3

,

y

L

₃

:

x

=

−

1 ,

y

=

2 +

t

,

z

=

1 −

t

. Determine en cada caso si la recta dada, es paralela al plano, pertenece al plano ó intercepta al plano en un único punto.

10.

Obtenga la fórmula de la distancia de un punto a un plano, y aplíquela para hallar la distancia del punto

P

(

1 ,

−

1 ,

2 )

al plano que pasa por el punto

Q

(

1 ,

0 ,

1 )

L

:

x

=

2 ,

y

=

1 −

t

,

z

=

t

.

11.

Halle la ecuación del plano que pasa por el punto

Q

(

4 ,

2 ,

1 )

y contiene a la recta

0

1

0

4

3

2 :

=

−

+

−

=

+

−

+

z

y

x

z

y

x

(4)

12.

2 x

−

3 y

+

z

−

4 =

0

, y las rectas,

4

3

2

1 :

1

+

=

−

=

y

z

x

L

,

L

₂

:

x

=

1 −

t

,

y

=

1 +

t

,

z

=

5 t

+

5

,

y

L

₃

:

x

=

−

1 ,

y

=

2 +

t

,

z

=

1 +

3 t

. Determine en cada caso si la recta dada, es paralela al plano, pertenece al plano ó intercepta al plano en un único punto.

13.

Obtenga la fórmula de la distancia de un punto a una recta, y aplíquela para hallar la distancia del punto

P

(

1 ,

−

1 ,

2 )

a la recta

3

2

1

5

1

3

2

4 :

x

z

y

L

−

=

−

=

−

.

14.

Halle los valores de

a ,

,

b

c

, para que los puntos

P

₁

(

a

,

b

,

2 )

,

P

₂

(

0 ,

b

,

c

)

y

P

₃

(

a

,

2 ,

c

)

pertenezcan al plano de ecuación

2 x

−

3 y

+

6 z

=

4

.

15.

En cada caso halle si es posible las ecuaciones de los planos de acuerdo a las condiciones descritas:

a. Plano que pasa por los puntos

P

(

1 ,

−

1 ,

2 )

y

Q

(

4 ,

1 ,

−

1 )

, y su traza en el plano yz es la recta de ecuación

2 y

+

3 z

=

6

.

b. Plano que pasa por los puntos

P

₁

(

0 ,

1 ,

−

1 )

y

P

₂

(

2 ,

0 ,

3 )

y es perpendicular al plano

6 x

+

7 y

+

2 z

=

10

.

16.

Halle la ecuación de la recta L que pasa por el punto de intersección de

4

3

1

2

1

2 :

1

+

−

=

−

=

+

y

z

x

L

y

L

:

x

4 ,

y

1 t

,

z

₂71

2 t

2

=

−

=

−

+

, y es paralela a la recta

t

z

y

t

x

L

₃

:

=

−

2 +

,

=

6 ,

=

4 −

17.

Considere un sistema lineal:

0

3 3 3 3

2 2 2 2

1 1 1 1

=

+

=

+

=

+

d

z

c

y

b

x

a

d

z

c

y

b

x

a

d

z

c

y

b

x

a

Explique geométricamente cada una de las siguientes situaciones: a. El sistema tiene solución única.

b. El sistema no tiene solución.

c. El sistema tiene infinitas soluciones.

18.

En cada caso halle si es posible las ecuaciones de los planos de acuerdo a las condiciones descritas:

a. Plano que pasa por los puntos

A

(

3 ,

2 ,

−

1 )

y contiene a la recta

t

z

t

y

t

x

(5)

b. Plano cuya traza xz es la recta

2 x

+

3 z

=

6

y pasa por la intersección de la recta

L

x

=

+

t

y

=

−

t

z

=

−

t

2

1 ,

2

3 ,

2

1 :

con el plano xy.

c. Plano que contiene a la recta

L

:

x

=

−

1 +

3 t

,

y

=

1 +

2 t

,

z

=

2 +

4 t

2 x

+

y

−

3 z

+

4 =

0

.

d. Plano que pasa por los puntos

A

(

3 ,

2 ,

−

1 )

y

B

(

1 ,

−

1 ,

2 )

