Ejercicios Unidos CORREGIDOS

(1)

ARQUITECTURA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

CURSO:

RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I

DOCENTE:

ING. OSCAR PORRO AÑI

INTEGRANTES:



_{Baldera Velásquez, Ricardo Antonio (105513 - I)}



_{Llatas Cancino, Dahlberg De Tournefort (101950-E)}



_{Paredes Vásquez, Claudia (102107-J)}



_{Vásquez Ordoñez, Ana Rosa (102360-G)}

GRUPO HORARIO:

(2)

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL 1

2.16

Un tubo de aluminio de 250 mm de longitud (E=70 GPa), de 36 mm de diámetro exterior y 28 mm de diámetro interior, debe ser cerrado en los dos extremos por medio de cubiertas roscadas de 1.5 mm de paso. Con una cubierta atornillada, se coloca dentro del tubo una barra de latón (E=105 GPa) de 25 mm de diámetro y luego se atornilla la segunda tapa. Como la barra es ligeramente más larga que el tubo, se observa que la tapa debe ser forzada contra la barra rotando un cuarto de vuelta para poder ajustarla. Determine:

a) El esfuerzo normal medio en el tubo y en la barra b) La deformación del tubo y de la barra.

SOLUCION: ( ) ( ) | | Tenemos: | | ( ) ( ) ₍ ₎ ( ) ( ) ₍ ₎ _{( )}

(3)

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL 2 a) ( ) ( ) b) ( )( ) ( )( ) 2.17

Resuelva el problema 2.6 si el tubo es de latón ( ) y la barra de aluminio ( ). SOLUCIÓN | | ( ) Ahora tenemos: ( ) ( ) ₍ ₎ ( ) ( ) ₍ ₎ _{( )} a) ₍ ₎ ( ) b) ( )( ) ⁄ ( )( ₎_⁄

(4)

2.18

Un cilindro de poliestireno con un espesor de de pulg. (E= ) y una placa rigida circular (se muestra parcialmente) se utilizan para apoyar una barra de acero AB (E= ), de 10 pulg de longitud y de pulg de diámetro. Si se aplica una carga P de 800 lb en B, halle: (a) el alargamiento de AB; (b) la deflexión de B, (c) el esfuerzo normal medido en la barra AB. SOLUCION: En el cilindro: ( )( ) ( (₎ ) ( ) En la barra: ( )( ) (₎ ( )

(a) Alargamiento de la barra:

(b) | | | | (c) ( ) 2.19

Para la barra compuesta del problema 2.9, halle la mayor carga admisible P; si los valores absolutos del alargamiento total de la barra y del máximo esfuerzo normal no deben pasar de 0.2 mm y 75 MPa, respectivamente.

(5)

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL 4 SOLUCIÓN: Deformación A =  = 0.04in ( ) ( ) ( ) + ( )( ) ( ) ( ) = 0.04 in

Multiplicar a ambos miembros 106 y sacar factor común P: P[ + _{( )} - ( _{( )}) = 40 * 2.2682P – 53.333 *103 = 125.664*103 P=78.92*103 lb P=78.9 kips Comprobamos en AB Y BC: AB =

( ) = 25.1 ksi <26 ksi O.K

BC =

( )

( ) = 2.67<26 ksi O.K

La mayor carga admisible es: P=78.9 kips

2.20

Para la barra compuesta del problema 2.10 halle la mayor carga admisible P, si los valores absolutos del alargamiento total de la barra y del máximo esfuerzo normal no deben pasar de 0.2 mm y 75 MPa, respectivamente.

SOLUCION: Deformación: ∑ Comprobando la tensión en AB y BC: ( ) ( ) ( )

(6)

Mayor carga permitida

2.21

Para la probeta del problema 2.14 halle la mayor carga admisible P, si la deformación de la porción AB y la deformación total de la probeta no deben pasar de 0.2 mm y 1 mm, respectivamente.

