Transformación de Radon y Onditas

(1)

Trabajo de Tesis presentado al

Departamento de Matem´aticas por

Sergio Andr´

es Pulido Ni˜

no

Director: Jaime Lesmes Camacho

Para optar al t´ıtulo de Magister en Matem´aticas

Matem´aticas Universidad de Los Andes

(2)

Lista de Figuras 3

Introducci´on 5

I. La Transformaci´on de Radon 7

1.1. Deﬁnici´on . . . 7

1.2. Otras Transformaciones Relacionadas . . . 10

1.3. Propiedades de la Transformaci´on de Radon . . . 13

1.3.1. Relaci´on entre las Transformaciones de Radon y de Fourier . . . 13

1.3.2. Imagen de la Transformaci´on de Radon . . . 14

1.3.3. Convoluci´on . . . 15

1.3.4. Derivaci´on . . . 16

1.3.5. Operadores Adjuntos y Extensi´on . . . 17

1.4. Formulas de Inversi´on . . . 24

II. Inversi´on Local de la Transformaci´on de Radon con Onditas 32 2.1. El Problema Interior . . . 32

2.1.1. Unicidad . . . 33

2.1.2. Estabilidad . . . 35

2.2. Otros Problemas con Datos Incompletos . . . 36

2.3. Retroproyecci´on Filtrada - Filtered Back Projection . . . 43

2.4. Tomograf´ıa Local . . . 45

2.5. Inversi´on con Onditas . . . 46

2.6. Conclusiones . . . 66

III. Implementaci´on 69 3.1. Onditas Discretas y AMR Ortonormal . . . 69

3.2. Algoritmo y Ejemplo . . . 76

´Indice de S´ımbolos . . . 96

´Indice de Materias . . . 97

(3)

1. El hiperplano ζ depende del vector normal θ y la distancia con signo al origen s. . 8

2. Relaci´on entreR y P: ζ = {x ∈ Rn : x· ω = s}. . . . 11

3. Tomograf´ıa Paralela . . . 11

4. Tomograf´ıa del Abanico Divergente . . . 12

5. La medida de A es (1− s2)n−12 |Ωn−1|. . . . 23

6. Intervalo de variaci´on de t en la ecuaci´on (23) . . . 24

7. Funci´on h . . . . 34

8. Importancia de las hip´otesis del Teorema 2.2.7. . . 43

9. Ondita b´asica Ψ. . . 48

10. Traslaciones de las dilataciones y contracciones de la ondita b´asica Ψ de la ﬁgura 9. 48 11. Para obtener las frecuencias bajas debe aumentar δ. . . . 55

12. Shepp-Logan phantom. . . 79

13. Proyecci´on del Shepp-Logan phantom para ϕ = 180◦. . . 79

14. Regi´on de Inter´es, c´ırculo de radio 32 pixels. . . 80

15. 50 datos centrales de la proyecci´on del Shepp-Logan phantom para ϕ = 180◦. . . . 80

16. Proyección de la figura 15 luego de ser filtrada en el dominio de Fourier por |σ| y mediante convolución con RϕΦ2−1 yRϕΨi2−1, para i = 1, 2, 3, utilizando la ondita de Daubechies de orden 1. . . 81

17. Proyección de la figura 15 luego de ser filtrada en el dominio de Fourier por |σ| y mediante convolución con RϕΦ2−1 yRϕΨi2−1, para i = 1, 2, 3, utilizando la ondita de Daubechies de orden 4. . . 82

18. Proyección de la figura 15 luego de ser filtrada en el dominio de Fourier por |σ| y mediante convolución conRϕΦ2−1 yRϕΨi2−1, para i = 1, 2, 3, utilizando el coiflet de orden 1. . . 83

19. Proyección de la figura 15 luego de ser filtrada en el dominio de Fourier por |σ| y mediante convolución conRϕΦ2−1 yR_ϕΨi2−1, para i = 1, 2, 3, utilizando el coiflet de orden 4. . . 84

20. Proyección de la figura 15 luego de ser filtrada en el dominio de Fourier por |σ| y mediante convolución con RϕΦ2−1 yRϕΨi2−1, para i = 1, 2, 3, utilizando la ondita biortogonal ψ_4,4. . . 85

(4)

Parte superior derecha: coeficientes de detalles horizontales, Parte inferior izquierda: coeficientes de detalles verticales, Parte inferior derecha: coeficientes

de detalles diagonales . . . 86 22. Coeﬁcientes de ondita que se obtienen mediante retroproyecci´on, utilizando la ondita

de Daubechies de orden 4. Parte superior izquierda: coeﬁcientes de aproximaci´on,

Parte superior derecha: coeficientes de detalles horizontales, Parte inferior izquierda: coeficientes de detalles verticales, Parte inferior derecha: coeficientes

de detalles diagonales . . . 87 23. Coeficientes de ondita que se obtienen mediante retroproyección, utilizando el coiflet

de orden 1. Parte superior izquierda: coeﬁcientes de aproximaci´on, Parte

su-perior derecha: coeﬁcientes de detalles horizontales, Parte inferior izquierda:

coeficientes de detalles verticales, Parte inferior derecha: coeficientes de detalles diagonales . . . 88 24. Coeficientes de ondita que se obtienen mediante retroproyección, utilizando el coiflet

de orden 4. Parte superior izquierda: coeﬁcientes de aproximaci´on, Parte

su-perior derecha: coeﬁcientes de detalles horizontales, Parte inferior izquierda:

coeficientes de detalles verticales, Parte inferior derecha: coeficientes de detalles diagonales . . . 89 25. Coeficientes de ondita que se obtienen mediante retroproyección, utilizando la ondita

biortogonal ψ4,4. Parte superior izquierda: coeﬁcientes de aproximaci´on, Parte

superior derecha: coeﬁcientes de detalles horizontales, Parte inferior izquierda:

coeficientes de detalles verticales, Parte inferior derecha: coeficientes de detalles diagonales . . . 90 26. Imagen que se obtiene a partir de los coeficientes de ondita de la figura 25 . . . 91 27. Coeficientes de ondita que se obtienen a partir de las proyecciones globales utilizando

la ondita biortogonal ψ4,4. Parte superior izquierda: coeﬁcientes de aproxima-ci´on, Parte superior derecha: coeﬁcientes de detalles horizontales, Parte inferior

izquierda: coeﬁcientes de detalles verticales, Parte inferior derecha: coeﬁcientes

de detalles diagonales . . . 92 28. Falta de simetr´ıa de funciones escala de Daubechies de orden 4 y coiﬂet de orden 4.

Funciones Escala: Izquierda, Onditas: Derecha. . . . 93

(5)

En el año de 1917, el matem´atico austriaco Johann Radon, en su trabajo titulado “ Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten” (“Sobre

la determinación de funciones por sus integrales sobre ciertas variedades ”), presentó fórmulas para la expresión de funciones definidas sobreR2 yR3 mediante sus integrales sobre las rectas deR2 y los planos deR3, respectivamente. Su trabajo constituye la base de la Tomograf´ıa Computarizada (TC), método utilizado en el diagnóstico médico para obtener imágenes de una sección transversal del cuerpo humano, en el cual un haz de rayos X se emite sobre el paciente, almacenando la pérdida de intensidad a través de detectores que se mueven simultáneamente con la fuente.

Una de las principales limitaciones que tiene la tomograf´ıa computarizada es que, para estudiar una pequeña sección transversal, el paciente debe ser expuesto a una cantidad alta de radiación, puesto que es necesario emitir rayos X fuera de la región de interés.

La Transformada de Radon de una funci´on f deﬁnida sobreRn_est´_{a constituida por las integrales}

de f sobre los hiperplanos aﬁnes deRn_{. El problema de la tomograf´ıa computarizada enunciado se}

debe al hecho de que la inversión de la transformación de Radon en dimensiones pares no es local, es decir, la reconstrucción de una función en una vecindad de un punto requiere el conocimiento de las proyecciones de la función sobre todos los hiperplanos que intersecten su soporte. Una explicación de este fenómeno fue dada por Fritz John en [14]. John observó la relación existente entre las fórmulas propuestas por Radon en [19] y aquellas que brindan la solución al problema con valor inicial de la ecuación de onda. La imposibilidad de localizar la transformación de Radon, está entonces relacionada con el hecho que las ondas no pueden localizarse en dimensiones pares; por ejemplo, al soltar un guijarro sobre el agua, las ondulaciones no se concentran en una región, sino que se expanden sobre c´ırculos concéntricos que aumentan su tamaño.

