Tippens Fisica 7e Soluciones 13

Capítulo 13. Elasticidad

Propiedades elásticas de la materia

13-1. Cuando una masa de 500 g cuelga de un resorte, éste se alarga 3 cm. ¿Cuál es la constante elástica? [m = 0.500 kg; x = 0.03 m, F = W = mg] F = –kx; 2 (0.50 kg)(9.8 m/s ) 0.03 m F k x = = ; k = 163 N/m

13-2. ¿Cuál es el incremento del alargamiento en el resorte del problema 13-1 si se cuelga una masa adicional de 500 g debajo de la primera? [F = W = mg]

2 (0.500 kg)(9.8 m/s ) 163 N/m F x k ! ! = = ; Δx = 3.00 cm

13-3. La constante elástica de un resorte resultó ser de 3000 N/m. ¿Qué fuerza se requiere para comprimir el resorte hasta una distancia de 5 cm?

F = kx = (3000 N/m)(0.05 m);

F = 150 N

13-4. En un extremo de un resorte de 6 in se ha colgado un peso de 4 lb, por lo cual la nueva longitud del resorte es de 6.5 in ¿Cuál es la constante elástica? ¿Cuál es la deformación? [Δx = 6.5 in – 6.0 in = 0.50 in] (4 lb) 0.5 in F k x = = k = 8.00 lb/in 0.50 in Esfuerzo 6.00 in L L ! = = Esfuerzo = 0.0833

13-5. Un resorte en espiral de 12 cm de largo se usa para sostener una masa de 1.8 kg que produce una deformación de 0.10. ¿Cuánto se alargó el resorte? ¿Cuál es la constante elástica? Esfuerzo L; L L_o(esfuerzo) (12.0 cm)(0.10) L ! = ! = = ; ΔL = 1.20 cm 2 (1.8 kg)(9.8 m/s ) ; 0.0120 m F k L ! = = ! k = 1470 N/m

13-6. En el caso del resorte del problema 13-5, ¿qué masa total se deberá colgar de él si se desea producir un alargamiento de 4 cm? F = mg = kx; (1470 N/m)(0.04 m)₂ 9.80 m/s kx m g = = ; m = 6.00 kg

Módulo de Young

13-7. Un peso de 60 kg está suspendido de un cable cuyo diámetro es de 9 mm. ¿Cuál es el esfuerzo en este caso? [F = mg = (60 kg)(9.8 m/s2_{); F = 588 N; D = 0.009 m]}

2 2 -5 2 (0.009 m) 6.36 10 m 4 4 D A != =! = " ; 2 588 N Esfuerzo 0.00707 m F A = = ; Esfuerzo = 9.24 × 106 _Pa

13-8. Un cable de 50 cm se estira a 50.01 cm. ¿Cuál es el efuerzo en este caso? ΔL = 50.01 – 50 cm; 0.01 cm Esfuerzo 50 cm L L ! = = ; Esfuerzo = 2.00 × 10–4

13-9. Una varilla de 12 m está sometida a un esfuerzo de compresión de −0.0004. ¿Cuál es la nueva longitud de la varilla?

Esfuerzo L; L L_o(esfuerzo) (12.0 m)( 0.0004) L ! = ! = = " ; ΔL = –0.00480 m L = Lo + ΔL = 12.000 m – 0.00480 m; L = 11.995 m

13-10. El módulo de Young de una varilla es de 4 × 1011 Pa. ¿Qué deformación resultará con un esfuerzo de tensión de 420 MPa?

