CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

Propósitos de la unidad: Reforzar y extender el conocimiento de la derivada a través del estudio de la variación de las funciones trigonométricas, logarítmicas y exponenciales para cubrir situaciones que se modelan con funciones trascendentes. Retomar las relaciones entre las gráficas de una función y su derivada.

Las Funciones Trigonométricas

Para iniciar el estudio de la variación y la rapidez de cambio de las funciones trigonométricas te proponemos dos actividades, la primera es para que conozcas un problema que se resuelven con este tipo de funciones y la segunda para que obtengas la derivada de una de dichas funciones. Realiza las actividades que se te indican y contesta las preguntas formuladas.

Actividad 1

Propósito: Plantear un problema que de lugar a una función trigonométrica y su rapidez de cambio.

Si la parte superior de una escalera de 10 metros de largo, apoyada en una pared está resbalando. ¿Cuál es la rapidez de cambio de la distancia entre el punto de apoyo de la escalera y el piso cuando el ángulo que forma la escalera con el piso es igual a 300_?

Si hacemos un dibujo, tenemos:

1. Indica en el dibujo los datos del problema, es decir, el ángulo agudo (que denotaremos por 𝜃), la longitud de la escalera, la distancia entre el punto de apoyo de la escalera y el piso (de la cual queremos conocer su razón de cambio respecto a 𝜃) que denotaremos con la letra 𝑦.

2. Te piden determinar la rapidez de cambio de 𝑦 con respecto al cambio de θ ¿cómo expresas lo anterior?__________________________

3. Dado que nos interesa conocer cómo varía 𝑦 cuando la escalera resbala, con la información que tienes, escribe la razón trigonométrica que relaciona 𝑦 con el ángulo θ, _______________

4. La medida del ángulo está dada en grados, pero como la vamos a relacionar con la distancia, es necesario utilizar la medida en radianes. Escribe la equivalencia de 300 _{en radianes. ______________}

Al relacionar el ángulo que forma la escalera con el piso has encontrado la relación entre las dos variables del problema, es decir la relación entre y (longitud del punto de apoyo de la escalera con el piso) y θ, que en notación funcional simbolizaremos por 𝑦=𝑓(𝜃). Al despejar 𝑦, tienes que:

Escalera

Pared

Punto de apoyo

𝑦=𝑓 𝜃 =10𝑠𝑒𝑛(𝜃) (0<𝜃<! !) Nos interesa la rapidez de cambio de 𝑦, cuando 𝜃=𝜋/6, es decir: 𝑓´ !

! .

Por lo tanto, para resolver el problema anterior es necesario conocer la derivada de la función 𝑓 𝜃 =𝑠𝑒𝑛𝜃.

Paraello te proponemos la actividad siguiente:

Actividad 2.

Propósitos: Encontrar la relación entre la gráfica de la función seno y su derivada y proponer una expresión para la función que es derivada de la función seno.

A. Para conocer las características de la derivada de 𝑓(𝑥)=𝑠𝑒𝑛𝑥, hagamos un análisis gráfico de la función seno y de sus rectas tangentes, para ello:

1. Traza la gráfica de la función 𝑓(𝑥)=𝑠𝑒𝑛𝑥, en el intervalo [0,2π].

2. La gráfica de 𝑓(𝑥)=𝑠𝑒𝑛𝑥 ¿tiene máximos y mínimos en el intervalo [0,2π]? En caso afirmativo da las abscisas de los puntos._____________________________

3. ¿Cuánto vale la pendiente 𝑚 de las rectas tangentes a la gráfica de la función en los puntos mencionados en el inciso anterior?, 𝑚 =________ En la gráfica de la figura 1, traza las rectas tangentes. 4. En la figura 2 (a), repite la gráfica de 𝑠𝑒𝑛𝑥, y tomando en cuenta los valores de las pendientes anteriores (es decir los valores de la derivada) ubica en la figura 2(b) los puntos correspondientes en el intervalo [0,2π ]; recuerda que la gráfica de la función en este plano es 𝑓’(𝑥) por lo que ésta es el nuevo eje de las ordenadas.

f(x) x π/2 π 3π/2 2π 1 –1 Figura 1

5. ¡Acabas de determinar dos puntos en la gráfica de la función derivada! ¿Cuáles son las coordenadas de esos puntos? _______________ ¿Cómo podrías determinar otros puntos? ______________________ Veamos:

6. ¿En qué intervalos la función 𝑓(𝑥) es creciente? ____________________________

7. ¿Es positiva o negativa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función 𝑓(𝑥) en esos intervalos? ______________.