El trabajo tiene dos objetivos principales: desarrollar la teor´ıa matemática de la transforma-ción de Radon y, comprender cómo el análisis de onditas brinda una alternativa para invertir de manera local dicha transformación en dimensiones pares. En él se ordenan, aclaran y entrelazan los resultados descritos en los trabajos de Berenstein y Walnut ([3],[4] y [5]), con el fin de facili-tar su comprensión e introducir al lector al reciente e innovador tema de la inversión local de la transformación de Radon con onditas y sus aplicaciones.

La exposición del tema es original porque relaciona la inversión con onditas y el método de retroproyección filtrada, utilizado principalmente con fines de estabilidad en la inversión; establece conexión con el estudio de las “Ridgelets” introducidas por Emmanuel Candès y Dave Donoho (ver

(6)

[6], [7] y [9]); muestra resultados que esclarecen, cómo la cantidad de momentos nulos de la ondita que se utilice influye en la localización durante la inversión; y presenta la aplicación del análisis de onditas a la transformada de Radon, para la detección local de bordes en imágenes.

El contenido del trabajo está dividido en tres cap´ıtulos cuyo resumen se presenta a continuación: el cap´ıtulo 1 es una introducción a la transformación de Radon; luego de su definición en la sección 1.1., se presentan en la sección 1.2., las transformaciones radiológica y del haz divergente, con el fin de mostrar cómo se maneja la tomograf´ıa computarizada desde el punto de vista geométrico; después, en la sección 1.3., se enuncian las principales propiedades de la transformación de Radon, para al final, en la sección 1.4., exponer las fórmulas de inversión de esta transformación y aclarar el porqué de la imposibilidad de tener un análisis local en dimensiones pares.

En el cap´ıtulo 2 se expone en la sección 2.1. el problema interior; en la sección 2.2. se des-arrollan resultados concernientes a la unicidad y estabilidad en la solución de problemas de datos incompletos como el problema exterior, el problema del ángulo limitado y el problema de la fuente restringida, con el fin de dilucidar la diferencia entre éstos y el problema interior. En la sección 2.3., se exhibe el algoritmo de retroproyección filtrada como alternativa para la solución de los problemas de estabilidad en la inversión de la transformación de Radon. Finalmente, en la sección 2.4., se explica de manera breve en qué consiste la Λ-tomograf´ıa como método para la resolución del problema interior, y en la sección 2.5., luego de una introducción al análisis de onditas desde el punto de vista continuo, se enuncian, estableciendo relación con las ideas de la sección 2.3., los principales resultados concernientes a la utilización de onditas para la inversión local de la transformación de Radon.

Por último, en el cap´ıtulo 3, se presenta una introducción al análisis de onditas desde el punto de vista discreto, en la sección 3.1., para finalizar con un ejemplo práctico que aclara los resultados expuestos al final del cap´ıtulo 2.

Durante el trabajo se utilizar´an propiedades de la transformaci´on de Fourier y algunos resul-tados sobre distribuciones. Como referencia, se pueden consultar [2], [11], [16] y [20].

(7)

La Transformaci´

on de Radon

En este cap´ıtulo se realiza una presentación de la transformación de Radon, la cual env´ıa una función definida sobreRn en sus integrales o proyecciones sobre los hiperplanos afines deRn. Se enuncian las principales propiedades que esta transformación posee, para exponer al final algunas fórmulas de inversión con el fin de aclarar el problema de inversión local, a resolver en los siguientes cap´ıtulos. Es importante aclarar, que durante este cap´ıtulo y los cap´ıtulos subsiguientes, dada una funci´on f integrable sobre Rm_{, con m un n´}_{umero entero positivo,} _{Ff denota la transformada de}

Fourier de f , la cual se deﬁne mediante la f´ormula:

Ff(ξ) =

Rmf (x)e

−ix·ξ_dx, _ξ_{∈ R}m_,

donde· es el producto interno usual de Rm_.

1.1. Definici´

on

Aunque el dominio de definición de la transformación de Radon consiste de aquellas funciones integrables sobre los hiperplanos afines deRn_{, restringiremos nuestro estudio al espacio de funciones}

reales de la clase de Schwartz S(Rn_{), a menos que se mencione lo contrario.}

Definición 1.1.1 (La Transformación de Radon). Dada una funci´on f , definimos la trans-formada de Radon de f ,Rf, de la siguiente manera:

Rf(θ, s) =

θ⊥f (sθ + y) dy, (1)

donde θ∈ Sn−1_{, s}_{∈ R y θ}⊥₌_{{x ∈ R}n_{: x}_{· θ = 0}.}

Observación 1.1.1. Resulta evidente que la transformaci´on de Radon es una transformación lineal, gracias a la linealidad del proceso de integración.

Adoptamos la siguiente notaci´on,

Rθf (s) =Rf(θ, s).

La transformaci´on as´ı deﬁnida puede ser visualizada desde otras perspectivas:

(8)

1. Si llamamos Pn _{al conjunto de todos los hiperplanos aﬁnes de}_Rn_{, la aplicaci´}_on

φ : Z := Sn−1× R → Pn

(θ, s)→ ζ = {x ∈ Rn : x· θ = s}, (2) es una aplicaci´on de recubrimiento en que la ﬁbra o imagen inversa de cada hiperplano

ζ ={x ∈ Rn: x· θ = s},

est´a constituida por dos puntos exactamente: (θ, s) y (−θ, −s) (θ es el vector normal al hiperplano y s es la distancia con signo del hiperplano al origen). Mediante esta aplicaci´on se puede dotar al conjunto Pn _{de una estructura de variedad diferenciable, de modo que la}

aplicaci´on constituya un recubrimiento de dos hojas de la variedad. As´ı, la transformada de Radon de f puede ser vista como una funci´on deﬁnida sobre el espacio Pn_{, de la siguiente}

manera:

Rf(ζ) =

ζ

f (x) dµ(x), (3)

donde dµ es la medida de Lebesgue sobre el hiperplano af´ın ζ (ver ﬁgura 1).

• O θ ζ • s

Figura 1: El hiperplano ζ depende del vector normal θ y la distancia con signo al origen s.

2. Decimos que una sucesi´on de funciones (δm)m∈N, es una δ-sucesi´on, si para toda funci´on

f ∈ S(Rn_),

l´ım

m→∞

Rnf (x)δm(x) dx =δ, f = f(0).

Un ejemplo de dichas sucesiones es la sucesión definida mediante la fórmula

δm(y) = (2π)−n

|ξ|<me iy·ξ_dξ.

(9)

f ∈ S(Rn_), f (0) = (2π)−n RnFf(ξ) dξ = (2π)−n Rn Rnf (y)e −iy·ξ_{dy dξ} = l´ım m→∞

Rnf (y)δm(y) dy.

Sea (δm)m∈Nuna δ-sucesi´on de funciones deﬁnidas sobreR. Tenemos que, dados f ∈ S(Rn),

θ∈ Sn−1 y s∈ R, puesto que Rθf ∈ S(R) (ver Teorema 1.3.2),

Rf(θ, s) = l´ım m→∞ RRθf (s− u)δm(u) du = l´ım m→∞ RRθf (t)δm(s− t) dt = l´ım m→∞ R θ⊥ f (tθ + y)δm(s− t) dy dt = l´ım m→∞ Rnf (x)δm(s− x · θ) dx, (4)

donde para la última igualdad, se realiz´o el cambio de variable x = tθ + y, y∈ θ⊥, el cual corresponde a una rotación del sistema de coordenadas cartesianas. Lo anterior justifica que en algunas ocasiones se utilice la notación:

Rf(θ, s) =

Rnf (x)δ(s− x · θ) dx. (5)

Teniendo en cuenta la segunda observaci´on realizada arriba es posible extender el dominio deRf de Z := Sn−1_{× R a R}n_{\ {0} × R de la siguiente manera:}

Tenemos que la distribuci´on δ es homog´enea de grado -1; en efecto, dada f ∈ S(R) se tiene por deﬁnici´on que para t∈ R \ {0},

δ(tx), f(x) =1

t δ(x), f (x/t) =

1

tf (0), (6)

de modo que δ(tx) = 1_tδ(x). Utilizando esta observaci´on, deﬁnimos para (x, s)∈ Rn_{\ {0} × R,} Rf(x, s) := Rnf (y)δ(s− y · x) dy = Rnf (y)δ (|x| (s/|x| − y · (x/|x|))) dy = 1 |x| Rn f (y)δ (s/|x| − y · (x/|x|)) dy = 1 |x|Rf (x/|x|, s/|x|) .

(10)

1.2. Otras Transformaciones Relacionadas

Antes de enunciar las principales propiedades que posee la transformación de Radon, definimos dos transformaciones que guardan estrecha relación con ella.

