Introducci ´
on a los n ´
umeros complejos
1.1.
¿C ´
omo y por qu ´e aparecen los n ´
umeros complejos?
Los n´umeros complejos no han entrado en la matem´atica del mismo modo en que lo han hecho los n´umeros naturales, los racionales o incluso los reales, es de-cir, como construcciones abstractas buscadas ex profeso par resolver un problema: los n´umeros complejos se han colado “por la puerta de atr´as”. Los matem´aticos se toparon de frente con ellos sin saber muy bien qu´e hacer, y fueron considerados una anomal´ıa, algo embarazoso que “ensuciaba” el ´Algebra, hasta que primero Argand y despu´es, sobre todo, Gauss, les dieron el estatus que les correspond´ıa al dar una interpretaci´on geom´etrica de los n´umeros complejos. A partir de ah´ı re-velan todo su potencial pr´actico y entran por la puerta grande en la f´ısica y en la ingenier´ıa, de modo que actualmente, la teor´ıa m´as moderna sobre la Naturaleza, la mec´anica cu´antica, no se puede formular sin emplear n´umeros complejos; el di-se˜no de circuitos de corriente alterna se basa en los complejos; la teor´ıa de control de sitemas tiene su expresi´on m´as simple en n´umeros complejos. . . y los n´umeros complejos pueblan la matem´atica con la naturalidad con que antes lo hac´ıan los n´umeros reales.
n´umero negativo se atribuye a Her´on de Alejandr´ıa, en el siglo I de nuestra era. No est´a muy claro en qu´e consiste tal menci´on, pero s´ı parece claro que la primera manipulaci´on de n´umeros complejos se debe a Girolamo Cardano (1501–1576), a quien debemos las f´ormulas para la soluci´on de las ecuaciones de grado 3y4.
Cardano era, adem´as de matem´atico, un afamado m´edico de Mil´an. Las f´ormu-las de la soluci´on de la ecuaci´on c´ubica no son suyas, sino que se deben a Tartaglia, otro matem´atico contempor´aneo suyo, a quien persuadi´o de que se las revelara, en 1539, bajo el juramento de no divulgarlas hasta que ´este las publicara. Cardano no cumpli´o su promesa y en 1545 las f´ormulas aparecieron en su Ars magna, obra considerada hoy como el germen del ´algebra.
Para ilustrar las f´ormulas, Cardano resuelve una serie de ejemplos. En el cap´ıtu-lo37 se plantea el siguiente problema: dividir un segmento de longitud 10 en dos trozos tales que el rect´angulo cuyos lados tienen la longitud de esos trozos tenga ´area 40. Si los dos trozos midenx y 10−x, la ecuaci´on que plantea el problema es
x(10−x) = 40.
El propio Cardano admite que el problema no tiene soluci´on, ya que el rect´angulo de mayor ´area que se puede construir, un cuadrado, corresponder´ıa a la divisi´on del segmento en dos iguales de longitud 5, y tendr´ıa, por tanto, ´area 25. Apli-cando las f´ormulas de las ra´ıces de las ecuaciones cuadr´aticas, Cardano obtiene 5 + √−15 y 5 − √−15 como longitudes de los segmentos. Desde luego, afir-ma que tales soluciones son “imposibles”, porque involucran la ra´ız cuadrada de n´umeros negativos; sin embargo, si uno las multiplica,
(5 +√−15)(5−√−15) = 52 −(√−15)2 = 25−(−15) = 40,
que es, efectivamente, el ´area buscada. As´ı que concluye que, de alguna manera “sutil” ambas expresiones son soluci´on de la ecuaci´on, pero se apresura a denomi-nar “quantitas sophistica”, es decir, algo as´ı como “n´umero formal”, a la expresi´on
√ −15.
