MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE POSICIÓN

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TEMA 2 

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y 

DE POSICIÓN 

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­ 2 ­ 

ÍNDICE 

1.  Intr oducción………3 

2.  Objetivos………..3 

2.1  Gener ales………..3 

2.2  Específicos……….3 

3.  Desar r ollo de los distintos apar tados………4 

3.1  Medidas de tendencia centr al……….4 

3.1.1Media………...4 

3.1.2Mediana………...7 

3.1.3Moda………...11 

3.2  Medidas de posición………14 

3.2.1Per centiles………..15 

3.2.2Deciles……….19 

3.2.3Cuar tiles……….20 

4.  Actividades o pr oblemas………...21 

5.  Soluciones a los pr oblemas pr opuestos…………23 

6.  Bibliogr afía……….23 

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1.  Intr oducción: 

En  este  trabajo  veremos  que  podemos  contar  con  una  serie  de  valores  o  índices  capaces  de  describir  el  conjunto  de  una  forma  simple  y  exacta,  concentrando la información en valores numéricos. 

Trabajaremos  las  medidas  de  tendencia  central,  que  son  aquellas  que  nos  indican  los  valores  medios  del  conjunto  de  las  puntuaciones,  permitiéndonos  describir  brevemente  las  características  de  un  grupo  y  compararlas  con  las  de  otros  grupos  diferentes.  Las  medidas  de  tendencia  central de las que aquí nos ocuparemos son la media, la mediana y la moda.  También trabajaremos el estudio de las medidas de posición de un individuo  en relación al conjunto de puntuaciones del  grupo. Esta información queda  recogida con los percentiles, deciles y cuartiles. 

2.  Objetivos. 

2.1 

Gener ales.

·  Conseguir que los alumnos conozcan y sepan calcular las medidas de  tendencia central y de posición. 

2.2 

Específicos.

·  Los  alumnos  deben  diferenciar  entre  las  tres  medidas  de  tendencia  central  (media,  mediana  y  moda),  aprender  a  calcularlas  estando  agrupadas o sin agrupar por intervalos.

·  Además,  deben  diferenciar  entre  las  tres  medidas  de  posición  (percentil,  decil  y  cuartil),  aprender  a  calcularlas  estando  agrupadas  por intervalos.

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­ 4 ­ 

3.  Desar r ollo de los distintos apar tados 

3.1 

Medidas de tendencia centr al 

3.1.1Media

·

  ¿Qué es la media? 

La media es una medida de tendencia central que se obtiene por la suma  de todas las puntuaciones de un grupo dividida por el número de ellas.

·

  ¿Cómo la calculamos? 

o  Tenemos datos agr upados por  inter valos:  La fórmula sería:  Donde:  Xi: es el punto medio de cada intervalo.  fi: es la frecuencia de cada intervalo.  r: es el número de intervalos.  n: es el número de casos.  o  Tenemos datos sin agr upar :  La fórmula sería:  Donde:  Xi: es cada puntuación.  n: es el número de casos.

 

Ejemplo:

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La  directora  de  la  biblioteca  de  un  centro  universitario  está 

interesada en conocer el número de libros que por término medio 

sacaron  en  préstamos  los  100  alumnos  de  una  promoción  a  lo 

largo de  sus años en  el centro. ¿Cuál será la media de  libros por 

alumno,  si  los  datos  correspondientes  al  grupo  son  los  recogidos 

en  la  distribución  de  frecuencias  para  datos  agrupados  por 

intervalos,  que  se  muestra  en  las  dos  primeras  columnas  de  la 

siguiente tabla?

  Número de libros  (Intervalos)  f1  Punto medio  X1  f1 X1  100 – 104  95 – 99  90 – 94  85 – 89  80 – 84  75 – 79  70 – 74  65 – 69  60 – 64  55 – 59  50 – 54  45 – 49  40 – 44  2  0  6  4  12 20 16 16  8  4  8  2  2  102  97 92 87 82 77 72 67 62 57 52 47 42  204 0 552  348  984  1540  1152  1072  496  228  416  94 84 

Σ 

f1 X1= 7170

 

Para  obtener  la  media,  hemos  dado  algunos  pasos  y  realizado 

ciertos  cálculos,  que  aparecen  integrados  junto  a  los  datos  de  la

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tabla.  Así,  hemos  incluido  una  columna  con  los  puntos  medio  de 

cada intervalo en la distribución. 

Igualmente,  hemos  destinado  una  columna  de  la  tabla  para 

recoger los productos de los puntos medio de cada intervalo por la 

correspondiente frecuencia interna registrada en éste. 

En  la  base  de  esta  columna  hemos  consignado  el  resultado  de 

sumar todos los productos. Llegados a este punto, el cálculo de la 

media se reduce a dividir la suma de los productos entre el número 

total de puntuaciones. 

Por  tanto,  la  media  de  libros  obtenidos  en  préstamo  por  los 

alumnos  a  lo  largo  de  sus  estudios  en  el  centro  ascendió  a  71.7 

libros.  Ello  nos  da  una  idea  del  valor  en  torno  al  que  se  sitúa  el 

conjunto global de los datos. 

En realidad, la media obtenida con datos agrupados en intervalos 

es una media ponderada de los puntos medio de los intervalos. El 

peso asignado a cada puntuación (cada punto medio) sería igual al 

número de observaciones dentro de dicho intervalo.

·

  Pr opiedades. 

­  La suma de  las desviaciones de todas las  puntuaciones respecto a  la  media es 0. 

­  La  suma  de  las  desviaciones  al  cuadrado  respecto  a  la  media  es  menor que respecto a otro valor cualquiera.

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­  La  media  es  sensible  a  la  variación  de  cualquiera  de  las  puntuaciones.  Basta  que  cambie  un  solo  valor  para  que  la  media  se  modifique. 

­  Si se multiplican por una constante las puntuaciones de un grupo, la  media quedará multiplicada por dicha constante. 

­  Si una variable X es combinación lineal de r variables X1, X2,… Xr,  su  media  se  obtiene  como  combinación  lineal  de  las  medias  de  dichas  variables. 

­ 

Dados  r  grupos  con  n1,  n2,…  nr casos  y  sus  respectivas  medias,  la  media global se obtiene ponderando dichas medias. 

­  Cuando  calculamos  la  media  para  datos  agrupados  en  intervalos  el  valor  resultante  depende  de  los  intervalos  elegidos  (de  su  amplitud,  su  número y de los límites fijados). 

­  La  media  puede  calcularse  cuando  las  variables  se  han  medido  en  una escala de intervalo o razón. 

3.1.2Mediana

·

  ¿Qué es la mediana? 

La  mediana  es  una  medida  de  tendencia  central,  es  el  valor  que  divide  en  dos  partes  iguales  a  un  conjunto  de  puntuaciones  ordenadas.  Es  la  puntuación que deja por encima y por debajo de sí el 50% de los casos.

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·

  ¿Cómo la calculamos? 

o  Tenemos datos agr upados por  inter valos:  La fórmula es: 

Donde: 

Li:  es  el  límite  inferior  del  intervalo  crítico  (que  contiene  a  la  mediana). 

I: es la amplitud de los intervalos. 

fi: es la frecuencia absoluta en el intervalo crítico.  n: es el número de casos. 

fa:  es  la  frecuencia  acumulada  en  el  intervalo  anterior  al  intervalo  crítico.  o  Tenemos datos sin agr upar :  ­  Si el número de datos que nos presentan es impar, la mediada será  el valor que queda justo en el centro. Ejemplo:  7, 5, 3, 7, 5, 4, 4, 6, 4  Los ordenamos de menor a mayor y buscamos el valor central:  3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 7  ­  Si el número de datos que nos presentan es par, la mediana será la  media aritmética de los valores centrales. Ejemplo:  2, 5, 3, 4, 3, 5 

Los ordenamos, buscamos  los  valores centrales y  hacemos  la  media  aritmética de ambos: 

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En  este  caso  la  mediana  no  corresponde  con  ningún  valor  del  conjunto de datos.

 

Ejemplo: 

A  partir  de  la  siguiente  distribución  de  frecuencias  para  datos 

agrupados  por  intervalos  (tabla  siguiente),  correspondiente  al 

número de errores ortográficos cometidos en un ejercicio de dictado 

por  los  104  alumnos  de  3º  de  Educación  Primaria  de  un  centro, 

calcular la mediana de los errores.

 

Errores  fi  fa  16 – 21  22 – 27  28 – 33  34 – 39  40 – 45  46 – 51  52 – 57  58 – 63  64 – 69  8  12 18 17 17 12  8  9  3  8  20 38 55 72 84 92 101  104

 

Para  obtener  la  mediana  de  esta  distribución,  comenzaremos  por 

determinar  cuál  es  el  intervalo  crítico,  es  decir,  aquél  en  el  que 

habrá  de  estar  contenida  la  mediana.  Puesto  que  la  mediana  deja 

por  debajo  de  sí  al  50%  de  las  puntuaciones,  que  en  este  caso 

resultan  ser  52,  habrá  de  estar  contenida  en  el  intervalo  34­39 

donde  la  frecuencia  acumulada  alcanza  y  supera  esta  cifra.  Este 

será el intervalo crítico.

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Teniendo en cuenta que el límite inferior crítico es 33.5 la amplitud 

de los intervalos es 6, la frecuencia en el intervalo crítico es 17, y la 

frecuencia acumulada en el intervalo anterior 38, podemos calcular 

la mediana aplicando la fórmula que se basa en el límite inferior del 

intervalo crítico: 

A  idéntico  resultado  habríamos  llegad  utilizando  la  fórmula  que  se 

basa  en  el  límite  superior  del  intervalo  crítico.  Teniendo  en  cuenta 

que  la  frecuencia  acumulada  en  los  intervalos  superiores  al 

intervalo crítico asciende a 49, el valor de la mediana será: 

Es  decir,  el  50%  de  los  alumnos  comenten  38  o  menos  errores 

ortográficos,  y  en  el  dictado  del  50%  restante  aparecen  39  o  más 

errores.

·

  Pr opiedades. 

­  Es  menos  sensible  que  la  media  a  variaciones  de  las  puntuaciones.  Puede que al modificar un valor la mediana no se altere. 

­  Para  datos  agrupados  por  intervalos,  el  valor  de  la  mediana  dependerá  de  la  amplitud  de  los  intervalos,  el  número  de  ellos  y  los  límites fijados. 

­  La mediana puede calcularse cuando se han medido las variables en  escala ordinal o superior.

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3.1.3Moda

·

  ¿Qué es la moda? 

La  moda  es  una  medida  de  tendencia  central  que  indica  cuál  es  la  puntuación,  categoría  o  modalidad  que  más  se  repite  en  el  conjunto  de  medidas. 

o  Ventajas: 

La moda puede calcularse con cualquier tipo de datos. 

o  Inconvenientes: 

La  moda  es  la  más  instable  de  las  medidas  de  tendencia  central,  ya  que puede variar mucho de una a otra muestra extraída de una misma  población. 

Podemos  encontrarnos  con  que  no  existe  una  única  moda,  a  lo  que  llamaríamos distribuciones bimodales o multimodales. 

o  A tener  en cuenta: 

­  Si  nos  encontramos  con  que  todas  las  puntuaciones  de  una  distribución  tienen  la  misma  frecuencia  consideraríamos  que  no  existe moda. Ejemplo:  Puntuaciones:  2, 2, 2, 5, 5, 5, 9, 9, 9

 

Como vemos todos los valores presentan una frecuencia de 3, por lo 

que consideramos que no existe moda.

  ­  Cuando en las puntuaciones de una distribución vemos que dos de  ellas tienen la misma frecuencia, y además es mayor que el resto de  las  frecuencias  de  las  demás  puntuaciones,  consideramos  que  la  moda es el promedio de estas dos puntuaciones adyacentes. Ejemplo: 

Puntuaciones: 1, 1, 4, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 9, 10

 

En este caso la moda sería el promedio de los valores 6 y 7 ya que se 

repiten con la misma frecuencia.

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­ 12 ­ 

­  Estaríamos  ante  una  distribución  bimodal  en  el  caso  de  encontrarnos  con  dos  puntuaciones  que  sin  ser  adyacentes  tienen  la  misma  frecuencia  y  además  es  mayor  que  la  de  otra  puntuación  cualquiera. Ejemplo: 

Puntuaciones: 1, 1, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 7

 

Nos  encontramos  con  que  tanto  el  valor  3  como  el  valor  6,  tienen 

una  frecuencia  de  4,  por  lo  que  ambos  valores  determinarán  la 

moda.

·

  ¿Cómo la calculamos? 

o  Tenemos datos agr upados por  inter valos: 

En este caso la  moda es el punto  medio del  intervalo que registra  la  mayor  frecuencia,  a  lo  que  llamamos  intervalo  modal.  También  disponemos  de  expresiones  de  cálculo  que  nos  permiten  calcular  la  moda.

 

d

1:  es  la  diferencia  entre  las  frecuencias  del  intervalo  modal  y  el  intervalo anterior.

 

d

2:  es  la  diferencia  entre  las  frecuencias  del  intervalo  modal  y  el  inmediato superior. 

Li: es el límite inferior del intervalo modal.  I: es la amplitud del intervalo modal.

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Ejemplo: 

A  partir  de  la  siguiente  distribución  de  frecuencias  para  datos  agrupados por intervalos, calcular la moda.  Intervalos  fi  16 – 21  22 – 27  28 – 33  34 – 39  40 – 45  46 – 51  52 – 57  58 – 63  64 ­ 69  8  12 18 17 17 12  8  9  3

 

Si  adoptamos  como  moda  el  punto  medio  del  intervalo  de  mayor 

frecuencia,  la  moda  será  el  valor  30,5,  ya  que  en  este  intervalo  se 

alcanza la mayor de las frecuencias (18). 

Si  empleamos  la  expresión  para  cálculo  de  la  moda  en 

distribuciones  de  frecuencias  con  datos  agrupados  por  intervalos, 

obtenemos que la diferencia de la frecuencia del intervalo modal con 

la  frecuencia  del  inmediatamente  anterior  es  d

=   18  –  6  =   6  y  la 

diferencia con la  frecuencia del intervalo posterior es d

=  18 – 17 

=  1,  a continuación podemos calcular la moda: 

o  Tenemos datos sin agr upar : 

­  En  primer  lugar  se  construye  la  distribución  de  frecuencias.  La  moda sería aquel valor con frecuencia máxima. Ejemplo:

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­ 14 ­ 

Puntuaciones: 1, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8

 

El  valor  4  tiene  una  frecuencia  de  3,  mayor  que  el  resto  de  las 

frecuencias, por lo que sería la moda.

 

­  Si  la  frecuencia  máxima  se  repite  en  dos  o  más  valores,  obtendríamos  varias  modas,  y  el  grupo  se  denominaría  bimodal  o  multimodal. Ejemplo: 

Puntuaciones: 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8

 

Como vemos, los valores 1, 5 y 6 tienen la frecuencia máxima de 2, 

por  tanto  estamos  ante  un  grupo  multimodal,  cuyas  modas  son  las 

puntuaciones 1, 5 y 7.

 

­  En  el  caso  de  que  dos  valores  adyacentes  alcanzaran  la  misma  frecuencia, la moda sería el promedio de ambos. Ejemplo: 

Puntuaciones: 1, 2, 3, 3, 4, 4, 5

 

La moda es la suma de los valores 3 y 4 dividida entre dos, ya que 

estos son adyacentes y la moda se considera el promedio de ambos.

·

  Pr opiedades de la moda: 

­  Es la  medida de tendencia central  más inestable, pudiendo  variar  mucho de una muestra a otra extraídas de la misma población. 

­  Para  datos  agrupados  por  intervalos,  el  valor  de  la  moda  dependerá de  la amplitud de  los  intervalos, el  número de ellos  y  los  límites fijados. 

­  Puede determinarse para variables medidas en cualquier escala. 

3.2 

Medidas de posición 

Además de conocer  los  valores de tendencia central para  una distribución,  puede  resultar  interesante  localizar  la  posición  de  determinadas  puntuaciones individuales en relación con el grupo. De esto se encargan las  medidas  de  posición;  informan  de  la  posición  de  determinadas

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puntuaciones  individuales  en  relación  con  el  grupo  del  que  forman  parte.  La  mediana,  además  de  indicar  una  tendencia  central,  puede  ser  considerada  una  medida  de  posición,  puesto  que  a  través  de  ella  podemos  saber que el individuo que logra una puntuación similar a ella se encuentra  justo  en  el  centro  de  la  distribución,  dejando  el  mismo  número  de  puntuaciones  por  encima  y  por  debajo.  Este  tipo  de  información  es  la  que  nos aportan los cuantiles. 

Si deseamos expresar la puntuación de un sujeto en relación con el grupo al  que  pertenece,  la  forma  más  sencilla  de  hacerlo  sería  ordenar  todas  las  puntuaciones  y  señalar  el  lugar  que  ocupa.  Pero  no  es  suficiente  decir  el  lugar  que  ocupa  un  determinado  sujeto,  es  preciso  conocer  también  el  número de sujetos que integran el grupo. 

Para  indicar  de  forma  clara  el  lugar  que  ocupa  un  sujeto  en  un  grupo  podemos  ordenar  de  mayor  a  menor  todos  los  componentes  del  grupo,  según  las  puntuaciones  obtenidas.  Llamaremos  cuantiles  a  los  puntos  o  valores de corte en la distribución que dejan por debajo de sí un porcentaje  determinado  de  casos  o  individuos,  y  por  encima  otro  porcentaje,  complementario  al  anterior.  Para  poder  calcular  los  cuantiles,  la  escala  ha  de  ser  al  menos  ordinal,  y  será  preciso  ordenar  previamente  los  datos  o  agruparlos de mayor a menor. 

Dependiendo  del  número  de  partes  en  que  se  divide  la  serie  de  puntuaciones, podremos hablar de percentiles, cuartiles o deciles. 

3.2.1Per centiles

·

  ¿Qué son los per centiles? 

Los  percentiles  son  los  99  valores  que  dividen  en  100  partes  iguales  a  una serie de puntuaciones ordenadas, de forma que el percentil Pm deja  por debajo de sí el  m  por ciento de  las puntuaciones del  grupo.  A cada

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­ 16 ­ 

una de estas cien partes en las que se dividen las puntuaciones también  las podemos llamar centil (Cm).

·

  ¿Cómo los calculamos? 

Si  los  datos  aparecen  agrupados  por  intervalos,  bastará  ordenarlos  y  determinar  cuántas  puntuaciones  representan  el  m  por  ciento  de  la  distribución.  Una  vez  determinada  esta  cantidad,  localizaremos  en  la  serie  ordenada  cuál  es  la  puntuación  que  deja  por  debajo  de  sí  a  ese  número de puntuaciones. 

En  el  caso  en  que  los  datos  aparecen  agrupados  por  intervalos,  emplearemos  la  siguiente  expresión,  que  nos  permitirá  calcular  un  percentil cualquiera: 

L1:  es  el  límite  inferior  del  intervalo  crítico  (intervalo  donde  estará  contenido el percentil). 

I: es la amplitud de los intervalos. 

fa: es la frecuencia acumulada del intervalo anterior al intervalo crítico.  n: es el número de casos. 

fi: es la frecuencia absoluta del intervalo crítico. 

La  expresión  m  ∙  n/100  representa  el  número  de  puntuaciones  que  quedarían  por  debajo  del  percentil  m  en  la  distribución  estudiada.  El  intervalo  crítico  es  precisamente  aquel  donde  la  frecuencia  acumulada  alcanza o supera ese número de puntuaciones.

 Ejemplo: 

Una  prueba  de  rendimiento  en  Estadística  ha  sido  calificada  con  una 

escala de 0 a 50. Si las puntuaciones obtenidas por los 204 alumnos de 

2º  de  Pedagogía  de  una  facultad  española  son  los  que  aparecen  en  la

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tabla 4, ¿cuál será el  percentil 80 de  esa distribución? ¿Qué percentil 

corresponde a un sujeto cuya puntuación es 35? 

Para  responder  al  primero  de  los  interrogantes,  comenzaremos  por 

determinar cuál es el  intervalo crítico, es decir, aquél  en  el  que habrá 

de estar contenido el percentil P80. Puesto que este percentil deja por 

debajo de sí al 80% de las puntuaciones, calcularemos previamente de 

cuántas puntuaciones se trata: 

que  en  este  caso  resultan  ser  163.2.  Lógicamente,  puesto  que  las 

puntuaciones  son  indivisibles,  para  dejar  163.2  puntuaciones  por 

debajo tendremos que tomar 164 puntuaciones. El percentil P80 habrá 

de  estar  contenido  en  el  intervalo  30  ­  33,  donde  la  frecuencia 

acumulada supera las 164 puntuaciones. Este será el intervalo crítico. 

Teniendo en cuenta que el límite inferior del intervalo crítico es 29.5, la 

amplitud  de  los intervalos es 4, la frecuencia en  el  intervalo crítico  es 

21, y la frecuencia acumulada en el intervalo anterior es 144, podemos 

aplicar la fórmula de cálculo:

(18)

­ 18 ­ 

Es  decir,  la  puntuación  33.16  deja  por  debajo  de  sí  el  80%  de  las 

puntuaciones y por encima el 20% restante. 

Veamos  ahora  el  segundo  de  los  interrogantes.  Se  trataría  de 

determinar el percentil que corresponde a la puntuación 35. Para ello, 

aplicaremos  de  nuevo  la  fórmula  anterior,  aunque  esta  vez  el  valor 

desconocido es m en lugar de P

m. 

El  intervalo  crítico  será  34  ­  37,  pues  de  hecho  es  en  este  intervalo 

donde  se  encuentra  el  percentil  con  el  que  trabajamos  (P

m

= 35). 

Sustituyendo todos los valores conocidos, podremos obtener el valor de 

m:

y despejando, tendremos m = 82.72. En consecuencia, podemos afirmar 

que la puntuación 35 corresponde a un percentil aproximado de 83. Es

  Calificaciones 

f

f

a  2 – 5  6 – 9  10 – 13  14 – 17  18 – 21  22 – 25  26 – 29  30 – 33  34 – 87  38 – 41  42 – 45  46 – 49  4  18 14 20 20 54 14 21 10 15 10  4  4  22 36 56 76  130  144  165  175  190  200  204

(19)

decir, ese sujeto posee una calificación superior al 83 % de la clase y 

que se ve superada sólo por el 17% de los sujetos  de la clase.

 

3.2.2Deciles

·

  ¿Qué son los deciles? 

Si  dividimos  una  serie  de  puntuaciones  en  diez  partes,  cada  una  de  las  puntuaciones  que  limitan  las  partes  se  denomina  decil  (Dm).  La  escala  de deciles va desde el D1 al D9. Definiremos un decil (Dm) como aquel  valor  numérico que deja por debajo de sí  m décimas partes del total de  puntuaciones.

·

  ¿Cómo los calculamos? 

Para calcularlos seguimos la siguiente expresión:  Donde:  Li: es el límite inferior del intervalo crítico (que contiene a Dm)  I: es la amplitud de los intervalos.  fi: es la frecuencia absoluta del intervalo crítico.  n: es el número de casos. 

fa:  es  la  frecuencia  acumulada  en  el  intervalo  anterior  al  intervalo  crítico.

 

Ejemplo: 

Tomando  como  referencia  la  distribución  de  la  tabla  usada  en  el 

ejemplo  de  los  percentiles,  determinar  la  puntuación  que  constituye  el 

tercer decil. 

Comenzaremos  determinando  el  intervalo  crítico,  es  decir,  aquél  que 

contiene  al  decil  tercero.  Esta  puntuación  dejará  por  debajo  de  sí  a  3

(20)

­ 20 ­ 

décimas  partes  de  la  distribución.  Podremos  saber  de  cuántas 

puntuaciones se trata mediante el siguiente cálculo: 

Este  número  de  puntuaciones  queda  alcanzado  en  el  intervalo  18­21, 

que será el intervalo crítico. Además, sabemos que dentro del intervalo 

crítico  hay  un  total  de  20  puntuaciones  y  que  el  intervalo 

inmediatamente inferior acumula 56 puntuaciones. De esta forma: 

Por  tanto,  la  puntuación18.54  deja  por  debajo  de  sí  3  décimas  de  la 

distribución, o lo que es igual, un 30% de las puntuaciones.

 

3.2.3Cuar tiles

·

  ¿Qué son los cuar tiles? 

Los cuarteles son los 3 valores que dividen en cuatro partes a una serie  de  puntuaciones  ordenadas,  de  manera  que  el  cuartel  Qm  deja  por  debajo de sí m cuartas partes del total de puntuaciones del grupo.

·

  ¿Cómo los calculamos? 

La siguiente expresión nos permitirá calcular dichos cuarteles:

 

Ejemplo: 

Tomando de nuevo la distribución del ejemplo anterior vamos 

a calcular la calificaci6n obtenida por un alumno que se sitúa 

en el tercer cuartil.

(21)

En  primer  lugar,  identificaremos  el  intervalo  crítico.  Para 

ello, calcularemos el número de puntuaciones que constituyen 

las tres cuartas partes de la distribución: 

La puntuación  que  deja por debajo a un total de  153 puntuaciones ha 

de  hallarse  necesariamente  en  el  intervalo  30  ­  33,  pues  en  éste  se 

llegan  a  acumular  165  puntuaciones,  mientras  que  en  el 

inmediatamente anterior sólo se acumulaban 144. El límite inferior real 

del  intervalo  crítico  es  29.5,  y  la  frecuencia  en  su  interior  asciende  a 

21. Aplicando la fórmula para el cálculo: 

La puntuación 31.21 constituye el tercer cuartil para la distribución, es 

decir, tres cuartas partes de las puntuaciones, o lo que es igual el 75%, 

quedan por debajo de ella.

 

4.  Actividades o pr oblemas

 

1.  En una prueba de madurez lectora los alumnos de primero de Primaria 

han obtenido las siguientes puntuaciones: 

18, 17, 7, 12, 15, 6, 7, 10, 9, 4, 2, 7, 20, 9, 10, 13, 11, 2, 16, 8, 3, 9, 4, 2, 

19, 14, 15, 9, 8, 11, 10, 13, 10, 4, 10, 3. 

a) Calcula la moda y la mediana. 

b) Calcula la media a partir de los datos directos.

(22)

­ 22 ­ 

c)  Calcula  la  media  y  la  mediana  a  partir  del  agrupamiento  de  las 

puntuaciones en torno a 10 intervalos de amplitud 2, comenzando en el 

intervalo 2­3 y finalizando en el 20­21. 

d) Q

3

e) P

25 

y P

90

f) D

5

2.  Calcula la media aritmética, mediana y moda en cada uno de los casos 

siguientes: 

a) 2, 8, 3, 5, 4, 7, 9. 

b) 2, 3, 2, 4, 5, 8, 6, 2. 

c) 100, 200, 200, 100, 300, 100, 200. 

d) 984, 894, 498, 849, 948, 894. 

3.  Las  puntuaciones  obtenidas  en  un  test  de  inteligencia,  supuestamente 

bien  construido, por 25 alumnos de 6º  A  de  un determinado Centro de 

Educación Primaria son las siguientes:

  Intervalos  F  Fa  91­95  96­100  101­105  106­110  2  4  15  4

 

Calcula  media,  mediana  y  moda.  ¿Cuál  es  la  medida  de  tendencia 

central más adecuada?

(23)

5.  Soluciones a los pr oblemas pr opuestos. 

1.  a) Moda = 10; Mediana = 9.50  b) 9.64  c) Media = 9.67; Mediana = 9.50  d) Q3 = 12.83  e) P25 = 6; P90 = 16.90  f) D5 = 9.50  2.  a) Media = 5.43; Mediana = 5; Moda no existe.  b) Media = 4; Mediana = 3.5; Moda = 2.  c) Media = 171.43; Mediana = 200; Moda = 100 y 200.  d) Media = 844.5; Mediana = 894; Moda = 894.  3.  Media = 102.2, Mediana = 102.67; Moda = 103. Las tres son similares. 

6.  Bibliogr afía 

Pérez  Santamaría,  F.  J.;  Manzano  Arrondo,  V.  y  Fazeli  Khalili,  H.  (1998):

  Problemas  resueltos  de  análisis  de  datos

.  Ediciones  Pirámide, Madrid,  pp. 45 – 66. 

Gil  Flores,  J.;  Rodríguez  Gómez,  G.  y  García  Jiménez,  E.  (1995):

 

Estadística  básica  aplicada  a  las  Ciencias  de  la  Educación.

 

Editorial Kronos, Sevilla, pp. 55 – 75. 

Gil  Flores,  J.;  Diego  Martín,  J.  L.;  García  Jiménez,  E.  y  Rodríguez  Gómez, G.:

 Problemas de estadística aplicada a las Ciencias de la 

Educación.

 Editorial Kronos, Sevilla, pp. 71 – 72. 

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Referencias

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