03.Markovitz1.pdf

Teoría de Finanzas: Markowitz p

R

=

aX b

+

Y

Y

, )

Y

(

)

p X

E

=

E aX bY

+

=

aE

+

bE

2

₍

₎

2 2 2 2 2

₂

_cov(

p

E R

p

E

p

a

X

b

Y

ab

X Y

σ

=

−

=

σ

+

σ

+

[

]

cov( , )

X Y

=

E X E

(

−

_X

)(

Y E

−

_Y

)

=

E X Y

( . )

−

E E

_X

i

p

X Y

E

_X

E

_Y

σ

_X2

σ

_Y2

cov( , )

X Y

0.2 11% -3% 0.2 9% 15% 0.2 25% 2% 0.2 7% 20% 0.2 -2% 6%

10% 8% 0.76% 0.71% -0.24%

Ejemplo:

a

=

1

₂

•

E

p

=

1

₂

E X Y

(

+

)

=

1

₂

(10% 8%) 9%

+

=

•

σ

p2

σ

2

1

₂

(

X Y

)

1

₄

σ

2

(

X Y

)

₄

1

σ

X2

σ

2

2 cov( ,

X Y





_

_

=

_

+

_

=

+

=

_

+

+

_





Y

)

•

⇒

σ

_p

≅

5%

¿Análisis?

2

2

2 2 2

0.76

10%

0.71

8%

X X

Y X

p y X

E

E

σ

σ

σ

σ

σ



=

=







=

=







_<

_<







Portafolio

⇒

combinación entre X e Y definido por “a” diferentes combinaciones riesgo-retorno

Ejemplo: 5 estados de la naturaleza

Porcentaje en X Porcentaje en Y Ep σp

100 0 10 % 8.72 %

75 25 9.5 % 6.18 %

50 50 9 % 4.97 %

25 75 8.5 % 5.96 %

0 100 8 % 8.41 %

(1

)

p

R

=

aX

+ −

a Y

(1

)

p X

E

=

aE

+ −

a E

_Y

10% 8% 2%

p

X Y

E

E

E

k

a

∂

=

−

= =

−

=

∂

Pendiente de la relación Ep/a

(Rp)

σ ∼

( )

E R

a

25 50 100

0

8

9 2%

10

a

50 100

0 4.97

8.72 8.4

(Rp)

σ ∼

( p)

E R∼ X

Y

9

5% 8.4 8.72

• Diversificación , invertir gran porcentaje de riqueza en el activo menos riesgoso (Y) aumenta el riesgo

p

σ

↓

p

σ

• XY cov( , )

X Y

X Y

ρ

σ σ

= _o

ρ σ σ

_{XY X Y} =_{cov( , )X Y}

Covarianza y correlación

Cov(X,Y)= -0.24% ρxy= -0.33% -1≤ρxy≤1

X

E E_Y

co

v( , )

X Y

=

E X E

[

(

−

_X

)(

Y E

−

_Y

)

]

=

E X Y

( . )

−

E E

_{X Y} = ±

( . )

_{X Y}

cov( , )

E X Y

=

E E

+

X Y

Si X e Y independientes cov( , ) 0 0

cov( , ) / 1 Correlac. perf.

XY XY

X Y X Y

ρ

ρ

⇒ = ⇔

 

 _{⇒ =}

 

Independientes: “cara y par”

→

mercados financieros

→

Retornos Activos sin relacion

 

 

 

 

→

ρ

XY 0 cov( , ) 0X Y

ρ = ⇒ =

coeficiente de correlación no significativo

XY

Correlación perfecta: Regresión donde

→

supuesta normalidad bondad de ajuste Propiedad de

ε

 

⇒

 

 

 

¿

?

Y a bX

b

ε

ρ

= +

=

+

•

• •

•

• • •

•

• •

• •

•

X Y

• •

• •

• • •

•

•

• •

• _X

Y

Ejemplo

ρ

XY =1

Probabilidad X Y

0.2 -1.408 % -3 %

0.2 17.252 % 15 %

0.2 3.777 % 2 %

0.2 22.443 % 20 %

0.2 7.925 % 6 %

σx=1.037σy=8.72%

σy=8.41%

Cov(X,Y)=ρxyσxσy=0.007334

Demostración 1:

Si Y a= +bX ⇒

ρ

XY =1 con b>0

=

Perfecta correlación positiva entre retornos de activos.

[

]

[

]

[

]

X

X X

2 2

cov( , )= (

)(

)

(X

) (

) (

)

(

) (

)

(

)

Y

X X X

X

X Y E X E Y E

E

E

a bX

a bE

E X E b X E

bE X E

b

σ

−

−

=





=

_

−

+

− +

_

=

=

−

−

=

−

=

cov( , )

XY

X Y

X Y

ρ

σ σ

= 2 2 2 _∧

Y b X Y b

σ

=

σ

⇒

σ

=

σ

_X b>0

2 1

X XY

X X

b b

σ

ρ

σ σ

⇒ = =

Portafolio de Mínima varianza

Intuición:

ρ

XY = − ⇒ ∃1

σ

p =0

∃

una combinación óptima = de mínima varianza, a*, para armar el portafolio

( )Rp

σ ∼

( )p E R∼

X

Z *

a

Demostración 2: a*

(1

)

p

R

=

aX

+ −

a Y

2 2 2

₍₁

₎

2 2

_{2 (1}

_{) cov( , )}

p

a

X

a

Y

a

a

X

σ

=

σ

+ −

σ

+

−

Y

2

2

2 2

0

2

2(1

)

2(1 2 ) cov( , )

p

p

X Y

a

a

a

a

X

a

σ

σ

σ

σ

∂

=

∂

∂

=

−

−

+

−

∂

Y

=

2 2 2

_{cov( , ) 2 cov( , ) 0}

X Y Y

a

σ

σ

a

σ

X Y

a

X Y

=

−

+

+

−

=

2 2

_{2 cov( , )}

2

_{cov( , )}

X Y Y

a



_

σ

+

σ

−

a

X Y



_

=

σ

−

X Y

2

2 2

cov( , )

*

2 cov( , )

Y

X Y

X Y

a

X Y

σ

σ

σ

−

=

+

−

•

ρ

XY = − →1 caso límite

• a*>0

• 0<a<1 ⇔no ∃ “short sales”

⇔

• : 2 activos perfectamente correlacionados (-) ⇒ sus retornos son tales que existe algún “a” / >0, “libre de riesgo”.