El ´algebra de Cardano fue ampliada y desarrollada posteriormente por Bom-belli (1526–1572), cuyos trabajos se recogen en su obra L’algebra, publicada en Bolonia en 1572. En dicha obra Bombelli vuelve a manipular n´umeros complejos, y lo hace correctamente. El ejemplo m´as destacable es la manipulaci´on que hace de las f´ormulas de Cardano para resolver la ecuaci´on c´ubica
1.1 ¿C´omo y por qu´e aparecen los n ´umeros complejos? 5
una de cuyas soluciones es, claramente,x = 4. Las f´ormulas de Cardano aplicadas a la ecuaci´on c´ubica
x3 = px+q,
dan como una soluci´on la expresi´on
x = 3 q
q/2 +√d+ 3 q
q/2−√d, d = (q/2)2 −(p/3)3.
Aplicadas al ejemplo anterior producen como resultado
x = 3 q
2 +√−121 + 3 q
2−√−121.
El propio Cardano hab´ıa concluido de este resultado que sus f´ormulas no eran aplicables a este caso; sin embargo, Bombelli razona de la siguiente manera:
(2±√−1)3 = 23 ±3·22√−1 + 3·2(√−1)2 ±(√−1)3
= 8±12√−1−6±(−√−1) = 2±11√−1 = 2±√−121,
de donde concluye que
3 q 2±√−121 = 2±√−1. Entonces x = 3 q 2 +√−121 + 3 q 2−√−121 = 2 +√−1 + 2−√−1 = 4,
que es, en efecto, la una soluci´on de la ecuaci´on. Con esta manipulaci´on Bom-belli salva el ´algebra de Cardano y aporta la primera manipulaci´on algebraica de n´umeros complejos para resolver un problema de la historia.
En 1637, Descartes, en el ap´endice La geometrie de su obra Discourse de la m´ethode, afirma
Ni las ra´ıces verdaderas ni las falsas son siempre reales; a veces son imaginarias; es decir, mientras que uno puede imaginar tantas ra´ıces de cada ecuaci´on como grado haya asignado, no siempre hay una cantidad definida que corresponda a cada ra´ız imaginada.
Y con esta frase bautiza como imaginarias las expresiones que contienen ra´ıces cuadradas de n´umeros negativos.
Pero a pesar de que los algebristas parecen dispuestos a admitir la existencia de estos “engendros” para salvar el ´Algebra, los n´umeros “imaginarios” tienen
muchos detractores. Y no les falta raz´on, dado que la manipulaci´on de las ra´ıces de n´umeros negativos no es consistente; v´ease, si no, este sencillo ejemplo:
−1 = (√−1)2 = p(−1)2 = √1 = 1.
Newton, por ejemplo, afirma que la existencia de estas ra´ıces no es m´as que la expresi´on de la insolubilidad de un problema. Al mismo tiempo, Leibnitz hace una nueva aportaci´on al ´algebra de los complejos descubriendo la identidad
q
1 +√−3 + q
1−√−3 = √6,
muy f´acil de demostrar sin m´as que elevar los dos miembros al cuadrado. Adem´as, afirma que expresiones como log(−1)son n´umeros imaginarios.
El primer gran paso hacia la instalaci´on definitiva de los n´umeros complejos en la matem´atica se debe a Euler (1707–1783). ´Este hizo una cosa muy sencilla, y al mismo tiempo de un enorme alcance: defini´o un nuevo n´umero, al que llam´o
i = √−1,
y le dio el mismo estatus de existencia que a los n´umeros reales. De ´el afirm´o que no era ni mayor, ni menor, ni igual a ning´un n´umero real, y defini´o las reglas de suma y multiplicaci´on de este n´umero que hoy conocemos. En particular la conocidai2 = −1. Con esta aportaci´on aparecen de lleno los n´umeros complejos como el conjunto de todas las expresiones algebraicas construibles con los reales y este nuevo n´umero, y desaparece el problema de la ambig¨uedad de las ra´ıces de n´umeros negativos. Con estas herramientas Euler empieza a manipular expre-siones complejas con una maestr´ıa sin precedentes, y nos aporta muchas de las mayores contribuciones al an´alisis. Entre sus mayores aportaciones est´a la deno-minada f´ormula de Euler,
eiθ = cosθ+ isenθ,
que define la exponencial de un n´umero complejo y la relaciona con las funciones trigonom´etricas. La manera en que la demuestra es la siguiente. La serie de Taylor de la exponencial es ez = ∞ X n=0 zn n!.