6 11 Tensión Tensión 420 10 Pa ; Esfuerzo Esfuerzo 4 10 Pa Y Y ! = = = ! Esfuerzo= 1.05 × 10–3

13-11. Una masa de 500 kg se ha colgado del extremo de un alambre de metal cuya longitud es de 2 m, y tiene 1 mm de diámetro. Si el alambre se estira 1.40 cm, ¿cuáles han sido el esfuerzo y la deformación? ¿Cuál es el módulo de Young en el caso de este metal? [F = mg = (500 kg)(9.8 m/s2); F = 4900 N; D = 0.001 m; ΔL = 0.014 m] 2 2 -7 2 (0.001 m) 7.85 x 10 m 4 4 D A != =! = 7 2 4900 N Tensión 7.85 10 m F A ! = = " ; Tensión = 6.24 × 10 9 _Pa 0 0.014 m Esfuerzo 2.00 m L L ! = = ; Esfuerzo = 7.00 × 10–3 9 3 Tensión 6.24 10 Pa Esfuerzo 7 10 Y = = " _! " ; Y = 8.91 × 10 11 _Pa

13-12. Una viga maestra de acero de 16 ft con área de la sección de 10 in2 sostiene una carga de compresión de 20 toneladas. ¿Cuál es la disminución resultante en la longitud de la viga? [Y = 30 × 106 Pa; 1 ton = 2000 lb] 6 2 2 ( 40 000 lb)(16 ft)(12 in/ft) ; (30 10 lb/in )(10 in ) FL FL Y L A L YA ! = " = = " # ; ΔL = – 0.0256 in

13-13. ¿En qué medida se alarga un trozo de alambre de bronce, de 60 cm de longitud y 1.2 mm de diámetro, cuando se cuelga una masa de 3 kg de uno de sus extremos?

[Y = 89.6 × 109 Pa; D = 0.0012 m; L0 = 0.60 m; m = 3 kg] 2 2 6 2 (0.0012 m) 1.13 10 m 4 4 D A ! ! " = = = # ; F = (3 kg)(9.8 m/s2_{) = 29.4 N; Y} FL _; A L = ! 9 6 2 (29.4 N)(0.60 m) (89.6 10 )(1.13 10 m ) FL L YA ! " = = # # ; ΔL =1.74 × 10–4 m

*13-14. Un alambre cuya sección transversal es de 4 mm2 se alarga 0.1 mm sometido a un peso determinado. ¿En qué medida se alargará un trozo de alambre del mismo material y longitud si su área de sección es de 8 mm2 y se le somete al mismo peso?

1 1 2 2 FL FL Y A L A L = = ! ! ; A1 ΔL1 = A2 ΔL2 2 1 1 2 2 2 (4 mm )(0.10 mm) (8 mm ) A L L A ! ! = = ; ΔL2 = 0.0500 mm

13-15. El esfuerzo de compresión del hueso de un muslo humano de la figura 13.9 se parece al ejercido en la sección transversal de un cilindro hueco. Si el esfuerzo máximo que puede sostenerse es de 172 MPa, ¿cuál es la fuerza requerida para romper el hueso en su parte más ancha? Use las dimensiones dadas en la figura.

2 2 2 2 4 2 1 2 ( ) (0.0125 m) (0.0062 m) ; 3.70 10 m A ! R R ! A " # $ = " = _& " _' = % 6 4 2 172 MPa; (172 10 Pa)(3.70 10 m ); F F A ! = = " " F = 63.7 kN

Módulo de corte

13-16. Una fuerza de corte de 40 000 N se aplica a la parte superior de un cubo cuyo lado mide 30 cm. ¿Cuál es el esfuerzo cortante en este caso? [A = (0.30 m)(0.30 m) = 0.09 m2]

2 40,000 N Tensión 0.09 m F A = = ; Tensión = 4.44 × 105 Pa

*13-17. Si el cubo del problema 13-16 es de cobre, ¿cuál será el desplazamiento lateral de la superficie superior del cubo?

5 9 / / 4.44 10 Pa ; 42.3 10 Pa F A F A S S ! ! " = = = " ; φ = 1.05 × 10 –5 _rad ; (0.30 m)( d d l l ! = = ! = 1.05 × 10–5 rad); d = 3.15 µm

13-18. Una fuerza de corte de 26 000 N se distribuye uniformemente sobre la sección transversal de un alfiler de 1.3 cm de diámetro. ¿Cuál es el esfuerzo cortante? [A = πD2/4]

2 2 4 2 (0.0130 m) 1.33 10 m 4 4 D A ! ! " = = = # ; 4 2 26 000 N Tensión 1.33 10 m F A ! = = " ; Tensión = 1.96 × 10 8 _Pa

13-19. Una varilla de aluminio cuyo diámetro es 20 mm sobresale 4.0 cm de la pared. El extremo del perno está sujeto a una fuerza de corte de 48 000 N. Calcule la flexión hacia abajo.

