razonamiento matemático

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

CIENCIAS EMPRESARIALES

1. Problemas sobre Edades

2. Porcentajes

3. Operadores Matemáticos

4. Razonamiento Inductivo – Deductivo 5. Regla de Tres simple y compuesta 6. Criptoaritmética

7. Series y Sumatorias 8. Probabilidades

CIENCIAS

ÍNDICE

PROBLEMAS SOBRE EDADES...3

PROBLEMAS RESUELTOS...4 PROBLEMAS PROPUESTOS...7 PORCENTAJES... 10 PROBLEMAS RESUELTOS...13 EJERCICIOS PROPUESTOS...16 OPERADORES MATEMATICOS...19 EJERCICIOS PROPUESTOS...23

RAZONAMIENTO INDUCTIVO - DEDUCTIVO...26

EJERCICIOS PROPUESTOS...30

REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA...32

EJERCICIOS RESUELTOS...35 PROBLEMAS PROPUESTOS...37 CRIPTOARITMETICA...40 EJERCICIOS PROPUESTOS...43 SERIES Y SUMATORIAS...46 EJERCICIOS RESUELTOS...49 EJERCICIOS PROPUESTOS...50 PROBABILIDADES...52 EJERCICIOS RESUELTOS...55 EJERCICIOS PROPUESTOS...57 BIBLIOGRAFÍA... 62

PRESENTACIÓN

La siguiente guía de Razonamiento Matemático tiene por objetivo poner al

alcance de los estudiantes del Ciclo Pre Universitario de la Universidad

Privada de Tacna, los temas que serán desarrollados, teniendo en cuenta

el marco teórico con ejemplos prácticos, problemas explicados y

ejercicios propuestos.

El curso de Razonamiento Matemático permite medir la habilidad y el

razonamiento crítico que posee el alumno para desarrollarse dentro de un

campo del conocimiento humano.

Los Temas que se proponen para este Ciclo Pre Universitario son:

Problemas sobre Edades, Porcentajes, Operadores Matemáticos,

Razonamiento Inductivo – Deductivo, Regla de Tres, Criptoaritmética,

Series y Sumatorias, y Probabilidades.

PROBLEMAS SOBRE EDADES

Los problemas sobre edades es un caso particular de planteo de ecuaciones, en donde intervienen: personas; edades: condiciones y tiempos.

La importancia del tema “Problemas sobre Edades”, contribuye a enriquecer nuestro conocimiento de otras técnicas de planteo y resolución de ecuaciones.En todo problema sobre edades se pueden distinguir principalmente tres elementos: personas, tiempos y condiciones..

1. PERSONAS.- A las cuales corresponden las edades con las que se trabajan, aunque en lugar de edades, puede ser otro tipo de cantidades que las personas posean.

2. TIEMPOS.- Es una de las partes más importantes del problema, puesto que la acción se desarrolla ne tiempos diferentes, como:

 Tiempo presente: “Tienes”, “tengo”, tenemos”, etc.

 Tiempo pasado: “Hace 14 años”, “hace n años”, “tenía”, “tuve”, etc.  Tiempo futuro: “Dentro de m años”, “tendrás”, “tenga”, etc.

3. CONDICIONES.- Son relaciones dadas entre las cantidades o edades que intervienen y que se cumplen en un determinado tiempo, o entre tiempos diferentes.

Cada condición da lugar a una ecuación, las expresiones como: “dentro de 12 años”; “la suma de nuestras edades es 72 años”, “cuando tengas la edad que tengo”, son condiciones.

Con el propósito de ordenar y relacionar adecuadamente los datos, recomendamos utilizar un cuadro de doble entrada, en donde se colocarán los datos e incógnitas en el orden y lugar, según corresponda de acuerdo al enunciado.

( II )

T I E M P O S PASADO PRESENTE PASADO Persona A Persona B Persona C Condiciones ( IV )

Una vez leído y entendido cada problema, extraemos de él los datos y la incógnita para ser colocados en el gráfico , en el orden sugerido I, II, II, IV.

Edades o cantidad es

( I )

PROBLEMAS RESUELTOS

1. La quinta parte de la edad de Alicia es 8 años menos que la de Berta y el triple de la edad de Berta es 10 años más que la edad de Alicia. ¿Cuántos años tiene Berta? SOLUCION: 5 1 A = B - 8



A = 5(B – 8) .... (1) 3B = 10 + A ... (2) Reemplazando (1) en (2) 3B = 10 + 5(B – 8) 3B = 10 + 5B – 40 30 = 2B 15 = B ... Rpta

2. Pedro tiene 3 años menos que su hermano Beto y la edad del padre es el séxtuplo de la edad de su hijo Pedro. Si hace 6 años la suma de las edades de los tres era de 41 años. ¿Cuántos años tiene Pedro?

SOLUCION:

Del enunciado:

( x + 9) + (x – 6) + (6x – 24) = 41 8x = 80

x = 10 La edad actual de Pedro:

x – 3 = 10 – 3 = 7 años ....Rpta.

3. Katy tiene 48 años, su edad es el doble de la edad que tenía Ana, cuando Katy tenía la edad que ahora tiene Ana. ¿Qué edad tiene Ana?

SOLUCION:

Aplicando el método del aspa: x + x = 24 + 48

2x = 72

4. El mayor de tres hermanos tiene 2 años más que el segundo y la edad del menor es la tercera parte del segundo. Dentro de 5 años la suma de las edades será 52 años. ¿Qué edad tiene el menor?

SOLUCION: Del enunciado: (x + 7) + (x + 5) + 5 52 3 1        _x 2x + 35 3 1  x x = 15 ....Rpta.

5. A le dice a B: “Yo tengo el triple de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes, pero cuando tú tengas la edad que yo tengo, entonces la suma de nuestras edades será 56 años”. Hallar la edad de A.

SOLUCION:

Por diferencia de edades:

* y – x = 3x – y



y = 2x ... (1) * 3x – y = 56– 6x



y = 9x –56....(2) De (1) y (2): 2x = 9x – 56



x = 8 Piden: Edad de A = 3(8) = 24 ....Rpta.

6. Dentro de 5 años, tu edad será a mi edad como 5 es a 4 y hace 5 años esa relación era como 3 es a 2. ¿Cuántos años tengo?

Del enunciado: 4 10 2 5 10 3k _ k

_

k = 5 Luego, yo tengo: 3k + 5 = 3(5) + 5 = 20 ....Rpta.

7. Calcular la edad de Pepe. Sabiendo que si a “n” veces la edad que tendrá dentro de 5 años, se le resta “n” veces la edad que tuvo hace 5 años, se obtiene “n” veces su edad.

SOLUCION:

Sea la edad: “x”, por enunciado: n(x + 5) – n(x – 5) = n(x)

nx + 5n – nx + 5n = nx 10n = nx

x = 10 ...Rpta.

8. Una persona nació en el año 19ab y en 1980 tuvo (a + b) años. ¿En qué año tendrá “ a2 _{+ b}2 ” _años?. SOLUCION: 1980 19abab 1900 + ab + ab = 1980 10a + b + a + b = 80 11a + 2b = 80 Por tanteo: a = 6 ; b = 7



Nació en 1967 y tendrá: 62 ₊₇2 _{= 85 años en.} 1967 + 85 = 2052 ...Rpta.

