TEMA 2
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y
DE POSICIÓN
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ÍNDICE
1. Intr oducción………3
2. Objetivos………..3
2.1 Gener ales………..3
2.2 Específicos……….3
3. Desar r ollo de los distintos apar tados………4
3.1 Medidas de tendencia centr al……….4
3.1.1Media………...4
3.1.2Mediana………...7
3.1.3Moda………...11
3.2 Medidas de posición………14
3.2.1Per centiles………..15
3.2.2Deciles……….19
3.2.3Cuar tiles……….20
4. Actividades o pr oblemas………...21
5. Soluciones a los pr oblemas pr opuestos…………23
6. Bibliogr afía……….23
1. Intr oducción:
En este trabajo veremos que podemos contar con una serie de valores o índices capaces de describir el conjunto de una forma simple y exacta, concentrando la información en valores numéricos.
Trabajaremos las medidas de tendencia central, que son aquellas que nos indican los valores medios del conjunto de las puntuaciones, permitiéndonos describir brevemente las características de un grupo y compararlas con las de otros grupos diferentes. Las medidas de tendencia central de las que aquí nos ocuparemos son la media, la mediana y la moda. También trabajaremos el estudio de las medidas de posición de un individuo en relación al conjunto de puntuaciones del grupo. Esta información queda recogida con los percentiles, deciles y cuartiles.
2. Objetivos.
2.1
Gener ales.
· Conseguir que los alumnos conozcan y sepan calcular las medidas de tendencia central y de posición.2.2
Específicos.
· Los alumnos deben diferenciar entre las tres medidas de tendencia central (media, mediana y moda), aprender a calcularlas estando agrupadas o sin agrupar por intervalos.
· Además, deben diferenciar entre las tres medidas de posición (percentil, decil y cuartil), aprender a calcularlas estando agrupadas por intervalos.
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3. Desar r ollo de los distintos apar tados
3.1
Medidas de tendencia centr al
3.1.1Media
·
¿Qué es la media?
La media es una medida de tendencia central que se obtiene por la suma de todas las puntuaciones de un grupo dividida por el número de ellas.·
¿Cómo la calculamos?
o Tenemos datos agr upados por inter valos: La fórmula sería: Donde: Xi: es el punto medio de cada intervalo. fi: es la frecuencia de cada intervalo. r: es el número de intervalos. n: es el número de casos. o Tenemos datos sin agr upar : La fórmula sería: Donde: Xi: es cada puntuación. n: es el número de casos.
Ejemplo:
La directora de la biblioteca de un centro universitario está
interesada en conocer el número de libros que por término medio
sacaron en préstamos los 100 alumnos de una promoción a lo
largo de sus años en el centro. ¿Cuál será la media de libros por
alumno, si los datos correspondientes al grupo son los recogidos
en la distribución de frecuencias para datos agrupados por
intervalos, que se muestra en las dos primeras columnas de la
siguiente tabla?
Número de libros (Intervalos) f1 Punto medio X1 f1 X1 100 – 104 95 – 99 90 – 94 85 – 89 80 – 84 75 – 79 70 – 74 65 – 69 60 – 64 55 – 59 50 – 54 45 – 49 40 – 44 2 0 6 4 12 20 16 16 8 4 8 2 2 102 97 92 87 82 77 72 67 62 57 52 47 42 204 0 552 348 984 1540 1152 1072 496 228 416 94 84Σ
f1 X1= 7170Para obtener la media, hemos dado algunos pasos y realizado
ciertos cálculos, que aparecen integrados junto a los datos de la
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tabla. Así, hemos incluido una columna con los puntos medio de
cada intervalo en la distribución.
Igualmente, hemos destinado una columna de la tabla para
recoger los productos de los puntos medio de cada intervalo por la
correspondiente frecuencia interna registrada en éste.
En la base de esta columna hemos consignado el resultado de
sumar todos los productos. Llegados a este punto, el cálculo de la
media se reduce a dividir la suma de los productos entre el número
total de puntuaciones.
Por tanto, la media de libros obtenidos en préstamo por los
alumnos a lo largo de sus estudios en el centro ascendió a 71.7
libros. Ello nos da una idea del valor en torno al que se sitúa el
conjunto global de los datos.
En realidad, la media obtenida con datos agrupados en intervalos
es una media ponderada de los puntos medio de los intervalos. El
peso asignado a cada puntuación (cada punto medio) sería igual al
número de observaciones dentro de dicho intervalo.
·
Pr opiedades.
La suma de las desviaciones de todas las puntuaciones respecto a la media es 0.
La suma de las desviaciones al cuadrado respecto a la media es menor que respecto a otro valor cualquiera.
La media es sensible a la variación de cualquiera de las puntuaciones. Basta que cambie un solo valor para que la media se modifique.
Si se multiplican por una constante las puntuaciones de un grupo, la media quedará multiplicada por dicha constante.
Si una variable X es combinación lineal de r variables X1, X2,… Xr, su media se obtiene como combinación lineal de las medias de dichas variables.
Dados r grupos con n1, n2,… nr casos y sus respectivas medias, la media global se obtiene ponderando dichas medias. Cuando calculamos la media para datos agrupados en intervalos el valor resultante depende de los intervalos elegidos (de su amplitud, su número y de los límites fijados).
La media puede calcularse cuando las variables se han medido en una escala de intervalo o razón.
3.1.2Mediana
·
¿Qué es la mediana?
La mediana es una medida de tendencia central, es el valor que divide en dos partes iguales a un conjunto de puntuaciones ordenadas. Es la puntuación que deja por encima y por debajo de sí el 50% de los casos.
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·
¿Cómo la calculamos?
o Tenemos datos agr upados por inter valos: La fórmula es:
Donde:
Li: es el límite inferior del intervalo crítico (que contiene a la mediana).
I: es la amplitud de los intervalos.
fi: es la frecuencia absoluta en el intervalo crítico. n: es el número de casos.
fa: es la frecuencia acumulada en el intervalo anterior al intervalo crítico. o Tenemos datos sin agr upar : Si el número de datos que nos presentan es impar, la mediada será el valor que queda justo en el centro. Ejemplo: 7, 5, 3, 7, 5, 4, 4, 6, 4 Los ordenamos de menor a mayor y buscamos el valor central: 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 7 Si el número de datos que nos presentan es par, la mediana será la media aritmética de los valores centrales. Ejemplo: 2, 5, 3, 4, 3, 5
Los ordenamos, buscamos los valores centrales y hacemos la media aritmética de ambos:
En este caso la mediana no corresponde con ningún valor del conjunto de datos.
Ejemplo:
A partir de la siguiente distribución de frecuencias para datos
agrupados por intervalos (tabla siguiente), correspondiente al
número de errores ortográficos cometidos en un ejercicio de dictado
por los 104 alumnos de 3º de Educación Primaria de un centro,
calcular la mediana de los errores.
Errores fi fa 16 – 21 22 – 27 28 – 33 34 – 39 40 – 45 46 – 51 52 – 57 58 – 63 64 – 69 8 12 18 17 17 12 8 9 3 8 20 38 55 72 84 92 101 104
Para obtener la mediana de esta distribución, comenzaremos por
determinar cuál es el intervalo crítico, es decir, aquél en el que
habrá de estar contenida la mediana. Puesto que la mediana deja
por debajo de sí al 50% de las puntuaciones, que en este caso
resultan ser 52, habrá de estar contenida en el intervalo 3439
donde la frecuencia acumulada alcanza y supera esta cifra. Este
será el intervalo crítico.
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Teniendo en cuenta que el límite inferior crítico es 33.5 la amplitud
de los intervalos es 6, la frecuencia en el intervalo crítico es 17, y la
frecuencia acumulada en el intervalo anterior 38, podemos calcular
la mediana aplicando la fórmula que se basa en el límite inferior del
intervalo crítico:
A idéntico resultado habríamos llegad utilizando la fórmula que se
basa en el límite superior del intervalo crítico. Teniendo en cuenta
que la frecuencia acumulada en los intervalos superiores al
intervalo crítico asciende a 49, el valor de la mediana será:
Es decir, el 50% de los alumnos comenten 38 o menos errores
ortográficos, y en el dictado del 50% restante aparecen 39 o más
errores.
·
Pr opiedades.
Es menos sensible que la media a variaciones de las puntuaciones. Puede que al modificar un valor la mediana no se altere.
Para datos agrupados por intervalos, el valor de la mediana dependerá de la amplitud de los intervalos, el número de ellos y los límites fijados.
La mediana puede calcularse cuando se han medido las variables en escala ordinal o superior.
3.1.3Moda
·
¿Qué es la moda?
La moda es una medida de tendencia central que indica cuál es la puntuación, categoría o modalidad que más se repite en el conjunto de medidas.
o Ventajas:
La moda puede calcularse con cualquier tipo de datos.
o Inconvenientes:
La moda es la más instable de las medidas de tendencia central, ya que puede variar mucho de una a otra muestra extraída de una misma población.
Podemos encontrarnos con que no existe una única moda, a lo que llamaríamos distribuciones bimodales o multimodales.
o A tener en cuenta:
Si nos encontramos con que todas las puntuaciones de una distribución tienen la misma frecuencia consideraríamos que no existe moda. Ejemplo: Puntuaciones: 2, 2, 2, 5, 5, 5, 9, 9, 9
Como vemos todos los valores presentan una frecuencia de 3, por lo
que consideramos que no existe moda.
Cuando en las puntuaciones de una distribución vemos que dos de ellas tienen la misma frecuencia, y además es mayor que el resto de las frecuencias de las demás puntuaciones, consideramos que la moda es el promedio de estas dos puntuaciones adyacentes. Ejemplo:Puntuaciones: 1, 1, 4, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 9, 10
En este caso la moda sería el promedio de los valores 6 y 7 ya que se
repiten con la misma frecuencia.
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Estaríamos ante una distribución bimodal en el caso de encontrarnos con dos puntuaciones que sin ser adyacentes tienen la misma frecuencia y además es mayor que la de otra puntuación cualquiera. Ejemplo:
Puntuaciones: 1, 1, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 7
Nos encontramos con que tanto el valor 3 como el valor 6, tienen
una frecuencia de 4, por lo que ambos valores determinarán la
moda.
·
¿Cómo la calculamos?
o Tenemos datos agr upados por inter valos:
En este caso la moda es el punto medio del intervalo que registra la mayor frecuencia, a lo que llamamos intervalo modal. También disponemos de expresiones de cálculo que nos permiten calcular la moda.
d
1: es la diferencia entre las frecuencias del intervalo modal y el intervalo anterior.d
2: es la diferencia entre las frecuencias del intervalo modal y el inmediato superior.Li: es el límite inferior del intervalo modal. I: es la amplitud del intervalo modal.
Ejemplo:
A partir de la siguiente distribución de frecuencias para datos agrupados por intervalos, calcular la moda. Intervalos fi 16 – 21 22 – 27 28 – 33 34 – 39 40 – 45 46 – 51 52 – 57 58 – 63 64 69 8 12 18 17 17 12 8 9 3
Si adoptamos como moda el punto medio del intervalo de mayor
frecuencia, la moda será el valor 30,5, ya que en este intervalo se
alcanza la mayor de las frecuencias (18).
Si empleamos la expresión para cálculo de la moda en
distribuciones de frecuencias con datos agrupados por intervalos,
obtenemos que la diferencia de la frecuencia del intervalo modal con
la frecuencia del inmediatamente anterior es d
1= 18 – 6 = 6 y la
diferencia con la frecuencia del intervalo posterior es d
2= 18 – 17
= 1, a continuación podemos calcular la moda:
o Tenemos datos sin agr upar :
En primer lugar se construye la distribución de frecuencias. La moda sería aquel valor con frecuencia máxima. Ejemplo:
14
Puntuaciones: 1, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8
El valor 4 tiene una frecuencia de 3, mayor que el resto de las
frecuencias, por lo que sería la moda.
Si la frecuencia máxima se repite en dos o más valores, obtendríamos varias modas, y el grupo se denominaría bimodal o multimodal. Ejemplo:
Puntuaciones: 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8
Como vemos, los valores 1, 5 y 6 tienen la frecuencia máxima de 2,
por tanto estamos ante un grupo multimodal, cuyas modas son las
puntuaciones 1, 5 y 7.
En el caso de que dos valores adyacentes alcanzaran la misma frecuencia, la moda sería el promedio de ambos. Ejemplo:
Puntuaciones: 1, 2, 3, 3, 4, 4, 5
La moda es la suma de los valores 3 y 4 dividida entre dos, ya que
estos son adyacentes y la moda se considera el promedio de ambos.
·
Pr opiedades de la moda:
Es la medida de tendencia central más inestable, pudiendo variar mucho de una muestra a otra extraídas de la misma población.
Para datos agrupados por intervalos, el valor de la moda dependerá de la amplitud de los intervalos, el número de ellos y los límites fijados.
Puede determinarse para variables medidas en cualquier escala.
3.2
Medidas de posición
Además de conocer los valores de tendencia central para una distribución, puede resultar interesante localizar la posición de determinadas puntuaciones individuales en relación con el grupo. De esto se encargan las medidas de posición; informan de la posición de determinadas
puntuaciones individuales en relación con el grupo del que forman parte. La mediana, además de indicar una tendencia central, puede ser considerada una medida de posición, puesto que a través de ella podemos saber que el individuo que logra una puntuación similar a ella se encuentra justo en el centro de la distribución, dejando el mismo número de puntuaciones por encima y por debajo. Este tipo de información es la que nos aportan los cuantiles.
Si deseamos expresar la puntuación de un sujeto en relación con el grupo al que pertenece, la forma más sencilla de hacerlo sería ordenar todas las puntuaciones y señalar el lugar que ocupa. Pero no es suficiente decir el lugar que ocupa un determinado sujeto, es preciso conocer también el número de sujetos que integran el grupo.
Para indicar de forma clara el lugar que ocupa un sujeto en un grupo podemos ordenar de mayor a menor todos los componentes del grupo, según las puntuaciones obtenidas. Llamaremos cuantiles a los puntos o valores de corte en la distribución que dejan por debajo de sí un porcentaje determinado de casos o individuos, y por encima otro porcentaje, complementario al anterior. Para poder calcular los cuantiles, la escala ha de ser al menos ordinal, y será preciso ordenar previamente los datos o agruparlos de mayor a menor.
Dependiendo del número de partes en que se divide la serie de puntuaciones, podremos hablar de percentiles, cuartiles o deciles.
3.2.1Per centiles
·
¿Qué son los per centiles?
Los percentiles son los 99 valores que dividen en 100 partes iguales a una serie de puntuaciones ordenadas, de forma que el percentil Pm deja por debajo de sí el m por ciento de las puntuaciones del grupo. A cada
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una de estas cien partes en las que se dividen las puntuaciones también las podemos llamar centil (Cm).
·
¿Cómo los calculamos?
Si los datos aparecen agrupados por intervalos, bastará ordenarlos y determinar cuántas puntuaciones representan el m por ciento de la distribución. Una vez determinada esta cantidad, localizaremos en la serie ordenada cuál es la puntuación que deja por debajo de sí a ese número de puntuaciones.
En el caso en que los datos aparecen agrupados por intervalos, emplearemos la siguiente expresión, que nos permitirá calcular un percentil cualquiera:
L1: es el límite inferior del intervalo crítico (intervalo donde estará contenido el percentil).
I: es la amplitud de los intervalos.
fa: es la frecuencia acumulada del intervalo anterior al intervalo crítico. n: es el número de casos.
fi: es la frecuencia absoluta del intervalo crítico.
La expresión m ∙ n/100 representa el número de puntuaciones que quedarían por debajo del percentil m en la distribución estudiada. El intervalo crítico es precisamente aquel donde la frecuencia acumulada alcanza o supera ese número de puntuaciones.
Ejemplo:
Una prueba de rendimiento en Estadística ha sido calificada con una
escala de 0 a 50. Si las puntuaciones obtenidas por los 204 alumnos de
2º de Pedagogía de una facultad española son los que aparecen en la
tabla 4, ¿cuál será el percentil 80 de esa distribución? ¿Qué percentil
corresponde a un sujeto cuya puntuación es 35?
Para responder al primero de los interrogantes, comenzaremos por
determinar cuál es el intervalo crítico, es decir, aquél en el que habrá
de estar contenido el percentil P80. Puesto que este percentil deja por
debajo de sí al 80% de las puntuaciones, calcularemos previamente de
cuántas puntuaciones se trata:
que en este caso resultan ser 163.2. Lógicamente, puesto que las
puntuaciones son indivisibles, para dejar 163.2 puntuaciones por
debajo tendremos que tomar 164 puntuaciones. El percentil P80 habrá
de estar contenido en el intervalo 30 33, donde la frecuencia
acumulada supera las 164 puntuaciones. Este será el intervalo crítico.
Teniendo en cuenta que el límite inferior del intervalo crítico es 29.5, la
amplitud de los intervalos es 4, la frecuencia en el intervalo crítico es
21, y la frecuencia acumulada en el intervalo anterior es 144, podemos
aplicar la fórmula de cálculo:
18
Es decir, la puntuación 33.16 deja por debajo de sí el 80% de las
puntuaciones y por encima el 20% restante.
Veamos ahora el segundo de los interrogantes. Se trataría de
determinar el percentil que corresponde a la puntuación 35. Para ello,
aplicaremos de nuevo la fórmula anterior, aunque esta vez el valor
desconocido es m en lugar de P
m.El intervalo crítico será 34 37, pues de hecho es en este intervalo
donde se encuentra el percentil con el que trabajamos (P
m= 35).
Sustituyendo todos los valores conocidos, podremos obtener el valor de
m:
y despejando, tendremos m = 82.72. En consecuencia, podemos afirmar
que la puntuación 35 corresponde a un percentil aproximado de 83. Es
Calificacionesf
1f
a 2 – 5 6 – 9 10 – 13 14 – 17 18 – 21 22 – 25 26 – 29 30 – 33 34 – 87 38 – 41 42 – 45 46 – 49 4 18 14 20 20 54 14 21 10 15 10 4 4 22 36 56 76 130 144 165 175 190 200 204decir, ese sujeto posee una calificación superior al 83 % de la clase y
que se ve superada sólo por el 17% de los sujetos de la clase.
3.2.2Deciles
·
¿Qué son los deciles?
Si dividimos una serie de puntuaciones en diez partes, cada una de las puntuaciones que limitan las partes se denomina decil (Dm). La escala de deciles va desde el D1 al D9. Definiremos un decil (Dm) como aquel valor numérico que deja por debajo de sí m décimas partes del total de puntuaciones.
·
¿Cómo los calculamos?
Para calcularlos seguimos la siguiente expresión: Donde: Li: es el límite inferior del intervalo crítico (que contiene a Dm) I: es la amplitud de los intervalos. fi: es la frecuencia absoluta del intervalo crítico. n: es el número de casos.fa: es la frecuencia acumulada en el intervalo anterior al intervalo crítico.
Ejemplo:
Tomando como referencia la distribución de la tabla usada en el
ejemplo de los percentiles, determinar la puntuación que constituye el
tercer decil.
Comenzaremos determinando el intervalo crítico, es decir, aquél que
contiene al decil tercero. Esta puntuación dejará por debajo de sí a 3
20
décimas partes de la distribución. Podremos saber de cuántas
puntuaciones se trata mediante el siguiente cálculo:
Este número de puntuaciones queda alcanzado en el intervalo 1821,
que será el intervalo crítico. Además, sabemos que dentro del intervalo
crítico hay un total de 20 puntuaciones y que el intervalo
inmediatamente inferior acumula 56 puntuaciones. De esta forma:
Por tanto, la puntuación18.54 deja por debajo de sí 3 décimas de la
distribución, o lo que es igual, un 30% de las puntuaciones.
3.2.3Cuar tiles
·
¿Qué son los cuar tiles?
Los cuarteles son los 3 valores que dividen en cuatro partes a una serie de puntuaciones ordenadas, de manera que el cuartel Qm deja por debajo de sí m cuartas partes del total de puntuaciones del grupo.
·
¿Cómo los calculamos?
La siguiente expresión nos permitirá calcular dichos cuarteles:Ejemplo:
Tomando de nuevo la distribución del ejemplo anterior vamos
a calcular la calificaci6n obtenida por un alumno que se sitúa
en el tercer cuartil.
En primer lugar, identificaremos el intervalo crítico. Para
ello, calcularemos el número de puntuaciones que constituyen
las tres cuartas partes de la distribución:
La puntuación que deja por debajo a un total de 153 puntuaciones ha
de hallarse necesariamente en el intervalo 30 33, pues en éste se
llegan a acumular 165 puntuaciones, mientras que en el
inmediatamente anterior sólo se acumulaban 144. El límite inferior real
del intervalo crítico es 29.5, y la frecuencia en su interior asciende a
21. Aplicando la fórmula para el cálculo:
La puntuación 31.21 constituye el tercer cuartil para la distribución, es
decir, tres cuartas partes de las puntuaciones, o lo que es igual el 75%,
quedan por debajo de ella.
4. Actividades o pr oblemas
1. En una prueba de madurez lectora los alumnos de primero de Primaria
han obtenido las siguientes puntuaciones:
18, 17, 7, 12, 15, 6, 7, 10, 9, 4, 2, 7, 20, 9, 10, 13, 11, 2, 16, 8, 3, 9, 4, 2,
19, 14, 15, 9, 8, 11, 10, 13, 10, 4, 10, 3.
a) Calcula la moda y la mediana.
b) Calcula la media a partir de los datos directos.
22
c) Calcula la media y la mediana a partir del agrupamiento de las
puntuaciones en torno a 10 intervalos de amplitud 2, comenzando en el
intervalo 23 y finalizando en el 2021.
d) Q
3.
e) P
25y P
90.
f) D
5.
2. Calcula la media aritmética, mediana y moda en cada uno de los casos
siguientes:
a) 2, 8, 3, 5, 4, 7, 9.
b) 2, 3, 2, 4, 5, 8, 6, 2.
c) 100, 200, 200, 100, 300, 100, 200.
d) 984, 894, 498, 849, 948, 894.
3. Las puntuaciones obtenidas en un test de inteligencia, supuestamente
bien construido, por 25 alumnos de 6º A de un determinado Centro de
Educación Primaria son las siguientes:
Intervalos F Fa 9195 96100 101105 106110 2 4 15 4Calcula media, mediana y moda. ¿Cuál es la medida de tendencia
central más adecuada?
5. Soluciones a los pr oblemas pr opuestos.
1. a) Moda = 10; Mediana = 9.50 b) 9.64 c) Media = 9.67; Mediana = 9.50 d) Q3 = 12.83 e) P25 = 6; P90 = 16.90 f) D5 = 9.50 2. a) Media = 5.43; Mediana = 5; Moda no existe. b) Media = 4; Mediana = 3.5; Moda = 2. c) Media = 171.43; Mediana = 200; Moda = 100 y 200. d) Media = 844.5; Mediana = 894; Moda = 894. 3. Media = 102.2, Mediana = 102.67; Moda = 103. Las tres son similares.6. Bibliogr afía
Pérez Santamaría, F. J.; Manzano Arrondo, V. y Fazeli Khalili, H. (1998):
Problemas resueltos de análisis de datos
. Ediciones Pirámide, Madrid, pp. 45 – 66.Gil Flores, J.; Rodríguez Gómez, G. y García Jiménez, E. (1995):
Estadística básica aplicada a las Ciencias de la Educación.
Editorial Kronos, Sevilla, pp. 55 – 75.
Gil Flores, J.; Diego Martín, J. L.; García Jiménez, E. y Rodríguez Gómez, G.:
