TEMA 6 y 7 - RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
ECUACIONES DE LA RECTA
Para hallar la ecuación de una recta en el espacio necesito: • Dos puntos
• Un punto y su vector director
Nota: Nosotros utilizaremos siempre un punto A(x0,y0,z0) y un vector →
v = (a,b,c).
Si me dan dos puntos A(x0,y0,z0), B(x1,y1,z1) ⇒ Tomaremos uno de los mismos A(x0,y0,z0) y como vector
→ v =
→
AB = (x1- x0, y1 – y0, z1 – z0)
Ecuación vectorial: (x,y,z) = (x0,y0,z0) + k.(a,b,c) ∀ k ∈ R Ecuaciones paramétricas: + = + = + = kc z z kb y y ka x x 0 0 0 ∀ k ∈ R Ecuación continua: c z z b y y a x x 0 0 − 0 = − = −
Ecuación implícita (como intersección de dos planos):
= + + + = + + + 0 D z C y B x A 0 D z C y B x A 2 2 2 2 1 1 1 1
Ejemplo 1 : Halla las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos P(1,0,-1) y Q(2,1-3)
− = − − − = − = − ) 2 , 1 , 1 ( ) 1 , 0 , 1 ( ) 3 , 1 , 2 ( P Q PQ : Vector ) 1 , 0 , 1 ( P : Punto : r
Ecuación vectorial: (x,y,z) = (1,0,-1) + λ.(1,1,-2) ∀λ∈R Ecuaciones parámetricas: R 2 1 z y 1 x ∈ λ ∀ λ − − = λ = λ + = Ecuación continua: 2 1 z 1 y 1 1 x − + = = − Ecuación implícita: − = − − = − → + = + − = − 1 z x 2 1 y x 1 z 2 x 2 y 1 x
Ejemplo 2: Hallar dos puntos y un vector de las siguientes rectas: a) (x,y,z) = (2,0,-1) + t.(1,2,3) Puntos: ⇒ = ⇒ = (3,2,2) P 1 t (2,0,-1) P 0 t 2 1 Vector: (1,2,3) b) λλλλ −−−− ==== λλλλ −−−− ==== λλλλ ++++ ==== 4 3 z y 1 x Puntos: ⇒ = λ ⇒ = λ (2,-1,-1) P 1 (1,0,3) P 0 2 1 Vector (1,-1,-4) c) 3 2 z 4 1 y 2 1 x ++++ ==== −−−− ==== ++++ Puntos ⇒ = ) 2 1 (0,3,-P 0 x (-1,1,-2) P 2 1 Vector (2,4,3)
d) ==== ++++ −−−− ==== ++++ ++++ 4 z 3 y x 2 3 z y 2 x − − ≈ − 0 5 1 2 3 1 2 1 4 3 1 2 3 1 2 1 − = + − = + + ≈ 2 z y 5 3 z y 2 x − α = α = α − = → α − + α − = − α = α = 2 5 z y 7 5 x 5 2 2 3 x 2 5 z y − − − → ) 5 , 1 , 7 ( : Vector ) 3 , 1 , 2 ( P ) 2 , 0 , 5 ( P : Puntos 2 1
Nota: Otra forma de hallar el vector (7, 1, 5) 3 1 2 1 2 1 k j i − − = −
ECUACIONES DE UN PLANO
Para hallar la ecuación de un plano en el espacio necesito: • Tres puntos
• Un punto y dos vectores directores
Nota: Nosotros utilizaremos siempre un punto A(x0,y0,z0) y dos vectores →
v1 = (a1,b1,c1), →
v2 = (a2,b2,c2) Si me dan tres puntos A(x0,y0,z0), B(x1,y1,z1), C(x2,y2,z2) ⇒ Tomaremos uno de los mismos A(x0,y0,z0) y como vectores → v1 = → AB = (x1- x0, y1 – y0, z1 – z0) → v2 = → AC = (x2- x0, y2 – y0, z2 – z0)
Ecuación vectorial: (x,y,z) = (x0,y0,z0) + s.(a1,b1,c1) + t. (a1,b1,c1) ∀ s,t ∈ R Ecuaciones paramétricas: + + = + + = + + = 2 1 0 2 1 0 2 1 0 tc c . s z z tb b . s y y ta a . s x x ∀ s,t ∈ R
Ecuación implícita o general: Ax + By + Cz + D = 0 ⇒
0 c b a c b a z z y y x x 2 2 2 1 1 1 0 0 0 = − − − ⇒ Ax + By + Cz + D = 0 Vector normal = → n = (A,B,C) = → v1 x →
v2 (Es perpendicular a los dos vectores directores)
Nota: Si conocemos el vector normal y un punto podemos hallar directamente la ecuación general del plano. Del vector normal conocemos A, B y C ; y si sustituimos el punto hallamos D.
Ejemplo 3 : Hallar las ecuaciones del plano que pasa por los puntos A(0,1,-1), B(2,3,-5), C(1,4,3)
= = − = = − π ) 4 , 3 , 1 ( AC v ) 4 , 2 , 2 ( AB v : Vectores ) 1 , 1 , 0 ( A : Punto : 2 1
Ecuación vectorial: (x,y,z) = (0,1,-1) + s.(2,2,-4) + t.(1,3,4) ∀ s,t ∈ R Ecuaciones paramétricas: + − − = + + = + = t 4 s 4 1 z t 3 s 2 1 y t s 2 x ∀ s,t ∈ R
0 4 3 1 4 2 2 1 z 1 y x = − + − ⇒ 20x – 12(y-1)+4(z+1) = 0 ⇒ 5x-3y+z+4=0
Ejemplo 4: Hallar dos punto, dos vectores y el vector normal a) (x,y,z) = (1,2,3) + λλλλ(4,5,6) +µµµµ(1,0,3) Puntos: → = µ = λ 0, 1 P (2,2,6) (1,2,3) P 2 1 Vectores: − − = =v xv (15, 6, 5) n ) 3 , 0 , 1 ( v ) 6 , 5 , 4 ( v 2 1 2 1 b) λλλλ −−−− ==== µµµµ −−−− λλλλ ==== µµµµ ++++ λλλλ ++++ ==== 3 z 2 y 2 1 x Puntos: − → = µ = λ 0, 1 P (2, 1,3) (1,0,3) P 2 1 Vectores: − − − = = − − ) 4 , 1 , 1 ( v x v n ) 0 , 1 , 1 ( v ) 1 , 2 , 2 ( v 2 1 2 1 c) x + 2y – z = 4 z = x + 2y -4 Puntos: P(0,0,-4), Q(1,1,-1), R(1,0,-3) n(1,2,−1) Vectores: = = = = ) 1 , 0 , 1 ( PR v ) 3 , 1 , 1 ( PQ v 2 1
Ejemplo 5 : Hallar la ecuación del plano, cuyo vector normal es (1,2,3) y pasa por el punto (2,0,4)
0 14 z 3 y 2 x 14 D 0 D 3.4 2.0 2 0 D 3z 2y x = − + + ⇒ − = ⇒ = + + + = + + +
EJERCICIOS REPASO RECTAS Y PLANOS
Ejercicio 6 : Halla las ecuaciones paramétricas de los ejes de coordenadas
Eje OX R 0 z 0 y x ) 0 , 0 , 1 ( P P : Vector ) 0 , 0 , 0 ( P : Pto ) 0 , 0 , 1 ( P ) 0 , 0 , 0 ( P 2 1 1 2 1 ∀λ∈ = = λ = ⇒ = ⇒ Eje OY R 0 z y 0 x ) 0 , 1 , 0 ( P P : Vector ) 0 , 0 , 0 ( P : Pto ) 0 , 1 , 0 ( P ) 0 , 0 , 0 ( P 2 1 1 2 1 ∀λ∈ = λ = = ⇒ = ⇒ Eje OZ R z 0 y 0 x ) 1 , 0 , 0 ( P P : Vector ) 0 , 0 , 0 ( P : Pto ) 1 , 0 , 0 ( P ) 0 , 0 , 0 ( P 2 1 1 2 1 ∀λ∈ λ = = = ⇒ = ⇒
Ejercicio 7 : Escribe todas las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos A(-3,2,1) y B −−−− 0 , 2 3 , 2 5 r: − − − − = − − + − = − ) 2 , 1 , 1 ( || 1 , 2 1 , 2 1 1 0 , 2 2 3 , 3 2 5 AB : Vector ) 1 , 2 , 3 ( A : Punto
Ecuación vectorial: (x,y,z) = (-3,2,1) + λ.(1,-1,-2) ∀λ∈R Ecuaciones parámetricas: R 2 1 z 2 y 3 x ∈ λ ∀ λ − = λ − = λ + − = Ecuación continua: 2 1 z 1 2 y 1 3 x − − = − − = + Ecuación implícita: − = + − = + → − = − + − − = − − 5 z x 2 1 y x 1 z 6 x 2 2 y 3 x
Ejercicio 8 : Comprueba si existe alguna recta que pase por los puntos P(3,1,0),Q(0,-5,1), R(6,-5,1) Método: Hallamos la recta que pasa por P y Q, y comprobamos si R pertenece a la recta.