9. ¿Cuántos años tiene Iván sabiendo que la raíz cuadrada de la edad que tenía hace 3 años más la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 6 años suman 9 años? SOLUCION: x : Edad de Iván 9 6 3    x x





2 2 _{9 3} ) 6 ( x   x 3 3 18 81 6      x x x 4 3 72 3 18     x x x = 19 ...Rpta. PROBLEMAS PROPUESTOS

Año de Nac. + Edad actual = Año actual

1. Si sumamos la edad que tenía Sandra hace 8 años, la que tiene y la que tendrá dentro de 7 años obtendremos 38 años. ¿Qué edad tiene Sandra?

a)12 b)13 c)14 d)15 e)16

2. La suma del triple de la edad que tuve hace 9 años y el doble de la que tuve hace 5 años es igual a la que tendré dento de 15 años. ¿Qué edad tengo?

a)15 b)14 c) 13 d)12 e)17

3. Cuando tenga el triple de la edad que tendré dentro de 3 años, mi edad será el quíntuplo de la edad que tenía hace 3 años. ¿Cuál es mi edad actual?

a)10 b)11 c)12 d)9 e)14

4. Las edades de dos personas están en la relación de 3 a 5. Si uno es 20 años mayor. Si uno es 20 años mayor que el otro, determinar la relación en que estarán sus edades dentro de 5 años

a)5/7 b)11/5 c)7/5 d )7/11 e)3/11

5. Hace 4 años la edad de un padre era el triple de la de su hijo, pero dentro de 5 años, será solamente el doble. ¿Cuál es la suma de sus edades actuales?

a)36 b)40 c)44 d)38 e)52

6. Hace 12 años las edades de 2 hermanos estaban en la relación de 4 a 3·; actualmente sus edades suman 59 años. Dentro de cuántos años sus edades estarán en la relación de 8 es a 7?

a)10 b) 8 c)12 d)9 e)7

7. Tú tienes 19 años, pero cuando tú tengas la edad que yo tengo la suma de nuestras edades será 68 años. ¿Qué edad tengo?

a) 29 b)33 c)24 d)36 e)27

8. Las edades actuales de dos hermanos se encuentran en la relación de 5 a 4, pero hace 7 años dicha relación era de 4 a 3. ¿Cuántos años suman sus edades actuales?

a)54 b)72 c)66 d) 63 e)45

9. Le preguntaron la edad a Mariela y ella responde: “Mi edad, más el doble de ella, más el triple de ella y así sucesivamente hasta tantas veces mi edad, suman en total 4200”. ¿Qué edad tenía Mariela hace 2 años?

a)18. b)20 c)22 d)24 e)26

10. La edad de un padre y sus dos hijos son: 34, 10 y 6 años. Hace cierto tiempo el producto de las edades de sus hijos era igual a la edad de su padre. Hallar la suma de las edades en este tiempo.

11. Una persona tuvo en 1995, tanto años como el producto de las 2 últimas cidras del año de su nacimiento. ¿Qué edad tendrá en el año 2014?

a)35 b)39 c)42 d)45 .e)49

.

12. Mariela le dice a Ana: La suma de nuestras edades es 46 años y tu edad es el triple de la edad que tenías cuando yo tenía el triple de la edad que tuviste cuando yo nací. ¿Qué edad tiene Ana?

a)21 b) 24 c)26 d)18 e)48

12. Nuestras edades suman 47 años, sin embargo cuando tenías 15 años yo tenía la edad que tendrás dentro de 2 años. ¿Qué edad tienes?

a)30 b) 20 c)10 d)15 e)18

14. Determinar la edad que cumplirá una persona en el año 2014, sabiendo que en 1996 su edad era igual a la suma de las cifras de su año de nacimiento.

a)40 b)42 c)45 d)49 e)38

15. Las edades de los padres de Carlos son entre sí como 8 es a 7. Cuando su madre tenga la edad que tiene su padre éste tendrá el doble de la edad que tenía su madre hace 20 años. ¿Cuál es la suma de las edades de sus padres, si el padre de Carlos es mayor que su madre?

a)90 b)100 c)86 d)102 e) 120

16. La edad que tendré dentro de “2m” años es a lo que tenía hace “m” años como 8 es a 5. ¿Qué edad tendré dentro de “3m” años?. Si mi edad actual es 60 años:

a)105 b)75 c)120 d)100 e) 90

17. Fiorella le dice a Pamela: “Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes; pero cuando tu tengas la edad que yo tengo la suma de nuestras edades será 81 años. Hallar la edad de Pamela.

a)21 b)23 c)25 d) 27 e)29

18. Yo tengo el doble de tu edad, pero él tiene el triple de la mía. Si dentro de 6 años tu edad sumada a la mía es 18 años menos que la edad de él. ¿Qué edad tengo?

a)12 b)14 c)18 d)24 e) 16

19. Hace 5 años la edad de un padre fue 4 veces la de su hijo y dentro de 5 años será solamente el doble. ¿Qué edad tendrá el padre cuando su hijo tenga los años que tuvo el padre cuando nació el hijo?

a)29 b) 30 c)35 d)40 e)45 20. Tú tiene 24 años, pero cuando tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras

edades será 60 años. ¿Hace cuántos años tenía yo los 2/3 partes de los años que tendré dentro de 22 años?

21. Norma le dice a Paco: Tú tienes el triple de la edad que yo tenía cuando tú tenías la edad que tienes, la suma de nuestras edades será 84 años. ¿Cuántos años tiene Norma?

a)20 b)23 c) 24 d)17 e) a)20

22. Hace 4 años, la edad de un hijo se diferenciaba de la edad de su padre en el triple de su edad, y de la edad de su hermano menor en la mitad de su edad. Si dentro de 8 años el menor tendrá la edad que tiene su hermano mayor. Calcule la edad que tiene el hermano mayor.

a)24 b)22 c) 20 d)18 e)16

23. Carmen le pregunta a Susy sobre los años que tiene, entonces Susy le responde: “Tengo el doble de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tienes”. ¿Cuál es la edad actual de Susy, sabiendo ademñas, que dentro de 6 años sus edades sumaran 68 años?

a) 32 b)24 c)28 d)36 e)30

24. El cuádruplo de la edad que tenía hace 3 años, restado del triple de la edad que tendre dentro de 4 años resulta la edad que tengo. ¿Cuántos años tendré dentro de 14 años?

a)24 b)25 c) 26 d)27 e)30

25. La edad de un padre es de 42 años y la de sus hijos es 4; 8y 10 años. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será la suma de las edades de los hijos?

a)8 b)9 c) 10 d)12 e)7

26. Dentro de 10 años, la edad de un pafre será el doble de la de su hijo. ¿Cuál es la edad actual del hijo, si hace 2 años, la edad del padre era el triple de la de su hijo?

a)17 b)15 c)16 d)13 e) 14

27. Juan nació “x” años antes que Luis. Hace “n” años sus edades eran como 3 es a 2 y dentro de “2n” años serán como 5 a 4. ¿Cuál es la relación actual entre sus edades?

a)11/7 b)9/8 c)8/11 d) 11/8 e)9/7

28. La edad actual de Pedro es igual a la mitad de la edad actual de Luis. Hace 12 años la edad de Pedro era la cuarta parte de la edad de Luis. ¿Hace cuántos años la edad de Pedro era la tercera parte de la edad de Luis?

a)7 b) 9 c)6 d)8 e)12

PORCENTAJES

1. DEFINICION: Se llama porcentaje o tanto por ciento a una determinada

cantidad con relación a 100 unidades. En general:  50% = 100 50  30% de 70 = 70 100 30 x  b a b a . 100 %

Los problemas fundamentales de tanto por ciento pueden reducirse a la siguiente expresión. Ejemplo:Hallar el 25% de 400 100 400 100 25 _ x

1.1RELACION PARTE – TODO

Para expresar que tanto por ciento representa una cantidad (Parte) respecto de otra (Todo).

