Las Matemáticas en el siglo XX
1Michael Atiyah
Si se habla del final de un siglo y comienzo del siguiente se tienen dos elecciones, ambas diffciles. Una es exponer las matemáticas de los últimos cien años, la otra es predecir las matemáticas de los cien siguientes. Yo he elegido la tarea más difícil. Todos podemos predecir y no estaremos aquí para saber si estábamos o no equivocados. Sin embargo, dar una impre-sión del pasado es algo con lo que todos podemos no estar de acuerdo. Todo lo que puedo hacer es darles una visión personal. Es imposible cu-brirlo todo, y en particufar dejaré fuera una parte significativa de la historia, en parte porque no soy un experto, y en parte porque se la puede encon-trar en la literatura. No diré nada, por ejemplo, acerca de grandes eventos en Lógica y Computación asociados con los nombres de personajes como Hilbert, Godel y Turing. Tampoco diré mucho sobre las aplicaciones de las matemáticas excepto en Física Fundamental, porque son tan numerosas que necesitan un tratamiento especial. Cada una requeriría una conferen-cia particular. Además, no vale la pena intentar dar una lista de teoremas o incluso una lista de matemáticos famosos de los últimos cien años. Eso no sería mas que un pesado ejercicio. En cambio, voy a intentar elegir unos temas que pienso aparecen en muchas partes y subrayan lo que ha suce-dido.
Permítanme hacer primero una observación general Los siglos se miden en números absolutos. Realmente no creeremos que después de cien años algo para de repente para empezar de nuevo. Por tanto, cuando describo las matemáticas del siglo XX, voy a ser algo impreciso con las fechas. Si algo empezó en los años 1890 y se prolongó en los años 1900, ignoraré tal detalle. Me comportaré como un astrónomo y trabajaré con números aproximados. De hecho, muchas cosas empezaron en el siglo XIX y sólo llegaron a ser fructíferas en el siglo XX.
Una de las dificultades de esta tarea es que resulta muy difícil situarse en la posición en la que estaban los matemáticos en 1900, porque muchas de las matemáticas del siglo pasado han sido absorbidas por nuestra cultura,
1 Este artículo apareció con el título "Mathematics in lhe 20th century" en la revista American Mathematical Monthly (2001). Ha sido traducido por Manuel Flores y Antonio Martinón, profesores del Departamento de Análisis Matemáti-co de Ja Universidad de La Laguna. Agradecemos al profesor Michael F. Atiyah y a The Mathematical Association of America habemos autorizado su publicación.
Números. Revista de dídádíea de las matemáticas
•
por nosotros. Es muy difícil imaginar una época en la que no se pensaba en nuestros términos. De hecho, si alguien hace un descubrimiento im -portante en matemáticas iserá ignorado en conjunto! Simplemente será asimilado en el fondo.
De lo local a lo global
Voy a empezar enumerando algunos temas y hablando sobre ellos. Mi primer tema se refiere a lo que podemos llamar en general el paso de lo local a lo global. En el periodo clásico, la mayoría de los matemáticos estu-diaban problemas a pequeña escala. En este siglo, el énfasis ha cambiado para entender lo global, el comportamiento a gran escala. Puesto que el comportamiento global es más complicado de entender, la mayor parte del estudio es cualitativo y las ideas topológicas resultan muy importantes. Fue Poincaré quien dio los pasos pioneros en Topología y predijo que ésta sería un ingrediente importante én las matemáticas del siglo XX A propósi-to, Hilbert, en su famosa lista, no lo creyó así, la Topología casi no aparece, pero para Poincaré estaba bien claro que sería un factor importante. Permítanme enumerar unas pocas áreas y verán lo que tengo en mente. Consideremos, por ejemplo, el Análisis Complejo ("Teoría de Funciones", como fue llamada) que fue el centro de las matemáticas del siglo XIX y el trabajo de grandes figuras como Weierstrass. Para ellos, una función era una función de una variable compleja y para Weierstrass era una serie de potencias, algo en lo que uno podía poner las manos, escribir y describir explícitamente; o una fórmula. Las funciones eran fórmulas: eran entes explícitos. Pero entonces, el trabajo de Abel, Riemann y otros posteriores nos apartaron de esa idea, las funciones no estaban meramente definidas por fórmulas explícitas sino mas bien por sus propiedades globales: por dónde estaban localizadas sus singularidades, por su domino de defini-ción, por dónde tomaban sus valores. Estas propiedades globales eran las caracteristicas distinguidas de las funciones. El desarrollo local era sólo una forma de verlas.
Una historia similar ocurre con las ecuaciones diferenciales. Originalmen-te, para resolver una ecuación diferencial se buscaba una solución local explícita: algo que se pudiera escribir y en la que poner las manos. Con el tiempo, las soluciones fueron implícitas. Uno no podía necesariamente escribirlas en bonitas fórmulas. Las singularidades de las soluciones eran las que realmente determinaban sus propiedades globales. Esto es muy similar en espíritu, pero diferente en detalle, con lo que sucedió en Análisis Complejo.
En Geometria Diferencial, el trabajo clásico de Gauss y otros describía por-ciones pequeñas del espacio, pequeños trozos de curvatura y las ecuaciones que modelan la geometría local. El cambio a gran escala es un paso bastante natural donde queremos entender el cuadro global de su-perficies y la topología que conllevan. Cuando nos movemos de lo peque-ño a lo grande las características topológicas resultan ser las más significa-tivas.
Aunque aparentemente no entra dentro de este marco, la Teoría de Núme-ros comparte un desarrollo similar. Los teóricos de números distinguen entre lo que llaman "Teorfa Local" donde hablan de un primo fijo, o primo por primo, o un número finito de primos, y la "Teorfa Global" donde consi-deran todos los primos simultáneamente. Esta analogía entre primos y puntos, entre local y global, ha tenido un importante efecto en Teoría de Números y las ideas que han aparecido en Topología también han tenido su impacto en Teoría de Números.
En Física, por supuesto, la teoría clásica tiene que ver con la historia local, donde podemos escribir ecuaciones diferenciales que gobiernan el com-portamiento a pequeña escala para luego estudiar el comportamiento a gran escala del sistema físico. Toda la Física está realmente interesada en predecir qué sucederá en la transición cuando pasamos de pequeña es-cala, donde entendemos lo que realmente pasa, a gran escala, para luego obtener las conclusiones.
Aumento de las dimensiones
Mi segundo tema es diferente. De nuevo, empezamos con la teoría clásica de variable compleja que fue en primer lugar la teoría de una variable, estudiada en detalle y con gran refinamiento. El salto a dos o más variables tuvo lugar fundamentalmente en el siglo XX, y en esta área aparecen nue-vos fenómenos. No todo es como en una variable. Hay unas cuantas carac-terísticas nuevas, y Ja teoría den variables complejas se ha convertido en más y más dominante y en una de las áreas más fructíferas de este siglo.
