DISEÑO DE
DISEÑO DE UN TRANSFORMADOR TOROIDAL DE
UN TRANSFORMADOR TOROIDAL DE
POTENCIA (Parte 1)
POTENCIA (Parte 1)
Po
Por r trtranansfsforormamadodor r totororoidida a de de !o!oteten"n"ia ia me me rerefifierero o a a trtranansfsforormamadodoreres s !e!e#$#$e%e%osos monof&si"os !ero no destinados a medi"i'n ("orriente) "omo es o #$e ait$amente monof&si"os !ero no destinados a medi"i'n ("orriente) "omo es o #$e ait$amente fari"amos en n$estra em!resa sino en transformadores !ara aimenta"i'n de di*ersos fari"amos en n$estra em!resa sino en transformadores !ara aimenta"i'n de di*ersos ti!os de
ti!os de "ar+a"ar+a, , transtransformaformadores dores monofmonof&si"o&si"os s "on*e"on*en"ionan"ionaes es "onst"onstr$idos en r$idos en n-"en-"eosos tor
toroidaoidaeses. . Los Los m/tm/todoodos s "on"on*en*en"io"ionanaes es son son de de ti!ti!o o !as!aso o a a !as!aso, o, eiei+ie+iendo ndo "ie"iertortoss !ar&metros "omo !$eden ser as dimensiones de n-"eo 0 en $n !aso si+$iente e "ir"$ito !ar&metros "omo !$eden ser as dimensiones de n-"eo 0 en $n !aso si+$iente e "ir"$ito e/"tri"o. La idea de este m/todo !ro!$esto "onsiste en dimensionar en $n !aso -ni"o e/"tri"o. La idea de este m/todo !ro!$esto "onsiste en dimensionar en $n !aso -ni"o "ondi"ionando dimensiones (!ro!or"iones) 0 !oniendo os !esos de os "ir"$itos e/"tri"o "ondi"ionando dimensiones (!ro!or"iones) 0 !oniendo os !esos de os "ir"$itos e/"tri"o 0 ma+n/ti"o en f$n"i'n $no de otro tomando "omo "onsi+na os !re"ios reati*os de 0 ma+n/ti"o en f$n"i'n $no de otro tomando "omo "onsi+na os !re"ios reati*os de mer"ado "on a inten"i'n de otener e res$tado '!timo "on e menor "osto !osie. mer"ado "on a inten"i'n de otener e res$tado '!timo "on e menor "osto !osie. A#$
A#$ !resentamos !resentamos a a !rimera !rimera !arte !arte de de art"$o.art"$o.
METODO DE CÁLCULO DE
METODO DE CÁLCULO DE UN TRANSFORMADOR TOROIDAL
UN TRANSFORMADOR TOROIDAL
Criterio Técnico – Económico
Criterio Técnico – Económico
Luis Octavio Corvalán Luis Octavio Corvalán
Diseñador de Máquinas Eléctricas Diseñador de Máquinas Eléctricas
Introducción: Introducción:
Este
Este trabajo trabajo pretende pretende incorporar incorporar un un criterio criterio técnico técnico integral integral al al diseño diseño de de un un transformador transformador dede tipo toroidal e incorporar en el proceso un criterio económico. as máquinas eléctricas son una tipo toroidal e incorporar en el proceso un criterio económico. as máquinas eléctricas son una combinación de circuitos magnéticos ! circuitos eléctricos !