Ejemplo:

¿Qué tanto por ciento de 0,2 es 0,04? 200 % 100 2 , 0 04 , 0  x

Para los descuentos sucesivos del a% y del b%, pueden ser reemplazados por un solo descuento que equivale a los dos anteriores, viene a ser el descuento único equivalente (Du).

A% = P% x N = R

%

= % 100 / / / / / / / / _x todo de hace que lo parte de hace que lo

Para dos aumentos sucesivos del a% y del b% el aumento único (Au) que representa a estos dos aumentos es:

Ejemplo: A qué aumento único equivale los aumentos sucesivos del 10% y 20%? Au = 32% 100 20 10 20 10 _    _{ } x

Para más de dos descuentos sucesivos se aplica la siguiente fórmula:

Para más de dos aumentos sucesivos se aplica la siguiente fórmula:

Ejemplo:Dos aumentos sucesivos del 20% y 30% equivalen a un aumento

único de : % 20 % 30 2 1   A A n = 2 Au =







100

%

100

...

20

100

30

100

1 2 2 1













_

 Au = + 56%

Nota: El signo (+) nos indica el aumento por lo que los aumentos sucesivos del 30% y

20% equivalen a un aumento único del 56%.

APLICACIONES COMERCIALES Du =

%

100



_









_

_



a

b

ab

Au

Du =







₁₀₀

_%

100

...

100

100

1 2 1













_

 n

D

D

Au =







100

%

100

...

100

100

1 2 1













_

 n

A

A

 ELEMENTOS DE UNA VENTA: 1. PV : Precio de Venta PC : Precio de costo G : Ganancia 2. P : Pérdida 3. Pf : Precio fijado D : Descuento 4. PL : Precio de Lista

PROBLEMAS RESUELTOS

1. El 60% del número de hombres es igual al 40% del número de mujeres ¿Qué tanto por ciento del total representa el número de mujeres?

Solución: 60% (Nº Hombres) = 40% (Nº de mujeres) PV = PC + G PV = PC - P Pf = PV + D PL = PC + D

3 2 º º   Mujeres N Hombres N Total = 5 El número de mujeres representa el:

% 60 % 100 5 3  x Total …Rpta.

2. Si el precio de un par de zapatos luego de habérsele hecho dos descuentos sucesivos del 10% y 30% es de 63 soles. ¿Cuál fue el precio que tenía antes de dicho descuento?

Solución:

Se halla el descuento total o descuento único.









% 37 % 100 ) 30 ( 10 30 10 % 100 2 1 2 1      _{ }      _{ }  Du Du xD D D D Du Luego: 63 = P – 37%(P) 63 = 100%P – 37%(P) 63 = 63%P 63 = P 100 63 P = 100 soles …..Rpta.

3. ¿Qué precio debe fijarse a un artículo que costó $800, sabiendo que se haceuna rebaja del 20% todavía se gana el 30%?

Solución:

Se deduce que al final de la transacción gañó 30%(800) = 240 Es decir vendió: 800 + 240 = 1040 descuento inicial p precio Nuevo.  . 

x = 1040 + 20%(x) 80%(x) = 1040 1040 100 80  x x = 1300 …..Rpta.

4. Un vendedor vende dos autos a S/.6000 cada uno, ganando en el primero el 20% y en el segundo pierde el 20% del precio de compra. ¿Gana o pierde y cuánto?

Solución:

1er. Auto gana:

S/.6000______120% x _____ 100% x = 5000 soles. Entonces ganó 1000 soles. 2do. Auto pierde:

S/.6000______80%

x _____ 100% x = 7 500 soles

Entonces pierde 1500 soles.

Conclusión: Pierde S/.500 …..Rpta.

5. Si la base de un triángulo aumenta en un 30% y su altura en 50%. En qué porcentaje aumenta el área?

Solución: 2 BxH A Nueva base B1 = 130%B Nueva altura H1 = 150%H

Nueva A1 = 2 % 150 % 130 Bx H A1 = 2 100 150 100 130 H Bx A1 = 2 100 195 BxH A1 = 195%       2 BxH A1 = 195% A

La Nueva área se incrementará en: 195%A – A = 95% ….. Rpta.

6. Se vende un artefacto en $.600 ganando el 20%. ¿Cuál era el precio del costo?

Solución:

Pventa = Pcosto + Ganancia 600 = Pc + 20%Pc 600 = 120%Pc 600 = Pc 100 120 Pc = $.500 …. Rpta.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. El 30% del 40% del 60% de la mitad de un número es equivalente al 180% del 50% de los 2/5 de 200. El número es:

a)1800 b) 2000 c)2400 d)1720 e)2100

2. Si el (x-1)% del 40% del 50% del 0,5% del quíntuplo de 4000 es 4. Hallar “x”

a )21 b)18 c)12 d)20 e)15

3. De qué número es 128 el 36% menos?

a)120 b)180 c)200 d)400 e)150

4. El 40% del 50% de “x” es el 30% de “y”. ¿Qué porcentaje de (2x+ 7y) es (x+y)?

a)25% b)12,5% c)20% d)10% e)22,5%

5. ¿Qué porcentaje de un número que tienen por 20% al 40% de 60 es el 72% de otro número que tiene por 40% al 60% de 20?

a)20 b) 18% c)12% d)30% e)42%

6. Calcular el 30% del 20% del 60% de una cantidad cuyo 36% es equivalente al 50% del 72% de 25000.

a)1500 b)450 c)900 d)1800 e)750 7. Si en un aula de 80 alumnos el 40% son mujeres ¿Cuántos son varones?

a)45 b)46 c)32 d)47 e)48

8. De un lote de 450 chompas, 180 son amarillas y las restantes son blancas. ¿Qué porcentaje de las chompas son blancas?

a)50% b) 60% c)36% d)70% e)54%

9. El 30% de los alumnos de un colegio son mujeres. Si son 203 varones, ¿Cuántos alumnos son en total?

a)280 b)300 c) 290 d)270 e)284

10. En una reunión, el 70% del número de mujeres es igual al 50% del número de varones. ¿Qué porcentaje del total son mujeres?

a)36,2% b)28,1% c)41,6% d)39,2 e)40%

11. En cierto pueblo se ha estimado que de los 7200 niños que nacieron cierto año, murieron por desnutrición 1900 niños antes de cumplir los 3 años; de los sobrevivientes el 30% asistió a la escuela a partir de los 6 años, mientras que el resto no lo pudo hacer sino hasta los 9 años. ¿Cuántos fueron estos últimos? a)3720 b)3325 c)3580 d) 3710 e)3570

12. En un aula el 20% de las mujeres es igual al 30% de los hombres. ¿Qué porcentaje son hombres?

a) 20% b) 40% c) 50% d) 60% e) 70%

13. José hace un trabajo en 12 días; Luis es un 50% más eficiente que José. El número de días que Luis emplea para hacer el mismo trabajo es:

a)7 b) 8 c)5 d)6 e)4 14. En una reunión el 20% de los hombres y el 25% de las mujeres son peruanos: Si el

número de mujeres representa el 40% del total de personas. ¿Qué tanto por ciento de las personas presentes en dicha reunión no son peruanos?

a) 78% b)88% c)22% d)68% e)12%

15. El descuento único equivalente a 2 descuentos sucesivos del 20% más el 30% es:

a)40% b)42% c) 44% d)36% e)30%

16. El aumento único equivalente a dos aumentos sucesivos del 15% más el 20% es:

a)38%. b)30% c)42% d)36% e)44%

17. Al comprar un mueble que cuesta S/.1500 soles se hacen dos descuentos sucesivos del 10% más el 20%. Si con el monto del descuento pagamos 170 soles para transportar el mueble ¿Cuánto queda?