0

p

E

>

p

E

•

E

p

=

a E

*

X

+ −

(1

a E

*)

Y

0

<

a

*

<

1

⇒Ep >0

• Riesgo =0 mínima varianza ¿óptimo? según aversión se

elige “timbear” los individuos son aversos

aunque no necesariamente tengan “ataque de pánico” al riesgo.

⇒

⇒

0

p

→ →

0 con

p E

Perfecta correlación

Demostración 1: si Y es CL de X

⇒

ρ

XY = ±1

Demostración 3: si

ρ

XY = ±1

⇒

2

Relacion

constante

es linea recta

p

E

p

XY

σ



−



















Importante:

1

ρ

XY

≤ ⇒

se delimita el conjunto factible

de activos financieros

1

− ≤

Y

=

Y

σ

y

Demostración 3: Activos perfectamente y positivamente correlacionados

XY 1

ρ

=

(1

)

p

R

=

aX

+ −

a Y

(1

)

p X

E

=

aE

+ −

a E

2 2 2

₍₁

₎

2 2

_{2 (1}

₎

p

a

X

a

Y

a

a

XY X Y

σ

=

σ

+ −

σ

+

−

ρ σ σ

2

(1

)

X Y

a

σ

a

σ





=

_

+ −

_

(1

)

p

a

X

a

σ

= ±



_

σ

+ −



_

Si

σ

p

= ⇒

0

a

*

σ

x

+

σ

y

−

a

*

σ

y

=

a

*(

σ

x

−

σ

y

)

+

σ

*

y

Y X

a

σ

σ

σ

⇒

=

−

Alternativamente

a

* para

σ

p

=

0

:

Mínima varianza para cualquier portafolio:

2

2 2

cov( , )

*

2 cov( , )

Y

X Y

X Y

a

X Y

σ

σ

σ

−

=

=

+

−

2

2 2

₂

Y XY X Y

X Y XY X

σ

ρ σ σ

σ

σ

ρ σ σ

−

=

+

−

_Y Si

ρ

XY =1

2

2 2 2

(

)

*

(

)

Y X Y Y X Y Y

X Y X Y Y X Y X

a

σ

σ σ

σ

σ σ

σ

σ

σ

σ σ

σ

σ

σ

σ

−

−

⇒

=

=

+

−

−

−

=

*

Y

Y X

a

σ

σ

σ

=

>

3 casos: supuestos:

*

*

*

a a

a a

a a

=







_>







<









{

}

Y X

Y X

E

E

σ

>

>

σ

•

a a

=

*

⇒

σ

p

=

0

•

a a

<

*

⇒

σ

p

= +

(

a

σ

X

+ −

(1

a

)

σ

Y

)

)

σ

_Y

)

•

a a

>

*

⇒

σ

p

= −

(

a

σ

X

+ −

(1

a

Pendientes: p

X Y

E

E

E

a

∂

=

−

∂

si

*

si

*

p X Y

Y X

a a

a a

a

σ

σ

σ

σ

σ

∂



−

<

= 

₋

_>

∂

_

si

*

0

si

*

0

p X Y

X Y p

p

p

p X Y

Y X p

E

E

E

a a

E

E

E

E

a a

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

∂



−

_<

_→

_>



₋

_∂

∂

_

= 

_∂

∂

_

₋

>

→

<



₋

_∂



Conclusiones:

1. Demostración OK: pendientes no dependen del portafolio “a”

línea recta

→

(Rp)

σ ∼

( p)

E R∼

X

Y

( )

E Y∼

( )Y

σ ∼

0

a<

0≤ ≤a 1

1

a>

*

2. Caso

{

a a

_{a a}

>

_<

*

_*

⇒

_⇒

pendiente

_pendiente

₊

−

3. con “sell short Y”

⇒

Portafolio de

mínima varianza invertir más del 100% de la riqueza en X. Lógica: X es menos riesgoso + X es CL de Y.

*

_p

0

a a

=

⇒

σ

=

⇒

* 1

a

> ⇒

4.

a a

>

*

¿subóptimo? ¿por qué?

→ ¿apuesta a la baja de Y demasiado arriesgada?

Correlación perfecta y negativa

Demostración:

ρ

XY = − ⇒1 Relacion

σ

p −E constanteP ⇒XY linea recta

Just do it

Pendientes:

>0 si

*

(

)

<0 si

*

X Y

p X Y

X Y p

Y X

E

E

a a

E

E

E

a a

σ

σ

σ

σ

σ

−



_<



∂

_

−

+

= 

₋

∂

_

_>



+



Y

(Rp)

σ ∼

( )p E R∼

X

*

a

0≤ ≤a 1

1

a=

0

a=

Conclusiones:

1. Demostración OK: pendientes no dependen del portafolio “a”

línea recta

→

Activos financieros: conjunto factible

1

xy

ρ = −

1

xy

ρ =

0,33

xy

ρ = −

C

(Rp)

σ ∼

( p)

E R∼ _A