Análisis térmico y de capacidad de transporte de un cable subterráneo de potencia
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(3) ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE MINAS Y ENERGÍA. Titulación: GRADUADO EN INGENIERÍA DE LA ENERGÍA Intensificación: Tecnologías Energéticas. Análisis térmico y de capacidad de transporte de un cable subterráneo de potencia. Realizado por Borja Barricarte Navas. Dirigido por Javier Muñoz Antón Departamento de Ingeniería Energética (ETSII).
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(5) i. Agradecimientos Me gustarı́a aprovechar la oportunidad que me brindan estas lı́neas para expresar mi agradecimiento a todas aquellas personas que han contribuido a que la realización del presente proyecto haya sido posible. En primer lugar, a toda mi familia, y en especial a mis padres. Gracias por vuestro apoyo incondicional y vuestra confianza en mis decisiones, ya que sin vosotros este camino hubiera resultado imposible. A mi tutor, Javier, porque ha sido un pilar de inspiración a lo largo de todo el desarrollo del proyecto, y siempre ha estado disponible cuando lo he necesitado, ofreciéndome su consejo. También quisiera agradecer a mis amigos, tanto los de toda la vida, como los de la universidad, su ayuda en los momentos difı́ciles, y los buenos ratos que hemos disfrutado juntos. Por último, quisiera citar unos versos del gran Antonio Machado, que a mi parecer, reflejan extremadamente bien este apasionante viaje que es la vida: Caminante, son tus huellas el camino y nada más; caminante, no hay camino, se hace camino al andar. Nada está escrito, elige tu destino..
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(7) iii. Resumen El presente proyecto tiene la finalidad de diseñar una herramienta, mediante métodos numéricos implementados en Matlab, que permita estudiar los fenómenos térmicos que tienen lugar en los cables subterráneos de potencia cuando se encuentran en carga, y a partir de las soluciones obtenidas, determinar la capacidad máxima de transporte del cable para un emplazamiento especı́fico. Por un lado, se seleccionará una de las diferentes configuraciones más habituales que existen en instalaciones subterráneas, y se elegirá un determinado tipo de cable de potencia de alta-media tensión. Por otro lado, se escogerá el emplazamiento especı́fico, junto con las propiedades del mismo y las condiciones de frontera del entorno del terreno donde se pretende colocar dicho cable. Mediante la utilización de métodos numéricos, en especial, diferencias finitas se creará un mallado que se adapte a toda la sección de estudio, incluyendo el cable y el terreno, donde se particularizarán las ecuaciones de transferencia de calor y de conservación de la energı́a con la intención de simular los fenómenos reales que tienen lugar. Con las soluciones térmicas facilitadas por el programa, se elaborará un estudio a fin de determinar la corriente máxima admisible en el cable sin dañar ninguno de sus componentes, y por tanto, la capacidad de transporte del mismo, tanto en régimen permanente, como en régimen transitorio.. Palabras Clave Cable subterráneo de potencia, modelización, malla, nodo, gradiente térmico, análisis térmico, capacidad de transporte, régimen de carga..
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(9) v. Abstract The aim of this project is to design a tool, by implementing numerical methods in Matlab, that simulates thermal phenomena that take place at underground power lines in operation. According to the results obtained, determine the power transmission capability of the cable for a specific area of installation. On one hand, one of the most commonly used configurations for underground conductors and a definite type of medium-high power cable will be chosen. On the other hand, the emplacement, its properties and the boundary conditions will be also defined. The numerical methods used, particularly finite difference methods, will enable to make a partition of the case of study and generate a mesh where heat transfer equations will be particularized in order to simulate real phenomena that take place. Finally, results will be used to elaborate a study of the power transfer capability of the cable, either in steady or in transient state.. Key Words Underground power line, modelling, mesh, node, thermal gradient, thermal study, transmission capability, loadability..
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(11) Índice general Agradecimientos. I. Resumen. III. Abstract. V. Índice de figuras. XI. Índice de tablas. XIII. Índice de abreviaturas. XIV. Documento I: Memoria 1. Introducción 1.1. Contexto general . . 1.2. Motivación . . . . . . 1.3. Objetivo del proyecto 1.4. Alcance del proyecto. . . . .. 1 . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 2. Estado de la técnica 2.1. Cables de energı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Cables de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Cables de media y alta tensión subterráneos . . . . . . . 2.3.1. Componentes constitutivos . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Disposición de los cables subterráneos de potencia. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 9 . 9 . 9 . 10 . 11 . 16. . . . . . . .. 17 18 18 18 18 18 19 20. vii. . . . . . . .. . . . .. . . . . . . .. . . . .. . . . . . . .. . . . .. . . . . . . .. . . . .. . . . . . . .. . . . .. . . . . . . .. . . . .. . . . . . . .. . . . .. 3 3 6 7 7. . . . .. 3. Modelo térmico-eléctrico 3.1. Resistencias térmicas . . . . . . . . . . . 3.1.1. Resistencias térmicas en el cable . 3.1.2. Resistencia térmica en el terreno 3.2. Pérdidas eléctricas . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Pérdidas en el conductor . . . . . 3.2.2. Efecto pelicular . . . . . . . . . . 3.2.3. Efecto proximidad . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . ..
(12) ÍNDICE GENERAL. viii. 3.2.4. Pérdidas en las pantallas metálicas . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2.5. Pérdidas dieléctricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2.6. Resistencia eléctrica eficaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4. Ecuaciones de transferencia de calor 4.1. Mecanismos de transmisión de calor . . 4.1.1. Conducción . . . . . . . . . . . 4.1.2. Convección . . . . . . . . . . . 4.1.3. Radiación . . . . . . . . . . . . 4.2. Ecuación de conservación de la energı́a 4.2.1. Almacenamiento térmico . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 23 23 23 24 25 26 27. 5. Métodos numéricos 5.1. Método de diferencias finitas . . . . . . . . . . . 5.1.1. Balance de energı́a . . . . . . . . . . . . 5.2. Solución de las ecuaciones de diferencias finitas 5.2.1. Método de inversión de matrices . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 29 29 31 36 36. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 6. Metodologı́a 6.1. Descripción del entorno de trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Régimen permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1. Creación del mallado inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2. Posicionamiento del cable en el terreno y caracterización de propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3. Particularización de las ecuaciones de transferencia de calor 6.2.4. Resolución del problema térmico . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.5. Mallado adaptativo inteligente . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Régimen transitorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1. Creación del mallado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2. Posicionamiento del cable en el terreno y caracterización de propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3. Particularización de las ecuaciones de transferencia de calor 6.3.4. Resolución del problema térmico . . . . . . . . . . . . . . .. 39 . 39 . 40 . 40 . . . . . .. 45 45 59 61 64 64. . 65 . 65 . 78. 7. Análisis de sensibilidad y optimización 79 7.1. Mallado inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 7.2. Mallado adaptativo inteligente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 8. Resultados 8.1. Descripción del caso de estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Análisis de resultados en régimen permanente . . . . . . . . . . 8.2.1. Determinación de los regı́menes de carga más habituales 8.2.2. Caso de estudio a plena carga . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Análisis de resultados en régimen transitorio . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 91 91 93 93 97 105.
(13) ÍNDICE GENERAL. ix. 9. Conclusiones. 121. 10.Trabajos futuros. 123. Bibliografı́a. 125. Documento II: Estudio Económico 11.Estudio económico 11.1. Trabajo propio . . . . . 11.2. Licencias . . . . . . . . . 11.3. Internet . . . . . . . . . 11.4. Electricidad . . . . . . . 11.5. Asesoramiento . . . . . . 11.6. Edición y maquetación . 11.7. Otros costes . . . . . . . 11.8. Coste total del proyecto. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. 127 . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. 129 130 130 130 131 131 131 131 132. Documento III: Anexos. 133. A. Código de la herramienta A.1. codigo fuente . . . . . . . A.2. datos entrada . . . . . . . A.3. mallado inicial . . . . . . A.4. resolucion problemaRP . . A.5. inicializacion matricesRP A.6. posicion caracterizacionRP A.7. matrizARP . . . . . . . . A.8. vectorcRP . . . . . . . . . A.9. representacionesRP . . . . A.10.gradiente termico . . . . . A.11.mallado inteligente . . . . A.12.resolucion problemaRT . . A.13.inicializacion matricesRT A.14.posicion caracterizacionRT A.15.matriz sigma . . . . . . . A.16.matrizART . . . . . . . . A.17.vectorcRT . . . . . . . . . A.18.representacionesRT . . . . A.19.animacion . . . . . . . . .. 135 . 138 . 139 . 141 . 142 . 142 . 143 . 144 . 146 . 147 . 148 . 150 . 153 . 154 . 154 . 155 . 156 . 158 . 159 . 162. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. B. Tablas utilizadas en los análisis de sensibilidad 165 B.1. Mallado inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 B.2. Mallado adaptativo inteligente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170.