18. El sueldo de 800 soles mensuales que tiene Ronald sufre dos aumentos sucesivos del 16% y 25%. ¿A cuánto ascendió su sueldo?

a)S/1200 b)S/1240 c)S/1300 d)S/ 1160 e)S/1120

19. Se vendió un artículo en 600 soles ganando el 20% del costo. ¿Cuánto se ganó? a)S/80 b)S/110 c) S/.120 d) S/100 e)S/90 20. El precio de un televisor sube en 30%, luego en 10% sobre el nuevo precio. Si por

el televisor se pagó 2860 soles. ¿Cuál era el precio inicial?

a)1800 b)1600 c)1750 d) 2000 e)2100

21. Tres aumentos sucesivos del 40%, 30% y 50% equivalen a uno del:

a) 160% b) 156% c) 173% d) 137% e) 120%

22. En una reunión el 20% de los hombres y el 25% de las mujeres son peruanos: Si el número de mujeres representa el 40% del total de personas. ¿Qué tanto por ciento de las personas presentes en dicha reunión no son peruanos?

a) 78% b)88% c)22% d)68% e)12%

23.Del total de conferencistas, el 60% son mujeres: De ellas el 30% disertan por primera vez; mientras que de los varones, el 50% lo hace por primera vez. El porcentaje de los conferencistas que disertan por primera vez es:

a)28% b) 38% c)16% d)15% e)42% 24. En un salón de clases el 70% son hombres. Si faltan el 25% de las mujeres y sólo

asisten 18 mujeres. ¿Cuál es el total de alumnos del salón?

a)90 b)75 c) 80 d)150 e)120

25. Se vende un artículo en 680 soles perdiendo el 15% del costo. ¿A cómo se debe vender para ganar el 9%?

a)724 b)936 c)827 d) 872 e)836

26. En una fiesta se observó que el 60% de los hombres estaban bailando y el 20% de las mujeres no bailaban; si en total habían 350 personas. ¿Cuántas personas estaban bailando?

27..Una tela al lavarse se encoje el 10% en el ancho y el 20% en el largo. Si se sabe que la tela tiene 2 metros de ancho. ¿Qué longitud debe comprarse si se necesitan 36 metros cuadrados de tela después de lavada?

a)28 b)34 c) 25 d)50 e)75 28.En una compañía salen de paseo el 30% de los hombres con el 20% de las

mujeres, si los hombres representan el 40% del total de trabajadores de la empresa. ¿Qué porcentaje de empleados de dicha empresa salió de paseo? a)40% b)50% c)28% d) 24% e)30%

OPERADORES MATEMATICOS

.1 OPERACIONES MATEMATICAS:

Es aquel procedimiento que transforma una o más cantidades en otra cantidad llamada resultado, bajo ciertas reglas y/o condiciones convenidas. Toda operación matemática tiene un símbolo que la representa llamado OPERADOR MATEMATICO.

2 OPERADOR MATEMÁTICO:

Son símbolos arbitrarios con los cuales se van a realizar operaciones matemáticas, sujetas a una estructura o ley de formación.

Operación matemática Operador matemático Adición Sustracción Multiplicación División Radicación Valor absoluto Sumatoria + - x ÷

TEMA 03:

o Los símbolos que se indican son la base para crear nuevas operaciones de diferentes reglas o leyes de operar.

Otros tipos de Operadores:

Operador asterisco = * Operador porcentaje = % Operador rectángulo = Operador beta = Operador integral =

Existen dos formas de plantear la definición de operaciones matemáticas arbitrarias y son:

 MEDIANTE FORMULAS:

A. Con definición explícita.- Son aquellas en las que solamente hay que

reconocer los elementos, reemplazar y operar.

Ejemplo: 1. Si m @ n = Calcule: S = (2 @ 1) + (2 @ 3) Solución: m @ n = 2 @ 1 = = 8 2 @ 3 = 3(3) + 1 = 14 Luego. S = 8 + 14 = 22 … Rpta. 2. Si = 7x + 3 = 7(5) + 3 = 38…Rpta.

B. Con definición Implícita.- Son aquellas en las que antes de reemplazar y

operar, hay que darle la forma de la definición a lo que nos piden para poder reconocer los elementos a reemplazar. También se puede hacer cambio de variable. Ëjemplo: 1. Si Hallar 128 243 Solución: x 5

Dando la forma de la regla de definición

128 243 = = 5 …Rpta.

Donde: x = 4; y = 3

2. Si : = 4x + 8 Hallar

Solución:

Dando la forma de la definición

= = 4(4) + 8 = 24 ….Rpta.

3. Si = x(x + 2) Determinar

Solución:

Si x – 2 = a ⟹ = a(a + 2) Luego por artificio:

= (x – 1)(x -1 +2) =

Entonces:

= ( = ….Rpta.

 MEDIANTE TABLAS DE DOBLE ENTRADA:

2.3 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES MATEMÁTICAS:

 Elemento Neutro o elemento identidad (e).- Es un elemento único para la

operación dada, que no altera al elemento que se elija. Es decir, es un valor único para toda la operación. Se debe cumplir que:

A e = A ó e A = A

Es decir, para cualquier elemento que uno elija, debe ser el mismo elemento neutro. m + 5 9 9 4+ 5 X -2 X -1 a X - X - 1 Se opera así: ® b aR Entonces: a b = R

Ejemplo: Hallar el elemento neutro de la operación “ sabiendo que: a b = a + b – 3 Solución: Aplicamos el principio de A e = A A + e – 3 = A ⟹e = 3 ….Rpta

 Elemento inverso ( ).- Es un elemento particular para cada elemento. Se

debe cumplir que:

siendo“e” un elemento neutro.

Se deduce que requiere conocerse el elemento neutro para poder hallar el elemento inverso.

Ejemplo: Hallar el elemento inverso del 4 de operación “ , sabiendo que: a b = a + b – 5

Soluciòn:

Hallamos el elemento neutro, aplicamos el principio de A N = A a + e – 5 = a ⟹ e = 5

Hallamos el elemento inverso al 4, para esto aplicamos: a = e ⟹ 4 = 5

Reemplazamos en la operación: 4 + – 5 = 5 ⟹ … Rpta.

Ejemplo: Si a b = a + b + 2 Hallar P = (3 Siendo elemento inverso de “a”

Solución: Como: a b = a + b + 2  Se sabe: a e = a a + e + 2 = a ⟹ e = -2  Se sabe: a = e a +2 = -2 = -4 –a ⟹ = -4 –(2) = -6 = -4 – (3) = -7 Piden: P = (

P = (3 – 6 + 2) -7 P = (-1) (-7) P = (-1) + (-7)+2 = P = -6…Rpta.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Si : Calcular S = 5 * 32 a)68 b)60 c)70 d)72 e) 71 2. Si = 2x + 3 X

a)19 b)11 c)7 d)23 e)31 3. Se define : 3_√a

;

a)1 b)2 c) 5/2 d)3 e)18/5 4.Se define en N ▲(3

Halle el valor de: E = (128▲243)(2▲9) a) b) c)5 d)7 e)6 5. Si x ♦ y = x – y + 2(y ♦ x) Hallar: 12 ♦ 3 a)2b) 3 c)4d)6e)9 6. Se define: a = Calcule: E = a)-12 b)10 c)6 d)-4 e)-6 7. Si 3√a b2 _{= a + b Calcular 3 4} a)7 b)21 c)29 d)31 e)43 8. Si a)6 b) 7 c)8 d)9 e)10 9. Se define: a#b = Calcular R = (9 # 9) (2 # 5) a)8 b)2 c)11d)7 e)52 10. Si : = 2m + 5 Hallar el valor de: E = +

a)20 b)23 c)22 d)24 e)25

11. Si = (a+1 ,a ,hallar “x”en:

x= a 5 5 3m - 1 1 4 x = 4x - 3 Calcular x, y Halla r Calcular

a) b) c) d) e)

Hallar el valor de “x”, si:

a)1 b) 2 c)3 d)4 e)5 13. Se sabe que: x 3 + 2 x 14. Si : Hallar a) b)6 c)3 d)5 e) +1 15. Siendo: a ® b = a3 _{+ 2a Calcular:} H = 3®(4®(5®…….(19®20))) a)32 b)36 c)34 d)33 e)35 16. Se define

:

a)4 b)5 c)8 d)6 e)10 17. Dado: m * n = 2n2 _{– 3m} Calcular B = a)3 b)5 c)7 d)6 e)12 18. Se define: a)3 b) 5 c)7 d)10 e)13 19. Definimos © según la tabla:

a)5033 b)5023 c)5035 d)5003 e)5053

20. Se define el siguiente operador como: 2m ▼ 3n = Hallar el valor de : E =(12▼(12▼…(12▼(12▼(12▼9)))…))) “n” paréntesis a)12 b)6 c) 9 d)144 e)48 21. Según :

Decir si es verdadero o falso :

 La ecuación: x % 4 = 4 tiene solución única.  (2%3) % (3 % (4 % 1)) = 4 a)VV b)FF c)VF d)FV e)N.D = = x(x+2) Calcular : 325 © 353

Halla :

Calcular 12. Si: ; X Hallar:

22. Definimos en R: m۞n = Además: a-1 _{: elemento inverso de}

a

Calcular S =

a) 1 b)2 c)4 d)8 e)5 23. Se define en R la operación:

a * b = a + b + 4/3

El inverso de 2 para dicha operación es de la forma a/b. entonces a b es igual a:

a)-2 b)60 c)-66 d)-77 e)-42

24. Si P M = N MN _=P

Calcular el valor de “x” en: 2x-1 _{y =a ; 2}x+1 _{y = 3a} a) 2 b)4 c)3 d)1 e)Cero 25. Se define en R: a©b = a+ b – 6 Calcular M = (3-1 _{+ 2}-1 ₎ a)12 b)15 c)19 d)24 e)18 26. Si definimos el operador: a * b =

entonces la suma de las raíces de la ecuación (4 * 2)*12 = x2 _{- x}

a)-4 b)0 c)-1 d)4 e)1 27. Si :

Halle el mayor número que satisface la ecuación :

a)-1 b)0 c)1 d)3 e)2 28. Si :

Calcular:

a)0 b)2 c)1 d)Absurdo e)N.A

29. Si : ; m * n

Determinar el valor de “x” en: (3 * x) * (2 * 0) = (3 * 3) * 0 a)1 b) 2 c)3 d)0 e)4 31. Se define: Además: 3 ⊡1 = 2 ; 7⊡4 = 81 9 ⊡ 5 = 1024 Calcule: M = ((2⊡5)+(8⊡9)-(5@6))@100 a)101 b)100 c)95 d)97 e)90 32. Se define

:

= n – n + n – n + n - … = a) 2 b)3 c)5 d)7 e)9 y

Calcular 3 - 2 a) 16 b)14 c)12 d)10 e)20 33. Se define

:

Calcular : a)37 b)81 c)9 d)18 e)1/3 34. Se define:

RAZONAMIENTO INDUCTIVO – DEDUCTIVO

4.1 RAZONAMIENTO INDUCTIVO:Es el tipo de razonamiento que en base a

experiencias sencillas nos permite hacer conclusiones generales. Es decir mediante el análisis de situaciones sencillas con las mismas características del problema original, llegamos a conclusiones con amplia posibilidad de ocurrencia.

Ejemplos:

1. Cuál es el valor de:

M = (111…112 + 222…244)2_{. Dar como respuesta la suma de cifras del}

resultado.

100 cifras 100 cifras

Solución

Analizando tres casos sencillos:

(12 + 24)2 _{= 36}2 _{= 1296 = 18 = 9(2)}

(112+224)2 _{= 336}2 _{=11289 ⟹ = 27 = 9(3)}

(1112+2224)2 _{= 3336 = 11128896 ⟹ = 36 = 9(4)}

En el problema: Suma de cifras = 9(100) = 900 …Rpta Caso 1 Caso 1 Caso 2 Caso 2 Caso 3 Caso 3 Caso Gener al Caso Gener al Casos inducir Caso 1 Caso 1 30. En A = se define: Calcular M = (9#8#6)#(5#2#8)#3

TEMA

O4 :

2. ¿Cuántos puntos de contacto hay en la siguiente gráfica de circunferencias?

d

3. Determinar el resultado de: 5-5+5-5+5-5+5-5+5-5+5-5+5-5+5 Resolución: Observar: 1 “cinco” : 5 = 5 2 “cincos” : 5 – 5 = 0 3 “cincos” : 5 – 5 + 5 = 5

3= 3(1) = 3 x (

9 = 3(3) = 3 x (

18 = 3(6) = 3 x (

Solución:

Vamos a proceder a contar, aplicando el método inductivo. Total de puntos de contacto

Total de puntos de contacto

=

3 Rpta

.

De acuerdo a lo observado en los 3 casos particulares, podemos concluir que:

4 “cincos” : 5 – 5 + 5 – 5 = 0

Conclusión; Cuando es un número par de “cincos” el resultado es cero (0) y cuando es un número impar “cincos” el resultado es cinco (5).

Luego:

Rpta.

15 cincos

4. Indicar la suma de las cifras del resultado al efectuar la expresión siguiente

Resolución :

CASOS PARTICULARES SUMAS DE CIFRAS

Luego nos piden efectuar : 9 x 100 = 900 Rpta. “ E “

4.2 RAZONAMIENTO DEDUCTIVO: Es aquel tipo de razonamiento que va de lo

general a lo particular, se parte de un conocimiento general cuya verdad ya ha sido demostrada y se aplica a un caso particular.

EJEMPLO:

1.

Calcular “A” A = 100002 - 99992 Solución : Recordando: Caso 2 Caso 2 Caso 1 Caso 1 Caso 3 Caso 3 Caso General Caso General Casos particulares

a

2

_{– b}

2

_{= (a + b)(a}

a)8000 b)100 c)600 d)9000 e)900

9 = 9 x 1 18 = 9 x 2 27 = 9 x 3

P = 100002 _{– 9999}2 ₌ P = 19 999 …Rpta

2. Calcular “x”

Solución: X + 1 = 3 X = 2 …Rpta

3.

Calcular: sabiendo que:

(a + b + c) = Resolución: (a + b + c).9 =

(a + b + c)2 _{= 9 = 3}2

a + b + c = 3

HABILIDAD OPERATIVA

:

Es la capacidad para desarrollar estrategias de cálculo mental, y es un ejercicio que estimula la concentración, agilidad mental y una lectura rápida de los signos y símbolos que intervienen en una operación matemática. Aplicaremos métodos que nos permitan ahorrar tiempo en los cálculos u operaciones tediosas. Otro punto que debemos tener en cuenta, es que aprenderemos las diferentes formas de cómo afrontar un ejercicio que aparentemente tiene una solución operativa, pero con un poco de habilidad en las operaciones se puede resolver de una forma más práctica y rápida.