2 2 4 2 (0.020 m) 3.14 10 m 4 4 D A ! ! " = = = # ; l = 0.04 m; F = 48 000 N / / ; / F A F A Fl Fl S d d l Ad SA ! = = = = 9 4 2 (48 000 N)(0.04 m) (23.7 10 Pa)(3.14 10 m ) d = _! " " ; d = 2.58 × 10–4 m

13-20. Una varilla de acero sobresale 1.0 in por encima del piso y tiene 0.5 in de diámetro. La fuerza de corte F aplicada es de 6000 lb y el módulo de corte es 11.6 × 106 lb/in2 ¿Cuáles son los valores del esfuerzo cortante y la flexión horizontal?

2 2 2 (0.50 in.) 0.196 in. 4 4 D A != =! = ; l = 1.0 in; F = 6000 lb 2 6,000 lb Tensión 0.196 in F A = = ; Tensión = 3.06 × 104 lb/in2 6 2 2 (6000 lb)(1.0 in) (30 10 lb/in )(0.196 in ) Fl d SA = = ! ; d = 1.02 × 10 –3 _in

13-21. Una carga de 1500 kg está sostenida por un extremo de una viga de aluminio de 5 m, como se observa en la figura 13-10. El área de la sección de la viga es de 26 cm2 y el módulo de corte es 23 700 MPa. ¿Cuáles son el esfuerzo cortante y la flexión hacia abajo de la viga? A = 26 cm2 (10–4 m2/cm2) = 2.60 × 10–3 m2; S = 23.7 × 109 Pa; l = 5 m 2 3 2 (1500 kg)(9.8 m/s ) Tensión 2.60 10 m F A ! = = " ; Tensión = 5.65 × 10 6 _Pa 6 9 / / 5.65 10 Pa ; 23.7 10 Pa F A F A S S ! ! " = = = " ; φ = 2.39 × 10 –4 _rad 4 ; (5.0 m)(2.39 10 rad) d d l l ! = = ! = # " ; d = 1.19 mm

13-22. Una placa de acero de 0.5 in de espesor tiene una resistencia final de corte de 50 000 lb/in2. ¿Qué fuerza se debe aplicar para hacer un orificio de 1/4 in que atraviese toda la placa? 2 2 2 (0.25 in.) 0.0491 in. 4 4 D A != =! = ; Tensión F 50 000 lb/in2 A = = F = (50 000 lb/in2)(0.0491 in2); F = 2454 lb

Módulo volumétrico

13-23. Una presión de 3 × 108 Pa se aplica a un bloque cuyo volumen es 0.500 m3. Si el volumen disminuye en 0.004 m3, ¿cuál es el módulo volumétrico? ¿Cuál es la compresibilidad?

8 3 3 (3 10 Pa) / 0.004 m / 0.500 m P B V V ! ! " = = # ! ; B = 37.5 × 10 9 _Pa 9 1 1 37.5 10 Pa k B = = ! ; k = 2.67 × 10 –11 _Pa–1

13-24. El módulo volumétrico para un aceite es de 2.8 × 1010 Pa. ¿Cuánta presión se requiere para que su volumen disminuya con un factor de 1.2%? [ΔV/V = –1.2% = –0.012]

(

)

(

)

13-25. Una esfera de latón macizo (B = 35 000 MPa) cuyo volumen es 0.8 m3 se deja caer en el océano hasta una profundidad en la cual la presión hidrostática es 20 MPa mayor que en la superficie. ¿Qué cambio se registrará en el volumen de la esfera? [P = 20 × 106 Pa]

6 3 9 (20 10 Pa)(0.8 m ) ; = / 35 10 Pa P PV B V V V B ! ! ! " = # = # " ; ΔV = –4.57 × 10–4 m3.