Definición 1.2.1 (La Transformación Radiológica, X-ray Transform ). Dada una funci´on

f ∈ S(Rn_{), deﬁnimos la transformada radiol´}_{ogica de f ,}_{Pf, de la siguiente manera:}

Pf(θ, x) =

Rf (x + tθ) dt, (7)

donde θ∈ Sn−1 y x∈ θ⊥.

La transformada radiol´ogica de f , a diferencia de la transformada de Radon en la cual se realizan las integrales sobre los hiperplanos aﬁnes deRn_{, es una funci´}_{on que se obtiene al integrar}

f sobre las rectas de Rn _{(subespacios aﬁnes de dimensi´}_{on 1). En este caso, el par´}_{ametro θ es el}

vector director de la recta y el par´ametro x es el punto de la recta que se encuentra sobre θ⊥. Es importante realizar las siguientes observaciones:

1. La raz´on por la cualPf(θ, x) se deﬁne para θ ∈ Sn−1y x∈ θ⊥es la siguiente: dados θ∈ Sn−1 y x∈ Rn_{, la integral de l´ınea de f sobre la recta que pasa por x y tiene como vector director a}

θ es la misma que la integral de l´ınea de f sobre la recta que pasa por la proyecci´on de x sobre

θ⊥y tiene como vector director a θ. As´ı, al deﬁnirPf sobre T := {(θ, x) : θ ∈ Sn−1, x∈ θ⊥},

son almacenadas todas las integrales de l´ınea de f sobre las rectas de Rn_{. Sin embargo, es}

posible deﬁnirPf sobre Sn−1× Rn_{, mediante la f´}_ormula,

Pf(θ, x) := Pf(θ, Qθx),

donde Qθx es la proyecci´on de x sobre θ⊥.

2. La siguiente fórmula establece la relación entre la transformada de Radon y la transformada radiológica de una funci´on f : si θ, ω∈ Sn−1 son ortogonales,

Rf(ω, s) =

θ⊥_∩{x∈Rn_{: x·ω=s}}Pf(θ, x) dλ,

donde dλ es la medida (n− 2)-dimensional de Lebesgue sobre el dominio de integración. No se presenta una demostración formal de la validez de esta fórmula, pero la figura 2 muestra el porqué de ésta.

3. Para n = 2, debido a que los hiperplanos afines deR2son las rectas, las transformaciones de Radon y radiológica son esencialmente la misma, excepto por un cambio de parámetros, más espec´ıficamente, dados θ∈ S1 y s∈ R, Rf(θ, s) = Rf (sθ + tθ ⊥_{) dt} =Pf(θ⊥, sθ),

(11)

• O ζ • s • x θ ω θ⊥∩ ζ

Figura 2: Relaci´on entre R y P: ζ = {x ∈ Rn _{: x}_{· ω = s}.}

4. En analog´ıa a lo establecido para la transformaci´on de Radon, adoptamos la siguiente nota-ci´on:

Pθf (x) =Pf(θ, x).

5. En los estudios médicos de rayos X la información que se recibe del órgano que se está ana-lizando utiana-lizando la Tomograf´ıa Paralela, “Parallel Tomography”, es su tranformada ra-diológica, este hecho justifica el nombre de la misma. En la tomograf´ıa paralela, la fuente que env´ıa los rayos X sobre el órgano en estudio, se mueve sobre una recta (teniendo un número finito de direcciones fijas), y el detector se mueve paralelamente junto con la fuente (ver figura 3). • • ORGANO DETECTOR FUENTE

Figura 3: Tomograf´ıa Paralela

Definición 1.2.2 (La Transformación del Haz Divergente,Divergent Beam-Transform ). Dada una funci´on f , definimos la transformada del haz divergente de f ,Df, de la siguiente manera:

Df(a, θ) =

_∞

0

f (a + tθ) dt, (8)

(12)

Nuevamente utilizamos la notaci´on,

Da(θ) =D(a, θ).

La transformada del haz divergente brinda informaci´on acerca de las integrales de f sobre los rayos deRn (a es el punto inicial del rayo y θ su vector director).

La transformación del haz divergente es más flexible que la transformación radiológica, ya que permite realizar el análisis de la función a partir de determinado punto (el punto inicial del rayo,

a), el cual puede moverse sobre una curva durante el estudio en cuesti´on. En realidad esta es la base de lo que se conoce como Tomograf´ıa del Abanico Divergente, “Fan-Beam Tomography”, en que la fuente que env´ıa un abanico de rayos sobre el órgano en estudio, se mueve alrededor de un c´ırculo. En este caso, los detectores están arreglados de modo que reciban simultáneamente toda la información del abanico de rayos (ver figura 4).

• ORGANO • • • FUENTE DETECTORES

Figura 4: Tomograf´ıa del Abanico Divergente

Aunque las transformaciones mencionadas guardan estrecha relación con la transformación de Radon, son importantes, sobre todo porque ilustran cómo se maneja la tomograf´ıa en Medicina desde el punto de vista geométrico. A lo largo del trabajo nos concentraremos principalmente en la transformación de Radon, sin embargo haremos mención en ocasiones de la transformación radiológica y la transformación del haz divergente. Una de las observaciones que hay que tener presente es que en dimensión dos la transformación de Radon y la transformación radiológica son esencialmente la misma, salvo por un cambio de parámetros. As´ı mismo, al igual que la trans-formación de Radon, la transformación radiológica y la transformación del haz divergente son transformaciones lineales, debido a la linealidad del proceso de integración.

En lo que sigue, utilizaremos la siguiente notaci´on:

Z = Sn−1× R

(13)

1.3. Propiedades de la Transformaci´

on de Radon

1.3.1. Relaci´on entre las Transformaciones de Radon y de Fourier

El siguiente resultado es esencial para el estudio de la transformación de Radon y se utilizará de manera sistemática durante el presente trabajo. Enunciamos también la relación existente entreP yF.

Teorema 1.3.1 (Teorema de la Proyecci´on de Fourier,Fourier Slice Theorem ). Dados

una funci´on f∈ S(Rn_{), θ}_{∈ S}n−1 _{y s}_{∈ R, se tiene:}

FRθf (s) =Ff(sθ). (10)

Adem´as dado ξ∈ θ⊥,

FPθf (ξ) =Ff(ξ). (11)

Observaci´on 1.3.1. En la segunda ecuaci´on que aparece en el teorema, la transformada de Fourier dePθf , se deﬁne como

FPθf (ξ) =

θ⊥

Pθf (y)e−iy·ξdy.

Demostraci´on. (a) En efecto,

FRθf (s) = RRθ f (p)e−ispdp = R θ⊥ f (pθ + y)e−ispdy dp = Rnf (x)e −ix·(sθ)_dx =Ff(sθ),

donde hemos utilizado, al igual que anteriormente (ver (4)), el cambio de variable

x = pθ + y, y∈ θ⊥.

(b) De manera an´aloga, si ξ∈ θ⊥, para la transformaci´on radiol´ogica tenemos:

FPθf (ξ) = θ⊥ Pθf (y)e−iy·ξdy = θ⊥ Rf (y + tθ)e −iy·ξ_{dt dy} = Rnf (x)e −ix·ξ_dx =Ff(ξ),

(14)

Este teorema establece que el análisis en el dominio de Fourier o el análisis de frecuencias de la transformada de Radon y de la transformada radiológica de una funci´on f , es esencialmente el mismo que el análisis de Fourier de la señal original, desde luego permitiendo que el par´ametro θ var´ıe en Sn−1 .

1.3.2. Imagen de la Transformaci´on de Radon

Quiz´as, una de las principales propiedades para el estudio de una transformaci´on, es la imagen de la misma. En este respecto, enunciamos el siguiente teorema.

Teorema 1.3.2. Dada f ∈ S(Rn_{) se tiene que:}_{Rf ∈ S(Z) y R}

θf ∈ S(R).

Observaci´on 1.3.2. Un resultado an´alogo se tiene para P y Pθ, es decir, estas transformaciones

env´ıan el espacioS(Rn_{) en el espacio de Schwartz de su dominio de deﬁnici´}_{on, a saber, T y θ}⊥

res-pectivamente. Para la transformaci´on del haz divergente, se cumple tambi´en que

Df(a, θ) ∈ S(Rn_{× S}n−1_{) y}_D

af ∈ C∞(Sn−1), si f ∈ S(Rn).