CIFRAS TERMINALES:Siendo “N” un número natural, se cumple:

1. (…1)N _{= …1} 5129 _{= …1} 6. (…25)N _{= …25} 2. (…5)N _{= …5} 1357 _{= …5} 7. (…76) N _{= …76} 2765 _{= …76} 3. (…6)N_{= …6} 4635 _{= …6} 8. (…5)2N _{= …25} 358 _{= …25}

+

Rpta. Sumamos:

4. 5 x Impar =…5 5 x 3011 =... 5 9. 5 x par = …0 5x2016= …0 5. (…125)par _{=…625 10. (…125)}impar_=…125

EJERCICIOS PROPUESTOS

1 Hallar el total de palitos de fósforos

en:

a)2500 b)500 c)2550 d)2499 e)999

2 En el gráfico, ¿cuántos triángulos equiláteros simples se formarán, en total, al unir los centros de tres circunferencias vecinas inmediatas?

a)20 b)21 c)400 d)441 e)360

3 Hallar el valor de:

a)4 b)3 c)2

d)1 e)0

4 Calcule la suma de cifras del resultado de: a)1 b)10 c)100 d)90 e)900 5 Si: A =

Calcule la diferencia entre la suma de cifras del resultado de A y la suma de cifras del resultado de B. a)279 b)549 c)270 d)828 e)720

6 ¿Cuántos cerillos conforman la torre mostrada?

a)21 b)20 c)210 d)200 e)420

7 Hallar el valor de “x + y + z” en:

a)181 b)188 c)156 d)182 e)N.A.

8 Calcular la suma de cifras del resultado de:

a)450 b)630 c)350 d)700 e)2500

9. Calcular la suma de cifras de ;

a)33 b)20 c)50 d)45 e)16 10. Calcular la suma de la fila 50:

Fila 1 : 1 Fila 2 : 3 + 5 Fila 3 : 7 + 9 +11 a)125000 b)12500 c)25000 d)75000 e)250000 11. Calcular el valor de “E”

12. Calcular la suma de cifras de A

a)606 b)600 c)630 d)500 e)N.A 13. Hallar “E” : a)1 b)2000 c)1/999 d)1/2000 e)2

14. ¿Cuántos palitos de fósforo conforman la siguiente torre?

a)2450 b)1350 c)1225 d)4500 e)1325

15. ¿De cuántas formas diferentes se puede leer FORTUNATA

a)512 b)64 c)256

d)128 e)250

16.Calcular el valor de la fila 2010 Fila 1

Fila 2 Fila 3

a)1 b)2001 c)2008 d)2007 e)2010

17. Calcular las últimas cifras de: E= (1997_{- 11}97 _{– 97}11₎1998

a)76 b)65 c)25 d)12 e)15 18.¿En qué cifra termina el resultado

de:

20012003 _{+ 2005}2004_{+ 2006}2

a)7 b) 2 c)6 d)0 e)3 19. Halle la cifra terminal del desarrollo

de A: A=

a)3 b)2 c)1 d)9 e)6 20. En el arreglo mostrado ¿De

cuántas maneras se puede leer la palabra NUMERO?

a)32 b)48 c)63 d)64 e)127

21. En qué cifra termina A: A =

(990)222₊₍₁₁₁₎333₊₍₂₂₂₎333₊₍₄₄₄₎222_*(5 55)444

a)6 b)5 c)4 d)3 e)1

22.En el arreglo mostrado ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra INGENIO?

a)128 b)64 c)49 d)42 e)28

REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (DP):

Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales si varían en proporción directa. Es decir, si al multiplicar el valor de uno de ellos por un número, entonces el valor correspondiente de la otra magnitud también queda multiplicada por el mismo número.

Luego; las magnitudes directamente proporcionales:  Si aumenta una de ellas; aumenta la otra.  Si disminuye una de ellas; disminuye la otra.

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (IP):

Dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales cuando al multiplicar una de ellas por un número la otra resulta dividida y al dividir una de ellas la otra resulta multiplicad por el mismo número.

Luego, las magnitudes inversamente proporcionales:  Si aumenta una de ellas, disminuye la otra.  Si disminuye una de ellas, aumenta la otra.

RECUERDA:

1. Una magnitud puede ser directa o inversamente proporcional a otras magnitudes. Así:

- El precio de una pieza de tela es directamente proporcional a su calidad, longitud y ancho.

- El área de un rectángulo es directamente proporcional a su base y altura.

-La velocidad es directamente proporcional al espacio recorrido e inversamente proporcional al tiempo.

2. Las magnitudes directamente proporcionales van de más a más, o de menos a

menos.

3. Las magnitudes inversamente proporcionales van de más a menos o menos a

más

REGLA DE TRES

REGLA DE TRES.- Es un procedimiento aritmético que permite el cálculo del valor de

una cantidad, mediante una comparación de dos o más magnitudes que guardan entre sí, una relación de proporcionalidad.





















Simple

directa

inversa

Simple

Simple

Compuesta

tres

de

gla

Re

1. REGLA DE TRES SIMPLE :

En la regla de tres simple intervienen tres cantidades conocidas o datos y una desconocida o incógnita.

Regla de tres simple directa.- Sean M y N dos magnitudes directamente

proporcionales, con sus respectivos valores.

 Regla de tres simple inversa.- Sean M y N dos magnitudes inversamente

proporcionales, con sus respectivos valores.

a c . b x x ___ __________ c b ___ __________ a soles ) DP ( Kg : M(DP)N Magnitudes      X=

p

n

.

m

x

x

___

__________

p

n

___

__________

m

tiempo

)

IP

(

Velocidad

:

M

(

DP

)

N

Magnitudes











X =

Nota:

Obreros (DP) obra

Obreros (IP) horas/diarías

h/d (DP) obra

h/d (IP) días

obreros (IP) días

2. REGLA DE TRES COMPUESTA:

Es aquella en la que intervienen tres o más magnitudes, en las cuales solo una es desconocida.

* Para resolver problemas, aplicamos el método de: “Ley de signos”

 Comparamos cada una de las magnitudes con aquella que contiene la incógnita. Con el fin de saber si son directamente o inversamente proporcionales.

El valor de la incógnita es igual al producto de las cantidades que lleva el signo( +) dividido entre el producto de las cantidades que lleva el signo(-)

( ).( ).( )....( ) ) )....( ).( ).( (          x

 METODO DE LAS RAYAS-. Se tiene en cuenta:

Acción Circunstancia Efecto

Hombres Características, Trabajo realizado,

Rapidez, h/d con su respectiva

Raciones/día dificultad. Efecto a  b  c  d e  f  x  g



Si son inversamen te Arriba ( + ) Abajo

d f e g c b a x . . . . . 

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Una cuadrilla de 42 obreros cavan 140m de zanja en cierto tiempo. ¿Cuántos metros de zanja harán 60 en el mismo tiempo?

SOLUCION: (D.P) Obreros Zanja 42 140m 60 X x = x 200m 42 140 60  ...Rpta.

2. Si 25 carpinteros se comprometieron en hacer un tablado en 35 días. ¿Cuántos carpinteros de la misma capacidad deberán ser contratados si se quiere terminar el tablado en 7 días? SOLUCION: (I. P) Carpinteros días 25 35 ( 25 + x ) 7 (25 + x) = 100 7 35 25x _ .... Rpta.

3. Luis es el triple de rápido de José. Si juntos pueden hacer cierto trabajo en 9 días. ¿Cuánto tiempo le tomará a Luis hacerlo sólo?