combinación de circuitos magnéticos ! circuitos eléctricos ! la potencia aparente "#$la potencia aparente "#$% que % que entreganentregan es proporcional al producto de dos secciones& sección del n'cleo ! sección del cobre. Desde la es proporcional al producto de dos secciones& sección del n'cleo ! sección del cobre. Desde la definición misma (emos que se pueden obtener resultados técnicamente similares (ariando los definición misma (emos que se pueden obtener resultados técnicamente similares (ariando los pesos de cada
pesos de cada circuito de manera circuito de manera independiente siempre que ese independiente siempre que ese producto de secciones "en producto de secciones "en cmcm))% se% se
mantenga constante. *ara no dejar esa libertad de selección al capric+o o gusto del diseñador, este mantenga constante. *ara no dejar esa libertad de selección al capric+o o gusto del diseñador, este trabajo pretende incorporar un criterio económico. Este criterio (a a condicionar la proporción de trabajo pretende incorporar un criterio económico. Este criterio (a a condicionar la proporción de material magnético ! de material eléctrico a emplear a los precios relati(os de cada uno. Como material magnético ! de material eléctrico a emplear a los precios relati(os de cada uno. Como tenemos libertad para aumentar o disminuir la cantidad cobre "por nombrar un material clásico de tenemos libertad para aumentar o disminuir la cantidad cobre "por nombrar un material clásico de los circuitos eléctricos% siempre que disminu!amos o aumentemos en la proporción adecuada el los circuitos eléctricos% siempre que disminu!amos o aumentemos en la proporción adecuada el mat
materierial al del del n'n'clecleo o magmagnétnético ico manmantentenieniendo do el el proproducducto to de de secsecciocionesnes, , (am(amos os a a concondicdicionionar ar la
la proporción proporción ideal ideal de de diseño diseño (PID)(PID) a la relación de costos de cada material empleado. Esto nos a la relación de costos de cada material empleado. Esto nos lle(a a definir la siguiente ecuación&
lle(a a definir la siguiente ecuación&
(1)
Donde $cu es el precio por unidad "-ilogramo% de cobre ! $ fees el precio por -ilogramo del
material magnético del n'cleo. Con este criterio incorporado en nuestro proceso de diseño (amos a obtener un 'nico resultado que, siendo técnicamente lo deseado, es a su (e económicamente óptimo. El moti(o de contemplar este aspecto es lograr un 'nico proceso matemático que nos arroje en tiempo real un resultado ! que sea obtenido mediante una planilla de cálculo con(encional ! en un solo paso.
Conc!tos Tóricos:
Empecemos por definir las caracter/sticas generales del transformador. a potencia aparente del transformador monofásico se puede definir desde el primario o desde el secundario&
(2) P = U 1 .I 1
(3) P = U 2 .I 2
Del método general de diseño de transformadores arrancamos analiando los arrollamientos desde un punto de (ista genérico ! no considerando inicialmente ni el ni(el de tensión ni el ni(el de corriente de un arrollamiento en particular. $ continuación demostramos como llegamos a la definición genérica del circuito eléctrico&
Tensión en bornes de un arrollamiento&
(4) U = N . e
Dondee es la tensión0espira que es definida por el circuito magnético ! N el n'mero de espiras del arrollamiento.
La se""i'n trans*ersa tota de "ore ser& a s$ *e2 a s$ma de a se""i'n de "ada aamre !or a "antidad tota de aamres. Como *emos de as e"$a"iones 3 0 4, a !oten"ia a!arente de transformador est& definida !or os !ar&metros de !rimario o de se"$ndario. Si "onsideramos a amos arroamientos, *emos #$e e tota de
"ir"$ito e/"tri"o "ontem!a e doblede a !oten"ia a!arente de transformador.
S$!oniendo #$e tanto !rimario "omo se"$ndario tienen a misma !oten"ia a!arente, a se""i'n trans*ersa de "ada arroamiento ser& a misma 0 !odemos ded$"ir #$e a se""i'n trans*ersa tota de "ir"$ito e/"tri"o ser& e doe #$e a se""i'n de $no de os arroamientos. S$!oniendo #$e a se""i'n trans*ersa de $n arroamiento de N es!iras ser&5
(5) S T1 = S Ø . N
DondeS Øes a se""i'n de $n aamre. La se""i'n trans*ersa de "ir"$ito e/"tri"o "om!eto ser& e doe de este *aor5
(6) S T = 2 . S T1 = 2 . S Ø . N
Tami/n !odemos definir a S Ø , a se""i'n de $n aamre, en f$n"i'n de a soi"ita"i'n de "ore, o #$e amamos densidad de corriente "$0o smoo es σ.
De donde des!e6amos e *aor de "orriente5
(8) I = S Ø . σ
Si e7!resamos S Øen f$n"i'n de a se""i'n tota de "ir"$ito e/"tri"o res$tar& de a e"$a"i'n 85
(9) S Ø = S T /(2.N) Cominando as e"$a"iones 9 "on a : otenemos5
(10) I = S T /(2.N) . σ
;emos #$e nos referimos en todo momento a a "orriente efi"a2 nomina de $no de os arroamientos sin es!e"ifi"ar "$a. Nos res$tar& indiferente a i+$a #$e e n-mero de es!iras N "orres!ondiente a ese mismo arroamiento, sea este !rimario o se"$ndario.
