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(1)ejerciciosyexamenes.com. SISTEMAS DE ECUACIONES 1. Estudia si son equivalentes los sistemas:  x + y = 3  3x - y = a)    x - y = -1  2x - y =  x + y - z = 0  x   b)  2x - z = 2  2x    x - y + 2z = 2  x +  x - 3y + z = - 1  -x   c)  - x + y - z = - 1  2x    x - y + 2z = 2  - 3x  x - y = 2  3x d)    x + 2y = - 1  -x Sol: a) Sí; b) Sí; c) No; d) Sí. 1 0 3y +. z = 4. y. = 3. y - 2z = 0 + 3y + z = -. y + 3z = _ +. 2 0. z = -3. y = 4 y = 0. 2. Estudia, y resuelve cuando sean compatibles, los siguientes sistemas:  3x + 3y - z = 3  x - 2y + z = 0   - 2z = 5 a)  3x b)  x + y + z = 1    x + y - z = 1  x + y - z = 2 x - y + z = 1   c)  - 2x + z = 3  x - 3y + 4z = 0  Sol: a) S.C.D.; x=1; y=0; z=-1; b) S.C.I.; x=ë; y=1- ë; z=0; c) S.I. 3. Discute, según los valores de los parámetros, los siguientes sistemas:  ax + 2y + z = 2  ax + y = a   a)  x + ay - z = 0 b)  x + ay = 0    x + 2y + z = 2  y = a  x + y = a +1  c)  ax + y = 0   -x = a +1 Sol: a) a=1 S.C.I.; a=-2 S.I.; a…1 y a…-2 S.C.D.; b) a=0 S.C.I.; a…0 S.I.; c) a=2 S.C.D.; a…2 S.I. 4. Estudia y resuelve:.

(2) ejerciciosyexamenes.com. x + y + z = 3  x - 2y + z = 1    a)  2x + y - z = 1 b)  - x + 3y - z = 5    x + 3y - 2z = 2  - 3x + y - 3z = - 1 = 3  x + y  c)  2x - y + z = - 1   3x - z = 4 Sol: a) S.I.; b) S.C.I.; x=ë; y=2; z=1- ë; c) S.C.D. x=1, y=2, z=-1 5. Estudia y resuelve: x - y + 2z = 2   2x - z = 2  2x + y + 3z = 2  a)  b)   x - y = 1  - x + 2y - z = - 3  3x - y = 4  2x - y + 2z = 0  c)  x + y + z = 3   x + z = 1 Sol: a) S.C.D. x=1, y=-1, z=0; b) S.C.I.; x=1- ë; y=- ë; z=ë; c) S.C.I. x=ë, y=2, z=1- ë 6. Elimina los parámetros en los sistemas:  x =  x = + β   a)  y = 2α b)  y =  z = −α + β  z =  . 1 2. + −. a a 2a. +. b. −. b.  x = 1 − a  c)  y = 2a  z = 2 + a  Sol: a) x-y-z=0; b) x+3y+z=7; c) 2x+y=2, x+z=3 7. Calcula a y b para que los sistemas sean compatibles: x + ay + z = - 1   x - ay + bz = 0  y + 2z = 1   a)  b)  2x - y + z = 0  x + y - z = -a   ax - by + z = 0  -x + bz = 3 Sol: a) a=2 y b=3; b) œa,b 0ú. 8. ¿Para qué valores de m es compatible el siguiente sistema? y + 2z = 0  (m + 2)x +  a)  x + my + z = 0 Sol: m=1 ó m=0   2x + 2y + 2z = 0.