De nuevo, los geómetras diferenciales del pasado habfan estudiado curvas y superficies. Ahora estudiamos la geometna de las variedades n dimensionales y uno debe pensar cuidadosamente para darse cuenta de que éste fue un paso fundamental. En un principio, las curvas y superficies eran objetos que uno podía visualizar en el espacio. Las dimensiones su-periores eran algo ficticias, objetos que uno podía imaginar matemática-mente, pero que quizás no se tomaban en serio. La idea de tomarlas con seriedad y estudiarlas en un grado equiparable es realmente un producto
del siglo XX. Tampoco habría sido tan obvio para nuestros predecesores del siglo XIX pensar en el aumento del número de funciones, estudiar no sólo una función sino varias funciones, o funciones con valores vectoriales. Por tanto, hemos visto un incremento en el número de variables, tanto dependiente como independientes.
El Álgebra Lineal siempre se ocupó de más variables, pero ahí el aumento de dimensión resultó ser más drástico. Se pasó de dimensión finita a di-mensión infinita, de espacios lineales a espacios de Hilbert con un número infinito de variables. Había, por supuesto, análisis involucrado. Después de funciones de muchas variables podemos tener funciones de funciones, funcionales. Estos son funciones definidas sobre el espacio de funciones. Esencialmente todas dependen de infinitas variables y esto es lo que llama-mos Cálculo de Variaciones. Una historia similar se desarrolló para funcio-nes generales (no lineales), un viejo tema que realmente alcanzó su impor-tancia en el siglo XX. Hasta aquí mi segundo tema.
De lo conmutativo a lo no conmutativo
Un tercer tema trata del salto de lo conmutativo a lo no conmutativo. Ésta es quizás una de las características más sobresaliente en Ja Matemáticas, particularmente en Álgebra, en el siglo XX. Los aspectos no conmutativos en el Álgebra han sido notables y, por supuesto, sus rafees están en el siglo XIX. Tiene diversas. El trabajo de Hamilton sobre cuatemiones fue una gran sorpresa y tuvo un importante impacto motivado, de hecho, por ideas que tienen que ver con la Física. Existía el trabajo de Grassmann sobre álgebras exteriores - otros sistemas algebraicos que han sido absorbidos por nuestra teoría de formas diferenciales. Por supuesto, el trabajo de Caley sobre matrices basado en Álgebra Lineal y el de Galois basado en Teoría de Grupos, fueron otros puntos culminantes.
Todas ellas son diferentes formas o entramados que forman la base para la introducción de la multiplicación no conmutativa en Álgebra y que son el aceite para la maquinaria del siglo XX. Nosotros no reflexionamos sobre ello, pero en el siglo XIX todos estos ejemplos constituyeron tremendas rupturas. De hecho, las aplicaciones de estas ideas vinieron sorprendentemente de diferentes direcciones. Las aplicaciones de las ma-trices y la multiplicación no conmutativa en la Física llegaron con la Teoría Cuántica. Las relaciones de conmutación de Heisenberg son un importan-te ejemplo y una aplicación significativa del Álgebra no Conmutativa en Física, posteriormente extendidas por von Neumann en su teoría de álge-bra de operadores.
La Teoría de Grupos ha sido otra característica dominante del siglo XX y volveré sobre ella más tarde.
De lo lineal a lo no lineal
Amplias partes de la matemática clásica son fundamentalmente lineales o, si no exactamente lineales, aproximadamente lineales, estudiadas por me-dio de algún tipo de perturbación. Los fenómenos realmente no lineales son mucho más duros y sólo han sido atacados seriamente en este siglo.
La historia empieza con la Geometría Euclídea, la geometría del plano, del espacio, de líneas rectas, todo lineal; y después a través de varias etapas, de la Geometría no Euclídea a la geometría más general de Riemann donde los problemas son fundamentalmente no lineales. En Ecuaciones Diferen-ciales los estudios serios de fenómenos no lineales han proporcionado un
amplio espectro de nuevos fenómenos que no están presentes en los tra-tados clásicos. Simplemente elegiré dos aquí, los solitones y el caos. Dos aspectos muy diferentes de la teoría de Ecuaciones Diferenciales que se han convertido en extremadamente sobresalientes y populares en este
siglo. Representan extremos altemativos. Los solitones representan un
com-portamiento inesperadamente organizado de ecuaciones diferenciales no lineales y el caos representa comportamiento inesperadamente desorga-·
nizado. Ambos se presentan en diferentes regímenes y son interesantes e importantes, pero son fundamentalmente fenómenos no lineales. De nue-vo se pueden encontrar antecedentes sobre los solitones en algún trabajo de finales del siglo XIX, pero sólo muy superficialmente.
En Física, por supuesto, las ecuaciones de Maxwell, las ecuaciones funda-mentales de electromagnetismo, son ecuaciones en derivadas parciales lineales. Sus contrapuestas, las famosas ecuaciones de Yang-Milis son ecuaciones no lineales que se suponen gobiernan las fuerzas involucradas en la estructura de la materia. Estas ecuaciones son no lineales porque las ecuaciones de Yang-Milis son esencialmente versiones matriciales de las ecuaciones de Maxwell, y el hecho de que las matrices no conmutan es lo que produce el término no lineal en estas ecuaciones. Por tanto, aquí ve-mos un nexo interesante entre no linealidad y no conmutatividad. La no
conmutatividad produce una no linealidad de una clase especial y esto es particularmente interesante e importante.
Geometría versus Álgebra
Hasta ahora he elegido unos pocos temas generales. Ahora quiero hablar
sobre una dicotomía en Matemáticas que ha estado con nosotros todo el tiempo, oscilando atrás y adelante y que me da la oportunidad de hacer
algunas especulaciones filosóficas u observaciones. Me refiero a la dicoto-mía entre Geometría y Álgebra. La Geometría y el Álgebra son dos pilares
•
formales de las Matemáticas y ambas son muy antiguas. La Geometría se remonta a tos griegos y antes; mientras que el Álgebra se remonta a los árabes y a los indios, por to que ambas han sido fundamentales en Mate-máticas aunque han tenido una relación difícil.
Permítanme empezar con la historia de la materia. La Geometría Euclídea es el ejemplo básico de una teoría matemática y fue primordialmente geométrica hasta la introducción por Descartes de las coordenadas algebraicas, lo que hoy llamamos el plano cartesiano. Esto fue un intento de reducir el pensamiento geométrico a manipulaciones algebraicas.
