1.4 Axiomas y teoremas de orden(1).pdf

1.4 AXIOMAS Y TEOREMAS DE ORDEN DE LOS NUMEROS REALES María Concepción González Enríquez

Otra parte importante de la estructura de los números reales es lo que llamamos el orden de los números.

AXIOMAS DE ORDEN

En R existe una relación de orden denotada por el símbolo “<” b

a se lee “a es menor que b” y es equivalente a ba lo cual se lee “ b es mayor que a”

Para cualesquiera a,b,c números reales se satisfacen los siguientes axiomas de orden:

O1) Ley de tricotomía ab o ab o ab

O2) Suma y desigualdades

Si ab entonces acbc

O3) Multiplicación por un número mayor que cero Si ab y c0 entonces acbc

O4) Propiedad transitiva

Si ab y bc entonces ac

De estas propiedades básicas se pueden deducir las siguientes propiedades muy útiles en cálculo.

TEOREMAS DE ORDEN. Para números reales a,b,c se satisface: 1. Si ab y cd entonces acbd. 2. Si ab entonces ba. 3. Si ab y c0 entonces bcac. 4. Si a0 entonces 2 0 a 5. Si 0ab y 0cd entonces acbd

6. i) Si a y b son del mismo signo, entonces ab0. ii) Si a y b son de signo contrario, entonces ab0. 7. Si a0 entonces 1

a tiene el mismo signo de a. 8. Si a y b son del mismo signo y a b, entonces 1 1

a b . 9. Para 0a y 0b ab si y solo si 2 2 b a  . 10. Para 0a 2 b a si y solo si b a o ab. 11. Para 0a

b2 a si y solo si  ab a. Demostraciones.

1. Si ab y cd entonces acbd

Como ab entonces acbc por O2) y cd entonces bcbd por O2)

Ahora acbc y bcbd, entonces acbd por O4). 2. Si ab entonces ba.

ab implica a(a)b(a) por O2) 0b(a) por inverso aditivo (b)0(b)(b(a)) por O2)

b((b)b)(a) neutro aditivo y asociatividad b0(a) inverso aditivo

ba neutro aditivo. 3. Si ab y c0 entonces bcac.

Como c0 entonces 0c por teorema anterior, Luego ab y 0c implica a(c)b(c) por O3) y a(c)b(c) siy solosi acbc por teorema 7 Si acbc, entonces bcac por teorema anterior.

4. Si a0 entonces a2 0

Si a0 entonces a0 o a0 por O1). Caso: a0 y a0 aplicamos O3): aaa0

2 0

a por teorema 2 de campo

Caso: a0 entonces a0 por teorema 2. de orden, a(a)0(a) por O3

a2 0 por teorema 2 de campo a2 0 por teorema 2. de orden.

5. Si 0ab y 0cd entonces acbd Caso: c0, ac0bd se satisface.

Caso: 0c y como ab entonces acbc por O3) Además 0b y cd implica bcbd por O3) y

6. i) Si a y b son del mismo signo, entonces ab0.

Caso: 0a y 0b entonces 0.bab por O3) por tanto ab0. Caso: a0 y b0 entonces

b0 y a(b)0.(b) por O3) ab0 por teoremas

por tanto ab0 por teorema 2 de orden. ii) Si a y b son de signo contrario, entonces ab0. Caso: 0a y b0 entonces aba.0 por O3) por tanto ab0.

En forma similar el otro caso. 7. Si a0 entonces 1

a tiene el mismo signo de a. Sea a0 si 1

a tiene signo contrario al de a, por el teorema 6 anterior, aa10,

pero aa1 10, lo que es una contradicción, por lo tanto 1

a tiene el mismo signo de a.

8. Si a y b son del mismo signo y a b, entonces 1 1

a

b .

Caso: 0ab

Por el teorema 7 anterior 1 1

0 y

0a b Por lo que

a1aa1b multiplicamos la hipótesis por 1

a

1a1b inverso multiplicativo 1 1 1

1b abb multiplicamos ambos lados por 1

b

1 11

a

b neutro multip. asociativ. Inverso multip. 1 1

a

b neutro multiplicativo Caso: ab0

Por el teorema 7 anterior _a10 y _b10

Por lo que

a1aa1b _{multiplicamos la hipótesis por} 1

a Cambia la desigualdad porque 1 0

a

1a1b inverso multiplicativo 1 1 1

1b abb multiplicamos ambos lados por b10 b1a11 neutro multip. asociativ. Inverso multip. 1 1 a b neutro multiplicativo 9. Para 0a y 0b, ab si y solo si 2 2 b a  . Sean 0a y 0b

→) ab hipótesis 0ba y También 0a y 0b implica 0ba Por lo que 0(ba)(ba) Esto es 2 2 0b a , o 2 2 b a  . 10. Para 0a 2 b a si y solo si b a o ab. Caso: 0b Escribimos 2 ) ( a a , luego 2 2 ) ( a b a  ,

Por teorema anterior 2 2

) ( a b a  si y sólo si a b Caso: b0 , 0b 2 ) ( a a , luego 2 2 ) ( ) ( a b a   ,

Por teorema anterior 2 2

) ( ) ( a b a   si y sólo si ab O b a. 11. Para 0a b2 a si y solo si  ab a. Caso: 0b b2 a si y sólo si b a Caso: b0 , 0b (b)2a si y sólo si b a O  ab Por lo tanto  ab a. Intervalos de números reales.

Una clase importante de subconjuntos de números reales son los llamados intervalos y tenemos: Para abR Intervalo cerrado

 

a,b 



xR:a xb



Intervalo abierto

  

a,b  xR:axb



Intervalo cerrado a la izquierda y abierto a la derecha



a,b

 

 xR:axb



Intervalo abierto a la izquierda y cerrado a la derecha



a,b







xR:axb



Intervalos infinitos a la izquierda



,b







xR:xb



  

,b  xR:xb



Intervalos infinitos a la derecha



a,

 

 xR:ax



  

a,  xR:a x



Ejemplos.

Resuelva las siguientes desigualdades: 1. 13x54

Iniciamos con 13x54

63x1 sumamos a los tres términos 5 y aplicamos O2 2x1/3 multiplicamos los tres términos por 1/3 y

aplicamos O3 Solución:      _{ } 3 1 , 2 2. 0 3 1 4 2    x Iniciamos con 0 3 1 4 2    x

64x10 multiplicamos por 3 y aplicamos O3 74x1 sumamos 5 de y aplicamos O2

7/4x1/4 mulitiplicamos por 1/4 y aplicamos O3 Solución:  _  _{ } 4 1 , 4 7 3. 7 5 2 3 3  x Iniciamos 7 5 2 3 3  x 

1532x35 multiplicamos los tres términos por 5 y aplicamos O3

122x32 sumamos -3 y aplicamos O2 16x6 multiplicamos por y aplicamos O3

4. 4 1 2 3 _   x x Caso: x x x x x x                    1 6 4 4 2 3 1 1 0 Caso: 6 6 4 4 2 3 1 0 1                   x x x x x x Solución (,6)(1,) 5. x2 11x180

x211x180 x211x18 2 2 2 2 11 18 2 11 11                  x x 4 49 4 72 121 4 121 18 2 11 2 _{  }  _       x 2 7 2 11   x o 2 7 2 11    x x2 o x9 En intervalos (,9)(2,). 6. 2 6 7 x x 26 7 x x 2 6 979 x x (x3)216 4x34 7x1 En intervalo (7,1) 7. x2 128x x2128x x2 8x12 x28x161216 (x4)24 x42 o x42 x6 o x2 En intervalos



,2

 

 6,



8. 2x2x60 3 0 2 2 x   x 16 1 3 16 1 2 2  x    x 2 o 2 3 4 7 4 1 o 4 7 4 1 16 49 4 1 2                 x x x x x 9. 16x2 9x 16x2 9x 16x29x0 0 16 9 2  x x

2 2 2 32 9 32 9 16 9                x x 2 2 32 9 32 9              x 32 9 32 9 32 9 _{  }  x 16 9 0x

10. Una constructora quiere decidir por un modelo de gruas, la de tipo A cuesta $50 000 y necesita $4000 anuales para mantenimiento. El modelo B cuesta $40000 pesos y necesita $5500 de mantenimiento anual. ¿Durante cuántos años debe usarse el modelo A para que sea más económico que el B?

Denotamos con x el número de años que debe usarse el modelo A para que sea más económico que el B, entonces la desigualdad a resolver es

x x 40 5.5 4

50   consideramos en miles las cantidades

x x x x x       3 20 2 3 5 . 1 10 4 5 . 5 40 50

Por lo tanto deben pasar 6.6 3 20_

años para que sea más económico comprar la grua de tipo A.

1.5 VALOR ABSOLUTO

El concepto de valor absoluto en los números reales es importante, para manejar los conceptos de límites, continuidad y demás temas centrales del cálculo diferencial e integral.

Definición. Para un número real a, su valor absoluto se denota por a Y se define como        0 si , 0 si , a a a a a

Esta definición contempla dos casos, los mismos que deben aplicarse siempre que tengamos el valor absoluto de cualquier expresión- Propiedades del valor absoluto. Para números reales a,b se satisface: 1. Si 0 a, a 0siy sólosi a0.

2. ab  ab 3. a  a

4. a aa

5. ab ab desigualdad del triángulo 6. a b si y sólo si ab o ab 7. a b si y sólo si bab 8. Para 0b, b a si y sólo si ab o ba 9. ab  ab Demostraciones. 1. Si 0 a, a 0siy sólosi a0

Caso:0a, por definición a a0

Caso:a0, a0 y por definición a a0

Por lo tanto 0 a . Ahora, si suponemos a 0 y a 0 Entonces a0 o a0 y a a0 o a a0 Contradiciendo que a 0.

Por lo tanto, si a 0 entonces a 0, Inversamente, si a0 Por definición a 0. 2. ab  ab Caso: b a ab ab b a b b a a ab ab ab b a                   , , , 0 0 o 0 Caso: b a ab ab b a b b a a ab ab ab b a                      , , , 0 0 o 0 3. a  a

Caso:0a, por definición a a y

a0 por lo que a (a)a así a  a

Caso: a0, por definición a a

y también a  a. 4. a aa

Caso:0a, por definición a a0 y

considerando inversos aditivos, a a0 por lo que a 0a a

Caso: a0, por definición a a y

considerando inversos aditivos, a a0 por lo que a a0 a

5. ab ab

Empezamos con la expresión del lado izquierdo elevada al cuadrado, por que nos facilita el manejo de propiedades adecuadas

2 2 2 ) ( ) (a b a b b a     propiedad 2 anterior 2 2 2ab b a    propiedad distributiva 2 2 2ab b a    propiedad 4 anterior 2 2 2ab b a  

 definición de valor abs.





2

b a

 propiedad distributiva

Y extrayendo raíz cuadrada de ambos lados, obtenemos abab. 6. a b si y sólo si ab o ab

Caso:0a, por definición a a, por lo que a a b

Caso: a0, a a, por lo que b a a 7. 0b, a b si y sólo si bab.

La condición 0b es porque un valor absoluto por ser mayor o igual a cero no puede ser menor que un número negativo.

Caso:0a, por definición a a, por lo que a a b

Caso: a0, a a por lo que b a a así ba Por lo tanto bab.

8. b a si y sólo si ab o ba.

Caso:0a, por definición a a, por lo que a a b

Caso: a0, a a, por lo que b a a o ab Por lo tanto ab o ba. 9. ab  ab Se tiene b b a b b a

a       por la desigualdad del triángulo Implica ab ab Y también a a b a a b b       Implica ba ba Como ba  ab tenemos ba  ab y abba Así que ab ba ab Por el teorema 7, ba  ab y a b  ba  ab.

En particular podemos describir un intervalo abierto o cerrado de números reales con una relación que involucra el valor absoluto:

 

a,b 



xR:a xb



se describe como 2 2 a b b a x           Demostración. b x a b a a b x b a a b a b b a x a b a b b a x                                               2 2 2 2 2 2 2 2 2 En forma similar

  

a,b  xR:axb



se describe como 2 2 a b b a x           Ejemplos. 1. x4 6 x46 o x46x2 o x10 2. x43x1 1 3 4 o 1 3 4 3 1 , 0 1 3           x x x x x x

2 5 3 1 4 3 o 2 5 3 4 o 5 2          x x x x x x 3. x9 4 ) 5 , 13 ( o 5 13 4 9 4           x x 4. x8 6





 





       , 14 2 , o 2 o 14 6 8 o 6 8  x x x x 5. 3 x511



6,16



16 6 11 5 11 11 5 ) , 8 ( ) 2 , ( 2 3 5 o 8 5 3 5 3                                          x x x x x x x x  Solución



6,2

 

 8,16



6. 54x27 5 11 5 29 5 9 4 5 9 5 9 4 9 4 5               x x x x 7. 1, 2 6 3 4 _{ }  x x 3 2 o 3 10 2 3 o 3 10 4 6 3 o 6 3 4 6 3 4            x x x x x x x Solución      _       , 3 10 3 2 ,  8. x4 8x Primera condición 08x o x8

2 y 4 2 y 4 8 8 4 y 4 8 8 4 8                x R x x x x x x x x Por lo tanto x2 y x8 Solución



,2







,8

 

 ,2



9. 5x2 6x5                             11 3 3 11 2 5 5 6 7 5 6 2 5 5 2 2 5 0 x x x x x x x x x Solución x 5 2 10. x1 x21 Caso 2 4 2 1 3 2 2 1 0 2 , 0 1               x x x x x x x Caso 1 1 2 1 0 2 , 0 1          x x x x no hay solución Caso 1 1 2 1 0 2 , 0 1            x x x x no hay solución Caso 1 2 2 1 3 2 2 1 0 2 , 0 1                 x x x x x x x Solución (,1)(2,) 11. x3 x35 2 2 o 14 o 14 4 o 14 5 9 o 5 9 5 9 2 2 2 2 2                x x x x x x x x Solución (, 14)(2,2)( 14,) BIBLIOGRAFIA

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