Recta que pasa por P y Q
1 z 6 1 y 3 3 x ) 1 , 6 , 3 ( PQ : Vector ) 0 , 1 , 3 ( P : Punto = − − = − − ⇒ − − =
Comprobamos si el punto R la cumple: 1 1 1 1 1 6 1 5 3 3 6 = = − ⇒ = − − − = − − ⇒ Falso.
No existe ninguna recta que pase por los puntos P, Q y R a la vez.
Ejercicio 9 : Halla todas las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A(-4,2,5) y es paralela al eje OZ. r: ⇒ − ) 1 , 0 , 0 ( v ) 1 , 0 , 0 ( P ) 0 , 0 , 0 ( P OZ eje Vector ) 5 , 2 , 4 ( A : Punto 2 1
Ecuación vectorial: (x,y,z) = (-4,2,5) + λ.(0,0,1) ∀λ∈R Ecuaciones parámetricas: R 5 z 2 y 4 x ∈ λ ∀ λ + = = − = Ecuación continua: 1 5 z 0 2 y 0 4 x+ = − = − Ecuación implícita: = − = + 0 2 y 0 4 x
Ejercicio 10 : Escribe todas las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P(1,-3,0) y paralela al vector uxv ,siendou(1,−−−−1,2),v(2,0,0) r: = − = − ) 1 , 2 , 0 ( || ) 2 , 4 , 0 ( 0 0 2 2 1 1 k j i v x u : Vector ) 0 , 3 , 1 ( A : Punto
Ecuación vectorial: (x,y,z) = (1,-3,0) + λ.(0,2,1) ∀λ∈R Ecuaciones parámetricas: R z 2 3 y 1 x ∈ λ ∀ λ = λ + − = = Ecuación continua: 1 z 2 3 y 0 1 x = + = − Ecuación implícita: − = − = ⇒ = + = − 3 z 2 y 1 x z 2 3 y 0 2 x 2 Ejercicio 11 :
a) Halla el vector director de la recta determinada por los planos
==== ++++ ==== −−−− 2 z y 0 y x
Modo 1: Pasando a paramétricas: y = α, x = α, z = 2 - α ⇒ v(1,1,-1)
Modo 2: Perpendicular a los vectores normales de los dos planos ( 1, 1,1) 1 1 0 0 1 1 k j i − − = −
Nota: Son paralelos, vale cualquiera de los dos.
b) Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta anterior
Modo 1: Directamente ⇒ Ecuaciones parámetricas: R 2 z y x ∈ α ∀ α − = α = α = Modo 2: − − = = = ) 1 , 1 , 1 ( v : Vector 2 z 0, y 0, x x, a ejemplo por un valor, Dado : Punto R 2 z y x ∈ α ∀ α + = α − = α − =
Ejercicio 12 : Dada la recta z 1 1 y 2 x ==== −−−− ++++
==== , exprésala como intersección de dos planos.
= − − = + ⇒ = + = − 0 z 2 x 1 y 2 x z 2 x 1 y 2 x
Ejercicio 13 : Halla todas las ecuaciones de los siguientes planos:
a) Determinado por el punto A(1,-3,2) y por los vectores u(2,1,0),v(−−−−1,0,3) Ecuación vectorial: (x,y,z) = (1,-3,2) + s.(2,1,0) + t.(-1,0,3) ∀ s,t ∈ R Ecuaciones paramétricas: + = + − = − + = t 3 2 z s 3 y t s 2 1 x ∀ s,t ∈ R
Ecuación implícita o general: Ax + By + Cz + D = 0
0 3 0 1 0 1 2 2 z 3 y 1 x = − − + − ⇒ 3(x – 1) -6(y + 3) + (z – 2) = 0 ⇒ 3x – 6y + z - 23 = 0
b) Pasa por el punto P(2,-3,1) y cuyo vector normal es (5,-3,-4) 0 15 z 4 y 3 x 5 15 D 0 D 4.1 -3.(-3) -5.2 0 D 4z -3y -5x = − − − ⇒ − = ⇒ = + = + c) Perpendicular a la recta 3 z 1 1 y 2 x ==== −−−− ++++
==== y que pasa por el punto (1,0,1)
π: 2x y 3z D 0 2 3 D 0 D 5 2x y 3z 5 0 ) 3 , 1 , 2 ( v n ) 1 , 0 , 1 ( P : Punto r = − + − ⇒ − = ⇒ = + + ⇒ = + + − ⇒ − = = = π π
Ejercicio 14 : Halla las ecuaciones paramétricas e implícitas de los planos OXY, OYZ y OXZ
OXY = = ) 0 , 1 , 0 ( P P ) 0 , 0 , 1 ( P P Vectores ) 0 , 0 , 0 ( PuntoP ) 0 , 1 , 0 ( P ), 0 , 0 , 1 ( P ), 0 , 0 , 0 ( P : Puntos 3 1 2 1 1 3 2 1 Ecuaciones paramétricas: = = = 0 z t y s x ∀ s,t ∈ R
Ecuación implícita o general: Ax + By + Cz + D = 0 ⇒ 0 0 1 0 0 0 1 z y x = ⇒ z = 0 Análogamente: OYZ: = = = t z s y 0 x ∀ s,t ∈ R, x = 0 OXZ: = = = t z 0 y s x ∀ s,t ∈ R, y = 0
Ejercicio 15 : Escribe las ecuaciones paramétricas de los planos
a) z = 3 b) x = -1 c) y = 2 a) = = = 3 z t y s x ∀ s,t ∈ R, b) = = − = t z s y 1 x ∀ s,t ∈ R, c) = = = t z 2 y s x ∀ s,t ∈ R,
Ejercicio 16:
a) ¿Cuál es el vector normal del plano x = -1? (1,0,0)
b) Escribe las ecuaciones de una recta perpendicular al plano que pase por A(2,3,0) r: r: = =nπ (1,0,0) v : Vector ) 0 , 3 , 2 ( A : Punto r
Ecuación vectorial: (x,y,z) = (2,3,0) + λ.(1,0,0) ∀λ∈R Ecuaciones parámetricas: R 0 z 3 y 2 x ∈ λ ∀ = = λ + = Ecuación continua: 0 z 0 3 y 1 2 x = − = − Ecuación implícita: = = − 0 z 0 3 y
POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS
POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTASCoincidentes Paralelas Secantes Se cruzan
Método: Escribimos las ecuaciones paramétricas de cada una de ellas (con distinto parámetro), las igualamos y resolvemos el sistema:
• Sistema compatible determinado ⇒ Existe una única solución ⇒ Se cortan en un punto ⇒ Secantes.