Aora introd$"iendo os *aores de as e"$a"iones < 0 1= en a e"$a"i'n de !oten"ia a!arente (!$ede ser a 3 o a 4) otenemos a e7!resi'n si+$iente5
(11) P = S T /(2.N) . σ . N . e Lo #$e e*a a5
(12) P = ½ . S T . σ . e
La tensi'n es!irae #$e de!ende de a soi"ita"i'n de n-"eo se+-n a "ono"ida f'rm$a5
(13) e = 4,44 . B . . S e . 1! "4
DondeB es a ind$""i'n en e "ir"$ito ma+n/ti"o medido en Tesas (T), a fre"$en"ia en (>2) 0S e a se""i'n trans*ersa de "ir"$ito ma+n/ti"o. Reem!a2ando a e"$a"i'n 14 en a 13 otenemos5
(14) P = ½ . S T . σ . 4,44 . B . . S e . 1! "4 Res$miendo5
(15) P = 2,22 . . σ . B . S T . S e . 1! "4
A#$ tenemos definido el concepto básico de toda máquina eléctrica 0 ser& e !$nto de !artida de n$estro "riterio de dise%o. De a e"t$ra de a e"$a"i'n 1? !odemos *er #$e a !oten"ia a!arente de $n transformador de!ende de a fre"$en"ia , de a soi"ita"i'n de "ir"$ito e/"tri"o σ,de a soi"ita"i'n de "ir"$ito ma+n/ti"o B0 de men"ionado !rod$"to de se""iones S T . S e.
El Proceso de Cálculo:
;amos a definir as medidas +eneraes de $n transformador toroida en f$n"i'n de $na -ni"a medida A #$e "orres!onde a a at$ra a7ia de n-"eo de toroide. Todas as
medidas restantes ser&n definidas "omo $na !ro!or"i'n de esta medida. Em!e2ando !or $n n-"eo de ti!o toroida "om!etamente +en/ri"o s$s medidas son as #$e se oser*an en a fi+$ra 15
Definidas as dimensiones de n-"eo as e7!resamos "omo $na !ro!or"i'n de a dimensi'n # e7!resada en ("ms). Lo+ramos as si+$ientes e7!resiones5
1igura 2
(16) $int = d . #
(17) % r = & . #
(18) $e't= $int 2 . % r= (d 2&) . #
Donded 0& son "oefi"ientes de !ro!or"ionaidad sin dimensi'n. Definidas estas medidas !odemos definir a se""i'n trans*ersa 0 e *o$men de n-"eo5
(19) S e= # . % r = # . & . # = & . #2
(20) = * . ($e't 2 " $int 2 )/ 4 . % r
Introd$"iendo os "oefi"ientes !ara e7!resar e *o$men en f$n"i'n de # res$ta5
(21) = * . (&2 d . &) . #+
E !eso de "ir"$ito ma+n/ti"o ser& sim!emente e !rod$"to de *o$men !or e !eso es!e"fi"o ee7!resado en (+rs@"m4). E !eso de n-"eo e7!resado en +s ser&5
Como men"ionamos en e ini"io de art"$o, a "antidad de "ore 0 a de ierro tendr&n $na !ro!or"i'n '!tima desde e !$nto de *ista e"on'mi"o 0 est&n rea"ionadas !or a roorcin ideal de dise0o (PI$) de manera #$e se "$m!a5
(23) - e / - c = PI$ = c / e
A#$ "ondi"ionamos e !eso de "ore 0 !or ende e *o$men 0 a se""i'n trans*ersa a !eso de n-"eo de manera ta de eiminaro "omo *ariae inde!endiente.
(24) - e = PI$ . - c
Panteado este !ro"eso de "&"$o *amos a in"or!orar a a "onfi+$ra"i'n de transformador toroida as dimensiones #$e *an a definir e *o$men de "ore, "omo !$ede a!re"iarse en a fi+$ra 35
1igura 3
La fi+$ra nos !ermite *in"$ar os *o-menes de "ir"$ito e/"tri"o 0 e ma+n/ti"o "on $na -ni"a medida #$e es e di&metro medio. Para amos "asos es astante a!ro7imado estimar #$e os *o-menes ser&n res$tado de m$ti!i"ar as se""iones trans*ersaes !or a "ir"$nferen"ia media5
(25) e = * . $3ed . S e
(26) e = * .(d &). # . & . #2
(27) e = * .(d &) . & . #+
C$ando *amos a e7!resar e *o$men de "ir"$ito e/"tri"o deemos tener "$idado "on a si+$iente diferen"ia f$ndamenta "$ando aamos de se""i'n trans*ersa. En a fi+$ra 4 oser*amos e re"orrido de os "ond$"tores 0 !or o tanto a se""i'n trans*ersa de estos "ond$"tores est& a 9=B res!e"to de a se""i'n trans*ersa de n-"eo. esta se""i'n +enerar& e *o$men de "ir"$ito e/"tri"o re"orriendo otra distan"ia #$e se oser*a en a fi+$ra 0 #$e amamos esira 3edia ( 5) !ero #$e $tii2aremos m&s
adeante "$ando "a"$emos os !ar&metros e/"tri"os. Para a eta!a a"t$a de "a"$o en #$e estamos determinando !rimero os !esos de os "ir"$itos, *amos a introd$"ir $n "on"e!to #$e soamente nos ser*ir& de a$7iiar de "&"$o 0 #$e amaremosseccin trans6ersal radial de "ir"$ito e/"tri"o 0 #$e re!resentaremos "on e smoo S rc . Res!e"to de esta se""i'n en !arti"$ar !odemos a!i"ar a e"$a"i'n e#$i*aente a a 3? !ero !ara e *o$men de "ir"$ito e/"tri"o5
(28) c = * . $3ed . S rc
Como *emos #$e as e"$a"iones 3? 0 3: son id/nti"as sa*o #$e $na se refiere a a se""i'n 0 *o$men de n-"eo 0 a otra a a se""i'n 0 *o$men de "ore, !odemos "on"$ir #$e a rea"i'n de *o-menes entre amos "ir"$itos es i+$a a a rea"i'n de se""iones. Di"o esto, *amos aora a rea"ionar os *o-menes '!timos #$e 0a estamos en "ondi"iones de determinar. Saemos #$e os !esos se rea"ionar&n de manera in*ersa a os "ostos e"on'mi"os mediante e !ar&metro #$e amamos roorcin ideal de dise0o (PI$) 0 #$e e7!resamos en a e"$a"i'n5
(24) - e = PI$ . - c
Enton"es aora !odemos *in"$ar este !ar&metro tami/n a os *o-menes de os dos "ir"$itos. A#$ e e"tor !odr& a"er as ada!ta"iones a os materiaes #$e $sar& en a "onstr$""i'n de n-"eo, #$e !$eden ser m$"os, en !arti"$ar "er&mi"os 0 de aea"iones amorfas *ariasi, !ero en e !resente traa6o *amos a s$!oner !ara e "ir"$ito e/"tri"o e $so e7"$si*o de "ore 0 !ara e "ir"$ito ma+n/ti"o fe6es de +rano orientado. Estos materiaes tienen os si+$ientes !esos es!e"fi"os !romedios5
(29) 7 e = 8,9: ;rs/c3+
(30) 7 c = <, ;rs/c3+
Con estos datos !odemos aora reem!a2ar os !esos de a e"$a"i'n 3< !or os *o-menes de "ada "ir"$ito saiendo #$e5
Enton"es, !ara os materiaes ee+idos de toroide a dise%ar a e"$a"i'n 3< #$edara5
(32) e . 7 e = PI$ . c . 7 c Esto e7!resado de otra forma5
(33) e = PI$ . c . 7 c /7 e
Como e7!resamos anteriormente, en este art"$o s$!onemos os "ir"$itos "om!$estos de "ore 0 a"ero a sii"io de +rano orientado, !ero !ara a +eneraidad de os "asos a#$ se $sar&n as densidades de os materiaes a $sar en "ada a!i"a"i'n. Esta relacin de densidades a !odemos in"$so in"or!orar "omo !ar&metro5
(34) > 7 = 7 el /7 3a;
Notemos #$e a#$ no nos referimos es!e"fi"amente a "ore 0 ierro en os s$ndi"es de os !esos es!e"fi"os sino a e/"tri"oG 0 ma+n/ti"oG !ara a"arar #$e se refieren a os materiaes "onstit$ti*os de esos "ir"$itos, sean "$aes f$eran. Esta oser*a"i'n dee tenerse en "$enta de id/nti"a manera a definir e !ar&metro PI$ #$e a"e referen"ia a os "ostos de os materiaes see""ionados.
;o*iendo a "aso de este art"$o, a relacin de densidades o otenemos de os datos de as e"$a"iones 39 0 4=5
(35) > 7 = 1,19
Rees"riiendo a e"$a"i'n 44 !ara estos materiaes res$ta5
(48) e = 1,19 . PI$ . c
"omo e7!resamos a "omien2o, as se""iones trans*ersaes tienen i+$a rea"i'n entre eas #$e os *o-menes as #$e !odemos afirmar a "ontin$a"i'n #$e5
(4H) S e = 1,19 . PI$ . S rc des!e6ando de a#$ S rc otenemos5
(4:) S rc = S e@(1,19 . PI$)
(39) S rc = &2 .#2 /(1,19 . PI$)
Resumiendo: A#$ *amos a a"er $na des"ri!"i'n de adonde #$isimos e+ar "on e
desarroo asta aora. >emos *in"$ado !rimero as soi"ita"iones de amos "ir"$itos "on a !oten"ia a!arente de transformador toroida. Esta !oten"ia en a +ran ma0ora de os "asos ser& e dato de !artida !ara e dise%o. A "ontin$a"i'n *in"$amos todas as dimensiones fsi"as de toroide "on $na soa dimensi'n, a at$ra a7ia #. !or -timo
emos rea"ionado as se""iones trans*ersaes de os "ir"$itos e/"tri"o 0 ma+n/ti"o entre s "onsiderando os !esos es!e"fi"os 0 e !re"io de mer"ado de momento de os materiaes see""ionados. Lo #$e si+$e a "ontin$a"i'n *a a in"or!orar "onsidera"iones !r&"ti"as #$e a"en a a "onstr$""i'n de transformador 0 s$ in"iden"ia en e !ro"eso de "&"$o.
El Circuito Eléctrico
Antes de se+$ir "on e dise%o !ro!iamente di"o *amos a est$diar $n !o"o m&s en !rof$ndidad a "onfi+$ra"i'n fsi"a de "ir"$ito e/"tri"o 0 s$ inf$en"ia en a !oten"ia a!arente de transformador. Re"ordemos siem!re #$e a !oten"ia a!arente P e7!resada en (;A) o en (;A) !ara os transformadores m&s +randes es e dato de !artida de "&"$o. e o6eti*o de este traa6o es #$e sea e -ni"o dato dis!arador de res$tado #$e !rod$2"a $na !ania de "&"$o $na *e2 definido as !ro!or"iones de toroide (d 0 ) 0 e !re"io de os materiaes (PID). Tami/n !ara no "om!i"ar m&s as "osas rea"ionamos a a se""i'n trans*ersa de n-"eo S eno "on a se""i'n trans*ersa de "ir"$ito e/"tri"o S c sino "on a se""i'n trans*ersa radia S rc , $n !ar&metro definido soo !ara este est$dio #$e reem!a2aremos m&s adeante. Aora miremos a fi+$ra < #$e detaa a se""i'n trans*ersa de n-"eo S e 0 a se""i'n trans*ersa radia S rc . ;amos a a"er as si+$ientes "onsidera"iones +eom/tri"as5
Para modear e transformador rea, $tii2ar dimensiones !r&"ti"as 0 *in"$ar estas dimensiones "on as se""iones S e,S c 0 S rc *amos a introd$"ir os "oefi"ientes si+$ientes5
?actor de llenado del cobre (@c )A Es a rea"i'n entre a se""i'n rea neta de "ir"$ito e/"tri"o 0 a se""i'n efe"ti*a #$e o"$!a. De a fi+$ra 3 !odemos e7!resar #$e5
(40) @c = S rc /(e . % e" &r .#2 )
donde a#$ *in"$amos a se""i'n trans*ersa radia de "ir"$ito e/"tri"o S rc #$e se refiere a "ore (o a materia "ond$"tor #$e sea) res!e"to de es!a"io fsi"o rea #$e o"$!a, en n$estro "aso e !rod$"to e . % e. menos a se""i'n de n-"eo. A#$ en $n !rimer momento des!re"iamos a "$r*at$ra de as es#$inas de "ir"$ito e/"tri"o, m&s adeante *eremos "omo inf$0e.
?actor de llenado del &ierro (@e )A Es a ma+n/ti"o 0 a se""i'n efe"ti*a #$e o"$!a. Este !ar&metro o *enamos o*iando en e desarroo asta e momento 0 o se+$iremos des!re"iando en e an&isis #$e resta, !ero "on fines "on"e!t$aes es im!ortante men"ionaro. Para n-"eos eaorados de "er&mi"a, aea"iones amorfas $ otras "onfi+$ra"iones #$e son modeadas e fa"tor @ese "onsidera 1. Para e "aso de n-"eos enroados de +rano orientado, si a fari"a"i'n de n-"eo es "om!a"ta e *aor de@e*ara entre =,98=,9:. ;amos, !or ra2ones de sen"ie2, a o*iar este !ar&metro ("onsideraro 1) asta tener "om!etamente desarroada a matem&ti"a. A#$ e7!resamos a defini"i'n en t/rminos matem&ti"os5
La sección transversal del circuito eléctrico: >aamos definido !or sen"ie2 $na
se""i'n trans*ersa radia de "ir"$ito e/"tri"o #$e no tiene in"iden"ia en a !oten"ia a!arente de transformador !ero es sen"ia de *in"$ar "on a se""i'n trans*ersa de n-"eo, ta "omo i"imos en a e"$a"i'n 4H. Aora *amos a rea"ionar esta se""i'n a$7iiar "on a se""i'n trans*ersa de "ir"$ito e/"tri"o rea #$e ne"esitamos !ara in"or!orar a a e"$a"i'n 1? #$e ser& a ase de todo n$estro est$dio.
Si notamos en a fi+$ra 3, *emos #$e a se""i'n trans*ersa radia (en ro6o) no est& "entrada res!e"to de a se""i'n trans*ersa de n-"eo (en +ris). En a fi+$ra 4 anai2amos en detae esta "ara"tersti"a.
1igura 4
A#$ *emos #$e in C e'son distintos. Estos *aores "orres!onden a os es!esores de "ir"$ito e/"tri"o, as at$ras radiaes interior 0 e7terior res!e"to de n-"eo toroida. La rea se""i'n trans*ersa de "ir"$ito e/"tri"o o forma $no de estos es!esores a des"riir $na "ir"$nferen"ia "om!eta de $n di&metro "orres!ondiente a !$nto medio de ese es!esor. Lamemos $ei 0$ee a esos di&metros medios "orres!ondientes a !$nto medio de as dimensiones in0 e' . A#$ !odemos definir a se""i'n trans*ersa de "ir"$ito e/"tri"o. Como a dis!osi"i'n de "ir"$ito e/"tri"o es ir en*o*iendo a "ir"$ito ma+n/ti"o ta "omo se a!re"ia en a i$stra"i'n a "omien2o de este traa6o, es "orre"to afirmar #$e a se""i'n trans*ersa s$!erior (!or f$era de toroide) 0 a interior deen ser id/nti"as.
(<=) S Ti = S Te
(<3) S Te = * . $ee . e' Com!arando as 4 e"$a"iones !odemos "on"$ir #$e5
(<4) $ei . in = $ee . e'
De6emos !or e momento estas defini"iones #$e nos ser&n -ties a a*an2ar e desarroo 0 !asemos a "&"$o de as dimensiones +eneraes de "ir"$ito e/"tri"o e0 % e
En este est$dio estamos estimando @e J 1, !ero no !odemos desestimar e fa"tor de enado de "ir"$ito e/"tri"o o @c #$e en transformadores de este ti!o de "onfi+$ra"i'n !$ede *ariar entre =,4?=,<? se+-n e m/todo 0 ma#$inaria em!eada en a "onfe""i'n de "ir"$ito. Enton"es 0a rea"ionamos a se""i'n de n-"eo "on a se""i'n trans*ersa radia se+-n a e"$a"i'n (4H). Aora e7!resemos a Sr"$ en f$n"i'n de as medidas Le 0 >e des!e6ando de a e"$a"i'n (4:). La se""i'n trans*ersa "orres!onde a a se""i'n ro6a de a fi+$ra < 0 !odemos e7!resara de a si+$ente manera5