8. Analizando la gráfica de la función en el intervalo [0,π/2), en la figura 2 (a) bosqueja el trazo de 2 ó 3 rectas tangentes, partiendo del origen. Cuando 𝑥 aumenta, ¿cómo cambian los valores de las pendientes de las rectas tangentes correspondientes? __________________________________

x f(x) π/2 π 3π/2 _2π 1 –1 x Figura 2 (a) (b) f´(x) π/2 π _{3π/2 2π} 1 –1

9. En la figura 2 (b), coloca, de manera aproximada, los valores de las pendientes de las rectas tangentes que trazaste anteriormente.

10. ¿En qué intervalos la gráfica de la función es decreciente? ___________________

11. ¿Cómo es la pendiente de la recta tangente de la gráfica de 𝑓(𝑥) en esos intervalos?______________ 12. Analizando la gráfica de la función en el intervalo (π/2,π), en la figura 2 (a) bosqueja el trazo de 2 ó 3

rectas tangentes. Cuando 𝑥 aumenta, ¿cómo cambian los valores de las pendientes de las rectas tangentes correspondientes? ________

13. En la figura 2 (b), coloca, de manera aproximada, los valores de las pendientes de las rectas tangentes que trazaste anteriormente.

14. En el intervalo [0,2π] la gráfica de 𝑓(𝑥)=𝑠𝑒𝑛𝑥 tiene cambios de concavidad; da las coordenadas aproximadas de los puntos donde existe ese cambio (puntos de inflexión) _______________________ Bosqueja en la gráfica las rectas tangentes en esos puntos.

15. Con un trazo suave une los puntos que colocaste en la figura 2(b).

16. Como recordarás la función seno es periódica con periodo 2π, es decir, lo que sucede en el intervalo [0,2π], sucede también en los intervalos: [2π,4π], [4π, 6π], y así consecutivamente, e igualmente a la izquierda en: [–2π,0], [–4π, –2π], etc. Si la gráfica de la función no cambia en esos intervalos, ¿cambiarán las respectivas pendientes de sus rectas tangentes?________La gráfica de la función derivada ¿es también periódica?________. Explicar________________________________

17. ¿A qué tipo de función corresponde la gráfica que trazaste?__________________

B. Para determinar con más precisión la gráfica de la derivada de la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥, hagamos el siguiente análisis.

1. En la figura 3, está la gráfica de la función 𝑓(𝑥)=𝑠𝑒𝑛𝑥, en el intervalo [–2π,2π], Bosqueja la recta tangente en el origen.

Gráfica de la función 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝒙 y su recta tangente en el origen Figura 3 x f(x) –π/2 π 3π/2 _2π 1 π/2 –π –3π/2 –2π

2. Escribe la ecuación de la recta en su forma pendiente – ordenada al origen: ___________________ 3. Como la recta tangente pasa por el origen, ¿cuánto vale la ordenada al origen? _________________ 4. ¿Cómo queda la ecuación de la recta tangente a 𝑓(𝑥)=𝑠𝑒𝑛𝑥 en el origen? ___________________

En el siguiente plano cartesiano, traza la gráfica de 𝑓’(𝑥) en el intervalo [-2π,2π]. .

Gráfica de la derivada de la función 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝒙.

5. ¿A qué función puede corresponde la gráfica?________________ 6. Podemos conjeturar que:

El procedimiento anterior visualiza la derivada de 𝑠𝑒𝑛 𝑥 y nos da un procedimiento que nos permite justificarla. Posteriormente se podrá ver la deducción formal.

C. Ya estamos en condiciones de resolver el problema de la actividad 1.

1. Seguramente recuerdas cuál es el problema que originó todo este desarrollo, si no es así, lee nuevamente la actividad 1.

Al terminar la actividad planteamos que nuestro interés estaba en conocer la rapidez de cambio de 𝑦, cuando

𝜃 =𝜋/6, es decir: 𝑓´ !

! , para lo cual es necesario calcular 𝑓´(𝑥), cuando 𝑓 𝑥 =10𝑠𝑒𝑛(𝑥).

2. Si f(x)= 10 sen x, entonces f’(x) = ___________________

Usando lo anterior, ya puedes calcular la rapidez de cambio instantánea de 𝑦, cuando 𝜃 =!_! y dar las unidades de la rapidez de cambio:________________

𝐷!(𝑠𝑒𝑛 𝑥) = ____________ f’(x) –π/2 π 3π/2 _2π 1 –1 π/2 –π –3π/2 –2π x