Octavio Serpe
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Indice
1. Introducci´on 5
2. Repaso 7
2.1. Vectores . . . 7
2.1.1. Suma y producto por un escalar . . . 7
2.1.2. Algunas propiedades con escalares . . . 7
2.1.3. Base can´onica en IR3 . . . 8
2.1.4. Producto escalar . . . 8 2.1.5. Norma . . . 8 2.1.6. Normalizaci´on de vectores . . . 8 2.1.7. Desigualdad de Cauchy-Scharwz . . . 8 2.1.8. Desigualdad triangular . . . 9 2.1.9. Otras desigualdades . . . 9
2.2. Sistemas de ecuaciones lineales de 2x2 . . . 9
2.2.1. M´etodo de Cramer . . . 9 2.3. Matrices . . . 10 2.3.1. Determinantes . . . 10 2.3.2. Producto vectorial . . . 12 2.4. Planos . . . 12 2.4.1. Ecuaci´on de un plano . . . 12
2.4.2. Distancia de un punto a un plano . . . 13
2.5. Transformaci´on lineal . . . 13
2.6. Coordenadas . . . 13
2.6.1. Coordenadas cil´ındricas . . . 14
2.6.2. Coordenadas esf´ericas . . . 14
2.7. Campo escalar y campo vectorial . . . 15
3. Conjuntos de nivel, curvas y superficies 16 4. Bolas 16 5. L´ımites 19 5.1. L´ımites iterados en IR2 . . . 19 5.2. Tips . . . 20 6. Continuidad 21 6.1. Teorema de Weierstrass . . . 21
7. Diferenciaci´on 21
7.1. Derivadas parciales en IRn . . . 21
7.1.1. Gradiente . . . 22
7.2. Derivadas parciales en IR2 . . . 22
7.2.1. Interpretaci´on de gradiente en IR2 . . . 22
7.3. Derivadas de orden superior . . . 22
7.4. Teorema de Bonnet-Schwarz . . . 23
7.5. Derivadas direccionales . . . 23
8. Diferenciabilidad 23 8.1. Clase 1 . . . 24
8.2. Otra definici´on para diferenciabilidad . . . 24
8.3. Diferencial en un punto . . . 24
8.4. Diferenciales de orden superior . . . 24
8.5. Teorema 1: Clase 1 implica diferenciable . . . 25
8.6. Teorema 2: Diferenciable implica continua . . . 25
8.7. Teorema 3: Diferenciable implica direccionales . . . 25
8.8. Observaciones . . . 25
8.9. Funci´on impl´ıcita . . . 25
8.10. Plano tangente . . . 26
8.10.1. Vector normal . . . 26
8.10.2. Aproximaci´on lineal . . . 26
8.10.3. Obtenci´on del plano tangente en un punto . . . 27
8.11. Matriz Jacobiana . . . 27
8.12. Matriz Hessiana . . . 27
8.13. Polinomio de Taylor de orden 1 . . . 28
8.14. Polinomio de Taylor de orden 2 . . . 28
8.15. Polinomio de Taylor de orden 3 . . . 29
8.16. C´alculo de extremos . . . 30
8.16.1. Extremos locales . . . 30
8.16.2. M´aximos y m´ınimos globales . . . 32
8.17. Regla de la cadena . . . 35
8.17.1. Primer caso especial . . . 35
8.17.2. Segundo caso especial . . . 35
8.17.3. Propiedades . . . 36
9. Ecuaciones diferenciales 36 9.1. Ecuaci´on diferencial ordinaria . . . 36
9.5. Ecuaci´on diferencial ordinaria de primer orden exacta . . . 38
9.5.1. Soluci´on de EDO de primer orden exacta . . . 39
9.6. Ecuaci´on diferencial ordinaria lineal de primer orden . . . 39
9.7. EDO lineal de orden 2 con coeficientes constantes . . . 41
9.7.1. Wronskiano . . . 45
9.7.2. Teorema 2 . . . 46
9.7.3. Soluci´on particular para n funciones . . . 46
10.La divergencia y el rotacional 46 10.1. Divergencia . . . 47
10.2. Rotor . . . 47
11.Integrales de l´ınea 48 11.1. Integral de l´ınea para campos escalares . . . 48
11.2. Longitud de curva . . . 48
11.3. Integral de l´ınea para campos vectoriales . . . 48
11.4. Teorema 1: Cambio de parametrizaci´on . . . 49
11.5. Funci´on potencial y campo gradiente . . . 49
11.6. 1o Teorema Fundamental del C´alculo para integrales de l´ınea . 50 11.7. 2o Teorema Fundamental del C´alculo para integrales de l´ınea . 50 11.8. Teorema 2: Curvas formadas por varias componentes . . . 50
11.9. Teorema 3: Equivalencia irrotacional-conservativo . . . 51
11.10.Teorema 4: Relaci´on solenoidal-rotacional . . . 51
11.11.¿Cu´ando un campo vectorial es un gradiente? . . . 51
12.Integrales dobles 52 12.1. Regiones cartesianas elementales . . . 52
12.2. Cambio de variables . . . 53
12.3. Tips . . . 53
12.4. ´Areas comunes . . . 53
13.Integrales Triples 54 13.1. Regiones elementales en IR3 . . . 54
13.2. Teorema: Cambio de variables en IRn . . . 55
13.3. Cambios de variables cl´asicos . . . 56
13.4. Vol´umenes comunes . . . 57
14.Integrales de superficie 57 14.1. Vectores tangentes a una superficie parametrizada . . . 58
14.2. Justificaci´on de la f´ormula del ´area . . . 60
14.4. ´Area de una superficie . . . 61
14.5. Integral de superficie de un campo vectorial . . . 61
14.6. Cambios de parametrizaci´on . . . 63
15.Teoremas de integraci´on del an´alisis vectorial 63 15.1. El teorema de Green . . . 63
15.1.1. Teorema de Green . . . 64
15.1.2. Teorema: ´Area de una regi´on . . . 64
15.2. Teorema de la divergencia en el plano . . . 65
15.3. Teorema de Stokes . . . 66
15.4. Teorema de la divergencia de Gauss . . . 66
1.
Introducci´
on
Este resumen (´o apunte, como me gusta llamarlo) sobre la materia An´ ali-sis Matem´atico 2 del ITBA lo hice con el fin de poder acceder a cualquier tema de dicha materia lo m´as r´apido posible, informarme sin necesidad de tener que buscar alg´un libro ´o mi cuadernillo, y, por ´ultimo pero no menos importante, por la correlatividad de la misma. A su vez, pretendo que tenga la mayor repercusi´on posible para ayudar a comprender de una manera mas completa los temas, puesto que a mi parecer, es imprescindible entender bien el concepto que se est´a tratando antes que aprender a resolver ejercicios de memoria. Si bien la pr´actica ayuda a que los temas ‘tengan sentido’, creo que entender el trasfondo de los mismo es m´as provechoso e importante.
Desde mi punto de vista, es una materia un poco pesada si no se le dedica el tiempo suficiente, m´as que nada porque es como la materia Matem´atica 3, s´olo que con un tema m´as: Ecuaciones Diferenciales, que se ve en Matem´ ati-ca 2, aunque si bien es cierto que no se ve tanto la apliati-caci´on del c´alculo multivariado en An´alisis Matem´atico 2 como en Matem´atica 3.
El resumen contiene todos los temas tratados en la materia en cuesti´on. Trat´e de hacerlo lo m´as detallado y completo posible para que se pueda seguir en paralelo con la cursada ´o un libro. Tambi´en inclu´ı im´agenes para facilitar la comprensi´on de ciertos temas, algunas demostraciones, y otras semi-demostraciones (como me gusta llamar a m´ı a las demostraciones que son muy por arriba). Para facilitar la comprensi´on de los temas tratados se requieren conocimientos de An´alisis Matem´atico 1 (´o Matem´atica 1 ) y
´
Algebra Lineal.
Considero importante destacar que este documento no incluye todas las demostraciones de los teoremas, enunciados y proposiciones mencionadas, dado que estas se ven durante la cursada ´o se encuentran en un libro, pero en caso de querer entender el porqu´e, dej´e por escrito (en algunos casos) qu´e p´aginas ver del libro en cuesti´on.
A la hora de dar por terminada una definici´on/proposici´on escrib´ı el s´ımbolo ∼ para poder mostrar que ah´ı termina y evitar confusiones. Tam-bi´en, hice referencias muchas veces a un ‘libro’ y a lo largo del documento se encuentran notas/observaciones/aclaraciones que dicen ’ver p´agina. . . ’, en donde me refiero al libro ‘C´alculo Vectorial’ de Marsden y Tromba (ver Biblio-graf´ıa) y sus respectivas p´aginas. Con el fin de facilitar la lectura y b´usqueda, se puede clickear la secci´on que se desea ver en el ´Indice y el documento lo redireccionar´a autom´aticamente.
d´ıas en los que estuve todo el tiempo sentado escribiendo, me tomaba unas 2 a 6 horas diarias para introducir alg´un que otro tema ´o finalizar alguno que me quedaba pendiente. Por otro lado, aprend´ı a programar en el sistema LATEX a medida que lo escrib´ıa.
Hasta el d´ıa de la fecha, el apunte no ha sido corregido por ning´un pro-fesor. Si desea saber el estado actual del mismo, cont´acteme. A su vez, se encuentra en actualizaci´on en caso de correcci´on ´o agregar nuevo contenido. Espero que este resumen le sirva a toda persona que lo lea, y si les sucede al igual que a mi, lo disfruten, y en caso que desee compartirlo, que no dude en hacerlo.
Para ir finalizando, dej´e mi mail en la portada para que puedan con-tactarme, ya sea porque: hay que corregir ´o agregar algo, una cr´ıtica, un comentario/demostraci´on/f´ormula/resoluci´on que haga ruido, una duda, etc.
2.
Repaso
En esta secci´on se repasar´an temas previamente vistos, algunos con pro-fundidad y otros no se mencionar´an, como el de Espacios Vectoriales.
2.1.
Vectores
Recordemos que los vectores poseen direcci´on, sentido y magnitud (´o m´odulo). Sean ~v y ~u vectores definidos en IRn y α y β ∈ IR:
2.1.1. Suma y producto por un escalar Su suma se define:
(v1, . . . , vn) + (u1, . . . , un) = (v1+ u1, . . . , vn+ un)
y su producto por un escalar:
α(v1, . . . , vn) = (αv1, . . . , αvn)
Geom´etricamente, para la suma de vectores, se trazan dos l´ıneas, cada una perpendicular al otro vector, hasta que se intersecan en un punto. Luego, se traza una nueva l´ınea desde el origen (centro de coordenadas) hasta el punto en cuesti´on, donde dicha l´ınea es el vector resultante.
Figura 1: Representaci´on de la suma de ~u y ~v, dando como resultado ~w. 2.1.2. Algunas propiedades con escalares
1. Asociatividad
(α ∗ β) ∗ ~v = α ∗ (β ∗ ~v) 2. Distributividad
α ∗ (~v + ~u) = α ∗ ~v + α ∗ ~u (α + β) ∗ ~v = α ∗ ~v + β ∗ ~v
2.1.3. Base can´onica en IR3
Sean los versores (vectores unitarios) ~i,~j y ~k, es decir, |~i| = 1, y ~a ∈ IR3 entonces:
~a = (a1, a2, a3) = a1~i + a2~j + a3~k = a1(1, 0, 0) + a2(0, 1, 0) + a3(0, 0, 1)
2.1.4. Producto escalar
Permite obtener el ´angulo entre dos vectores. Sean ~a y ~b vectores definidos en IR3, su producto escalar (´o producto punto, ´o producto interno) se denota ~a • ~b y define:
~a • ~b = a1b1+ a2b2+ a3b3 = |~a||~b| cos(θ)
donde θ es el ´angulo entre ambos vectores.
A partir de ahora, har´e uso de ∗ en lugar de •, en la mayor´ıa de los casos.
2.1.5. Norma
La norma (´o longitud) de un vector se define mediante la f´ormula:
Norma de ~v = ||~v|| = √ ~v • ~v = q v2 1 + · · · + vn2 = v u u t n X i=1 v2 i
Nota: A lo largo de este apunte, har´e uso de esta norma. Creo que es interesante que el lector sepa que hay otras normas, y en caso que haga uso de alguna de ellas, lo mencionar´e.
2.1.6. Normalizaci´on de vectores
Normalizar un vector, implica obtener uno nuevo y unitario, mediante: ~v
||~v|| 2.1.7. Desigualdad de Cauchy-Scharwz
2.1.8. Desigualdad triangular
||~v + ~u|| ≤ ||~v|| + ||~u||
Nota: Dicha desigualdad aplica para cualquier par de vectores. La de-mostraci´on resulta de elevar al cuadrado la norma de la suma de los vec-tores, usando la desigualdad de Cauchy-Scharwz y cuadrado de binomio. Ver p´agina 31 libro Tromba.
2.1.9. Otras desigualdades |x| =√x2 ≤px2+ y2 | z x2+y2| ≤ | z y2| 0 ≤ sin(θ) ≤ 1
2.2.
Sistemas de ecuaciones lineales de 2x2
Esta secci´on tiene el prop´osito de recordar una forma de resoluci´on para los sistemas de ecuaciones lineales (SEL) de 2x2, la cual es necesaria para la resoluci´on de problemas con extremos.
Consideremos que el SEL es un sistema compatible determinado (SCD). Entonces, el siguiente SEL:
ax + by = 0 cx + dy = 0
Tiene soluci´on 6= 0 ⇐⇒ det(SEL) = 0 ⇐⇒ ad − cb = 0. 2.2.1. M´etodo de Cramer
Sea el siguiente SEL
ax + by = e cx + dy = f Su representaci´on matricial a b c d x y = e f
Llamemos
a b c d
= A
Luego, si es un SCD (det(A)6= 0, rango(A)=2, etc...) y la matriz A es cuadrada, definimos ∆A = det(A) = a b c d ∆x = e b f d ∆y = a e c f
Entonces, su conjunto soluci´on, mediante la regla de Cramer, viene dado por
x = ∆x ∆A y = ∆y
∆A
Tip: Una manera de recordar este m´etodo es pensar que det(x) se calcula reemplazando a lo que est´a igualada cada ecuaci´on en la respectiva columna de la variable x, mientras la otra columna se mantiene fija (an´alogo con det(y)), y se debe dividir por el det(A).
2.3.
Matrices
Una matriz es un arreglo de dos dimensiones, en inform´atica se la conoce como un arreglo (vector) de arreglos (vectores).
La manera m´as sencilla de ver una matriz es como un conjunto de filas, una debajo de la anterior.
Una matriz se divide en filas y columnas, y la posici´on de un elemento a de la misma, se denomina aij, donde i refiere a la i-´esima fila y j a la j-´esima
columna.
2.3.1. Determinantes Matrices 2x2
a11 a12
Matrices 3x3 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Su determinante es de la forma: a11 a22 a23 a32 a33 −a12 a21 a23 a31 a33 +a13 a21 a22 a31 a32 Es importante remarcar el hecho de que los signos + y - no son alea-torios, puesto que quedan definidos de la siguiente manera, seg´un qu´e fila ´o columna seleccionemos:
+ − + − + − + − +
Luego, en el caso mencionado previamente, el segundo t´ermino se obtu-vo con el determinante de los elementos que no se encuentran en negrita (tachar la fila 1 y columna 2, y calculando como un determinante de una matriz de 2x2, donde el signo que se antepone ser´ıa la posici´on en la cual arrancamos a tachar, a12 en este caso):
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Propiedades
1. Cambian de signo al intercambiar filas ´o columnas. a11 a12 a21 a22 = − a12 a11 a22 a21
2. Sacar factor c´omun un escalar, tanto en filas como columnas. αa11 a12 αa21 a22 = α a11 a12 a21 a22
2.3.2. Producto vectorial
El producto vectorial ´o producto cruz, permite obtener un vector normal a un par de vectores. El producto vectorial entre ~a, y ~b ∈ IR3, se denota ~a ×~b y define: ~a × ~b = ~i ~j ~k a1 a2 a3 b1 b2 b3 = (a2b3− a3b2)~i − (a1b3− a3b1)~j + (a1b2− a2b1)~k
El vector resultante sigue la regla de la mano derecha. A su vez, se cumple: ||~a × ~b|| = ||~a|| ∗ ||~b|| sin(θ)
y representa el ´area del paralelogramo formado por ambos vectores. Propiedades
1. ~a×~b = ~0 si y s´olo si ~a y ~b son paralelos ´o alguno es el vector nulo. 2. ~a × ~b = −~b × ~a.
3. ~a × (~b + ~c) = (~a × ~b) + (~a × ~c) donde ~c ∈ IR3. Es importante notar que si el vector ~a se encontrara a la derecha, este deber´ıa permanecer a la derecha de los otros dos vectores, al distribuir el producto vectorial.
4. (α~a) × ~b = α(~a × ~b).
2.4.
Planos
Un plano es una figura geom´etrica definida en IR3. 2.4.1. Ecuaci´on de un plano
Sea P un plano en el espacio de tres dimensiones que contiene a los puntos P0 = (x0, y0, z0) y P1 = (x1, y1, z1), y sea
−−→
P0P1 = (x1 − x0, y1− y0, z1− z0) y
~
n = A~i + B~j + C~k un vector normal (u ortogonal ´o perpendicular) a −−→P0P1,
entonces:
−−→
P0P1∗ ~n = 0
N´otese que se tom´o el punto P0, pero podr´ıa haberse tomado P1, as´ı como
cualquier otro punto que pertenezca al plano P. Otra forma de escribir dicha ecuaci´on podr´ıa ser:
Ax + By + Cz + D = 0 donde D = −Ax0− By0− Cz0.
2.4.2. Distancia de un punto a un plano
La distancia de (x1, y1, z1) al plano Ax + By + Cz + D = 0 es:
Distancia = |Ax1√+ By1+ Cz1+ D| A2+ B2+ C2
Dicha f´ormula se deduce utilizando el producto interno y el vector normal normalizado. Ver p´agina 50 y 51 para la demostraci´on.
2.5.
Transformaci´
on lineal
Una transformaci´on lineal de T : IRn −→ IRm es de la forma:
Mt x1 .. . xn = x1 .. . xm donde Mt ∈ IRm×n.
2.6.
Coordenadas
La manera usual de representar un punto en el plano IR2 es mediante coor-denadas rectangulares (x, y), sin embargo, las coorcoor-denadas polares pueden ser muy ´utiles. Esto ´ultimo se puede realizar mediante una transformaci´on lineal, en donde las coordenadas (x, y) se relacionan con (r, θ) mediante las f´ormulas:
x = r cos(θ) y = r sin(θ)
Donde, usualmente, se toma r ≥ 0 y 0 ≤ θ < 2π.
Geom´etricamente ser´ıa seleccionar un ´angulo, en donde se traza una l´ınea, y con el radio situarse en el punto en cuesti´on.
2.6.1. Coordenadas cil´ındricas
Las coordenadas cil´ındricas (r, θ, z) de un punto (x, y, z) est´an definidas por:
x = r cos(θ) y = r sin(θ)
z = z
Para expresar r, θ y z en funci´on de x, y y z, se puede escribir: r = px2 + y2
z = z
Nota: En caso de querer observar la definici´on de θ ver p´agina 62.
Figura 2: Representaci´on de un punto P en coordenadas cil´ındricas. 2.6.2. Coordenadas esf´ericas
En coordenadas cil´ındricas la longitud del vector x~i + y~j + z~k se define: ρ =px2+ y2+ z2
Luego, haciendo uso de coordenadas polares, se obtiene la forma de ex-presar x e y, entonces las coordenadas esf´ericas de (x, y, z) son (ρ, θ, φ), y se definen:
Donde ρ ≥ 0, 0 ≤ φ < 2π y 0 ≤ θ ≤ π. El ´angulo φ se llama ´angulo azimutal (´o azimuth).
Nota: La variable θ no toma valores hasta 2π exclusive puesto que no es necesario que ‘d´e una vuelta completa’, dado que esto ´ultimo se realiza con φ.
Figura 3: Representaci´on de un punto P en coordenadas esf´ericas. Nota: N´otese, en la figura 3, que a la variable ρ se la llam´o r, lo cual es una sutileza, pero es necesaria la aclaraci´on para comprender la gr´afica.
2.7.
Campo escalar y campo vectorial
Sea U una regi´on de IRn, entonces:
Un campo escalar f es una funci´on f : U ⊂ IRn −→ IR Un campo vectorial F es una funci´on F : U ⊂ IRn −→ IRm con m ≥ 2
3.
Conjuntos de nivel, curvas y superficies
Un conjunto de nivel es un subconjunto de IR3 en el que una funci´on, llam´emosla f , es constante. Formalmente, es el conjunto de pares (x, y, z) tales que f (x, y, z) = c en donde c ∈ IR, es decir, c es constante.
Los conjuntos de nivel son ´utiles para comprender las funciones de dos variables f (x, y), en cuyo caso hablamos de curvas de nivel. La idea es similar a la que se usa para preparar mapas topogr´aficos.
DEFINICI ´ON: Curvas y superficies de nivel
Sea f : U ⊆ IRn−→ IR y sea c ∈ IR. Entonces, el conjunto de nivel de valor c se define como el conjunto de los puntos ¯x ∈ U en los que f (¯x) = c. Si n = 2 se trata de una curva de nivel, y si n = 3 de una superficie de nivel. En notaci´on de conjuntos, el conjunto de nivel de valor c se escribe:
Cc= {¯x ∈ U : f (¯x) = c} ⊆ IRn
N´otese que el conjunto de nivel siempre est´a contenido en el dominio de la funci´on.
Si no existe un par que pertenezca a determinado conjunto de nivel, se dice que el conjunto de nivel de valor c es vac´ıo.
4.
Bolas
Sea x0 ∈ IRn y r ∈ IR. Se define bola abierta (´o disco abierto) de radio r
y centro x0como el conjunto de puntos x en IRntales que ||x−x0|| < r. Dicho
conjunto se denota Br(x0) y est´a formado por los puntos cuya distancia a x0
menor que r.
De ahora en adelante, cuando haga referencia a una bola abierta, escri-bir´e la palabra bola en su lugar.
DEFINICI ´ON: Conjuntos abiertos y punto interior
Sea U ⊆ IRn. Llamamos a U conjunto abierto si para todo punto x ∈ U existe una bola abierta que lo contiene, es decir, Br(x) ⊆ U . Luego, x es un
punto interior de U .
DEFINICI ´ON: Punto frontera
Sea U ⊆ IRny x ∈ IRn. x es punto frontera (´o del borde) si todo entorno de x contiene al menos un punto de U y al menos un punto que no est´a en U . En notaci´on, el conjunto de puntos frontera de U se denota como ∂U y se define:
∂U = {x ∈ IRn : ∀r > 0 (Br(x) ∩ U 6= ∅ y Br(x) ∩ Uc 6= ∅)}
∼
Ac´a surge la observaci´on que un conjunto es abierto si no incluye a su frontera (´o borde), puesto que si la incluye, podemos situarnos en alg´un punto de la misma, pero no podremos dibujar un bola de radio mayor a 0 y que esta pertenezca al conjunto.
El conjunto vac´ıo es abierto.
DEFINICI ´ON: Conjuntos cerrados
Sea U ⊆ IRn. U es cerrado si Uc (complemento de U ) es abierto.
∼ DEFINICI ´ON: Clausura
Sea U ⊆ IRn, se denota la clausura de U como U y se define: U = U ∪ ∂U
Esta definici´on es bastante intuitiva, puesto que para ‘cerrar’ un conjunto, le a˜nadimos su frontera.
∼
DEFINICI ´ON: Bola reducida/pinchada
Sea U ⊆ IRn y x ∈ IRn, la bola pinchada de centro x y radio r se denota y define:
Br∗(x) = Br(x)\{x} = {x1 ∈ IRn: 0 < ||x1− x|| < r}
N´otese que el prop´osito de esta definici´on es excluir al centro de la bola. ∼
DEFINICI ´ON: Punto de acumulaci´on y punto aislado
Sea U ⊆ IRn y x ∈ IRn. Si ∀r > 0 (Br∗(x) ∩ U 6= ∅) decimos que x es un punto de acumulaci´on de U . Por otro lado, sea u ∈ U , u es un punto aislado si ∃r > 0 : (Br(u) ∩ U = {u}).
Idea geom´etrica: Los puntos de acumulaci´on son aquellos puntos de U que me permiten acercarme a ´el mismo desde distintos puntos de U , en otras palabras, si pongo mi dedo en el punto, puedo alejarlo sin levantarlo trazando una recta imaginaria y garantiz´andome que haya parte del conjunto U ‘detr´as’ de mi dedo en todo momento. Los puntos aislados son aquellos puntos de U que NO son de acumulaci´on, es decir, si pongo mi dedo sobre ´el y lo alejo una infinit´esima, lo ´unico en com´un con el conjunto U es el punto en cuesti´on.
∼
DEFINICI ´ON: Conjuntos acotados, compactos y convexos Sea U ⊆ IRn, U es acotado si ∃r > 0 : (U ⊆ Br(~0)) y U es compacto
si U es cerrado y acotado. U es convexo si no puede ser expresado como la uni´on disjunta de dos conjuntos abiertos no vac´ıos (puesto que si sacamos el borde de cada uno, al unirlos habr´a una parte faltante que vendr´ıa a ser dicho borde), es decir, aparece como una ‘sola pieza’. Geom´etricamente, se puede pensar como que es posible recorrer todo el conjunto sin levantar el dedo.
∼
DEFINICI ´ON: Conjuntos simplemente convexos
Sea Ω ⊆ IRn convexo, tal que una curva cualquiera contenida en Ω se puede ‘contener’ (´o deformar) de manera continua en un punto, entonces, se dice que Ω es simplemente convexo. Geom´etricamente, ser´ıa que se puedan dibujar curvas rectas contenidas en el conjunto sin que estas ‘pasen por fuera’ del conjunto en cuesti´on.
∼
5.
L´ımites
Aclaraci´on: El concepto de l´ımite en una variable lo doy por sentado. DEFINICI ´ON: L´ımite en IRn
Sea f : D ⊆ IRn −→ IRm, y sea x
0 ∈ D punto de acumulaci´on, decimos
que l´ım x→x0 f (x) = L = (L1, . . . , Lm) si ∀ε > 0, ∃δ > 0 : x ∈ Bδ∗ (x0) ∩ D =⇒ f (x) ∈ Bε(L) ´
o escrito de otra forma
∀ε > 0, ∃δ > 0 : 0 < ||x − x0|| < δ =⇒ ||f (x) − L|| < ε
∼
Aclaraci´on: El l´ımite de un campo vectorial existe si el l´ımite de cada componente en el punto en cuesti´on existe y es finito.
PROPIEDADES l´ım(x1,...,xn)→ (0,...,0)||(x1, . . . , xn)|| = 0 0 ≤ ||(x1, . . . , xn)|| |x| ≤ ||(x1, . . . , xn)|| |x|k ≤ ||(x 1, . . . , xn)||k con k ∈ N
De ahora en m´as, har´e uso de l´ımites en IR2, caso contrario lo aclarar´e.
5.1.
L´ımites iterados en IR
2A continuaci´on introducir´e otra forma de hallar el l´ımite de una funci´on tendiendo a un valor p0 = (x0, y0).
La idea es ‘acercarnos’ tanto por el camino de x0 como por el de y0 y
ver a qu´e tiende dicho valor. Si el valor es igual al ‘acercarnos’ por ambos caminos, entonces el valor del l´ımite podr´ıa ser ese. Si el valor difiere ´o no existe, el l´ımite no existe, pues para un camino en particular este no tiene sentido (valor).
C´omo calcularlos:
Acerc´andonos primero por x0 y luego por y0:
l´ım y→y0 l´ım x→x0 f (x, y) = L1
Acerc´andonos primero por y0 y luego por x0:
l´ım x→x0 l´ım y→y0 f (x, y) = L2
Si L1 = L2 = L entonces es probable que
l´ım
p→p0
f (p) = L
5.2.
Tips
Usar la mayor cantidad de propiedades posibles (lema del sandwich, sacar constantes, suma y producto de funciones, l´ımites iterados, infi-nit´esimo por acotada, etc).
Tomar diferentes caminos que pasen por el punto y ver si dan el mismo resultado. En caso que as´ı sea, proponer dicho valor como resultado del l´ımite. En caso contrario, utilizar otro m´etodo.
Por definici´on, encontrando la relaci´on entre δ y ε (en este caso se debe proponer un valor para el l´ımite). Es importante aclarar que el valor de un l´ımite es v´alido si fue previamente demostrado, no hay otra alternativa.
Si se realiza un cambio de variables, debe pasar por el punto en cuesti´on la curva.
6.
Continuidad
Sea f : D ⊆ IRn−→ IRm y p0 ∈ D. Decimos que f es continua en p0 si:
l´ım
p→p0
f (p) = f (p0)
Observaciones:
Si p0 ∈ D es un punto aislado, entonces f (p) es continua en p0. Esto se
prueba tomando δ = r.
f = (f1, . . . , fm) es continua en p0 si y s´olo si fi : D =⇒ IR es continua
en p0 en donde i ∈ [1, m].
Suma, resta, producto, cociente (denominador no nulo), proyecci´on y composici´on de funciones continuas, es continua.
6.1.
Teorema de Weierstrass
Sea f : D ⊆ IRn−→ IR continua y D compacto =⇒ f alcanza un m´ınimo y m´aximo en D.
Los m´ınimos y m´aximos se encuentran en el interior de D = Do ´o en ∂D,
ya que D = Do∪ ∂D.
Nota: M´as adelante usaremos este teorema.
6.2.
Teorema de valores intermedios
Sea f : D ⊆ IRn −→ IR continua y D conexo. Dados x1 y x2 ∈ D, y sean
f (x1) = k1 y f (x2) = k2 donde k1 < k2 =⇒ (k1, k2) ⊆ f (D).
Esto quiere decir que f (x) toma cualquier valor intermedio entre k1 y k2.
Nota: Este teorema es ´util a la hora de determinar rangos.
7.
Diferenciaci´
on
7.1.
Derivadas parciales en IR
nSea U ⊂ IRn un conjunto abierto y f : U −→ IR. Entonces, la j−´esima derivada parcial de f en el punto p0 = (x1, . . . , xn) se denota ∂x∂f
j(x1, . . . , xn) y define: l´ım h→0 f (x1, . . . , xj + h, . . . , xn) − f (x1, . . . , xn) h = ∂f ∂xj (x1, . . . , xn) = Dfj(x1, . . . , xn)
Generalmente, con el fin de no escribir tanto, se saca la D en Df j(x1, . . . , xn),
7.1.1. Gradiente
El vector (∂f∂x(p0),∂f∂y(p0), . . . ,∂f∂n(p0)) se llama ‘gradiente de f en el punto
p0’ y se denota ∇f (p0).
7.2.
Derivadas parciales en IR
2Sea U ⊂ IR2 un conjunto abierto y f : U −→ IR. Entonces, su derivada parcial respecto a x en el punto (x, y) se define:
l´ım h→0 f (x + h, y) − f (x, y) h = ∂f ∂x(x, y) = Dfx(x, y) y respecto a y: l´ım h→0 f (x, y + h) − f (x, y) h = ∂f ∂y(x, y) = Dfy(x, y)
Nota: Hago hincapi´e en el hecho de que el conjunto debe ser abierto pues derivamos ´unicamente en puntos interiores (donde sabemos que puede existir la derivada).
7.2.1. Interpretaci´on de gradiente en IR2
Sea ~v un vector unitario, el incremento diferencial es: ∇f (x, y) ∗ ~v = ||∇f (x, y)|| ∗ ||~v|| cos(θ) donde se utiliz´o la definici´on de producto escalar. Luego, las direcciones quedan definidas:
M´aximo incremento −→ cos(θ) = 1 −→ ||∇f (x,y)||∇f (x,y) M´ınimo incremento −→ cos(θ) = −1 −→ ||∇f (x,y)||−∇f (x,y)
Sin incremento/Constante −→ cos(θ) = 0 −→ ∇f (x, y) ∗ ~v = 0
7.3.
Derivadas de orden superior
Si las derivadas parciales de orden 1 est´an definidas en un entorno de (x, y) entonces las puedo volver a derivar, si existe y es finito el siguiente l´ımite (derivada segunda respecto a x):
y respecto a y (si existe y es finito el siguiente l´ımite): l´ım h→0 ∂f ∂x(x, y + h) − ∂f ∂x(x, y) h = ∂2f ∂y∂x(x, y) = Dfxy(x, y)
Podemos seguir as´ı siempre y cuando exista el l´ımite y sea finito, con el fin de encontrar las n-´esimas derivadas parciales (´o derivadas parciales de orden n).
7.4.
Teorema de Bonnet-Schwarz
Sea f : D ⊆ IR2 −→ IR, p0 ∈ Do y se verifica:
i) Las derivadas parciales de orden 1 y 2 existen en un entorno del punto p0.
ii) Las derivadas parciales de orden 2 son continuas en el punto p0.
Entonces se cumple:
∂2f
∂x∂y(p0) = ∂2f
∂y∂x(p0) Es decir, las cruzadas son iguales en p0.
7.5.
Derivadas direccionales
Sea f : D ⊆ IR2 −→ IR, (x0, y0) = p0 ∈ Do y ~v = (v1, v2) un vector
unitario, entonces, la derivada en la direcci´on ~v se define (si el l´ımite existe y es finito): l´ım h→0 f (p0+ h~v) − f (p0) h = ∂f ∂~v(p0) = Df~v(p0)
N´otese que si ~v = (1, 0) se obtiene ∂f∂x(p0), y si ~v = (0, 1) se obtiene ∂f∂y(p0).
8.
Diferenciabilidad
Sea f : D ⊆ IR2 −→ IR y (x0, y0) = p0 ∈ Do, decimos que f (x, y) es
diferenciable en p0 si ∃δ > 0, a, b ∈ IR y una funci´on (llam´emosla Resto)
W : Bδ(0, 0) −→ IR tales que ∀(h, k) ∈ Bδ(0, 0) se cumple:
donde a = ∂f∂x(p0) y b = ∂f∂y(p0) (si f es diferenciable en p0), y por otro
lado l´ım(h,k)→(0,0) W (h,k)||(h,k)|| = 0.
M´as adelante se encuentra la otra definici´on, que a mi parecer, es m´as clara para el estudiante.
8.1.
Clase 1
Sea f : D ⊆ IR2 −→ IR y (x0, y0) = p0 ∈ Do, decimos que f es de clase
C1 en p
0 si ∃δ > 0 : las derivadas parciales existen y son continuas en Bδ(p0).
Otra forma de expresar esta definici´on es decir que la funci´on f es con-tinuamente diferenciable en p0.
8.2.
Otra definici´
on para diferenciabilidad
Partiendo de lo mencionado en la introducci´on a esta secci´on, podemos reescribir la definici´on de diferenciabilidad, por lo tanto, para que f sea di-ferenciable en p0 se debe cumplir:
l´ım (h,k)→(0,0) f (x0+ h, y0+ k) − f (x0, y0) − ∇f (x0, y0) ∗ (h, k) ||(h, k)|| = 0 Tomando x = x0+ h y y = y0+ k: l´ım (x,y)→(x0,y0) f (x, y) − f (x0, y0) − ∇f (x0, y0) ∗ (x − x0, y − y0) ||(x − x0, y − y0)|| = 0 Ambas formas son v´alidas.
8.3.
Diferencial en un punto
El diferencial de f en el punto p0 se define:
df (p0) =
∂f
∂x(p0) ∗ (x − x0) + ∂f
∂y(p0) ∗ (y − y0) = ∇f (p0) ∗ (dx, dy) Es decir, utilizando el incremento tanto en x como en y.
8.4.
Diferenciales de orden superior
8.5.
Teorema 1: Clase 1 implica diferenciable
Sea f : D ⊆ IR2 −→ IR y (x0, y0) = p0 ∈ Do. Si f es de clase C1 en
p0 =⇒ f es diferenciable en p0.
Nota: Este teorema aplica para campos vectoriales tambi´en.
8.6.
Teorema 2: Diferenciable implica continua
Sea f : D ⊆ IRn −→ IRm y p
0 ∈ Do. Si f es diferenciable en p0 =⇒ f es
continua en p0.
8.7.
Teorema 3: Diferenciable implica direccionales
Sea f : D ⊆ IR2 −→ IR y (x0, y0) = p0 ∈ Do. i f es diferenciable en p0 =⇒
existen todas las derivadas direccionales, y para cada direcci´on ~v = (v1, v2)
(~v es unitario) se cumple: D~vf (p0) = ∂f ∂x(p0) ∗ v1+ ∂f ∂y(p0) ∗ v2 = ∇f (p0) ∗ ~v
8.8.
Observaciones
i) Diferenciable NO implica clase C1. ii) Derivable implica diferenciable.
iii) Derivable parcialmente en un punto implica diferenciable en el punto. iv) F : IRn −→ IRm, F = (F
1, . . . , Fm) es diferenciable si Fi : D −→ IR con
i ∈ [1, m] es diferenciable (cada componente es diferenciable).
8.9.
Funci´
on impl´ıcita
Sea f : IRn −→ IR de clase C1 (es decir, diferenciable por Teorema 1 )
tal que f (x0, . . . , xn) = 0 y p0 un punto perteneciente a su dominio, si la
variable xi, donde i ∈ [0, n], define una funci´on impl´ıcita xi = F (x0, . . . , xn)
(se excluye la variable xi) en un entorno de p0, se deben verificar las siguientes
condiciones:
f diferenciable en p0.
∂f
∂xi(p0) 6= 0, la derivada parcial respecto a la variable xi, que define una
funci´on impl´ıcita en un entorno de p0, no debe anularse al ser evaluada
en dicho punto.
Si se satisfacen todas y cada una de las tres condiciones, entonces se verifica la hip´otesis del teorema de la funci´on impl´ıcita en p0 para la
variable xi, y por lo tanto vale que
∂xi ∂xm = − ∂f ∂xm ∂f ∂xi donde xm ∈ [x0, . . . , xn]\xi.
8.10.
Plano tangente
Sea f : IR2 −→ IR diferenciable en p0 = (x0, y0). El plano de IR3 definido
por la ecuaci´on: z(x, y) = f (x0, y0) +
∂f
∂x(x0, y0) ∗ (x − x0) + ∂f
∂y(x0, y0)(y − y0) = f (p0) + df (p0) se llama plano tangente de la gr´afica f en el punto p0.
Observaci´on: El plano tangente a un plano, es el mismo plano. 8.10.1. Vector normal
El vector normal a un plano tangente en un punto p0 se obtiene:
~n = (−∂f ∂x(p0), − ∂f ∂y(p0), 1) = ( ∂f ∂x(p0), ∂f ∂y(p0), −1)
En donde los signos + y - (de la tercer coordenada) indican su sentido (para ‘arriba’ ´o ‘abajo’).
8.10.2. Aproximaci´on lineal
Para hallar el valor aproximado de una funci´on, se puede utilizar la ecua-ci´on del plano tangente, tomando como p0 un valor que nos permita conocer
8.10.3. Obtenci´on del plano tangente en un punto
Sea S la superficie que est´a formada por aquellos puntos (x, y, z) tales que f (x, y, z) = 0 ´o f (x, y, z) = k con k constante. El plano tangente a S en el punto (x0, y0, z0) de S se calcula mediante los siguientes pasos.
1. Igualamos la funci´on a 0 ´o un valor constante.
2. Calculamos el gradiente en el punto, es decir, ∇f (x0, y0, z0).
3. Reemplazamos valores en ∇f (x0, y0, z0) ∗ (x − x0, y − y0, z − z0) = 0
Nota: La ecuaci´on del paso 3 es la que permite la obtenci´on del plano tangente en un punto (x0, y0, z0).
8.11.
Matriz Jacobiana
Dado un campo vectorial F : D ⊆ IRn −→ IRm y un punto p0 ∈ Do, si F
es diferenciable, notamos Df (p0) = J f (p0) a su matriz jacobiana asociada
en el punto p0, y se define: Df (p0) = ∂F1 ∂x1(p0) ∂F1 ∂x2(p0) · · · ∂F1 ∂xn(p0) ∂F2 ∂x1(p0) ∂F2 ∂x2(p0) · · · ∂F2 ∂xn(p0) .. . ... . .. ... ∂Fm ∂x1 (p0) ∂Fm ∂x2 (p0) · · · ∂Fm ∂xn(p0)
N´otese que la matriz tiene tantas filas como componentes, y tantas co-lumnas como variables. Por otro lado, es cuadrada si y s´olo si tiene tantas componentes como variables.
8.12.
Matriz Hessiana
Dado un campo escalar f : D ⊆ IRn −→ IR con derivadas de orden 2, y un punto p0 ∈ Do, notamos Hf (p0) a su matriz hessiana (´o hessiano) asociada
en el punto p0, y se define: Hf (p0) = ∂2f ∂x2 1 (p0) ∂ 2f ∂x2∂x1(p0) · · · ∂2f ∂xn∂x1(p0) ∂2f ∂x1∂x2(p0) ∂2f ∂x2 2 (p0) · · · ∂ 2f ∂xn∂x2(p0) .. . ... . .. ... ∂2f ∂x1∂xn(p0) ∂2f ∂x2∂xn(p0) · · · ∂2f ∂x2 n(p0)
N´otese que la matriz es cuadrada, y si f es de clase C2, es decir, sus
derivadas segundas son continuas en un entorno de p0 =⇒ ∂
2f
∂xi∂xj(p0) =
∂2f
∂xj∂xi(p0) ∀i, j ∈ [1, n] =⇒ Hf (p0) es sim´etrica.
8.13.
Polinomio de Taylor de orden 1
Sea f : U ⊆ IRn −→ IR diferenciable en p0 = (x0, . . . , xn) ∈ U , p1 =
(y0, . . . , yn) ∈ U (valor a aproximar) y h = p1− p0 = (y0− x0, . . . , yn− xn) =
(h0, . . . , hn). Ac´a es donde se dice que el polinomio de taylor se encuentra
centrado en p0. Entonces, el polinomio de taylor de orden 1 en p0 se define:
f (p1) = f (p0 + h) = f (p0) + n X i=0 ∂f ∂xi (p0) ∗ hi + R1(p0, h) donde R1(p0,h) ||h|| → 0 cuando h → 0 en IR n. F´ormula alternativa f (p0+ h) = f (p0) + ∇f (p0) ∗ h + R1(p0, h)
Aproximaci´on de primer orden
f (p0+ h) = f (p0) + ∇f (p0) ∗ h
N´otese como si n = 2, se obtiene la f´ormula del plano tangente en p0.
Aproximaci´on de primer orden con error
f (p0+ h) = f (p0) + ∇f (p0) ∗ h +
1
2∗ h ∗ Hf (p0+ ch) ∗ h
t
donde c ∈ (0, 1) y ht es el vector incremento traspuesto. La idea es
acotar el error, de manera que |error| < k con k constante.
8.14.
Polinomio de Taylor de orden 2
Sea f : U ⊆ IRn −→ IR con derivadas parciales continuas de tercer orden en p0 (basta con que f sea de clase C2). Entonces, el polinomio de taylor de
donde R2(p0,h)
||h||2 → 0 cuando h → 0 y h se encuentra definida en Polinomio
de Taylor de orden 1.
Primer f´ormula alternativa
f (p0+ h) = f (p0) + ∇f (p0) ∗ h +
1
2∗ h ∗ Hf (p0) ∗ h
t+ R
2(p0, h)
Segunda f´ormula alternativa
Esta alternativa es v´alida ´unicamente si f es de clase C2 en p0 y n = 2:
f (p0+h) = f (p0)+∇f (p0)∗h+ h2 0 2 ∂2f ∂x2(p0)+h0h1 ∂2f ∂y∂x(p0)+ h2 1 2 ∂2f ∂y2(p0)+R2(p0, h)
Aproximaci´on de segundo orden
f (p0+ h) = f (p0) + ∇f (p0) ∗ h +
1
2∗ h ∗ Hf (p0) ∗ h
t
Aproximaci´on de segundo orden con error No se ve en este curso.
8.15.
Polinomio de Taylor de orden 3
Sea f : U ⊆ IRn −→ IR de clase C3 (impongo esta condici´on as´ı puedo
utilizar una expansi´on que simplifica el c´alculo, pero no es condici´on necesa-ria, si suficiente). Entonces, el polinomio de taylor de orden 3 en p0 y n = 2
se define: f (p0+ h) = f (p0) + n X i=0 ∂f ∂xi (p0) ∗ hi +1 2 ∗ h ∗ Hf (p0) ∗ h t+ σ(||h||3)
donde h se encuentra definida en Polinomio de Taylor de orden 1 y σ(||h||3) es la contracci´on de: 1 6 ∂3f ∂x3(p0)h 3 0 + 1 2 ∂3f ∂y∂x2(p0)h 2 0h1+ 1 2 ∂3f ∂x∂y2(p0)h0h 2 1+ 1 6 ∂3f ∂y3(p0)h 3 1 F´ormula alternativa f (p0 + h) = f (p0) + ∇f (p0) ∗ h + 1 2 ∗ h ∗ Hf (p0) ∗ h t+ σ(||h||3)
8.16.
C´
alculo de extremos
Los puntos de extremo de una funci´on, son aquellos en los que la misma alcanza su mayor y menor valor. Los extremos locales (´o relativos) son puntos en los cuales la funci´on alcanza un valor m´aximo ´o m´ınimo respecto a los puntos cercanos. En algunos casos, los extremos locales y puntos de extremo coinciden.
8.16.1. Extremos locales
Para el c´alculo de extremos locales, se deben cumplir ciertas condiciones, a continuaci´on se encuentran enumeradas, pero antes de ello, debo introducir el concepto de c´omo influye la matriz hessiana y su definici´on.
An´alisis de la matriz hessiana asociada
Sea f (x, y) de clase C3 en un conjunto abierto U de IR2, (x
0, y0) = p0 un
punto de U , y Hf (p0) su hessiano asociado, entonces:
Hessiano definido como positivo:
1. ∇f (p0) = 0 (suele cumplirse en la mayor´ıa de los casos).
2. ∂∂x2f2(p0) > 0.
3. det(Hf (p0)) > 0. A esto se lo conoce como discriminante de la
forma cuadr´atica hessiana. Hessiano definido como negativo:
1. ∇f (p0) = 0. 2. ∂∂x2f2(p0) < 0. 3. det(Hf (p0)) > 0. Hessiano indefinido: 1. det(Hf (p0)) < 0. Hessiano ‘degenerado’: 1. det(Hf (p0)) = 0.
Si Hf (p0) definida positiva =⇒ p0 es un punto de m´ınimo local.
Si Hf (p0) definida negativa =⇒ p0 es un punto de m´aximo local.
Si Hf (p0) indefinida =⇒ p0 es un punto silla.
Si Hf (p0) ‘degenerada’ =⇒ p0 analizar por otro lado.
Las condiciones (criterios) mencionadas en la introducci´on a esta secci´on son:
Condici´on de la derivada primera
Si U ⊆ IRn es abierto, la funci´on f : U −→ IR es diferenciable y p0 ∈ U
es un punto de extremo local (´o cr´ıtico), entonces Df (p0) = ∇f (p0) =
0.
Nos brinda los ‘candidatos’ a extremos locales (puntos cr´ıticos). Esta condici´on se conoce como condici´on de primer orden (CPO). Ver p´agina 201 para la demostraci´on.
Criterio de la derivada segunda
Si la funci´on f : U ⊆ IRn −→ IR es de clase C3 y p
0 ∈ U es un punto
cr´ıtico, y su matriz hessiana Hf (p0) es definida positiva, entonces p0 es
un punto de m´ınimo relativo de f . An´alogamente, si Hf (p0) es definida
negativa, entonces, p0 es un punto de m´aximo relativo de f .
Esto proviene del polinomio de Taylor de orden 2, dado que el t´ermino que incluye al gradiente es 0 (por CPO), lo ´unico que resta es que el t´ermino que incluye al hessiano se cancele.
Esta condici´on se conoce como condici´on de segundo orden (CSO). Ver p´agina 206 para la demostraci´on.
Pasos para hallar extremos locales
1. ∇f (x, y) = 0 para determinar los puntos cr´ıticos. 2. Evaluar cada punto en la matriz hessiana asociada. 3. Analizar la definici´on de cada punto, en base al paso 2.
8.16.2. M´aximos y m´ınimos globales
Si bien ya se introdujo el concepto de extremos locales y c´omo hallarlos, resta incluir el concepto de extremos globales (´o absolutos) y c´omo hallarlos. Esta secci´on est´a dedicada para ello.
El c´alculo de estos extremos es m´as complejo, puesto que hay una serie de condiciones a cumplir.
Empezar´e enunciando la condici´on necesaria para la existencia de extre-mos restringidos, mediante un teorema.
Teorema: Sea D cerrado y acotado en IRn, y sea f : D −→ IR continua (para ir a lo seguro es preferible que f sea diferenciable en D). Entonces, existen puntos p0 y p1 de D donde f alcanza sus valores m´aximo y m´ınimo.
Lo primero que hay que hacer, es fijarse si la funci´on en cuesti´on se encuentra definida en la regi´on a analizar, junto a otras condiciones:
f : Ω ⊆ IRn −→ IR continua y diferenciable. Ω regi´on compacta (cerrada y acotada).
∂Ω curva suave a trozos (sus derivadas parciales son continuas y no se anulan en un determinado intervalo, donde si se une cada intervalo, se cubre toda la frontera de Ω).
Entonces, por Weierstrass, existen puntos m´aximos y m´ınimos de f en Ω. Una vez que se cumpla lo mencionado previamente, se puede proseguir con el an´alisis.
Usando CPO se pueden determinar los puntos cr´ıticos, pero estos pueden caer ‘afuera’ de nuestra regi´on Ω. Por ello se analiza la superficie mediante dos conjuntos, el interior de Ωo y su frontera ∂Ω.
Separemos el an´alisis de estos conjuntos en dos casos. Caso 1) An´alisis en Ωo
Si el extremo est´a en Ωo, entonces es local, por lo tanto, los puntos cr´ıticos se calculan usando ∇f (x, y) = 0 (CPO). Verificar que dichos puntos pertenezcan a la regi´on Ω. En caso de que no lo hagan, no se tienen en cuenta.
Opci´on 1) Multiplicador de Lagrange
Antes, debo introducir dos conceptos para una mejor comprensi´on. Valor regular
Decimos que 0 (cero) es un valor regular de una funci´on g : IR3 −→ IR en el conjunto S = {g(x, y, z) = 0} si ∀(x, y, z) ∈ S se cumple ∇g(x, y, z) 6= 0 (vector nulo).
Teorema de Lagrange
Sea f : U ⊆ IRn −→ IR de clase C1, U abierto y consideremos
S = {g(x1, . . . , xn) = 0} donde g : U ⊆ IRn−→ IR es de clase C1 y
0 (cero) es un valor regular de g. Entonces, si f (x1, . . . , xn) alcanza
un extremo local restringido en S en cierto punto p0 ∈ S, existe un
λ 6= 0 tal que ∇f (p0) = λ∇g(p0). Entonces, ∇(f (p0)−λg(p0)) = 0.
Luego, f (p0)−λg(p0) = `(p0, λ) = `(x1, . . . , xn, λ) y λ se denomina
multiplicador de Lagrange (´o factor de Lagrange). Ahora comencemos con el an´alisis mediante esta opci´on.
Consideremos g(x1, . . . , xn) = 0 donde g : IRn −→ IR es de clase
C1 y describe ∂Ω igualada a 0 (ac´a se utiliza el concepto de valor
regular).
Mediante el teorema de Lagrange tenemos que `(x1, . . . , xn) =
f (x1, . . . , xn) − λg(x1, . . . , xn).
Por otro lado, el gradiente de ` debe igualarse al vector nulo, por lo tanto, ∇`(x1, . . . , xn, λ) = 0 (aclaro que (x1, . . . , xn, λ) NO son
valores reales, son las variables). Puede hacer ruido que se derive respecto al factor de Lagrange, pero esto se realiza a prop´osito pues describe ∂Ω, sino se dar´ıa por sentado que no hay extremos en la misma. Aclaro, en clase lo dan como que se ‘deriva’ respecto a λ, la realidad es que g se debe analizar as´ı como est´a, no es necesario derivar. Ver p´aginas 218 y 219.
Puede suceder que se llegue a un SEL igualado a 0, en dicho caso, mi consejo, es resolverlo como lo mencionado en la secci´on 2.2.1. Luego, usando la funci´on ` junto a su gradiente, se determinan los puntos cr´ıticos.
La idea final es evaluar f en cada uno de los puntos, donde los de menor valor son m´ınimos absolutos y los de mayor, m´aximos. Observaci´on: Recordar que no se puede dividir por cero, por lo tanto ese caso se analiza aparte.
Esta opci´on puede ser complicada al principio, pero con pr´actica resulta la mejor, a mi parecer. La estrategia reside en restringir f
a ∂Ω y usar la funci´on g como un conjunto de nivel, en el m´ eto-do que mencion´e lo realic´e igualando a 0, pero podr´ıa resolverse g(x1, . . . , xn) = c sin ning´un problema.
Ver p´agina 227 para la estrategia del libro. Opci´on 2) Funci´on auxiliar
Esta opci´on no la us´e casi nunca, dado que no puede utilizarse en todos los casos, pero de todas formas la menciono. Es viable y funciona. La dieron en clase, no se encuentra en el libro.
La idea es reemplazar los valores de cada variable en f , entonces, si tenemos f : IRn −→ IR y podemos expresar cada variable en funci´on de una ´unica, es decir (por ejemplo) que (x2, . . . , xn)
de-pendan de x1, entonces evaluamos f en cada una de esas variables
en funci´on de x1 y llamamos g(x1) = f (x1, . . . , . . . x1. . . ) (pues
(x2, . . . , xn) dependen de x1, por eso puse . . . ).
Luego, derivamos g(x1), la igualamos a cero, y en los valores de
x1 donde g0(x1) = 0, (su derivada se anula) son puntos cr´ıticos (se
reemplaza x1 en (x2, . . . , xn)). En caso de que NO se anule para
ning´un valor de x1, los extremos del intervalo se deben tener en
cuenta (van siempre). Adem´as, cabe aclarar, que los valores de los puntos cr´ıticos tienen que pertenecer al borde de la regi´on (de ∂Ω).
La idea final es evaluar f en cada uno de los puntos, donde los de menor valor son m´ınimos absolutos y los de mayor, m´aximos. Claramente si no se puede expresar alguna variable en funci´on de una ´unica, no funciona esta opci´on.
Finalmente, resta analizar los puntos obtenidos en el caso 1. Superficies con m´as de una restricci´on
Puede suceder que tengamos que tener en cuenta m´as de una restricci´on en base a regiones, en dicho caso, si Ω est´a restringida por:
g1(x1, . . . , xn) = 0 .. . gk(x1, . . . , xn) = 0
donde p0 ∈ Ω es un m´aximo ´o m´ınimo de f .
Recomiendo fuertemente utilizar la opci´on 1 para el an´alisis de extremos absolutos en ∂Ω.
8.17.
Regla de la cadena
Sean U ⊆ IRn y V ⊆ IRm conjuntos abiertos. Sean g : U −→ IRm y f : V −→ IRp funciones tales que g lleva U a V mediante la composici´on f og. Supongamos que g es diferenciable en p0 ∈ U y que f es diferenciable
en y0 = g(p0) ∈ V . Entonces, f og es diferenciable en p0 y:
D(f og)(p0) = Df (y0)Dg(p0) = Df (g(p0))Dg(p0)
8.17.1. Primer caso especial
Sea c : IR −→ IR3 una trayectoria diferenciable y que f : IR3 −→ IR. Sea h(t) = f (c(t)) = f (x(t), y(t), z(t)) es decir que c(t) = (x(t), y(t), z(t)). Entonces: dh dt = ∂f ∂x dx dt + ∂f ∂y dy dt + ∂f ∂z dz dt = ∇f (c(t)) ∗ c 0 (t)
8.17.2. Segundo caso especial
Sea f : IR3 −→ IR y g : IR3 −→ IR3. Escribimos:
g(x, y, z) = (u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z)) y definimos h : IR3 −→ IR:
h(x, y, z) = f (u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z)) = f og(x, y, z) En este caso, la regla de la cadena dice que:
∂h ∂x ∂h ∂y ∂h ∂z = ∂f ∂u ∂f ∂v ∂f ∂w ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v ∂z ∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂z
8.17.3. Propiedades
Son las mismas reglas que para el c´alculo de una variable, s´olo que en lugar del s´ımbolo de la derivada, se usa la matriz jacobiana en su lugar.
1. Si h(x) = cf (x) diferenciable en x0, entonces Dh(x0) = cDf (x0).
2. Si h(x) = f (x)±g(x) diferenciables en x0, entonces Dh(x0) = Df (x0)±
Dg(x0).
3. Si h(x) = f (x)g(x) diferenciables en x0, entonces Dh(x0) = Df (x0)g(x0)+
f (x0)Dg(x0).
4. Bajo las mismas hip´otesis que el item 3, si h(x) = f (x)g(x), entonces Dh(x0) = Df (x0)g(x(g(x0)−f (x0)Dg(x0)
0))2 .
9.
Ecuaciones diferenciales
Una ecuaci´on diferencial es una ecuaci´on que relaciona una funci´on con sus derivadas.
Existen diferentes tipos de ecuaciones diferenciales, en este apunte har´e el estudio de algunas.
El orden de una ecuaci´on diferencial queda determinado por el mayor orden de derivaci´on que aparece.
Los m´etodos de resoluci´on ser´an para EDO’s lineales.
9.1.
Ecuaci´
on diferencial ordinaria
Una ecuaci´on diferencial ordinaria de orden n (EDO) es una ecua-ci´on definida por F : IRn+2 −→ IR de la forma:
F (x, y, y0, y00, . . . , y(n)) = 0
La soluci´on de una EDO es alguna funci´on φ : I −→ IR tal que reempla-zada en la EDO, es decir, y = φ(x), resulta una identidad:
9.2.
Ecuaci´
on diferencial ordinaria lineal de orden n
La EDO lineal de orden n es de la forma:
an(x)yn+ an−1(x)yn−1+ · · · + a1(x)y0+ a0(x)y = f (x) (1)
donde los coeficientes ai(x) con i ∈ [0, n] y f son funciones que devuelven
un valor real.
Una EDO no es lineal si alguna de las derivadas ´o y no son lineales. La ecuaci´on (1) es homog´enea si f (x) = 0, caso contrario se dice que es no homog´enea.
9.3.
Teorema 1
Si cada t´ermino ai(x) de la ecuaci´on (1) es continuo en I, entonces la EDO
lineal de orden n homog´enea tiene un conjunto de soluciones que resulta un espacio vectorial de dimensi´on n.
Es decir, existen funciones {f0, . . . , fn} donde fi : I −→ IR con i ∈ [0, n]
que son soluci´on de
an(x)yn+ an−1(x)yn−1+ · · · + a1(x)y0+ a0(x)y = 0
tales que cualquier soluci´on de la ecuaci´on homog´enea se escribe de manera ´unica como
yh(x) = α0f0(x) + α1f1(x) + · · · + αnfn(x)
donde αi ∈ IR constantes.
Para determinar una soluci´on particular se le dan valores a αi.
Finalmente, la soluci´on de la EDO es y(x) = yp(x) + yh(x).
Si tenemos condiciones iniciales y(x0) = y0 y(x1) = y1 .. . y(xn−1) = yn−1
va a quedar determinada una ´unica soluci´on. Esto se sabe por el Teorema de Valores Iniciales (no mencionado en este apunte).
9.4.
Soluci´
on de EDO de primer orden mediante
‘va-riables separables’
Sea
y0 = f (y)g(x)
donde f, g : I −→ IR funciones continuas en I y f (y) 6= 0, entonces: y0 = dy dx = f (y)g(x) Luego, dy f (y) = g(x)dx Finalmente, Z dy f (y) = Z g(x)dx El caso f (y) = 0 se analiza aparte.
9.5.
Ecuaci´
on diferencial ordinaria de primer orden
exacta
Una ecuaci´on diferencial exacta es una EDO de primer orden de la forma: M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 donde ∂M ∂y = ∂N ∂x Es decir, existe una funci´on F (x, y) tal que
dF = ∂F ∂xdx + ∂F ∂ydy = 0 donde ∂F ∂x = M (x, y) y ∂F ∂y = N (x, y)
Como F es diferenciable, sus cruzadas son iguales, entonces ∂M
= ∂N = ∂
2F
= ∂
9.5.1. Soluci´on de EDO de primer orden exacta La siguiente resoluci´on se basa en que la EDO es exacta. Comencemos con el t´ermino de la funci´on M (x, y)
M (x, y) = ∂F ∂x Integramos respecto a x Z M (x, y)dx = Z ∂F ∂xdx quedando la primitiva de M (x, y) + g(y) = F (x, y) donde g : IR −→ IR.
Luego, derivamos F respecto a y ∂F
∂y = N (x, y) Se despeja g0(y) integrando respecto a y.
Finalmente, la soluci´on general tiene la constante C ∈ IR proveniente de integrar g0(y).
9.6.
Ecuaci´
on diferencial ordinaria lineal de primer
or-den
Sea la EDO lineal de primer orden:
y0(x) + P (x)y(x) = Q(x)
donde P, Q : I −→ IR continuas en I y y0 derivable (continua) en I. Sean y (una soluci´on cualquiera) y yp (una soluci´on particular), tomando
y − yp y reemplazando en y(x) se obtiene que es soluci´on de la EDO. Luego,
y −yp es soluci´on de la ecuaci´on homog´enea asociada, por lo tanto y −yp = yh,
es decir, y = yp+ yh. Resta encontrar dichas soluciones.
Caso 1: Resoluci´on ecuaci´on homog´enea Igualamos la EDO a cero
y0+ P (x)y = 0
Luego, resolvemos mediante variables separables dy
y = −P (x)dx Integrando ambos lados,
ln|y| = − Z
P (x)dx + C
donde R P (x)dx es una primitiva de P (x). Finalmente,
yh(x) = ±eCe− R
P (x)dx
Todas las soluciones son de la forma yh(x) = βe−
R P (x)dx
con β ∈ IR\{0}.
Caso 2: Resoluci´on ecuaci´on no homog´enea Partimos de
y0(x) + P (x)y(x) = Q(x) (2)
Sabemos que
yp(x) = α(x)yh(x) (3)
Reemplazamos en ecuaci´on (2)
α0(x)yh(x) + α(x)yh0(x) + P (x)α(x)yh(x) = Q(x)
Sacamos factor com´un α(x)
Despejando e integrando a ambos lados Z α0(x)dx = Z Q(x) yh(x) dx Finalmente, α(x) = Z Q(x) yh(x) dx donde R yQ(x) h(x)dx es una primitiva de Q(x) yh(x).
Reemplazando α(x) en ecuaci´on (3) llegamos a que todas las soluciones son de la forma
yp(x) = yh(x)
Z Q(x) yh(x)
dx
Luego, hallamos la soluci´on de la EDO: y(x) = yp(x) + yh(x).
9.7.
EDO lineal de orden 2 con coeficientes constantes
Una EDO lineal de orden 2 con coeficientes constantes es de la forma:
y00+ by0+ cy = g(x) (4)
donde b, c ∈ IR.
Para hallar la soluci´on debemos encontrar tanto la soluci´on homog´enea como la particular (de la ecuaci´on no homog´enea).
Comencemos con el an´alisis de la ecuaci´on homog´enea:
y00+ by0+ cy = 0 (5)
Proponemos como soluci´on
y(x) = eλx Reemplazamos en la EDO
λ2eλx+ bλeλx+ ceλx = 0 Sacamos factor com´un eλx
eλx(λ2+ bλ + c) = 0
La ecuaci´on caracter´ıstica asociada a la EDO es λ2+ bλ + c = 0.
Ahora surgen 3 posibles casos mediante el an´alisis del discriminante λ1, λ2 =
−b ±√b2− 4c
Caso 1: λ1 6= λ2 ra´ıces reales.
Las soluciones son
yh1(x) = eλ1x y yh2(x) = eλ2x
Luego,
yh(x) = Ayh1(x) + Byh2(x)
donde A, B ∈ IR. Caso 2: λ1 = λ2.
Las soluciones son
yh1(x) = eλ1x y yh2(x) = xeλ2x
Luego,
yh(x) = Ayh1(x) + Byh2(x)
Como λ1 = λ2 = λ,
yh1(x) = eλx y yh2(x) = xeλx
Caso 3: λ1 = λ2 complejas, no existen ra´ıces reales.
Las soluciones son
yh1(x) = eaxcos(bx) y yh2(x) = eaxsin(bx)
donde a = Re(λ1) y b = Im(λ1) (se puede tomar λ2 en lugar de λ1
siempre y cuando se sea consistente). Luego,
yh(x) = Ayh1(x) + Byh2(x)
Las soluciones a cada caso no son azarosas, se llega a ellas reemplazando el respectivo valor de λ1 y/´o λ2 (dependiendo el caso) usando el respectivo
determinante (con las ra´ıces y sus derivadas), si cumple con el Wronskiano, usamos el Teorema 2 (ambas proposiones se encuentran mencionadas unas p´aginas m´as adelante).
i) M´etodo de coeficientes indeterminados (´o m´etodo de selecci´on) Partimos de la ecuaci´on (4).
Separamos en casos dependiendo de g(x).
1. Caso g(x) = Aemx con A y m constantes. Propongo
yp(x) = Kemx
donde K es un valor a seleccionar.
Observaci´on: Cuando m es ra´ız de la ecuaci´on caracter´ıstica, si su multiplicidad es γ, entonces se propone
yp(x) = xγKemx
donde γ ∈ [0, 2].
Esto sucede debido a que se cae en la soluci´on homog´enea, y que-remos evitarlo.
Luego, reemplazo en la EDO y despejo K. 2. Caso g(x) = A cos(mx) ´o g(x) = A sin(mx).
Propongo
yp(x) = K1cos(mx) + K2sin(mx)
donde K1 y K2 son valores a seleccionar.
Observaci´on: Si la ecuaci´on caracter´ıstica tiene ra´ıces complejas, a = 0 y b = m, entonces se propone
yp(x) = x(K1cos(mx) + K2sin(mx))
Luego, reemplazo en la EDO, y despejo K1 y K2.
3. Caso g(x) = amxm+ · · · + a1x + a0 =Pmi=0aixi. Propongo yp(x) = αmxm+ · · · + α1x + α0 = m X i=0 αixi
donde αi con i ∈ [0, m] son valores a determinar.
Observaci´on: Si la ecuaci´on caracter´ıstica tiene a λ = 0 como ra´ız con multiplicidad γ, entonces se propone
yp(x) = xγ( m
X
i=0
donde γ ∈ [0, 2].
Luego, reemplazo en la EDO y despejo cada αi.
ii) Soluci´on general
Este m´etodo sirve ´unicamente cuando g(x) es exponencial, po-lin´omica, seno, coseno ´o sumas ´o productos de las mismas. Supongamos que
g(x) = emxP (x) cos(wx) ´o g(x) = emxP (x) sin(wx) donde P (x) es un polinomio de grado n.
Entonces se propone
yp(x) = emx(R(x) cos(wx) + T (x) sin(wx))
donde R(x) y T (x) son polinomios completos de grado n. Observaci´on: En caso que yp(x) caiga en la soluci´on homog´enea,
se debe multiplicar por x tantas veces como sea necesario hasta que se evite lo mencionado.
Tip: Este m´etodo es fundamental tenerlo en cuenta, pero a veces puede ser tedioso. Recomiendo utilizar el m´etodo iii).
iii) Variaci´on de par´ametros
Este m´etodo puede usarse si y s´olo si g(x) se anula mediante la aplicaci´on de un operador con coeficientes constantes.
Partimos de
y00+ b(x)y0+ c(x)y = g(x) (6)
cuyos coeficientes son dependientes (esto trae problemas en la ho-mog´enea).
Supongamos que encontramos la soluci´on homog´enea yh(x) = Ay1 + By2
Sea la soluci´on particular de la EDO de la ecuaci´on (6)
Pido α0(x)y1+ β0(x)y2 = 0.
y00p = α0(x)y10 + α(x)y001 + β0(x)y02+ β(x)y002 Entonces, ahora queda
y0p = α(x)y10 + β(x)y20 Reemplazamos yp, y0p y y00p en la ecuaci´on (6)
α0(x)y10 + α(x)y001 + β0(x)y20 + β(x)y002 + b(x)(α(x)y10 + β(x)y02) + c(x)(α(x)y1+ β(x)y2) = g(x)
Sacando α(x) y β(x) factor com´un
α(x)(y100+ b(x)y01+ c(x)y1) + β(x)(y002 + b(x)y 0
2+ c(x)y2)
+ α0(x)y01+ β0(x)y02 = g(x) Como y100+ b(x)y10 + c(x)y1 = y002 + b(x)y20 + c(x)y2 = 0 (pues y1 y
y2 son soluciones de la ecuaci´on homog´enea), tenemos
α0(x)y10 + β0(x)y20 = g(x) Luego,
(
α0(x)y1+ β0(x)y2 = 0
α0(x)y01+ β0(x)y02 = g(x)
Despejo α0(x) y β0(x), integro y reemplazo α(x) y β(x) en la ecua-ci´on (7).
Es probable (y recomendable) que se tenga que usar el m´etodo de Cramer.
9.7.1. Wronskiano
Dadas dos funciones derivables f1, f2 : (a, b) −→ IR, el determinante
f1(x) f2(x) f10(x) f20(x) = W (f1, f2)(x) 6= 0 ∀x ∈ (a, b) = I se dice Wronskiano de f1 y f2.
Esto es algo a resaltar, puesto que nos dice que f1 y f2 son dos funciones
9.7.2. Teorema 2
Sean f1, f2 : (a, b) −→ IR dos soluciones l.i. de la ecuaci´on (5). Entonces,
cualquier soluci´on de la ecuaci´on (5) es de la forma: yh(x) = α1f1+ α2f2
donde α1, α2 son constantes.
9.7.3. Soluci´on particular para n funciones Sea la EDO lineal de orden 2 de la forma
y00+ by0+ cy = f1+ · · · + fn (8) Donde yp1 soluci´on particular de f1 .. . ypn soluci´on particular de fn Entonces yp001 + byp01 + cyp1 = f1 .. . yp00n + by0pn+ cypn = fn
Sumando miembro a miembro (yp1 + · · · + ypn)
00
+ b(yp1 + · · · + ypn)
0
+ c(yp1 + · · · + ypn) = f1+ · · · + fn
Llamando yp = yp1+ · · · + ypn queda que yp ser´ıa una soluci´on particular
de la ecuaci´on (8).
Esto nos dice que si tenemos la EDO igualada a n funciones, podemos calcular la soluci´on particular de cada una de manera individual, y luego proponer como soluci´on particular de la EDO la suma de cada soluci´on par-ticular de fi con i ∈ [1, n].
10.
La divergencia y el rotacional
10.1.
Divergencia
La divergencia de F = (F1, . . . , Fn) es el campo escalar
div(F ) = ∇ ∗ F = ∂F1 ∂x1
+ · · · + ∂Fn ∂xn
Observaci´on: Si ∇ ∗ F = 0, F es solenoidal (´o incompresible).
10.2.
Rotor
El rotor (´o rotacional) del campo vectorial F = (F1, F2, F3) se define como
∇ × F : rot(F ) = ∇×F = ~i ~j ~k ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z F1 F2 F3 = ∂F3 ∂y − ∂F2 ∂z ~i+ ∂F1 ∂z − ∂F3 ∂x ~j+ ∂F2 ∂x − ∂F1 ∂y ~k
N´otese que se intercambiaron de lugar las derivadas parciales de la se-gunda componente, para que quede todo expresado como suma.
Tip: Una forma de recordar la f´ormula (para evitar hacer el producto vectorial) es escribir las derivadas parciales de cada componente de F en este orden 3, 2, 1, 3, 2, 1 cociente con el operador de derivada parcial
∂F3 ∂ − ∂F2 ∂ ~i + ∂F1 ∂ − ∂F3 ∂ ~j + ∂F2 ∂ − ∂F1 ∂ ~k
Luego, vemos cada componente por separado. Tomamos a su ‘pareja’ para determinar respecto a qu´e variable derivar, por ejemplo, tomemos el caso ~i
∂F3 ∂ − ∂F2 ∂ ~i
Como F3 tiene a F2 como ‘pareja’, F2se encuentra en la posici´on 2, por lo
tanto, F3 se debe derivar respecto a la segunda variable, es decir, y. An´alogo
para F3 pero con la posici´on 3, es decir, la variable z.
∂F3 ∂y − ∂F2 ∂z ~i
11.
Integrales de l´ınea
Un desplazamiento infinitesimal de una particula que sigue una trayecto-ria c(t) = (x(t), y(t), z(t)) es ds = dx~i + dy~j + dz~k = dx dt~i + dy dt~j + dz dt~k dt y su longitud ds = s dx dt 2 + dy dt 2 + dz dt 2 dt =px0(t)2+ y0(t)2+ z0(t)2dt entonces ds = ||c0(t)||dt
11.1.
Integral de l´ınea para campos escalares
La integral de f (x, y, z) campo escalar sobre la trayectoria c(t), si c : I = [a, b] −→ IR es de clase C1 y f continua en I se define:
Z c f ds = Z b a f (x(t), y(t), z(t))||c0(t)||dt = Z b a f (c(t))||c0(t)||dt
11.2.
Longitud de curva
Para calcular la longitud de una trayectoria c, tomamos la funci´on f (x, y, z) = 1, entonces Z c f ds = Z c ds = Z b a ||c0(t)||dt
11.3.
Integral de l´ınea para campos vectoriales
Sea F un campo vectorial en IR3 continuo sobre la trayectoria c : [a, b] −→ IR3 de clase C1, definimos la integral de l´ınea de F a lo largo de c por la f´ormula: Z c F ds = Z b a F (c(t))c0(t)dt
Dividimos y multiplicamos por la norma del diferencial de la curva (siem-pre y cuando c0(t) 6= 0) Z c F ds = Z b a F (c(t)) c 0(t) ||c0(t)||||c 0 (t)||dt = Z b a F (c(t))T (t)||c0(t)||dt Observaci´on: Otra manera de escribir las integrales de l´ınea de campos vectoriales es Z c F ds = Z b a F1 dx dt + F2 dy dt + F3 dz dt dt = Z c (F1, F2, F3)ds
Esto se conoce como la 1-forma diferencial.
11.4.
Teorema 1: Cambio de parametrizaci´
on
Sea f un campo escalar continuo sobre la trayectoria de clase C1 c : [a1, b1] −→ IRn y p : [a, b] −→ IRn una reparametrizaci´on regular de c.
Entonces, Z c f ds = Z p f ds
Sea F un campo vectorial continuo sobre la trayectoria de clase C1
c : [a1, b1] −→ IR3, y sea p : [a, b] −→ IR3 una reparametrizaci´on de c.
Entonces,
Si p conserva la orientaci´on: Z p F ds = Z c F ds
Si p invierte la orientaci´on: Z p F ds = − Z c F ds
11.5.
Funci´
on potencial y campo gradiente
Decimos que F : IRn −→ IRn es un campo gradiente (´o campo conser-vativo) si existe un campo escalar ϕ : Ω ⊆ IRn −→ IR, donde ϕ es de clase C1 en Ω, tal que F = ∇ϕ (ϕ se denomina funci´on potencial).
CONDICI ´ON NECESARIA PARA CAMPO GRADIENTE: F
debe ser irrotacional (∇ × F = ~0), y supongamos F = (P (x, y), Q(x, y)), entonces ∂P∂y = ∂Q∂x. F debe admitir funci´on potencial.
11.6.
1
oTeorema Fundamental del C´
alculo para
inte-grales de l´ınea
Sea F : Ω ⊆ IRn −→ IRn continuo, Ω abierto conexo. Supongamos que la integral de l´ınea de F entre dos puntos NO depende del camino recorrido (es decir, F es campo gradiente), podemos definir
ϕ(x1, . . . , xn) = Z (x1,...,xn) a F ds existe ∇ϕ(x1, . . . , xn) ∈ Ω y se cumple: ∇ϕ(x1, . . . , xn) = F (x1, . . . , xn)
11.7.
2
oTeorema Fundamental del C´
alculo para
inte-grales de l´ınea
Sea f : IR3 −→ IR de clase C1 y c : [a, b] −→ IR3
una trayectoria C1 a trozos. Entonces,
Z
c
∇f ds = f (c(b)) − f (c(a))
Esto nos dice que la integral de l´ınea entre dos puntos es independiente del camino.
Observaci´on: Si c(a) = c(b) entonces decimos que c es una curva cerrada, y su integral de l´ınea se denota
Z c f ds = I c f ds
Observaci´on: Si f es un campo gradiente, su circulaci´on por cualquier curva cerrada es cero pues
I
c
∇f ds = f (c(a)) − f (c(b)) = f (c(a)) − f (c(a)) = 0
11.8.
Teorema 2: Curvas formadas por varias
compo-nentes
Sea C una curva orientada compuesta por varias curvas orientadas C = C1, . . . , Ck. Entonces, escribimos C = C1 + · · · + Ck. Luego, la integral de
11.9.
Teorema 3: Equivalencia irrotacional-conservativo
Sea F : Ω ⊆ IR3 −→ IR3, Ω simplemente conexo y F de clase C1 sobre Ω, entonces
F es conservativo ⇐⇒ ∇ × F = ~0
11.10.
Teorema 4: Relaci´
on solenoidal-rotacional
Si F es un campo vectorial de clase C1 definido en IR3 tal que div(F )=0,
entonces existe un campo vectorial G de clase C1 de modo que F = rot(G).
11.11.
¿Cu´
ando un campo vectorial es un gradiente?
Sea F un campo de clase C1 definido en IR3, excepto tal vez en un n´umero
finito de puntos. Las siguiente condiciones sobre F son equivalentes: 1. Para cualquier curva orientada cerrada y simple C, se cumple
I
C
F ds = 0
2. Para dos curvas orientadas simples cualesquiera, C1 y C2 que tengan
los mismos extremos, se cumple Z C1 F ds = Z C2 F ds
3. F es el gradiente de alguna funci´on f (funci´on potencial), es decir, F = ∇f (y si F tiene uno o m´as puntos excepcionales donde no est´a definido, entonces f tampoco est´a definida all´ı).
4. ∇ × F = ~0.
Un campo vectorial que satisface una (y, por lo tanto, todas) de las con-diciones 1. − 4. se denomina campo vectorial conservativo.
Nota: Es importante resaltar lo que menciona el item 3., puesto que si la funci´on potencial f a˜nade alguna restricci´on a F , F no es campo gradiente.
12.
Integrales dobles
El volumen de la regi´on que est´a sobre R y bajo la gr´afica de una funci´on no negativa f se llama integral doble de f sobre R y se denota por:
Z Z R f (x, y)dA ´o Z Z R f (x, y)dxdy
Geom´etricamente, dA representa el ´area de cada ‘cuadrado’ peque˜no sobre R, y f (x, y) determina la altura.
Condiciones suficientes de integrabilidad: f continua en la regi´on a integrar, y acotada.
12.1.
Regiones cartesianas elementales
Sea A el ´area a integrar (el ‘rect´angulo’), entonces Tipo 1 (´o y−simples)
A = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}.
Tipo 2 (´o x−simples)
A = {(x, y) : c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)}.
Tipo 3 (´o simple)
Si es de Tipo 1 y Tipo 2 (circunferencias, elipses, etc...).
DEFINICI ´ON: Si A ⊂ IR2 es una regi´on cartesiana elemental, podemos encontrar un rect´angulo R, tal que A ⊂ R. Dada f : A −→ IR continua, definimos la integral Z Z A f dA = Z Z R f∗dA donde f∗ : IR −→ IR = ( f (x, y) si(x, y) ∈ A 0 si(x, y) ∈ R\A ∼
PROPOSICI ´ON: Sea A ⊂ IR2 un recinto elemental de Tipo 1 y sea f : A −→ IR continua, entonces:
