Teoría Complejos

(1)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Proyecto

MaTEX

Complejos

Fco Javier Gonz´alez Ortiz

Directorio

Tabla de Contenido

Inicio Art´ıculo

c [email protected]

(2)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Tabla de Contenido

1. Introducci´on

1.1.Las potencias de i

2. Forma bin´omica de un n´umero complejo

2.1.Representaci´on gr´afica

2.2.Operaciones en forma bin´omica

• Suma en forma binómica • Producto en forma binómica • Co-ciente en forma binómica

3. Forma polar de un n´umero complejo

3.1.Forma trigonom´etrica de un n´umero complejo

3.2.Producto en forma polar

3.3.Divisi´on en forma polar

3.4.Potencia en forma polar

3.5.Ra´ız n-´esima de un complejo

(3)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Secci´on 1: Introducci´on 3

1. Introducci´on

Vamos a clasificar los n´umeros como soluciones de las ecuaciones. Observa las siguientes ecuaciones:

x+ 3 = 8₎x= 5 tiene soluci´on en los naturales_N x+ 3 = 1₎x= 2 tiene soluci´on en los enteros_Z

2x= 5)x=5

2 tiene soluci´on en los racionalesQ

x2= 2)x=±p2 tiene soluci´on en los realesR

Se tiene as´ı que el sistema de n´umeros se ha ido ampliando

N ⇢Z⇢Q⇢R

Ahora observa la ecuaci´on

x2_{= 1}

que como sabes no hay ningún número cuyo cuadrado sea negativo. En el siglo XVI “inventaron” un número que cumple la ecuación anterior y llamaron la unidad imaginaria,i.

Es decir definimos la unidad imaginariaicomo un n´umero ( no real) que cumple

(4)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

1.1. Las potencias de i

´

Unicamente hay cuatro potencias distintas de i:

i=i i5₌_i4

·i=i

i2₌ ₁ _i6₌_i4

·i2= 1

i3₌_i2

·i= i i7₌_i4

·i3₌ _i

i4₌_i2

·i2_{= ( 1)( 1) =}₁ _i8₌_i4

·i4_{= 1}

Si seguimos calculando potencias s´olo aparecen

{1, 1, i, i_} As´ı por ejemplo

i47=i4·11+3= (i4)11·i3=i3= i

Ejercicio 1.Efect´ua las siguientes potencias dei:

a) i34 b) i64 c) i81 d) i107

Adem´as, ahora podemos expresar las soluciones de las siguientes ecua-ciones:

(5)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Ejemplo 1.1.Resuelve la ecuaci´onx2+ 8x+ 25 = 0

Soluci´on: Resolvemos la ecuaci´on sustituyendop 1 pori.

x= 8±

p₆₄ ₄

·25

2

= 8±

p ₃₆

2

= 8±6

p ₁

2 = 4_±3i

⇤ Ejemplo 1.2.Comprueba que 4 + 3iverificax2+ 8x+ 25 = 0

Soluci´on: Sustituimos y operamos de forma natural

( 4 + 3i)2_{+ 8 ( 4 + 3}_i_{) + 25 =16} ₂₄_i_{+ 9}_i2

32 + 24i+ 25 =9 + 9i2

=9 + 9( 1) = 0

(6)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Sección 2: Forma binómica de un número complejo 6

Estos nuevos “n´umeros” de la forma

a+bi

los llamamos n´umeros complejos en forma bin´omica y decimos que a es la

parte real ybla parte imaginaria. Un modelo para comprenderlos consiste en

representarlos en el plano

2. Forma binómica de un número complejo 2.1. Representación gráfica

Un complejo en forma bin´omica

a+b i

se representa mediante un vector con origen el punto O(0,0) y

ex-tremo el punto de coordenadas

A(a, b). Al punto A(a, b) se le

lla-maafijodel complejo

₀

_a

ib

C

a

+

ib

Ejercicio 2.Representar los siguientes complejos en el plano:

a) 3 + i b) 2i c) 2 + 3i d) 2

(7)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

2.2. Operaciones en forma bin´omica

•

Suma en forma bin´omica

Para sumar n´umeros complejos en forma bin´omica se suman la parte real y la parte imaginaria.