(14) x. ÍNDICE GENERAL. C. Diagramas de organización temporal. 171. D. Programas utilizados. 177.
(15) Índice de figuras 1.1. Evolución de la demanda eléctrica mundial [2]. . . . . . . . . . . . . .. 4. 2.1. Componentes de un cable unipolar subterráneo de potencia [8]. . . . . 11 2.2. Instalación de cables en ductos [21]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.1. Modelo termoeléctrico equivalente de un cable unipolar subterráneo de potencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2. Efecto pelicular en una sección de conductor a diferentes frecuencias. La corriente está representada en azul [9]. . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3. Efecto proximidad entre dos conductores cercanos. La corriente está representada en amarillo y los campos magnéticos en azul [9]. . . . . 20 4.1. Conservación de la energı́a para un volumen de control en un instante de tiempo t [10]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.1. Red Nodal [10]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.2. Flujos de calor por conducción hacia un nodo interior [10]. . . . . . . 32 6.1. Primera aproximación de mallado con 25 posiciones, tanto verticales, como horizontales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Segunda aproximación de mallado con F r = 0,8 y 25 posiciones, tanto verticales, como horizontales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Construcción de la matriz A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Mallado adaptativo inteligente con F r = 0,8, 25 posiciones, tanto verticales, como horizontales, y gradtemp = 100. . . . . . . . . . . . 6.5. Representación del mallado en la zona donde se sitúa el cable. . . .. . 43 . 60. 7.1. 7.2. 7.3. 7.4.. . . . .. Evolución Evolución Evolución Evolución. del del del del. programa, considerando todos los casos. . . . . . . . programa, sin considerar los casos descartados. . . . programa en función del número de caso. . . . . . . programa en función del número de nodos definidos.. . . . .. . 42. . 63 . 64 83 85 88 89. 8.1. Cable EPROTENAX H COMPACT [8]. . . . . . . . . . . . . . . . . 92 8.2. Relación temperatura máxima aislamiento e intensidad. . . . . . . . . 95 8.3. Mallado inicial en 2 dimensiones. Distribución de temperaturas en función de la posición de los nodos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98. xi.
(16) xii. ÍNDICE DE FIGURAS. 8.4. Mallado inicial en 3 dimensiones. Distribución de temperaturas en función de la posición de los nodos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5. Mallado inicial en 2 dimensiones. Distribución de temperaturas en función del número de nodos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6. Mallado inicial en 3 dimensiones. Distribución de temperaturas en función del número de nodos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7. Mallado inteligente adaptativo en 2 dimensiones. Distribución de temperaturas en función de la posición de los nodos. . . . . . . . . . . . 8.8. Mallado inteligente adaptativo en 3 dimensiones. Distribución de temperaturas en función de la posición de los nodos. . . . . . . . . . . . 8.9. Mallado inteligente adaptativo en 2 dimensiones. Distribución de temperaturas en función del número de nodos. . . . . . . . . . . . . . . 8.10. Mallado inteligente adaptativo en 3 dimensiones. Distribución de temperaturas en función del número de nodos. . . . . . . . . . . . . . . 8.11. Evolución, de tipo escalón, de la corriente que circula por el cable. 8.12. Evolución temporal de la temperatura del aislamiento en función de la variación de intensidad de tipo escalón. . . . . . . . . . . . . . . 8.13. Distribución de temperaturas en 3 dimensiones en el instante inicial. 8.14. Distribución de temperaturas en 3 dimensiones a los 15 minutos. . . 8.15. Distribución de temperaturas en 3 dimensiones a los 30 minutos. . . 8.16. Distribución de temperaturas en 3 dimensiones a los 45 minutos. . . 8.17. Distribución de temperaturas en 3 dimensiones a los 60 minutos. . . 8.18. Distribución de temperaturas en 2 dimensiones en el instante inicial. 8.19. Distribución de temperaturas en 2 dimensiones a los 15 minutos. . . 8.20. Distribución de temperaturas en 2 dimensiones a los 30 minutos. . . 8.21. Distribución de temperaturas en 2 dimensiones a los 45 minutos. . . 8.22. Distribución de temperaturas en 2 dimensiones a los 60 minutos. . .. . 99 . 100 . 101 . 102 . 103 . 104 . 105 . 106 . . . . . . . . . . .. 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119.
(17) Índice de tablas 7.2. Casos seleccionados en el análisis del mallado inicial. . . . . . . . . . 86 7.4. Casos seleccionados en el análisis del mallado adaptativo inteligente. . 90 8.1. 8.2. 8.3. 8.4.. Caracterı́sticas del cable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propiedades del suelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caracterı́sticas de los contornos del terreno. . . . . . . . . . . . . . Temperaturas máximas de los componentes del cable en función de la intensidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5. Grados de carga más comunes en el cable y sus respectivas temperaturas en el aislamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6. Evolución temporal de la temperatura máxima en el aislamiento. . .. . 92 . 93 . 93 . 94 . 97 . 108. 11.1. Coste total del proyecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132. xiii.
(18) Índice de abreviaturas CFD: Computational Fluid Dynamics (Dinámica de Fluidos Computacional), 6, 91, 122 CIGRE: Consejo Internacional de Grandes Redes Eléctricas, 3 EDO: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, 29 EDP: Ecuaciones Diferenciales Parciales, 29 EPR: Etileno propileno, 13 HEPR: Etileno propileno de alto gradiente, 92 IVA: Impuesto sobre el Valor Añadido, 130, 131 MDF: Método de Diferencias Finitas, 29 PE: Polietileno, 13, 15 PERT: Project Evaluation and Review Techniques (Técnicas de Revisión y Evaluación de Programas), 171, 177 PPLP: Polypropylene Laminated Paper (Polipropileno laminado con papel), 13 PVC: Policloruro de vinilo, 13, 15, 16 TE: Triple Extrusión, 14 XLPE: Polietileno reticulado, 13. xiv.
(19) ANÁLISIS TÉRMICO Y DE CAPACIDAD DE TRANSPORTE DE UN CABLE SUBTERRÁNEO DE POTENCIA. DOCUMENTO I: MEMORIA.
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(21) Capı́tulo 1 Introducción 1.1.. Contexto general. La electricidad está considerada como la forma de energı́a por excelencia para satisfacer las necesidades de la población. Entre otras caracterı́sticas, destacan la facilidad de transporte y utilización, ası́ como el bajo impacto ambiental que provoca en su punto final de consumo. Según los últimos informes del CIGRE (Consejo Internacional de Grandes Redes Eléctricas), existen diversos factores que están causando destacables modificaciones en el sector de la energı́a eléctrica, y lo condicionarán en un futuro próximo: 1. Aumento de la demanda de energı́a eléctrica. La demanda eléctrica mundial está creciendo en el presente y se estima que seguirá haciéndolo en el futuro. Por un lado, en algunos lugares del mundo, millones de personas todavı́a no tienen acceso a esta forma de energı́a, por lo que se prevén nuevos usuarios. Por otro lado, en muchos paı́ses en vı́as de desarrollo, se está realizando una mejora continua de la tecnologı́a existente y del remplazo de otros tipos de energı́a en electricidad, que dan como resultado un mayor consumo.. 3.
(22) 4. CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN. Figura 1.1: Evolución de la demanda eléctrica mundial [2]. 2. Cumplimiento de las necesidades ambientales. En los últimos años, las cuestiones medioambientales están tomando un mayor peso sobre la infraestructura del sistema de potencia, y en especial sobre las nuevas instalaciones. El impacto ejercido por el uso de combustibles fósiles en el calentamiento global, está desplazando el mercado energético hacia una dirección más sostenible, mediante la generación por medio de fuentes renovables. De igual modo, diversas preocupaciones como la escasez y necesidad de espacio disponible para la construcción de nuevas infraestructuras, el ruido y perturbaciones eléctricas, o las cuestiones de estética están en el punto de mira de la aceptación pública. 3. Influencia de la legislación y objetivos de los distintos paı́ses. Las regulaciones, junto con el grado de estandarización existentes en cada paı́s determinan el desarrollo de los sistemas eléctricos de potencia. 4. Influencia de las tecnologı́as emergentes. Las nuevas tecnologı́as contribuirán a satisfacer las necesidades técnicas, ambientales y socio-económicas, e influirán de manera determinante en la dirección de desarrollo del sistema eléctrico. Algunos de los avances más importantes son el uso de superconductores, nuevos aislantes de nanopartı́culas, mayor poder de telecomunicaciones, electrónica de potencia, cómputo, etc. Debido a la influencia de todos estos factores en el contexto socio-económico actual, se está desarrollando un cambio de paradigma concerniente al sistema de lı́neas de transporte y distribución de energı́a eléctrica..
(23) 1.1. CONTEXTO GENERAL. 5. En primer lugar, se están introduciendo nuevas competencias en la gestión de las redes eléctricas, pasando a recibir el calificativo de redes inteligentes, o mayormente conocidas, smart grids. Estas redes están basadas en la integración de tecnologı́as informáticas y de telecomunicaciones aplicadas al control de sistemas eléctricos de potencia, dispositivos e instalaciones a lo largo de la red. Gracias a ello es posible realizar un mayor avance hacia a la introducción de generación distribuida, como pueden ser las energı́as renovables, que están consideradas como las fuentes de energı́a del futuro. Además de lo anterior, se consigue optimizar las condiciones de operación relacionadas con una adecuada utilización de las redes, para lograr una mayor eficiencia energética y un aumento de la calidad de servicio. Tradicionalmente, no existı́a una regulación activa de la capacidad de transporte de las redes eléctricas. Esta regulación era más bien pasiva y estática, de manera que la red estaba gestionada únicamente por parámetros dependientes de las propiedades y caracterı́sticas de las lı́neas. En contraposición, en los últimos años, se está llevando a cabo una actualización del sistema, pasando a desarrollar una caracterización activa y dinámica de la capacidad de transporte. De esta forma, se logra por un lado, optimizar el aprovechamiento máximo de la lı́nea, y por el otro, minimizar el riesgo de sobrecargas innecesarias causadas por usos inadecuados en las redes. En segundo lugar, relacionado con el aumento de la capacidad de transporte derivado de la tendencia de crecimiento prolongado de la demanda eléctrica. Debido a este motivo resulta necesario construir nuevas redes de transporte y distribución de energı́a eléctrica, y/o aumentar la potencia que puede ser transferida por las ya construidas. En cuanto a nuevas construcciones, es habitual intentar predecir el comportamiento de las diferentes lı́neas para optimizar el dimensionado de la red y reducir los costes de instalación. La finalidad de estos estudios, tanto permanentes como transitorios, reside en elegir el cableado adecuado, de manera que pueda soportar una determinada potencia de carga sin que ningún componente resulte dañado, y al menor precio posible. Además debe estar preparado para posibles faltas o cortocircuitos. En algunas ocasiones no resulta muy factible realizar nuevas construcciones debido a consideraciones técnicas (falta de espacio) o ambientales (impacto visual), por lo que se suele dar más prioridad al aumento de potencia de las existentes. En los últimos años se está popularizando, de igual forma, soterrar grandes lı́neas de transporte eléctrico de alta y media tensión, ya que permiten solventar estos inconvenientes..
(24) 6. CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN. 1.2.. Motivación. Relacionado con lo comentado en la sección anterior, existen varias causas que han influido en la realización del presente proyecto. Gracias a la tendencia actual de crecimiento de la demanda eléctrica se necesitará aumentar el soporte técnico para hacer llegar más energı́a a mayor número de personas. Esto implica la construcción de nuevas lı́neas y el aumento de potencia de las existentes, y en muchos casos, diversos factores como los medioambientales condicionan a que las redes sean subterráneas. Por tanto, serı́a conveniente, realizar un análisis para dimensionar correctamente este tipo de instalaciones y reducir costes en instalación y en operación. La intensidad máxima admisible puede ser definida como aquella que circula por un cable de potencia en servicio permanente sin que ningún componente del mismo sufra daños. No es una caracterı́stica propia del cable como pudiera ser la resistividad. Depende de múltiples factores, siendo los más importantes: Tipo de cable. Método de instalación. Profundidad y configuración de la instalación. Temperatura ambiente y condiciones exteriores. Propiedades del terreno. Existencia de otros circuitos activos cercanos. Por este motivo es imposible obtener experimentalmente un valor de intensidad máxima admisible para cada emplazamiento y tipo de cable, ya que cada instalación es única, y las combinaciones son prácticamente infinitas. Debido a todo lo anterior, se pretende diseñar un programa como introducción a la simulación de las diferentes condiciones a las que puede estar sometida una instalación subterránea, y gracias a ello, poder calcular la corriente máxima admisible por el cable para ese emplazamiento especı́fico. De igual modo, debido a la regulación actual activa y dinámica de la capacidad de transporte, como se ha comentado en el apartado anterior, se va a introducir un estudio de carga del cable para condiciones transitorias a fin de poder adaptarse a esta tendencia novedosa de gestión de las redes. También hay que destacar, que en vez del uso de programas de Dinámica de Fluidos Computacionales (CFDs), se ha decidido diseñar una herramienta propia más especı́fica para los temas tratados. Estos programas actuales son de carácter general, y están más orientados a la simulación de dinámica de fluidos, y no tanto a la transferencia térmica de energı́a. Por ello, se ha creado una serie de algoritmos que permitan estudiar más detalladamente el calentamiento de los cables subterráneos de potencia y adaptarse al terreno en el que están soterrados..
(25) 1.3. OBJETIVO DEL PROYECTO. 1.3.. 7. Objetivo del proyecto. El objetivo principal del presente proyecto es la modelización de un cable subterráneo de potencia mediante la aplicación de métodos numéricos implementados en Matlab, con la finalidad de analizar las cargas térmicas y la capacidad de transporte del mismo, en función de las diferentes propiedades del terreno.. 1.4.. Alcance del proyecto. Empleando la herramienta de software matemático Matlab, diseñar un mallado adecuado que permita modelar un cable subterráneo de potencia, para posteriormente realizar un estudio térmico del mismo mediante la aplicación de diferencias finitas, tanto en régimen permanente, como en transitorio, y según las propiedades del terreno en el que se encuentra. Una vez concluido este estudio, determinar la capacidad de transporte del cable en función de las temperaturas de sus componentes y realizar varios análisis de carga variables. El proyecto está compuesto por las siguientes fases: 1. Estudio de la tecnologı́a presente en los cables subterráneos de potencia, englobando los componentes de los que están constituidos, las principales disposiciones en instalaciones existentes, y los fenómenos fı́sicos que en ellos tienen lugar. 2. Análisis de las ecuaciones de transferencia de calor y conservación de la energı́a, particularizándolas para el caso de estudio mediante la aplicación de métodos numéricos, y en concreto, diferencias finitas. 3. Desarrollo del código del programa, creación de los mallados e implementación de las ecuaciones discretizadas en el software Matlab. 4. Realización de análisis de sensibilidad para optimizar el programa. 5. Resolución del problema y estudio de las soluciones térmicas para determinar la capacidad de transporte del cable, tanto en régimen permanente, como en régimen transitorio. 6. Estudio económico del proyecto..
(26) 8. CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN.
(27) Capı́tulo 2 Estado de la técnica 2.1.. Cables de energı́a. Los cables eléctricos son elementos destinados al transporte de energı́a entre dos lugares diferentes y con la mayor eficiencia posible. Dependiendo del propósito de la instalación, este concepto de eficiencia puede referirse a distintas cuestiones. En el caso de una instalación de potencia, se debe vigilar que la reducción de las pérdidas asociadas a dicho transporte se minimicen lo máximo posible, mientras que si el propósito del cable es servir de soporte al envı́o de señales codificadas para telecomunicaciones, las perdidas pasan a un segundo plano, y la eficiencia se centra en el menor distorsionamiento de la señal. Este trabajo se centra únicamente en el estudio de los cables eléctricos de la primera modalidad mencionada, es decir los destinados al transporte de energı́a, por lo que en adelante cuando se hable de cable eléctrico se referirá exclusivamente a cable de potencia.. 2.2.. Cables de potencia. Atendiendo a términos relacionados con la eficiencia, una manera sencilla pero eficaz de reducir las pérdidas a lo largo del cable, es aumentando la tensión de la corriente transportada. De esta forma, una primera clasificación de los cables eléctricos de potencia puede realizarse en función de su tensión de servicio permanente o nominal: Cables de muy baja tensión. Hasta 50 V . Cables de baja tensión. Hasta 1000 V . Cables de media tensión. Hasta 30 kV . Cables de alta tensión. Hasta 66 kV . Cables de muy alta tensión. Por encima de 66 kV .. 9.
(28) 10. CAPÍTULO 2. ESTADO DE LA TÉCNICA. El objeto de estudio de este proyecto se va a centrar, de igual forma, en los cables de potencia subterráneos, tanto de media como de alta tensión, los cuales se irán describiendo con mayor detalle a partir de ahora.. 2.3.. Cables de media y alta tensión subterráneos. Entre los cables de media y alta tensión subterráneos existen diferentes configuraciones que es preciso resaltar. La primera de ellas está relacionada con el número de conductores que hay en un mismo cable: Cable unipolar: Un único conductor. Cable bipolar: Dos conductores. Cable tripolar: Tres conductores. Otra distinción general que podrı́a realizarse es por la naturaleza de sus componentes: Cables con conductores de cobre o de aluminio. Cables aislados con materiales termoplásticos, elastómeros, papel impregnado o aceite fluido. Cables protegidos con pantallas o armaduras. Dependiendo del tipo de instalación, se deberá escoger el cable con la mejor relación entre sus propiedades eléctricas, térmicas, quı́micas y mecánicas, que resulte más adecuado para ese determinado emplazamiento. Los cables son un componente esencial en los sistemas de transporte y distribución de energı́a. Permiten manejar la electricidad de manera eficiente y segura desde los lugares de producción hasta el consumidor final. Se pueden enumerar algunas de las aplicaciones más frecuentes de los cables de media y alta tensión: Entradas a subestaciones. Mallados de redes urbanas. Enlaces entre dos subestaciones. Sifones (cables intercalados entre lı́neas aéreas). Conexión de generadores. Transformadores auxiliares. Parques eólicos..
(29) 2.3. CABLES DE MEDIA Y ALTA TENSIÓN SUBTERRÁNEOS. 2.3.1.. 11. Componentes constitutivos. Los cables de media y alta tensión subterráneos están formados por los siguientes elementos: Conductor. Capa semiconductora interna. Aislamiento. Capa semiconductora externa. Pantalla metálica. Armaduras (opcional). Cubierta exterior.. Figura 2.1: Componentes de un cable unipolar subterráneo de potencia [8]. 2.3.1.1.. Conductor. Es el elemento encargado del transporte y circulación de la corriente eléctrica tanto en régimen nominal, como en sobrecarga y cortocircuito. También tiene la función mecánica de soportar los esfuerzos de tracción que puedan aparecer. Está situado en el seno del cable y es de naturaleza metálica. Ası́ mismo, debe tener una superficie exterior regular para facilitar un contacto perfecto con la capa semiconductora interna, y muy buena conductividad para minimizar las pérdidas por efecto Joule, fenómeno que se describirá con mayor detalle más adelante..
(30) 12. CAPÍTULO 2. ESTADO DE LA TÉCNICA. Por ello, los materiales más utilizados en la fabricación de los conductores de los cables son el cobre templado de alta conductividad y el aluminio de alta pureza. Por un lado, el cobre posee mejores caracterı́sticas eléctricas y mecánicas, pero por otro, el aluminio cuenta con menor peso y su precio resulta más económico. Según Prysmian Group, frente a los 8900 kg/m3 , y 6,7 ¿/m, el aluminio tiene unos valores caracterı́sticos de 2700 kg/m3 y 1,8 ¿/m, calculados para una misma resistividad final del cable frente al paso de la corriente. El conductor puede estar formado por uno o varios alambres que le otorgan flexibilidad al conjunto. Generalmente, existen tres disposiciones en cuanto a la constitución del conductor se refiere: Conductores de alambres redondos. Los alambres, de sección circular, son ensamblados concéntricamente en hélice. Ayudan a reducir el efecto proximidad, que se comentará con posterioridad. Conductores compactos. Los alambres se encuentran comprimidos para obtener una superficie más lisa y uniforme. Conductores segmentados. Los alambres, de sección sectorial, se agrupan formando un conductor de sección cilı́ndrica. 2.3.1.2.. Capa semiconductora interna. La función principal de este componente es lograr que el campo eléctrico se distribuya homogéneamente a lo largo del cable, y desaparezcan irregularidades puntuales, derivadas de la no idealidad en la uniformidad de la sección de conductor, que pueden aumentar innecesariamente las pérdidas. La capa semiconductora interna se encuentra sometida al mismo potencial que el conductor. Los materiales semiconductores utilizados para construir estas pantallas, situadas entre el conductor y el dieléctrico, tienen la exigencia de mantener una conductividad estable en el tiempo y que sea suficiente para garantizar un contacto efectivo con el electrodo metálico. Por otro lado, debe tener una adherencia al aislamiento perfecta, incluso en solicitaciones mecánicas severas, y asegurar unas superficies de contacto perfectamente lisas y homogéneas. Generalmente se utiliza un polı́mero similar como material base para las mezclas semiconductoras, ya que las propiedades tanto térmicas como mecánicas de las capas internas deben ser parecidas a las del propio material aislante. 2.3.1.3.. Aislamiento. Es el elemento encargado de confinar la corriente eléctrica en la sección del conductor y soportar la tensión existente entre éste y la pantalla metálica, conectada a tierra. Se trata de un componente crı́tico que se coloca alrededor de la capa semiconductora interna y del conductor de manera que los cubra totalmente y con un espesor adecuado a la tensión nominal del cable..
(31) 2.3. CABLES DE MEDIA Y ALTA TENSIÓN SUBTERRÁNEOS. 13. En régimen permanente, e incluso en determinadas sobretensiones transitorias, el campo eléctrico al que se encuentra sometido el aislamiento debe ser inferior al de su tensión de perforación para evitar la ruptura dieléctrica del medio. Además, hay que considerar un hecho de vital importancia. La temperatura máxima que pueda soportar el aislamiento, determinará la capacidad de transporte del cable tanto en régimen nominal, como en transitorio. Si se llegase a superar esta temperatura lı́mite de funcionamiento, el aislamiento podrı́a resultar dañado y con ello se reducirı́a enormemente la vida útil del cable. Tipos de aislamiento. Por un lado existe el aislamiento seco, que está formado por material polimérico extruido. Los más utilizados son: Polietileno reticulado (XLPE), (común en alta tensión). Etileno propileno (EPR), (común en media tensión). Polietileno (PE), (común en media tensión). Policloruro de vinilo (PVC). Las impurezas y la entrada de humedad son dos peligros asociados a estos aislamientos, que hacen que se reduzca la rigidez dieléctrica. Por otro lado, los cables también pueden estar formados por aislamiento de papel, capas encintadas de fibra celulosa impregnadas en aceite. Esta modalidad ofrece excelentes propiedades mecánicas y eléctricas, pero conlleva el riesgo de perder la impregnación del papel, lo que resultarı́a fatal para el cable. Existen dos configuraciones diferentes: Aceite fluido. El aceite circula por el interior del conductor, impregnando el papel del aislamiento a su paso. Impregnación en masa. El aceite permanece estático en las capas de papel del aislamiento. También existe un tercer tipo de aislamiento, denominado PPLP (Polypropylene Laminated Paper), que consiste en intercalar capas de papel con capas de polipropileno. Su uso queda restringido a instalaciones de muy alta tensión debido a su elevado coste. Caracterı́sticas adicionales. Además de las caracterı́sticas eléctricas, los materiales aislantes presentan otras adicionales según el tipo de instalación donde vayan a ser instalados, y que les permitan soportar las influencias externas durante su vida útil. Algunas de las más destacadas son: Absorción de agua y resistencia a la humedad. Resistencia al ozono..
(32) 14. CAPÍTULO 2. ESTADO DE LA TÉCNICA. Resistencia a la acción solar y radiación ultravioleta.. Resistencia a agentes corrosivos. Resistencia a la radiación gamma. Grado de polimerización, vulcanización o reticulación. 2.3.1.4.. Capa semiconductora externa. Cumple una función similar a la capa semiconductora interna y debe verificar las mismas caracterı́sticas. En oposición a ésta, en vez estar en contacto con el conductor y el dieléctrico, se encuentra dispuesta entre el aislamiento y la pantalla metálica. La capa semiconductora externa se encuentra sometida al mismo potencial que la pantalla, es decir a tierra. En el proceso de fabricación de cables de media y alta tensión, se suelen realizar al unı́sono los conformados de la tres capas que cubren al conductor (semiconductora interna, aislamiento y semiconductora externa). Este procedimiento se denomina triple extrusión (TE), elimina defectos e impurezas y dota a los cables de una fiabilidad muy superior a los convencionales. 2.3.1.5.. Pantalla metálica. Es un componente metálico indispensable en los cables de media y alta tensión, cuya finalidad es servir como protección eléctrica. Tiene la función de dar forma regular y cilı́ndrica al campo eléctrico que rodea el conductor cuando se encuentra sometido a tensión y conducir las intensidades inducidas por éste. Debido a la necesidad de despejar dichas intensidades es necesaria su conexión a tierra. Además, este hecho ofrece un blindaje ante potenciales inducidos por campos eléctricos externos. Existen diferentes tipos de pantallas metálicas: Pantallas estancas. Formadas por un tubo de plomo o láminas de aluminio corrugado. Pantallas no estancas. Formadas por alambres de cobre o aluminio, o bien, por pletinas de cobre. Suele estar formada por una corona de hilos de cobre en el caso de cables unipolares, o bien una cinta de cobre arrollada sobre el alma de cada uno de los conductores en cables tripolares. En ocasiones la pantalla también está rodeada por capas de protección contra la humedad. Sistemas de puesta a tierra. Por otro lado, en función del sistema de puesta a tierra de las pantallas metálicas podemos distinguir:.
(33) 2.3. CABLES DE MEDIA Y ALTA TENSIÓN SUBTERRÁNEOS. 15. Conexión en ambos extremos. Consiste en conectar los dos extremos de la lı́nea a tierra. Permite la circulación de corrientes, por lo que generalmente se utiliza para tramos cortos. Conexión de un extremo. La pantalla se conecta a tierra únicamente en un sólo extremo. No existe circulación de corrientes, pero se genera una tensión inducida que limita la longitud de la lı́nea. En ocasiones se conecta a tierra el punto central de la misma para conseguir mayor longitud de los tramos. Cruzamiento de pantallas. Está caracterizada por una conexión de los extremos a tierra, junto un cruzamiento de pantallas. Se anulan las corrientes de circulación debido al cruzamiento, lo que permite trabajar con lı́neas de longitud considerable. 2.3.1.6.. Armaduras. Son elementos, generalmente constituidos por compuestos metálicos, de protección del cable frente a esfuerzos mecánicos excesivos, ya sean de compresión o tracción. No son muy utilizadas en los cables de media y alta tensión subterráneos ya que aumentan las pérdidas por histéresis y corrientes de Foucault. Sólo se utilizan en los casos en los que se prevean importantes tensiones mecánicas, como es el caso de los cables submarinos. Las armaduras están fabricadas generalmente de acero y pueden encontrarse en forma de flejes, alambres, pletinas, tubos, etc. Hay que notar que a menudo, los cables con armadura tienen una capa no conductora situada entre la pantalla y la armadura conocida como acolchado de la armadura. 2.3.1.7.. Cubierta exterior. Su principal misión es proteger el cable frente a agentes dañinos externos: quı́micos, atmosféricos, biológicos, abrasivos, etc., y mejorar algunas caracterı́sticas internas que le permitan satisfacer de forma óptima sus prestaciones: materiales de relleno para dar forma cilı́ndrica, barreras antillama, etc. Es el elemento más externo del cable, situado sobre la pantalla y la armadura, si dispone de ésta. El material utilizado, como sus caracterı́sticas, vienen determinados por la naturaleza de la agresión externa a la que deberá hacer frente. Los compuestos más empleados para cables de media y alta tensión son: Policloruro de vinilo (PVC). Polietileno (PE). Polioloefina. Neopreno o hypalon (menos frecuente)..
(34) 16. 2.3.2.. CAPÍTULO 2. ESTADO DE LA TÉCNICA. Disposición de los cables subterráneos de potencia. Los cables subterráneos de potencia se pueden instalar directamente, o en ductos recubiertos de hormigón bajo el terreno. 2.3.2.1.. Cables directamente enterrados. Consiste básicamente en abrir una zanja en el terreno en la que se introducen los cables, siempre a una profundidad aproximada de un metro. Este tipo de instalación es muy común en zonas donde exista la posibilidad de reabrir la zanja para incluir nuevos tramos de cable o bien, realizar mantenimientos de los ya colocados. Las disposiciones más utilizadas son colocación de cables unipolares al tresbolillo, y en capa (en contacto o separados). Hay que destacar que los cables empleados en estas instalaciones deben estar preparados contra el ataque de agentes externos como la humedad. 2.3.2.2.. Cables alojados en ductos. Son instalaciones de mayor complejidad y sofisticación que las anteriores. Los cables se introducen en tubos uniformemente separados, y de materiales poliméricos como el PVC, o metálicos como el acero galvanizado.. Figura 2.2: Instalación de cables en ductos [21]. Mediante esta disposición se evita el contacto directo del cable con el terreno, por lo que se consigue una protección mecánica adicional que permite alargar la vida útil del mismo. En contraposición, los bancos de ductos tienen menor capacidad de disipación de calor que los cables directamente enterrados, por lo que la corriente de servicio admisible será ligeramente inferior. Los bancos de ductos permiten instalar gran cantidad de cables en pequeños espacios, gracias a ello, resultan especialmente útiles en zonas urbanas..
(35) Capı́tulo 3 Modelo térmico-eléctrico Para poder evaluar correctamente y de forma más intuitiva el funcionamiento real del cable sometido a tensión y con circulación de corriente eléctrica, se va a plantear un modelo térmico-eléctrico de la estructura del mismo a fin de contrastar los elementos más importantes que entran en juego. En este modelo, se representan las distintas capas del cable partiendo desde su eje longitudinal hasta la capa más exterior, ası́ como el entorno que lo rodea. La circulación de corriente eléctrica a través del cable genera unas pérdidas por efecto Joule, y por tanto se origina un flujo de calor desde el interior hacia el exterior del mismo. Como consecuencia, aparecerán diferencias de temperatura entre las distintas capas, que limitarán la corriente máxima que se puede transportar sin dañar los componentes del cable.. Figura 3.1: Modelo termoeléctrico equivalente de un cable unipolar subterráneo de potencia.. 17.
(36) 18. 3.1.. CAPÍTULO 3. MODELO TÉRMICO-ELÉCTRICO. Resistencias térmicas. El calor evacuado en cada una de las capas es proporcional a la diferencia de temperaturas en los extremos de las mismas y a la conductividad térmica del material, según la ecuación de transferencia de calor por conducción.. 3.1.1.. Resistencias térmicas en el cable. La resistencia térmica de cada una de las capas del cable depende de las dimensiones, diámetro exterior y espesor, y de la conductividad térmica del material. Las resistencias térmicas de los materiales conductores serán prácticamente despreciables debido a su elevada conductividad térmica.. 3.1.2.. Resistencia térmica en el terreno. La resistencia térmica externa del cable depende de la instalación donde se encuentre, de parámetros como la profundidad, la disposición de los cables y de las propiedades del terreno.. 3.2.. Pérdidas eléctricas. Las pérdidas eléctricas a lo largo de los componentes de cable provocarán un flujo de calor que es necesario evacuar para no dañar ningún material.. 3.2.1.. Pérdidas en el conductor. Las pérdidas en el conductor son debidas al fenómeno que se ha mencionado con anterioridad: el efecto Joule. La energı́a eléctrica transportada por un cable es el resultado de la suma de las energı́as cinéticas de los electrones que se desplazan en el seno del material conductor, impulsadas por un campo eléctrico creado al conectar el cable a tensión. No obstante, no toda esta energı́a cinética se aprovecha. Durante la marcha de la corriente eléctrica a través del cable, existen numerosos choques y rozamientos entre los electrones y los iones de la red cristalina que constituye el material conductor, de manera que le ceden parte de esta energı́a cinética, que posteriormente se disipa en forma de calor..
(37) 3.2. PÉRDIDAS ELÉCTRICAS. 19. De esta forma, las pérdidas por efecto Joule que se producen en el seno del material conductor por unidad de longitud se pueden expresar como: Wg = R · I 2. (3.1). Donde: Wg : Pérdidas por efecto Joule en el conductor, expresadas en W . R: Resistencia eléctrica del conductor, expresada en Ω. I: Corriente eficaz que circula por el conductor, expresada en A. La resistencia eléctrica del cable muestra la no idealidad del conductor frente al paso de la corriente. El valor de esta resistencia se considera a la máxima temperatura de servicio, es decir, aquella a la que circula corriente nominal por el conductor. Se puede expresar como: R = ρT ·. l s. (3.2). Siendo: ρT : Resistividad del material conductor, expresada en Ω · m. l: Longitud del cable, expresada en m. s: Sección transversal del conductor, expresada en m2 . Además de estas pérdidas por efecto Joule debidas a la no idealidad del material conductor, si circula por el cable corriente alterna, aparecen varios efectos a tener en cuenta que hacen aumentar las pérdidas eléctricas.. 3.2.2.. Efecto pelicular. El efecto pelicular está relacionado con la frecuencia de la corriente alterna. A medida que ésta aumenta, la densidad de corriente en la sección transversal del conductor se vuelve cada vez menos uniforme. Las variaciones de flujo magnético provocan que la corriente no se distribuya de igual forma por toda la sección. A medida que la frecuencia asciende, en el interior del conductor se inducen tensiones mayores y la densidad de corriente disminuye, mientras que en los exteriores del conductor, ocurre el proceso contrario. Es decir, la densidad de corriente aumenta a medida que nos alejamos del centro del conductor debido a la oposición que hace la tensión inducida al cambio de la corriente..
(38) 20. CAPÍTULO 3. MODELO TÉRMICO-ELÉCTRICO. Figura 3.2: Efecto pelicular en una sección de conductor a diferentes frecuencias. La corriente está representada en azul [9]. El efecto pelicular puede considerarse, a efectos prácticos, como una reducción de la sección efectiva del cable por la que circula corriente, aumentando de esta forma, la resistencia eléctrica del conductor.. 3.2.3.. Efecto proximidad. El efecto proximidad tiene lugar cuando dos o más conductores por los que circula corriente alterna están a una distancia relativamente cercana. Entre ambos conductores se generan efectos magnéticos que modifican la distribución de densidad de corriente en la sección transversal del mismo. De esta forma se altera la distribución uniforme de la corriente, provocando una disminución de la sección eficaz del conductor, y con ello un aumento de la resistencia eléctrica del mismo.. Figura 3.3: Efecto proximidad entre dos conductores cercanos. La corriente está representada en amarillo y los campos magnéticos en azul [9]. Las configuraciones que sufren este efecto son las bipolares, tripolares y multipolares, o bien, grupos de cables unipolares con configuraciones geométricas que favorezcan la cercanı́a de los conductores..
(39) 3.2. PÉRDIDAS ELÉCTRICAS. 3.2.4.. 21. Pérdidas en las pantallas metálicas. Las pérdidas ocasionadas por la pantalla metálica de los cables pueden ser de diferente naturaleza atendiendo al tipo de puesta a tierra que exista, siempre y cuando estén constituidas por compuestos ferromagnéticos. Si están formadas por materiales no magnéticos, como el cobre o el aluminio, estas pérdidas resultan despreciables. 3.2.4.1.. Pérdidas por corrientes de circulación. La corriente que circula por el conductor induce corrientes sobre la pantalla, al cerrarse una espiral que rodea una parte del campo magnético generado por la corriente principal. Éstas solo se originan cuando la pantalla está conectada a tierra en ambos extremos de la lı́nea. En el caso de pantallas conectadas a tierra en único extremo, las pérdidas son nulas. En instalaciones con pantallas permutadas, las corrientes de circulación son despreciables si las tres secciones que se producen entre los dos extremos conectados a tierra son idénticas. En todo caso, las pérdidas ocasionadas por las corrientes de circulación se expresan como una fracción de las pérdidas por efecto Joule en el conductor. 3.2.4.2.. Pérdidas por corrientes de Foucault. Se originan en las instalaciones donde la pantalla está en cortocircuito en un solo punto o está permutada. Las pérdidas por corrientes de Foucault también se expresan como una fracción de las pérdidas por efecto Joule en el conductor. 3.2.4.3.. Pérdidas por efecto proximidad. Debido al efecto de proximidad descrito anteriormente, se generan en las pantallas unas corrientes transversales distintas a las corriente de circulación. Estas corrientes suelen ser de un orden de magnitud inferior, por lo que es común despreciarlas.. 3.2.5.. Pérdidas dieléctricas. Al aplicar una tensión sobre el cable se genera un campo eléctrico que produce fugas de energı́a en el material aislante en forma de calor. Cobran especial relevancia en el transporte de corriente alterna mediante cables apantallados, ya que existe un camino adicional para la circulación de corriente. En el resto de casos pueden suponerse despreciables, especialmente trabajando con corriente continua y en cables de corriente alterna con tensiones no elevadas..
(40) 22. 3.2.6.. CAPÍTULO 3. MODELO TÉRMICO-ELÉCTRICO. Resistencia eléctrica eficaz. Hay que destacar que tanto las pérdidas derivadas de la resistencia eléctrica caracterı́stica del propio material conductor, como las pérdidas originadas por los efectos que se han descrito anteriormente, están agrupadas en una única resistencia eficaz R experimental. Ésta se encuentra tabulada en función del tipo y componentes del cable, y según su instalación, siguiendo las normas UNE. Será esta única resistencia eficaz la que se utilizará a lo largo del desarrollo del proyecto para evaluar las consiguientes pérdidas eléctricas del cable, ya que engloba todos los fenómenos que tienen lugar en el mismo..
(41) Capı́tulo 4 Ecuaciones de transferencia de calor Gracias al estudio de la termodinámica se conoce que la transmisión de energı́a tiene lugar mediante las interacciones de un sistema con su entorno, en forma de calor y trabajo. No obstante, sólo trata los estados finales del proceso, de manera que se precisa estudiar también la naturaleza de estas interacciones, ası́ como la rapidez en que se producen. Es por ello que se deben contemplar los diferentes mecanismos de transferencia de calor para realizar el análisis térmico. Hay que destacar que la creación de un flujo de calor entre diferentes zonas de un cuerpo, o entre varios cuerpos, está condicionada a la existencia de una diferencia de temperaturas en las zonas de estudio.. 4.1.. Mecanismos de transmisión de calor. Los problemas de transferencia de calor han sido estudiados a lo largo de muchos años, y se ha llegado a la conclusión de que existen únicamente tres mecanismos básicos mediante los cuales se representa la totalidad de los fenómenos de transmisión de calor.. 4.1.1.. Conducción. Se entiende por conducción la transferencia de energı́a en una determinada sustancia a causa de la vibración de los átomos o partı́culas de la misma. Las temperaturas más altas se asocian con las energı́as moleculares más elevadas, que al chocar constantemente con las moléculas vecinas transmiten parte de su energı́a a las menos energéticas. Es posible cuantificar la cantidad de energı́a que se transfiere por unidad de tiempo gracias a la conducción de calor, mediante una ecuación conocida como ley de Fourier. Para una única variable se expresa: qcond = −A · k ·. 23. dT dx. (4.1).
(42) 24. CAPÍTULO 4. ECUACIONES DE TRANSFERENCIA DE CALOR. Siendo: qcond : Flujo de calor por conducción en la dirección x, expresado en W . A: Área afectada perpendicular a la dirección de transferencia de calor, expresada en m2 . k: Conductividad térmica del material, expresada en W/(m · K). dT : dx. Gradiente de temperaturas en la dirección x, expresado en K/m.. El signo negativo indica que el flujo de calor se transfiere en la dirección de la temperatura decreciente.. 4.1.2.. Convección. El mecanismo de transmisión de calor por convección está basado en dos fenómenos fı́sicos que se complementan. Por una lado la transferencia de energı́a debida al movimiento molecular aleatorio, ya comentado en el caso anterior. Por otro lado, gracias al movimiento macroscópico de un fluido (lı́quido o gas), es decir, grandes números de moléculas se desplazan de forma colectiva transfiriendo calor en presencia de un gradiente de temperaturas. La convección puede ser libre (natural) o forzada. En el primer caso el fluido se desplaza gracias a las fuerzas gravitacionales y a diferencias de densidad, mientras que en el segundo, se empuja, se fuerza al fluido a moverse, como por ejemplo en el caso de ventiladores empleados para refrigeración. Representar los fenómenos de convección reales mediante ecuaciones fı́sicas no es una tarea sencilla. Cada caso de estudio es diferente y muchas de ellas sólo se pueden obtener de manera experimental. Sin embargo, para este proyecto acorde al cable eléctrico de potencia, se puede considerar, sin cometer mucha incertidumbre, la ecuación que representa la convección de calor, o también conocida ley de enfriamiento de Newton, como: qconv = A · h · (Ts − T∞ ). (4.2). Donde: qconv : Flujo de calor por convección, expresado en W . A: Área de contacto entre la superficie del cuerpo y el fluido, expresada en m2 . h: Coeficiente de transferencia de calor por convección, expresado en W/(m2 · K). Ts : Temperatura de la superficie del cuerpo, expresada en K. T∞ : Temperatura del fluido, expresada en K..
(43) 4.1. MECANISMOS DE TRANSMISIÓN DE CALOR. 25. El signo positivo indica que el flujo de calor se transfiere desde la superficie hacia el fluido. El coeficiente de transferencia de calor h es, generalmente, difı́cil de cuantificar ya que depende de múltiples factores como las propiedades y velocidad del fluido, la presión, la geometrı́a de contacto del sólido con el fluido, etc. No obstante, existen numerosos estudios experimentales a cerca de la determinación de los valores de dicho coeficiente para diferentes casos, todos ellos tabulados.. 4.1.3.. Radiación. El mecanismo de radiación térmica se puede considerar como la energı́a emitida por un cuerpo sólido, lı́quido o gas, por encontrarse a una determinada temperatura. Se atribuye a cambios en las configuraciones electrónicas de los átomos o moléculas que lo constituyen, y cuya energı́a es transportada por medio de ondas electromagnéticas, o fotones. La ecuación que representa la radiación neta, tanto emitida como recibida, se puede cuantificar para el caso de intercambio radiativo entre dos superficies grises en las que el tamaño de una es despreciable frente la otra: 4 qrad = A · · σ · (Ts4 − T∞ ). (4.3). Siendo: qrad : Flujo de calor por radiación, expresado en W . A: Superficie del cuerpo afectada, expresada en m2 . : Emisividad del material, adimensional. σ: Constante de Stefan-Boltzmann, aproximadamente 5,67 · 10−8 W/(m2 · K 4 ). Ts : Temperatura de la superficie del cuerpo, expresada en K. T∞ : Temperatura del ambiente, expresada en K. El signo positivo indica que el flujo de calor se transfiere desde la superficie hacia el ambiente. El término emisividad (0 ≤ ≤ 1) representa la no idealidad de los cuerpos reales en comparación con un cuerpo denominado negro, capaz de irradiar la máxima cantidad de energı́a posible. Hay que advertir que para el caso de estudio que se está desarrollando en este proyecto, la transmisión de calor por radiación no es significativa, siendo varios órdenes de magnitud inferior a la conducción o convección, y por tanto, se puede considerar despreciable. A partir de ahora no se volverá a hacer referencia a este mecanismo de transferencia de energı́a..
(44) 26. CAPÍTULO 4. ECUACIONES DE TRANSFERENCIA DE CALOR. 4.2.. Ecuación de conservación de la energı́a. Los conceptos de transferencia de calor y termodinámica son altamente complementarios. En la mayorı́a de los casos es necesario utilizar las herramientas que ambos proporcionan para la resolución de diversos problemas fı́sicos relacionados con este campo de estudio. Es el caso de la primera ley de la termodinámica o ley de conservación de la energı́a, que apoyada de los mecanismos de transferencia de calor, permite obtener muy buenos resultados. Estos conceptos se aplican sobre un volumen de control, que se define como una región del espacio limitada por una superficie de control a través de la cual se intercambia energı́a y materia. La ecuación de conservación de energı́a aplicada a un volumen de control debe cumplir la siguiente expresión sobre una base de velocidades, es decir en cada instante de tiempo t debe existir un balance entre todas las velocidades de energı́a, medidas en Vatios (W ): dEalmacenada dEentrante dEsaliente dEgenerada − + = dt dt dt dt Que se puede expresar como: Ėentrante − Ėsaliente + Ėgenerada = Ėalmacenada. (4.4). (4.5). Figura 4.1: Conservación de la energı́a para un volumen de control en un instante de tiempo t [10]. Por otro lado, si se considera un intervalo de tiempo ∆t, debe satisfacerse, de igual modo, el balance entre las cantidades de todos los intercambios de energı́a, medidos en Julios (J): Eentrante − Esaliente + Egenerada = ∆Ealmacenada. (4.6).
(45) 4.2. ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA. 27. La cantidad de energı́a, tanto térmica como mecánica, que ingresa en el volumen de control, más la cantidad de energı́a térmica que se genera dentro del volumen de control, menos la cantidad de energı́a térmica y mecánica que sale del mismo, debe ser igual al incremento o disminución de la cantidad de energı́a almacenada en el volumen de control. Los términos de entrada y salida se asocian con fenómenos de superficie, es decir, están relacionados con procesos que ocurren en la superficie de control y son proporcionales al área de la misma. La transmisión de calor por conducción, convección y radiación son ejemplos de fenómenos de superficie. El término de generación de energı́a está ligado a la conversión a energı́a térmica proveniente de otro tipo de energı́a (electromagnética, eléctrica, quı́mica o nuclear). En el caso de estudio de este documento, la generación de calor viene dada por conversión de energı́a eléctrica mediante efecto Joule, como se ha comentado en el capı́tulo anterior. Tanto este último término, como el de energı́a almacenada son fenómenos volumétricos, ocurren dentro del volumen de control y son proporcionales a la magnitud de su volumen.. 4.2.1.. Almacenamiento térmico. La energı́a interna de un cuerpo sólo puede cambiar cuando el balance de flujos comentado con anterioridad varı́e. La expresión de la variación de la energı́a almacenada en un determinado volumen de control se puede escribir de la siguiente manera: ∆Ealmacenada = V · ρ · cp · 4T Donde: ∆Ealmacenada : Variación de energı́a almacenada, expresada en J. V : Magnitud del volumen de control considerado, expresado en m3 . ρ: Densidad del material, expresada en kg/m3 . cp : Calor especı́fico del material, expresado en J/(kg · K). ∆T : Variación de temperaturas, expresado en K.. (4.7).
(46) 28. CAPÍTULO 4. ECUACIONES DE TRANSFERENCIA DE CALOR.
(47) Capı́tulo 5 Métodos numéricos El ser humano siempre ha tratado de modelar los fenómenos que ocurren en la realidad mediante modelos matemáticos que permitan vislumbrar las peculiaridades de los mismos. En muchas ocasiones, los métodos analı́ticos o exactos sirven para encontrar la solución cuando se aplican sobre geometrı́as básicas. Sin embargo en la mayorı́a de los casos, donde se trabaja con condiciones irregulares y complejas, estos métodos analı́ticos ven mermada su utilidad. Su aplicación resulta excesivamente compleja y muchas veces son incapaces de proporcionar soluciones válidas al problema. Es por ello que se han desarrollado los métodos numéricos, que a través de algoritmos, permiten obtener soluciones numéricas que aunque no exactas, se aproximan bastante a la realidad.. 5.1.. Método de diferencias finitas. Entre los distintos métodos numéricos para resolver Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP) y Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO), el Método de Diferencias Finitas (MDF) goza de gran aceptación debido a su gran versatilidad y la obtención de resultados adecuados. Este método consiste básicamente en introducir una malla sobre una región Ω del espacio y aproximar las derivadas del problema planteado por medio, generalmente, de la descomposición en serie de Taylor de la función. En otras palabras, se realiza una partición de la región del espacio que se pretende estudiar en un número determinado de pequeñas subdivisiones, las cuáles están representadas, en la mayorı́a de los casos, por un punto situado en el centro, también denominado nodo. Son en estos puntos discretos donde se aplican las ecuaciones aproximadas, representando ası́, un promedio de una determinada magnitud de la subdivisión en la que se encuentran. Gracias a esta consideración, se deben despreciar gradientes internos, contemplando únicamente los existentes entre las distintas particiones. A diferencia de los métodos analı́ticos, mediante los cuáles se puede obtener el valor de la magnitud en cualquier punto de interés de la región de estudio, en el caso de los métodos aproximados como el de diferencias finitas, sólo es posible obtener el valor de esa magnitud en los nodos previamente definidos.. 29.
(48) 30. CAPÍTULO 5. MÉTODOS NUMÉRICOS. Hay que destacar que a la hora de realizar el mallado resulta crucial adaptar correctamente el número de nodos a la geometrı́a de la región de estudio. Tanto los excesos como los defectos desmesurados de precisión conllevan asociados errores de cálculo por las ecuaciones aproximadas y errores propios de aproximación por falta de información de la región de estudio, respectivamente. Para el caso de una sola variable y dada una función U (x), desarrollando en series de Taylor en los puntos x + h y x − h, se tiene: U (x + h) ≈ U (x) + h · U 0 (x) +. h3 h2 · U 00 (x) + · U 000 (x) + ... 2 3!. h3 h2 · U 00 (x) − · U 000 (x) + ... 2 3! Sumando miembro a miembro ambas expresiones: U (x − h) ≈ U (x) − h · U 0 (x) +. U (x + h) + U (x − h) = 2 · U (x) + h2 · U 00 (x) + O(h4 ). (5.1) (5.2). (5.3). Despejando el término de la derivada segunda resulta: 1 [U (x + h) − 2 · U (x) + U (x − h)] (5.4) h2 Si ahora de (5.2) se resta (5.3), se sustituye la derivada segunda según (5.4), y se despeja la derivada primera, se obtiene la denominada diferencia central: U 00 (x) =. 1 [U (x + h) − U (x − h)] 2·h Se define la diferencia progresiva o “diferencia para adelante” como: U 0 (x) =. 1 [U (x + h) − U (x)] h y la diferencia regresiva o “diferencia para atrás” por: U 0 (x) =. (5.5). (5.6). 1 [U (x) − U (x − h)] (5.7) h A la hora de indicar la posición de los nodos dentro de la malla, suele designarse una serie de ı́ndices. Para el caso de transmisión de calor en dos dimensiones, se toma por ejemplo, m y n para las posiciones x e y, respectivamente, y se sustituye la función genéricaU (x, y) por la función temperatura T (m.n). U 0 (x) =.
(49) 5.1. MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS. 31. Figura 5.1: Red Nodal [10]. Empleando las ecuaciones (5.6), (5.7) y (5.4) obtenidas con anterioridad, los gradientes de temperatura se pueden expresar, respectivamente, como: ∂T ∂x ∂T ∂x ∂ 2T ∂x2. Tm+1,n − Tm,n ∆x. (5.8). ≈. Tm,n − Tm−1,n ∆x. (5.9). m+ 12 ,n. m− 12 ,n. ≈ m,n. ≈. Tm+1,n − 2Tm,n + Tm−1,n (∆x)2. (5.10). Para el caso del ı́ndice n, correspondiente a la coordenada y, las ecuaciones serı́an similares.. 5.1.1.. Balance de energı́a. Una vez planteados los gradientes de temperaturas en las diferentes direcciones que conforman el problema térmico, es necesario aplicar la ecuación del balance de energı́as sobre cada volumen de control, o subdivisión de la red nodal, según lo mencionado en el capı́tulo anterior. Hay que notar que en muchas ocasiones la dirección real del flujo de calor entre los diversos nodos que forman la malla se desconoce, por ello se suele formular el balance de energı́a suponiendo que todos los flujos de calor son entrantes hacia el nodo considerado. Aunque es imposible que esta condición tenga lugar de manera general en todos los volúmenes de la red, si las ecuaciones de flujo se expresan de manera coherente con esta suposición a lo largo de todos los nodos del mallado, se obtienen resultados igualmente válidos..
(50) 32. CAPÍTULO 5. MÉTODOS NUMÉRICOS. 5.1.1.1.. Régimen permanente. Para situaciones no dependientes del tiempo, o estables, el término de energı́a almacenada presente en la ecuación de conservación (4.5) deja de tener relevancia. Además siguiendo la suposición comentada con anterioridad (flujos de calor entrantes hacia el nodo) y valorando la existencia de generación se llega a la siguiente expresión: Ė entrante + Ėgenerada = 0. (5.11). A fin de simplificar y facilitar la comprensión se va a considerar un problema de transmisión de calor bidimensional de geometrı́a sencilla. En el centro se va a situar una región cuadrada con generación de calor y representada por las coordenadas m, n. Adyacentes, se situarán otras cuatro divisiones con las mismas dimensiones y propiedades. Véase figura (5.2).. Figura 5.2: Flujos de calor por conducción hacia un nodo interior [10]. Las ecuaciones de transferencia de calor por conducción, según (4.1), (5.8) y (5.9), particularizadas para este ejemplo son: q(m+1,n)→(m,n) = k · (∆y · z) ·. Tm+1,n − Tm,n ∆x. (5.12). q(m−1,n)→(m,n) = k · (∆y · z) ·. Tm−1,n − Tm,n ∆x. (5.13). q(m,n+1)→(m,n) = k · (∆x · z) ·. Tm,n+1 − Tm,n ∆y. (5.14). q(m,n−1)→(m,n) = k · (∆x · z) ·. Tm,n−1 − Tm,n ∆y. (5.15).
(51) 5.1. MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS. 33. Generalizando para cualquier geometrı́a de celda, se obtiene: Text − Tm,n (5.16) ∆l Por tanto, agrupando todos los términos, la ecuación de conservación de la energı́a sobre el nodo central escogido en el ejemplo es: q(nodo ext)→(m,n) = k · A ·. 4 X. q(nodo ext)→(m,n) + q̇gen · (∆x · ∆y · z) = 0. (5.17). Tm+1,n − Tm,n Tm−1,n − Tm,n + k · (∆y · z) · + ∆x ∆x Tm,n−1 − Tm,n Tm,n+1 − Tm,n + k · (∆x · z) · + +k · (∆x · z) · ∆y ∆y +q̇gen · (∆x · ∆y · z) = 0. (5.18). 1. k · (∆y · z) ·. Si además se considera que ∆x = ∆y, la ecuación anterior se reduce a:. Tm+1,n + Tm−1,n + Tm,n+1 + Tm,n−1 − 4 · Tm,n +. q̇gen · (∆x)2 =0 k. (5.19). Hay que destacar que en este ejemplo el nodo estudiado es interior, y que sólo aparecen mecanismos de conducción. Para los casos en los que los nodos se encuentren en las esquinas o laterales, las ecuaciones anteriormente citadas variarán convenientemente para adaptarse a la situación especı́fica del nodo estudiado y de los nodos colindantes. Para el caso de transmisión de calor por convección, según (4.2), la ecuación que rige el comportamiento de un volumen de control que intercambia energı́a por una de sus caras es: q(nodo ext)→(m,n) = A · h · (T∞ − Tm,n ). (5.20). Para obtener la solución del problema térmico en régimen permanente bastará particularizar las ecuaciones de los distintos mecanismos de transmisión de calor para el caso de estudio, y aplicarlas en el balance de conservación de la energı́a (5.11) para calcular la distribución de temperaturas..
(52) 34. CAPÍTULO 5. MÉTODOS NUMÉRICOS. 5.1.1.2.. Régimen transitorio. Además de las ecuaciones obtenidas para problemas térmicos estables, permanentes, resulta útil definir qué sucede en casos dependientes del tiempo, ya que la gran mayorı́a de los fenómenos que ocurren en la realidad tienen una componente transitoria. El término de energı́a almacenada ahora sı́ tendrı́a influencia sobre el balance neto, para un volumen de control dado, de manera que la ecuación general de conservación de la energı́a resulta de la siguiente manera: Ėentrante + Ėgenerada = Ėalmacenada. (5.21). Existen dos métodos generales para la discretización de las ecuaciones de conservación de la energı́a y mecanismos de transmisión de calor, los denominados explı́cito e implı́cito. En el primero, las temperaturas nodales, desconocidas, en el nuevo tiempo se calculan únicamente mediante las temperaturas nodales, conocidas, en el tiempo anterior. Es independiente de las temperaturas de los otros nodos para el mismo tiempo, exclusivamente para el anterior. En el segundo, la nueva temperatura del nodo (m, n) dependerá de las nuevas temperaturas de los nodos colindantes, todas ellas para el nuevo tiempo t + ∆t, y por tanto, desconocidas. Es necesario, entonces, resolver todas las ecuaciones de diferencias finitas simultáneamente para cada tiempo discreto, mediante el método de inversión de matrices como se comentará en la siguiente sección. El método explı́cito lleva consigo problemas de estabilidad si no se escoge convenientemente el valor de ∆t por debajo de cierto lı́mite. Por su parte, el método implı́cito es incondicionalmente estable, y por ello se empleará en el desarrollo de este trabajo para caracterizar los fenómenos transitorios por diferencias finitas. Se va a considerar de nuevo el mismo ejemplo bidimensional de la sección anterior. En este caso, en condiciones transitorias, sin generación interna de calor y sin almacenamiento térmico, para simplificar el problema y resaltar los conceptos propios de la dependencia temporal. De esta forma, la ecuación de calor se escribe: ∂ 2T ∂ 2T 1 ∂T · = + α ∂t ∂x2 ∂y 2. (5.22). Donde: α: Difusividad térmica del material, expresada en (m2 /s). Para particularizar esta ecuación en forma de diferencias finitas se puede emplear la aproximación de diferencia central (5.10) para las derivadas espaciales: ∂ 2T ∂x2 ∂ 2T ∂y 2. ≈. Tm+1,n − 2Tm,n + Tm−1,n (∆x)2. (5.23). ≈. Tm,n+1 − 2Tm,n + Tm,n−1 (∆y)2. (5.24). m,n. m,n.
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