Cons-tituyó, por supuesto, una gran ruptura o un gran ataque a la Geometría por parte de los algebristas. Si comparamos en Análisis el trabajo de Newton y Leibnitz, éstos pertenecen a diferentes tradiciones: Newton era fundamen-talmente un geómetra, Leibnitz era fundamentalmente un algebrista, y ha-bía buenas y profundas razones para ello. Para Newton, la Geometría, o el Cálculo como él lo desarrolló, fue el intento matemático para describir las leyes de la naturaleza. Estaba interesado en Física en un amplio sentido y la Física se desarrolla en el mundo de la Geometría. Si uno quería entender
por qué las cosas funcionan uno pensaba en términos del mundo físico, pensaba en términos de figuras geométricas. Cuando desarrolló el
Cálcu-lo quería hacerlo de forma que le permitiera acercarse lo más posible al
contexto físico. Así usó argumentos geométricos porque eso guardaba
relación con su significado. Leibnitz, por otro lado, tenia el objetivo, el am-bicioso objetivo, de formalizar toda la matemática, lo que le convirtió en una gran maquinaria algebraica. Esto era totalmente opuesto a la perspec-tiva newtoniana. Ambos usaron diferentes notaciones. Como sabemos, en la gran controversia entre Newton y Leibnitz, la notación de Leibnitz terminó ganando. Nosotros hemos seguido su forma de escribir las deriva-das. El espíritu de Newton está todavía ahí, pero quedó enterrado durante largo tiempo.
Allá por el final del siglo XIX, hace cien años, los dos personajes más
famo-sos eran Poincaré y Hilbert. Ya los he mencionado anteriormente y son,
básicamente, discípulos de Newton y Leibnitz, respectivamente. La mente de Poincaré rezaba más con el espíritu geométrico, topológico, y usaba esas ideas de una manera fundamental. Hilbert era más un formalista, quería axiomatizar, formalizar y presentar resultados de forma rigurosa y
formal. Claramente pertenecen a diferentes tradiciones, aunque cualquier
gran matemático no puede ser fácilmente categorizado.
Cuando preparaba esta charla, pensé que deberfa citar algunos nombres
más de nuestra presente generación que representan la continuación de estas tradiciones. Es muy difícil hablar de personas que aún viven, la quién
poner en la lista? Entonces pensé en mí mismo; la quién le importaría
ponerse en esta famosa lista independientemente del grupo en el que se incluya? Consecuentemente he elegido dos nombres: Amol'd como here-dero de la tradición Poincaré-Newton y Bourbaki, que pienso es el disdpu-lo más famoso de David Hilbert. Amol'd no tiene ninguna duda del hecho
de que su punto de vista de la Mecánica, de hecho de la Física, es
funda-mentalmente geométrico, como para Newton. Cualquier otra cosa, con la
excepción de unos pocos como Riemann que se apartó ligeramente, fue un error. Bourbaki intentó llevar a cabo el programa formal de Hilbert para axiomatizar y formalizar las Matemáticas hasta un punto extraordinario con cierto éxito. Cada punto de vista tiene sus méritos, pero existe cierta tensión entre ellos.
Permítanme explicar mi propio punto de vista sobre las diferencias entre la
Geometría y el Álgebra. Por supuesto, la Geometría trata del espacio, de eso
no hay duda. Si miro al público de esta sala puedo ver muchas cosas, en un solo segundo o microsegundo puedo tener una enorme cantidad de in-formación y por supuesto esto no es un accidente. Nuestros cerebros han sido construidos de tal manera que están extremadamente ligados a la
visión. La visión, como la entiendo de algunos amigos que trabajan en
neurofisiología, 'usa algo asf como el 80 o el 90 por ciento de la corteza cerebral. Hay cerca de 17 centros diferentes en el cerebro, cada uno de los
cuales está especializado en una parte diferente en el proceso de la visión: algunas partes se centran en la verticalidad, otras en la horizontalidad,
otras con los colores, perspectiva, y por último algunas se centran en el significado y la interpretación. Entender y dar sentido al mundo que vemos
es una parte importante de nuestra evolución. Por lo tanto, intuición esp a-cial o percepción espacial es una herramienta enormemente poderosa, y
eso es por lo que realmente la Geometría es una parte poderosa de las
matemáticas - no sólo por los objetos que son obviamente geométricos,
sino incluso por objetos que no lo son. Nosotros intentamos ponerlos en
forma geométrica porque ello nos permite usar nuestra intuición. La intui-ción es nuestra herramienla más poderosa. Esto está perfectamente claro
si intentamos explicar algo de Matemáticas a un estudiante o colega. Le damos un argumento largo y dificil y finalmente el estudiante entiende. lQué es lo que dice el estudiante? El estudiante dice: "iveo!". Ver es sinón
i-mo de entender, y usamos la palabra "percepción" para dar a entender ambas cosas también. Al menos esto es cierto en el lenguaje inglés. Sería
interesante comparar esto con otros lenguajes. Pienso que es fundamen-tal que la mente humana se haya desarrollado con esta enorme capacidad
de absorber una gran cantidad de información por medio de una acción visual instantánea, y las Matemáticas lo toma y lo perfecciona.
El Álgebra, por otro lado (y puede que ustedes no lo hayan pensado de esta manera), realmente tiene que ver con el tiempo. Cualquier tipo de
álgebra que ustedes hagan, una sucesión de operaciones se realizan una
tras otra, y "una tras otra" significa que debes disponer de tiempo. En un universo estático no podemos imaginar el Álgebra, sin embargo la Geome-tría es esencialmente estática. Simplemente me puedo sentar aquí y ver y
nada cambia, aunque todavfa puedo ver. El Álgebra sin embargo está
rela-cionada con el tiempo porque hacemos operaciones que se realizan
suce-sivamente y, cuando digo "Álgebra", no me refiero sólo al Álgebra Moder-na. Cualquier algoritmo, cualquier proceso de cálculo es una sucesión de
pasos realizados uno tras otro y los ordenadores modernos lo dejan
per-fectamente claro. Los ordenadores modernos toman su información en
una cadena de ceros y unos y dan la respuesta.
El Álgebra tiene que ver con manipulaciones en el tiempo y la Geometría
con el espacio. Estos son dos aspectos ortogonales del mundo y represen-tan dos puntos de vista en las Matemáticas. Así las conversaciones o diálo-gos entre matemáticos en el pasado acerca de la importancia relativa de la
Geometría y el Álgebra representan algo muy fundamental.
Por supuesto, no se debe pensar sobre esto como algo en el que un lado pierde y el otro gana. Me gusta pensar en ello en forma de una analogía: "ldeberías simplemente ser un algebrista o un geómetra?", es como decir "lpreferirías ser sordo o ciego?" Si eres ciego·no ves el espacio, si eres sordo no oyes y oír hace uso del tiempo. Con todo, preferimos ambas facultades.
