Predicción de variables económicas: Ecuaciones diferenciales estocásticas de Itô

Estudios de Economía Aplicada Nº 15, 2000. Págs. 75-102

Predicción de variables económicas:

Ecuaciones diferenciales

estocásticas de Itô

GÓMEZ GARCÍA, J. BUENDÍA MOYA, F. PALACIOS SANCHEZ, M.A.

Universidad de Murcia RESUMEN

En este trabajo se utilizan los procesos log-normales multidimensionales con factores exógenos, entendidos como procesos de Itô, como metodología para modelizar el comportamiento temporal de la variable bidimensional (Gasto Público Nacional, Gasto Privado Nacional).

Se estudian la existencia y unicidad de soluciones y se resuelve la E.D.E. que gobierna este tipo de procesos, obteniendo la expresión analítica de los mismos y todas sus propiedades estadísticas, en par-ticular su función de densidad de transición y los momentos de las distribuciones p-dimensionales. Se aplican los resultados obtenidos para estudiar las características de la variable considerada y efectuar predicciones sobre la misma.

Palabras clave: Ecuación diferencial estocástica, procesos de Itô, difusión lognormal multidimensional.

ABSTRACT

In this article the problem of modelling the inter-temporal behaviour of a bi-dimensional variable (Spanish Public and Private Spending in this case) is faced by considering it as a log-normal multidimensional process with exogenous factors, taken as an Itô process. The stochastic differential equation that governs it is solved and the existence and uniqueness of its solutions is studied. Particular emphasis is put on the analytic expression of the transition density function and the moments of its p-dimensional distributions. The results, so obtained are applied to the study of the characteristic of the variable being considered and of its prediction function.

Keywords: Stochastic differential equation; Itô processes; log-normal multidimensional diffusion.

1. Introducción

Las aplicaciones de la difusión estocástica log-normal han sido hasta hace poco mucho más restringidas que las de la distribución log-normal, que ha sido utilizada como modelo probabilístico desde hace bastante tiempo. En general, los procesos de difusión son importantes por sus aplicaciones y en las últimas décadas la modelización estocástica ha alcanzado gran relieve. En particular, el proceso log-normal ha sido utilizado para modelizar variables, económicas sobre todo, en cuya evolución se pue-da formular una hipótesis de cambio proporcional al estado del sistema. Es el proto-tipo de procesos para los movimientos de precios especulativos en donde la varianza del logaritmo del precio crece proporcionalmente al tiempo. Tintner y Sengupta, en su Stochastic Economic (1972) consideran estos procesos como gobernadores de gran número de fenómenos en los que se trata de estudiar el comportamiento de una variable económica. Así, los trabajos de Cox y Ross(1976) y Merton(1976), re-presentaron importantes contribuciones en las aplicaciones de estos procesos a cam-pos como marketing, seguros, control de precios, cartera de valores, etc.

Entre otros trabajos en los que se estudian los procesos log-normales o se aplican a problemas de desarrollo económico o gasto público destacamos los de Tintner, G y Bello(1968); Tintner,G, and Gómez, G.L.(1979); Tintner, G and Narayanan, R.(1966); Tintner, G and Patel, R.C.(1966); Tintner, G and Sengupta(1972); Tintner, G and Thomas(1963); Gómez, L and Tintner, G.(1981); Gutiérrez, R.(1981); Gutiérrez, R., Hermoso, A. and Molina, M.(1986); Hermoso Carazo, M.A.(1983); Molina Fernández, M.(1983); Gutiérrez, R., Angulo, J.M., González, A. and Pérez, R.(1991); Palacios Sanchez, M.A.(1995).

En estos trabajos, que tienen como objetivos, unos la aplicación a la modelización de ciertas variables económicas y otros la inferencia sobre el coeficiente de tendencia del proceso, se parte para definir el proceso del carácter markoviano o de la propie-dad de difusión y de la función de densipropie-dad de transición, o bien se define por sus dos primeros momentos infinitesimales y se plantean las ecuaciones de Kolmogorov aso-ciadas al proceso para dar la función de densidad de transición como solución co-mún de las mismas. Pero en realidad no se resuelven las ecuaciones de difusión ni se analiza en cada caso si la función de densidad de transición es solución de alguna de las ecuaciones de difusión, cuestión necesaria puesto que las ecuaciones de difusión son válidas bajo ciertas hipótesis sobre la función de densidad de transición y esta es desconocida. Es precisamente lo que pretenden hallar.

En los trabajos anteriores que presentan los procesos log-normales como solución de ciertas ecuaciones diferenciales estocásticas (E.D.E) sólo se estudia la existencia y unicidad de las soluciones, pero no se resuelven esas ecuaciones ni se obtiene, por tanto, las expresiones analíticas de cada uno de los procesos ni se hace el estudio de estos a través de las soluciones de las E.D.E. planteadas.

Nosotros, en este trabajo, estudiamos los procesos log-normales multidimensionales con factores exógenos, exclusivamente desde la perspectiva de las soluciones de una cierta E.D.E, o sea, como procesos de ITÔ. Planteamos, estudiamos la existencia y unicidad de soluciones y resolvemos la E.D.E. que gobierna este tipo de procesos, obteniendo la expresión analítica de los mismos y hallando a partir del estudio de esta solución todas las propiedades estadísticas de estos procesos, en particular su función de densidad de transición y los momentos de las distribuciones p-dimensionales o momentos del proceso propiamente dichos, y no sólo los de las distribuciones unidimensionales, únicos momentos obtenidos hasta ahora. Por tanto, no utilizamos las ecuaciones de Kolmogorov para el cálculo de la densidad de transición, sino que hallamos esta a partir de la expresión analítica de los procesos, y analizamos si la densidad de transición es solución, y solución única, de alguna de las ecuaciones de Kolmogorov. Nuestro procedimiento no es sólo una alternativa al empleo de las ecuaciones de difusión, que en general se han resuelto explícitamente sólo para unos pocos casos sencillos (ver, p.e. Bouleau(1988 pp.325); Todorovic(1992 pp.226); Arnold(1974 pp.160); Bhattacharya-Waymire(1990 pp.390-393) ó Sobczyk(1991 pp.41-46)) para el cálculo de las densidades de transición, sino que representa una metodología que se revela potente para desarrollar las propiedades estadísticas de estos procesos, obtenidos como solución de una determinada E.D.E.

Un tratamiento análogo para el caso de los procesos log-normales unidimensionales con factores exógenos se puede ver en Buendía Moya y Gómez García (1995), para una generalización de los procesos log-normales unidimensionales, una generaliza-ción del proceso de Uhlenbeck-Ornstein y para las potencias de los procesos lognormales, en Buendía Moya y Gómez García (1997), y para los procesos log-normales multidimensionales homogéneos en Buendía Moya y Gómez García (1998). La importancia de introducir factores que sólo dependen del tiempo en el coefi-ciente de tendencia o en el vector de coeficoefi-cientes de tendencia de los procesos log-normales es grande. Desde el punto de vista matemático tiene interés porque las E.D.E que aparecen ya no son tiempo independientes, claro está, y los procesos solución no son ya homogéneos, por lo que se precisa una discusión más detallada acerca de sus ecuaciones de Kolmogorov. Por otra parte, los procesos que se obtie-nen al reducir las E.D.E mediante un cambio de variable no son ahora movimientos Brownianos. Pero las soluciones, tanto en el caso vectorial como en el escalar, man-tienen el carácter log-normal (ver Buendía Moya, F.(1998)).

Desde el punto de vista de las aplicaciones a la modelización de variables econó-micas, por ejemplo, el introducir factores exógenos puede mejorar la capacidad ex-plicativa y la fiabilidad predictiva del modelo (ver Tintner and Gómez(1979) o Pala-cios Sánchez(1995)).

Aplicaremos este modelo para el estudio de la evolución y comportamiento del vector aleatorio (consumo público, consumo privado) en España durante el perio-do.1984-1997, como un proceso log-normal bidimensional. Introduciremos los fac-tores exógenos Exportaciones y Producto interior bruto per cápita (P.I.B) de forma lineal respecto de los parámetros en el vector de coeficientes de tendencia del proce-so (vector drift). Después de estimar los parámetros del modelo comparamos los valores reales con los estimados a través de los vectores de medias, de medianas y de modas del proceso y analizamos en cada caso la bondad de las estimaciones y la fiabilidad de las predicciones del modelo. Estudiamos, además, la correlación entre las variables de las distribuciones unidimensionales y bidimensionales del proceso estimado.

Para otras formas funcionales de introducir los factores exógenos en el vector drift del proceso, manteniendo el carácter log-normal de las soluciones de la E.D.E, ver Buendía Moya, F. (1998).

2. El proceso log-normal. Existencia y unicidad de soluciones

2.1. Construcción de la E.D.E. Existencia y unicidad de soluciones Consideramos la función

[

)

( )

( )

( )

( )

( )

t 1 0 2 1 2 0 2 1 1 1 0 1 x , m , 0 : m             ₊ ⋅⋅ ⋅⋅     ₊     ₊ = → × ∞

∑

∑

∑

= = = + n k j j j n n k j j j k j j j n n x t G m m x t G m m x t G m m t R R , , , (2.1.1) de componentes

( )

t m m G

( )

t x i n m i k j j j i i i ,x 1,2,..., 1 0 =     ₊ =

∑

= _(2.1.2) donde mj R

(

i n j k

)

i ∈ =1,2,..., ; =0,1,..., , y las funciones G1

( )

t ,...,Gk

( )

t , llamadas

factores exógenos, pues no dependen del estado del proceso, están definidas sobre

Asimismo, consideremos la función matricial

( )

( )

( )

(

ij

)

_{i,j 1,2,...,n} n n n

,

t

:

R

M

R

)

,

0

[

:

= × +

β

=

β

→

×

∞

β

j i

x

x

x

(2.1.3) con

( )

n ,..., 2 , 1 ij ij ₌

β

=

B

una matriz dada de elementos

β

_ij

∈

R

, definida positiva y

simé-trica. Como

( )

n ,..., 2 , 1 ij ij ₌

β

=

B

es fijada de antemano, buscamos una matriz β*(t, x) tal que

( ) ( )

t

,

[

t

,

]

( )

t

,

(

ij

x

i

x

j

)

_{i,j=1,2,...,n}

∗

∗

_β

₌

_β

₌

_β

β

x

x

t

x

(2.1.4)

Entonces planteamos la E.D.E.

( )

(

( )

)

(

( )

) ( )

( )

0

( )

R

t

0

t

d

t

,

t

dt

t

,

t

t

d

n 0 *

≥

∈

=

β

+

=

+

X

X

W

X

X

m

X

(2.1.5) donde

{

X

( )

t

,

t

≥

0

}

es un proceso con valores en

( )

R

+ n y, naturalmente,

W

( )

t

es un proceso Wiener o de movimiento Browniano n-dimensional standard.

Esta ecuación diferencial estocástica tiene sentido, pues las funciones

( )

t

,

x

( )

t

,

x

m

y

β

∗ cumplen

∀

T

∈

[

0

,

∞

)

y

∀

x

∈

( )

R

+ n: (1)

∫

( )

t

,

dt

<

∞

T 0

x

m

(2)

∫

β

∗

( )

<

∞

T 0 2

dt

,

t x

En efecto:

( )

[

( )

]

( )

( )

≤

(

+

)

<

∞

+

≤





























+

=













=

∑

∑

∑

∑

∑

∑

= = = = = = n 1 i i i i n 1 i k 1 j j j i 0 i 2 1 2 i 2 n 1 i k 1 j j j i 0 i 2 1 n 1 i 2 i

x

M

1

k

x

t

G

m

m

x

t

G

m

m

x

,

t

m

,

t x

m

con [ ]

( )

{

m

,

max

m

G

t

j

1

,

2

,...,

k

}

max

M

_ij _j T , 0 t 0 i

i

=

_∈

;

=

, que existen por ser cada

G

j

( )

t

con-tinua en

[ ]

0

,

T

. De ahí se obtiene (1).

( )

{

( ) ( )

[

]

}

( )

_∑

= ∗ ∗ ∗

₌

_β

_β

₌

_β

₌

_β

_<

_∞

β

n 1 i 2 i ii 2

,

t

traza

,

t

,

t

traza

,

t

x

x

x

t

x

x

de donde resulta (2).

Para establecer la existencia y unicidad del proceso solución de la E.D.E. (2.1.5) podemos, naturalmente, comprobar que las funciones

m

( )

t

,

x

y

β

∗

( )

t

,

x

satisfacen las condiciones del teorema de existencia, unicidad y carácter de difusión de las soluciones (ver, por ejemplo, Gihman and Skorohod (1972 pp. 40-43), ó Arnold (1974 pp. 153). Sin embargo, nosotros obtendremos esa conclusión aplicando el teorema de cambio de estado (ver Bhattacharya-Waymire (1990 pp.382) ó Ikeda-Watanabe (1989 pp.197) al proceso

Y

( )

t

=

log

X

( )

t

(logaritmo Neperiano) que satisface una

E.D.E más sencilla, que nosotros vamos a establecer en lo que sigue, y para la que es inmediata la comprobación de la existencia y unicidad de la solución

Y

( )

t

y el

carác-ter de difusión de esta.

2.2. Expresión del proceso log-normal vectorial con factores exógenos Si definimos la variable

( )

( )

(

( ) ( )

( )

)

t

(

( )

( )

( )

)

t

X

Y

t

=

log

t

=

Y

₁

t

,

Y

₂

t

,...,

Y

_n

t

=

log

X

₁

t

,

log

X

₂

t

,...,

log

X

_n

t

y aplicamos el lema de Itô Itô para procesos vectoriales obtenemos (ver Buendía Moya,

F. (1998)), que el proceso

{

Y

( )

t

,

t

≥

0

}

verifica la E.D.E.

( )

( )

0

log

t

0

d

dt

diag

2

1

t

d

0

≥

=

+













₋

=

∗

X

Y

W

B

B

m

Y

(2.2.1) con

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

(

)

_∑

( )

∑

∑

∑

= = = =

+

=

=













+

+

+

=

k 1 j j j 0 n 2 1 k 1 j k 1 j j j n 0 n j j 2 0 2 k 1 j j j 1 0 1

t

G

t

m

,...,

t

m

,

t

m

t

G

m

m

...,

,

t

G

m

m

,

t

G

m

m

t

m

m

m

t t





















































=

























=

























=

k n k 2 k 1 k 1 n 1 2 1 1 1 0 n 0 2 0 1 0

m

m

m

,....,

m

m

m

,

m

m

m

M

M

M

m

m

m

ponemos

Si

(

)

t

B

₁₁

,

₂₂

,...,

_nn

diag

=

β

β

β

y B* verificando

B

∗

( )

B

∗ t

=

B

. Si en (2.2.1) ponemos

( )

diag

( )

t

2

1

t

−

B

=

µ

m

_(2.2.2)

podremos escribir esa ecuación de la forma

( ) ( )

( )

( )

0

log

R

t

0

t

d

dt

t

t

d

n 0 0

=

∈

≥

=

+

µ

=

∗

Y

X

Y

W

B

Y

(2.2.3) para la que es sencillo obtener (ver, p.e., Buendía Moya, F. (1998)) que tiene una única solución

{

Y

( )

t

,

t

≥

0

}

, que es un proceso de difusión con vector de coeficientes

de tendencia µµ(t) y matriz de difusión

( )

( )

n j i ij

B

B

B

,..., 2 , 1 , t = ∗

∗

₌

₌

_β

_{, y que este proceso}

solución es

( )

∑

₌

+

σ

+













₋

=

k 1 j t 0 j j 0

)

t

(

W

G

m

t

diagB

2

1

m

)

t

(

Y

( )

)

B

(

n ,..., 2 , 1 j , i ij * =

σ

=

=

σ

(2.2.4) donde

( )

G

G

( )

s

ds

t 0 j t 0 j

=

∫

Se sigue de lo anterior que el proceso

{

( )

t

=

e

Y( )t

,

t

≥

0

}

X

es solución de la E.D.E.

(2.1.5), que es solución única y que es un proceso de difusión con vector de coefi-cientes tendencia (vector drift)

m

( )

t

,

x

dado por (2.1.1), y matriz de difusión

( ) ( )

t

,

[

t

,

]

( )

t

,

(

ij

x

i

x

j

)

i,j=1,2,...,n

∗

∗

_β

₌

_β

β

x

x

t

=

=

x

Este proceso es el proceso logarítmico-normal n-dimensional con k factores exógenos, denotado LN(n,k,m,m), donde m m hace referencia al vector paramétrico

(

j

0

,

1

,...,

k

;

i

1

,

2

,...,

n

)

m

j

i

=

=

,

(

k

+

1

)

×

n

dimensional.

2.3. Características estadísticas del proceso

El proceso

{

Y

( )

t

,

t

≥

o

}

es, por tanto, un proceso Gaussiano vectorial, no de

movi-miento Browniano (el vector de coeficientes de tendencia ó vector drift no es constan-te), con funciones media y covarianza

( )

[ ]

( )

( ) ( )

[

Y

Y

]

Cov

[

W

( )

W

( )

]

[

( )

I

]

( )

B

Cov

m

B

m

Y

Y

s

,

t

min

s

,

t

min

s

,

t

s

,

t

G

t

diag

2

1

t

E

t k 1 j t 0 j j 0 0

=

σ

σ

=

σ

σ

=

+













₋

+

=

∑

= (2.3.1) de donde, en particular, la matriz de varianzas-covarianzas de la variable n-dimensio-nal general

Y

( )

t

, será

( )

[ ]

Y

t

Cov

=

Cov

[

Y

( ) ( )

t

,

Y

t

]

=

t

B

(2.3.2) de modo que

Y t

(

)

sigue una distribución

( )

_







+













₋

+

∑

= k 1 j t 0 j j 0 0 n

diag

t

G

,

t

2

1

N

Y

m

B

m

B

_(2.3.3)

La función generatriz de momentos de las distribuciones p-dimensionales del pro-ceso

{

Y

( )

t

,

t

≥

o

}

es para toda colección finita

(

t

1

,

t

2

,...

t

p

)

de números reales

positivos,(ver Arnold (1974 pp. 25))

( )

( )

( )

[

]





























+













₊













₋

+

=

























∑∑

∑

∑

∑

= = = = = t

u

B

u

m

B

m

Y

u

Y

u

j p 1 i p 1 j j i i p 1 i k 1 r t 0 r r i 0 0 i i p 1 i i

.

t

,

t

min

.

2

1

G

t

diag

2

1

.

exp

t

.

exp

E

i en donde

(

u

,

u

,..,

u

in

)

R

n

,

i

1

,

2

,..,

p

2 i 1 i i

=

∈

=

u

. (2.3.4)

En particular, para las distribuciones bidimensionales y unidimensionales del pro-ceso tenemos respectivamente

( ) ( )

(

)

{

[

( )

( )

]

}

( )

( )

( )

( )

( )

[

]













































+

+













+













₋

+

+

+













+













₋

+

=

+

=

∑

∑

= = t t t Y Y

u

B

u

u

B

u

m

B

m

Y

u

u

B

u

m

B

m

Y

u

Y

u

Y

u

u

u

2 1 2 2 k 1 j s 0 j j 0 0 2 1 1 k 1 j t 0 j j 0 0 1 2 1 2 1 s , t

.

s

,

t

min

.

.

s

.

2

1

G

s

diag

2

1

.

.

t

.

2

1

G

t

diag

2

1

.

exp

s

.

t

.

exp

E

,

F

(2.3.5) (2.3.6)

Entonces para el proceso

{

X

( )

t

,

t

≥

0

}

tenemos, de (2.2.4)

( )

( )

{

[

( )

]

}

( )

( )

_























+













+













₋

+

=

=

∑

= t Y

u

B

u

m

B

m

Y

u

Y

u

u

.

t

.

2

1

G

t

diag

2

1

.

exp

t

.

exp

E

F

k 1 j t 0 j j 0 0 t

( )

( )

( )

0

t

t

G

t

diag

2

1

exp

t

k 1 j t 0 j j 0 0

≥













+

+













₋

=

∑

=

W

m

B

m

X

X

(2.3.7)

y

X

( )

t

está log-normalmente distribuida. En forma de componentes es

( )

t

m

( )

G

W

( )

t

i

1

,

2

,...,

n

2

1

m

exp

X

t

X

n 1 r r ir k 1 j t 0 j j i ii 0 i i 0 i



=











+

+













₋

=

∑

∑

= =

σ

β

0

≥

t

(2.3.8)

Los momentos de las distribuciones p-dimensionales conjuntas del proceso LN(n,k,m,m)

{

X

( )

t

,

t

≥

0

}

los hallaremos a partir de (2.3.4) de la forma siguiente:

( ) ( )

( )

[

]

( )

[

]

[

( )

]

[

( )

]

[

( )

]

[

( )

]

[

( )

]

{

}

( )

( )

























=





























=

=

∑

∑∑

_{= = =}p 1 i i i p 1 i n 1 j i j j i u p n u p 2 u p 1 u 1 n u 1 2 u 1 1 p 2 1 ,.., ,

t

.

exp

E

t

Y

u

exp

E

t

X

....

t

X

.

t

X

...

t

X

....

t

X

.

t

X

E

t

,..,

t

,

t

m

n p 2 p 1 p n 1 2 1 1 1 p 2 1

Y

u

X

X

X

u u u

( )

( )

[

]

_



























+













₊













₋

+

=

∑∑

∑

∑

= = = = t

u

B

u

m

B

m

Y

u

j p 1 i p 1 j j i i p 1 i k 1 r t 0 r r i 0 0 i

.

t

,

t

min

.

2

1

G

t

diag

2

1

.

exp

i (2.3.9)

Nos interesan especialmente los siguientes momentos de las distribuciones bidimensionales y unidimensionales del proceso:

1). Para

_











=













=

=

2

,

0

,

0

,..,

1

,

0

,..,

0

0

,

0

,..,

1

,

0

,..,

0

p

j 2 i 1

u

u

y

(2.3.10) 2) Los momentos marginales cualesquiera de las distribuciones unidimensionales, o sea de la variable

X

( )

t

general del proceso.

Para

p

=

1

,

u

₁

=

u

=

(

ν

₁

,

ν

₂

,..,

ν

_n

)

y

t

₁

=

t

( )

[ ]

{

[

( )

]

[

( )

]

[

( )

]

}

{

[

( )

]

}

( )

( )

















+













+













₋

+

⋅

=

⋅

=

∑

= t

u

B

u

m

B

m

X

u

Y

u

X

t

2

1

G

t

diag

2

1

log

exp

t

exp

E

t

X

....

t

X

.

t

X

E

t

m

k 1 j t 0 j j 0 0 n 2 1 ,..., , n 2 1 n 2 1

=

ν ν ν ν ν ν

( )

















+













₊













₋

⋅

=

∑

= t

uBu

m

B

m

u

t

2

1

G

t

diag

2

1

exp

X

.

X

.

X

k 1 j t 0 j j 0 n 0 02 01 n 2 1 ν ν ν

_L

(2.3.11) 3). Los casos particulares del anterior

3.1. Para













=

=

1

0

,

0

,..

2

,

0

,..

0

p

i 1

u

u =

y

( )

[

]

{

X

t

}

( )

X

exp

2

m

t

2

m

( )

G

t

i

1

,

2

,..,

n

E

k 1 j ii t 0 j j i 0 i 2 i 0 2 i



=











+

+

=

∑

=

β

_(2.3.12) 3.2. Para













=

=

1

0

,

0

,..

1

,

0

,..

0

p

i 1

u

u =

y

( )

[

X

t

]

X

exp

m

t

m

( )

G

i

1

,

2

,...,

n

E

k 1 j t 0 j j i 0 i i 0 i



=







+

=

∑

=

_(2.3.13) (vector de medias)

( ) ( )

[

]

( )

( )

( )

( )

( )

[

]

( )













₊

₊

₊

₊

=

























+

+

+













₋

+

+

+

+













₋

+

=

∑

∑

∑

= = =

s

,

t

min

G

m

G

m

s

m

t

m

exp

X

X

s

,

t

min

s

2

1

G

m

s

2

1

m

Y

t

2

1

G

m

t

2

1

m

Y

exp

s

X

t

X

E

ij k 1 r s 0 r r j t 0 r r i 0 j 0 i j 0 i 0 k 1 r ij jj s 0 r r j jj 0 j k 1 r oj ii t 0 r r i ii 0 i i 0 j i

β

β

β

β

β

β

De las expresiones anteriores deducimos para la matriz función covarianza del proceso

( ) ( )

[

X

t

,

X

s

]

=

(

Cov

[

X

i

( ) ( )

t

,

X

j

s

]

)

_i,j=1,2,..,n

Cov

( ) ( )

[

]

[

( ) ( )

]

[

( )

]

[

( )

]

( )

( )

[

]

( )

( )

( )

( )

( )

[

m

G

m

G

]

{

exp

[

min

( )

t

,

s

]

1

}

s

m

t

m

exp

X

X

G

m

s

m

exp

X

G

m

t

m

exp

X

s

,

t

min

G

m

G

m

s

m

t

m

exp

X

X

s

X

E

t

X

E

s

X

t

X

E

s

X

,

t

X

Cov

ij k 1 r s 0 r r j t 0 r r i 0 j 0 i j 0 i 0 k 1 r s 0 r r j 0 j j 0 k 1 r t 0 r r i 0 i i 0 ij k 1 r s 0 r r j t 0 r r i 0 j 0 i j 0 i 0 j i j i j i

−













₊

₊

₊

=













₊













₊

−













₊

₊

₊

₊

=

−

=

∑

∑

∑

∑

= = = =

β

β

n

,...,

2

,

1

j

,

i

=

(2.3.14)

y para la matriz de varianzas-covarianzas de la variable n-dimensonal

X

( )

t

( ) ( )

[

]

[

( ) ( )

]

[

( )

]

[ ]

( )

(

m

m

)

t

(

m

m

)

( )

G

[

exp

( )

t

1

]

i

,

j

1

,

2

,...,

n

exp

X

X

t

X

E

t

X

E

t

X

t

X

E

t

X

,

t

X

Cov

ij k 1 r t o r r j r i 0 j o i j 0 oi j i j i j i

=

−

×









₊

₊

₊

=

−

⋅

=

∑

=

β

(2.3.15) En particular, para las varianzas marginales de

X

( )

t

( )

[

X

t

]

X

exp

2

m

t

2

m

( )

G

[

exp

( )

t

1

]

i

1

,

2

,...,

n

Var

ii k 1 j t 0 j j i 0 i 2 i 0 i



×

−

=











+

=

∑

=

β

(2.3.16) La matriz función de correlaciones del proceso será

( )

[

( ) ( )

]

_[

[

_{( )}

_]

( ) ( )

_[

]

_{( )}

_]

s

X

Var

t

X

Var

s

X

,

t

X

Cov

s

X

,

t

X

Corr

s

,

t

j i j i j i ij

=

=

ρ

( )

[

]

( )

[

exp

t

1

]

[

exp

( )

s

1

]

i

,

j

1

,

2

,..,

n

1

s

,

t

min

exp

2 1 jj 2 1 ii ij

₌

−

−

−

=

β

β

β

(2.3.17) y la matriz de correlaciones de la variable n-dimensional

X

( )

t

( )

[

( ) ( )

]

_[

[

_{( )}

_]

( ) ( )

_{[ ]}

]

_{( )}

t

X

Var

t

X

Var

t

X

,

t

X

Cov

t

X

,

t

X

Corr

t

j i j i j i ij

=

=

ρ

( )

( )

[

]

[

( )

]

12 jj 2 1 ii ij

1

t

exp

1

t

exp

1

t

exp

−

−

−

=

β

β

β

n

,...,

2

,

1

j

,

i

=

(2.3.18)

que, como se ve, no dependen de los coeficientes de tendencia del proceso ni, por tanto, de los factores exógenos.

Para las modas y medianas de los procesos componentes

{

X

i

( )

t

,

t

≥

0

}

, teniendo

en cuenta las expresiones de estas medidas para los procesos log-normales unidimensionales (ver Buendía Moya, F. (1988, pp.184), las fórmulas (2.3.3), (2.3.7) y (2.3.8) y las distribuciones marginales del proceso LN(n,k,m,m)

{

X

( )

t

,

t

≥

0

}

, se tiene

( )

[

]

( )













+













₋

=

∑

= k 1 j t 0 j j i ii 0 i i 0 i

t

m

G

2

3

m

exp

X

t

X

Moda

β

( )

[

X

t

]

=

Mediana

_i

( )













+













₋

_∑

= k 1 j t 0 j j i ii 0 i i 0

t

m

G

2

1

m

exp

X

β

_(2.3.19)

2.4. La densidad de transición del proceso LN(n,k,mm).

Para hallar la función de densidad de transición

p

(

y

,

t

/

y

₀

,

t

₀

)

del proceso

Gaussiano

{

Y

( )

t

,

t

≥

0

}

dado por (2.2.4), solución única de la E.D.E (2.2.3),

plantea-mos la ecuación integral estocástica, para

t

₀ arbitrario

( ) ( )

t

,

t

t

( )

s

ds

d

( )

s

t t t t 0 0 0 0

W

Y

Y

=

+

∫

µ

+

∫

σ

_(2.4.1)

que es la misma ecuación (2.2.3) pero con condición inicial

Y

( )

t

₀

≡

v.a no

degene-rada) e independiente de

W

( )

t

−

W

( )

t

0

,

t

≥

t

0.

La solución de (2.4.1) es, evidentemente

( ) ( )

(

)

( )

[

( )

( )

0

]

k 1 j t t j j 0 0 0 0

diag

t

t

G

t

t

2

1

t

t

,

t

0

W

W

m

B

m

Y

Y



−

+

+

σ

−











₋

+

=

∑

= (2.4.2) La variable

Y

( )

t

,

t

0 , condicionada por

Y

( )

t

0

=

y

0 (

n

R

∈

y cualquiera) es

(

)

(

)

( )

[

( )

( )

0

]

k 1 j t t j j 0 0 0 0 0

diag

t

t

G

t

t

2

1

,

t

,

t

0

W

W

m

B

m

y

y

Y



−

+

+

σ

−











₋

+

=

∑

= (2.4.3) Por tanto

(

)

(

)

( )

(

)









−

+

−













₋

+

≈

∑

= 0 k 1 j t t j j 0 0 0 n 0 0

diag

t

t

G

,

t

t

2

1

N

,

t

,

t

0

B

m

B

m

y

y

Y

(2.4.4) Así que la función de densidad de transición del proceso

Y

( )

t

,

t

₀ dado por (2.4.2)

(

)

( )

{

[

(

)

]

}











−

−

π

=

Q

2

1

exp

t

t

det

2

1

t

,

/

t

,

p

2 1 0 2 n 0 0

B

y

y

_(2.4.5) donde

(

)

( )

[

(

)

]

1 0 k 1 j t t j j 0 0 0

diag

t

t

G

t

t

2

1

Q

0 − = −



−











−

−













−

−

=

y

y

m

B

∑

m

B

t

(

)

( )













−

−













−

−

×

∑

= − k 1 j t t j j 0 0 0 0

G

t

t

diag

2

1

m

B

m

y

y

_(2.4.6)

Observamos ahora que los procesos

{

Y

( )

t

,

t

≥

0

}

y

{

Y

( )

t

,

t

0

,

t

≥

t

0

}

, soluciones

únicas, respectivamente, de las ecuaciones (2.2.3) y (2.4.1), que sólo se diferencian en la condición inicial, tienen la misma ecuación adelantada de difusión

(

)

[

]

_∑

_∑

( ) (

)

∑

_           + β − ∂ ∂ − β ∂ ∂ ∂ = i 0 0 k 1 j j j i ii 0 i i 0 0 ij j , i i j 2 t , / t , p t G m m x t , / t , p x x 2 1 y y y y

(

,t/ 0,t0

)

p t y y ∂ ∂ = _(2.4.7)

con

p

(

y

,

t

/

y

₀

,

t

₀

) (

=

δ

y

−

y

₀

)

que por tener coeficientes de difusión y de tendencia acotados, (ver Wong (1971 pp. 176-177)), tiene una única solución fundamental

(

,

t

/

0

,

t

0

)

p

y

y

que es, por tanto, la función de densidad de transición de uno y otroo proceso.

Hemos llegado, entonces, a que la función de densidad de transición

p

(

y,

t

/

y

0

,

t

0

)

del proceso

{

Y

( )

t

,

t

≥

0

}

, solución de la E.D.E. (2.2.3), es la dada por las fórmulas

(2.4.5) y (2.4.6).

Después de esto, para la función de densidad de transición del proceso LN(n,k,m,m)

( )

{

X

t

,

t

≥

0

}

, solución de nuestra E.D.E inicial (2.1.5), tenemos

(

) (

)

=

⋅⋅

⋅

=

n 2 1 0 0 0 0

x

x

x

1

t

,

/

t

,

p

t

,

/

t

,

p

x

x

y

y

(2.4.8) con

(

)

( )

[

(

)

]

1 0 k 1 j t t j j 0 0 0 diag t t G t t 2 1 log log Q 0 − = −  −      − −       − − = x x m B

∑

m B t

(

)

( )

      − −       − − ×

∑

= − k 1 j t t j j 0 0 0 0 G t t diag 2 1 log logx x m B m _(2.4.9)

Si escribimos ahora las ecuaciones de difusión atrasada y adelantada respectiva-mente del proceso LN(n,k,m,m):

(

)

( )

(

0 0

)

i 0 i 0 i k 1 j j j i 0 i 0 0 0

t

,

/

t

,

p

x

x

t

G

m

m

t

,

/

t

,

p

t

x

x

∂

x

x

∂













+

+

∂

∂

∑

∑

=

(

_{0 0}

)

₀ j 0 i 0 2 oj i 0 j , i ij

p

,

t

/

,

t

0

t

t

x

x

x

x

2

1

₌

_>

∂

∂

∂

+

∑

x

x

_(2.4.10)

(

)

[

ij i j 0 0

]

j , i i j 2

t

,

/

t

,

p

x

x

x

x

2

1

x

x

∑

_∂

∂

_∂

( )

(

)

(

)

∑

∑

=

_∂

∂





























₊

∂

∂

−

= i 0 0 0 0 i k 1 j j j i 0 i i

t

,

/

t

,

p

t

t

,

/

t

,

p

x

t

G

m

m

x

x

x

x

x

con

p

(

x

,

t

/

x

₀

,

t

₀

) (

=

δ

x

−

x

₀

)

(2.4.11)

como no son ecuaciones tiempo-independientes y además las funciones

( ) ( )

x

x

m

t

,

y

σ

t

,

aquí no son acotadas, aunque la E.D.E. (2.1.5), que rige el proceso

LN(n,k,m,m), tenga solución única, no hubiéramos podido asegurar a priori que alguna de las ecuaciones de difusión tenga una única solución fundamental que sea la función de densidad de transición del proceso LN(n,k,m,m) (ver Buendía Moya, F. (1988 pp.219-222)), es decir, las ecuaciones de difusión no nos hubieran servido para ha-llar la densidad de transición del proceso. Sin embargo, podemos comprobar

( )

{

[

(

)

]

}











−

−









=

∏

=

Q

t

t

x

n n i i

2

1

exp

B

det

2

1

2 1 0 2 1

π