13-26. Un fluido en particular se comprime 0.40% bajo una presión de 6 MPa. ¿Cuál es la compresibilidad de ese fluido? [ΔV/V = 0.04% = 0.0004]

6 / 0.0004 6 10 Pa V V k P ! " = = " " # ; k = 6.67 × 10–11 Pa–1

13-27. ¿Cuál es el decremento fraccional del volumen del agua cuando está sometida a una presión de 15 MPa? 6 9 (15 10 Pa) ; = / 2.10 10 Pa P V P B V V V B ! " ! ! # = = " # ; ΔV/V = –7.14 × 10–3

Problemas adicionales

13-28. Un alambre de acero de 10 m y 2.5 mm de diámetro se estira una distancia de 0.56 mm cuando se coloca cierta carga en su extremo. ¿Cuál es la masa de esa carga?

2 2 6 2 (0.0025 m) 4.91 10 m 4 4 D A ! ! " = = = # ; F = mg; Y FL mgL; A L A L = = ! ! 9 6 2 (207 10 Pa)(4.91 10 m)(0.00056 m) (9.8 m/s )(10 m) YA L m gL ! " # # = = ; m = 5.81 kg

13-29. Una fuerza de corte de 3000 N se aplica en la superficie superior de un cubo de cobre cuyo lado mide 40 mm. Suponga que S = 4.2 × 1010 Pa. ¿Cuál es el ángulo de corte? [A = (0.04 m)2 = 1.6 × 10-3 m2] 3 2 10 / 3000 N ; (1.6 10 m )(4.2 10 Pa) F A F S AS ! ! " = = = # # ; φ = 4.46 × 10–5 rad

13-30. Una columna sólida cilíndrica de acero tiene 6 m de largo y 8 cm de diámetro. ¿Cuál es la disminución de longitud cuando la columna soporta una carga de 90 000 kg?

2 2 3 2 (0.08 m) 5.03 10 m 4 4 D A ! ! " = = = # ; F = W = mg; L = 6.00 m F = (90,000 kg)(9.8 m/s2_{) = 8.82 × 10}5 _{N; Y} FL _; A L = ! 5 9 3 2 (8.82 10 N)(6.0 m) (207 10 )(5.03 10 m ) FL L YA ! " # = = " " ; ΔL = –5.08 × 10–3 m

13-31. Un pistón de 8 cm de diámetro ejerce una fuerza de 2000 N sobre 1 litro de benceno. ¿En cuánto disminuye el volumen del benceno?

2 2 3 2 (0.08 m) 5.03 10 m 4 4 D A ! ! " = = = # ; 2000 N_{3 2} 3.98 10 Pa5 5.03 10 m F P A ! = = = " " 5 3 9 (3.98 10 Pa)(0.001 m ) ; / 1.05 10 Pa P PV B V V V B ! ! ! " = # = = # " ; ΔV = –3.79 × 10–7 m3

13-32. ¿Cuánto se estirará un trozo de alambre de cobre de 600 mm de longitud y 1.2 mm de diámetro cuando se cuelga una masa de 4 kg de uno de sus extremos?

2 2 -6 2 (0.0012 m) 1.13 10 m 4 4 D A != =! = " ; F = (4 kg)(9.8 m/s2) = 39.2 N 9 6 2 (39.2 N)(0.60 m) (89.6 10 )(1.13 10 m ) FL L YA ! " = = # # ; ΔL =2.32 × 10–4 m

13-33. Una columna cilíndrica sólida de acero tiene 12 ft de altura y 6 in de diámetro. ¿Qué carga tiene que soportar para que su longitud disminuya en −0.0255 in?

2 2 2 (6 in) 28.3 in 4 4 D A != =! = ; Y FL A L = ! ; L = 12 ft = 144 in 6 2 2 (30 10 lb/in )(28.3 in )(0.0255 in) (144 in) YA L F L ! " = = ; F = 1.50 ×105 lb

13-34. Calcule la contracción del volumen de mercurio si un volumen original de 1600 cm3 _de

este elemento se somete a una presión de 400 000 Pa. [1600 cm3 _{= 1.6 × 10}-3 _m3_]

3 3 9 (400 000 Pa)(1.6 10 m ) ; / 27.0 10 Pa P PV B V V V B ! ! ! ! " = # = = # " ; ΔV = –2.37 × 10–8 m3

13-35. ¿Cuál es el diámetro mínimo de una varilla de bronce si tiene que soportar una tensión de 400 N sin que se exceda el límite elástico? [Límite elástico = 3.79 × 106 Pa]

2 6 6 379 10 Pa; 4 379 10 Pa F D F A A ! = " = = " ; 2 6 4 (379 10 Pa) F D ! = " 2 6 2 6 4(400 N) 1.34 10 m (379 10 Pa) D ! " = = # # ; D = 1.16 mm

13-36. Un bloque cúbico de metal con lados de 40 cm soporta una fuerza de corte de 400 000 N en su borde superior. ¿Cuál es el módulo de corte para este metal si el borde superior se flexiona hasta una distancia de 0.0143 mm?

-5 0.0143 mm 3.575 10 400 mm d l ! = = = " ; A = (0.40 m)2 = 0.160 m2 3 2 / 400 000 N (3.575 10 )(0.160 m ) F A S ! " = = # ; S = 6.99 × 1010 Pa

13-37. Una cuerda de acero para piano tiene una resistencia límite de 35 000 lb/in2. ¿Cuál es la

mayor carga que puede soportar una cuerda de acero de 0.5 in de diámetro sin romperse?

2 2 2 (0.5 in) 0.196 in 4 4 D A != =! = ; F 35 000 lb/in2 A = F = (35 000 lb/in2)(0.196 in2); F = 6870 lb

Preguntas para la reflexión crítica

*13-38. Un alambre de metal se alarga 2 mm cuando está sometido a una fuerza de tensión. ¿Qué alargamiento se puede esperar con esa misma fuerza si el diámetro del alambre se reduce a la mitad de su valor inicial? Suponga que el alambre de metal conserva su mismo diámetro, pero que su longitud se duplica. ¿Qué alargamiento se podría esperar entonces con la misma carga?

2 2 2 1 1 2 2 2 4 4 ; ; ; FL FL FL FL Y L L D L D L D A L AY !D Y !Y = " = = " = " = " " 2 1 2 1 2 2 (2 mm) D D L L D ! " # = # _{$ %}= & ' 2 D 2 2 mm 4 ! " = $ % & ' ; ΔL2 = 0.500 mm

Puesto que ΔL ∝ L, al duplicar L también se duplicará ΔL: ΔL2 = 4.00 mm

13-39. Un cilindro de 4 cm de diámetro está lleno de aceite. ¿Qué fuerza habrá que ejercer en total sobre el aceite para obtener una disminución de 0.8% en el volumen? Compare las fuerzas necesarias si el aceite se sustituye por agua y por mercurio. [ΔV/V = –0.008]

2 2 3 2 (0.04 m) 1.26 10 m 4 4 D A ! ! " = = = # ;

(

)

Para aceite: F = (1.005 × 10–5 m2)(1.7 × 109 Pa); Faceite = 17 090 N

Para agua: F = (1.005 × 10–5 _m2_{)(2.1 × 10}9 _{Pa); F}

agua = 21 100 N

*13-40. Una pelota de 15 kg está unida al extremo de un alambre de acero de 6 m de largo y 1.0 mm de diámetro. El otro extremo del alambre está sujeto a un techo elevado y el conjunto constituye un péndulo. Si ignora el pequeño cambio de longitud, ¿cuál es la rapidez máxima con la cual puede pasar la bola por su punto más bajo sin que se exceda el límite elástico? ¿Cuál será el incremento de longitud del alambre bajo el esfuerzo limitador? ¿Qué efecto tendrá este cambio sobre la velocidad máxima?

[D = 1 mm = 0.001 m] 2 2 7 2 (0.001 m) 7.85 10 m 4 4 D A !_{= =}! _{= #} "

La velocidad máxima es aquella para la cual el impulso causa la tensión que excede el límite elástico

para el acero (2.48 × 108 _Pa).