Demostraci´on. Demostraremos queRθf ∈ S(R). La otra parte de la demostraci´on se puede

con-sultar en [12]. Debido a que la transformaci´on de Fourier es un automorﬁsmo de S(R), basta demostrar queFRθf ∈ S(R). Por el Teorema 1.3.1,

d dsFRθf (s) = n i=1 θi∂iFf(sθ). (12)

Como la transformaci´on de Fourier es un automorﬁsmo deS(Rn_{), ∂}

iFf, i = 1 . . . n, decrece m´as

r´apido que cualquier polinomio en Rn_{, en particular en la direcci´}_{on de θ, as´ı por la ecuaci´}_on

(12), _dsdFRθf decrece m´as r´apido que cualquier polinomio en s. Derivando de manera sucesiva la

ecuación y utilizando el hecho de que todas las derivadas deFf decrecen más rápido que cualquier polinomio en la direcci´on de θ, concluimos que todas las derivadas deFRθf decrecen m´as rápido

que cualquier polinomio en s, o en otras palabras queRθf ∈ S(R).

Puede decirse m´as sobre la imagen de la transformaci´on de Radon.

Proposici´on 1.3.3. Dada una funci´on f∈ S(Rn_{) entonces,}

RRθf (p)p

k_dp

es un polinomio homog´eneo de grado k en θ, para todo k∈ Z+.

Observaci´on 1.3.3. Es posible demostrar que la imagen de la transformaci´on de Radon es,

SH(Z) :={f ∈ S(Z) : para todo k ∈ Z+,

RRθf (p)p

k_{dp es un polinomio homog´}_{eneo en θ, de grado k}_}, ₍₁₃₎

Para una demostraci´on de este hecho ver [12]. Es importante observar que aqu´ı consideramos el polinomio constante 0 como un polinomio homog´eneo de cualquier grado.

(15)

Demostraci´on. En efecto, RRθf (p)p k_{dp =} R θ⊥ f (pθ + y)pkdy dp = Rnf (x)(x· θ) k_dx, ₍₁₄₎

donde se efectu´o el cambio de variable x = pθ + y, y∈ θ⊥. La ´ultima integral en (14) es evidente-mente un polinomio homog´eneo en θ de grado k.

Con la observaci´on 1.3.3 es posible demostrar la siguiente proposici´on.

Proposici´on 1.3.4. La transformaci´on de Radon establece una biyecci´on lineal entre S(Rn_{) y}

SH(Z).

Demostración. Lo ´unico que hace falta aclarar es la inyectividad de la transformación; pero ésta es consecuencia de la inyectividad de la transformación de Fourier y del Teorema 1.3.1.

1.3.3. Convoluci´on

Como ocurre con la mayor´ıa de las transformaciones integrales, la transformaci´on de Radon se comporta bien con respecto a la convoluci´on.

Teorema 1.3.5. Dadas f, g∈ S(Rn_{), y dado θ}_{∈ S}n−1_,

Rθ(f∗ g) = Rθf ∗ Rθg.

Demostración. La demostraci´on de este teorema es consecuencia del Teorema 1.3.1, de la cerradura del espacio de funciones de la clase de Schwartz bajo la convolución, del Teorema 1.3.2 y de que la transformación de Fourier env´ıa la convolución en multiplicación y es un automorfismo del espacio de funciones de la clase de Schwartz. En efecto, dado s∈ R,

FRθ(f∗ g)(s) = F(f ∗ g)(sθ)

=Ff(sθ)Fg(sθ) =FRθf (s)FRθg(s)

=F(Rθf∗ Rθg)(s),

de donde se deduce lo deseado.

Observación 1.3.4. An´alogamente es posible demostrar para la transformación radiológica que

Pθ(f∗ g) = Pθf ∗ Pθg,

donde la convoluci´on para dos funciones F y G, deﬁnidas sobre θ⊥, est´a dada por

F∗ G(z) =

θ⊥

F (y− z)G(y) dy,

(16)

1.3.4. Derivaci´on

Presentamos enseguida cómo se comporta la transformación de Radon con respecto a los ope-radores de derivación.

Teorema 1.3.6. Dados una funci´on f ∈ S(Rn_{), θ}_{∈ S}n−1 _{y k}_{∈ (Z}+₎m _{un multi´ındice:}

(a)

RθDkf = θkD|k|Rθf, (15)

recordando que θk _{= θ}k1

1 . . . θnkm.

(b) En cuanto a la derivaci´on con respecto a la variable θ, se tiene: Dk_θRf(θ, s) = (−1)|k|∂

|k|

∂s|k|Rθ(x

k_{f )(s).} ₍₁₆₎

Demostración. (a) Utilizando el Teorema 1.3.1, y las propiedades para la transformación de Fourier con respecto a la derivación, se observa que:

FRθDkf (σ) = (FDkf )(σθ)

= i|k|(σθ)kFf(σθ) = i|k|σ|k|θkFRθf (σ)

= θkFD|k|Rθf (σ).

La afirmación se obtiene por la inyectividad de la transformación de Fourier.

(b) Para este parte, utilizaremos la forma de la transformaci´on de Radon desde el punto de vista de las distribuciones, utilizando δ-sucesiones (ver (5)). Bajo esta perspectiva, y siendo un poco heur´ısticos en los c´alculos,

∂ ∂θiRf(θ, s) = ∂ ∂θi Rnf (x)δ(s− x · θ) dx = Rnf (x) ∂ ∂θi δ(s− x · θ) dx =− Rnxif (x) ∂ ∂sδ(s− x · θ) dx =−∂ ∂sRθ(xif )(s).

(17)

Una de las principales observaciones que se debe realizar acerca de las ecuaciones anteriores es que la transformaci´on de Radon conmuta con el operador laplaciano, m´as precisamente, para

θ∈ Sn−1,

Rθ∆f =

∂2

∂s2Rθf. (17)

Más adelante, cuando se presenten las fórmulas de inversión, se hará clara la relevancia del operador laplaciano en el estudio de la transformación de Radon.

1.3.5. Operadores Adjuntos y Extensi´on

Establecemos aqu´ı algunos resultados, enmarcados en el contexto del An´alisis Funcional, con-cernientes a los operadores R, Rθ, P, Pθ yDa (ver Deﬁniciones 1.1.1, 1.2.1 y 1.2.2). Estos

resul-tados involucran los operadores adjuntos, as´ı como la extensión del dominio de definición. Como se verá en la siguiente sección, el operador adjunto de la transformación de Radon juega un papel preponderante durante la deducción de las fórmulas de inversión. Por otro lado, para el trabajo con onditas que se hará en el siguiente cap´ıtulo, conviene al utilizar la transformación de Radon, extender su dominio de definición, el cual por convención se ha fijado como S(Rn).

Antes de pasar a enunciar los teoremas recordemos lo siguiente,

R : S(Rn₎_{→ S(Z)} Rθ:S(Rn)→ S(R) P : S(Rn₎_{→ S(T )} Pθ:S(Rn)→ S(θ⊥) D : S(Rn₎_{→ S(R}n_{× S}n−1₎ Da:S(Rn)→ C∞(Sn−1). (Ver Teorema 1.3.2 y (9)).

En lo que sigue cuando hablemos de operador adjunto T# de un operador T deﬁnido sobre

S(Rn_{) con imagen en}_{S(V ) (siendo V cualquier variedad, que a su vez sea espacio de medida), nos}

referimos al operador adjunto en el sentido de L2, es decir, para f ∈ S(Rn) y g∈ S(V ), se tiene

(T f )g =

(T#g)f. (18)

Teorema 1.3.7. Dado θ∈ Sn−1, tenemos, para x∈ Rn, (a)

R#_{g(x) =}

Sn−1

g(θ, x· θ) dθ, donde g∈ S(Sn−1_{× R).}

(18)

(b) R#_θg(x) = g(x· θ), donde g∈ S(R). (c) P#_{g(x) =} Sn−1g(θ, Qθx) dθ, donde g∈ S(T ). (d) P_θ#g(x) = g(Qθx), donde g∈ S(θ⊥). (e) D#_{g(x) =} Rng a, x− a |x − a| |x − a|1−n_da, donde g∈ S(Rn× Sn−1). (f ) D# ag(x) = g x− a |x − a| |x − a|1−n_, donde g∈ C∞(Sn−1_{) y a}_{∈ R}n_.

Recordamos que Qθ(x) es la proyecci´on de x sobre θ⊥.

Demostraci´on. (a) Tenemos que para f∈ S(Rn_),

Sn−1 RRf(θ, s)g(θ, s) ds dθ = Sn−1 R θ⊥ f (sθ + y)g(θ, s) dy ds dθ = Rnf (u) Sn−1 g(θ, u· θ) dθ du,

donde se realiza la rotaci´on de coordenadas u = sθ + y, y ∈ θ⊥. Las ecuaciones anteriores muestran lo deseado. (b) Si f ∈ S(Rn), RRθf (s)g(s) ds = R θ⊥f (sθ + y)g(s) dy ds = Rnf (u)g(u· θ) du,

donde nuevamente u = sθ + y, y∈ θ⊥. Lo anterior muestra la parte (b).