, y es paralelo a la recta

t

z

t

y

t

x

L

:

=

1 +

3 ,

=

−

1 +

2 ,

=

−

2

.

e. Plano que intercepta al plano

x

−

y

+

2 z

−

1 =

0

en la recta

t

z

t

y

t

x

L

:

=

2 −

,

=

1 +

3 ,

=

2

, formando un ángulo agudo de

4 π

rad.

f. Plano que contiene a la recta

L

:

x

=

1 +

2 t

,

y

=

2 t

,

z

=

3 −

3 t

, y su traza xz tiene ecuación

3 x

+

z

=

6

.

19.

Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta L que pertenece al plano

0

6

3

2 x

+

y

−

z

−

=

y sea perpendicular a la recta

L

x

−

=

z

−

1 =

2 −

y

3

1

2

1 :

1 .

20.

Dadas las rectas

0

1

3

2

8

0

3 :

1

₋

₊

₌

=

−

z

y

x

z

y

x

L

, y

L

x

+

=

y

−

2 =

5 −

z

4

1

3 :

2 , averiguar si

las rectas dadas son paralelas, tienen un único punto común o son oblicuas.

21.

Dadas las rectas

L

₁

:

x

=

1 +

at

,

y

=

1 −

t

,

z

=

1 +

bt

y

L

₂

:

x

=

1 +

2 s

,

y

=

0 ,

z

=

5 −

s

. Halle los valores de

a,

b

para que las rectas se intercepten en un único punto formando un ángulo recto.

22.

Halle las ecuaciones simétricas de la recta L que pasa por el punto

A

(

2 ,

−

1 ,

1 )

0

1

3

2

8

0

3 :

1

₋

₊

₌

=

−

z

y

x

z

y

x

L

.

23.

Sea

L

x

=

a

+

t

y

=

−

bt

z

=

b

−

4 t

,

t

∈

R

4

1 ,

2 :

y el plano

π

:

x

−

2 y

−

2 z

=

0

. Halle los

valores de

a

y

b

para que la recta L intercepte al plano

π

en el punto A(0,0,0), formando un ángulo recto.

24.

Determinar si

P

₁

(

6 ,

9 ,

7 )

,

P

₂

(

9 ,

2 ,

0 )

y

P

₃

(

0 ,

−

5 ,

−

3 )

están en la misma recta.

25.

Encontrar sobre el segmento de recta que une

P

1

(

1 ,

4 ,

−

3 )

y

P

2

(

1 ,

5 ,

−

1 )

, el punto que

está a

2 /

3

de la distancia de

P

1 a

P

2.

26.

Plano que contiene al eje

y

,y forma un ángulo de

π

/

6

con el semieje positivo

x

.

27.

Plano que pasa por los puntos

P

(

2 ,

1 )

y

Q

(

−

1 ,

−

1 )

0

2

7

6 x

+

y

+

z

=

.

(6)

29.

Dadas las rectas:

t

z

y

t

x

L

₁

:

=

,

=

2 ,

=

3 −

t

z

t

y

t

x

L

₂

:

=

3 ,

=

,

=

5 +

_.

Investigar la posición relativa de

L

1 y

L

2, y de acuerdo a ésta halle el plano o los

planos que las contienen.

30.

Sea Q el punto de intersección de la recta

z

y

x

L

−

=

1 −

=

3

1

2 :

_{, con el plano}

0

2

3 :

1

x

−

y

+

z

−

=

π

. Halle la ecuación del plano que contiene al eje coordenado Z y al punto Q.

31.

El plano

π

intercepta al plano

π

₁

:

2 x

−

y

+

3 z

−

7 =

0

en la recta

3 4 3 5

,

3

1 ,

1 :

x

=

−

t

y

=

−

+

t

z

=

t

+

L

_{, formando un ángulo recto.} _{Halle la}

ecuación del plano

π

.

32. Halla los puntos de la recta

2

4

1

5

1

3 :

2

x

+

=

−

z

=

y

−

L

,

cuya distancia al plano

8

4

2 :

x

−

y

+

z

=