Definición de funciones circulares

(1)

Definición de funciones circulares

En esta lección

● Aprenderás cómo se definen las funciones circulares xcosty ysint

● Encontrarás el dominio, el rango, y el período de xcost y y sint

● Encontrarás unos valores de seno y de coseno usando los ángulos de referencia

Muchos fenómenos, incluyendo las mareas y el movimiento de un caballo en un carrusel, siguen patrones repetitivos, o cíclicos. Puedes usar las funciones seno y coseno para modelar estos fenómenos.

Investigación: Rueda de paletas

Trabaja la investigación de tu libro, y después compara tus resultados con los siguientes.

Paso 1 Una rotación es 360°, de modo que la rana gira 360° en 6 minutos, ó 60° por minuto. Esto es 1° por segundo.

Paso 2 Puedes encontrar los valores x y yde cualquier punto al rastrear la gráfica o al sustituir los valores de ten las ecuaciones para xy y.

[2.35, 2.35, 1,1.55, 1.55, 1] Paso 3 t x y 360 1 0 375 0.966 0.259 390 0.866 0.5 405 0.707 0.707 420 0.5 0.866 435 0.259 0.966 450 0 1 465 0.259 0.966 480 0.5 0.866 495 0.707 0.707 510 0.866 0.5 t x y 180 1 0 195 0.966 0.259 210 0.866 0.5 225 0.707 0.707 240 0.5 0.866 255 0.259 0.966 270 0 1 285 0.259 0.966 300 0.5 0.866 315 0.707 0.707 330 0.866 0.5 345 0.966 0.259 t x y 0 1 0 15 0.966 0.259 30 0.866 0.5 45 0.707 0.707 60 0.5 0.866 75 0.259 0.966 90 0 1 105 0.259 0.966 120 0.5 0.866 135 0.707 0.707 150 0.866 0.5 165 0.966 0.259 L E C C I Ó N

10.1

CONDENSADA

(2)

Lección 10.1 • Definición de funciones circulares (continuación)

He aquí algunas cosas que puedes observar en la tabla: Los valores x y yse repiten después de 360°. Los valores x y yson cíclicos. Los valores en grados dexy y en el Cuadrante I son positivos. En el Cuadrante II, los valores xson negativos y los valores yson positivos. En el Cuadrante III, los valores xy y son negativos. En el Cuadrante IV, los valores xson positivos y los valores y son negativos. A medida que los valores xaumentan, los valores y disminuyen, y viceversa. El apareamiento de los valores xy yes siempre lo mismo: esto es,

0.866 siempre acompaña 0.5, y así sucesivamente.

Paso 4

a. El patrón se repite cada 360° (ó 360 s). Debido a que 1215°3(360°) 135°, la ubicación de la rana en 1215 s es la misma que su ubicación en 135 s, la cual es (0.707, 0.707). La rana también se encuentra en esta ubicación en 360135, ó 495 s, y en 2(360)135, ó 855 s.

b. La tabla muestra que la rana está a una altura de0.5 m a los 210 s y a los 330 s. Debido al patrón cíclico, la rana se encuentra igualmente a esta altura en los tiempos indicados, más los múltiplos de 360 s. Para las primeras tres rotaciones, estos tiempos son 210 s, 330 s, 570 s, 690 s, 930 s, y 1050 s.

c. 1 x1,1 y1

Paso 5 La primera gráfica siguiente corresponde a xcost. La gráfica que le sigue corresponde a ysint. Ambas gráficas muestran el mismo patrón cíclico, a pesar de que cos tempieza en 1 y sin tempieza en 0. Ambas completan un ciclo entero y regresan a la ubicación inicial después de 360°. Para hallar la posición de la rana al tiempo t,encuentra el valor xcorrespondiente en la primera gráfica y el correspondiente valor y en la segunda.

t y –1 1 90 180 270 360 –1 1 t x 360 270 180 90

158 CHAPTER 10 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish

(3)

Un círculo con un radio de 1 unidad, centrado en el origen, se llama un círculo unitario. Usando el círculo unitario en la investigación, descubriste que los valores de las funciones seno y coseno se repiten en un patrón regular. Cuando los valores de salida de una función se repiten en un patrón regular, la función es

periódica.El períodode una función es la distancia mínima entre los valores de la variable independiente, antes de que el ciclo empiece a repetirse.

Lee el Ejemplo A en tu libro, que muestra que la función coseno tiene un periodo de 360°. Después lee el texto entre los Ejemplos A y B, que muestra que la función seno también tiene un período de 360°. Observa el diagrama atentamente. Asegúrate de que entiendes el significado deposición estandar, lado terminal,y ángulo de referencia.Lee el Ejemplo B atentamente, y después lee el ejemplo siguiente.

EJEMPLO Encuentra el valor del coseno o seno para cada ángulo.

a. cos 225°

b.sin290°

_Solución

_{Para cada ángulo en las partes a y b, gira el lado terminal en sentido opuesto} a las manecillas del reloj, desde el lado positivo del eje x,y traza un triángulo rectángulo dibujando una línea perpendicular al eje x. Después identifica el ángulo de referencia.

a. Para 225°, el ángulo de referencia mide 45°. Los valores x en el Cuadrante III son negativos, de modo que 225° cos 45°. Usando lo que sabes de la razón entre las longitudes laterales en un triángulo de ángulos 45°-45°-90°, o utilizando una calculadora, se obtiene cos 225° 0.707.

b.Debido a que la medida del ángulo 290° es negativa,rota el lado terminal 290° en el sentido de las manecillas del reloj. El ángulo de referencia mide 70°. Ya que las coordenadas y de los puntos del Cuadrante I son positivas, entonces

sin290°sin 70°0.940.

Los ángulos en posición estándar son coterminales si comparten el mismo lado terminal. Por ejemplo, los ángulos que miden 70°,290°, y 430° son coterminales. A menudo las letras griegas como (theta) y (alfa) se usan

x x y y –290° 70° 2 ₂ x x y y 1 45° 225°

Lección 10.1 • Definición de funciones circulares (continuación)

(4)

(5)

Medición en radianes y

longitudes de arcos

En esta lección

● Calcularás unas longitudes de arcos

● Convertirás las mediciones angulares de grados a radianes ● Encontrarás el área de un sector de un círculo

● Calcularás la velocidad angular de un objeto que sigue una trayectoria circular Hasta este momento, has trabajado con ángulos medidos en grados. En esta

lección aprenderás sobre una medición de ángulo diferente.

Investigación: Un círculo de radianes

De tus estudios de geometría, recuerda que la medida de un arco no es lo mismo que la longitud de un arco. Por ejemplo, los arcos marcados en la ilustración a la derecha tienen la misma medida, pero sus longitudes aumentan a medida que el círculo se hace más grande.

Puedes encontrar la longitud de un arco usando la siguiente relación.

, ó ₂s _r ₃₆A_0°

Encuentra la longitud,s,de cada arco ilustrado en el Paso 1 en tu libro. Registra tus resultados en una tabla y después compáralos con los de esta tabla. (Por ahora, ignora los valores de la última columna.)

Los ángulos pueden medirse en una unidad que se llama radián.Un círculo completo, o una revolución, mide 2radianes, así que medio círculo, o media revolución, mide radianes, un cuarto de revolución mide ₂radianes, y así sucesivamente.

Puedes usar cualquiera de estas relaciones equivalentes para convertir grados a radianes, o viceversa.

ángulo₃e₆n ₀grados ángulo e₂nradianes ángulo₁e₈n ₀grados ángulo enradianes

Convierte los ángulos de tu tabla de grados a radianes. Compara tus resultados con los de la columna de la tabla presentada aquí.

(Observación: Usando la relaciones de conversión, puedes escribir la fórmula

₁₈₀

A,donde es la medida del ángulo en radianes y A es la medida en grados.) A(grados) r(cm) s(cm) (radianes) 90 3 6 4 3 2 2 90 6 12 4 3 2 180 2 4 2 2 180 4 8 2 4 45 4 8 8 4 45 8 16 8 2 4 60 4 8 6 4 3 3 60 6 12 6 2 3 r s A

medida del ángulo intersecado

_360°

longitud del arco _{circunferencia del círculo}

45° L E C C I Ó N

10.2

CONDENSADA

(6)

Lección 10.2 • Medición en radianes y longitudes de arcos (continuación)

La razón entre la longitud del arco y la circunferencia es igual a la razón entre la medida del ángulo intersecado y la medida de una revolución completa, independientemente de las unidades de medición del ángulo: grados o radianes. Así que

₂s _r ₂, ósr

(Asegúrate de hacer el álgebra para verificar la equivalencia.) De este modo puedes encontrar la longitud de un arco simplemente multiplicando el radio por la medida del ángulo en radianes. Y, debido a que s r es equivalente a _rs, puedes encontrar la medida de un ángulo intersecado al dividir la longitud del arco entre el radio.

Observa que no es necesario rotular las medidas en radianes con unidades. Para practicar la conversión entre grados y radianes, completa las partes a–d del Ejemplo A en tu libro. Después compara tus resultados con las soluciones. El texto en la página 576 de tu libro muestra cómo puedes usar el análisis dimensional para convertir grados a radianes. Lee este texto atentamente. Después, lee el Ejemplo B, que muestra cómo encontrar el área de un sector de un círculo. He aquí otro ejemplo.

EJEMPLO El círculo Ptiene un radio de 12 cm, y la medida del ángulo central DPEes 2₃ radianes. ¿Cuánto mide s,la longitud del arco intersecado DE? ¿Cuánto mide el área del sector sombreado?

_Solución

_{Para hallar}_s, _sustituye_r_{12 cm y}2

3radianes en la fórmula de la longitud de arco.

sr12

2₃ 8 cm

Para hallar el área del sector, usa el hecho de que

_AA c s í e r c c t u o l r o

El área del círculo es r2_{, ó 144}_{. Así que}

A₁₄se

4

ct

or 13

A_sector 1₃

14448

Entonces, el área del sector es 48 cm2_.

Lee el resto de la lección en tu libro. Asegúrate de entender la definición de

velocidad angular.

2₃ ₂

medida del arco intersecado

₂ P 12 cm E D s

(7)

Graficación de funciones

trigonométricas

En esta lección

● Encontrarás las ecuaciones para sinusoides

● Identificarás la amplitud,elperíodo,y la desviación de fase de un sinusoide

● Modelarás datos reales con una función sinusoidal

● Encontrarás ecuaciones para transformaciones de la función tangente

Las gráficas de ysinxy ycosx,y a sus transformaciones se llaman ondas sinusoidales o sinusoides.En el Ejemplo A en tu libro, se ve que trasformar ysinxes muy parecido a transformar cualquier otra función. Lee ese ejemplo atentamente.

La amplitud de un sinusoide es la mitad de la diferencia de los valores máximo y mínimo de la función. Esto es igual al valor absoluto del factor de escala, o_b_. La traslación horizontal de una gráfica de seno o coseno se llama la desviación de fase (phase shift). En el Ejemplo A, la función y32 sin(x) tiene una amplitud de 2 y una desviación de fase de .

Para practicar las transformaciones de la gráfica coseno, trabaja el ejemplo siguiente.

EJEMPLO La gráfica de un ciclo (0 x2) de ycosxse muestra a continuación. Dibuja la gráfica de un ciclo de y 13 cos

x₂

. Da la amplitud, el período, y la desviación de fase de la función transformada.

_Solución

_{El coeficiente 3 significa que la gráfica de}_y_cos_x_{está estirada verticalmente por} un factor de 3. La gráfica también está trasladada ₂unidades hacia la izquierda y 1 unidad hacia abajo.

El período de la función transformada es 2,la amplitud es 3, y la desviación de fase es ₂. x y 2 –4 –2 _ 2 _ 2 3__ 2 – x y 2 2 –2 _ 2 3__2 L E C C I Ó N

10.3

CONDENSADA (continúa)

(8)

Lección 10.3 • Graficación de funciones trigonométricas (continuación)

Investigación: El péndulo II

Lee la investigación en tu libro. Si tienes el equipo necesario, reúne tus propios datos y ajusta una función seno y una función coseno. Si no, puedes usar estos datos.

He aquí una gráfica de los datos:

[0, 2, 0.1, 0, 1, 0.1]

Primero ajusta una función coseno. El máximo valor de la distancia es 0.903 y el mínimo es 0.697, de modo que la amplitud de la función es 1₂(0.9030.697), ó 0.103. Éste es el factor de estiramiento vertical.

Un ciclo completo, de un punto máximo al siguiente, va de 0.10 a 1.475, así que el período es 1.375. El factor de escala horizontal que estira 2a 1.375 es1.₂375. La función ycosxtiene un punto máximo en x0. Esta curva tiene un punto máximo en 0.10. Así pues, la desviación de fase es 0.10.

Para ycosx,el valor y que se encuentra a la mitad entre los valores mínimo y máximo es 0. Para esta curva, este valor es 1₂(0.9030.697), ó 0.8. Por tanto, la traslación vertical es 0.8.

Reuniendo toda esta información, se obtiene la función

y0.103 cos

_1.2₃₇₅(x0.1)

0.8 Tiempo (s) Distancia (m) 1.45 0.894 1.50 0.894 1.55 0.889 1.60 0.879 1.65 0.863 1.70 0.844 1.75 0.824 1.80 0.802 1.85 0.779 1.90 0.760 1.95 0.740 2.00 0.724 Tiempo (s) Distancia (m) 0.75 0.698 0.80 0.697 0.85 0.702 0.90 0.712 0.95 0.727 1.00 0.745 1.05 0.766 1.10 0.786 1.15 0.809 1.20 0.830 1.25 0.850 1.30 0.867 1.35 0.881 1.40 0.891 Tiempo (s) Distancia (m) 0.05 0.900 0.10 0.903 0.15 0.899 0.20 0.888 0.25 0.873 0.30 0.855 0.35 0.836 0.40 0.814 0.45 0.791 0.50 0.768 0.55 0.749 0.60 0.730 0.65 0.714 0.70 0.704

(9)

Una transformación de la función seno tiene los mismos factores de escala y desviación vertical, pero la desviación de fase es ₂0.1, de modo que la función seno es

y0.103 sin

_1.2₃₇₅

x

₂ 0.1

0.8

En estas ecuaciones, 0.8 representa la distancia promedio desde el sensor de movimiento hasta la arandela, 0.103 es la distancia desde esta distancia promedio a la distancia mínima o máxima, 0.10 es el número de segundos antes de que la arandela llegue por primera vez a la distancia máxima, y 1.375 es el número de segundos que le lleva completar un ciclo.

El Ejemplo B en tu libro presenta otra situación que puede modelarse con una función sinusoidal. Intenta resolver el problema planteado en ese ejemplo, antes de leer la solución.

Hasta ahora, en este capítulo, has trabajado solamente con senos y cosenos. La tangente del ángulo A es la razón entre la coordenada y y la coordenada xde un punto girado A° (oA radianes) en sentido opuesto a las manecillas del reloj a partir de la parte positiva del eje x.

tanA _cc_oo_oo_rr_dd_ee_nn_aa_dd_aa_xy

He aquí la gráfica de la función ytanx.

Observa que tanA es indefinida para los puntos del círculo cuya coordenada xes cero. En la gráfica, esto se muestra mediante las asíntotas verticales en

₂,₂,3₂, y así sucesivamente.

En el Ejemplo C en tu libro se encuentra la ecuación de una transformación deytanx. Lee ese ejemplo atentamente.

x y 2 – 2 4 –2 –4 6 –6 _ 2 3__2 coordenada x A _x (x, y) y coordenada y

(10)

(11)

Inversos de las funciones

trigonométricas

En esta lección

● Trazarás y examinarás las gráficas de los inversos de ysinxy de ycosx

● Definirás las funciones ysin1_x_y_y_cos1_x_{mediante la}_{restricción de} los rangos de xsiny y de xcosy

● Resolverás unas ecuaciones que implican funciones trigonométricas Las funciones seno, coseno, y tangente tienen valores que se repiten. Así que, por ejemplo, si quieres encontrar un ángulo cuyo coseno es 0.75, habrá muchas respuestas. Por esta razón, usar una función inversa en tu calculadora no siempre te dará el ángulo que buscas. Esto se ilustra en el Ejemplo A en tu libro. Lee ese ejemplo atentamente.

En capítulos anteriores viste que se encuentra el inverso de una relación al

intercambiar las coordenadas x y y para todos los puntos. Una gráfica y su inverso son reflexiones una de otra con respecto a la recta yx. En la página 595 de tu libro se muestran las gráficas de la función exponencial ybx_{y su inverso,}

xby

_ó_y_log

bx

, y de la ecuación yx2y su inverso,xy2. En el caso

deybx_,_{el inverso es una función. En el caso de}_y_x2_{, no lo es. En la}

investigación, explorarás los inversos de las funciones trigonométricas.

Investigación: Exploración de los inversos

Completa la investigación en tu libro y después compara tus resultados con los siguientes.

Pasos 1–4 A continuación se muestran las gráficas de ysinx y de xsiny.

La gráfica de xsiny no es una función porque existe más de un valor ypara cada valor x. Se ha sombreado la parte de la gráfica entre y ₂y y₂. Esta porción de la gráfica es una función porque hay exactamente un valor y para cada valor x. x y 2 – –2 5 –3 3 –5 –10 10 L E C C I Ó N

10.4

CONDENSADA

(12)

Lección 10.4 • Inversos de las funciones trigonométricas (continuación)

Paso 5 A continuación se muestran las gráficas de ycosx y xcosy. Cualquier intervalo y de la forma n y(n1),donde nes un entero, contiene una parte de la gráfica que es una función. Una posibilidad es 0y .

La función ysin1_x_{es la parte de la gráfica de}_x_sin_y_{correspondiente al}

intervalo ₂ y₂. (Ésta es la parte sombreada en la investigación). Del mismo modo, la función ycos1_x_{es la porción de la gráfica de}_x_cos_y

correspondiente al intervalo 0 y. Al restringir el intervalo, se garantiza que haya un valor ypara cada valor x. Así que, por ejemplo, aunque la ecuación sinx0.5 tiene un número infinito de soluciones, la ecuación xsin1_(0.5)

tiene una sola solución:₆. El valor ₆se llama el valor principalde sin1_(0.5).

En el Ejemplo B en tu libro se muestra cómo resolver una ecuación que implica una función trigonométrica. Trabaja el ejemplo con papel y lápiz. Después prueba tu entendimiento de las ideas, intentando resolver el problema del ejemplo siguiente.

EJEMPLO Encuentra los primeros cuatro valores positivos de xpara los cuales 14 sin

x₂

3.

_Solución

_{Gráficamente, esto es equivalente a encontrar las primeras cuatro intersecciones} positivas de y14 sin

x₂

y y3. Puedes encontrar las intersecciones aproximadas que se muestran a continuación al rastrear la gráfica.

x y 2 3 4 5 6 7 2 4 –2 –4 (4.189, 3) (8.378, 3) (16.755, 3) (20.944, 3) x y 2 – –2 5 –3 3 –5 –10 10

(13)

Al resolver la ecuación de manera simbólica, encontrarás una solución. 14 sin

x₂

3 4 sin

x₂

2 sin

x₂

1₂ x₂ sin1

1 2

x2 sin1

1 2

El círculo unitario muestra que sin1

1

2

6.

Recuerda, la función y sin1_x_{tiene un rango de}

2y 2.

Así que, una solución es x2

₆

4₃. Sin embargo, estás buscando soluciones positivas. Debido a que el período de y14 sin

x₂

es 4, 4₃4,ó 8₃, es una solución. Esto es aproximadamente 8.378,

que corresponde a la segunda solución positiva en la gráfica.

Puedes usar la simetría de la gráfica para encontrar la primera solución positiva. La primera solución positiva está a la misma distancia de 2 que la segunda solución,8₃. Esta distancia es 2₃. Por tanto, 22₃, ó 4₃, es una solución también. Esto es aproximadamente 4.189. Usando el hecho de que el período es 4,las siguientes dos soluciones son

x 4₃ 4 16₃ 16.755 x 8₃ 4 20₃ 20.944 x 1 y – 0.5 –__ 6

(14)

(15)

Modelación con ecuaciones

trigonométricas

En esta lección

● Interpretarás unas ecuaciones trigonométricasque modelan situaciones reales

● Escribirás unas ecuaciones trigonométricaspara modelar situaciones reales

● Encontrarás unas frecuenciasde funciones periódicas

El Ejemplo A en tu libro muestra cómo la altura del agua en la boca de un río puede ser modelada con una ecuación trigonométrica. Trabaja el ejemplo meticulosamente. Asegúrate de entender cómo los números en la ecuación corresponden a la situación real.

Cuando la variable independiente es el tiempo, el períodode una función es el tiempo que le lleva a la función completar un ciclo. La frecuenciade una función es el recíproco del período. Es el número de ciclos completados en una unidad de tiempo. Por ejemplo, si una onda tiene un período de 0.1 segundos, entonces tiene una frecuencia de 10 ciclos por segundo.

Investigación: Un muelle en movimiento

Lee la investigación en tu libro. Si tienes el equipo necesario, reúne los datos y completa los pasos de la investigación. Si no lo tienes, completa los pasos usando esta muestra de datos. Los resultados siguientes se basan en la muestra de datos.

Tiempo Altura (s) (m) 2.52672 0.609038 2.58048 0.632104 2.63424 0.657778 2.688 0.682628 2.74176 0.702261 2.79552 0.713794 2.84928 0.714206 2.90304 0.705419 2.9568 0.690454 3.01056 0.667938 3.06432 0.64144 3.11808 0.618374 3.17184 0.60588 3.2256 0.597505 3.27936 0.597917 Tiempo Altura (s) (m) 1.72032 0.607665 1.77408 0.630044 1.82784 0.665192 1.8816 0.699241 1.93536 0.720659 1.98912 0.731917 2.04288 0.728622 2.09664 0.715167 2.1504 0.687845 2.20416 0.664505 2.25792 0.631417 2.31168 0.607391 2.36544 0.592975 2.4192 0.586934 2.47296 0.592837 Tiempo Altura (s) (m) 0.86016 0.587071 0.91392 0.597093 0.96768 0.640204 1.02144 0.668624 1.0752 0.705831 1.12896 0.729308 1.18272 0.741253 1.23648 0.738919 1.29024 0.724366 1.344 0.695946 1.39776 0.656954 1.45152 0.620983 1.50528 0.587895 1.55904 0.567712 1.6128 0.5673 1.66656 0.581991 Tiempo Altura (s) (m) 0 0.561397 0.05376 0.563182 0.10752 0.578284 0.16128 0.604919 0.21504 0.639792 0.2688 0.673841 0.32256 0.699653 0.37632 0.71805 0.43008 0.724229 0.48384 0.719698 0.5376 0.729446 0.59136 0.701163 0.64512 0.632653 0.69888 0.603409 0.75264 0.576362 0.8064 0.564005 L E C C I Ó N

10.5

CONDENSADA

(16)

Lección 10.5 • Modelación con ecuaciones trigonométricas (continuación)

Paso 2 He aquí una gráfica de los datos:

El máximo promedio es 0.728, y el mínimo promedio es 0.575, de modo que la amplitud es 0.728₂0.575 0.077. El valor promedio, que es la traslación vertical, es 0.652. Los períodos correspondientes a los cuatro ciclos son 0.808, 0.805, 0.806, y 0.860; por tanto 0.807 puede ser una buena opción. La frecuencia es, entonces,_0.81₀₇, ó

1.239 ciclos por segundo. El primer máximo se presenta en t 0.43, [0, 3.3, 1,0.1, 0.9, 1] así pues, si escoges una función coseno, deberá tener una desviación

de fase de 0.43.

Paso 3 h0.6520.077 cos

2(t_0.₈₀0₇.43)

Una gráfica de la curva con los datos muestra un buen ajuste.

[0, 3.3, 1,0.1, 0.9, 1]

Paso 4

a. 0.652 m es la altura promedio del muelle. 0.077 m es la distancia hacia arriba y hacia abajo que el muelle se desplaza desde la altura promedio. 0.807 s es el tiempo que le lleva completar un ciclo. 0.43 s es el tiempo en que se presenta el primer máximo.

b. Si alejas el sensor 1 m, la traslación vertical aumenta en 1. Todos los demás valores permanecen iguales.

c. Si jalas el muelle más abajo, la amplitud aumenta. El período podría cambiar también.

El Ejemplo B en tu libro presenta otra situación que se puede modelar mediante una función periódica. Trabaja el ejemplo con papel y lápiz. El ejemplo siguiente corresponde al Ejercicio 8a en tu libro. Intenta escribir la ecuación sin mirar la solución.

EJEMPLO El tiempo entre la marea alta y la baja en el puerto de un río es aproximadamente 7 h. La profundidad de la marea alta—de 16 pies—se presenta a mediodía y la profundidad promedio del puerto es de 11 pies. Escribe una ecuación que modele esta relación.

_Solución

_{La marea completa medio ciclo en 7 h, así que el período es de 14 h. El factor} de escala horizontal que estira 2a 14 es 7. La profundidad promedio, 11, es la traslación vertical. La amplitud es 5, consistente en la diferencia entre la profundidad de la marea alta y la profundidad promedio. Si supones que t0 corresponde al mediodía, entonces la función empieza en un punto máximo. Por tanto, si utilizas la función coseno, no hay desviación de fase. La ecuación es

d115 cos₇t

(17)

Identidades trigonométricas

fundamentales

En esta lección

● Definirás las funcionescotangente, secante, y cosecante

● Aplicarás las identidades recíprocasy las usarás para probar otras

identidades trigonométricas

● Derivarás y demostrarás tres identidades pitagóricas

Una identidad es una ecuación que es cierta para todos los valores para los cuales las expresiones se definan. Por ejemplo, sinAcos

A₂

es una identidad porque es cierta independientemente del valor que le des a A. Lee la introducción de la lección en tu libro, donde se muestra que tanA_csi_on_sA_A es una identidad. Los recíprocos de las funciones tangente, coseno, y seno también son funciones trigonométricas. El recíproco de la tangente es la cotangente,abreviada como cot. El recíproco del coseno es la secante,abreviada como sec. El recíproco del seno es la cosecante,abreviada como csc. Estas definiciones conducen a las seis identidades recíprocassiguientes.

cotA _tan1_A secA _co1_s_A cscA _sin1_A tanA _co1_t_A cosA _se1_c_A sinA _cs1_c_A

Tu calculadora no tiene teclas especiales para cotangente, secante, y cotangente. Así que, por ejemplo, para graficar ycotx,debes usar la expresión y_ta1_n_x. Para que te familiarices con las nuevas funciones, grafica cada par de funciones recíprocas, un par a la vez, en tu calculadora (es decir, grafica la cotangente y la tangente, después el secante y el coseno, luego la cosecante y el seno).

Un método para probar una identidad implica escribir expresiones equivalentes para un lado de la ecuación, hasta que es igual al otro lado. Puedes usar cualquier identidad que ya hayas probado. Esto se muestra en el ejemplo en tu libro. Trabaja dicho ejemplo con papel y lápiz.

Investigación: Identidades pitagóricas

Intenta completar la investigación por tu cuenta. A continuación se dan las respuestas, por si las necesitas.

Paso 1 La gráfica de ysin2_x_cos2_x_{es la recta horizontal}_y_{1. Basándote}

en esta gráfica, puedes escribir la identidad sin2_x_cos2_x_1.

[0, 2,2,3, 3, 1]

L E C C I Ó N

10.6

CONDENSADA

(18)

Lección 10.6 • Identidades trigonométricas fundamentales (continuación)

Paso 2 Las longitudes de los catetos del triángulo mostrado son sinAy cosA, y la hipotenusa tiene una longitud de 1. Por el Teorema de Pitágoras,

sin2_A_cos2_A_1.

Paso 3 La ecuación sin2_x_cos2_x_{1 se llama una identidad pitagórica, porque}

se deriva utilizando el Teorema de Pitágoras. (En un círculo unitario con un triángulo de referencia, sinxy cosxson las longitudes de los catetos del triángulo rectángulo y 1 es la longitud de la hipotenusa. Entonces, según el Teorema de Pitágoras, sin2_x_cos2_x_1.)

Paso 4

cos2_x₁_sin2_x _sin2_x₁_cos2_x

Paso 5 La identidad es tan2_x₁_sec2_x._{La derivación siguiente sirve como}

prueba, pero te convendría practicar el método del ejemplo, manipulando el lado izquierdo de la identidad, tan2_x_{1, hasta que sea igual al lado derecho, sec}2_x.

sin2_x_cos2_x₁ _{Identidad original.}

Divide ambos lados entre cos2_x_.

sin2_x_{significa (sin}_x₎2_{y cos}2_x_{significa (cos}_x₎2_.

2

2 2 _ba22

a b

2

tan2_x₁_sec2_x _{Usa las identidades}

c si o n s x x tanxy _co1_s_xsecx. Paso 6 ytan2_x_{1 y}_y_sec2_x_{tienen la misma gráfica, lo cual}

verifica la identidad. La identidad es indefinida cuando cosx0, ó cuando x ₂nó x90°180°n,donde nes un entero.

Paso 7 La identidad es 1cot2_x_csc2_x._{La derivación siguiente}

sirve como prueba:

sin2_x_cos2_x₁ _{Identidad original.} [0, 2, 2,3, 3, 1]

Divide ambos lados entre sin2_x_.

sin2_x_{significa (sin}_x₎2_{y cos}2_x_{significa (cos}_x₎2_.

2

2 2 _ba22

a b

2

1cot2_x_csc2_x _{Usa las identidades}c si o n s x x cotxy _sin1_xcscx. Paso 8 y1cot2_x_y_y_csc2_x_{tienen la misma gráfica, lo cual}

verifica la identidad. La identidad es indefinida cuando sinx0, ó cuando xnó x 180°n,donde nes un entero.

Las identidades pitagóricas que probaste en la investigación se resumen en la

página 611 de tu libro. [0, 2,2,3, 3, 1] 1 _sin_x cosx _sin_x sinx _sin_x 1 _(sin_x₎2 (cosx)2 _(sin_x₎2 (sinx)2 _(sin_x₎2 1 _sin2_x cos2_x _sin2_x sin2_x _sin2_x 1 _cos_x cosx _cos_x sinx _cos_x 1 _(cos_x₎2 (cosx)2 _(cos_x₎2 (sinx)2 _(cos_x₎2 1 _cos2_x cos2_x _cos2_x sin2_x _cos2_x

(19)

Combinación de funciones

trigonométricas

En esta lección

● Modelarás un sonido con una suma de dos ecuaciones sinusoidales ● Desarrollarás o probarás varias identidades trigonométricas

● Usarás unas identidades trigonométricas para encontrar los senos y cosenos de ángulos

El sonido de una nota tocada por un instrumento musical puede modelarse con la combinación de más de una función trigonométrica. Lee el texto que precede la investigación en tu libro, para aprender más sobre este asunto.

Investigación: Onda de sonido

La investigación te pide tocar un diapasón y después registrar los datos, usando una sonda de micrófono. A continuación se presentan las ecuaciones y las gráficas de los datos producidos por los diapasones G-392 Hz y C-256 Hz.

G:y0.116 sin

_0.02₀₂₅(x0.0027)

2.681

[0, 0.02, 1, 2.2, 3, 1]

C:y0.0828 sin

_0.02₀₃₈(x0.0012)

2.6815

[0, 0.02, 1, 2.2, 3, 1]

Sólo tienes que sumar las ecuaciones de las notas C y G individuales, para obtener una buena aproximación de la onda que se forma al tocar las dos notas juntas, excepto que la curva se corre hacia arriba porque se combinan las dos desviaciones horizontales.

Restar 2.6815 de la suma de las ecuaciones hará que la nueva ecuación se ajuste a la desviación horizontal de los nuevos datos.

[0, 0.02, 1, 2.2, 6, 1]

y0.116 sin

_0.02₀₂₅(x0.0027)

2.6810.0828 sin

_0.02₀₃₈(x0.0012)

L E C C I Ó N

10.7

CONDENSADA

(20)

Lección 10.7 • Combinación de funciones trigonométricas (continuación)

Un sinusoide trasladado de manera horizontal puede escribirse como la suma de dos curvas no trasladadas. Por ejemplo, puedes usar tu calculadora para verificar que ycos(x0.6435) es equivalente a y0.8 cosx0.6 sinx. En el texto en la página 617 de tu libro se prueba la identidad

cos(AB)cosAcosBsinAsinB Sigue los pasos usando papel y lápiz.

El Ejemplo A de tu libro muestra cómo puedes usar la identidad anterior para hallar los valores exactos del coseno para algunos ángulos más, usando valores que ya conoces. He aquí otro ejemplo.

EJEMPLO A Encuentra el valor exacto de cos7₁₂.

_Solución

_cos7 12 cos

1 1 0 2

3₁₂

Reescribe 7₁₂como la diferencia de dos fracciones.

cos

5₆ ₄

Reduce.

cos5₆

cos₄ sin5₆

sin₄ cos(AB)cosAcosBsinAsinB.

1₂

Sustituye los valores exactos del seno y del coseno,5 6y 4, respectivamente.

Combina los términos.

El Ejemplo B en tu libro utiliza la identidad cos(AB)cosAcosBsinAsinB para desarrollar la identidad

cos(AB)cosAcosBsinAsinB

Lee dicho ejemplo atentamente. En el ejemplo siguiente se desarrolla la identidad

sin(AB)sinAcosBcosAsinB

EJEMPLO B Usa la identidad del cos(AB) y las identidades sinAcos

₂A

y cosAsin

₂A

para desarrollar una identidad para sin(AB).

_Solución

_sin(_A_B₎_cos

2 (AB)

sinAcos

2 A

.

cos

₂ A

B

Reescribe ₂(AB) como₂AB.

cos

₂ A

cosBsin

₂ A

sinB Usa la identidad del cos(AB).

sinAcosBcosAsinB cosAsin

₂ A

y sinAcos

₂ A

.

Se dan más identidades en el recuadro en la página 619 de tu libro. Probarás tales identidades en los ejercicios.

62 ₄ 2 ₂ 2 ₂ 3 ₂