SOLUCION:

Velocidad N° días Luis: v José 3v x Juntos 4v 9 x = días v v 12 3 9 . 4  ...Rpta.

4. A una fiesta asistieron 1022 personas se sabe que por cada 6 hombres, habían 8 mujeres. ¿Cuántos hombres asistieron a la fiesta?

SOLUCION: (D. P) Personas Hombres 14 _____ 6 1022 _____ x x = 438 14 6 1022  x ....Rpta.

5. Una persona ha recorrido 280km, en ocho días caminando 7 horas diarias. ¿Cuántos días tardará en recorrer 540km. andando 9 horas diarias?

SOLUCION: ( D ) ( I ) 280km. _____ 8días ____ 7hrs. 540km _____ x ____ 9hrs. x = 12 9 7 . 280 540 . 8  …. Rpta.

6. Si 20 operarios pueden producir 120 pares de zapatos en 18 días, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántos operarios pueden producir 160 zapatos en 24 días trabajando 5 horas diarias?

SOLUCION:

(D) (I) (I)

20 120 18 8 x 80 24 5 x = 6 5 8 . 24 18 . 120 80 . 20  .... Rpta.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Si 18 obreros cavan 240 metros de una zanja ¿Cuál será el avance diario, cuando se ausentan 9 obreros?

a)100m b)130m c)120m d)150m

e)110m

2. 24 obreros pueden llenar un techo en 15 hora, ¿Qué tiempo tardarían 30 obreros, en llenar el mismo techo?

a)12 b)14 c)10 d)8 e)13

3. 40 obreros en 50 días, trabajando 8 horas diarias pueden construir 600 m de una carretera. ¿Cuántos días tardarán en construir 800m de carretera, con 50 obreros, 100% más eficientes, que los anteriores, en un terreno de triple dificultad, trabajando 2 horas más por día?

a)45 b)50 c)56 d)64 e)60

4. 35 obreros pueden terminar una obra en 27 días. Al cabo de 6 días de trabajo se les une un cierto número de obreros de otro grupo, de modo que en 15 días terminan la obra. ¿Cuántos obreros hay en el segundo grupo?

a)14 b)12 c)15 d)10 e)9

5. 36 obreros debieron terminar de construir un puente el 17 de noviembre, pero faltando 18 días, 12 de los obreros sufrieron un accidente y no puedieron continuar trabajando. ¿En qué fecha entregaron la obra, los obreros restantes? a)24 de noviembre b)23 de noviembre c)22 de noviembre d)25 de noviembre e)26 de noviembre

7. Al cabo de 27 días de trabajo,35 obreros que trabajaron 8 horas diarias; se percataron que falta terminar de la obra, los 4/7 de lo que ya está hecho y les falta solamente 12 días para entregar la obra. Vista la situación, contrataron de inmediato más obreros y trabajaron 1 hora más por día. ¿Cuántos obreros se contrataron?

8. Se contrataron 5 artesanos que tejen 12 chompas en 15 días. Se pretende tejer 60 chompas en 25 días. ¿Cuántos artesanos doblemente rápidos se deben contratar además de los ya contratados?

a)10 b)11 c)12 d)9 e)15

9. Un barco tiene víveres para 22 días si lleva 69 tripulantes, diga cuánto puede durar un viaje de 33 tripulantes.

a) 25 b) 30 c) 42 d) 46 e) 21

10. Un obrero pensó realizar una obra en 15 días pero tardó 6 días más por trabajar 2 horas menos cada día. ¿cuántas horas trabajó diariamente?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 11

11. Un caballo atado con una soga de 3 metros de largo demora 5 días en comer el pasto que está a su alcance. Si la soga fuera de 6 metros, ¿en cuántos días comería todo el pasto a su alcance?

a) 20 b) 30 c) 25 d) 10 e) 9

12. En una isla hay 15 náufragos que tienen alimentos para 17 días y luego de 5 días mueren 3. ¿Para cuántos días más de lo previsto tendrán alimentos?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

13. Un grupo de 8 alumnos resolvió una tarea de 15 problemas en 30 minutos. ¿Cuánto demorará otro grupo de 12 alumnos en resolver 18 problemas?.

a) 48 b) 60 c) 70 d) 65 e) 24

14. Un ingeniero puede construir 6 km de pista con 40 obreros en 50 días, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántos días tardaría este ingeniero en construir 8 km de pista, con 50 obreros doblemente eficientes que los anteriores, en un terreno de triple dificultad, trabajando 2 horas más por día?

a) 56 b) 67 c) 73 d) 64 e) 23

15. 40 hombres realizan los 3/5 de una obra en 15 días. ¿En cuántos días Harán toda la obra 10 obreros?

a) 80 b) 68 c) 90 d) 69 e) 100

16. 8. Seis monos comen seis plátanos en 6 minutos. ¿Cuántos plátanos comerán 40 monos en 18 minutos?

a) 120 b) 100 c) 110 d) 90 e) 140

17. 12 obreros trabajando a razón de 8 h. diarias realizan los 2/5 de una obra en 15 días; 8 obreros trabajando a razón de 6 h. diarias ¿En cuántos días terminarán la obra?

18. Se contrataron 5 artesanos que tejen 12 chompas en 15 días. ¿Cuántos artesanos doblemente rápidos se deben contratar además de los ya contratados?

a) 4 b) 8 c) 10 d) 5 e) 20

19. Ocho agricultores trabajando 10 h/d durante 5 días pueden arar un terreno cuadrado de 400 m. de lado, ¿Cuántos agricultores de doble rendimiento será necesario para que en 6 días de 8 h/d puedan arar otro terreno de 480 m. por lado?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

20. 60 obreros pueden cavar una zanja de 800 metros en 50 días. ¿Cuántos días necesitaran 100 obreros para cavar una zanja de 1200 metros cuya dureza es 3 veces la del terreno anterior?

a)48 b)160 c)145 d)130 e) 135

21. Con 8 obreros se puede hacer una obra en 20 días. ¿En cuántos días 10 obreros cuya rapidez es 5 veces la de los anteriores harán una obra 9 veces más difícil que la primera?

a)30 b)32 c)28 d)36 e)40

22. 40 kg. de miel contiene 24 kg. de azúcar ¿ Cuántos kg. de H2O hay que agregar

a esta miel para que 5 kg. de mezcla contengan 2 kg. de azúcar?

a)20. b) 30 c) 25 d) 15 e) 10

23. Diez peones se demoran 15 días trabajando 7 horas diarias para sembrar 50 m2 _de

un terreno. ¿Cuántos días de 8 horas diarias se demorarán en sembrar 80m2 _de

un terreno 15 peones doblemente hábiles?

a)15 b)14 c) 7 d)10 e)8

24. Con 8 obreros se puede hacer una obra en 20 días. ¿En cuántos días 10 obreros cuya rapidez es 5 veces la de los anteriores harán una obra 9 veces más difícil que la primera?

a)30 b)32 c)28 d)36 e)40

25. En un cuartel se calculó que los alimentos alcanzaban para 65 días, pero al término de 20 días se retiraron 200 soldados por lo que los alimentos duraron para 15 días más de lo calculado. ¿Cuántos eran los soldados inicialmente?

a) 400 b) 600 c) 800 d) 550 e) 480

26. 8 obreros cavan 3 fosas en 10 horas, si ahora fuesen el triple de hombres y trabajaran cavando 90 fosas. ¿Cuántas horas tardarían?