SOLUCIÓN

Deformación de la parte AB: ( ) ( ₎₍ ₎ Deformación de la parte AD:

∑ ∑ ( ) ( ) 2.22

Para la barra y soporte del problema 2.18 halle la mayor carga admisible P, si las deflexiones de los puntos A y B no deben pasar de y _{, respectivamente.} SOLUCIÓN Deflexión en A: | | ( ) ( (₎ ) ( ) ( ₎ Deflexión en B: | | | | | _⁄ |

(7)

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL 6 ( ₎ ( ) (₎ ( ) ( ₎ Mayor Carga Permisible

2.23

Para la cercha de acero (E = 29*106 psi) y las cargas mostradas, determine las deformaciones de os elementos BD y DE, sabiendo que las áreas de sus secciones transversales son de 2pulg2 y 3pulg2, respectivamente.

Figura P2.23 SOLUCIÓN: FBD = +48.0kips FDE = +60.0 kips BD = = ( )( ) ( )( ) = +79.4 * in DE = = ( )( ) ( )( ) = +124.1 * _in

(8)

2.24

Los elementos AB y BE de la cercha mostrada son barras de acero de 25mm de diámetro (E=200 GPa). Para la carga mostrada halle el alargamiento

a) De la barra AB b) De la barra BE a) ( _{)( )} ( ) ( ) b) ( _{)( )} ( ) ( ) 2.25

Cada uno de los cuatro conectores verticales que unen los dos elementos horizontales está hecho de aluminio ( ) y tiene una sección uniforme de 10 x 40 mm. Para la carga mostrada, halle los desplazamientos (a) del punto , (b) del punto , (c) del punto .

(9)

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL 8 SOLUCIÓN Recordamos: a) ₍( )( )₎₍ ₎ b) ₍( ₎₍ )( )₎ c) De los triángulos semejantes:

| | | | | | | | ( ) ( )( ) 2.26

Cada uno de los conectores AB y CD es de acero (E= ) y tiene una sección transversal uniforme de . Halle la mayor carga que pueda suspenderse de E si la deflexión de E no debe pasar de 0.01 pulg.

(10)

SOLUCION:

Denotando por P la carga suspendida de E, recordamos las relaciones obtenidos en solución de problema. 1,15 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Por semejanza entre los triángulos BCC” y BEE”:

| | | | | | | | | |

(11)

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL 10 Así: ( _{) (} ₎ Sabemos que: 2.27

Un cable homogéneo de longitud L y sección constante es suspendido por un extremo; (a) siendo  la densidad (masa por unidad de volumen) del cable y E sus modulo de elasticidad, halle el alargamiento del cable debido a su propio peso; (b) muestre que se obtendría el mismo alargamiento si el cable fuera horizontal y se le aplicara una fuerza igual a la mitad de su peso en cada extremo.

SOLUCIÓN:

(a)Para la longitud dy:

P=carga de abajo =ℓga(L-y) d = = (L-y)dy  = ∫ (L-y)dy = [Ly - y2  = L2/E (b) para P = W = ℓGal = =( ) = (1/2) ℓgL2/E 2.28

Halle la deflexión del vértice A de un paraboloide de revolución homogéneo, de altura h, densidad ρ y módulo de elasticidad E, debido a su propio peso.

(12)

SOLUCION:

Considerar losa de espesor dy

( ) ( ) ( ) ∫ 2.29

Halle la deflexión del vértice A de un cono circular homogéneo de altura , densidad ρ y módulo de elasticidad . Debida a su propio peso.

(13)

SOLUCIÓN

Considerar losa de espero ( ) ( ) ( ) ∫ ⁄ 2.30

Se aplica una carga vertical P en el centro A de la sección superior del tronco homogéneo de un cono circular de altura h, radio mínimo y máximo . (a) Si E es el m{odulo de elasticidad del material, desprecie el peso propio para hallar la deflexión de A. (b) Muestre que se obtiene igual resultado si la carga P se aplica en el centro A de la sección superior de un cilindro homogéneo de altura h y sección elíptica con semiejes menor y mayor .