Si sustituimos z = iθ y separamos los t´erminos pares de los impares en la serie,
eiθ = ∞ X n=0 i2n θ 2n (2n)! + ∞ X n=0 i2n+1 θ 2n+1 (2n+ 1)!.
1.2 Los n ´umeros complejos 7
Comoi2 = −1, i2n = (−1)n yi2n+1 = i(−1)n, as´ı que
eiθ = ∞ X n=0 (−1)n θ 2n (2n)! +i ∞ X n=0 (−1)n θ 2n+1 (2n+ 1)!. Basta identificar las series del coseno y del seno,
cosθ = ∞ X n=0 (−1)n θ 2n (2n)!, senθ = ∞ X n=0 (−1)n θ 2n+1 (2n+ 1)!
y ya tenemos la f´ormula de Euler, de la que, como caso particular, Euler obtiene su famosa ecuaci´on
eiπ+ 1 = 0,
que relaciona cinco de los n´umeros m´as importantes de la matem´atica:0, 1, e, i y
π.
El ´ultimo paso en este proceso lo dieron Argand (1768–1822) y Gauss (1777– 1855), quienes introdujeron el plano complejo, es decir, una representaci´on de los n´umeros complejos x+ iy en la que x es la coordenada sobre un eje cartesiano e
y la coordenada sobre el eje perpendicular. Todas las operaciones con complejos tienen su contrapartida geom´etrica en el plano. De este modo, por fin, los ma-tem´aticos pudieron “ver” los n´umeros complejos, pese a que Descartes afirmaba que eran imposibles de visualizar. Asimismo, definir, por ejemplo, funciones de una variable compleja no es m´as que otra manera de tratar con funciones de dos variables, si bien, como veremos, las funciones de variable compleja revelan unas estructuras muy ricas que abren posibilidades insospechadas al an´alisis matem´ati-co.
1.2.
Los n ´
umeros complejos
1.2.1. Definiciones b ´asicas
El conjunto de los n´umeros complejos se define como
C = {x+iy : x, y ∈ R},
donde i es la unidad imaginaria y verifica i2 = −1. Si z = x + iy, diremos que x es la parte real de z, que denotaremos x = Rez, y que y es la parte
imaginaria de z, que denotaremos y = Imz. Evidentemente, Rez,Imz ∈ R.
Los complejos con parte real0se denominan imaginarios puros. El ´unico n´umero real imaginario puro es el0.
Dado un complejo, z = x+iy, se define su conjugado como z = x−iy, y su
m´odulo como|z| = px2 + y2.
Dos complejos son iguales si y s´olo si lo son sus partes reales e imaginarias; es decir, si z1 = x1 +iy1 yz2 = x2 +iy2,
z1 = z2 ⇐⇒ (
x1 = x2,
y1 = y2. La suma de dos complejos se define como
z1 +z2 = (x1 +iy1) + (x2 + iy2) = (x1 +x2) +i(y1 +y2), y el producto como
z1z2 = (x1 +iy1)(x2 +iy2) =x1x2 +ix1y2 +ix2y1 +i2y1y2 = (x1x2 −y1y2) +i(x1y2 +x2y1).
N´otese que el producto de un n´umero complejo por su conjugado es
zz = (x+ iy)(x−iy) =x2 +y2 = |z|2.
Asimismo, las partes real e imaginaria se pueden expresar como
Rez = z +z
2 , Imz =
z −z
2i .
Suma y producto tienen elementos neutros, 0 y 1respectivamente, e inversos. El inverso de z = x+ iy respecto de la suma es −z = −x− iy, y respecto del producto, z−1 = 1 z = z zz = z |z|2 = x−iy x2 +y2.
Como los n´umeros reales tiene estructura de cuerpo, los complejos, con las operaciones suma y producto que hemos definido y sus respectivos neutros e in-versos, tienen tambi´en estructura de cuerpo. Eso significa, en particular, que to-das las manipulaciones algebraicas que se pueden hacer con los n´umeros reales son igualmente v´alidas para los complejos. Sin embargo, los n´umeros complejos carecen de la estructura de orden que tienen los reales, de modo que, dados dos complejos, no se puede decir que uno sea mayor o menor que el otro. Esto se
1.2 Los n ´umeros complejos 9
ver´a claro cuando hagamos la identificaci´on entre C y R2, conjunto este ´ultimo
que carece de la ordenaci´on deR.