Ejemplo 2.1.Hallar la suma (5 + i) + (1 3i) :

Soluci´on:

(5 + i) + (1 3i) =(5 + 1) + (1 3)i

=6 2i

⇤ Ejemplo 2.2.Efectuar la suma 3_·(5 + i) + 2_·(1 3i) :

Soluci´on:

3_·(5 + i) + 2·(1 3i) =(15 + 3i) + (2 6i)

=(15 + 2) + (3 6)i)

=17 3i

⇤ Ejercicio 3.Efect´ua las operaciones:

a) (2 + 5i) + (3 2i) b) (2 2i) + (2 + 2i)

(8)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

•

Producto en forma bin´omica

Para multiplicar n´umeros complejos en forma bin´omica se multiplican de forma algebraica natural, teniendo en cuenta que el terminoi2= 1 . Ejemplo 2.3.Hallar el producto (5 + i)·(1 3i) :

Soluci´on:

(5 + i)_·(1 3i) =5 15i+i 3i2

=5 15i+i+ 3

=8 14i

⇤ Ejemplo 2.4.Hallar el producto (2 + i)·(1 i) :

Soluci´on:

(2 + i)_·(1 i) =3 i

⇤ Ejercicio 4.Efect´ua las operaciones:

a) (2 + 5i)_·(3 2i) b) (2 2i)_·(2 + 2i)

c) (5 +i)_·(1 3i) d) (2 4i)_·(3 3i)

e) (2 + 2i)·(1 5i)·(2 + 3i)

(9)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Definici´on 2.1

Llamamos conjugado de un n´umero com-plejoz=a+b ial complejo

¯

z=a b i

es decir sus partes imaginarias son opues-tas. Al conjugado de z lo vamos a

repre-sentar por z¯.

0 a

b

C

a

+

bi

a

bi

Ejercicio 5. Demostrar que la suma de dos n´umeros complejos conjugados es un n´umero real:

(10)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

% # &%$5&%"' &%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II J I

JDoc DocI

•

Cociente en forma bin´omica

Para dividir n´umeros complejos en forma bin´omica se multiplica numer-ador y denominnumer-ador por el conjugado del denominnumer-ador.

Ejemplo 2.5.Hallar el cociente 3 i 3 + i.

Soluci´on:

3 i

3 + i =

3 i

3 + i·

3 i

3 i =

9 3i 3ı +i2

9 i2

=8 6i

10 = 8 10 6 10i ⇤ Ejemplo 2.6.Hallar el cociente 2 + i

i .

Soluci´on:

2 + i

i =

2 + i i ·

i

i = 1 2i

⇤ Ejercicio 7.Hallar los cocientes:

a) 2 i

3 i b)

3 i

3 + i

c) 5 2i

3 + 2i d)

i

(11)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Secci´on 3: Forma polar de un n´umero complejo 11

3. Forma polar de un n´umero complejo Definici´on 3.1

Un n´umero complejoz=a+b i

se puede caracterizar por su

m´odulo o magnitud m = |z|

y por el ´angulo que determi-na con la parte positiva del eje

Ox. En el gr´afico se aprecia

que el m´odulo por el teorema de Pit´agoras corresponde a:

m=_|z_|=pa2₊_b2

0 a

ib

C

a

+

ib

{

|

z

|

'

y el ´angulo' que llamamosargumentoverifica

tan'= b

a =) '= arctan

b a

De esta forma un n´umero complejo en forma bin´omica a+b i se puede

ex-presar en forma polarm'

a

+

b i

=

8 <

:

m

=

p

a

2

₊

_b

2

'

= arctan

b

a

9 =

(12)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Ejemplo 3.1.Expresar en forma polar 1 + i:

Soluci´on: Calculamos su m´odulo y su argumento.

1 + i=

(

m=p12_{+ 1}2₌p₂ '= arctan 1 = ⇡

4

)

=p2⇡

4

⇤ Ejemplo 3.2.Expresar en forma polar 2i :

2i=

8 < :

m=p02_{+ 2}2_{= 2} '= arctan2

0 =

⇡

2

9 = ;= 2⇡2

⇤ Ejercicio 8. Hallar el m´odulo y argumento de los siguientes complejos , represent´andolos previamente:

a) 2 2i b) 2i c) 2i d) 2 + 2i

e) 2 + 2i f) 2 g) 2 h) 2 2i

Ejercicio 9.Hallar el m´odulo y el argumento de los complejos:

a) p6 +p2i b) p12 2i c) 2 + 2i

Ejercicio 10.Expresar en forma polar los n´umeros complejos:

(13)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

3.1. Forma trigonom´etrica de un n´umero complejo

En el dibujo se aprecia que a partir de la forma polar de un n´umero complejo, podemos calcular su parte real y su parte imaginaria, pues

a=mcos' b=msen' 0 m cos'

m sen'

C

a+ib m

'

Se llama la expresi´on trigonom´etrica

m

'

=

)

m

(cos

'

+

i

sen

'

)

(3)

Ejemplo 3.3.Expresar en forma trigonom´etrica 1 + i:

1 + i=

(

m=p12+ 12=p2 '= arctan 1 = ⇡

4

)

=p2⇣cos⇡

4 +isen

⇡

4

⌘

(14)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Ejercicio 11. Expresar en forma polar y trigonom´etrica los n´umeros com-plejos::

a) 1 + i b) i c) p2 +p2i

Conversi´on de Bin´omica a Polar y viceversa

Binomica

a+b i

m=pa2+_b2

a=m cos' b=m sen'

'= arctanb/a

(15)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Ejercicio 12.Rellenar la tabla siguiente

Cartesiana Bin´omica Polar Trigonom´etrica

(1, 1)

p

3 i

3⇡/4

2cos⇡/3 +isen⇡/3 Ejercicio 13.Hallarxpara que el cociente

x+ 3i

3 + 2i

sea imaginario puro.

Ejercicio 14.Hallarxpara que el complejo z= 3 2x i

4 + 3i :

a) Sea imaginario puro. b) Sea un n´umero real.

Ejercicio 15.Hallarxpara que el m´odulo dez=x+i

2 +i sea

p

(16)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

3.2. Producto en forma polar

Teorema 3.1. El producto de dos números en forma polar es un complejo cuyo módulo es el producto de los módulos y cuyo argumento es la suma de los argumentos

m

↵

· m

0

= (

m

· m

0

)

↵+ (4)

Ejemplo 3.4.Hallar 4120o·2₃₀o

Soluci´on:

4120o·2₃₀o = 8₁₅₀o = 8(cos 150 + sen 150i) = 4

p

3 + 4i

⇤ Ejemplo 3.5.Hallar 290o·1₉₀o

Soluci´on:

290o·1₉₀o = 2₁₈₀o = 2(cos 180 + sen 180i) = 2

⇤ Ejercicio 16.Halla los siguientes productos:

a) 3⇡/6·2⇡/6 b) 4⇡/12·2⇡/6

c) p2⇡/3·

p₂

(17)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

3.3. Divisi´on en forma polar

Teorema 3.2. El cociente de dos números en forma polar es un complejo cuyo módulo es el cociente de los módulos y cuyo argumento es la diferencia de los argumentos

m

↵

m

0

=

⇣

_m

m

0

⌘

↵

(5)

Ejemplo 3.6.Hallar 4120o

230o

Soluci´on:

4120o

230o = 290

o = 2(cos 90 + sen 90i) = 2i

⇤ Ejercicio 17.Halla los siguientes cocientes:

a) 3⇡/6: 2⇡/6 b) 4⇡/12: 2⇡/6

c) 3⇡/2: 2⇡/4 d) 8⇡: 2⇡/2

Ejercicio 18.Expresar en forma trigonom´etrica 3 + 3p3i

(18)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Ejercicio 19.Expresar en forma trigonom´etrica _p2 2i 3 +i

Ejercicio 20.Escribe en forma trigonom´etrica: 6i 1 +i

Ejercicio 21.Escribe en forma trigonom´etrica: 1 +

p

3i

1 i

Ejercicio 22.Escribe en forma trigonom´etrica::

p_{6 +}p₂_i

p₁₂ ₂_i

Test.Responde a las preguntas:

1. El complejoz= 2 + 2iest´a en:

(a)1o _cuadrante _(b)₂o _cuadrante _(c)₃o_cuadrante

2. La forma polar dez= 2 + 2ies:

(a)p8⇡/4 (b)

p

8 ⇡/4 (c)

p

83⇡/4

3. La forma polar de 3 (cos 30o _i_{sen 30}o_{) es}

(a)330 (b)1 3 30 (c)360

4. El m´odulo de 1⇡·12⇡·13⇡ es:

(a)3 (b)1 (c)otro

5. El argumento de 3 es:

(19)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

3.4. Potencia en forma polar

Teorema 3.3.La potencia n-´esima de un n´umero en forma polarm' es un

complejo cuyo m´odulo es la potencia n-´esima de m y cuyo argumento es n

veces'.

(

m

↵

)

n

=

m

nn↵ (6)

Ejemplo 3.7.Efectuar 2⇡/4 5

Soluci´on:

2⇡/4 5

= 25

5⇥⇡/4= 32225o

⇤ Ejemplo 3.8.Efectuar (3⇡)2

Soluci´on:

(3⇡)2= 322⇥⇡ = 8180o

⇤ Ejercicio 23.Hallar la potencia (1 +i)5

Ejercicio 24.Hallar la potencia ( 2 + 2p3i)6

(20)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

3.5. Ra´ız n-´esima de un complejo

Queremos hallar la ra´ızn ´esima de un complejoa+b ique expresaremos

en forma polarm'.

x= pnm

'()xn=m'

Llamemos a la soluci´on buscadax=r↵, entonces se tiene que

(r↵)n =m'=rnn↵

igualando m´odulos y argumento,

m=rn₌

)r= pn_m

n↵='+k_·360o=₎↵= '+k·360

o

n k= 0,1,· · · , n 1

La ra´ız n-ésima de un número en forma polar corresponde annúmeros

com-plejos con la expresi´on

n

p

_m

'

=

p

n

m

_'

₊

_k

_·

₃₆₀

o

n

k

= 0

,

1 ,

· · ·

, n

1

(7)

En los n´umeros reales p3

(21)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Ejemplo 3.9.Hallar las ra´ıces p3

1

Soluci´on: Ponemos el radicando en forma polar 1 =₎10

El m´odulo esp3

1 = 1 y de la ecuaci´on (7) dando valores ak= 0,1,2 se tienen

los argumentos,

↵k =

0 +k·360o

3

8 < :

↵0= 0 ↵1= 120 ↵2= 240

luego las tres ra´ıces son 10 1120o 1₂₄₀o

1

0o

1

120o

1

240o

O

(22)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Ejemplo 3.10.Hallar las ra´ıces p5 ₃₂

Soluci´on: Ponemos el radicando en forma polar 32 =₎32180

El m´odulo es p5

32 = 2 y de la ecuaci´on (7) dando valores a k= 0,1,_{· · ·}4 se

tienen los argumentos,

↵k=

0 +k·360o

5

8 > > > > < > > > > :

↵0= 36o ↵1= 108o ↵2= 170o ↵3= 242o ↵4= 314o

luego las cinco ra´ıces son

236o 2₁₀₈o 2₁₇₀o 2₂₄₂o 2₃₁₄o

2

36o

2

108o

2

170o

2

242o

2

314o

O

Los afijos de las soluciones son los v´ertices de un pol´ıgono regular de cinco

(23)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Ejercicio 26.Un complejoz en forma bin´omica esa+b i, su conjugado es

¯

z=a+b iy su opuesto es z= a b i. ¿Cu´al es la expresi´on de los mismos

en forma polar?

Ejercicio 27.Hallar dos complejosz1yz2sabiendo que su cociente es 4, sus

argumentos suman 40o_{y la suma de sus m´odulos es 15.}

Ejercicio 28.Hallar dos complejosz1 yz2 sabiendo que su producto es 27i

y uno de ellos es el cuadrado del otro.

Ejercicio 29.Hallar un complejo z1 que cumpla que su inverso al cuadrado

(24)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Soluciones a los Ejercicios 24

Soluciones a los Ejercicios

Ejercicio 1. Teniendo en cuenta que i4 _{= 1, basta dividir por 4 los}

expo-nentes:

a) i34₌_i4·8+2_{= (}_i4₎8

·i2₌_i2_{= 1}

b) i64=i4·16= (i4)16= 1

c) i81=i4·20+1= (i4)20_·i=i

d) i107=i4·26+3= (i4)26_·i3=i3= i

(25)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Ejercicio 2.

3 +

i

2 i

2 + 3

i

2

2 i

2

2 i

2

(26)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Ejercicio 3.

a) (2 + 5i) + (3 2i) = 5 + 3i

b) (2 2i) + (2 + 2i) = 4+

c) (5 +i) + 2 (1 3i) = 7 5i

d) (2 4i) (3 3i) = 1 i

(27)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Ejercicio 4.

a) (2 + 5i)_·(3 2i) = 16 + 11i

b) (2 2i)_·(2 + 2i) = 8

c) (5 +i)·(1 3i) = 8 14i

d) (2 4i)·(3 3i) = 6 18i

e) (2 + 2i)·(1 5i)·(2 + 3i) = 48 + 20i

f) (1 + 5i)·( i) (4 + 3i)·(4 3i) = 20 i

(28)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Ejercicio 5.Sean los n´umeros complejos conjugados

z=a+b i z¯=a b i

z+ ¯z=(a+b i) + (a b i)

=2a

es decir la parte imaginaria es cero y por tanto es un n´umero real.

(29)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Ejercicio 6.Sean los n´umeros complejos conjugados

z=a+b i z¯=a b i

z_·z¯=(a+b i)_·(a b i)

=a2 ab i+ab i b2i2

=a2+b2

es decir la parte imaginaria es cero y por tanto es un n´umero real.

(30)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

% # &%$5&%"' &%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II J I

JDoc DocI

Ejercicio 7.

a) 2 i

3 i =

2 i

3 i ·

3 + i

3 + i =

7 i 10 = 7 10 1 10i

b) 3 i 3 + i =

3 i

3 + i ·

3 i

3 i =

8 6i

10 =

8 10

6 10i

c) 5 2i 3 + 2i =

5 2i

3 + 2i·

3 2i

3 2i =

11 16i

13 = 11 13 16 13i d) i 1 + i =

i

1 + i ·

1 i

1 i =

1 + i

(31)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Ejercicio 8.

a) 2 2i _!p87⇡/4

b) 2i _!2⇡/2

c) 2i _!23⇡/2

d) 2 + 2i _!p83⇡/4

e) 2 + 2i _!p8⇡/4

f) 2 _!20

g) 2 _!2⇡

h) 2 2i !p85⇡/4

2 2 + 2i

2i

2 + 2i

2

2 2i 2i

2 2i

(32)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Ejercicio 9.

a) p6 +p2i

8 < :

m=p6 + 2 =p8

'= arctan

p₂

p₆ = arctan

p₃

3 =

⇡

6

b) p12 2i

8 < :

m=p12 + 4 = 4

'= arctan p2

12 = arctan

p

3

3 =

11⇡

6

c) 2 + 2i

(

m=p4 + 4 =p8

'= arctan 2

2 = arctan 1 = 3⇡

4

(33)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Ejercicio 10.

a) 3 +p3i=

8 < :

m=p12

'= arctan

p

3

3 =

⇡

6

9 = ;=

p

12⇡

6

b) 2i= 2⇡

2

c) 2 + 2i=p83⇡/4

(34)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

% # &%$5&%"' &%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II J I

JDoc DocI

Ejercicio 11.

a) 1 + i=

(

m=p12_{+ 1}2₌p₂ '= arctan 1 = ⇡

4

)

=p2⇡

4

p

2⇣cos⇡

4 +i·sen

⇡

4

⌘

b) i=

( _m_{= 1}

'= arctan 1

0 =

3⇡

2

)

= 13⇡

2

cos3⇡

2 +i·sen 3⇡

2

c) p2 +p2i=

(

m= 2

'= arctan 1 = ⇡

4

)

= 2⇡

4

2⇣cos⇡

4 +i·sen

⇡

4

⌘

(35)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Ejercicio 12.

Cartesiana Bin´omica Polar Trigonom´etrica

(1, 1) 1-i p27⇡/4

p

2(cos7⇡/4 +isen7⇡/4)

(p3, 1) p3 i 211⇡/6 2 (cos11⇡/6 +isen11⇡/6)

3p2 2 ,

3p2 2

!

3p2

2 +

3p2

2 i 3⇡/4 3(cos⇡/4 +isen⇡/4)

(36)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Ejercicio 13.

x+ 3i

3 + 2i = x+ 3i

3 + 2i ·

3 2i

3 2i =

(3x+ 6) + (9 2x)i

13 para que sea imaginario puro la parte real debe ser cero

3x+ 6

13 = 0 =)x= 2

(37)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Ejercicio 14.

z=3 2x i

4 + 3i =

3 2x i

4 + 3i ·

4 3i

4 3i =

12 6x

25

(9 + 8x)i

25 a) para que sea imaginario puro la parte real debe ser cero

12 6x

25 = 0 =)x= 2

b) para que sea real puro la parte imaginaria debe ser cero (9 + 8x)i

25 = 0 =)x=

9 8

(38)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Ejercicio 15.

z= x+i

2 +i = x+i

2 +i ·

2 i

2 i =

2x+ 1

5 +

(2 x)i

5 igualamos el m´odulo ap2

s✓₂_x_{+ 1}

5

◆2

+✓2 x

5

◆2

=p2 =₎

4x2_{+ 4}_x_{+ 1}

25 +

4 4x+x2

25 = 2 =)

5x2+ 5 = 50 =)x2= 9 =) x=±3

(39)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Prueba de los Teoremas 39

Prueba del Teorema 3.1.

Expresamos los complejos m↵ y m0 en forma trigonom´etrica. Al operar

aparece el coseno y el seno de la suma de ´angulos:

m↵·m0 =m(cos↵+isen↵)·m0(cos +i sen )

=m·m0[cos↵cos sen↵sen

+isen↵cos +icos↵sen ]

=m_·m0[cos(↵+ ) +isen(↵+ )]

=(m·m0)↵+

(40)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Ejercicio 16.

a) 3⇡/6·2⇡/6= 6⇡/3= 6(cos 30 + sen 30i) = 3

p

3 + 3i

b) 4⇡/12·2⇡/6= 8⇡/4= 8(cos 45 + sen 45i) = 4

p

2 + 4p2i

c) p2⇡/3·

p₂

2 5⇡/3= 12⇡ = 1(cos 360 + sen 360i) = 1

d) 3_·4⇡/4·2⇡/6= 3⇡·4⇡/4·2⇡/6= 2417⇡/12

2417⇡/12= 24(cos 120 + sen 120i) = 12 + 12

p

3i

(41)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Expresamos los complejos m↵ y m0 en forma trigonom´etrica. Al operar

aparece el coseno y el seno de la diferencia de ´angulos:

m↵

m0 =

m(cos↵+isen↵)

m0_{(cos +}_i_{sen )}

=m(cos↵+isen↵)

m0_{(cos +}_i_{sen )}

(cos isen )

(operando)

=m

m0[cos(↵ ) +isen(↵ )]

=⇣m

m0

⌘

↵

(42)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Ejercicio 17.

a) 3⇡/6

2⇡/6

=✓3 2

◆ 0

b) 4⇡/12

2⇡/6

= (2)₂₃_⇡_/₁₂

c) 3⇡/2

2⇡/4

=✓3 2

◆

⇡/4

d) 8⇡

2⇡/2

= (4)_⇡_/₂

(43)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Ejercicio 18.Expresamos numerador y denominador en forma polar

3 + 3p3i =) m=p36 '= 2⇡

3

2 2i =) m=p8 '= 7⇡

4 Ahora operamos el cociente en forma polar

3 + 3p3i

2 2i =

62⇡/3

p₈

7⇡/4

=

✓ ₃

p₂

◆ 13⇡/12

13⇡

12 = 2⇡ 13⇡

12 =

11⇡

12 = 165o y pasamos a forma bin´omica 3

p

2(cos 165

o_{+ sen 165}o_i₎

(44)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

2 2i =) m=p8 '= 7⇡

4

p

3 +i =₎ m=p4 '= ⇡₆

Ahora operamos el cociente en forma polar 2 2i

p_{3 +}

i =

p₈

7⇡/4

2⇡/6

=⇣p2⌘

19⇡/12

y pasamos a forma trigonom´etrica

p

2(cos19⇡

12 +sen 19⇡

12 i)

(45)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

6i =) m= 6 '= ⇡₂

1 + i =₎ m=p2 '= ⇡

6i

1 + i =

6⇡/2

p₂

⇡/4

=✓_p6 2

◆

⇡/4

y pasamos a forma trigonom´etrica 6

p

2(cos

⇡

4 +sen

⇡

4 i)

(46)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

1 +p3i =) m= 2 '= ⇡₃

1 i =) m=p2 '=7₄⇡

Ahora operamos el cociente en forma polar 1 +p3i

1 i =

2⇡/3

p₂

7⇡/4

=✓_p2 2

◆ 17⇡/12

17⇡

12 = 2⇡ 17⇡

12 =

7⇡

12 = 105o y pasamos a forma trigonom´etrica 2

p

2(cos 105

o_{+ sen 105}o_i₎

(47)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

p

6 +p2i =) m=p8 '=⇡₆

p

12 2i =₎ m= 4 '= ⇡

p

6 +p2i

p

12 2i =

p₈

⇡/6

4 ⇡/6

=

p

2 2

!

⇡/3

y pasamos a forma trigonom´etrica

p₂

2 (cos

⇡

3 +sen

⇡

3 i)

(48)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Por la regla del producto se tiene

(m↵)n=m↵·m↵· · ·m↵

=(m·m· · ·m)↵+↵+· · ·+↵

=mnn↵

(49)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Ejercicio 23.Calculamos su m´odulo y su argumento.

1 + i=

(

m=p12_{+ 1}2₌p₂ '= arctan 1 = ⇡

4

)

=p2⇡

4

Ahora operamos la potencia en forma polar

⇣_p

2⇡

4

⌘5

=p25₅⇡

4

(50)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Ejercicio 24.Calculamos su m´odulo y su argumento.

( 2 + 2p3i)6₌ 8 < :

m=p22_{+ 12 =}p_{16 = 4} '= arctan p3 = 2⇡

3

9 = ;= 423⇡

Ahora operamos la potencia en forma polar

⇣

42⇡

3

⌘6

= 46 4⇡= 460

(51)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

1 =₎ m= 1 '= 0

1 + i =₎ m=p2 '= ⇡

1 (1 + i)5 =

10

(p2⇡/4)5

= 10

4p25⇡/4

=✓ 1

4p2

◆ 3⇡/4

y pasamos a forma bin´omica 1 4p2(cos

3⇡

4 +isen 3⇡

4 ) = 1 8+

1 16i

(52)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Ejercicio 26.A partir del gr´afico es f´acil observar que sia+b ies en forma

polarm', entonces

Su conjugadoa b ien polar esm '

Su opuesto a b ien polar esm⇡+'

0

a+b i

a b i a b i

'

' ⇡+'

(53)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Ejercicio 27.

Seanz1=m↵ yz2=k . Planteamos un sistema y resolvemos.

m↵

k = 40

↵+ = 40

m+k= 15

9 > = > ;=)

m k = 4

↵ = 0

↵+ = 40

m+k= 15

9 > > > = > > > ;

↵= =₎2↵= 40 =₎ ↵= = 20

m= 4k=₎5k= 15 =₎ k= 3 m= 12

Los complejos pedidos son

1220o 3₂₀o

(54)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Ejercicio 28.

Seanz1=m↵ yz2=k . Planteamos un sistema y resolvemos.

m↵·k = 27i= 2790o

m↵= (k )2=k22

=₎

m·k= 27

↵+ = 90

m=k2

↵= 2 9 > > = > > ;

↵= 2 =)3 = 90 =) ↵= 60 = 30

m=k2=)k3= 27 =) k= 3 m= 9

Los complejos pedidos son

960o 3₃₀o

(55)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Ejercicio 29.

Seanz1=m↵ el complejo buscado

Su inverso es

1

m↵

= 10

m↵

=✓1

m

◆

↵

El conjugado de z1 =m↵ es ¯z1 =m ↵ y el opuesto de este es ¯z1=

m⇡ ↵

luego se tiene que cumplir que

✓ ₁

m2 ◆

2↵

=m⇡ ↵ =) 1 =m

3

2↵=⇡ ↵

El complejo buscado es 1 ⇡= 1⇡= 1

(56)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI

Soluciones a los Tests 56

Soluciones a los Tests

Soluci´on al Test:En efecto

2 + 2i

(

m=p4 + 4 =p8

'= arctan 2

2 = arctan 1 = 3⇡

4

(57)

()*+,-./0012,34

!

"#$#%#&#!#' (#$#!#&#"#)

%

#

&%$5&%"'

MaTEX

Com

plej

o

s

JJ II

J I

JDoc DocI Volver Cerrar

´Indice alfab´etico

argumento,11

conjugado,9

forma binomica,6

cociente,10

producto,8

representaci´on,6

suma,7

forma polar,11

divisi´on,17

potencia,19

producto,16

radicaci´on,20

forma trigonom´etrica,13

m´odulo,11

unidad imaginaria i,3