(3) ejerciciosyexamenes.com. 9. Discute los sistemas: x. -. y + 2z =. 1.   a)  2x + y - z = 0   3x + αz = α. αx +   -x +  b)    αx +. y + 2z =. 1. y. =. 1. y + αz =. 1. y + 2z = α. αy + 3z = 1  x +  c)  αx + 3y + 4z = 0   3x + ( α+ 2)y + 5z = α - 3 Sol: a) á=1 S.C.I.; á…1 S.C.D.; b) á=1 S.C.I.; á=-2 S.I.; á…1 y á…-2 S.C.D.; c) á=2 S.C.I.; á=5 S.I.; á…2 y á…5 S.C.D. 10. Calcula "a" para que los siguientes sistemas sean compatibles - ax + y - z = 1  2x + ay + z = 0   2ax + y - z = 0   a)  3x - 2y + az = 0 b)   _ ay + z = 2a   ax - y + z = 0  ax = 1 (a 1)x 2y = 2   c)  - x + y + az = 0   - y + 2z = a Sol: a) œa0ú; b) a=-1; c) a=2 11. Resuelve los siguientes sistemas matricialmente, sin aplicar Cramer ni Gauss:  1 -2 1  x   1   x + y - z = -2       a)  2x - z = 0 b)  - 1 - 1 2   y  =  - 1          x - y + 3z = 8  1 1 -1   z   2   1 2  -1   3   x      c)  3 - 1    +  2  z =  - 3     y      2  2 -1   1   Sol: a) x=1, y=-1, z=2; b) x=2, y=1, z=1; c) x=0, y=1, z=-1 12. Discutir los sistemas según los valores de k:  kx - 2y - (k + 2)z = k - 1  x - y + 2z   a)  x + ky = k b)  y - kz    - x + 2y + (k + 2)z =  kx + ky 0 Sol: a) k=0 S.I.; k=1 S.C.I.; k=-2 S.C.D.; k…0, k…1 y k…-2 S.C.D.; b) k=0 S.C.I.; k…0 y k…1 S.C.D.. = k = 2 = 5 S.I.; k=1.

(4) ejerciciosyexamenes.com. 13. Elimina parámetros:  x = λ  a)  y = λ + 2  z = λ − 1 .  x =  b)  y =  z = . λ 2 λ −. 2. = α + β = α = α − β = α + 2β y= 2  - x+ y = 2   x - 2y + z = 0 Sol: a)  b)  c)    x - z= 2  2x - y - t = 0 x-z =1    c)   . x y z t. 14. Resuelve los sistemas:  x + y - z = 1  a)  x - 3y + z = - 1   2x - 2y = 1  2x + y + z = 2  c)  y - z = 0   x + y = 1 z = 0  x + y  e)  x + 2y + 3z = 3   - x - 4y - 11z = 1 Sol: a) S.I.; b) x=0, y=1, z=2; c) x=1- ë, y=ë, y=-1, z=2.  x + y - z = -1  b)  3x + y - 2z = - 3   2x - y + z = 1  x + y - z = 1  d)  x + 2y = 2   2x + 3y - z = 3 1  2x - y - z =  f)  x - y = 2   x + 3y - z = - 4 z=ë; d) x=2ë, y=1- ë, z=ë; e) S.I.; f) x=1,. 15. Discute los siguientes sistemas según los valores de los parámetros: x + 2y - z = 2  x 2y + z + t = 1   3x _ + 2z = 5   a)  αx + y - 2z _ = 3 b)    x + y + z = a  - x + 2y - z - t = α  2x - y - 3z = - 2  ax + y + z = 1  c)  x + ay + z = 1   x + y + az = 1 Sol: a) á=-1 S.C.I., á…-1 S.C.D.; b) a=3 S.C.D., a…3 S.I.; c) a=1 S.C.I.; a=-2 S.I.; a…1, a…-2 S.C.D. 16. Resuelve los siguientes sistemas:.

