UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

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PROGRAMA DEL CURSO MEDIDA E INTEGRACIÓN

Aprobado en el Consejo de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, por Acuerdo No. 10 del 28 de Agosto de 2002

NOMBRE DE LA MATERIA

MEDIDA E INTEGRACIÓN PROFESOR Jairo Eloy castellanos Ramos

OFICINA 06-238 HORARIO DE CLASE HORARIO DE ATENCION INFORMACION GENERAL Código de la materia CNM-¿? Semestre 2010-1

Área Cursos Básicos

Horas teóricas semanales 4

Horas teóricas semestrales 64

No. de Créditos 5

Campo de formación Análisis

Validable

Habilitable Sí

Clasificable

Homologable Sí

Requisitos Un buen curso de cálculo avanzado (manejo de la teoría de conjuntos, espacios métricos, continuidad y convergencia uniforme).

Correquisitos Ninguno

Programa a los cuales se ofrece la materia

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4 INFORMACION COMPLEMENTARIA

Propósito del curso: Facilitar a los estudiantes de diversas ramas del Análisis actual (ecuaciones diferenciales, análisis de Fourier, teoría de la probabilidad, análisis funcional) el acceso a las herramientas

fundamentales que se relacionan con la medida e integración con rapidez y eficacia.

Justificación: La teoría de la Medida e Integración es imprescindible en la formulación abstracta de una gran variedad de problemas, tanto de la Matemática Aplicada (ecuaciones diferenciales, problemas de optimización) como procedentes directamente del Análisis Matemático. En este curso se desarrollan los principios fundamentales y los resultados más importantes de la teoría de de la Teoría de la Medida e integración, en conexión directa con otras ramas del Análisis Matemático, como el Análisis Matemático superior (Variable Compleja, Análisis Armónico, Ecuaciones Diferenciales y Análisis Funcional). Se ofrece un programa bastante amplio y general que podrá concretarse en función de la formación previa de los alumnos.

Objetivo General: El estudio de esta asignatura debe favorecer la maduración matemática de los alumnos, así como proporcionarles un amplio conocimiento de la Teoría de la Medida e integración. Pretendemos que los estudiantes sean capaces de definir los conceptos, enunciar los teoremas y exponer las demostraciones con precisión y rigor. También queremos que desarrollen la capacidad de relacionar conceptos distintos y que se familiaricen con las técnicas de trabajo propias de la Teoría de la Medida e Integración, indispensable para el estudio de la Teoría de Probabilidades y el Análisis Matemático superior (Variable Compleja, Análisis Armónico, Ecuaciones Diferenciales y Análisis Funcional). Complementar la formación y el pensamiento abstracto necesario en estudiantes de ciencias.

Objetivos Específicos: - Entender las deficiencias de la integral de Riemann estudiada en cursos anteriores y verán la necesidad de introducir mejoras;

- Conocer los procesos de construcción de la Medida de Lebesgue y de las medidas de Lebesgue-Stieltjes, mediante la aplicación

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4 - Conocer el concepto de función medible y serán capaces de estudiar los diferentes modos de convergencia de sucesiones de funciones medibles concretas;

- Conocer la definición de función integrable y sabrán determinar si una función dada es o no es integrable;

- Conocer los teoremas de convergencia monótona y convergencia dominada y los aplicarán a sucesiones y series de funciones medibles concretas;

- Conocer y aplicarán las técnicas de cálculo de integrales de Lebesgue múltiples: Teorema de Fubini, cambios de variables y

diferenciación de integrales paramétricas.

Contenido resumido 1. Medida Abstracta.

2. Medida exterior y medibilidad. La integral de Lebesgue.

3. El teorema de extensión

4. Los teoremas de Egoroff e Lusin. 5. Integración.

6. Relación entre las integrales de Lebesgue y de Riemann propia e impropia.

7. Teoremas de Convergencia.

8. Medida Producto. El teorema de Fubini. 9. Medidas com signo y medidas complejas. 10. Continuidad absoluta.

11. Teoremas de Decomposiçión. 12. El teorema de Radon-Nikodym.

13. El teorema de Diferenciación de Lebesgue. El Teorema Fundamental del Cálculo para la

Integral de Lebesgue. 14. Los espacios Lp.