• Sistema compatible indeterminado ⇒ Existen infinitas soluciones ⇒ Se cortan en infinitos puntos ⇒ Coincidentes.
• Sistema incompatible ⇒ No existe solución ⇒ No se cortan ⇒ Paralelas o se cruzan. o Hallar el vector director de cada una
o Si son paralelos (proporcionales) las rectas son paralelas o Si no son paralelos, las rectas se cruzan.
POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS
Coincidentes Paralelos Secantes
Método: Escribimos las ecuaciones generales de cada uno de ellos y resolvemos el sistema: • Sistema compatible determinado ⇒ No puede ser
• Sistema compatible indeterminado ⇒ Existen infinitas soluciones ⇒ Se cortan en infinitos puntos ⇒ Se cortan en un plano o en una recta
o Si hay un grado de libertad ⇒ Un vector ⇒ Se cortan en una recta ⇒ Secantes
o Si hay dos grados de libertad ⇒ Dos vectores ⇒ Se cortan en un plano ⇒ Coincidentes • Sistema incompatible ⇒ No existe solución ⇒ No se cortan ⇒ Paralelos.
POSICIÓN RELATIVA ENTRE RECTA Y PLANO
Recta Contenida en el plano Secantes Paralelos
Escribimos las ecuaciones paramétricas de la recta y la general del plano y resolvemos el sistema: • Sistema compatible determinado ⇒ Existe una única solución ⇒ Se cortan en un punto ⇒
Secantes.
• Sistema compatible indeterminado ⇒ Existen infinitas soluciones ⇒ Se cortan en infinitos puntos ⇒ Recta contenida en el plano.
• Sistema incompatible ⇒ No existe solución ⇒ No se cortan ⇒ Paralelos. POSICIÓN RELATIVA DE TRES PLANOS
Coincidentes Dos coincidente y Dos coincidentes y Paralelos Paralelos el otro secante el otro paralelo
Dos paralelos Secantes en una recta Secantes en un punto Secantes 2 a 2
Y el otro secante en una recta
Escribimos las ecuaciones de los tres planos en forma general y resolvemos el sistema:
• Sistema compatible determinado ⇒ Existe una única solución ⇒ Se cortan en un punto • Sistema compatible indeterminado:
o Un grado de libertad: Se cortan en una recta
Dos planos coincidentes y el otro secante
Los tres se cortan en una recta
o Dos grados de libertad: Se cortan en un plano ⇒ Coincidentes • Sistema incompatible ⇒ No existe solución
o Dos coincidentes y el otro paralelo o Tres paralelos
o Dos paralelos y el otro los corta o Se cortan dos a dos en una recta
Ejemplo 17 : Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas: a) αααα −−−− ==== αααα ++++ ==== αααα −−−− ==== 5 z 2 y 5 x : r s: αααα ==== αααα −−−− ==== αααα −−−− ==== z 5 3 y 3 2 x
Vectores directores no paralelos, se Cruzan o se cortan
Resolvemos el sistema − ≈ ≈ − − − − ≈ − − − − → β = α − β − = α + β − = α − 35 0 0 4 4 0 1 5 1 ... 2 3 5 5 1 1 1 5 1 5 1 1 1 5 1 2 3 5 5 5 3 2 3 2 5
Rango A = 2, RangoA´= 3 ⇒ Sistema incompatible ⇒ No existe solución ⇒ Se cruzan. b) αααα −−−− ==== αααα ++++ ==== αααα −−−− ==== 5 z 2 y 5 3 x : r s: 2 z 2 y 4 10 1 x ==== −−−− ==== −−−−
Vectores directores paralelos (paralelas o
coincidentes), tomamos un punto de r, (3,2,5) y comprobamos si cumple s:
2 5 2 2 4 10 1 3 = − = − No lo cumple, por tanto , paralelas.
c) r: ==== ++++ ==== −−−− ==== t z t 5 3 y t 3 2 x
s: (x,y,z) = (1,0,5) + λλλλ(-1,2,0) Vectores no paralelos, se Cruzan o se cortan
Resolvemos el sistema → − = − → = λ → = → = λ = + λ − = − Cierto 14 1 15 2 14 5 t 5 t 2 t 5 3 1 t 3 2
Sistema compatible determinado ⇒ Existe una única solución, se cortan en un punto Hallar el punto de corte, como t = 5 ⇒ P(-13,28,5)
d) λλλλ ==== λλλλ −−−− ==== λλλλ ++++ ==== 2 z 3 y 2 x : r s: 2 2 z 1 2 y 1 3 x −−−− −−−− ==== −−−− ==== −−−− −−−−
Vectores directores paralelos (paralelas o
coincidentes) Cogemos un punto de s(3,2,2) y comprobamos si cumple r:
= λ = λ = λ → λ = λ − = λ + = 1 1 1 2 2 3 2 2 3 Si, por tanto coincidentes.
Ejemplo 18 : Estudiar la posición relativa de los siguientes planos. a) ==== ++++ ++++ −−−− ==== −−−− ++++ −−−− 0 40 z 16 y 12 x 4 0 11 z 4 y 3 x b) ==== ++++ ++++ −−−− ==== −−−− ++++ −−−− 0 3 z y 5 x 2 0 11 z 4 y 3 x c) ==== −−−− ++++ −−−− ==== −−−− ++++ −−−− 0 22 z 8 y 6 x 2 0 11 z 4 y 3 x Dos modos: O resolviendo el sistema o comparando sus vectores normales a) 40 11 16 4 12 3 4 1 = = − − −
= ⇒ La última igualdad no se cumple, paralelos
b) 3 11 1 4 5 3 2 1 − = = − −
= ⇒ Vectores normales no paralelos, se cortan en una recta.
Si nos piden la recta, resolvemos el sistema y obtenemos la recta en paramétricas. c) 22 11 8 4 6 3 2 1 − − = = − −
Ejemplo 19: Estudiar la posición relativa entre la recta y el plano: a) ππππ: x – 3y+5z+11=0 r: ++++ ==== −−−− ==== ++++ −−−− ==== t 6 4 z t 1 y 3 t 2 x
a) Sustituimos las ecuaciones de la recta en la ecuación del plano:
-2t + 3 -3(1 – t) + 5.(4 + 6t) + 11 = 0 ⇒ -2t + 3 -3 +3t + 20 + 30t + 11 = 0 ⇒ 31t + 31 = 0 ⇒ t = -1 Sistema compatible determinado. Existe una solución. Se cortan en un punto.
Si nos piden el punto de corte, sustituimos en las ecuaciones de la recta: P(5,2,-2)
b) z 4 2 y 2 3 2 x ==== ++++ ==== −−−− -y + 2z - 1 =0
b) Pasamos la recta a paramétricas y sustituimos en la ecuación del plano
-(2t-1) + 2t -1 = 0 ⇒ 0 = 0 ⇒ Sistema compatible indeterminado, existen infinitas soluciones ⇒ Recta contenida en el plano.
c) ==== ++++ −−−− ==== ++++ ==== t 2 z 2 t y 1 t 4 x x + 2y – z = 0
c) (4t + 1) + 2(-t + 2) – 2t = 0 ⇒ 5 = 0 ⇒ Sistema incompatible, no tiene solución ⇒ Paralelos Ejemplo 20 : Estudiar la posición relativa de estos tres planos:
a) ==== −−−− ++++ ++++ ==== −−−− ++++ ==== −−−− −−−− ++++ 0 2 z y x 0 1 z 2 y 3 0 3 z y 2 x
a) Resolvemos el sistema por Gauss y nos sale compatible determinado, existe una única solución
⇒ Se cortan en un punto P(7/4,1/2,-1/4) b) ==== −−−− ++++ −−−− ==== −−−− ++++ −−−− ==== −−−− ++++ −−−− 0 4 z y x 3 0 2 z y x 0 3 z y x 2
b) Resolvemos el sistema por Gauss y nos sale un sistema compatible indeterminado con un grado de libertad, es decir, se cortan en una recta. Como los planos no son paralelos entre se cortan los tres en una recta. c) ==== ++++ −−−− ++++ ==== −−−− ++++ ==== −−−− ++++ −−−− 0 4 z 3 y 2 x 2 0 z 2 y x 3 0 1 z y x
c) Resolvemos el sistema por Gauss y nos sale sistema incompatible, no tiene solución. Como ninguno es paralelo entre si, se cortan dos a dos en una recta (Tienda de campaña)
d) ==== ++++ ++++ ==== ++++ ++++ −−−− ==== ++++ ++++ 1 z ay x a az y x 2 1 a z y x
d) Como es un sistema con parámetros con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas, hallamos el determinante: 0 a 3a 2 0 a 1,a 2 1 a 1 a 1 2 1 1 1 2 + − = ⇒ = = − ⇒ =
CASO I: Si a = 1 Sistema 3 ' RangoA 2 RangoA 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 0 1 1 1 ⇒ = = ⇒ − − ≈ Incompatible
El primer y el tercer plano paralelos y el otros los corta en una recta.
CASO II: Si a = 2 Sistema
3 Incog º N 2 ' RangoA 2 RangoA 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 ... 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 ⇒ = = = ⇒ − ≈ ≈ Compatible
indeterminado con un grado de libertad (ninguno paralelo) se cortan en una recta.
CASO III: a∈R−
{ }
1,2 ⇒ |A| ≠ 0 ⇒ Sistema compatible determinado ⇒ Se cortan en un punto.Resolviendo (por Cramer o por Gauss) obtenemos el punto de corte en función de “a”.
REPASO DE RECTAS Y PLANOS Y POSICIONES RELATIVAS
Ejercicio 21 : Estudia la posición relativa de las siguientes rectas y halla el punto de corte, cuando sea posible:a) r: 4 1 z 2 2 y 3 1 x −−−− ==== ++++ ==== −−−− s: 3 2 z 2 3 y 1 2 x −−−− ==== −−−− ==== −−−− ++++
Vectores directores (3,2,4) y (-1,2,3) no paralelos, se cortan o se cruzan. Resolvemos el sistema:
+ β = + α + β = − α − β − = + α 2 3 1 4 3 2 2 2 2 1 3 − − − ≈ − − − ≈ − − − 153 0 0 21 8 0 3 1 3 15 13 0 21 8 0 3 1 3 1 3 4 5 2 2 3 1 3 3 ' RangoA 2 RangoA = = Sistema
incompatible, no existe solución, se Cruzan.
b) r: z 2 2 1 y 1 1 x −−−− ==== −−−− ==== −−−− −−−− s: 2 5 z 1 4 y 4 4 x −−−− ==== −−−− ==== −−−−
Vectores directores (-1,2,1) (4,1,2) no paralelos, se cortan o se cruzan. Resolvemos el sistema:
5 2 2 4 1 2 4 4 1 + β = + α + β = + α + β = + α − − − − ≈ − − − − ≈ − − − − 0 0 0 9 9 0 3 4 1 6 6 0 9 9 0 3 4 1 3 2 1 3 1 2 3 4 1 = = = 2 Incog º N 2 ' RangoA 2 RangoA Sistema
compatible determinado, existe una única solución, se cortan en un punto. ) 3 , 3 , 0 ( P 1 9 9 3 4 ⇒ − = β = β − = β − α − c) r: 3 1 z 1 y 2 x ++++ ==== −−−− ==== s: ==== ++++ −−−− ==== −−−− −−−− 0 1 z y 3 0 1 y 2 x Vectores directores (2,1,3), (2,1,3) 1 3 0 0 2 1 k j i = −
− Paralelos, Paralelos o coincidentes.
Tomamos un punto de r Pr(0,1,-1) y vemos si pertenece a s :
= + + = − − 0 1 1 3 0 1 2 0 No pertenece a s por tanto no pueden ser coincidentes. Son paralelas.
d) r: 4 z 3 y 2 1 x ==== ==== −−−− s: ++++ ==== ++++ ==== ++++ ==== t 8 4 z t 6 3 y t 4 3 x
Vectores directores (2,3,4), (4,6,8) paralelos, por tanto paralelas o coincidentes. Tomamos un punto de r: Pr(1,0,0) y comprobamos si pertenece a s:
− = − = − = ⇒ + = + = + = 2 / 1 t 2 / 1 t 2 / 1 t t 8 4 0 t 6 3 0 t 4 3 1 Si
pertenece a s por tanto son coincidentes.
Ejercicio 22 : Obtén el valor de a para que las rectas r y s se corten y halla el punto de corte.
r: x = y = z – a s: 0 2 z 2 3 y 3 1 x 2 −−−− ==== −−−− ++++ ==== −−−−
Pasamos a paramétricas y resolvemos el sistema:
= + α − β − = α + β = α 2 a 3 2 2 1 3 ⇒ 7 7 3 2 1 3 2 = β − ⇒ − = β + α = β − α ⇒ 3 a , 1 , 1α =− = − = β ⇒ P(-1.-1.2)
Ejercicio 23 : Halla los valores de m y n para que las rectas r y s sean paralelas: r: −−−− ==== ++++ ==== ++++ ==== t z t 3 y t 4 5 x s: n 3 z 3 1 y m x ++++ ==== −−−− ====
Los vectores directores proporcionales:
− = = ⇒ − = = 3 n 12 m n 1 3 1 m 4
Ejercicio 24 : Calcula m y n para que los planos: αααα: mx + y – 3z -1 = 0 ββββ: 2x + ny – z – 3 = 0 sean paralelos. ¿Pueden ser coincidentes?
Los vectores normales proporcionales:
= = − − = = 6 m 3 / 1 n 1 3 n 1 2 m
Para que sean coincidentes:
3 1 1 3 3 / 1 1 2 6 − − ≠ − − = = No son coincidentes.
Ejercicio 25 : Escribe la ecuación del plano que pasa por los puntos (0,0,0), (2,2,0) y (1,1,2)
Plano: = = ) 2 , 1 , 1 ( AC ) 0 , 2 , 2 ( AB : Vectores ) 0 , 0 , 0 ( A : Punto 0 2 1 1 0 2 2 0 z 0 y 0 x = − − − 4x – 4 y = 0 ⇒ x – y = 0
Ejercicio 26 : Determina la ecuación del plano que contiene al punto P(2,1,2) y a la recta 3 4 z 1 3 y 2 x −−−− −−−− ==== −−−− −−−− ==== −−−− P(2,1,2), Pr(2,3,4), vr(1,-1,-3) Plano: − − = = ) 3 , 1 , 1 ( v ) 2 , 2 , 0 ( PP : Vectores ) 2 , 1 , 2 ( P : Punto r r 0 3 1 1 2 2 0 2 z 1 y 2 x = − − − − − -4(x-2) + 2(y–1) -2(z-2)=0 -4x + 2y - 2z + 10 = 0 ⇒ -2x + y – z + 5 = 0
Ejercicio 27 : Comprueba que las rectas r: y z 2 2 1 x −−−− ==== ==== −−−− s: ==== −−−− ==== −−−− 11 y 2 x 5 z 2 x son paralelas y halla la ecuación del plano que las contiene.