Algunas propiedades, bastante obvias, de la conjugaci´on son:
z = z, z1 + z2 = z1 +z2, z1z2 = z1 z2, z1 z2 = z1 z2 , (zn) = zn.
Otras, no menos evidentes, relacionadas con el m´odulo, son:
|Rez| ≤ |z|, |Imz| ≤ |z|, |z| = |z|, |z1z2| = |z1||z2|, z1 z2 = |z1| |z2| .
Para demostrar la pen´ultima basta hacer
|z1z2|2 = (z1z2)(z1z2) =z1z2z1z2 = z1z1z2z2 = |z1|2|z2|2. Para la ´ultima s´olo hay que tener en cuenta que 1/z = z/|z|2.
Menos obvia es la desigualdad triangular,
|z1 + z2| ≤ |z1|+|z2|, que se prueba de la siguiente manera:
|z1 +z2|2 = (z1 + z2)(z1 +z2) = (z1 +z2)(z1 +z2) = |z1|2 +z1z2 +z1z2 + |z2|2 = |z1|2 + z1z2 + z1z2 + |z2|2 = |z1|2 + 2 Re(z1z2) + |z2|2
≤ |z1|2 + 2|z1z2|+|z2|2 = |z1|2 + 2|z1||z2|+|z2|2 = (|z1|+|z2|)2. De esta desigualdad se deduce f´acilmente
|z1| − |z2| ≤ |z1 −z2|, pues |z1| = |(z1 −z2) +z2| ≤ |z1 −z2|+|z2|, de donde |z1| − |z2| ≤ |z1 −z2|. Por otro lado,
|z2| = |(z2 −z1) +z1| ≤ |z1 −z2|+|z1|,
de donde −(|z1| − |z2|) ≤ |z1 −z2|. Las dos desigualdades juntas demuestran el resultado.
1.2.2. Interpretaci ´on geom ´etrica: representaci ´on polar
El n´umero complejo x + iy se puede identificar con el par ordenado (x, y), lo que permite representar C en el plano R2. El eje de las abscisas se denomina
eje real, el de las ordenadas eje imaginario y el plano R2 se denomina plano
complejo. Esta identificaci´on permite representarz = x+iy no s´olo en coordena-das cartesianas, sino mediante sus coordenacoordena-das polares. Si la distancia del punto (x, y) 6= (0,0) al origen esr y el ´angulo que forma el vector con el eje real es θ, el n´umero complejo z = x+ iy tiene m´odulo |z| = r y argumento argz = θ. M´odulo y argumento se obtienen dez = x+iy mediante
r = px2 +y2, tanθ = y
x,
y proporcionan la siguiente representaci´on polar dez z = r(cosθ +isenθ) =reiθ,
empleando la f´ormula de Euler que fue introducida en 1.1 y sobre la que volve-remos a tratar m´as adelante.
Es evidente que si un complejo z 6= 0queda determinado, en forma polar, por un ´anguloθ, quedar´a igualmente determinado por un ´angulo θ+ 2kπ, con k ∈ Z.
As´ı pues, argz no es una expresi´on bien definida. En realidad, hay dos maneras de entender argz: como funci´on o como conjunto. Como funci´on, es necesario especificar un intervalo de ´angulos de manera que est´e un´ıvocamente definida. T´ıpicamente se eligen [0,2π) o (−π, π] como intevalos, aunque cualquier otro de longitud2πes igualmente v´alido. Elegir el intervalo implica adoptar una
determi-naci´on de la funci´onargz. La determinaci´on hace que la funci´on no sea continua en todo el plano complejo. Si S es la semirrecta que comienza en el origen que marca la determinaci´on elegida, argz ser´a continua en C − S. La elecci´on de
(−π, π] como intervalo de argz se denomina determinaci´on principal. Si no se especifica otra cosa, esta es la determinaci´on que se adopta para las representacio-nes polares.