En Física existe una analogía más o menos paralela, la división entre los conceptos y los experimentos. La Física tiene dos partes: teoría -
concep-tos, ideas, palabras, leyes-y aparato experimental. Pienso que los conce p-tos son geométricos en un sentido amplio, puesto que tienen que ver con las cosas que aparecen en el mundo real. Un experimento, por otro lado, se parece más a una computación algebraica. Se hace algo en el tiempo;
medimos algunos números y Jos insertamos en fórmulas, pero los
con-ceptos básicos detrás de Jos experimentos son parte de Ja tradición geométrica.
Una forma de expresar esta dicotomía en un marco más filosófico o litera-rio es decir que el Álgebra es al geómetra lo que se puede llamar la "Oferta · Faustiana". Como saben, el diablo ofreció a Fausto en la historia de Goethe todo lo que quisiera a cambio de su alma. El Álgebra es la oferta que el diablo hace a los matemáticos. El diablo dice: "te daré esta poderosa má-quina que responderá a cualquier pregunta que desees. Todo lo que nece-sitas hacer es darme tu alma, olvídate de la Geometría y te daré esta
vi llosa máquina". [ i Hoy día se puede pensar en Ja máquina como un orde-nador!) Por supuesto, nos gustaría tener ambas cosas; probablemente engañaríamos al diablo pretendiendo vender nuestra alma y no entregán-dola. No obstante el daño a nuestra alma está ahí, porque cuando entras en cálculos algebraicos, esencialmente paras de pensar geométricamente,
paras de pensar en el significado.
Aquí estoy siendo un poco duro con los algebristas, pero fundamental-mente el propósito del Álgebra siempre fue producir una fórmula que uno pudiera insertar en una máquina, darle a una manivela y obtener la
res-puesta. Se coge algo que tiene un significado, se convierte en una fórmula
y se obtiene una respuesta. En ese proceso no se necesita pensar más sobre el aspecto geométrico de los diferentes estados algebraicos. Se pier-den los fundamentos y esto puede ser importante en diferentes etapas. iNunca se deben abandonar los fundamentos! Puede que debamos volver sobre ellos más tarde: Eso es a Jo que me refiero por la oferta faustiana. Estoy seguro que es provocativa.
Esta elección entre Geometría y Álgebra ha conducido a hlbridos que las
confunden, y la división entre Álgebra y Geometría no es tan directa y
primi-tiva como acabo de decir. Por ejemplo los algebristas usan frecuentemen-te diagramas: lno es un diagrama más que una concepción geométrica?
Técnicas comunes
Permítanme ahora retroceder no tanto para hablar de los temas en
térmi-nos de su contenido, sino quizás en términos de las técnicas y métodos que en común han sido usados. Quiero desc1ibir algunos de los métodos
que se han aplicado en un amplio rango de diferentes áreas.
Teoría de Homologia. La Teoria de Homología empezó como una rama
de la Topología. Tiene que ver con la siguiente situación. Se dispone de un espacio topológico complicado y se quiere extraer de él algún tipo de
información simple que se refiera al número de agujeros o algo similar. Así
se obtienen algunos invariantes lineales aditivos que se le puedan asociar
a tal espacio. Si se prefiere, se trata de la construcción de invariantes linea-les en una situación no lineal. Geométricamente se puede pensar en ciclos
que pueden ser sumados y restados para obtener lo que se llama el grupo de homología del espacio. La Homología es una herramienta algebraica fundamental que fue inventada en la primera mitad del siglo XX como una
forma de obtener cierta información de los espacios topológicos; algo de álgebra se extrae a partir de la geometría.
La Homología también aparece en otros contextos. Otra fuente proviene
de Hilbert y del estudio de los polinomios. Los polinomios son funciones
que no son lineales y pueden ser multiplicados para obtener otros de
gra-do superior. Se debe a la gran visión de Hilbert considerar "ideales", com
-binaciones lineales de polinomios con ceros comunes. Buscó generado
-res de esos ideales. Estos generado-res podrían ser redundantes, buscó las
relaciones y después relaciones entre la~ relaciones. Obtuvo una jerarquía
de tales relaciones que fueron llamadas "Hilbert syzygies". Esta teoría fue
una forma muy sofisticada de intentar reducir una situación no lineal, el
estudio de los polinomios, a una situación lineal. Esencialmente Hilbert
produjo un sistema complicado de relaciones lineales que captura cierta
información sobre objetos no lineales, los polinomios.
Esta teoría algebraica es de hecho muy paralela a la teoría topológica y ahora se han fundido en lo que se ha dado en llamar "Álgebra Homológica".
En Geometría Algebraica, uno de los grandes triunfos de los años
cincuen-ta fue el desarrollo de la Teoría de Cohomología de Haces y su extensión a
la Geometría Analítica por la escuela Francesa de Leray, Cartan, Serre y
Grothendieck, donde se tiene una combinación de las ideas topológicas de Riemann-Poincaré, las ideas algebraicas de Hilbert y una buena dosis de análisis.
Resulta que la Teoría de Homología tiene aún aplicaciones más amplias en
otras ramas del álgebra. Uno puede introducir grupos de homología, que
siempre son objetos lineales asociados a objetos no lineales. Podemos tomar como estos grupos, por ejemplo, grupos finitos o álgebras de Lie:
ambos son grupos de homología asociados a ellos mismos. En Teoría de
Números hay aplicaciones muy importantes de la Teoría de Homología a
través del grupo de Galois. Así la Teoría de Homología ha resultado ser una
de las herramientas más poderosas par a analizar un amplio rango de situaciones, una característica típica de las matemáticas del siglo XX.
K-Teoría. Otra técnica, que es en muchos sentidos muy similar a la Teoría de Homología, que ha tenido amplias aplicaciones y que se ha filtrado en
varias partes de las Matemáticas, tuvo un origen posterior. No apareció
hasta mediados del siglo XX, aunque es algo que también tiene sus raíces
mucho más atrás. Se la denomina "K-Teoría" y realmente está
íntimamen-te relacionada con la Teoría de Representación. La Teoría de
Representa-ción, por ejemplo de grupos finitos, data del siglo XIX, pero su forma
mo-derna, la K-Teoría tiene un origen mucho más reciente. También podemos
pensar en la K-Teoría de la siguiente manera: es el intento de tomar la
teoría de matrices, que no conmutan bajo multiplicación, e intentar
cons-truir invariantes lineales o abelianos de matrices. Trazas, dimensiones y
determinantes son invariantes abelianos de la teoria de matrices y la K-Teoría es una forma sistemática de intentar manejarlos; a veces se le llama "álgebra lineal estable". La idea es que si tenemos matrices muy grandes, entonces una matriz A y otra matriz B que no conmutan lo harán si se expresan en posiciones ortogonales en bloques diferentes. Puesto que en un espacio de dimensión muy alta se pueden mover los objetos con bas-tante libertad, entonces en cierto sentido aproximado se puede pensar que esto va a ser suficientemente bueno para extraer algún tipo de infor-mación. Esta es la base de la K-Teoría como técnica. Es análoga a la Teoría de Homología en tanto que ambas pretenden extraer información lineal de situaciones no lineales complicadas ..