Vectores directores proporcionales: vr(2,1,1), vs =
0 2 1 2 0 1 k j i − − = (-4, -2, -2) Pr(1,0,2) , vr(2,1,1), Ps (Por ejemplo z = 0, x = 5, y = -3 (5,-3,0)) Plano: − − =(4, 3, 2) P P ) 1 , 1 , 2 ( v : Vectores ) 2 , 0 , 1 ( P : Punto s r r r 0 2 3 4 1 1 2 2 z y 1 x = − − − − (x – 1) + 8y -10(z – 2) = 0 x + 8y – 10z + 19 = 0
Ejercicio 28 : ¿Son coplanarios los puntos A(1,0,0), B(0,1,0), C(2,1,0), D(-1,2,1)?
Con tres puntos A, B y C hallamos el plano que los contiene y comprobamos si D ∈ Al plano
Plano: = − = ) 0 , 1 , 1 ( AC ) 0 , 1 , 1 ( AB : Vectores ) 0 , 0 , 1 ( A : Punto 0 1 1 0 1 1 z y 1 x − − = 0 -2z = 0 ⇒ z = 0 ⇒ D no cumple que z = 0,
por tanto no son coplanarios.
Ejercicio 29 : Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos A(1,3,2) y B(-2,5,0) y es paralelo a la recta −−−− −−−− ==== ++++ ==== −−−− ==== t 3 2 z t 2 y t 3 x Plano: − − − − = ) 3 , 1 , 1 ( v ) 2 , 2 , 3 ( AB : Vectores ) 2 , 3 , 1 ( A : Punto r 0 3 1 1 2 2 3 2 z 3 y 1 x = − − − − − − − ⇒ -4(x–1) -7(y–3) – (z–2) = 0 -4x – 7y – z +27 = 0
Ejercicio 30 : Halla la ecuación del plano que contiene a la recta r: λλλλ ==== λλλλ −−−− −−−− ==== λλλλ ++++ ==== z 1 y 3 2 x y es paralelo a: s: 3 z 2 1 y 5 3 x −−−− ==== ++++ ==== −−−− Plano: − − − ) 3 , 2 , 5 ( v ) 1 , 1 , 3 ( v : Vectores ) 0 , 1 , 2 ( P : Punto s r r 0 3 2 5 1 1 3 z 1 y 2 x = − − + − (x – 2) +14(y + 1) +11z = 0 x + 14y + 11z +12 = 0
Ejercicio 31 : Dado el plano ππππ: 2x – 3y + z = 0 y la recta r:
2 1 z 1 2 y 1 1 x ++++ ==== −−−− −−−− ==== −−−− , halla la ecuación del plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano ππππ.
Plano: − − − π(2, 3,1) n ) 2 , 1 , 1 ( v : Vectores ) 1 , 2 , 1 ( P : Punto r r 0 1 3 2 2 1 1 1 z 2 y 1 x = − − + − − 5(x – 1) + 3.(y – 2) – (z + 1) = 0 5x + 3y – z – 12 = 0
Ejercicio 32 : Sea la recta r:
==== ++++ −−−− ==== ++++ −−−− 0 3 z x 2 0 z y x 3 y el plano ax – y + 4z – 2 = 0 a) Calcula el valor de a para que r sea paralela al plano.
b) ¿Existe algún valor de a para que r sea perpendicular al plano?
a) Vector director de la recta y vector normal del plano perpendiculares (vr.nπ = 0)
vr = 1 0 2 1 1 3 k j i − − = (1, 5,2) vr.nπ = (1,5,2).(a,-1,4) = a – 5 + 8 = 0 ⇒ a = -3
b) Vector de la recta y vector normal del plano, paralelos:
4 2 1 5 a 1 = − = . No existe.
Ejercicio 33 : Dados la recta r:
==== −−−− −−−− ==== ++++ −−−− 0 4 z y 0 3 z 2 x y el plano ππππ: x + 2y + 3z – 1 = 0, halla la ecuación de una recta s contenida en el plano ππππ que pase por el punto P(2,1,-1) y sea perpendicular a r. Recta s: − = = = = − − = = = − π π π (1, 5,3) 3 2 1 1 1 2 k j i xn v ) 3 , 2 , 1 ( n ) 1 , 1 , 2 ( 1 1 0 2 0 1 k j i v xn v v : Vector ) 1 , 1 , 2 ( P : Punto r r r s 3 1 z 5 1 y 1 2 x = + − − = −
Ejercicio 34 : Halla la ecuación de una recta que cumpla las condiciones siguientes: 1) Es paralela a la recta de ecuaciones: r:
==== ++++ ==== ++++ 5 z 3 y 5 z 2 x
2) Pasa por el punto de intersección de la recta s con el plano ππππ: s: 3 2 z 2 3 y 4 1 x ++++ ==== ++++ ==== −−−− ππππ: x – y + z = 7 vr: z = α, x = 5 - 2α, y = 5 - 3α ⇒ vr(-2,-3,1) Pr : s: 4t 1 (2t 3) (3t 2) 7 5t 5 t 1 P(5, 1,1) 2 t 3 z 3 t 2 y 1 t 4 x r − ⇒ = ⇒ = ⇒ = − + − − + ⇒ − = − = + = 1 1 z 3 1 y 2 5 x − = − + = − −
Ejercicio 35 : Escribe la ecuación del plano que pasa por los puntos A(1,-3,2) y B(0,1,1) y es paralelo a la recta r: ==== −−−− ++++ ==== ++++ −−−− 0 3 z 3 y 2 0 1 y 2 x 3 Plano: − − − − = − = − − = − ) 2 , 3 , 2 ( || ) 6 , 9 , 6 ( 3 2 0 0 2 3 k j i v ) 1 , 4 , 1 ( AB : Vectores ) 2 , 3 , 1 ( A : Punto r 0 2 3 2 1 4 1 2 z 3 y 1 x = − − − − − + − 5(x – 1) + 4(y + 3) + 11(z – 2) = 0 ⇒ 5x + 4y + 11z – 15 = 0
Ejercicio 36 : Dados los planos mx + 2y – 3z – 1 = 0 y 2x – 4y + 6z + 5 = 0, halla m para que sean: a) Paralelos b) Perpendiculares
a) Proporcionales: 6 3 4 2 2 m = − − = ⇒ m = -1
b) Vectores normales perpendiculares: (m,2,-3).(2,-4,6) = 0 ⇒ 2m – 8 -18 = 0 ⇒ m = 13
Ejercicio 37 : Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,2,3) y es perpendicular al plano que pasa por el origen y por los puntos B(1,1,1) y C(1,2,1).
Recta: − = + − ⇒ = π ⇒ π = π 0 x z 0:v ( 1,0,1) 1 2 1 1 1 1 z y x : ) 1 , 2 , 1 ( OC ) 1 , 1 , 1 ( OB : Vectores ) 0 , 0 , 0 ( O : Punto : n v : Vector ) 3 , 2 , 1 ( P : Punto r r 1 3 z 0 2 y 1 1 x = − = − − −
Ejercicio 38 : Escribe la ecuación del plano que contiene a la recta r: ==== ++++ −−−− ==== −−−− ++++ 0 z y x 2 0 1 y x y es paralelo a s: 4 2 z 3 y 2 x 1 −−−− ++++ ==== ==== −−−− −−−− Plano: − −2,3, 4) ( v v : Vectores P : Punto s r r Pasamos r a paramétricas: y = α, x = 1 - α, z = -2 + 2α + α = 3α - 2 − − ) 3 , 1 , 1 ( v ) 2 , 0 , 1 ( P r r Plano: 0 4 3 2 3 1 1 2 z y 1 x = − − − + − -13(x – 1) -10y – (z + 2) = 0 ⇒ -13x – 10y – z +11 = 0
Ejercicio 39 : Indica qué condiciones deben cumplir a, b, c y d, para que el plano ππππ: ax + by + cz + d = 0 sea:
a) Paralelo al plano OXY b) Perpendicular al plano OXY c) Paralelo al eje Z d) Perpendicular al eje X e) No sea paralelo a ninguno de los ejes.
a) nπ || noxy 1 c 0 b 0 a = = ⇒ a = 0, b = 0 b) nπ.nOXY = 0 (a,b,c).(0,0,1) = 0 ⇒ c = 0 c) nπ .vZ =0 (a,b,c).(0,0,1) = 0 ⇒ c = 0 d) nπ || vX 0 c 0 b 1 a = = ⇒ b = 0, c = 0
e) No es paralelo a ninguno de los ejes, a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 Autoevaluación pág 181 del libro.
ÁNGULOS
ANGULO ENTRE DOS RECTAS Cos (r1,r2) = cos (
→ v1, → v2) = 2 → 1 → 2 → 1 → v . v v . v
ANGULO ENTRE DOS PLANOS Cos (ΠΠΠΠ1, ΠΠΠΠ2) = cos(
→ n1, → n2) = 2 → 1 → 2 → 1 → n . n n . n
ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO Sen (r, Π) = cos ( → vr, → nΠ) = π → r → π → r → n . v n . v
Ejemplo 40 : Hallar el ángulo que forman las siguientes rectas: r: 1 z 3 1 y 5 3 x −−−− ==== ++++ ==== −−−− s: ==== ++++ −−−− ==== −−−− ++++ 0 5 y 2 x 4 z 5 y 3 x 2 cos (r,s) = cos (vr, vs) ⇒ − − − = − − = − ) 7 , 5 , 10 ( || ) 7 , 5 , 10 ( 0 2 1 5 3 2 k j i v ) 1 , 3 , 5 ( v s r ⇒ cos(vr,vs) = 74 , 0 174 . 35 58 49 25 100 . 1 9 25 7 15 50 | v | . | v | v . v s r s r = = + + + + − + = ⇒ α = 41º 59’ 35,79’’
Ejemplo 41 : Hallar el ángulo que forman los siguientes planos: ππππ1 : x + 8y – 4z = 0 ππππ2: 2x – y + 3 = 0 cos (π1,π2) = cos (nπ1, nπ2) = 0,3 5 . 81 6 0 1 4 . 16 64 1 8 2 | n | . | n | n . n 2 1 2 1 = = + + + + − = π π π π ⇒ α = 72º 39’ 14,16’’
Ejemplo 42 : Hallar el ángulo que forman la recta y el plano: r: (x,y,z) = (3,-1,1) + t.(2,5,-1) ππππ: 2x – 5y +7z – 11 = 0 sen (r,π) = sen (vr, nπ) = 0,57 78 . 30 28 49 25 4 . 1 25 4 7 25 4 | n | . | v | n . v r r = = + + + + − − = π π ⇒ α = 35º 22’ 5,54’’
Ejercicio 43 : Halla el valor de m para que r y s formen un ángulo de 90º: r: −−−− −−−− ==== ==== −−−− ==== t 2 z t y t 5 2 x s: ==== ==== ++++ ==== mt z t 2 y t 2 x vr.vs = 0 ⇒ (-5,1,-1).(1,2,m) = 0 ⇒ -5 + 2 – m = 0 ⇒ m = -3
Ejercicio 44 : Halla, en cada caso, el ángulo que forman la recta y el plano: a) r: 2 z 4 3 y 2 1 x ==== ++++ ==== −−−− ++++ ππππ: x – 2y – z + 1 = 0 sen (r,π) = sen (vr, nπ) = 1 6 . 24 12 1 4 1 . 4 16 4 2 8 2 | n | . | v | n . v r r = = + + + + − − − = π π ⇒ α = 90º b) r: x = t; y = 1 + 2t; z = -2 ππππ: 2x – y + z = 0 sen (r,π) = sen (vr, nπ) = 0 1 1 4 . 0 4 1 0 2 2 | n | . | v | n . v r r = + + + + + − = π π ⇒ α = 0º c) r: 1 z 1 3 y 2 1 x ==== −−−− ==== −−−− ππππ: x + z = 17 sen (r,π) = sen (vr, nπ) = 0,87 2 . 6 3 1 0 1 . 1 1 4 1 2 | n | . | v | n . v r r = = + + + + + = π π ⇒ α = 60º
Ejercicio 45 : Calcula el ángulo que forman los dos planos siguientes: αααα: z = 3 ππππ: x – y + 2z + 4 = 0 cos (α,π) = cos (nα, nπ) = 0,82 6 . 2 4 1 1 . 1 0 0 2 0 0 | n | . | n | n . n = = + + + + + + = π α π α ⇒ α = 35º 15’ 51,8’’
Ejercicio 46 : Hallar los tres ángulos de un triángulo cuyos vértices son: A(0,0,0), B(1,2,1), C(3,1,1) AB = (1,2,1), AC = (3,1,1), BC = (2,-1,0) Cos (AB,AC) = 0,74 11 . 6 6 1 1 9 . 1 4 1 1 2 3 = = + + + + + + = ⇒ α = 42º 23’ 31,36’’ Cos (AB,BC) = 0 5 . 6 0 0 1 4 . 1 4 1 0 2 2 = = + + + + + − = ⇒ α = 90º α = 180º - 90º - 42º 23’ 31,36’’ = 47º 36’ 28,64’’
Ejercicio 47 : Hallar el ángulo que forma el plano ππππ: x – 2y + z = 0 con cada uno de los ejes coordenados.