Ejemplo 1.1. H´allese la representaci´on polar de−1−i. M´odulo y argumento se hallan mediante
r=p(−1)2+ (
−1)2 =√2,
tanθ = −1 −1 = 1.
De la segunda ecuaci´on, el signo de parte real e imaginaria, y dado que tenemos que usar la deter-minaci´on principal, se sigue queθ =−3π/4, as´ı que
−1−i=√2e−3πi/4
1.2 Los n ´umeros complejos 11
La otra forma de entender argz es como conjunto, es decir, argz = {θ+ 2kπ : k ∈ Z}.
Representa la clase de equivalencia de todos los ´angulos que dan lugar a la misma representaci´on polar de z. Este es el sentido en el que se expresan las siguientes identidades que involucran la funci´onargz:
arg(z1z2) = argz1 + argz2, arg 1 z = argz = −argz, arg z1 z2 = argz1 −argz2,
Para poder justificar estas identidades tenemos que estudiar el significado geom´etri-co del producto de dos n´umeros geom´etri-complejos (la suma de n´umeros geom´etri-complejos es simplemente la suma de vectores deR2).
Antes de ello, vamos a comprobar que la exponencial compleja introducida en la f´ormula de Euler cumple las propiedades b´asicas de la exponencial, a saber, (1) eiθ1
eiθ2
= ei(θ1+θ2),
(2) 1/eiθ = e−iθ.
La propiedad (1) se prueba mediante las identidades trigonom´etricas para la suma de ´angulos:
eiθ1eiθ2 = (cosθ1 +isenθ1)(cosθ2 +isenθ2)
= (cosθ1cosθ2 −senθ1senθ2) +i(senθ1cosθ2 + cosθ1senθ2) = cos(θ1 +θ2) +isen(θ1 +θ2) = ei(θ1+θ2).
En cuanto a la propiedad (2), en primer lugar
eiθ = (cosθ +isenθ) = cosθ−isenθ = cos(−θ) +isen(−θ) =e−iθ;
en segundo lugar, eiθ 2 = eiθe−iθ = e0 = 1,
usando la propiedad (1), luego 1
eiθ = e−iθ
|eiθ|2 = e
Gracias a estas propiedades en adelante emplearemos la forma polar con la expo-nencial, lo que simplificar´a considerablemente los c´alculos.
Retomando el problema del producto de complejos, siz1 = r1eiθ1 yz2 = r2eiθ2,
z1z2 = r1r2ei(θ1+θ2)
El vector de R2 que representa el producto z1z2 tiene de m´odulo r1r2 (es otra
manera de obtener la propiedad |z1z2| = |z1||z2|) y de ´angulo θ1 + θ2. As´ı, por ejemplo, multiplicar un complejo por otro de m´odulo 1 es lo mismo que rotar el vector que lo representa un ´angulo igual al ´angulo de este ´ultimo. Esto prueba la identidad
arg(z1z2) = argz1 + argz2.
N´otese que esta identidad, por ser una relaci´on entre conjuntos, tiene en cuenta el hecho de que θ1 +θ2 puede ser un ´angulo que no est´a en la determinaci´on fijada para la funci´onarg. Veamos un ejemplo:
Ejemplo 1.2. Determinaarg (−1 +i)i
. Evidentemente,(−1 +i)i=−1−i=√2e−3πi/4 , pero arg(−1 +i) = 3π 4 , argi= π 2, =⇒ arg(−1 +i) + argi= 3π 4 + π 2 = 5π 4 ,
que se sale de la determinaci´on. Ahora bien, como conjuntos,
arg(−1 +i) = 3π
4 + 2k1π, argi=
π
2 + 2k2π,
siendok1, k2 ∈Z, lo que implica
arg(−1 +i) + argi= 3π 4 + π 2 + 2kπ= 5π 4 + 2kπ,
conk =k1+k2 ∈Z. El argumento en la determinaci´on principal corresponde ak=−1.
Del mismo modo que el producto, el inverso de z = reiθ ser´a 1 z = 1 reiθ = 1 re −iθ, y el conjugado z = reiθ = re−iθ.