(c)-(d) Se demuestran de manera totalmente an´aloga a los ´ıtems anteriores utilizando una rotaci´on del sistema de coordenadas.

(19)

(e) Si f ∈ S(Rn_), Rn Sn−1 Df(a, θ)g(a, θ) dθ da = Rn Sn−1 _∞ 0 f (a + tθ)g(a, θ) dt dθ da = Rn Rnf (a + x)g a, x |x| |x|1−n_{dx da} = Rnf (y) Rng a, y− a |y − a| |y − a|1−n_da_dy,

donde se ha realizado el cambio a coordenadas polares x = tθ. Lo anterior muestra lo deseado. (f) Tenemos para g∈ C∞(Sn−1), Sn−1Da f (θ)g(θ) dθ = Sn−1 _∞ 0 f (a + tθ)g(θ) dt dθ = Rnf (a + x)g x |x| |x|1−n_dx = Rnf (y)g y− a |y − a| |y − a|1−n_dy,

donde se ha realizado el cambio a coordenadas polares x = tθ. Esto muestra la parte (f).

Observación 1.3.5. La principal observaci´on que hay que hacer sobre el teorema anterior, es que el operador adjunto de la transformación de RadonR, corresponde de cierta manera a la integración sobre los hiperplanos que contienen a x. Esta observaci´on se hace teniendo en cuenta lo mencionado en (2), a partir de lo cual, es posible notar la correspondencia entre {(θ, x · θ) : θ ∈ Sn−1} y el conjunto de hiperplanos afines que contienen a x.

La siguiente proposición, como se verá en la siguiente sección, es importante para la implemen-tación de las fórmulas de inversión.

Proposici´on 1.3.8. Dadas f ∈ S(Rn_{) y g}_{∈ S(Z),}

(R#g)∗ f = R#(g∗ Rf).

Demostraci´on. En efecto, dado x∈ Rn, (R#g)∗ f(x) = RnR #_g(x_{− y)f(y) dy} = Rn Sn−1 g(θ, (x− y) · θ)f(y) dθ dy = Sn−1 R θ⊥ g(θ, x· θ − s)f(sθ + z) dz ds dθ = Sn−1 Rg(θ, x· θ − s)Rf(θ, s) ds dθ.

(20)

De nuevo se ha utilizado una rotaci´on del sistema de coordenadas. Entendiendo que la convoluci´on entre g yRf se lleva a cabo sobre la segunda variable, a partir de lo anterior se deduce lo deseado.

Es importante resaltar, como se observó en la demostración, que la convolución entre funciones de S(Z), se lleva a cabo sobre la segunda variable. Cabe mencionar además, que una fórmula similar es válida para la transformación radiológica,

(P#g)∗ f = P#(g∗ Pf),

donde nuevamente la convoluci´on entre funciones deS(T ) se lleva a cabo sobre la segunda variable. En cuanto a la transformada de Fourier deR#g, tenemos el siguiente resultado.

Proposici´on 1.3.9. Dada g∈ S(Z), tenemos para ξ ∈ Rn, FR#_{g(ξ) = (2π)}n−1_|ξ|1−n_Fg ξ |ξ|,|ξ| +Fg −_|ξ|ξ ,−|ξ| .

Demostraci´on. Probaremos este resultado desde el punto de vista de las distribuciones. Sea w∈ S(Rn_{); gracias a la relaci´}_{on de Parseval,}

RnR #_{g(x)Fw(x) dx =} Sn−1 Rg(θ, s)RFw(θ, s) ds dθ = Sn−1 RFgθ(σ)F −1_R θFw(σ) dσ dθ, (19)

donde gθ(s) = g(θ, s). Ahora bien, utilizando (4) y la f´ormula de inversi´on de la transformaci´on de

Fourier, RθFf(s) = (2π)−1 l´ım m→∞ |ξ|<m RnFf(y)e iy·(ξθ)_dy_e−iξs_dξ = (2π)n−1 l´ım m→∞ |ξ|<m f (ξθ)e−iξsdξ = (2π)n−1Fh(s),

donde h(ξ) = f (ξθ). As´ı,F−1RθFw(σ) = (2π)n−1w(σθ). Esto con (19), implica que,

RnR #_{g(x)Fw(x) dx = (2π)}n−1 Sn−1 RFgθ(σ)w(σθ) dσ dθ.

Separando la integral interna para σ > 0 y σ < 0, y utilizando coordenadas polares obtenemos, Rn R#_{g(x)Fw(x) dx = (2π)}n−1 Rn Fg ξ |ξ|,|ξ| +Fg − ξ |ξ|,−|ξ| |ξ|1−n_{w(ξ) dξ.}

(21)

Por último, hacemos algunos comentarios sobre el dominio de definición de las transformaciones de Radon, radiológica y del haz divergente, as´ı como de los operadores adjuntos asociados.

Proposici´on 1.3.10. Los siguientes operadores son acotados, R : L1_(Rn₎_{→ L}1_(Z)

Rθ: L1(Rn)→ L1(R)

P : L1₍_Rn₎_{→ L}1_{(T )}

Pθ: L1(Rn)→ L1(θ⊥)

Da : L1(Rn,|x − a|1−n)→ L1(Sn−1)

Demostraci´on. En efecto, si f∈ L1(Rn_),

efectuando la rotaci´on de coordenadas y = tθ + x, x∈ θ⊥. (iv) Integrando (21) sobre Sn−1, se deduce la aﬁrmaci´on paraP. Por otro lado, si f∈ L1(Rn_,_{|x − a|}1−n_),

Sn−1 |Daf (θ)| dθ ≤ Sn−1 _∞ 0 |f(a + tθ)| dt dθ = Rn|f(x + a)||x| 1−n_dx = f L1(Rn,|x−a|1−n),

(22)

En cuanto a los operadores adjuntos tenemos el siguiente resultado,

Proposici´on 1.3.11. Si para θ∈ Sn−1,R#,R#_θ,P#yP_θ#son como en el teorema 1.3.7 entonces los siguientes operadores son acotados,

R#_{: L}∞_(Z)_{→ L}∞_(Rn₎

R#θ : L∞(R) → L∞(R n₎

P#_{: L}∞_{(T )}_{→ L}∞_(Rn₎

P_θ#: L∞(θ⊥)→ L∞(Rn)

Demostración. Esta proposici´on es consecuencia de la definición de los operadores enunciados y de que Sn−1 _{sea un conjunto con medida de Lebesgue finita.}

Observaci´on 1.3.6. Es importante observar, teniendo en cuenta las dos anteriores proposiciones,

que para las extensiones de los operadores mencionados sigue siendo v´alido que los operadores de la Proposici´on 1.3.11 son los adjuntos, desde el punto de vista de L2(ver (18)) y de los operadores de la Proposici´on 1.3.10.

Estas proposiciones permiten probar las siguientes f´ormulas, ya enunciadas bajo el marco de referencia de la funciones de la clase de Schwarz.

Proposici´on 1.3.12. Dadas f, g∈ L1(Rn_{), y dado θ}_{∈ S}n−1_,

Rθ(f∗ g) = Rθf ∗ Rθg.

Adem´as si h∈ L∞(Z),

(R#h)∗ f = R#(h∗ Rf).

Demostraci´on. Esta proposici´on es consecuencia del teorema 1.3.5, de las proposiciones 1.3.10, 1.3.8, 1.3.11, de la continuidad de la convoluci´on y la densidad del espacio de funciones de la clase de Schwartz en L1(Rn).

En ocasiones se deben enfocar los problemas desde el punto de vista de los espacios de Hilbert (ver Secci´on 2.1.2.) para ello, es importante la siguiente proposici´on.

Proposici´on 1.3.13. Sea Ωn := B(0, 1) la bola unitaria enRn. Entonces los operadores: R : L2_(Ωn₎_{→ L}2_(Sn−1_{× [−1, 1], (1 − s}2₎1−n₂ ₎ Rθ: L2(Ωn)→ L2([−1, 1], (1 − s2) 1−n 2 ₎ P : L2_(Ωn₎_{→ L}2₍_{{(θ, x) : θ ∈ S}n−1_{, x}_{∈ θ}⊥_{∩ Ω}n_{}, (1 − |x|}2₎−1 2₎ Pθ: L2(Ωn)→ L2(θ⊥∩ Ωn, (1− |x|2)− 1 2₎ Da: L2(Ωn)→ L2(Sn−1),

(23)

son continuos, para θ∈ Sn−1 y |a| > 1. Demostraci´on. Sea f∈ C₀∞(Ωn_).

Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz y ya que para s ∈ [−1, 1], la medida de

{y : |y| ≤ (1 − s2₎1

2} ∩ θ⊥ _{es (1}− s2₎n−12 |Ωn−1|, con Ωn−1 _{la bola de radio 1 en} Rn−1

(ver ﬁgura 5), tenemos que

|Rθf (s)|2= {y:|y|≤(1−s2₎12_}∩θ⊥ f (sθ + y) dy 2 ≤ (1 − s2₎n−1 2 |Ωn−1| θ⊥|f(sθ + y)| 2_dy, _{−1 ≤ s ≤ 1.} Por lo tanto, ₁ −1 (1− s2)1−n2 |R_θ_{f (s)}|2_ds≤ |Ωn−1| R θ⊥ |f(sθ + y)|2_{dy ds} =|Ωn−1| Rn|f(x)| 2_dx, ₍₂₂₎

llevando a cabo el cambio de variable x = sθ + y. Como C₀∞(Ωn_{) es denso en L}2_(Ωn_{), se}

muestra la aﬁrmaci´on para el operador Rθ.

(1− s2)1/2

A

θ

⊥

θ

R

n • Figura 5: La medida de A es (1 − s2₎n−1 2 |Ωn−1|.

Integrando (22) sobre Sn−1 _{se obtiene la aﬁrmaci´}_{on para}_R.

Por otro lado tenemos, por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, para x∈ θ⊥ (ver ﬁgura 6),

|Pθf (x)|2= |t|≤(1−|x|2₎12 f (x + tθ) dt 2 ≤ 2(1 − |x|2₎1 2 R|f(x + tθ)| 2_dt, ₍₂₃₎

(24)

de donde se deduce de manera an´aloga que:

θ⊥

(1− |x|2)−12|P_θf (x)|2_dx≤ 2 f _L2_(Ωn₎. (24)

Esto muestra, por la densidad de C₀∞(Ωn_{) en L}2_(Ωn_{), la aﬁrmaci´}_{on para}_P θ. • θ⊥ x θ (1− |x|2)1/2

Figura 6: Intervalo de variaci´on de t en la ecuaci´on (23)

Integrando (24) sobre Sn−1 _{se demuestra la aﬁrmaci´}_{on para}_P.

Por ´ultimo se puede ver, utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz y llevando a cabo un cambio de variable en coordenadas polares, que para|a| > 1

Daf L2(Sn−1)≤

√

2(|a| − 1)1−n2 f _L2_(Ωn₎.

Lo cual muestra la aﬁrmaci´on paraDa.

Hemos enunciado hasta aqu´ı algunos resultados concernientes a las transformaciones radiológica y del haz divergente, sólo con el fin de ilustrar que, aunque diferente, el manejo como operadores de estas dos transformaciones es bastante similar al de la transformación de Radon. En lo que sigue nos concentraremos principalmente en el estudio de la transformación de Radon, que como se anotó, en dos dimensiones es esencialmente igual a la transformación radiológica.

1.4. Formulas de Inversi´

on

Las fórmulas clásicas de inversión de la transformación de Radon involucran operadores como la transformación de Hilbert y potenciales de Riesz, los cuales pasamos a estudiar a continuación. Antes de definir la transformación de Hilbert, es importante definir la siguiente distribución, llamada en algunas ocasiones pseudofunción _x1.

(25)

Definición 1.4.1. La distribuci´on temperada Pf_x1 , se define mediante la fórmula: Pf 1 x , φ = l´ım h→0+ |x|>h φ(x) x dx, φ∈ S(R).

Observaci´on 1.4.1. Se puede ver que

Pf 1 x , φ = R φ(x)− φ(−x) 2x dx. (25)

Esta fórmula aclara el porqué de la buena definición de Pf_x1 . Obsérvese además que,

Pf 1 x , φ = vp _∞ −∞ φ(x) x dx,

recordando que vp_−∞∞ , denota el valor principal de la integral.

Una vez definida la anterior distribución, es posible definir la transformación de Hilbert.

Definición 1.4.2 (La Transformación de Hilbert). Dada una funci´on f∈ S(R), definimos la Transformada de Hilbert de f , Hf , mediante,

Hf = 1 πPf 1 x ∗ f.

Observaci´on 1.4.2. Es posible escribir, Hf (x) = 1 πvp _∞ −∞ f (y) x− ydy. (26)

Pasamos ahora a deﬁnir los Potenciales de Riesz.

Definici´on 1.4.3 (Potenciales de Riesz). Para α < m, deﬁnimos el potencial de Riesz, Iα_,

de la siguiente manera: Dada f∈ S(Rm_{), I}α_{f es la distribuci´}_{on temperada cuya transformada de}

Fourier est´a dada por

FIα_{f (ξ) =}_|ξ|−α_Ff(ξ).

Se hacen ahora algunas observaciones sobre los operadores deﬁnidos anteriormente.

Proposici´on 1.4.1. FPf 1 x (ξ) =−iπsgn(ξ),

(26)

Demostraci´on. En efecto dada φ∈ S(R), FPf 1 x , φ = Pf 1 x ,Fφ = R Fφ(x) − Fφ(−x) 2x dx = R R e−ixξ− eixξ 2x φ(ξ) dξ dx =−i l´ım a→∞ a −a R sen xξ x φ(ξ) dξ dx =−i l´ım a→∞ R a −a sen xξ x φ(ξ) dx dξ.

El cambio en el orden de integraci´on en la ´ultima igualdad es permitido gracias a que a

−asen xξx

 dx ≤ 2a|ξ| y φ(ξ)|ξ| ∈ L1₍_{R). Ahora bien como} a

−asen xξx dx es una funci´on

acota-da en ξ uniformemente con respecto a a y que converge a πsgn(ξ) cuando a→ ∞, excepto para

ξ = 0, utilizando el teorema de la convergencia dominada se tiene:

FPf 1 x , φ = Rφ(ξ)(−iπsgn(ξ)) dξ,

lo que muestra la proposici´on.

Proposici´on 1.4.2. Dada f ∈ S(R),

FHf(ξ) = −isgn(ξ)Ff(ξ).

Demostración. De acuerdo a la proposici´on anterior y a la definición de la transformación de Hilbert, basta probar que dadas una distribuci´on T ∈ S´(R) y g ∈ S(R), entonces, F(T ∗ g) = (Fg)(FT ). En efecto, para ϕ ∈ S(R),

F(T ∗ g), ϕ = (T ∗ g), Fϕ

=T (ξ), g(η), Fϕ(ξ + η) . Perog(η), Fϕ(ξ + η) = F((Fg)ϕ)(ξ), de modo que,

F(T ∗ g), ϕ = T, F((Fg)ϕ)

=FT, (Fg)ϕ =(Fg)(FT ), ϕ , lo que prueba lo deseado.

Con respecto a los potenciales de Riesz las observaciones m´as importantes son las siguientes (para un estudio m´as detallado y formal se puede consultar [12]).

(27)

1. Para f ∈ S(Rm_{) y α < m, la funci´}_on_|ξ|−α_{Ff(ξ) pertenece a L}1₍_Rm_{) y por tanto deﬁne una}

distribuci´on temperada, entonces desde el punto de vista de las distribuciones,

Iαf =F−1FIαf.

Ahora bien, para una distribuci´on temperada T ,

F−1_{T (x) = (2π)}−m_{FT (−x).}

Bajo esta perspectiva es posible concluir, utilizando la fórmula de inversión para la transfor-mación de Fourier sobreS(Rm_{), que}

Iαf (x) = (2π)−m

Rm|ξ|

−α_Ff(ξ)eix·ξ_dξ. ₍₂₇₎

2. Por la deﬁnici´on de los potenciales de Riesz, dada f ∈ S(Rm_),

I−αIαf = f, 0≤ α < m. (28)

Antes de enunciar la principal fórmula de inversión para la transformación de Radon, es importante hacer la siguiente aclaración: en adelante cuando se consideren operadores de derivación, transfor-mación de Hilbert o potenciales de Riesz aplicados a una funci´on g(θ, s) definida sobre Sn−1× R, se entenderá que actúan sobre la segunda variable.

Teorema 1.4.3 (Primera F´ormula de Inversi´on para la Transformaci´on de Radon). Sea f ∈ S(Rn), entonces para cualquier 0≤ α < n,

f (x) =1

2(2π)

1−n_I−α_R#_Iα−n+1_g(x), ₍₂₉₎

donde g =Rf.

Demostración. La demostraci´on se basa principalmente en el Teorema 1.3.1 y en la fórmula de inversión para la transformaci´on de Fourier. Utilizando coordenadas polares ξ = σθ y la f´ormula (27) tenemos que, Iαf (x) = (2π)−n _∞ 0 Sn−1|σ| n−1−α_Ff(σθ)eiσ(x·θ)_{dθ dσ.}

Ahora bien, por el Teorema 1.3.1, concluimos que,

Iαf (x) = (2π)−n _∞ 0 Sn−1|σ| n−1−α_FR θf (σ)eiσ(x·θ)dθ dσ.

Cambiando θ por −θ y σ por −σ, obtenemos la misma f´ormula con la integral externa sobre (−∞, 0), as´ı, Iαf (x) = 1 2(2π) −n R Sn−1 |σ|n−1−α_FR θf (σ)eiσ(x·θ)dθ dσ. (30)

(28)

Como por (27), Iα+1−nRθf (x· θ) = (2π)−1 R|σ| n−1−α_FR θf (σ)eiσ(x·θ)dσ,

concluimos, por la f´ormula para el operadorR# dada en el Teorema 1.3.7, que,

Iαf (x) = 1 2(2π) 1−n Sn−1 Iα+1−nRθf (x· θ) dθ = 1 2(2π) 1−n_R#_Iα+1−n_Rf(x).

La conclusi´on del teorema se deduce de la f´ormula (28). Un corolario inmediato es el siguiente.

Corolario 1.4.4. Si f ∈ S(Rn_), f (x) = 1 2(2π) 1−n_R#_I1−n_g(x), ₍₃₁₎ f (x) = 1 2(2π) 1−n_I1−n_R#_g(x). ₍₃₂₎ Donde g =Rf.

Demostraci´on. Bajo la observaci´on que dada h, I0h = h, basta tomar α = 0 y α = n− 1 en la

ecuaci´on (29).

Observación 1.4.3. En el caso particular en que n = 3, puesto que I1−n = (−∆)n−12 (lo cual se puede observar utilizando la transformación de Fourier), la fórmula (32) se escribe como,

f (x) =− 1 8π2∆ S2 Rf(θ, x · θ) dθ .

Esta fórmula la dedujo por primera vez Radon en 1917. Aqu´ı se observa la importancia del operador laplaciano en la fórmula de inversión de la transformación de Radon, tal y como se hab´ıa anticipado en la página 17.

Las siguiente fórmula involucra la transformación de Hilbert, y en su prueba se evidencia la relación existente entre esta transformación y los potenciales de Riesz.

Teorema 1.4.5 (Segunda Fórmula de Inversión para la Transformación de Radon). Dada f ∈ S(Rn_), f (x) = 1 2(2π) 1−n ⎧ ⎨ ⎩ (−1)n−22 Sn−1Hg(n−1)(θ, x· θ) dθ, si n es par, (−1)n−12 Sn−1g(n−1)(θ, x· θ) dθ, si n es impar, (33)

(29)

Demostraci´on. Tenemos que dada h∈ S(R),

FI1−n_{h(σ) = sgn(σ)}n−1_σn−1_Fh(σ).

As´ı, utilizando la Proposici´on 1.4.2 y el hecho de que Fh(n−1)(σ) = in−1σn−1Fh(σ) concluimos

que FI1−n_{h(σ) =} ⎧ ⎨ ⎩ (−1)n−22 (FHh(n−1))(σ), si n es par (−1)n−12 ₍Fh(n−1)_)(σ), _{si n es impar,} de donde I1−nh = ⎧ ⎨ ⎩ (−1)n−22 _Hh(n−1)_, _{si n es par,} (−1)n−12 _h(n−1)_, _{si n es impar.}

Esta observación, junto con la fórmula de inversión (31) y la fórmula dada para el operador R# en el Teorema 1.3.7 permite concluir la ecuación (33).

Observación 1.4.4. Las conclusiones realizadas utilizando razonamientos con la transformaci´on de Fourier sobre la transformación de Hilbert y los potenciales de Riesz, deben ser entendidas desde el punto de vista de las distribuciones, ya que la transformada de Hilbert de una función de decaimiento rápido, no necesariamente tiene buen decaimiento y por lo tanto no puede utilizarse el hecho queF es un automorfismo de S(R) (ver Cap´ıtulo 3).

El teorema anterior muestra la diferencia relevante que tiene la f´ormula de inversi´on de la transformada de Radon de una funci´on f para dimensiones pares e impares.

Para n impar, dado x∈ Rn, f (x) se puede reconstruir conociendoRf(θ, s), para θ ∈ Sn−1 y s en una vecindad de x· θ, lo que corresponde de acuerdo a (2), a conocer las integrales de f sobre los hiperplanos que intersectan una vecindad de x. Decimos en este caso que la

f´ormula de inversi´on es local .

Para n par la situaci´on es totalmente diferente, por la aparici´on de la transformaci´on de Hilbert. En este caso, dado θ∈ Sn−1_{, la evaluaci´}_{on de H}_Rf(n−1)_{(θ, x}_{· θ), de acuerdo a (26),}

requiere en principio el conocimiento de Rθf sobre todoR.

Se presenta a continuación una fórmula de inversión alternativa en dimensiones pares.

Proposici´on 1.4.6. Si n∈ N es par y f ∈ S(Rn_{) entonces,}

f (x) = c(n) R Fx(n−1)(q) q dq, (34) donde, Fx(q) = Sn−1 Rf(θ, x · θ + q) dθ, y c(n) = (−1)n2(2π)−n.

(30)

Demostración. Llamando g = Rf y utilizando las fórmulas (25) y (33) con la definición de la

transformaci´on de Hilbert (Deﬁnici´on 1.4.2), se deduce que si n∈ N es par,

f (x) = (2π)−n(−1)n2 1 2 Sn−1 R g(n−1)(θ, x· θ + q) − g(n−1)(θ, x· θ − q) q dq dθ.

Intercambiando el orden de integraci´on en la ecuaci´on anterior y debido a que g(n−1)es una funci´on impar sobre Z, al ser g par sobre Z y n− 1 impar (ver (2)) concluimos que:

f (x) = (2π)−n(−1)n2 R 1 q Sn−1g (n−1)_{(θ, x}_{· θ + q) dq}_dθ.

La expresi´on entre par´entesis en la integral anterior corresponde a Fx(n−1)(q). Con esta observaci´on

la ecuaci´on arriba corresponde a la f´ormula que se quer´ıa probar.

Observaci´on 1.4.5. Como g =Rf es par, Fx(n−1)(q)

q es tambi´en par, de modo que (34) se puede

escribir como, f (x) = 2c(n) _∞ 0 Fx(n−1)(q) q dq, y en el caso particular de n = 2, f (x) =− 1 2π2 _∞ 0 dFx(q) q .

Se hace evidente entonces, por qué la inversión de la transformación de Radon no es local en dimensiones pares: para calcular f en x es necesario conocer Fx(n−1)(q) para q ∈ (0, +∞) y por

tanto Rf(θ, x · θ + q) para q ∈ (0, ∞) y θ ∈ Sn−1.

Para funciones radiales se puede deducir otra f´ormula de inversi´on.

Proposición 1.4.7 (Fórmula de Inversi´on para Funciones Radiales). Supongamos que f (x) = f₀(|x|) es una función radial, con f₀ ∈ S(R). Si llamamos g = Rθf , para θ ∈ Sn−1

arbitrario, entonces, 1 2r d dr n−1 ∞ r s(s2− r2)n−32 _{g(s) ds} =|Sn−2|c(n)(−1)n−1(n− 2)! 2 f0(r), (35) donde, c(n) = 21−n₋₁1 (1− u2)n−32 _du.

Demostraci´on. Tenemos que

g(s) = θ⊥ f (sθ + y) dy = θ⊥ f₀(|sθ + y|) dy = Rn−1f0((s 2₊_|y|2₎1 2_{) dy.}

(31)

Obs´ervese que la ´ultima expresi´on no depende de θ. Ahora bien, utilizando coordenadas polares, y = rω, ω∈ Sn−2, concluimos que, g(s) =|Sn−2| ∞ 0 r n−2_f 0((s2+ r2)12_{) dr.}

Con el cambio de variable t = (s2+ r2)12 _obtenemos,

g(s) =|Sn−2|

_∞

|s| (t

2_{− s}2₎n−3

2 _tf₀_{(t) dt.} ₍₃₆₎

Calculemos ahora_r∞s(s2− r2)n−32 _{g(s) ds para r}≥ 0. Tenemos intercambiando el orden de

inte-graci´on que, _∞ r s(s2− r2)n−32 _{g(s) ds =}|Sn−2| _∞ r t r s(s2− r2)(t2− s2) n−32 _ds tf₀(t) dt.