sen (OX,π) = sen ((1,0,0), nπ) = 0,41 6 1 1 4 1 . 1 1 | n | . | v | n . v OX OX = = + + = π π ⇒ α = 24º 5’ 41,43’’
sen (OY,π) = sen ((0,1,0), nπ) = 0,82 6 2 1 4 1 . 1 2 | n | . | v | n . v OY OY = = + + − = π π ⇒ α = 54º 44’ 8,2’’
sen (OZ,π) = sen ((0,0,1), nπ) = 0,41 6 1 1 4 1 . 1 1 | n | . | v | n . v OZ OZ = = + + = π π ⇒ α = 24º 5’ 41,43’’
DISTANCIA ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS: A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2)d(A,B) = | → AB | =
(
) (
) (
2 1)
2 2 1 2 2 1 2 x y y z z x − + − + −DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA
d(P,r) = r → r → → r v v x PP
DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO: P(x0,y0,z0), Π: Ax + By + Cz + D = 0 d(P, Π) = 2 2 2 0 0 0 C B A D Cz By Ax + + + + +
DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS d(r,s) =
[
]
s r s r s r x v v P P , v , vDISTANCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO d(r, Π) = d(Pr, Π)
DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS d(Π1, Π2) = d(P1, Π2) Si 2 2 2 2 1 2 1 C B A ' D D ) , ( d 0 ' D Cz By Ax : 0 D Cz By Ax : + + − = π π ⇒ = + + + π = + + + π
Ejemplo 48 : Hallar la distancia entre los puntos P(1,2,0) y Q(2,-3,1) d(P,Q) = (2−1)2 +(−3−2)2 +(1−0)2 = 1+25+1= 27 =3. 3u=5,2u
Ejemplo 49 : Halla la distancia del punto P(5,-1,6) y la recta r:
++++ ==== −−−− ==== −−−− ==== t 5 z t y t 2 1 x =(-4,1,-1) PPr 1) vr(-2,-1, Pr(1,0,5), : r ⇒ PPr x vr = (0,6,6) 1 1 2 1 1 4 k j i = − − − − d(P,r) = r → r → → r v v x PP = 12 2. 3u 3,46u 1 1 4 36 36 0 = = = + + + +
Ejemplo 50 : Halla la distancia del punto P(1,2,3) al plano ππππ: 2x + 3y – z =-7
d(P, Π) = 3,21u 14 12 1 9 4 7 3 2 . 3 1 . 2 = = + + + − +
Ejemplo 51 : Halla la distancia entre las rectas r: ++++ ==== −−−− ==== ++++ ==== t 2 8 z 1 y t 5 x s: ++++ ==== −−−− ==== ++++ ==== t 4 5 z t 3 y t 3 4 x
[
]
[(3 0 24) (2 16 0)] 9 3 4 1 4 1 3 2 0 1 P P , v , v ) 3 , 4 , 1 ( P P ) 4 , 1 , 3 ( v ), 5 , 3 , 4 ( P : s ) 2 , 0 , 1 ( v ), 8 , 1 , 5 ( P : r s r s r s r s s r r = + + − + + = − − − = ⇒ − − − − Vr x Vs = (2,2, 1) 4 1 3 2 0 1 k j i − = − ⇒ d(r,s) =[
]
s r s r s r x v v P P , v , v = 3u 1 4 4 | 9 | = + +Ejemplo 52: Halla la distancia entre la recta r:
1 2 z 2 1 y 5 3 x −−−− ++++ ==== −−−− ==== −−−− y el plano ππππ: x – 3y –z + 6=0 d(r, Π) = d(Pr, Π) = 2,41u 11 8 1 9 1 6 ) 2 ( 1 . 3 3 = = + + + − − −
Ejemplo 53 : Halla la distancia entre dos planos: ππππ1: x – 5y + 2z – 19 = 0, ππππ2: 2x – 10y + 4z = 0
π1: 2x – 10y + 4z – 38 = 0 ⇒ 2 2 2 2 1 C B A ' D D ) , ( d + + − = π π = 3,47 120 38 16 100 4 0 38 = = + + − − u
Ejercicio 54 : Halla la distancia que hay entre los puntos A(2,5,-2), B(-1,1,-2) d(A,B) = (−1−2)2 +(1−5)2 +(−2+2)2 = 9+16+0 = 25 =5u
Ejercicio 55 : Considera la recta r:
==== ++++ −−−− ==== −−−− 1 z x 3 y x y el plano ππππ: x + y – 2z = 1 a) Halla las coordenadas del punto S donde se cortan r y ππππ
Pasamos la recta a paramétricas y resolvemos el sistema: x = α, y = α + 3, z = 1 - α α + (α + 3) -2(1 - α) = 1 ⇒ 4α = 0 ⇒ α = 0 ⇒ S(0,3,1)
b) Calcula la distancia del punto P(4,0,1) al punto S del apartado anterior. d(P,S) = (0−4)2 +(3−0)2 +(1−1)2 = 16+9+0 = 25 =5u
Ejercicio 56 : Calcula la distancia entre el punto P(2,-3,1) y el plano ππππ: 3x – 4z = 3 d(P, Π) = 0,2u 5 1 16 0 9 3 1 . 4 2 . 3 = = + + − −
Ejercicio 57 : Calcula la distancia entre el punto Q(2,-1,0) y el plano que contiene a P(2,0,4) y a r:
==== ++++ ==== −−−− ==== 4 z t 3 2 y t 2 3 x Plano: 0 0 3 2 0 2 1 4 z y 2 x ) 0 , 3 , 2 ( v ) 0 , 2 , 1 ( ) 4 , 0 , 2 ( ) 4 , 2 , 3 ( PP : Vectores ) 4 , 0 , 2 ( P : Punto r r = − − − ⇒ − = − = ⇒ 7(z – 4) = 0 ⇒ z-4=0 d(Q, Π) = 4u 1 0 0 4 0 = + + −
Ejercicio 58: Halla la distancia entre los siguientes pares de planos: a) ππππ1: x – 2y + 3 = 0 ππππ2: 2x – 4y + 1 = 0 π1: 2x – 4y + 6 = 0 ⇒ 2 2 2 2 1 C B A ' D D ) , ( d + + − = π π = 1,12u 20 5 16 4 1 6 = = + − b) 3x – 2y + z – 2 = 0 ππππ2: 2x – y + z = -5
No son paralelos, se cortan ⇒ d(π1,π2)=0
Ejercicio 59 : Halla la distancia entre la recta r:
λλλλ ++++ −−−− ==== λλλλ ==== λλλλ ++++ ==== 7 1 z 3 y 4 2 x y el plano ππππ: 3x – 4y – 3 = 0 d(r, Π) = d(Pr, Π) = d((2,0,-1),3x-4y-3=0) = 0,6u 5 3 0 16 9 3 0 . 4 2 . 3 = = + + − −
Ejercicio 60 : Calcula la distancia que hay entre el punto P(3,1,6) y la recta r: x = 4 + 4αααα; y = 2 + αααα; z = -1 - 3αααα =(1,1,-7) PPr ) vr(4,1,-3 , Pr(4,2,-1) : r ⇒ PPr x vr = (4, 25, 3) 3 1 4 7 1 1 k j i − − = − − d(P,r) = r → r → → r v v x PP = 25 5u 26 650 9 1 16 9 625 16 = = = + + + +
Ejercicio 61 : Halla la distancia entre las rectas r:
λλλλ ++++ ==== λλλλ −−−− −−−− ==== λλλλ ==== 5 9 z 3 10 y 4 x s: ++++ ==== ++++ ==== −−−− ==== t 4 z t 9 1 y t 12 2 x
[
]
[( 180 6 660) (90 44 180)] 800 5 11 2 1 9 12 5 3 4 P P , v , v ) 5 , 11 , 2 ( P P ) 1 , 9 , 12 ( v ), 4 , 1 , 2 ( P : s ) 5 , 3 , 4 ( v ), 9 , 10 , 0 ( P : r s r s r s r s s r r = − − − − + − =− − − − = ⇒ − − − − Vr x Vs = ( 48. 64,0) 1 9 12 5 3 4 k j i − − = − − ⇒ d(r,s) =[
]
s r s r s r x v v P P , v , v = 10u 80 800 4096 2304 | 800 | = = + −EJERCICIOS IMPORTANTES
Corta o se apoya
Ejercicio 62 : Halla las ecuaciones de la recta r que pasa por el punto P(2,0,-1) y corta a las rectas s1: 1 1 z 1 2 y 2 2 x ++++ ==== −−−− −−−− ==== −−−− s2: ==== ++++ −−−− ==== ++++ ++++ 0 3 z 3 y 0 4 y x Ps1 (2α+2,-α+2,α-1), Ps2(z=β,y=-3+3β,x=-1-3β)=(-1-3β,-3+3β,β) PPs1 paralelo a PPs2 ⇒ 1 3 3 2 3 3 2 + β α = β + − + α − = β − − α − = β = α = β + α ⇒ = αβ + α = αβ − β − α ⇒ αβ − α − = α + αβ β − αβ + − α = αβ + α − 1 0 0 ) 1 ( 5 0 5 5 6 3 6 9 3 3 2 2 6 3 6 3 6 6 Si α = 0 ⇒ - 6β=6 ⇒ β = -1 ⇒ 0 0 6 2 0 0 = − = ⇒ cierto r: 0 1 x 2 y 0 2 x ) 0 , 2 , 0 ( PP : Vector ) 1 , 0 , 2 ( P : Punto 1 s + = = − ⇒ = −
Ejercicio 63 : Halla la ecuación de la recta que pasa por A(1,1,1), es paralela al plano ππππ: x – y + z – 3 = 0 y corta a la recta r: ==== ==== 3 y 1 x
APr es perpendicular a nπ(Producto escalar cero): Pr(1,3,α) ⇒ − − α π(1, 1,1) n ) 1 , 2 , 0 ( APr APr.nπ = (0,2,α-1).(1,-1,1) = 0 ⇒ -2 + α -1 = 0 ⇒ α = 3 ⇒ r: y 1 z 1 0 1 x ) 1 , 1 , 0 ( || ) 2 , 2 , 0 ( AP : Vector ) 1 , 1 , 1 ( A : Punto r − = − = − ⇒
Ejercicio 64 : Halla la ecuación de la recta s que pasa por el punto P(2,-1,1) y corta perpendicularmente a la recta r: 3 z 2 1 y 1 3 x ==== ++++ ==== −−−−
PPr perpendicular a vr (Producto escalar nulo)
= − α α + α = − − α − α + α = ⇒ ) 3 , 2 , 1 ( v ) 1 3 , 2 , 1 ( ) 1 , 1 , 2 ( ) 3 , 1 2 , 3 ( PP r r PPr.vr = 0 ⇒ α + 1 + 4α + 9α - 3 = 0 ⇒ 14α - 2 = 0 ⇒ α = 1/7 Recta: 2 1 z 1 1 y 4 2 x ) 2 , 1 , 4 ( || ) 7 / 4 , 7 / 2 , 7 / 8 ( PP : Vector ) 1 , 1 , 2 ( P : Punto r − − = + = − ⇒ − − = −
Ejercicio 65 : Halla la recta perpendicular común a las rectas: r: 2 3 z 1 1 y 0 x ++++ ==== −−−− ==== s: 3 z 1 1 y 1 1 x ==== −−−− ++++ ==== −−−− Recta r: Pr(0,α+1,2α-3) vr(0,1,2) Recta s: Ps(β+1,- β-1,3β) vs(1,-1,3)
V= vr x vs = (5,2, 1) 3 1 1 2 1 0 k j i − = − − Pr.Ps paralelo a v: 4/3 4 5 5 12 5 7 6 4 6 2 10 5 5 2 2 1 3 2 3 2 2 5 1 ⇒β=− − = α − β − = α + β ⇒ + α − = + α + β − α − − = + β ⇒ − + α − β = − α − β − = + β Recta: 1 4 z 2 3 / 1 y 5 3 / 1 x ) 1 , 2 , 5 ( v : Vector ) 4 , 3 / 1 , 3 / 1 ( P : Punto s − + = − = + ⇒ − = − −
Ejercicio 66 : Encuentra la recta que pasa por el punto P(1,0,-1) y corta a las rectas l1 y l2 de
ecuaciones: l1: ==== −−−− ++++ −−−− ==== −−−− ++++ 0 4 z y x 2 1 z y 2 x 3 l2: ++++ ==== ==== ++++ ==== t 1 z t y t 3 x Pasamos l1 a paramétricas: − α − = α − − = α = ≈ − = + − = + + − ≈ − − ≈ − − − 9 7 z 5 5 y x 5 y x 5 1 y 2 x 3 z 3 1 5 0 1 2 3 1 4 1 2 1 1 2 3 1 PPl1 paralelo a PPl2 ⇒ 1 7 8 7/8 t 2 8 7 t 5 5 t 2 1 ⇒α− =− α− ⇒α=− + − α − = α − − = + − α Recta: 3 1 z ` 1 y 3 1 x ) 3 , 1 , 3 ( || ) 8 / 15 , 8 / 5 , 8 / 15 ( PP : Vector ) 1 , 0 , 1 ( P : Punto 1 l + = = − ⇒ − − − −
Ejercicio 67 : Comprueba que las rectas: r:
==== ++++ ==== ==== t z t 5 y 1 x s: ==== ++++ −−−− ==== ++++ ==== 7 z t 5 y t 3 7 x se cruzan. Halla la ecuación de la recta perpendicular a ambas.
Comprobar que se cruzan: vr (0,1,1), vs(3,1,0) no son paralelos, se cortan o se cruzan. Resolvemos el sistema: = − = − = ⇒ = + − = + + = 7 t 12 t 2 s 7 t s 5 t 5 s 3 7 1
Sistema incompatible, no tiene solución. Se cruzan.
Recta perpendicular común: PrPs perpendicular a vr,vs PrPs = (6+3s, -10+s-t, 7-t) Vector perpendicular a vr y a vs ⇒ v = vr x vs = ( 1,3, 3) 0 1 3 1 1 0 k j i − − = PrPs paralelo a v ⇒ 3 t 7 3 t s 10 1 s 3 6 − − = − + − = − + ⇒ − = − = ≈ − = − − = + ≈ − = + − + − = − − 2 t 1 s 9 s 3 t 6 11 s 9 t t 3 21 t 3 s 3 30 t 7 s 9 18 Recta: 3 2 z 3 3 y 1 1 x ) 3 , 3 , 1 ( : Vector ) 2 , 3 , 1 ( P : Punto r − + = − = − − ⇒ − − −
Proyección ortogonal
Ejercicio 68 : Calcula la proyección ortogonal de la recta r:
λλλλ ==== λλλλ −−−− ==== λλλλ −−−− −−−− ==== 2 z y 1 x sobre el plano ππππ: 2x- 3y + z + 1 = 0 [1] P = r ∩π: 2(-1-λ) – 3(-λ) + 2λ + 1 = 0 ⇒ 3λ = 1 ⇒ λ = 1/3 ⇒ P(-4/3, -1/3, 2/3) [2] Q un punto cualquiera de r (distinto de P): Q(-1,0,0)
[3] r’ = − = + − = ⇒ − = = − π t z t 3 y t 2 1 x : ' r ) 1 , 3 , 2 ( n v : Vector ) 0 , 0 , 1 ( Q : Punto ' r [4] Q’ = r’ ∩π: 2(-1+2t) – 3(-3t) + t + 1 = 0 ⇒ 14t = 1 ⇒ t = 1/14 ⇒ Q’(-12/14,-3/14,1/14) [5] s es la recta que pasa por P y Q’ ⇒ s:
− − = − − ) 5 , 1 , 4 ( || ) 42 / 25 , 42 / 5 , 14 / 20 ( ' PQ : Vector ) 3 / 2 , 3 / 1 , 3 / 4 ( P : Punto S: α − = α + − = α + − = 5 3 2 z 3 1 y 4 3 4 x ∀α∈ R Simétricos
Ejercicio 69 : Halla el punto simétrico de P(1,0,1) respecto del plano ππππ: x – y + z = 1
[1] Calcular la recta r: + = − = + = ⇒ − = = π t 1 z t y t 1 x : r ) 1 , 1 , 1 ( n v : Vector ) 1 , 0 , 1 ( P : Punto r [2] Calcular el punto C = r ∩π: 1+t –(-t) + 1 + t = 1 ⇒ 3t = -1 ⇒ t = -1/3 ⇒ C(2/3,1/3,2/3) [3] C es el punto medio de P y P’: + + = 2 1 z , 2 y , 2 1 x 3 2 , 3 1 , 3 2 ⇒ P’ 3 1 , 3 2 , 3 1
Ejercicio 70 : Determina el punto simétrico de A(-3,1,-7) respecto de la recta r: 2 1 z 2 3 y 1 1 x ++++ ==== −−−− ==== ++++ [1] Calcular el plano π: ⇒ = = − − π v (1,2,2) n : Vector ) 7 , 1 , 3 ( A : Punto r x + 2y + 2z + D ⇒ -3 + 2 – 14 + D = 0 ⇒ D = 15 ⇒ x + 2y + 2z + 15 = 0 [2] Calcular el punto C = r ∩π: (t-1) + 2(2t+3) + 2(2t-1) + 15 = 0 ⇒ 9t = -18 ⇒ t = -2 ⇒ C(-3,-1,-5) [3] C es el punto medio de A y A’:
(
)
− − − = − − − 2 5 z , 2 1 y , 2 3 x 5 , 1 , 3 ⇒ A’(-3,-3,-3)