La conjugaci´on, pues, corresponde a una reflexi´on sobre el eje real. Con estas dos relaciones se demuestran las identidades
arg 1 z = argz = −argz.
A partir de las dos identidades que hemos probado se obtiene la tercera,
arg z1 z2 = arg z1 1 z2 = argz1 + arg 1 z2 = argz1 −argz2.
1.2 Los n ´umeros complejos 13
1.2.3. Potencias y ra´ıces
De nuevo la representaci´on polar permite estudiar potencias y ra´ıces de n´ume-ros complejos. La potencia se obtiene de una forma muy sencilla. Si z = reiθ y
n ∈ Z,
zn = reiθn = rneinθ,
de donde se siguen dos identidades m´as entre m´odulos y argumentos:
|zn| = |z|n, nargz ⊂ arg(zn),
esta ´ultima, de nuevo, entendiendo arg como conjunto. La raz´on de esta relaci´on es que arg(zn) = nθ + 2kπ, con k ∈ Z, mientras que nargz = n(θ+ 2lπ), con
l ∈ Z, o lo que es lo mismo, nargz = nθ + 2k′π pero conk′ m´ultiplo den.
Cuando |z| = 1, obtenemos la identidad
eiθn
= einθ,
que se reescribe como una identidad trigonom´etrica que recibe el nombre de
f´ormula de De Moivre:
(cosθ+isenθ)n = cosnθ +isennθ.
Ejemplo 1.3. Empleando la f´ormula de De Moivre obt´en las identidades de seno y coseno de
´angulos m´ultiplos.
Paran = 2la f´ormula de De Moivre da
cos 2θ+isen 2θ = cos2
θ−sen2
θ+i2 senθcosθ,
de donde
cos 2θ = cos2
θ−sen2
θ, sen 2θ= 2 senθcosθ,
las conocidas f´ormulas del ´angulo doble.
Pero la f´ormula es igualmente aplicable an= 3,
cos 3θ+isen 3θ = cos3
θ−3 cosθsen2 θ+i(3 cos2 θsenθ−sen3 θ), de donde cos 3θ = cos3 θ−3 cosθsen2 θ, sen 3θ = 3 cos2 θsenθ−sen3 θ.
En general, empleando la regla del binomio, obtendremos las siguientes f´ormulas:
cosnθ= X k: 0≤2k≤n n 2k (−1)kcosn−2kθsen2kθ, sennθ= X k: 0≤2k≤n−1 n 2k+ 1 (−1)kcosn−2k−1 θsen2k+1 θ.
cω ω c 2 (a) (b) c θ c ω c cω 2 θ ω c 3 ω c 4
Figura 1.1: Sices una r´aizn-´esima dez, las figuras representan los puntos correspondientes a las
nra´ıces paran= 3(a) yn= 5(b). Los puntos forman sendos pol´ıgonos denlados.
Las ra´ıces de n´umeros complejos son m´as sutiles. Sea z = reiθ y supongamos que queremos hallar la ra´ız n-´esima de z. Teniendo en cuenta que z = rei(θ+2kπ) para todok ∈ Z,
n
√
z = rei(θ+2kπ)1/n = √n
rei(θ+2kπ)/n, k ∈ Z.
Ahora bien, seg´un vamos dando valores a k, empezando por k = 0, obtenemos distintos argumentos para √n
z hasta que llegamos a k = n− 1. A partir de ah´ı, si k = n, 2kπ/n = 2π y se obtiene el mismo argumento que para k = 0; si
k = n + 1, 2kπ/n = 2π + 2π/n, y se obtiene el mismo argumento que para
k = 1; etc., y lo mismo ocurre sik < 0.
Resumiendo, el n´umero complejo z = reiθ tienenra´ıces n-´esimas, a saber,
n √ reiθ/n, √n reiθ/n+2πi/n, √n reiθ/n+4πi/n, · · · √n reiθ/n+2π(n−1)i/n,
todas las cuales son soluciones w ∈ C de la ecuaci´on wn = z. Esta propiedad se
plasma en las dos identidades
n √ z = n p |z|, arg √n z = 1 nargz,
la segunda, de nuevo, entendida como relaci´on entre conjuntos.
Un hecho importante es que la ecuaci´on wn = 1 tiene nra´ıces distintas. Cada una de ellas recibe el nombre de ra´ız n-´esima de la unidad. Si denotamosωn ≡
e2πi/n, ´estas son,
1.2 Los n ´umeros complejos 15
Sin = 2, las dos ra´ıces son1yeiπ = −1, como ya sab´ıamos.
Retornando al caso general, si c representa cualquiera de las ra´ıces n-´esimas de z, lasnra´ıces se obtienen mediante las f´ormulas
c, cωn, cω2n, · · · , cωnn−1.
Geom´etricamente, la acci´on de ωn es la de rotar el vector correspondiente a c un ´angulo 2π/n. En consecuencia, y como lasnra´ıces de z tienen el mismo m´odulo y est´an, por tanto, sobre una circunferencia, los puntos correspondientes a las n
ra´ıces formar´an los v´ertices de un pol´ıgono de ladon(v´ease la figura 1.1). 1.2.4. Conjuntos de Cy puntos notables
El conjunto b´asico es el entorno de un punto, tambi´en denominado disco. Est´a dado por
D(z0, ǫ) = {z ∈ C : |z −z0| < ǫ},
y representa un c´ırculo en el plano complejo, de radioǫy centroz0 (excluyendo la circunferencia l´ımite.
Dado un conjunto Ω ⊂ C, diremos que es abierto si para todoz ∈ Ω existe un
entornoD(z, ǫ) ⊂ Ω. Diremos queΩes cerrado si su complementarioΩc = C−Ω
es abierto. Un conjunto dado no tiene por qu´e ser ni abierto ni cerrado. El conjunto
Ces, a la vez, abierto y cerrado.
Un puntozes punto interior deΩsi existeD(z, ǫ) ⊂ Ω, y es punto exterior si existeD(z, ǫ) ⊂Ωc. Si un punto no es ni exterior ni interior es un punto frontera. Un conjunto abierto no contiene ning´un punto frontera y uno cerrado los contiene todos. Se denomina cierre o clausura de Ω a la uni´on de Ω y todos sus puntos frontera (y se denota Ω).
Ejemplo 1.4. El conjuntoD(z0, ǫ)es abierto.
Para probarlo, tomemos un punto z ∈ D(z0, ǫ). Por definici´on, |z −z0| < ǫ. Sea δ = ǫ −
|z−z0|>0y consideremos el discoD(z, δ). Vamos a demostrar queD(z, δ)⊂ D(z0, ǫ), lo que
probar´a que D(z0, ǫ)es abierto. Para ello bastar´a probar que todo punto deD(z, δ)est´a tambi´en
enD(z0, ǫ). Seay∈D(z, δ); por definici´on
|y−z|< δ =ǫ− |z−z0| ⇐⇒ |y−z|+|z−z0|< ǫ,
pero por la desigualdad triangular, entonces,
|y−z0| ≤ |y−z|+|z−z0|< ǫ,
lo que prueba quey ∈D(z0, ǫ).
La circunferencia|z−z0|=ǫes la frontera deD(z0, ǫ)y, por tanto, el cierre de este conjunto
ser´a
Un punto z ∈ C es punto de acumulaci´on de Ω si todo entorno D(z, ǫ) tiene
intersecci´on no vac´ıa conΩ− {z}.
Un conjunto abierto Ω es conexo si cada par de puntos z1, z2 ∈ Ω se puede unir por una curva continua γ : [a, b] → Ω, es decir, γ(a) = z1 y γ(b) = z2. Llamaremos dominio a cualquier conjunto abierto conexo. Cuando el conjunto pueda contener alg´un punto frontera lo llamaremos regi´on.
Un conjuntoΩes simplemente conexo si “no tiene agujeros”. M´as formalmen-te, si es conexo y ninguna curva cerrada contenida en Ω rodea puntos que no per-tenecen a Ω. En caso contrario se denomina m ´ultiplemente conexo. Por ejemplo, el anilloΩ = {z ∈ C : 1 < |z −z0| < 2}es m´ultiplemente conexo.