Llevando a cabo el cambio de variable u = r2+t_r22_−t−2s2 2 en la integral interna de la ecuaci´on anterior

obtenemos,

t r

s(s2− r2)(t2− s2) n−32 _{ds = c(n)(t}2_{− r}2₎n−2_,

con c(n) como en el enunciado de la proposici´on. Por lo tanto, _∞ r s(s2− r2)n−32 _{g(s) ds =}|Sn−2|c(n) _∞ r (t2− r2)n−2tf₀(t) dt.

Aplicando el operador _2r1 _drd a la ecuaci´on anterior, concluimos que 1 2rh(r) =|S n−2_|c(n) 1 2r ∞ r d dr(t 2_{− r}2₎n−2_tf 0(t) dt− (t2− r2)n−2tf0(t)|t=r = ⎧ ⎨ ⎩ −|Sn−2_{|c(n)(n − 2)}∞ r (t2− r2) n−3_tf₀_{(t) dt,} _{si n > 2,} −|Sn−2_|c(n)1 2f0(r), si n = 2, donde h(r) = d dr _∞ r s(s2− r2) n−3

2 g(s) ds. Observamos as´ı que la f´ormula (35) se obtiene mediante iteraci´on del operador _2r1 _drd en la ecuaci´on anterior.

Esta última fórmula de inversión nos será de gran ayuda para establecer resultados relacionados con la unicidad para los problemas interior y exterior (ver Ejemplo 1 y Teorema 2.2.3 del siguiente cap´ıtulo).

Una vez establecidas algunas fórmulas de inversión para la transformación de Radon y una vez dilucidada la falta de localidad en la inversión para dimensiones pares, pasamos a presentar en el siguiente cap´ıtulo, un diagnóstico del problema interior (ver Sección 2.1), para luego establecer la ayuda que ofrece el análisis de onditas en su resolución.

(32)

Inversi´

on Local de la Transformaci´

on de Radon con Onditas

Como se observó en la página 29, la inversión de la transformación de Radon en dimensiones pares no es local porque la reconstrucción de una funci´on f en un punto x requiere el conocimiento de Rf(θ, s) para θ ∈ Sn−1 _{y s} _{∈ R, es decir requiere de las proyecciones de f sobre todos los}

hiperplanos aﬁnes de Rn _{(ver p´}_{agina 8). Esto implica, desde la perspectiva del diagn´}_{ostico con}

rayos X, que un paciente debe ser expuesto a una gran cantidad de radiación en un análisis de rayos X, aún cuando se desee estudiar sólo una pequeña porción del cuerpo (ver introducción).

Este fenómeno se presenta por la aparición en la fórmula (33) de la transformación de Hilbert, cuyo cálculo requiere el conocimiento de la función que se va a transformar sobre todo su soporte (ver página 28). David Walnut, en [21], fue el primero en establecer una relación entre la transfor-mada de ondita uni-dimensional de las proyecciones de una imagen y la transfortransfor-mada de ondita de la imagen misma, haciendo uso del hecho que la transformada de Hilbert de una función con suficientes momentos nulos tiene buen decaimiento. La combinación del análisis de onditas con la transformación de Radon fue por primera vez propuesta por M. Holschneider en [13] y G. Kaiser y Streater en [15].

El propósito de este cap´ıtulo es explicar el problema interior para la transformación de Radon y los inconvenientes existentes para su resolución. Se presentan también resultados relacionados con otros problemas de datos incompletos: el problema exterior, el problema del ángulo limitado y el problema de la fuente restringida. Una vez aclarado esto se presenta una breve exposición de uno de los principales métodos utilizados para resolver el problema interior, la Λ-tomograf´ıa o tomograf´ıa local. Al final, se exponen los resultados sobre la inversión local de la transformación de Radon con onditas, desde el punto de vista continuo.

2.1. El Problema Interior

Supongamos que la funci´on a analizar es una funci´on f ∈ C₀∞(Rn_{), con suppf} _{⊂ B(0, 1).}

Supongamos adem´as, que nuestra Regi´on de Inter´es (RI) es B(0, r), con r < 1. En este caso

deﬁnimos, para θ∈ Sn−1, la Transformada de Radon Interior de f como la funci´on

Rθf (s)χ[−r,r](s).

(33)

Es decir, la transformada de Radon interior de f corresponde a tomar las integrales sobre los hiperplanos afines que intersectan la región de interés.

El problema de recuperar f χ_B_(0,r) a partir de la transformada de Radon interior de f , se conoce como el Problema Interior o Tomograf´ıa de la Regi´on de Inter´es. Existen dos

aspectos b´asicos que hay que estudiar sobre este problema: la Unicidad y la Estabilidad.

2.1.1. Unicidad

El aspecto de la unicidad consiste, en responder a la siguiente pregunta: ¿existe una funci´on

u∈ S(Rn_{) de modo que la transformada de Radon interior de u coincida con la de f , aunque u y}

f no coincidan en la regi´on de inter´es?

En el caso de dimensión impar, la fórmula (33) muestra que la respuesta a la pregunta es negativa y por lo tanto, la solución del problema interior en dimensiones impares es única.

El siguiente ejemplo muestra que, en dimensiones pares no ocurre lo mismo, es decir, no existe unicidad en la soluci´on del problema interior.

Ejemplo 1. Damos el ejemplo para n = 2. Sea h∈ C∞(R) una función par que se anula fuera de [−1, −r] ∪ [r, 1], con r < 1(ver figura 7). Definimos la siguiente función radial u ∈ C₀∞(R2):

u(x) =−1 π _∞ |x| (s 2_{− |x|}2₎−1 2dh ds(s) ds.

Gracias a que h(t) se anula en una vecindad del origen y para |t| ≥ 1, u está bien definida y se anula para|x| ≥ 1. Ahora bien, por la fórmula de inversión (35) para funciones radiales (llevando a cabo integración por partes),

u(x) =−1 π _∞ |x|(s 2_{− |x|}2₎−1 2dg ds(s) ds,

donde g =Rθu no depende de θ como se observ´o en la demostraci´on de la proposici´on 1.4.7. Lo

anterior sugiere, pero no muestra, que g = h. Veamos esto ´ultimo. Tenemos por la f´ormula (36) que para s≥ 0, g(s) = 2 _∞ s (t2− s2)−12_t −1 π _∞ t (m2− t2)−12 dh dm(m) dm dt.

Cambiando el orden de integraci´on,

g(s) =−2 π _∞ s m s t(t2− s2)(m2− t2) −12 _dt dh dm(m) dm.

Ahora bien, llevando a cabo el cambio de variable n = s2+m_s2_−m2−2t2 2en la integral interna de la anterior

ecuaci´on obtenemos, m s t(t2− s2)(m2− t2) −12 _{dt =} 1 2 ₁ −1 (1− n2)−12_dn = π 2.

(34)

Concluimos de este modo que, g(s) =− _∞ s dh dm(m) dm = h(s),

como se quer´ıa mostrar. La funci´on u es una funci´on tal queRθu(s) = h(s) = 0, para|s| ≤ r, pero

u no es id´enticamente nula en B(0, r), si h se escoge de manera conveniente.

−₁

−r r

1

h(x)

Figura 7: Funci´on h

Sin embargo, las funciones u para las cualesRθu(s) se anula en I := Sn−1× [−r, r] no var´ıan

mucho para x cercano al origen en B(0, r). En efecto, utilizando la f´ormula de inversi´on (33) para

n = 2 y la ecuaci´on (26), y llevando a cabo integraci´on por partes,

u(x) = 1 4π2 S1 |s|≥r Rθu´(s) s− x · θds dθ = 1 4π2 S1 |s|≥r Rθu(s) (s− x · θ)2ds dθ. De modo que para|x| ≤ b < r, por la desigualdad de Cauchy-Schwarz

|u(x) − u(0)| ≤ 1 4π2 S1 |s|≥r _(s_{− x · θ)}1 2 − 1 s2 |Rθu(s)| ds dθ ≤ C(r, b) Ru L2(Z), (37) donde Z = Sn−1× R y C(r, b) = 1 4π2 2π 0 |s|≥r 1 (s− b cos ϕ)2 − 1 s2 2 ds dϕ 1 2 .

Mediante integraci´on num´erica se puede observar que los valores de C(r, b) son peque˜nos para

b cercano a 0 (ver Tabla 1), de modo que si uc es otra funci´on tal que gc := Ruc se anula en

I = Sn−1_{× [−r, r], para |x| ≤ b < r (con b muy peque˜no),}

|(u − uc_)(x)_{− (u − u}c₎₍₀₎_{| ≤ C(r, b) g − g}c L2(Z\I)

es relativamente peque˜no y por lo tanto las funciones cuya transformada de Radon se anula en I no diﬁeren mucho en vecindades del origen, m´odulo una constante M , a saber M = (u− uc_)(0).