(5) ejerciciosyexamenes.com. x + y + 2z = 0   3x - 2y + z = 0  a)   4x - y + 3z = 0  x - 4y - 3z = 0 Sol: a) x=á, y=á, z=- á; b) x=1, y=2. y = 1  3x −  b)  2 x + 2y = 6   x − 3y = − 5. 17. Discutir los sistemas según los valores de k:  x + y + z = 0  x + ky + 2z = 0   a)  kx + y + z = 0 b)  x + 2y + z = 0    x + ky + z = 0  3x + 5y + 2z = 0  x + y - z = 0  c)  kx - 4y + kz = 0   5x - 2y + z = 0 Sol: a) k=1 S.C.I., k…1 S.C.D.; b) k=3 S.C.I., k…3 S.C.D.; c) k=3 S.C.I., k…3 S.C.D. 1  2x + y + z =  18. Resuelve por Cramer el siguiente sistema:  x - y + z = -4   3x - y + z = - 2 Sol: x=1; y=2; z=-3 19. Elimina parámetros a, b:  x = a + b  a)  y = 2a - 3b   z = a + b.  x = a + 1  b)  y = 2a − b  z = a + b − 1   x = a  x = a  y = a − b   c)  y = a − 1 d)   z = 1 − a   z = 2 − a  t = a + b Sol: a) x=z; b) 3x-y-z=4; c) x-y=1, x+z=2; d) x+z=1, 2x-y-t=0 20. En el sistema halla ì para que:. 2  x + µy =   µx + y = µ+1. a) No tenga solución b) Tenga infinitas soluciones c) Tenga solución única d) Tenga una única solución en la que x=3 Sol: a) ì=1; b) ì=-1; c) ì…"1; d) ì=-1/2.

(6) ejerciciosyexamenes.com. x + 2y + 3z = 1   x - y + kz = 2  21. Discutir el sistema para los distintos valores de k:  y z = 1   x + 8y + z = 3 Sol: k=2 S.C.D.; k…2 S.I. 22. Resolver: x = 2 + 3y  x + 2y = 6 + z  z +   a)  2 x + 3 z = 2 + y b)  2 x + 3z = y − 1    x + 2z = y  z + 5y = − 3  x = 2 − 2y  c)  y + x = 1 + z   x = 2z Sol: a) x=3, y=1, z=-1; b) S.I.; c) x=2ë, y=1- ë, z=ë  x + ay + az = 1  23. Discute el sistema:  - x + ay + az = - 1   3x - ay - az = 3 Resuelve por el método de Gauss. Sol: œa0ú S.C.I.; x=1, y=- ë, z=ë 24. Resuelve el siguiente sistema matricialmente, sin aplicar Cramer ni Gauss.  x - y + 3z = - 1  Sol: x = 1; y = 2; z = 0  2x - y - z = 0   3x + z = 3 25. Discutir y resolver los sistemas según los valores de los parámetros: 2x + k y  k x y + 2z = 0   3x + y +   a)  x + 3y - k z = 2 k b)    x - ky +  4y - 3z = 2  4x + 3y kx - y + kz = k   c)  x - y - kz = 1   (k - 1)x _ 2k z = k Sol: a) k=1 S.C.I.; k=5/4 S.I., k…1 y k…5/4 S.C.D.; k=1 b) k=1 ó k=-25/6 S.C.D., k…1 y k…-25/6 S.I. c) œk0ú S.I.. z =. 0. 2z =. 1. z =. 2. _ = -k.

(7) ejerciciosyexamenes.com. 26. Estudia y resuelve, cuando sea posible, los siguientes sistemas: 1  3x - y + z =  x - 3y + z  2y + z = 4 a)  b)   -x + 2z   2x - z = -2 x + 2y - z = 1 2x + y - 2z    2x - y + 2z = 3  3x - y   c)  d)   x - 2y + z = 0  - x + 2y - z   x + 6y - 3z = 1 3y + z. = 0 = 0 =. 1. = 2 = 0 = 4 _ = -2.  x - y = 2  x + 2y - z   e)  2x - y = 5 f)  3x - y + z - 3t = - 2    x + 2y = 5  x - y - 2z - 4t = - 3  2x + 3y + z = - 4  3x - y = 1   3 g)  - x + y + 2z = h)  x + 2y = 3    x - 2y - 3z =  3x - 6y = 0 3  x + 2y + z = - 1  i)  2x + 3y - z = 0   x + y + 2z = 1 Sol: a) x=0, y=1, z=2; b) x=2á, y=á, z=á; c) S.I.; d) x=1, y=1, z=1; e) x=3, y=1; f) x= ë1, y=- ë, z=1- ë, t=ë; g) S.I.; h) S.I.; i) x=3, y=-2,z=0.

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