La K-Teoríafue introducida en Geometría Algebraica con un importante éxito por Grothendieck, en relación a la historia que hemos discutido hace un momento sobre de la Teoría de Haces y en conexión con su trabajo sobre el Teorema de Riemann-Roch.
Hirzebruch yyo copiamos esas ideas y las aplicamos en un contexto pura-mente topológico. En cierto sentido, mientras que el trabajo de Grothendieck está relacionado con aquel de Hilbert sobre "syzygies", nues-tro trabajo estaba más relacionado con el trabajo de Riemann-Poincaré en Homología, usando funciones continuas en lugar de polinomios. También desempeñó un papel en la Teoría del Índice en ecuaciones de derivadas parciales elípticas lineales.
En una dirección diferente, el lado algebraico de la historia, con potencia-les aplicaciones a Teoría de Números, ha sido desarrollada por Milnor, Quillen y otros y ha llevado a muchas cuestiones interesantes.
En Análisis Funcional el trabajo de mucha gente, incluyendo Kasparov, extendió la K-Teoría continua a la situación de C*-álgebras no conmutativas. Las funciones continuas sobre un espacio forman un álgebra conmutativa con la multiplicación, pero análogos no conmutativos de éstas aparecen en otras situaciones y el Análisis Funcional resulta ser un marco muy natu-ral para esta clase de cuestiones.
Así la K-Teoría es otro campo donde un amplio rango de partes diferentes
de las Matemáticas llega a este simple formalismo, aunque en cada caso existen cuestiones técnicas difíciles y específicas de cada área. No es una herramienta uniforme, es más un marco uniforme, con analogías y simili-tudes entre una parte y otra.
Mucho de este trabajo ha sido extendido por Alain Connes a la Geometría Diferencial no Conmutativa.
L
Recientemente, Witten trabajando en Teoría de Cuerdas (las últimas ideas en Física Fundamental) ha identificado caminos muy interesantes en los
que la K-Teoría aparece para dar un marco natural en lo que se ha llamado
"cantidades conservadas". Mientras que en el pasado se pensó que la
Teoría de Homología era un marco natural, ahora parece que la K-Teoría
proporciona una respuesta mejor.
Grupos de Lle. Otro concepto unificador, que no es simplemente una
técnica, es el de grupo de Lie. Estos grupos, y fundamentalmente nos
refe-rimos a los grupos ortogonales, unita1ios y simplécticos, junto con algunos
grupos excepcionales, han desempeñado un papel muy importante en la
historia de las Matemáticas del siglo XX. De nuevo, éstos se remontan al
siglo XIX. Sophus Lie fue un matemático noruego del siglo XIX y, junto a
Felix Klein y otros desarrollaron "la Teoría de Grupos Continuos", como
fue llamada. Originalmente para Klein esto fue una manera de intentar
unificar las dif~rentes clases de geometrias: la Geometría Euclídea y la no
Euclídea. Aunque este tema empezó en el siglo XIX, realmente despegó en
el XX. Este último ha estado fuertemente dominado por la teoría de Lle de
grupos como una especie de marco unificador en Ja que estudiar muchas
cuestiones diferentes.
Ya mencioné el papel que en Geometría tuvieron las ideas de Klein. Para
Klein, la geometría eran espacios homogéneos donde podíamos mover
los objetos libremente sin djstorsiones y, por Jo tanto, estaba determinada
por un grupo de isometrías asociado. El grupo euclídeo inducía Ja
Geome-tría Euclídea; la Geometría Hiperbólica venía de otro grupo de Lie. Así a
cada geometría homogénea corresponde un grupo de Lie diferente. Pero
posteriormente, siguiendo el trabajo sobre geometría de Riemann, la
gen-te se interesó en geometrías que no eran homogéneas, en las que la
curva-tura varía de lugar en lugar y donde no había simetrías globales del
espa-cio. Sin embargo, los grupos de Lle todavía desempeñaban un importante
papel porque entraban en un nivel infinitesimal ya que en el espacio
tan-gente disponemos de coordenadas Euclídeas. Por tanto, en el espacio
tangente, infinitesimalmente, reaparece la teoría de grupos de Lle, pero
puesto que tenemos que comparar diferentes puntos en diferentes
luga-res, debemos mover objetos de cierta manera para ocupamos de los
dife-rentes grupos de Lle. Esa fue Ja teoría desarrollada por Elle Cartan, la base
de la geometría diferencial moderna, y fue el marco de trabajo esencial
para la Teoria de la Relatividad de Einstein. Por supuesto, la teoría de Einstein
dio un gran impulso a todo el desarrollo de la geometría diferencial.
'
Moviéndonos en el siglo XX, el aspecto global que mencioné antes
combi-naba grupos de Lie y geometría diferencial en un nivel global. Un
te desarrollo, caracterizado por el trabajo de Borel y Hirzebruch, dio infor-mación sobre lo que se ha dado en llamar "clases características". Éstas
son invariantes topológicos que combinan las tres partes principales: los grupos de Lle, la geometría diferencial y la topología, y por supuesto, el álgebra asociado con el grupo en sí mismo.
En una dirección más analítica, obtenemos lo que ahora se llama Análisis Armónico no Conmutativo. Éste es una generalización de la teoria de Fou.rier, donde las series o integrales de Fourier corresponden esencialmente a los grupos de Líe conmutativos del círculo y la línea recta. Cuando esto se reemplaza por grupos de Lie más complicados, entonces obtenemos una
preciosa teoría que combina la teoría de representación de grupos de Lle
y el análisis. Éste fue esencialmente el trabajo de toda la vida de
Harish-Chandra.
En teoría de números todo el "programa Langlands", como así se llama y que también está relacionado con la teorfa de Harish-Chandra, tiene lugar dentro de la teoría de grupos de Lie. Para cada grupo de Lie uno tiene la teoría de números asociada al programa de Langlands, que ha sido desa-rrollada hasta cierto extremo. Ha influido en buena parte de la teoría
algebraica de números durante la segunda mifad del siglo XX. El estudio de formas modulares encaja dentro de esta parte de la teoría, incluyendo el trabajo de Andrew Wiles sobre el Último Teorema de Fermat.
Se podría pensar que los grupos de Lle son particularmente significativos
sólo en contextos geométricos debido a la necesidad de la variación
con-tinua, pero los análogos de grupos de Lie sobre cuerpos finitos dan lugar a
grupos finitos y la mayoría de los grupos finitos aparecen de esta manera. Así las técnicas de algunas partes de la Teoría de Lie se aplican incluso en situaciones discretas para cuerpos finitos o locales. Hay mucho trabajo que es álgebra pura, por ejemplo, el trabajo al que el nombre de George
Lusztig se asocia, donde se estudia la teoría de representación de tales
grupos y donde muchas de las técnicas que he mencionado antes tienen
su contrapartida.
Grupos finitos
Esto nos lleva a los grupos finitos y eso me recuerda que en la clasificación de grupos finitos simples tengo algo que reconocer. Hace algunos años fui
entrevistado, justo cuando Ja historia sobre la clasificación de grupos fini-tos simples terminaba, y me preguntaron qué pensaba de ello. Fui lo sufi-cientemente imprudente para decir que no creía que fuera tan importan-te. Mí razón era que la clasificación de grupos finitos simples nos venía a
decir que la mayoría de los grupos simples eran aquellos que ya
conocía-mos, salvo pocas excepciones. En algún sentido aquello cerró el campo y
no abrió nuevas perspectivas. Cuando las cosas se cierran y no abren
otros caminos no me siento tan excitado, pero por supuesto, muchos de
mis amigos que trabajan en esta área estaban muy, muy malhumorados.
Tuve que vestir con algo parecido a un chaleco antibalas después de
aque-llo.
Me salva haber hecho la puntualización de que, en la lista de los llamados "grupos esporádicos", al mayor se le había dado el nombre de "Mons-truo". Pienso que el solo descubrimiento de este Monstruo es una de las consecuencias mas excitantes de la clasificación. El Monstruo resulta ser un animal extremadamente interesante que aún sigue siendo objeto de
estudio. Presenta conexiones inesperadas con amplias partes de otras ra
-mas de las Matemáticas, con for-mas modulares e incluso con Física Teóri-ca y Teoría Cuántica de Campos. Éste fue un subproducto interesante de la clasificación. Las clasificaciones por sí mismas, como suelo decir, cierran las puertas, pero el Monstruo abrió otra.
El impacto de la Física
Perrnítanme cambiar ahora a un tema diferente, el impacto que ha tenido
la Física. A través de la historia, la Física ha estado relacionada con la Mate-mática y amplias partes de ésta, el Cálculo por ejemplo, fueron
desarrolla-das con el objetivo de resolver problemas físicos. A mediados de siglo XX
esto ha sido quizás menos evidente, con la mayoría de las matemáticas
puras progresando muy bien independientemente de la Física, pero en el
último cuarto de siglo las cosas han cambiado drásticamente. Permítanme intentar examinar brevemente la interacción de la Física con las Matemáti-cas y en particular, con la Geometría.
En el siglo XIX, Hamilton desarrolló la Mecánica Clásica introduciendo lo
que ahora llamamos el formalismo Hamiltoniano. La Mecánica Clásica ha
conducido a lo que llamamos "Geometría Simpléctica". Ésta es una rama de la geometría que podría haber sido estudiada mucho antes pero, que de hecho, no ha sido estudiada seriamente hasta las últimas dos décadas. Resulta ser una rama muy rica de la geometría Geometría, en el sentido en el que aquí uso la palabra, tiene tres vertientes: Geometría Riemanniana, Geometría Compleja y Geometría Simpléctica, de acuerdo a los tres tipos de grupos de Lle. La Geometría Simpléctica es la más reciente de éstas y, en cierto sentido, la más interesante de ellas y, ciertamente, una con estrechas relaciones con la Física, debido a sus orígenes históricos en conexión con
-la Mecánica Hamiltoniana y más recientemente con la Mecánica Cuántica. Ahora bien, las ecuaciones de Maxwell, que mencioné anteriormete, las
ecuaciones lineales fundamentales del Electromagnetismo, fueron
lamo-tivación para el trabajo de Hodge sobre formas armónicas y su aplicación a Ja Geometría Algebraica. Ésta resultó ser un teoría enormemente fructífe-ra que ha sostenido muchas de las investigaciones en geometría desde los años treinta.
Ya he mencionado la Relatividad General y el trabajo de Einstein. La Mecá-nica Cuántica, por supuesto, influyó enormemente no sólo con las relacio
-nes de conmutación sino, Jo que es más significativo, con el énfasis sobre los espacios de Hilbert y la Teoría Espectral.
De manera más concreta y obvia, Ja cristalografía en su forma clásica se interesaba en las simetrías de las estructuras cristalinas. Los grupos finitos de simetrías que pueden presentarse alrededor de puntos fueron estudia-dos en primera instancia debido a sus aplicaciones. En el siglo XX, las profundas aplicaciones de la teoría de grupos han resultado tener relacio-nes con la Física. las partículas elementales de las que se supone se cons-tituye la materia parecen presentar simetrías ocultas al nivel más pequeño donde existen ciertos grupos de Lle al acecho y que no podemos ver, pero estas simetrías se ponen de manifiesto cuando estudiamos el comporta-miento real de las partículas. Por tanto, se puede postular un modelo en el que las simetrías constituyen un ingrediente esencial y las diferentes teo-rías que se han impuesto presentan ciertos grupos de Lle básicos tales como SU(2) y SU(3) como grupos esenciales de simetrías. Por lo tanto
estos grupos de Lie aparecen como pilares fundamentales de la materia.
No sólo los grupos de Lie compactos son los únicos que aparecen. Ciertos
grupos de Lle no compactos, tales como el grupo de Lorentz, también
aparecen en Físca. Fue un físico el que empezó el estudio de la Teoría de Representación de grupos de Lie no compactos. Éstas son representacio-nes que deben realizarse en espacios de Hilbert porque, para grupos com-pactos, las representaciones irreducibles son finito-dimensionales, pero los no compactos requieren infinitas dimensiones. Fueron Jos físicos los primeros que se dieron cuenta de esto.
En el último cuarto del siglo XX, el que precisamente termina, ha habido una tremenda incursión de nuevas ideas en Matemáticas por parte de la Física. Ésta es quizás una de las historias más relevantes de todo el siglo. Requeriría toda una charla, pero básicamente, Ja Teoría Cuántica de Cam
-pos y la Teoría de Cuerdas han sido aplicadas de varias formas relevantes para obtener nuevos resultados, ideas y técnicas en diferentes partes de las Matemáticas. Con esto quiero decir que los físicos han sido capaces de
predecir que ciertas cosas serían ciertas en matemáticas basándose en su
propio entendimiento de la teoría física. Por supuesto, esto no constituye
una prueba rigurosa, pero está respaldado por una cantidad muy
podero-sa de intuición, casos especiales y analogías. Estos resultados predichos
por los físicos necesitan tiempo para ser refutados por los matemáticos,
para luego resultar ser fundamentalmente correctos, incluso siendo muy
difícil producir demostraciones o aunque muchos de ellos no hayan sido
probados completamente.
Así ha habido una. tremenda aportación en los últimos veinticinco años en
esta dirección. Los resultados son extremadamente destacados. No es
que simplemente los físicos dicen "éste es el tipo de cosa que debería ser cierta", ellos dicen "aquí está la fórmula exacta y aquí los primeros diez
casos" (involucrando números con más de doce dígitos.) Dan respuestas
exactas a problemas complicados, no es el típico caso en el que se puede
adivinar, mas bien algo en lo que se necesita una máquina para calcular. La
Teoría Cuántica de Campos ha resultado ser una herramienta muy
desta-cada dificil de entender matemáticamente, pero que ha tenido un
inespe-rado premio en términos de sus aplicaciones. Ésta realmente ha sido la
excitante historia de los últimos veinticinco años.
Aquí están algunos de los ingredientes: el trabajo de Simon Donaldson
sobre variedades 4-dimensionales; el trabajo de Vaughan Janes sobre invariantes de nudos, simetría especular y grupos cuánticos; y el ya men -cionado Monstruo.
We qué trata todo esto? Como ya mencioné antes, el siglo XX vio un cam
-bio en el número de las dimensiones terminando con un número infinito de ellas. Los físicos han ido aún más lejos. En Teoría Cuántica de Campos están intentando hacer un estudio muy detallado de los espacios infinito-dirnensionales en profundidad. Los espacios infinito-dimensionales de los que se ocupan son típicamente espacios de funciones de varias clases, muy complicados no sólo por su carácter infinito dimensional sino por-que también presentan un álgebra, una geometría y una topología muy
complicadas. También existen enormes grupos de Líe
infinito-dimensionales, alrededor de esta historia. Por tanto, igual que amplias
par-tes de las Matemáticas del siglo XX estuvieron interesadas en el desaiTOIJo
de la Geometría, la Topología, el Álgebra y el Análisis sobre grupos de Lie
infinito-dimensionales y variedades, esta parte de la Física está interesada
en el tratamiento análogo en infinitas dimensiones y por supuesto esto es
una historia muy diferente que tiene enormes recompensas.
Permítanme explicarlo con un poco más de detalle. Las teorías cuánticas
de campo tienen lugar en el espacio y en el tiempo y aquí espacio se refiere
al espacio tridimensional, pero existen modelos simplificados unidimensionales. En un espacio unidimensional y un tiempo unidimensional, los objetos típicos con Jos que los físicos se encuentran son, matemáticamente hablando, grupos tales como el de los difeomorfismos del círculo o el grupo de las aplicaciones diferenciables del círculo en un grupo de Lie compacto. Éstos son dos ejemplos funda-mentales de grupos de Lie infinito dimensionales que aparecen en las teo-rías cuánticas de campos en estas dimensiones, y constituyen objetos matemáticos muy razonables que han sido estudiados por los matemáti-cos durante algún tiempo.
En tales teorías 1 + 1 dimensionales uno puede considerar el espacio tiem-po como una superficie de Riemann y esto conduce a nuevos resultados. Por ejemplo, el espacio modular de las superficies de Riemann de género dado es un objeto clásico que se remonta al siglo pasado. La Teoría Cuántica de Campo ha proporcionado nuevos resultados sobre la cohomología de estos espacios modulares. Otro espacio modular muy similar es el espacio modular de los G-fibrados llanos sobre una superficie de Riemann de gé-nero g. Estos espacios son muy interesantes y la Teoría Cuántica de Cam-pos proporciona resultados específicos sobre ellos. En particular, existen hermosas fórmulas para los volúmenes que usan valores de las funciones zeta.
Otra aplicación se refiere a contar curvas. Si nos concentramos en curvas algebraicas planas de grado y tipo dado y queremos saber cuántas de ellas pasan, por ejemplo, por unos cuantos puntos particulares, uno se involucra en problemas combinatorios de Ja Geometría Algebraica, problemas que han sido clásicos en el último siglo. Éstos son muy diffciles y han sido resueltos por meruo de la maquinaria moderna llamada "Cohomología Cuántica", que es parte de la Teoría Cuántica de Campos. Uno puede plan-tearse cuestiones aún más difíciles sobre curvas no planas, curvas dentro de variedades curvadas. Aquí tenemos otra hermosa historia con resulta-dos explícitos que se conocen con el nombre de Simetría Especular. Todo esto viene de Ja Teoría Cuántica de Campos en 1+1 dimensiones.
Si nos movemos una rumensión más arriba, donde tenemos 2-espacio y !-tiempo, aquí es donde Ja teorfa de vaughan Jones de invariantes de nudos entra en juego. Ésta ha tenido una elegante explicación o interpretación en términos de la Teoría Cuántica de Campos.
También relacionado con esto están Jos llamados "Grupos Cuánticos". Ahora bien, lo más bonito acerca de los grupos cuánticos es su nombre. iDefinitivamente no son grupos! Si me preguntaran por Ja definición de un grupo cuántico necesitaría otra media hora. Son objetos complicados,
pero no existe razón por la que deban tener una profunda relación con la Teoría Cuántica. Emergen de la Física, y están siendo aplicados por algebristas prácticos que realmente los usan para cómputos definidos.
Si nos movemos un paso más, a la teoría cuatro-dimensional (3+ 1 dimen-siones), aquí es donde la Teoría de Donaldson de variedades cuatro-dimensionales encaja y donde la Teoría Cuántica de Campos ha tenido su mayor impacto. En particular, llevó a Seiberg y Witten a producir su teoría alternativa, que basada en Ja intuición física proporciona también maravi-llosos resultados matemáticos. Todos ellos son ejemplos particulares. Hay muchos más.
Depués está la Teoría de Cuerdas, pero esto ya es parte del pasado! De la M-teoría es sobre lo que deberíamos hablar ahora, es una teoría rica, de nuevo con un número amplio de aspectos matemáticos. Los resultados que salen de ella todavía están siendo digeridos y mantendrán a los mate-máticos ocupados por mucho tiempo.
Resumen histórico
Permítanme hacer un rápido resumen. lQué ha pasado con las matemáti-cas? Superficialmente pondré los siglos XVIII y XIX juntos como la era de lo que podemos llamar Matemática Clásica, la era que asociamos con Euler y Gauss, donde se trabajó y se desarrolló toda la gran matemática clásica Uno podría haber pensado que casi sería el final de las Matemáticas, pero por el contrario el siglo XX ha sido muy productivo y de esto es de lo que he estado hablando.
El siglo XX puede ser dividido someramente en dos pa1tes. Pensaría que la primera mitad ha estado dominada por lo que llamo la "era de la especia-lización", la era en la que fue muy influyente la visión de Hilbert de intentar formalizar y definir las cosas cuidadosamente para luego seguir con lo que se pudiera hacer en cada área. Como dije, el nombre de Bourbaki está asociado a esta tendencia, donde se fijaba la atención en lo que podría obtenerse con sistemas algebraicos particulares u otros sistemas en un tiempo dado. La segunda mitad del siglo XX ha sido más lo que se podría llamar la "era de Ja unificación", donde se cruzan fronteras, donde las técnicas se mueven de un campo a otro, y donde todo se ha mezclado
enormemente. Pienso que esto es una sobresirnplificación, pero también
creo resume brevemente alguno de los aspectos que se han visto en las matemáticas del siglo XX.
lQué pasa con el siglo XXI? He dicho que el siglo XXI podría ser la era de la
matemática cuántica o, si se prefiere, de las matemáticas infinito-dirnensionales. lQué podría significar esto? Matemática cuántica podría
significar, si llegamos tan lejos, entender propiamente el análisis, la geome-trfa, la topología, el álgebra de varios espacios no lineales, y por "entender
propiamente" me refiero a entender de tal manera que obtengamos
prue-bas rigurosas de todas las maravillas con las que los físicos han estado especulando.
Se diría que, si pasamos a infinitas dimensiones de un modo primitivo y
nos hacemos preguntas primitivas, frecuentemente obtendremos
respues-tas incorrectas o superficiales. La visión, motivación y aplicaciones físicas
han permitido a los físicos preguntarse cuestiones inteligentes sobre infini-tas dimensiones y hacer cosas muy sutiles donde aparecen respuestas
sensibles. Así, practicar análisis infinito dimensional de esta manera no es
de ninguna forma una tarea simple. Se debe atacar de la forma correcta. Se tienen muchas pistas. El camino está trazado: esto es lo que se debería hacer, pero queda un largo camino por recorrer.
lQué más podría pasar en el siglo XXI? Me gustaría enfatizar la Geometría
Diferencial no Conmutativa de Connes. Alain Conncs dispone de una
ex-traña y magnUica teoña unificada. De nuevo Jo combina todo. Combina
análisis, álgebra, geometría, fisica y teoría de números, cada una de las cuales contribuye como partes de ella. Es un marco de trabajo que nos
permite hacer lo que los geómetras diferenciales normalmente hacen,
in-cluyendo su relación con topología en el contexto del análisis no
conmutativo. Existen buenas razones para querer hacer esto, aplicacio
-nes (potenciales o de otra índole) en teoría de números, geometría,
gru-pos discretos ... , y en fisica. Un interesante nexo con la Física está ahora mismo siendo desarrollado. lCómo de lejos se llegará?, lqué se
consegui-rá?, esto aún está por verse. Ciertamente es algo que espero será
significativamente desarrollado al menos en Ja primera década del s
iguien-te siglo, y es posible que pudiera tener vínculos con la todavía no
desarro-llada (rigurosamente) Teoría Cuántica de Campos.
Por otra parte, existe lo que se llama "Geometría Aritmética" o la geometría
de Arakelov que trata de unificar, tanto como sea posible, la Geometría Algebraica y parte de la Teoría de Números. Es una teoría muy exitosa. Ha
hecho un espectacular comienzo pero aún tiene un largo camino por
recorrer. lQuién sabe?
Por supuesto, todo esto tiene lazos en común. Sospecho que la Física tendrá su impacto alo largo de lodo el camino, incluso en Teoría de
Núme-ros: Andrew Wiles no coincide y sólo el tiempo dirá
Éstas son las relaciones que puedo ver emerger en la próxima década, pero existe Jo que puedo llamar un comodín en la baraja: bajar a
dimensio-nes inferiores. Con toda esta caprichosa parafernalia infinito-dimensional, Ja geometría de baja dimensión es desconcertante. De todas formas las dimensiones inferiores donde empezamos, donde nuestros antecesores empezaron, siguen siendo algo así como un enigma. Las dimensiones 2, 3 y 4 son las que llamamos "bajas". Por ejemplo, el trabajo de Thurston en geometría de dimensión tres apunta a la clasificación de Ja geometría que uno puede considerar en las variedades tridimensionales. Esto es mucho
más profundo que la teoría bidimensional. El programa de Thurston no ha sido remotamente cerrado y, completarlo ciertamente sería un gran reto.
La otra sorprendente historia en tres dimensiones se debe al trabajo de
Vaughan Jones con ideas que esencialmente provienen de la Física. Esto
nos da más información sobre tres dimensiones que es casi ortogonal a la
información contenida en el programa de Thurston. Cómo unir estos
as-pectos sigue siendo un enorme reto, pero existen pistas recientes para un po:;ible puente. Por lo tanto, toda esta área, todavía en dimensiones bajas,
tiene sus nexos con Ja Física, pero sigue siendo muy misteriosa.
Finalmenle, rne gustaría mencionar que en la Física lo que emerge muy
frecuentemente son las "dualidades". Estas dualidades, hablando con ge-neralidad, aparecen cuando una teoría cuántica tiene dos presentaciones
diferentes como teoría clásica. Un ejemplo simple es la dualidad entre posición y momento en Ja Mecánica Clásica. Esto reemplaza un espacio por su espacio dual, y en teorías lineales esta dualidad es simplemente la transformada de Fourier. Pero en teorías no lineales cómo reemplazar la transformada de Fourier es uno de Jos grandes retos. Amplias ramas de las Matemáticas están interesadas en cómo generalizar las dualidades en si-tuaciones no lineales. Los físicos parecen ser capaces de hacer esto de un modo brillante en sus teorías de cuerdas y en la M-teoría. Producen ejem-plos tras ejemejem-plos de maravillosas dualidades que en amplio sentido son versiones no lineales infinito-dimensionales de la transformada de Fourier que parecen funcionar. Sin embargo, entender esas dualidades no lineales parece ser uno de los grandes retos para el siglo XXI también.
Creo que pararé aquí. Hay mucho trabajo por hacer y es muy bonito para un anciano como yo hablar a mucha gente joven como ustedes, y poder decirles ihay muchísimo trabajo para ustedes en el siglo XXI!
Department of Mathematics and Statistics, University of Edinburgh, James
Clerk Maxwell Building, King's Buildings, Mayfield Road, Edinburgh EH9 3JZ,
England
Michael F. Atiyah (1929, Londres) ha sido profesor de las universida-des británicas de Cambridge y Oxford, así como del lnstitute for Advanced Study en Princeton (USA).
Entre sus contribuciones matemáticas destacan la K-teoría y el
teore-ma del índice para operadores diferenciales elípticos. En su obra so-bresalen la conexión entre disciplinas matemáticas diferentes y las relaciones con las teorías más modernas de Ja física.
En 1966 se le concedió la medalla Fields. Ha sido Presidente de la
London Mathematical Society (1974-76) y de la Royal Society
(1990-95).
Dirección electrónica: [email protected]
Este artfculo está basado en copia de una grabación de la conferencia Fields impartida por el autor en Simposium sobre el año mundial de las
matemáticas celebrado en Toronto entre los días 7 y 9 de junio de 2000.
"Más allá del infinito ... " Luis Balbuena.