SOLUCION:

(a) Considerar la losa de espesor : Pero ( ) Remplazo: ( )

(14)

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL 13 ∫ [ ] ( ) ( ) ( ) Pero, a partir de (1): ( ) ( ) (b) Para el cilindro de sección elíptica: A=

( )

2.31

El volumen de una probeta de tensión es prácticamente constante mientras ocurre deformación plástica. Si el diámetro inicial es d1 muestre que cuando el diámetro sea

d, la verdadera deformación será єt = 2ln(d1/d).

SOLUCIÓN:

Si el volumen de la probeta es constante: d2L = d12L0 = =( )2 Et = ln( ) = ln( )2 =2ln( ) 2.32

Si ϵ es la “deformación ingenieril” en una probeta de tensión, muestre que la deformación verdadera es ϵt=ln(1+ϵ) SOLUCION: Pero:

(15)

Por lo tanto:

( )

2.33

Un poste de concreto de 4 pies esta reforzado con 4 barras de acero de ⁄ de diámetro. Si y , halle los esfuerzos normales en el acero y en el concreto se aplica al poste un carga axial de

Figura P2.33 SOLUCIÓN [ ( ) ] ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) También: ( )

(16)

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL 15 Sustituyendo de (1) en (2): De (1): ( ) 2.34

Una barra de 250 con sección de consta de dos capas de aluminio de 5 , unidas a una central de latón del mismo espesor. Si se le somete a una carga axial P=30kN y sabiendo que y , halle el esfuerzo normal (a) en el aluminio, (b) en el latón.

Para cada capa: A=5x30 mm2=150 x10-6m2

( ) Pero: ( )

(17)

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL 16 Sustituyendo de (1) en (2): ( ) Remplazamos (3) en (2): ( ) ( ) Sabemos que P=30 KN

(a) Remplazamos los valores en la ecuación (3):

( )

(b) Remplazamos los valores en la ecuación (4):

( )

2.35

Halle el alargamiento de la barra compuesta del problema 2.34 si la fuerza axial P es de 45 KN.

SOLUCIÓN:

Usar la solución del problema 2.34

Pa = (45Kn) = 12.857kn, Pb = (45) = 19.286KN

= =- ₍( )( ) ₎₍ ₎ =-0.306mm Con capa de latón, comprobamos que se obtiene la misma respuesta

(18)

2.36

Se aplican fuerzas de compresión de 40 kips, axiales, a ambos extremos del conjunto mostrado, por medio de platinas rígidas terminales. Sabiendo que Es=29x106 psi y Ea=10x106 psi, halle:

a) Los esfuerzos normales en el núcleo del acero y la cubierta de aluminio b) La deformación del conjunto.

SOLUCION: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) Donde: Pero:

(19)

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL 18 Entonces: a) b) ( )( ) ( )( ) Comprobando: ( )( ) ( )( ) 2.37

Una barra de plástico que consta de dos partes cilíndricas AB y BC está restringida en ambos extremos y soporta cargas de 6 kips como las mostradas. Sabiendo que , halle (a) las reacciones en A y C, (b) el esfuerzo normal en cada porción de la barra.

(20)

SOLUCION:

a) El alargamiento de barra es cero: Sustituimos y multiplicamos: ( ) ( ) ( ) Del diagrama F.B: ( ) Sustituyendo en (1) y (2) : De (1): ( ) b) ( ) ( ) 2.38

Dos barras cilíndricas, una de acero y la otra de latón, están unidas en C y tiene soportes rígidos en A y E. dada la carga mostrada y sabiendo que y

(21)

SOLUCION:

Según el diagrama de fuerzas entre AE:

∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(a) Expresamos que la elongación de la varilla es cero ∑ ( ) ( ₎₍ ₎ ( )( ) ( ₎₍ ₎ ( )( ) ( ₎₍ ₎ ( )( ) ( ₎₍ ₎ ( ) ( ) ( ₎ _{( )} Remplazo en (1):

(22)

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL 21 (b) ( _{)( ) ((}₎ _{)( )} ( )( ) 2.39

Resuelve el problema 2.38 suponiendo que la barra AC es de latón y la barra CE es de acero.

SOLUCIÓN:

Usar la solución del problema 2.38

=  ₍( )₎₍ ₎ ₍( ₎₍)( )₎ ₍( ₎₍)( ) ₎ ( )( ) ( ₎₍ ₎ =0  = (1.36423+0.90948+0.70731+0.70731)10-9RA – (54.569+42.439+70.731)10-6=0 RA = +45.45*103N RA = 45.45*103N

De la ecuación (1) del problema 2.38

RE = 100KN- RA =100-45.45 RE = 54.5KN (b) c = + = ( )( ) ( ) ( ) ( ₎₍ ₎ c=48.8*10-6m c=48.8m 2.40

Un tubo de latón de 12 pulg de largo, 11 pulg de diámetro exterior y 1/8 pulg de espesor, se coloca en una prensa, ajustada de manera que sus quijadas toquen apenas los extremos del tubo sin presionarlos. Luego se aplican dos fuerzas P y Q de magnitudes P=42 kips y Q=36 kips, como se muestra. Sabiendo que E=15x106 psi, halle:

a) Las fuerzas ejercidas sobre el tubo por la prensa en A y D b) El alargamiento de la porción BC del tubo

(23)

SOLUCION:

Expresamos el alargamiento de la barra: ∑ ( ) Donde: ( ) ( ) Con los datos dados:

( ) Tenemos: ( )( )( ) ₍ ₎ a)

(24)

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL 23 ∑ b) ( ) ( ) ( ) ( ) 2.41

Resuelva el problema 2.40 suponiendo que después de aplicar las fuerzas P y Q, se ajusta la prensa aumentando la distancia entre las quijadas en 0.01 pulg.

SOLUCIÓN

a) ( )

₍ ₎

Del diagrama de la barra FB (Véase solución del Prob. 2.40):

∑ b) ( ) ( ) ₍( )₎

2.42

Resuelva el problema 2.40 suponiendo que después de aplicar las fuerzas P y Q, se ajusta la prensa disminuyendo la distancia entre quijadas en 0.01 pulg.

SOLUCIÓN

a) ( )

₍ ₎

Del diagrama de la barra FB (Véase solución del Prob. 2.40):

(25)

b) ( ) ( ) ₍( )₎

2.43

Dos barras cilíndricas, una de acero (Es = 200GPa) y la otra del latón (EB = 105 GPa),

están unidas en C. El extremo A de la barra compuesta así obtenida esta fijo, mientras que exista una separación de 0.12 mm entre el extremo E y el muro vertical. Se aplica entonces en B una fuerza de 60KN y otra en 40KN en D, ambas horizontales y de izquierda a derecha (véase la figura P2.38). Determine: (a) las reacciones en A y en E, (b) la deflexión del punto C.

SOLUCIÓN: =0.12mm =120*10-6 =(3.8882*10-9)RA -244.21*10-6 = 120*10-6 RA =+93.67*103N RA =93.67*103 RA+ RE = 100KN RE=100KN-93.67KN RE=6.33 C = + = ( )  ( ₍)( ) ( ) ₎₍ ₎ ( ) = +83.16*10-6m C = 83.2m 2.44

Resuelva el problema 2.43 suponiendo que AC es de latón y CE es de acero.

SOLUCION: ( ₎ a) Pero:

(26)

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL 25 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ₎₍ ₎ 2.45

La barra rígida AD está apoyada, como se muestra, por dos hilos de acero de

de diámetro ( ) y un pasador en D. Si los hilos estaban

inicialmente tensos, halle: (a) la tensión adicional en cada hilo cuando una carga P de 120 lb se aplica en B, (b) la deflexión correspondiente del punto B.

SOLUCIÓN

Por geometría tenemos: ( )

Pero ( )( ) ( )( ) Sustituyendo en (1): ( ) ( ) ( )

a) Cuerpo libre de la barra AD:

∑ ( ) ( ) Sustituyendo (2) en (3): Sustituyendo (2) en (3): ( ) De (2): ( ) b) ( )( ) _{( )} ( )( )₍ ₎

(27)

2.46

Una barra rígida esta suspendida de una platina fijada por medio de cuatro alambres, como se muestra. Los alambres unidos a las clavijas B y C son de acero ( ) y tien un diámetro de 2 . Los unidos a las clavijas A y D son de aluminio ( ) y con diámetro de 2.5 . Si todos los alambres están tensos inicialmente, halle: (a) la tensión adicional e cada alambre cuando se aplica una fuerza de 2 kN en el centro de la barra, (b) el alargamiento correspondiente de los alambres.

SOLUCION:

Todos los cables tienen el mismo alargamiento

(a) ₍ ( )₎ ₍ ₎ ₍ ₎( )₍ ₎ ( ) Resolvemos (1), despejando : ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) Ya que y : ( ) Sustituimos (2) en (3)

(28)

( )

Ahora remplazo en (2), el valor obtenido anteriormente: ( ) (b) Remplazamos en la ecuación (1) ( ) ( ) ( ) 2.47

Resuelva el problema 2.46 suponiendo que los alambres unidos a las clavijas A y D son de acero (Es = 200GPa) y tienen un diámetro de 2.5 mm, mientras que los

conectados B y C son de aluminio con Ea = 70GPa y tienen un diámetro de 2 mm.

SOLUCIÓN: = ( ) ( )( ₎₍ ₎ = ( ) ( )( ₎₍ ₎……….(1) Resolviendo ΔTB = ( ) ( ) ( )( ₎₍ ₎ ΔTB = 0.41067 ………(2) = =100N……….(3) ( ) ( ): (1+0.41067) =100N = 708.88N Para (2): =0.41067(708.88)=291.12N = = ; = =291N  = ₍ ₎₍( )( )₎ ₍ ₎  = 0.1986 mm

(29)

2.48

Los conectores BC y DE son de acero (E=29x106 psi) y tienen ½ pulg de ancho y ¼ pulg de espesor. Halle:

a) La fuerza en cada conector cuando se aplica una fuerza P de 600 lb al elemento rígido AF, como se muestra

b) La deflexión correspondiente del punto A

(30)

a) Cuerpo libre: Miembro MF

∑ ( ) ( ) ( ) ( ) | | ( ) b) ( )( ) ( )( )( ) 2.49

Cada una de las barras AD y CE ( ) tiene un diámetro de 8 mm y rosca simple en su extremo superior con paso de 2 mm. Sabiendo que después de haber ajustado la tuerca en A, se aprieta dos vueltas completas, determine: (a) la tensión en cada barra, (b) la deflexión del punto A del elemento rígido ABC.

Figura P2.49

SOLUCIÓN

La tuerca A se mueve a lo largo de AD

( )( ) ( )

( )

(31)

Por geometría:

( )

Sustituyendo (1) en (2) y multiplicando por AE:

( )

( ) Cuerpo libre de la parte ABC:

∑ ( ) Sustituyendo (4) en (3): ( ) ( ) ( ) De (4): ( ) b) De Ecu. (1): ( )( ) ( ) ( ) 2.50

Resuelva el problema 2.49 suponiendo que las dos vueltas se le dan a la tuerca en C, en lugar de A, en condiciones análogas.

SOLUCIÓN

La tuerca C se mueve a lo largo de CE

(32)

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL 31 ( ) ( ) ( ) Por geometría: ( ) Sustituyendo (1) en (2) y multiplicando por AE:

( )

( ) Cuerpo libre de la parte ABC:

∑ ( ) Sustituyendo (4) en (3): ( ) ( ) ( ) De (4): ( ) b) De Ecu. (1): ( ) ( )( ) ( ) ( )

(33)

2.51

La barra rígida ABCD cuelga de tres alambres idénticos, como se muestra. Si a=b, halle la tensión causada en cada alambre por la fuerza P aplicada en C.

Figura P2.51

SOLUCIÓN:

Para el triangulo A’ B’’ B’ y A’ D’’ D’:

= o   =  

D + A = 3(B + A)

2A - 3B +D =0

La tensión es proporcional al desplazamiento: 2TA -3TB +TD =0 (1) MD =0 ; 3TA +2TB = P (2) FY =0 ; TA + TB +TD =P (3) TA -4TB =-P (4) (1)-(3): 2*2 +4 : 7TA =P TA =P/7 (2)…. 2TB =P-3(P/7) = 4P/7 TB =2P/7 (3)…..TD = P-TA –TB = P-P/7 – 2P/7 TD =4P/7

(34)

2.52

La barra rígida ABCD está colgada de tres alambres idénticos, como se muestra. Sabiendo que a=2b, halle la tensión causada en cada hilo por la carga P en C.

SOLUCION:

Los puntos A’ B’ D’ deben estar en una línea recta:

De los triángulos A’B’’B’ y A’D’’D’: ( ) Ya que la tensión es proporcional al desplazamiento:

( ) Cuerpo libre: barra ABCD

∑ ( ) ∑ ( ) (3)-(1)

(35)

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL 34 (2) ( ) (3) 2.53

Un riel de acero para ferrocarril ( ) fue tendido a 30° F. Halle el esfuerzo normal en el riel cuando la temperatura sube a 125° F, suponiendo que los rieles (a) fueron soldados para formar una vía continua, (b) tienen 39 pies de largo con separaciones de de pulg entre ellos.

SOLUCION:

a) Fueron soldados para formar una via continua

_{( )} Desde ( ₎₍ ₎ b) Ahora tenemos

(36)

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL 35 ( _{) (} ₎ ( ) ( ) ( ₎₍ ₎ 2.54

El conjunto mostrado consta de una cubierta de aluminio ( _{) totalmente adherida a un núcleo de acero (}

_{) y no tiene esfuerzos cuando la temperatura es 20 °C. Considerando}

sólo deformaciones auxiliares, halle el esfuerzo en la cubierta de aluminio cuando la temperatura sube a 180°C.

SOLUCION:

La cubierta de aluminio y el núcleo de acero, no están unidos y se expandirán a través de:

(37)

Por lo tanto la cubierta seria más larga:

( ) ( ) ( ) ( ) Con: , Remplazamos en (1) ( ) ( ₎ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Remplazamos en la ecuación (2): ( ) ( ₎₍ ₎ ( ) ( ₎₍ ₎

La cubierta y el núcleo al final tendrán la misma longitud; por ello:

(38)

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL 37 2.55

Resuelve el problema 2.54 suponiendo que el núcleo esta hecho de latón (EB =

105GPa, B =20.9 * 10-6 /C) , en ves de acero.

SOLUCIÓN:

Ver solución del prob 2.54

T = (T)A - (T)C = (s -c)ΔTL (1) A = a = 23.6*10-6 , c = b =20.9*10-6 ΔT =160ºC L=0.2m T =(23.6 – 20.9)10-6(160)(0.2m)=86.40*10-6m T = + (2) AS =1.6493*10-3 m2 , ES =Ea = 70*109 Pa , AC = 0.31416 * 10-3 EC = EB =105*109 Pa p = ( ) + ( ) p = 1.7323*10-9 P + 7.7953*10-9 P p = T 7.7953*10-9 P = 86.40*10-6 P= 11.084 KN ACERO = = = - 6.720*106 Pa ACERO=-6.72 MPa

(39)

2.56

Un poste de concreto de 4 pies esta reforzado con 4 varillas de acero, de ¾ pulg de diámetro. Sabiendo que Ea=29x106 psi, αs=6.5x10-6/ºF y EC=3.6x106 psi, αC=5.5x10-6/ºF,

halle los esfuerzos normales inducidos en el acero y en el concreto por un aumento de temperatura de 80ºF.

SOLUCION:

( ) ( _{)( )( )}

La banda entre el acero y el concreto es responsable de la fuerza P de tracción sobre el hormigón y de una fuerza –P sobre el acero.

( ) ( ) Pero:

( ) ( ) ( )

(40)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) La deformación total del acero y hormigón son:

( ) ( ) ( ) ( ) Nosotros tenemos: 2.57

Una barra que consta de dos partes cilíndricas AB y BC está restringida en ambos extremos. La barra AB es de latón ( ) y la parte BC es de acero ( ). Sabiendo que no hay esfuerzos iniciales, determine: (a) los esfuerzos normales inducidos en AB y BC por un aumento de 90° F, (b) la deflexión correspondiente del punto B.

(41)

SOLUCIÓN

Primero se expande libremente la varilla:

( ) ( ) ( ) ( )

( ₎₍ _{)( ) (} ₎₍ _{)( )}

Ahora aplicamos la carga P en la longitud original Ms: ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Alargamiento debe ser cero:

a) _{( )} ( ) b) ( ) ( ) ( )( ) 2.58

Una barra consta de dos porciones cilíndricas AB y BC, y esta restringida en ambos extremos. La parte AB es de acero ( ) y la BC es de latón ( ). Si la barra no esta esforzada inicialmente, halle: (a) los esfuerzos normales inducidos en AB y BC por un aumento de 50 °C, (b) la deflexión correspondiente del punto B.

(42)

SOLUCIÓN

( ) ( ) ( ) ( )

( _{)( )( ) (} _{)( )( )}

Ahora aplicamos la carga P en la longitud original Ms: ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

Alargamiento debe ser cero:

a) _{( )} ( ) b) ( ) ( ) ( )( )

(43)

2.59

Resuelve el problema 2.58 suponiendo que la parte AB de la barra compuesta es de latón y la parte BC es de acero.

SOLUCIÓN: T = (T)AB + (T)BC = b ΔT(AB) + SΔT(BC) T =(20.9*10-6)(50)(0.25) + (11.7*10-6)(50)0.3) =261.25*10-6 + 175.50*10-6 =436.75*10-6 P = ( ) + ( ) =_{( )( )} ( )₍ ₎ + _{( )( )} ( )₍ ₎ =3.3684*10-9 P +0.76394*10-9 P = 4.1323*10-9 P = T + P = 436.75*10-6 +4.1323*10-9 P =0 P=-105.69KN (a) AB = = ( )( ) AB = -149.5MPa Bc = = ( )( ) BC = -53.8MPa (b) B = (T)AB + (P)AB B =261.25*10-6 + 3.3684*10-9P B =261.25*10-6 + (3.3684*10-9)(-105.69*103) B =261.25*10-6 -356.01*10-6 B =-94.76*10-6 B =94.8m 2.60

Resuelva el problema 2.57 suponiendo que la parte Ab de la barra compuesta de acero y BC de latón.

SOLUCION:

Lo primero que se expande libremente es la varilla:

(44)

( _{)( )( ) (} _{)( )( )}

Ahora aplicamos la fuerza P para que vuelva a su estado original: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) La deformación total: a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) ₍ ₎ 2.61

Una barra de aluminio ( ) y el conector de acero ( _{) tiene las dimensiones mostradas, a 20° C. El}

conector de acero se calienta hasta que la barra de aluminio quepa libremente en él. La temperatura del conjunto se eleva entonces a 150° C. Halle el esfuerzo final (a) en la barra, (b) en el conector.

(45)

Figura P2.61

SOLUCIÓN

De longitud entre los eslabones de acero y alums de la varilla:

Alargamiento del alumbre sin restricciones, varilla a 150° C:

( ) ( _{)( )( )}

Alargamiento libre de los eslabones a 150° C:

( ) ( _{)( )( )}

Ahora aplicamos fuerzas iguales y opuestas P a la barra y al enlace para llevarlo a la misma longitud final:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

La longitud final de la varilla es:

( ) ( )

La longitud final del enlace es:

(46)

Igualando las dos longitudes, tenemos:

a) Barra: ( ) b) Enlace: _{( )} 2.62

La temperatura de la barra compuesta del problema 2.43 se eleva en 80°C. Sabiendo que , y que no hay fuerza aplicada en B ni en D, halle: (a) los esfuerzos normales en AC y CE, (b) la deformación de AC.

SOLUCION:

( ) ( ) ( ) ( )

( _{)( )( ) (} _{)( )( )}

Ahora aplicamos la carga P en la longitud original: ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Alargamiento total debe ser igual a a) _{( )} ( )

(47)

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL 46 b) ( ) ( ) ( )( ) 2.63

La barra AB es de latón (Eb = 15 * 106 psi, b =11.6* 10-6 /F) y la barra CD, de aluminio

(E = 10.1 * 106 psi,  =13.1* 10-6 /F). Sabiendo que a 60 F existe una separación de 0.02pulg entre los extremos de las barras, halle: (a)el esfuerzo normal en cada barra después de que la temperatura se ha elevado a 180 F, (b)la deformación de la barra AB en ese momento. Figura P2.63 SOLUCIÓN: T = (T)AB + (T)CD = bΔT(AB) +aΔT(CD) T = (11.6*10-6)(180-60)(12) + (13.1*10-6)(180-60)(10) =16.704*10-3 + 15.72*10-3 =32.424*10-3 in P = ( ) + ( ) = _{( )( )} ( )₍ ₎ + _{( )( )} ( )₍ ₎ =254.65*10-9P + 140.07*10-9P = 394.72*10-9P La Deformación Total es = T + P y la 0 = 0.02 in = T + P =0 : 32.424*10-3 + 394.72*10-9 P =20*10-3 394.72*10-9P = -12.424*10-3 P=-31.476kips (a) AB = = ( )( ) AB = -10.02ksi CD = = ( )( ) AB = -4.45ksi

(48)

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL 47 (b) AB = (T)AB + (P)AB =16.704*10-3 + 254.65*10-9P = 16.704*10-3 + (254.65*10-9)(-31.476*103) =16.704*10-3 – 8.015*10-3 =+8.689*10-3 in AB = +8.69*10-3 in 2.64

Para las barras del problema 2.63, determine

a) La temperatura a la cual el esfuerzo en AB será de -20 ksi b) La correspondiente deformación de la barra AB.

SOLUCION:

En primer lugar las barras se expanden libremente por la variación de temperatura: ( ) ( ) ( ) ( )

( _{)( )( ) (} _{)( )( )}

Ahora aplicamos la fuerza de comprensión P, produciendo una deformación ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Pero conocemos que:

( ) ( ) _{( )} La deformación total:

(49)

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL 48 a) b) ( ) ( ) ( ) ( ) 2.65

Para las barras del problema 2.49, se supone que después de haber ajustado suavemente las tuercas A y C, se aflojan media vuelta. Luego se baja a 60° C la temperatura de ambas barras. Si ( ), halle el esfuerzo final en (a) la barra AD, (b) en la CE.

SOLUCION:

Desplazamiento de la tuerca A: ( ) ( ) Donde cargar para aflojar

( ) ( ) ( ) ( ) ( _{)( )( )} ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Así: ( ) Desplazamiento de la tuerca C: ( ) ( ) ( ) ( ) ( _{)( )( )} ( ) ( ) ( ) Así: ( )

(50)

Por geometría, y observamos que y tienen sentidos opuestos:

( ) Sustituyendo (1) en (2) y (3): ( )

Cuerpo libre de la parte ABC:

} ∑ ( ) Sustituyendo en (4) y simplificando: ( ) De (5): ( ) a) _{( )} b) _{( )}

(51)

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL 50 2.66

En una prueba de tensión se somete una barra de aluminio de 20 de diámetro a una fuerza de tensión P=30kN. Sabiendo que E= 70 GPa, y v=0.35, determine: (a) el alargamiento de la barra en una longitud de 150 , (b) el cambio en el diámetro de la barra.

SOLUCION: (a) ( )( ) ( ) ( ) (b) _{( )}