8 8 7 2 2.48 10 Pa; (2.48 10 Pa)(7.85 10 m ) F T F A ! = " = = " " ; Tmáx = 195 N 2 2 2 ( ) ; ; mv R T mg T mg mv TR mgR v R m ! ! = = ! = ; mg = (15 kg)(9.8 m/s2) = 147 N (6 m)(195 N 147 N) 15 kg v= ! ; vmáx = 4.37 m/s 7 2 9 (195 N)(6 m) ; (7.85 10 m )(207 10 Pa) FL FL Y L A L AY ! = " = = " # # ; ΔL = 7.19 mm

El alargamiento ΔL del cable bajo esta carga incrementará el radio R de la trayectoria

de 6.000 m a 6.007 m. El radio mayor proporciona una fuerza centrípeta menor de modo

que (T = Fc + mg) se reduce. Esto podría permitir una mayor velocidad máxima hasta el

punto en donde la tensión de nuevo reduce el máximo permitido.

6 m

mg

T

*13-41. En un cilindro de 10 in de diámetro se vierte glicerina hasta una altura de 6 in. Un pistón del mismo diámetro empuja hacia abajo el líquido con una fuerza de 800 lb. La

compresibilidad de la glicerina es 1.50 × 10−6 _in2_{/lb. ¿Cuál es el esfuerzo sobre la}

glicerina? ¿Hasta qué distancia desciende el pistón? [R = 5 in; A = πR2 = 78.5 in2]

2 800 lb Tensión 78.5 in F P A = = = ; P =10.2 lb/in2 Vo = Aho = (78.5 in2)(6 in) = 471.2 in3; 0 V k PV ! = " ΔV = –kPVo = – (1.5 × 10–6 in2/lb)(10.2 lb/in2)(471.2 in3); ΔV = 0.00721 in3 ΔV = A Δh 3 2 0.00721 in 78.5 in V h A ! ! = = ; Δh = 9.18 × 10–5 in.

*13-42. La torsión de un eje cilíndrico (figura 13-10) hasta un ángulo θ es un ejemplo de

deformación por esfuerzo cortante. Un análisis de la situación muestra que el ángulo de

torsión en radianes se calcula mediante

!

=

2

" #

l

SR

torsión aplicado; l la longitud del cilindro; R el radio del cilindro y S el módulo de corte. Si un momento de torsión de 100 lb · ft se aplica al extremo de un eje cilíndrico de acero de 10 ft de largo y 2 in de diámetro, ¿cuál será el ángulo de torsión en radianes?

Tenga cuidado de que las unidades sean consistentes: τ = 100 lb ft = 1200 lb in; l = 10 ft = 120 in 4 6 2 4 2 2(1200 lb in)(120 in) (12 10 lb/in )(1 in) l SR ! " # # = = $ ; θ = 0.00764 rad

*13-43. Un eje de aluminio de 1 cm de diámetro y 16 cm de alto está sometido a un esfuerzo cortante de torsión como se explicó en el problema anterior. ¿Qué momento de torsión ocasionará un retorcimiento de 1º según se describe en la figura 13-11?

[θ = 10 = 0.01745 rad; R = (D/2) = 0.005 m] 4 9 4 4 2 (0.01745 rad)(23.7 10 Pa)(0.005 m) ; 2 2(0.16 m) l SR SR l ! "! " # ! " $ = = = τ = 2.54 N m

*13-44. Dos láminas de aluminio que forman parte del ala de un avión están unidas entre sí con remaches de aluminio cuya sección tiene un área de 0.25 in2. El esfuerzo cortante sobre cada remache no debe ser mayor de la décima parte del límite elástico del aluminio. ¿Cuántos remaches se necesitan si cada uno de ellos soporta la misma fracción de una fuerza de corte total de 25 000 lb?

El máximo esfuerzo permitido para cada remache es:

2 2

1 (19 000 lb/in ) 1900 lb/in₁₀

F

A = =

Esto significa una fuerza de corte de: F = (1900 lb/in2)(0.25 in2) = 475 lb/remaches

Ahora puede encontrar el número de remaches N como sigue:

25 000 lb

52.7 remaches; 475 lb/remache

N = =