15. El dual de los espaços Lp, p mayor o igual a 1 y p menor que mas infinito.

16. El teorema de representación de Riesz (el dual de Co(X)).

17. Series trigonométricas. Convergencia en L2 de las series de Fourier.

18. Transformada de Fourier. Producto de Convolución. Aplicación a las Ecuaciones Diferenciales Parciales.

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UNIDADES DETALLADAS Unidad No. 1

Tema(s) a desarrollar

Subtemas 1. Medida Abstracta.

2. Medida exterior y medibilidad. La integral de Lebesgue.

3. El teorema de extensión

4. Los teoremas de Egoroff e Lusin.

No. de semanas que se le

dedicarán a esta unidad 4

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA:

Rudin, W., REAL AND COMPLEX ANALYSIS, MacGraw-Hill 1987

Guzmán, M. y Rubio, B., INTEGRACIÓN: TEORÍA Y TÉCNICAS, Alhambra 1979 Bartle, R. G. , THE ELEMENTS OF INTEGRATION AND LEBESGUE MEASURE,

J.Wiley and Sons, 1995

Royden, H. L., REAL ANALYSIS, MacMillan Publishing Company/Collier Macmillan Publishing 1988

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA:

Ash, R., REAL ANALYSIS AND PROBABILITY, Academic Press, 1972 Castillo, F., ANÁLISIS MATEMÁTICO II, Alhambra 1980

Cerdá, J. ANÁLISIS REAL, Edicions Universitat de 1996

Facenda, J. A. y Freniche, F. J., INTEGRACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS

VARIABLES, Ed. Pirámide 2002

Folland, G. B., REAL ANALYSIS, J. Wiley and Sons 1984 Torchinsky, A., REAL VARIABLES, Addison Wesley 1988

Wheeden , R. y Zygmund, A. MEASURE AND INTEGRAL, Marcel Dekker, INC 1977

Fava, N. y Zo, F. MEDEIDA E INTEGRAL DE LEBESGUE, Red Olímpica 1996 Chae, S.B. LEBESGUE INTEGRATION Springer-Verlag 1995

Uly'anov, P. L. y Dyachenko, M. I., ANÁLISIS REAL. MEDIDA E INTEGRACIÓN,

Addison-Wesley/ Universidad Autónoma de Madrid 2000

Rana, I. K. , AN INTRODUCTION TO MEASURE AND INTEGRATION, American Mathematical Society 2002

Stein, E. M. y Shakarchi, R., REAL ANALYSIS, Princeton University Press 2005

Unidad No. 2

Subtemas 5. Integración.

6. Relación entre las integrales de Lebesgue y de Riemann propia e impropia.

7. Teoremas de Convergencia.

8. Medida Producto. El teorema de Fubini.

No. de semanas

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4

Unidad No. 3

Subtemas 9. Medidas com signo y medidas complejas. 10. Continuidad absoluta.

11. Teoremas de Decomposiçión. 12. El teorema de Radon-Nikodym.

13. El teorema de Diferenciación de Lebesgue. El Teorema Fundamental del Cálculo para la Integral de Lebesgue.

No. de semanas

3

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4 Castillo, F., ANÁLISIS MATEMÁTICO II, Alhambra 1980

Unidad No. 4

Tema(s) a desarrollar Poder y dominación

Subtemas 13. El teorema de Diferenciación de Lebesgue. El Teorema Fundamental del Cálculo para la Integral de Lebesgue.

14. Los espacios Lp.

15. El dual de los espaços Lp, p mayor o igual a 1 y p menor que mas infinito.

16. El teorema de representación de Riesz (el dual de Co(X)).

No. de semanas

3

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4 Uly'anov, P. L. y Dyachenko, M. I., ANÁLISIS REAL. MEDIDA E INTEGRACIÓN,

Unidad No. 5

Subtemas 17. Series trigonométricas. Convergencia en L2 de las series de Fourier.

18. Transformada de Fourier. Producto de Convolución. Aplicación a las Ecuaciones Diferenciales Parciales.

No. de semanas

3

METODOLOGÍA :

EVALUACIÓN

Conferencia magistral.

Seminarios por parte de los estudiantes. Asignación de Tareas a los estudiantes.

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4 Actividad Porcentaje Fecha (día, mes, año)

Exámenes Trabajos Exposiciones

Actividades de asistencia obligatoria: