Análisis real y complejo. Análisis Funcional

(1)

An´

alisis real y complejo.

An´

alisis Funcional

M´

aster Universitario en Matem´

atica

Avanzada

Luis Bernal Gonz´

alez

(2)

(3)

1. Teor´ıa de la medida 3

1.1. Introducci´on . . . 3

1.2. Conjuntos medibles y medidas positivas . . . 5

1.3. Medidas exteriores . . . 8

1.4. Procedimiento de Carath´eodory . . . 9

1.5. Medida de Lebesgue . . . 12

1.6. Medidas absolutamente continuas . . . 15

1.7. Medida de Lebesgue–Stieltjes . . . 16

1.8. Funciones simples . . . 17

1.9. Funciones medibles . . . 18

1.10. Integral de una funci´on . . . 22

1.10.1. Integral de funciones medibles no negativas . . . 22

1.10.2. Conjuntos de medida nula . . . 24

1.10.3. Funciones integrables . . . 26

1.11. Teoremas de convergencia . . . 28

1.12. Relaci´on con la integral de Riemann . . . 32

1.13. Completitud de L1₍_µ₎ _{. . . .} ₃₄ 1.14. Medidas signadas . . . 37 1.14.1. Medidas ortogonales . . . 42 1.14.2. Teorema de Radon-Nikodym . . . 44 1.15. Espacios Lp₍_µ₎ _{. . . .} ₄₆ 1

(4)

1.15.1. La norma en el espacio Lp _{. . . .} ₄₆

1.15.2. Aproximaci´on por funciones escalonadas . . . 48

1.16. Medidas producto . . . 50

1.16.1. σ-´algebra y medida sobre el espacio producto . . . 50

1.16.2. Teoremas de Fubini y de Tonelli . . . 54

Ejercicios . . . 57

2. Espacios de funciones anal´ıticas 67 2.1. Introducci´on . . . 67

2.2. Funciones holomorfas . . . 67

2.2.1. Topolog´ıa compacta-abierta . . . 69

2.3. Espacios de Bergman . . . 73

2.3.1. Ortonormalidad . . . 76

2.3.2. Espacios de Bergman de regiones acotadas . . . 77

2.3.3. Funciones subarm´onicas . . . 81

2.3.4. Operador de composici´on . . . 83

2.4. Funciones anal´ıticas acotadas . . . 85

2.4.1. Productos de Blaschke . . . 86

2.4.2. Teorema de factorizaci´on de Riesz . . . 88

2.5. Espacios de Hardy . . . 90

2.5.1. Estructura de las funciones de Hp . . . 93

2.5.2. Integrales de Poisson-Stieltjes . . . 95

2.5.3. Existencia de l´ımites radiales . . . 100

2.5.4. Espacio de las funciones de valores frontera . . . 107

Ejercicios . . . 109

(5)

Teor´ıa de la medida

1.1. Introducci´

on

El concepto de medida es una abstracci´on de las nociones de longitud, ´

area y volumen, de indiscutible utilidad en Matemáticas, F´ısica y otras ramas de la Ciencia. Sabemos calcular las longitudes, áreas y volúmenes de ciertas figuras geométricas, por ejemplo, el área bajo una curva plana, el volumen encerrado por una superficie, etc. Estos cálculos condujeron al concepto de integral en el sentido de Riemann.

Precisamente, el intento de medir conjuntos arbitrarios de puntos de la recta real R tiene su origen en la dependencia entre la integrabilidad en el sentido de Riemann y la continuidad. Se sab´ıa que una función era Riemann-integrable si “no ten´ıa muchas discontinuidades”. Esto conduc´ıa a buscar la definición de una medida para el conjunto de puntos de discontinuidad de una función, de manera que la condición de integrabilidad pudiera expresarse en términos de tal medida.

A finales del siglo XIX, se llevaron a cabo varios intentos de establecer una definición satisfactoria de medida de un conjunto enRN_{, que coincidiese}

(6)

en los casos elementales con la longitud, ´area y volumen de un conjunto (si N = 1,2,3 respectivamente). El intento fue debido fundamentalmente a

STOLZ, HARNACK, CANTOR, PEANO, JORDAN Y BOREL.

FueLEBESGUE, quien, a principios del siglo XX, dio una definición ade-cuada de subconjunto medible deRN _{y de} _medida _{sobre tales subconjuntos.} Además, proporcionó una definición de función integrable que superaba las carencias de la función Riemann-integrable, de modo que la correspondiente integral generalizaba también la de Riemann y era aplicable a una clase mu-cho más amplia de funciones. Otra notable ventaja de la integral de Lebesgue es que se obtienen teoremas muy generales que relacionan la integral del l´ımite de una sucesión de funciones medibles (estas son la generalización de las funciones continuas) con el l´ımite de las integrales de estas.

FR ÉCHET generalizó la teor´ıa considerando σ-´algebras de conjuntos en espacios abstractos. Finalmente,CARATH ÉODORYdefinió axiomáticamente la medida exterior –introducida por Lebesgue paraRN– e introdujo la noción de conjunto medible a partir de ella, por un método esencialmente análogo al de Lebesgue. As´ı que la integral puede definirse para funcionesf :X →Ro bienf :X →C, dondeX es un espacio medible yCes el plano complejo. Más tarde, BOCHNERextender´ıa el concepto de integral a funciones f :X →E, donde E es un espacio de Banach. Durante el primer tercio del siglo XX,

RADON y NIKODYM estudiaron el comportamiento, como medida, de la integral de una funci´on no negativa sobre un conjunto medible arbitrario.

El objeto de este tema es dar unas nociones y resultados sobre la teor´ıa abstracta de la medida e integración. No todas las demostraciones serán dadas, aunque se esbozarán las de los resultados más interesantes. Esto se hará también en el Cap´ıtulo 2.

(7)

1.2. Conjuntos medibles y medidas positivas

Comenzaremos destacando el tipo de familias de subconjuntos de un conjunto dado a los que se les puede aplicar una medida. Se parte de un conjunto X ̸= ∅. Se denota por P(X) la familia de todos los subconjuntos deX.

Si M ⊂ P(X), diremos que Mes unaσ-´algebra sobre X cuando veriﬁca las tres propiedades siguientes:

1. X ∈ M.

2. A∈ M ⇒Ac :=X\A∈ M.

3. Si An∈ M para todo n∈N:={1,2, ...}, entonces

∞

∪ n=1

An ∈ M. Al par (X,M) se le llama espacio medible, y a los elementos de M, conjuntos medibles. Obtenemos f´acilmente las siguientes consecuencias:

∅ ∈ M.

SiAn∈ M para todo n∈N, entonces

∞

∩ n=1

An∈ M. SiAn∈ M para todo n∈ {1, . . . , N}, entonces

N ∪ n=1 An∈ M y N ∩ n=1 An∈ M. SiA, B ∈ M, entonces A\B ∈ M.

Como ejemplos triviales, se tiene que{∅, X}y P(X) sonσ-´algebras sobre

X. Es fácil ver que si{Mi}i∈I es una familia deσ-álgebras sobre X, entonces su intersección ∩

i∈I

Mi es tambi´en una σ-´algebra sobre X.

Si N ⊂ P(X), se llama σ-álgebra generada por N, denotada σ(N), a la intersección de todas lasσ-álgebrasM sobre X tal que N ⊂ M. Por tanto,

(8)

Ejemplo.Si (X,T) es un espacio topológico, laσ-algebra de Borelde (X,T) es B = σ(T). Sus elementos se llaman conjuntos de Borel, o simplemente borelianos. Por tanto, los abiertos, los cerrados, losFσ y los Gδ (recordemos que un subconjunto de un espacio topológico se dice que es un Fσ si es unión numerable de cerrados, y que es un Gδ si es intersección numerable de abiertos) son borelianos. En particular, los intervalos –de todos los tipos– son borelianos de R.

Sea (X,M) un espacio medible. Por definición, una medida positiva, o simplemente una medida, sobre (X,M) es una aplicaciónµ :M →[0,+∞] tal que:

1. µ(∅) = 0.

2. La aplicaci´on µ es numerablemente aditiva, es decir, si {An}n≥1 ⊂ M

y An∩Am = ∅ para todo par m, n con m ̸= n, entonces µ ( _∪∞ n=1 An ) = ∞ ∑ n=1 µ(An).

A la terna (X,M, µ) se la llama espacio de medida.

La denominaci´on de los siguientes casos especiales es aplicable tanto a µ

como a (X,M, µ):

Siµ(X)<+∞, µse dice finita. Si µ(X) = 1, µes una probabilidad. Si {An}∞n=1 ⊂ M es tal que µ(An) < +∞ para todo n ∈ N y X =

∞

∪ n=1

An, µ se diceσ-finita.

Si [A∈ M, B ⊂A y µ(A) = 0] implica que B ∈ M, entonces se dice que µes completa.

SiS ∈ M, entoncesMS :={A ∈ M : A⊂S}es una σ-´algebra sobre

S y µ_|M_S es una medida sobre (S,MS). A la terna (S,MS, µ|MS) se le

(9)

Ejemplo. Sea X un conjunto y consideremos la aplicación µ : P(X) → [0,+∞] dada por µ(A) = card(A) si A es finito, y µ(A) = +∞ si A es infinito. Entonces µ es una medida positiva. Además, µ es finita si y solo si

X es ﬁnito, y µ es σ-ﬁnita si y solo siX es numerable. Diremos que µ es la medida cardinal sobre X.

En la siguiente proposición se reúnen algunas propiedades operacionales básicas de las medidas.

Proposici´on 1.2.1. Sea (X,M, µ) un espacio de medida. Se verifica: 1. µ es finitamente aditiva, es decir, si A1, . . . , An ∈ M son dos a dos

disjuntos, entonces µ( N ∪ n=1 An ) = N ∑ n=1 µ(An).

2. µ es mon´otona, es decir, si A, B ∈ M y A ⊂ B, entonces µ(A) ≤

µ(B). 3. Si A, B ∈ M con A ⊂ B y µ(A) <+∞ entonces µ(B\A) = µ(B)− µ(A). 4. Si {An}∞n=1 ⊂ M, entonces µ ( _∪∞ n=1 An ) ≤ ∑∞ n=1 µ(An).

5. Si {An}∞n=1 ⊂ M es creciente, es decir, si An ⊂An+1 para todon ∈N,

entonces l´ım n→∞µ(An) = µ ( _∪∞ n=1 An ) .

6. Si {An}∞n=1 ⊂ M es decreciente, es decir, si An+1 ⊂ An para todo

n∈N y µ(A1)<+∞, entonces l´ım n→∞µ(An) =µ ( _∩∞ n=1 An ) .

Damos ahora unas deﬁniciones y establecemos algunos convenios, que en parte han podido ya haber sido usados impl´ıcitamente. Se deﬁne larecta real completa,R, comoR=R∪{+∞,−∞}= [−∞,+∞], y se le dota de un orden estricto, <, que extiende el orden deR, de modo que −∞< x < +∞ para todox∈R. Las operaciones de suma y producto se extienden parcialmente:

(10)

(+∞) + (+∞) = +∞, (−∞) + (−∞) = −∞, a+ (+∞) = +∞= (+∞) +a,

a+ (−∞) =−∞= (−∞) +a para todo a∈R;a·(±∞) = ±∞= (±∞)·a

(resp.) para todo a > 0, y análogamente con el correspondiente cambio de signo para los números a < 0. Además, 0·(±∞) = 0, pero este convenio se emplea sólo en teor´ıa de la medida, ya que en general esa operación es una indeterminación.

1.3. Medidas exteriores

Un concepto próximo al de medida positiva es el siguiente. Se llama medida exterior sobre un conjunto X a una aplicaciónµ∗ :P(X)→[0,+∞] nula sobre el conjunto vac´ıo, monótona y numerablemente subaditiva, es decir: 1. µ∗(∅) = 0. 2. A⊂B ⇒µ∗(A)≤µ∗(B). 3. {An}∞n=1 ⊂ P(X) ⇒ µ∗ ( _∪∞ n=1 An ) ≤ ∑∞ n=1 µ∗(An).

Un ejemplo importante es el de medida exterior de Lebesgue, que recor-daremos a continuación. A partir de ella se construirá la medida de Lebesgue, generalización adecuada del volumen N-dimensional.

Sean a = (a1, . . . , aN) y b = (b1, . . . , bN) dos puntos de RN tales que

aj ≤bj para todoj ∈ {1, . . . , N}. El conjunto I = [a1, b1]× · · · ×[aN, bN] se denomina N-rect´angulo cerradoo N-intervalo cerrado. Su volumen se deﬁne como vol(I) =

N ∏ j=1

(bj −aj). Si aj = bj para algún j, diremos que I es un rectángulo degenerado. Es evidente que I es degenerado ⇔ vol(I) = 0. Se dice que dos rectángulosI, J no se superponencuandoI◦∩J◦ =∅, donde por

A◦ denotamos el interior de un subconjunto A de RN_{. Si} _I1_{, . . . , I}p _son _N -rect´angulos que no se superponen, y J es un rect´angulo tal que J =

p ∪ k=1

(11)

se dice que {I1_{, . . . , I}p_} _{es una} _partici´_on _de _J_{. Una partici´}_{on de} _J _{se dice} simple cuando proviene de una partici´on de cada uno de sus lados.

Proposición 1.3.1. SiP ={I1, . . . , Ip}es una partición de unN-rectángulo

J, entonces vol(J) = p ∑ k=1

vol(Ik_).

La prueba es elemental si P es simple. Si P es una partici´on arbitraria, se obtiene de ella una partici´on simple por prolongaciones de los lados de los elementos de P, y a cada uno de estos se le aplica el caso anterior. Como consecuencia, siJ, I1_{, . . . , I}p _son_N_-rect´_{angulos tales que}_J ⊂

p ∪ k=1 Ik_{, entonces} vol(J)≤ p ∑ k=1 vol(Ik).

Si A⊂RN_{, la} _{medida exterior de Lebesgue} _de_A _{se deﬁne como}

m∗(A) = ´ınf { _∞

∑ k=1

vol(Ik) : Ik son N-rect´angulos cerrados tales que A⊂

∞ ∪ k=1 Ik } .

Usando las observaciones anteriores, es posible probar que m∗ : P(RN₎ _→ [0,+∞] es en efecto una medida exterior sobre RN_{. Puede probarse que no} es numerablemente aditiva, luego no es una medida: en efecto, para N = 1, basta considerar la igualdad [0,1] = V ∪([0,1]\V), donde V es el llamado “conjunto de Vitali”, que se definirá más adelante.

Otra propiedad de m∗ es que si I es un N-rect´angulo abierto, cerrado, cerrado-abierto, etc, entonces m∗(I) = vol( ¯I), donde por ¯A entendemos la clausura de un subconjunto A de RN_.

1.4. Procedimiento de Carath´

eodory

El siguiente resultado general muestra el as´ı denominadoprocedimiento de Carath´eodory para generar una medida positiva a partir de una medida exterior.

(12)

Teorema 1.4.1. Sea µ∗ una medida exterior sobre un conjunto X. Consi-deremos la familia

M={M ⊂X : µ∗(A) =µ∗(A∩M) +µ∗(A\M) ∀A⊂X}

Entonces M es una σ-´algebra sobre X y µ:=µ∗|_M es una medida completa sobre M.

La familia M definida anteriormente se denomina la σ-álgebra de los conjuntos medibles-Carathéodory relativos a la medida exterior µ∗.

Demostración del teorema. Ya que µ∗(∅) = 0, se tiene que ∅ ∈ M. Ya que la definición deMes simétrica paraM y Mc _{resulta que} _Mc _{∈ M} _si_M _{∈ M}_. En particular,X ∈ M.

Sean ahora M, N ∈ M, y sea A ⊂X. Tenemos:

µ∗(A) =µ∗(A∩M) +µ∗(A∩Mc)

=µ∗(A∩M∩N) +µ∗(A∩M∩Nc) +µ∗(A∩Mc∩N) +µ∗(A∩Mc∩Nc).

Como M, N ∈ M, resulta que

µ∗(A∩(M ∩N)c) =µ∗(A∩(M∩N)c∩N) +µ∗(A∩(M ∩N)c∩Nc) =µ∗(A∩Mc∩N) +µ∗(A∩Nc)

=µ∗(A∩Mc∩N) +µ∗(A∩M ∩Nc) +µ∗(A∩Mc∩Nc),

de donde obtenemos que

µ∗(A) =µ∗(A∩(M ∩N)) +µ∗(A∩(M ∩N)c),

luegoM∩N ∈ M. Por tanto,M∪N = (Mc∩Nc)c ∈ MyM\N =M∩Nc ∈

M. Resulta también, por inducción, queM1∪. . .∪Mp y M1∩. . .∩Mp están enM siM1, . . . , Mp ∈ M.

(13)

Asimismo, se prueba f´acilmente por inducci´on que µ∗(A) = p ∑ j=1 µ∗(A∩Mj) +µ∗ ( A∩( p ∪ j=1 Mj )c) [1]

para todo A ⊂ X y todo sistema de elementos M1, . . . , Mp deM dos a dos disjuntos.

Sean ahora Mn ∈ M con n ∈ N. Para probar que

∞

∪ n=1

Mn ∈ M, pode-mos suponer que los Mn son dos a dos disjuntos (basta sustituir la sucesi´on

M1, M2, M3, . . . por la sucesiónM1, M2\M1, M3\(M1∪M2), . . ., cuya unión es también ∪∞

n=1

Mn). Por [1], siA⊂X, resulta que, para todo n∈N,

µ∗(A) = n ∑ j=1 µ∗(A∩Mj) +µ∗ ( A∩( n ∪ j=1 Mj )c) ≥ n ∑ j=1 µ∗(A∩Mj) +µ∗ ( A∩( ∞ ∪ j=1 Mj )c) ,

lo que implica que

µ∗(A)≥ ∞ ∑ j=1 µ∗(A∩Mj) +µ∗ ( A∩( ∞ ∪ j=1 Mj )c) ≥µ∗(A∩( ∞ ∪ j=1 Mj )) +µ∗(A∩( ∞ ∪ j=1 Mj )c) ≥µ∗(A),

donde hemos usado dos veces la subaditividad. Por tanto,

µ∗(A) =µ∗(A∩( ∞ ∪ j=1 Mj )) +µ∗(A∩( ∞ ∪ j=1 Mj )c) para todo A⊂X,

de donde deducimos que ∪∞ n=1

Mn ∈ M. Hemos probado que M es una σ -´

algebra.

Denotemos µ := µ∗|_M. Entonces µ(∅) = µ∗(∅) = 0. En cuanto a la σ -aditividad de µ, tomemos Mn ∈ M (n ∈ N) dos a dos disjuntos. Haciendo

(14)

A= ∪∞ n=1

Mnen el razonamiento anterior, obtenemos –todas las desigualdades deben ser igualdades– que

µ( ∞ ∪ n=1 Mn ) = ∞ ∑ n=1 µ(Mn) +µ(∅) = ∞ ∑ n=1 µ(Mn).

Resta probar queµes completa: esto resulta de que siM ⊂Xyµ∗(M) = 0, entonces M ∈ M. A su vez, esto es evidente porque si A ⊂ X, entonces

A∩M ⊂ M, luego µ∗(A∩M) = 0, as´ı que µ∗(A) ≤ µ∗(A\ M) + 0 por sub-aditividad, mientras que µ∗(A)≥µ∗(A\M) por monoton´ıa. 2

1.5. Medida de Lebesgue

Laσ-álgebra de los conjuntos medibles-Lebesgue MN (en RN) es, por definición, laσ-álgebra de los conjuntos medibles-Carathéodory generada por la medida exterior de Lebesguem∗. Lamedida de Lebesguees, por definición, la medida m : MN → [0,+∞] dada por m := m∗|MN. Observemos las

siguientes propiedades de la medida de Lebesgue:

m es completa y σ-ﬁnita: En efecto, m se elabora mediante un proce-dimiento de Carath´eodory, y RN = ∪∞

n=1

[−n, n]N, con m([−n, n]N) = (2n)N <+∞ para todon ∈N.

MN ⊃ BN := la σ-álgebra de Borel de RN. En efecto, cada rectángulo cerrado pertenece aMN. Ahora bien, cada abierto es unión numerable de rectángulos, luego cada abierto está en MN. Como BN es la menor

σ-´algebra que contiene a cada abierto,BN ⊂ MN. En particular, todos los cerrados, Fσ, Gδ, etc, est´an en MN.

mes invariante por traslaciones y homog´enea de gradoN, es decir, para todo λ ∈RN_{, todo} _c∈ R _{y todo} _A ∈ M

N se tiene m(λ+A) = m(A) y m(cA) =|c|N_m₍_A_{). La prueba se basa en que la propiedad es cierta}

(15)

para m∗, lo cual, a su vez, se obtiene de la definición de m∗ y de que la propiedad es válida para rectángulos. Hemos usado la notación

λ+A={λ+x: x∈A}, cA={cx: x∈A}.

Denotemos por♯(A) la cardinalidad de un conjuntoA, y porℵla cardinalidad del continuo, es decir, ℵ = ♯(R). Puede probarse que ♯(BN) = ℵ. Ya que existen en Rconjuntos medibles no numerables de medida de Lebesgue nula (por ejemplo, el conjunto de Cantor), y ya que mes completa, se deduce que

♯(MN)≥♯(P(RN))>ℵ, es decir, hay “muchos m´as” medibles-Lebesgue que borelianos en RN_.

El siguiente resultado caracteriza los conjuntos medibles-Lebesgue.

Teorema 1.5.1. Sea A⊂RN_{. Son equivalentes:} (a) A∈ MN.

(b) Para cada ε > 0 existe un subconjunto abierto G⊂ RN tal que A⊂G

y m∗(G\A)< ε.

(c) A=H\B, donde H es un Gδ y m∗(B) = 0.

(d) Para cada ε >0 existe un subconjunto cerrado F ⊂RN tal que F ⊂A

y m∗(A\F)< ε.

(e) A=K∪C, donde K es un Fσ y m∗(C) = 0.

Demostraci´on. (a) ⇒ (b): Partimos de que A ∈ MN. Supongamos que

m(A) < +∞. Por la definición de m∗, existe una sucesión de rectángulos cerrados {In}∞n=1 tal que A ⊂

∞ ∪ n=1 In y m(A) + ₂ε > ∞ ∑ n=1 vol(In). Estirando levemente los lados de cada uno de los rectángulosIn, podemos obtener una sucesión de rectángulos abiertos Jn (n ∈ N) tales que Jn ⊃ In y m∗(Jn) <

(16)

LlamemosG:= ∪∞ n=1

Jn. EntoncesGes abierto [luegoG\A∈ MN], A⊂G y, comom(A)<+∞, se tiene quem∗(G\A) = m(G\A) = m(G)−m(A)≤

∞ ∑ n=1 m∗(Jn)− ∑∞ n=1 vol(In) + ε₂ <∑∞_n₌₁ ₂nε+1 + ε 2 =ε.

Si fuese m(A) = +∞, existir´ıa una sucesi´on {Aj}∞j=1 ⊂ MN tal que

m(Aj) < +∞ para todo j y A =

∞

∪ j=1

Aj. Fijado ε > 0, existe para cada

j ∈ N un abierto Gj tal que Aj ⊂ Gj y m(Gj \Aj) < ₂εj. Sea ahora, por

deﬁnici´on,G:= ∪∞ j=1 Gj. EntoncesGes abierto,A⊂GyG\A⊂ ∞ ∪ j=1 (Gj\Aj), luego m∗(G\A) = m(G\A)≤ ∑∞ j=1 m(Gj \Aj)< ∞ ∑ j=1 ε 2j =ε.

(b) ⇒ (c): Para ε = 1_j, elegimos un abierto Gj con A ⊂ Gj tal que

m∗(Gj \A) < 1/j. Llamemos H :=

∞

∩ j=1

Gj. Entonces H es un Gδ, H ⊃ A y m∗(H\A) ≤m∗(Gj\A) <1/j para todo j ∈ N. Por tanto, si llamamos

B :=H\A, resulta que m∗(B) = 0 y A=H\B. (a) ⇒ (d): Como RN _\_A _{∈ M}

N y ya se ten´ıa [(a) ⇒ (b)], conseguimos que dado ε > 0 podemos encontrar un abierto G tal que RN \A ⊂ G y

m(G\(RN_\_A₎₎_{< ε}_{. En consecuencia, si deﬁnimos}_F _:=_RN_\_G_{, resulta que}

F es cerrado, F ⊂A y m∗(A\F) =m(A\F) = m(G\(RN _\_A₎₎_{< ε}_. (c) ⇒ (a): Tenemos por hip´otesis que A = H \B, con H un Gδ [luego

H ∈ MN] y m∗(B) = 0 [luego B ∈ MN], as´ı que A∈ MN. (e) ⇒(a): Similar a la implicaci´on anterior.

(d) ⇒(e): Similar a la implicaci´on [(b)⇒ (c)]. 2 Como ejemplo de conjunto que no es medible-Lebesgue, tenemos el con-junto de Vitali, que describiremos a continuaci´on.

En el intervalo [0,1], deﬁnimos la relaci´on de equivalencia:

(17)

SeaV un conjunto –que va a ser nuestro conjunto de Vitali– formado eligiendo un elemento en cada clase de equivalencia. Sea {rn}∞n=1 una enumeraci´on de

los n´umeros racionales de [−1,1] (de modo que la aplicaci´on n ∈ N 7→rn ∈

Q ∩[−1,1] es biyectiva), y llamemos Vn := rn + V (usamos la notaci´on

a+S = {a+x : x∈ S}). Veamos que Vn∩Vm =∅ si n ̸=m: en efecto, si

x∈Vn∩Vm, entonces existenα, β ∈V tales quex=rn+α =rm+β. Por tanto

β−α =rn−rm ∈Q, as´ı que β ∼α, lo que implica que β =α y, por tanto

rn=rm. Luegon =m, lo que es una contradicci´on. Adem´as, [0,1]⊂

∞

∪ n=1

Vn. En efecto, six∈[0,1], debe estar en alguna clase de equivalencia, luego existe

α ∈ V tal que x ∼ α. Por tanto x−α ∈ Q∩[−1,1], as´ı que existe n ∈ N

tal que x−α = rn, de donde deducimos que x = α+rn ∈ rn+V = Vn. En consecuencia, [0,1]⊂ ∪∞

n=1

Vn⊂[−1,2]. SiV fuese medible, Vn tambi´en lo ser´ıa y m(Vn) = m(V), luego 1 ≤

∞

∑ n=1

m(V) ≤ 3. Entonces m(V) > 0 de la primera desigualdad, mientras que de la segunda se obtiene quem(V) = 0, lo que provoca contradicci´on. Por tanto V /∈ M1, como quer´ıamos demostrar.

1.6. Medidas absolutamente continuas

A veces nos encontramos con dos medidas sobre una mismaσ-álgebra, que están relacionadas de forma que una es pequeña cuando lo es la otra. Esto motiva el siguiente concepto. Si (X,M) es un espacio medible y µ, ν

son dos medidas sobre ´el, decimos que ν es µ-continua o absolutamente continua respecto de µ, y lo denotaremos como ν ≪ µ, cuando para cada

ε >0 podemos encontrar un δ >0 de modo que

[A∈ M y µ(A)< δ ⇒ ν(A)< ε].

Más adelante se verá que la integración genera, de manera natural, medidas absolutamente continuas. Por el momento, damos una caracterización parcial.

(18)

Proposici´on 1.6.1. Seanµyν dos medidas sobre un mismo espacio medible (X,M), con ν finita. Entonces ν ≪ µ ⇐⇒ [A ∈ M y µ(A) = 0 ⇒

ν(A) = 0].

Demostración. ⇒: Evidente, incluso sin la hipótesis de que ν sea finita.

⇐: Por reducción al absurdo, supongamos que se verifica la condición encerrada entre corchetes, pero también que existe ε0 > 0 con la propiedad de que, para cada δ > 0 existe Aδ ∈ M tal que µ(Aδ) < δ y ν(Aδ) ≥ ε0.

En particular, para cada n ∈ N existe An ∈ M tal que µ(An) < 1/2n y

ν(An) ≥ ε0. Sea A := l´ım sup n→∞ An = ∞ ∩ n=1 ∞ ∪ k=n Ak ∈ M. Entonces µ(A) = 0 (se ha aplicado el Lema de Borel-Cantelli, v´ease Ejercicio 10) pero, para cada

n, se tiene ν( ∪∞

k=n

Ak )

≥ ε0, luego, ya que ν es ﬁnita y la sucesi´on de los

Bn :=

∞

∪ k=n

Ak es decreciente, resulta por la Proposici´on 1.2.1 que ν(A) = l´ım

n→∞ν(Bn)≥ε0 >0, lo que contradice la hip´otesis. 2

1.7. Medida de Lebesgue–Stieltjes

Estudiemos ahora la medida de Lebesgue–Stieltjes. Esta tiene su punto de partida en la consideración de una distribución de masa positiva sobreR. Tal distribución puede representarse mediante una funciónφ:R→Rtal que

φ(x) designe la masa del intervalo (−∞, x]. Entoncesφes creciente y continua a la derecha. Si en un punto x0 hay localizada una masa positiva, φ no es

continua a la izquierda enx0. La masa de cada intervalo (a, b] esφ(b)−φ(a),

y en cada punto x0 se deﬁne por φ(x0)−φ(x−0). Estas consideraciones nos

llevan a la construcción dada en la siguiente proposición, cuya prueba se omite por basarse solo en las definiciones.

(19)

Proposici´on 1.7.1. Sea φ : R → R creciente y continua a la derecha. Entonces la aplicaci´on A∈ P(R)7→m∗_φ(A) := ´ınf{ ∞ ∑ k=1 (φ(bk)−φ(ak)) : A⊂ ∞ ∪ k=1 (ak, bk] } ∈[0,+∞] es una medida exterior en R.

La medidamφque se obtiene a partir de m∗φ mediante el procedimiento de Carath´eodory se llamamedida de Lebesgue–Stieltjes asociada aφ. Siφ=Id, obtenemos la medida de Lebesgue. Resulta que la σ-´algebra sobre la que

mφ está definida contiene al conjunto de los borelianos (por contener a los conjuntos (a, b], luego también contiene a los abiertos), pero no coincide en general con M1.

1.8. Funciones simples

Antes de considerar funciones medibles, nos será útil tratar las funciones simples con vistas a la integración.

Notaciones conjuntistas como [f ≤ α],[f ≥ α], [f = α], [f = g] y as´ı sucesivamente, donde f, g : X → [−∞,+∞] y α ∈ [−∞,+∞], signi-ﬁcan {x ∈ X : f(x) ≤ α}, {x ∈ X : f(x) ≥ α}, {x ∈ X : f(x) = α} y

{x∈X : f(x) =g(x)}, respectivamente.

Recordemos que siX es un conjunto yA⊂X, la funci´on caracter´ıstica de

A se define como la funciónχA :X →Rdada porχA(x) =    1 si x∈A 0 si x̸∈A . Algunas propiedades elementales son las siguientes, válidas para todos los subconjuntos A, B ⊂X :

χ_∅ ≡0 y χX ≡1.

(20)

[χA= 1] =A y [χA= 0] =X\A.

χX\A= 1−χA.

Definici´on 1.8.1. Diremos que una funci´on φ : X → R es simple cuando

φ(X) es un conjunto ﬁnito.

Es f´acil ver que las funciones simples constituyen un espacio vectorial, y que una funci´onφ:X →Res simple si y solo si existena1, . . . , ap ∈Ry exis-ten A1, . . . , Ap ⊂X tales que φ =

p ∑ i=1

aiχAi. Por supuesto, la representaci´on

p ∑ i=1

aiχAi no es ´unica, pero puede asociarse a cada funci´on simple φ una

“re-presentaci´on can´onica”. A saber, si φ(X) = {a1, . . . , ap}, donde los ai son distintos entre s´ı, entonces φ=

p ∑ i=1

aiχ[φ=ai].

1.9. Funciones medibles

Procedemos seguidamente a definir la clase de funciones sobre las cuales tiene sentido la integración respecto de una medida. Pero antes es conveniente detallar la topolog´ıa que vamos a considerar en [−∞,+∞]. A saber, una base de entornos de cada punto α ∈ R es {(α−δ, α+δ) : δ >0}. Una base de entornos de +∞ es {(c,+∞] : c ∈ R}, y una base de entornos de −∞ es {[−∞, c) : c ∈ R}. Por tanto, los abiertos de R son también abiertos de [−∞,+∞]. Esto no es válido para los cerrados, ya que por ejemplo, Res un cerrado en R pero no lo es en [−∞,+∞].

Definici´on 1.9.1. Sea (X,M) un espacio medible y f : X → [−∞,+∞] una funci´on. Se dice que f es medible cuando f−1₍_G₎ _{∈ M} _{para cualquier}

subconjunto abierto Gde [−∞,+∞].

Se prueba sin diﬁcultad que f es medible ⇔ [f < a] ∈ M para todo

a ∈ R ⇔ [f ≤a]∈ M para todo a ∈ R ⇔ [f > a] ∈ M para todo a ∈R

(21)

En particular, supongamos queX ∈ MN (recordemos queMN denota la familia de los conjuntos medibles-Lebesgue de RN) y que sobre X tenemos el espacio medible inducido M := {A ⊂ X : A ∈ MN}. Resulta que, si

f :X →[−∞,+∞] es continua, entonces f es medible.

En el siguiente teorema se enumeran algunas propiedades de las funciones medibles. Recordemos quef+ _y _f− _{denotan, respectivamente, la parte}

posi-tiva y la parte negaposi-tiva de una funci´on real f, es decir, f+ = m´ax{f,0} y

f−= m´ax{−f,0}.

Teorema 1.9.1. Sea(X,M)un espacio medible y seanf, g:X →[−∞,+∞] un par de funciones. Se verifica:

1. Si f es constante, entonces f es medible.

2. Si f y g son medibles, los conjuntos [f < g], [f ≤ g] y [f = g] son medibles.

3. Si f es medible y S ∈ M, entonces la restricci´on f|S : (S,MS) → [−∞,+∞] es medible.

4. Si X = ∪∞ n=1

An con An ∈ M para todo n ∈ N y cada f|An es medible,

entonces f es medible.

5. Si f y g son medibles, tambi´en lo son m´ax{f, g}, m´ın{f, g}, f+_, _f−_, f2_, ₁_/f _y_|_f_|_.

6. Si fn : X → [−∞,+∞] (n ∈ N) es una sucesi´on de funciones medi-bles, entonces las funciones sup

n≥1

fn, ´ınf

n≥1fn, l´ım sup_n_→∞ fn y l´ım infn→∞ fn son medibles.

7. Si f, g :X → R son medibles y λ ∈ R, entonces f +g, λf y f·g son medibles. Es decir, con las operaciones usuales de funciones, la familia de las funciones medibles reales es un ´algebra.

(22)

8. Si f es simple, se tiene:f es medible ⇔ [f =a]∈ M para todoa∈R

⇔ f es una combinaci´on lineal finita de funciones caracter´ısticas de conjuntos medibles.

9. Supongamos que las funciones fn : X → [−∞,+∞] (n ∈ N) son me-dibles. Sea A:={x∈X : ∃ l´ım

n→∞fn(x)}. Denotemos por f la funci´on

f :x∈A7→ l´ım

n→∞fn(x)∈[−∞,+∞]. Entonces A∈ M yf es medible. Demostraci´on. Se dar´a solo una idea. Usar que f =f+−f−y|f|=f++f−, y que f+ ₌ _f _·_χ

{x : f(x)>0} y f− = −f ·χ{x : f(x)<0}. Utilizar tambi´en que

[f < g] = ∪ q∈Q

([f < q]∩[q < g]). Observar asimismo que f ·g = (1/2)((f +

g)2−_f2 −_g2_{). Adem´}_{as, si} _f _{= sup}

n≥1 fn, entonces [f ≤ a] = ∩ n∈N [fn ≤ a]. Por ´ ultimo, l´ım sup n→∞ fn= ´ınf

n sup_k_≥_nfk y l´ım infn→∞ fn= sup_n ´ınfk≥nfk, y existe l´ımn→∞fn(x) si y solo si l´ım sup

n→∞

fn(x) = l´ım inf

n→∞ fn(x). 2

Veamos ahora que cada funci´on medible se puede aproximar por funciones simples medibles.

Teorema 1.9.2. (a) Sea (X,M) un espacio medible y f : X → [0,+∞] medible. Entonces existe una sucesi´on creciente{φn}∞n=1 de funciones simples

medibles no negativas tales que l´ım

n→∞φn(x) = f(x) para todo x∈X.

(b) Sea (X,M) un espacio medible y f : X → [−∞,+∞] medible. En-tonces existe una sucesi´on {φn}∞n=1 de funciones simples medibles tales que

l´ım

n→∞φn(x) = f(x) para todo x ∈X. Si f es acotada, la convergencia puede conseguirse uniforme.

Demostraci´on. Supuesto probado (a), la parte (b) es inmediata. En efecto:

f = f+₋_f− _con _f+_{, f}− _: _X _→ _[0_,₊_∞_{] medibles. Entonces existen} _φ

n, ψn (n ∈ N) simples y medibles de X en [0,+∞] tales que φn(x) ↑ f+(x) y

ψn(x) ↑ f−(x) para todo x ∈ X. Luego {φn− ψn}∞n=1 es una sucesi´on de

(23)

todox∈X. La parte de la convergencia uniforme se deduce de la prueba de (a), donde se ver´a la misma propiedad en el caso de f ≥ 0 con f acotada. Basta observar que si f :X →R es acotada, entonces f =f+−_f− _con _f+

y f− acotadas.

Probemos (a). Sea f ≥ 0 y medible. Entonces los conjuntos En,i :=

f−1_([i−1 2n,

i

2n)) (1 ≤ i ≤ n2n, n ∈ N) y Fn := f−1([n,+∞]) (n ∈ N) son medibles, al serlo f. Se deduce que, para cada n∈N, la funci´on

φn := n2n ∑ i=1 i−1 2n χEn,i +nχFn

es no negativa, simple y medible.

Fijemos ahora n∈N, y x∈X. Tenemos: Sif(x)≥n, entonces φn(x) = n≤f(x).

Sif(x)< n, entonces existei∈ {1,2, . . . , n2n}tal que i₂−n1 ≤f(x)<

i

2n,

luego φn(x) = i₂−n1 ≤f(x).

En ambos casos obtenemos que φn(x) ≤ f(x). Probemos ahora que

{φn(x)}n≥1 es creciente para cada x∈X.

Sif(x)≥n+ 1 entonces φn(x) =n ≤n+ 1 =φn+1(x). Si n ≤ f(x) < n + 1 entonces φn(x) = n y φn+1(x) = ₂in−+11 , donde i ∈ {1, . . . ,(n + 1)2n+1_} _{es tal que} i−1 2n+1 ≤ f(x) < i 2n+1. Por tanto n < ₂ni+1, luego n2

n+1 _{< i}_{. Se deduce que} _n₂n+1 _≤ _i ₋_{1, as´ı que} φn(x) =n ≤ ₂in−+11 =φn+1(x).

Si f(x) < n, se tiene que f(x) < n+ 1, luego existe i ∈ {1, . . . , n2n} y existe j ∈ {1, . . . ,(n+ 1)2n+1_} _{tales que} i−1

2n ≤ f(x) <

i

2n y

j−1 2n+1 ≤

f(x)< ₂nj+1, de donde resultaφn(x) = i₂−n1 yφn+1(x) = ₂jn−+11. Pero de las desigualdades anteriores obtenemos que i₂−n1 <

j

2n+1, luego 2(i−1)< j, as´ı que 2(i−1)≤j−1, y por tanto φn(x) = i₂−n1 ≤

j−1

(24)

En todos los casos obtenemos que φn(x)≤φn+1(x).

Por ´ultimo, probemos que l´ım

n→∞φn(x) =f(x) para todo x∈X.

Si f(x) = +∞, entonces φn(x) = n para todo n ∈ N, de donde l´ım

n→∞φn(x) =f(x).

Si f(x)<+∞, existe n0 ∈ N tal que f(x)< n0, luego, para todo n ≥ n0, se tiene que φn(x) = in₂−n1 ≤f(x)<

in

2n con in ∈ {1, . . . , n2n}. Esto implica que|φn(x)−f(x)|=f(x)−φn(x)< ₂1n →0. En consecuencia,

φn(x)→f(x) (n → ∞).

Notemos ﬁnalmente que, si f es acotada, el n0 obtenido anteriormente no depende de x, con lo que tendr´ıamos que, para todo n ≥ n0, sup

x∈X

|φn(x)−

f(x)| ≤ ₂1n →0, de donde obtenemos la convergencia uniforme. 2

1.10. Integral de una funci´

on

El concepto de integral de una función sobre un espacio de medida es la extensión del concepto de integral de Riemann, el cual a su vez abstrae la idea de área definida por la gráfica de una función. Comencemos definiendo la integral de funciones medibles no negativas.

1.10.1. Integral de funciones medibles no negativas

En primer lugar, deﬁnimos el concepto para las funciones simples.

Definici´on 1.10.1. Supongamos que (X,M, µ) es un espacio de medida, y queφ :X →[0,+∞) es una funci´on no negativa, simple y medible, digamos

φ = N ∑ i=1

aiχAi con ai ≥ 0 y Ai ∈ M, i ∈ {1, . . . , N}. La integral de φ sobre

X respecto de µse deﬁne como ∫ X φ dµ:= N ∑ i=1 aiµ(Ai).

(25)

SiE ∈ M, la integral de φ sobre E respecto de µse deﬁne como ∫ E φ dµ= ∫ X φ·χEdµ= N ∑ i=1 aiµ(Ai∩E).

Notemos que estas definiciones tienen sentido y son independientes de la expresión de φ. Las propiedades establecidas en la siguiente proposición son de fácil demostración.

Proposici´on 1.10.1. Sean φ, ψ dos funciones simples medibles y positivas, y sea λ ≥0. Se verifica:

(a) ∫_X(φ+ψ)dµ=∫_Xφ dµ+∫_Xψ dµ y ∫_Xλφ dµ=λ∫_Xφ dµ. (b) Si φ ≤ψ, entonces ∫_Xφ dµ≤∫_Xψ dµ.

(c) La aplicación ν:E ∈ M 7→ ∫_Eφ dµ∈[0,+∞] es una medida positiva. Inspirados en el teorema de aproximación de funciones medibles, parece natural dar la siguiente definición para funciones no negativas.

Definición 1.10.2. Supongamos que (X,M, µ) es un espacio de medida y quef :X →[0,+∞] es una función medible. Se define laintegral de f sobre

X respecto de µcomo ∫ X f dµ = sup {∫ X

φ dµ: φ simple y medible con 0≤φ≤f

}

.

SiE ∈ M, la integral de f sobre E se define como ∫_Ef dµ=∫_Xf·χEdµ. Observemos que ∫_Xf dµ ∈ [0,+∞] y que la definición de integral es coherente con el caso en que f sea simple y medible. Veamos ahora algunas propiedades elementales.

Proposici´on 1.10.2. Sean f, g:X →[0,+∞] medibles yA, B ∈ M, donde se supone que (X,M, µ) es un espacio de medida. Se verifican las siguientes propiedades:

(26)

(b) Si A⊂B entonces ∫_Af dµ≤∫_Bf dµ. (c) ∫_X(f +g)dµ=∫_Xf dµ+∫_X g dµ.

(d) Si λ≥0, entonces ∫_Xλf dµ=λ∫_X f dµ.

(e) Si o bien f ≡0 en A o bien µ(A) = 0, entonces ∫_A f dµ= 0. (f) Si µ(B) = 0 entonces ∫_Xf dµ=∫_X_\_Bf dµ.

1.10.2. Conjuntos de medida nula

La última propiedad de la proposición anterior nos viene a decir que los conjuntos de medida nula son “despreciables” para la integración. Ob-servando esta propiedad, tenemos que si B ∈ M, con µ(B) = 0, y f :

X \B → [0,+∞] es medible (en el espacio de medida inducido), podr´ıa definirse ∫_Xf dµ :=∫_XF dµ, dondeF :X →[0,+∞] es la funci´on deﬁnida como F(x) :=    f(x) si x∈X\B 0 si x∈B.

Asimismo, también debido a la última propiedad, parece importante es-tudiar más detenidamente los conjuntos de medida nula en relación con la integración.

Definici´on 1.10.3. Sea (X,M, µ) un espacio de medida completo y P(·) una propiedad deﬁnida sobre los elementos de X. Si A ∈ M, se dice que P

se verifica en casi todo A(ect A) cuando el conjunto N :={x∈A: P(x) no se veriﬁca} ∈ M y µ(N) = 0.

Por ejemplo, la expresi´on “f = g ect X” signiﬁca que {x ∈ X : f(x) ̸=

g(x)} es medible y que su medida es nula. En tal caso se dice quef y g son

µ-equivalentes.

El siguiente resultado muestra que la medibilidad de una funci´on se mantiene por equivalencia y por convergencia ect.

(27)

Proposici´on 1.10.3. Supongamos que (X,M, µ) es un espacio de medida completo.

(a) Si f, g : X → [−∞,+∞] son tales que f es medible y f = g ect, entonces g es tambi´en medible.

(b) Si fn, f : X →[−∞,+∞] (n ∈ N) son tales que cada fn es medible y l´ım

n→∞fn(x) =f(x) ect X, entonces f es medible.

Demostraci´on. (a) Llamemos N := {x ∈ X : f(x) ̸= g(x)}. Hemos de probar que, dado a ∈ R, el conjunto A := {x ∈ X : g(x) < a} ∈ M. Tenemos A = (A∩N)∪(A∩Nc₎ _{∈ M}_{, ya que} _A_∩_N _{∈ M} _porque _µ _es completa, y como Nc ∈ M y A∩Nc ={x∈X : f(x) < a} ∩Nc, se tiene tambi´en que A∩Nc _{es medible.}

(b) Llamemos N ={x∈X : fn(x)9f(x)}. Entonces N ∈ My µ(N) = 0. Denotemosg(x) := l´ım sup

n→∞

fn(x). Sabemos queg es medible. Por otra parte, el conjunto {x ∈ X : g(x) ̸=f(x)} est´a contenido en N y µ(N) = 0. Como

µ es completa, el conjunto [g ̸= f] es medible de medida nula, y por tanto

g =f ect. De (a) se deduce que f es medible. 2 El siguiente resultado auxiliar es interesante por s´ı mismo y tendr´a im-portantes consecuencias.

Lema 1.10.4. [Desigualdad de Chebyshev] Si a ∈ (0,+∞) y f : X →

[0,+∞] es medible, entonces µ([f ≥a])≤ 1 a ∫ X f dµ.

Demostraci´on. Veriﬁcar que a·χ[f≥a]≤f e integrar. 2

Corolario 1.10.5. Sean f : X → [0,+∞] una funci´on medible y A ∈ M. Se tiene:

(28)

(2) Si ∫_Af dµ <+∞ entonces f <+∞ ect A.

Demostraci´on. (1) El conjunto N :={x∈A : f(x)̸= 0} es medible. Hemos de probar que µ(N) = 0. Notemos que N ={x ∈A : f(x) >0}= ∪∞

n=1

{x∈ A : f(x) ≥ _n1}. Por reducción al absurdo, si fuese µ(N) >0, existirá algún

m∈Ntal queµ({x∈A: f(x)≥ _m1})>0. Por la desigualdad de Chebyshev, se tiene 0< m·∫_Af dµ. Por tanto ∫_Af dµ >0, lo cual es una contradicci´on. (2) Hemos de probar esta vez que el conjunto medibleN :={x∈A : f(x) = +∞} cumple µ(N) = 0. Ahora bien, N = ∩∞

n=1

{x ∈ A : f(x) ≥ n}. Por la desigualdad de Chebyshev, µ({x ∈ A : f(x) ≥ n}) ≤ _n1 ∫_Af dµ → 0 (n→ ∞). Entonces, ya que cada conjunto {x∈A : f(x)≥n} tiene medida finita y la intersección anterior es decreciente, se obtiene de la Proposición 1.2.1 que µ(N) = l´ım

n→∞µ({x∈A: f(x)≥n}) = 0. 2

1.10.3. Funciones integrables

Consideramos ahora el caso de una funci´on medible general.

Definici´on 1.10.4. Consideremos un espacio de medida completo (X,M, µ). Seanf :X →[−∞,+∞] medible yA∈ M. Se dice quef esintegrable sobre

A cuando ambas integrales ∫_Af+_dµ _y ∫

Af−dµ son ﬁnitas o, equivalente-mente, cuando ∫_A|f|dµ <+∞. En tal caso, se deﬁne la integral de f en A

como el n´umero real ∫_Af dµ:=∫_Af+_dµ₋∫

Af−dµ. Se denotar´a por L1

A(µ), o bien por L1µ(A) o L1(µ, A), el conjunto de las funciones integrables sobre A respecto de µ.

Cuando conviene hacer expl´ıcita la variable de la función que se inte-gra, se denotará la integral de la definición anterior mediante la expresión ∫

Af(x)dµ(x) o similar. Esto será especialmente útil cuando tratemos con medidas producto (ver Sección 16).

(29)

Proposici´on 1.10.6. Se verifican las siguientes propiedades: Si f ∈ L1_A(µ), entonces ∫_A|f|dµ=∫_Af+dµ+∫_Af−dµ. Si f ∈ L1

A(µ), entonces f es finita ect A. Si f es medible y |f| ≤ g en A con g ∈ L1

A(µ), entonces f ∈ L1A(µ). En particular, las funciones medibles y acotadas son integrables en con-juntos de medida finita, y las funciones continuas de RN _en R _son Lebesgue-integrables en cada subconjunto compacto de RN_.

Si f = 0 ect A o si µ(A) = 0, entonces ∫_Af dµ = 0. En consecuencia, si f y g son funciones medibles µ-equivalentes, entonces ∫_Af dµ = ∫

Ag dµ.

L1

A(µ) es un espacio vectorial. Espec´ıficamente, si f, g∈ L1A(µ) y λ∈

R, entonces f+g y λf ∈ L1 A(µ), y adem´as ∫ A(f +g)dµ= ∫ Af dµ+ ∫ Ag dµ y ∫ Aλf dµ =λ ∫ Af dµ.

Si f y g son integrables y f ≤g ect A, entonces ∫_Af dµ ≤∫_Ag dµ. Si f ∈ L1 A(µ), entonces ∫Af dµ≤ ∫ A|f|dµ. Si f ∈ L1 X(µ) y ∫

Bf dµ= 0 para todo B ∈ M, entonces f = 0 ect X. Se denotar´a por L1(µ) la familia de las funciones f : X → [−∞,+∞] integrables enX, donde se identiﬁcan dos funcionesf, gcuando sonµ -equiva-lentes; as´ı que, estrictamente hablando,L1₍_µ_{) consta de clases de equivalencia}

[es fácil probar que la relación “f =g ect X” es de equivalencia en L1_X(µ)]. Por otra parte,λf, f+g tienen sentido paraf, g∈L1₍_µ_{) y}_λ∈R_{, pues} _f _y g son finitas ectX.

La proposici´on anterior, junto con la desigualdad |f +g| ≤ |f| +|g|, permiten establecer el siguiente teorema.

(30)

Teorema 1.10.7. L1₍_µ₎ _{es un espacio vectorial, la aplicaci´}_on _f _∈_L1₍_µ₎_7→

∫

X f dµ ∈ R es una forma lineal en ´el, y la aplicaci´on ∥ · ∥1 : f ∈ L

1₍_µ₎ _7→

∫

X |f|dµ∈[0,+∞) es una norma.

1.11. Teoremas de convergencia

Existen varios teoremas de convergencia cuyo objetivo es intercambiar las operaciones de l´ımite e integraci´on.

Teorema 1.11.1. [Teorema de convergencia mon´otona de B. Levi]

Sea(X,M, µ)un espacio de medida completo yfn:X →[−∞,+∞] (n∈N) una sucesi´on de funciones medibles tales quefn(x)≤fn+1(x)para todon∈N

ect x∈X. Llamemos f := l´ım

n→∞fn = sup_n_∈_Nfn, definida ect X. Se tiene: (a) Si fn ≥0 para todon ∈N, entonces l´ım

n→∞ ∫

Xfndµ= ∫

Xf dµ. (b) Si fn ∈ L1(µ) para todo n ∈ N y sup

n≥1 ∫ Xfndµ < +∞, entonces f ∈ L1₍_µ₎ _y _l´ım n→∞ ∫ Xfndµ= ∫ Xf dµ.

Demostraci´on. En cuanto a (b), basta aplicar (a) a la sucesi´on{fn−f1} y

a su l´ımite f−f1.

Probemos (a). Sea L:={x∈X : ∃ l´ım

n→∞fn(x)∈[0,+∞]}. Entonces L y

X\L son medibles y µ(X\L) = 0 y f está definida en L, es medible y no negativa. Como µ(X\L) = 0, podemos suponer que fn → f puntualmente en todo X, ya que ∫_X f dµ = ∫_Lf dµ [definiendo f por ejemplo como 0 en

X\L] y lo mismo para lasfn. Hemos de probar que l´ım n→∞ ∫ Xfndµ= ∫ Xf dµ. Como fn ≤ fn+1, la sucesi´on { ∫

Xfndµ}∞n=1 es tambi´en creciente, luego su

l´ımite siempre existe y es igual al sup n∈N ∫ Xfndµ. Como fn ≤ sup j fj = f, la desigualdad “≤” es evidente.

Probemos “≥”: Fijadon∈N, existe una sucesi´on{φn,m}∞m=1 de funciones

(31)

n ∈ N. Entonces es fácil ver que ψn := máx{φ1,n, . . . , φn,n} es una sucesión de funciones simples medibles no negativas tales queψn(x)↑f(x) y ψn(x)≤

fn(x) para todo x∈X y todon ∈N.

Por tanto, ∫_Xψn(x)dµ ≤ ∫_X fndµ para todo n ∈ N, luego es suﬁciente demostrar que∫_Xf dµ≤ l´ım

n→∞ ∫

Xψndµ, para lo cual, a su vez, basta ﬁjar una funci´on simple medibleφ con 0≤φ ≤f y probar que

∫ X φ dµ≤ l´ım n→∞ ∫ X ψndµ. [2]

Probemos primero la desigualdad [2] en el caso en que queφ ≡c= constante

∈ [0,+∞). Si c= 0, es trivial. Si c > 0, ﬁjemos a ∈ (0, c). Ya que φ ≤ f = sup

n∈N

ψn, resulta que para cada x ∈X, existe n0 ∈N tal que ψn(x) > a para todo n ≥n0. Sea An := [ψn > a]. Entonces la sucesi´on{An}∞n=1 es creciente

y X = ∪∞ n=1

An. Por tanto µ(An) ↑ µ(X). Por otra parte, a · χAn ≤ ψn,

luegoa·µ(An)≤ ∫

Xψndµ, de donde deducimos que aµ(X)≤_nl´ım_→∞ ∫

Xψndµ, as´ı que ∫_Xφ dµ = cµ(X) ≤ l´ım

n→∞ ∫

Xψndµ, que es la desigualdad [2] en este caso.

En el caso general, se tiene que φ= p ∑ i=1

ci·χEi conci ∈[0,+∞) yEi ∈ M

dos a dos disjuntos con X = p ∪ i=1

Ei. Aplicamos entonces el resultado a cada funci´onci ·χEi y obtenemos: ∫ X φ dµ= p ∑ i=1 ∫ X ci·χEidµ= p ∑ i=1 ∫ Ei φ dµ ≤ p ∑ i=1 l´ım n→∞ ∫ Ei ψndµ= l´ım n→∞ p ∑ i=1 ∫ Ei ψndµ= l´ım n→∞ ∫ X ψndµ,

como quer´ıamos demostrar. 2

Corolario 1.11.2. Sean f, fn : X → [0,+∞] (n ∈ N) funciones medibles definidas en un espacio de medida completo (X,M, µ). Se verifica:

(a) ∫_X ∑∞ n=1 fndµ= ∞ ∑ n=1 ∫ Xfndµ.

(32)

(b) La aplicaci´on ν :E ∈ M 7→ν(E) =∫_Ef dµ ∈[0,+∞] es una medida positiva.

Demostración. (a) Aplicar el teorema de la convergencia monótona a la sucesión{gn}∞n=1 dada porgn:=

n ∑ i=1

fi (n∈N).

(b) Aplicar el apartado (a) a las funciones fn :=f ·χAn (n ∈ N), donde los

An son conjuntos medibles disjuntos. 2

La parte (b) del corolario anterior nos da una manera de generar medidas a partir de una funci´on medible y de otra medida. Adem´as, ν(E) = 0 si

µ(E) = 0. M´as adelante (Teorema de Radon-Nikodym) veremos que tales medidasν se generan siempre as´ı.

Teorema 1.11.3. [Lema de Fatou] Sea fn : X → [0,+∞] (n ∈ N) una sucesi´on de funciones medibles definidas en un espacio de medida completo (X,M, µ). Entonces ∫ X l´ım inf n→∞ fndµ≤l´ım infn→∞ ∫ X fndµ.

Demostraci´on. Deﬁnimos gk := ´ınf{fk, fk+1, . . .} para cada k ∈N. Entonces

cada gk es medible y no negativa, la sucesi´on{gk}k≥1 es creciente, l´ım

k→∞gk = l´ım inf

n→∞ fn y gk ≤ fk para todo k ∈ N. Del teorema de la convergencia mon´otona se deduce que l´ım

k→∞ ∫ Xgkdµ= ∫ X_kl´ım_→∞gkdµ= ∫ Xl´ım inf_n_→∞ fndµ. Por otra parte, l´ım n→∞ ∫ Xgndµ= l´ım inf_n_→∞ ∫ Xgndµ≤ l´ım inf_n_→∞ ∫ Xfndµ, pues gn ≤fn.

De aqu´ı deducimos el resultado. 2

A continuación, establecemos el que quizás sea el resultado más impor-tante de intercambio de las operaciones de l´ımite e integración.

Teorema 1.11.4. [Teorema de Lebesgue de la convergencia dominada] Sea(X,M, µ)un espacio de medida completo, y sean f, fn:X →[−∞,+∞] (n ∈ N) y g : X → [0,+∞] funciones tales que cada fn es medible, |fn| ≤