27. Una compañía constructora emplea 20 obreros que tardan en construir una pared de 400m³ en 2 días. ¿Cuánto tardarán en construir la quinta parte de la pared con 8 obreros?

a) 1 día b) 1 ½ día c) ½ día d) 20 horas e) N.A.

CRIPTOARITMETICA

1.1 CRIPTO ARITMETICA: Es el proceso de encontrar las cifras que están

representadas por letras o por otros símbolos; los cuales intervienen en la formación de números, en las operaciones aritmética y otros. Teniendo en cuenta las propiedades de las mismas, más una adecuada dosis de ingenio y razonamiento.

1.2 CARACTERISTICAS:

 A cierta letra le corresponde una y solamente una cifra o viceversa.  A letras iguales le corresponden cifras iguales.

 Si las cantidades vienen expresadas por otros símbolos que no son letras, cada símbolo no equivale necesariamente a cifras diferentes a no ser que se indique en el problema.

Observación: La letra “O” no representa necesariamente el cero; a no ser que

sea dado en el problema.

1.3 CASOS PRINCIPALES

A. Criptoaritmética con adición Ejemplo

Una chica al recibir un beso de su enamorado, suspirando le dijo: M A S +

M A S A S I

Hallar: A2 _{+ S}2 _{+ I}2 _{, si ASI, es lo máximo posible}

Solución

M A S + M A S A S I

Como ASÍ es máximo, se toma los segundos valores Por lo tanto: M A S + 2 4 9 + M A S2 4 9 A S I 4 9 8 donde A = 4; S = 9; I = 8 Hallar: A2 _{+ S}2 _{+ I}2 _{= 4}2 _{+ 9}2 _{+ 8}2 _{= 161 Rpta.}

TEMA 06 :

B. Criptoaritmética con sustracción

Ejemplo

Hallar “ d + e + c “ si:

Solución

Escribiendo verticalmente tenemos:

Luego: 10 + c – d = 5 ⟹ c = 3

Como: c – e = 1 ⟹ e = 2 Entonces: d + e + c = 8 + 2 + 3 = 13 Rpta.

C. Criptoaritmética con multiplicación Ejemplo

Si : E x Calcular: T x

Solución

El producto: se puede escribir como:

x

29936+ 37420

Por lo tanto: = = 404136 Rpta.

Ejemplo

En la siguiente multiplicación, hallar la suma de las cifras del producto * * * x * 3 * 4 * Sea N = ; a Si

Solución

A cada fila de la multiplicación la designo con una letra * * * x

* 3 ⟹B ⟹ C * 4 * ⟹ D

⟹ E

Se observa que la primera cifra del resultado E es 5. Como se sabe dicha cifra ha bajado directamente del primer producto C, esto indica que la primera cifra de C vale 5. ¿De dónde sale este 5?, es el resultado de multiplicar la cifra 3 de B por la primera cifra de A es decir: 3 x (*) = ….5 y se deduce que * = 5

* * 5 x * 3 * 4 *

Completando cifras tenemos:

235 x 2 3 5 x * 3 4 3

⟹ * 4 * 9 4 0

Entonces la suma de cifras del producto: 1 + 0 + 1 + 0 + 5 = 7 Rpta.

D. Criptoaritmética con división Ejemplo

Hallar la suma de cifras del divisor en: ******* ** ** **8*** ** ** *** *** * Solución

Si observamos minuciosamente la distribución de los asteriscos encontraremos que la segunda cifra del cociente es cero, además que:

* x ** = *** _{Llegamos a la misma} situación que el problema

8 x ** = **

Entonces el divisor es igual a 12, y = 3 Rpta.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Hallar: abcbcacab

Si: a + b + c = 14

a) 2834 b) 1664 c) 1774 d) 1554 e) 3108

2. Reconstruir la siguiente suma:

MAS SAL

Y dar el valor de: ALLA MASSAL a) 1442 b) 1331 c) 1552 d) 1221 e) 1431

3. Si: PAZZAP847

Hallar P + A + Z

a) 12 b) 13 c) 14

d) 15 e) 16

4. Calcular M . N. P si se cumple que: 64 NNM 2 NP 5 N 7 P N 82 M    a) 30 b) 42 c) 48 d) 36 e) 35 5. Hallar: cab cba bca bac acb abc     Sabiendo que: a + b + c = 14 a) 1554 b) 1664 c) 1665 d) 1778 e) 3108 6. Si: (P + U + C)2 _{= 289}

Calcular: PUCUCPCPU

a) 867 b) 289 c) 1887

d) 1778 e) 1878

7. Calcular la suma de todos los asteriscos a)34 b)37 c)38 d)36 e)35 9. Si Hallar: U + P + T a) 11 b)7 c)5 d)13 e)9 10. Si:

Hallar la suma de las cifras de 2

a)27 b)24 c)23 d)22 e) 21 11. Si: ABCD x 999999 =...6876 Calcular: AB + CD a)50 b)55 c)37 d)99 e)72 12. Si se cumple: DCU DU CDU  Hallar: «D + C + U» A)9 B)8 C)16 D)17 E)7 13. Si: abc5 x d39140 Hallar: a + b + c + d A)24 B)25 C)26 D)28 E)11

14. Hallar las 3 últimas cifras de la suma: S = 7+77+777+7777+…+777…777 (40 sumandos) a)601 b)801 c)106 d) 610 e)810 15. Si sabemos que: 1PCCC 7 x LAPC  Calcular: L + A + P + C a)12 b)13 c)14 d)15 e)16 16. Si: abcd x 797...8239 Hallar: “a + b + d” A)17 B)19 C)21 D)23 E)25

17. Si: RASPAR ASSA Dar el valor de P

a)3 b)4 c)5 d)6 e)7 19. Si (a + b + c)2 _{= 289}

Calcular: 1aba2cbc3cba A)2120 B)2010 C)2220 D)2110 E)2420 18. Si: abc x a498 996 b x abc  abc x c2241 Hallar: abc x cba

A) 24008 B) 25648 C) 234558D) 222344 E) 23068 19. Si + + = Hallar U+P+T a)17 b)16 c)18 d)19 e)20 20.Si Calcular la

suma de las 4 últimas cifras del resultado de:

a)20 b) 18 c)13 d)15 e)11

21. Hallar la suma de cifras del resultado de efectuar: E = a)96 b)48 c)64 d)32 e)84 22. En la siguiente suma: Calcular a)6050 b)5070 c)7050 d)7750 e)7500 23. Sea: . Hallar: x2_+y2_+z2 a)44 b)31 c)14 d) 54 e)41 24.Sea: 19. 17

Hallar la suma de las tres últimas cifras de: 18.

a)124 b)224 c)324 d) 424 e)Absurdo

25. Si se cumple que: y

a)827 b)817 c)718 d)615 e)N.A 26. Si y Hallar a +b +c +d a)15 b)18 c)16 d)20 e)14 27. Si Calcular: A + M + O + R a)15 b)9 c)18 d)13 e)21 28. Si Halle R+O+S+A a)15 b)16 c)17 d)18 e)20 29. Las cifras A, M y P son diferentes Calcular A+M+P MAMA PAPA 17M7P a)19 b)22 c)21 d)18 e)20 30. Si calcular A+C+ 2B a) 15 b)12 c)18 d)20 e)17 31. Si Calcular la

suma de las cifras de:

a) 28 b)25 c)27 d)30 e)32 32. Calcular la suma de los asteriscos

del cociente * * 3 * 8 * * * * * * * * * - - 3 a)13 b) 15 c)18 d)17 e)14 33. Si Hallar el

producto de las cifras de

a) 324 b)234 c)318 d)423 e)364 34. Si se cumple que: Hallar (a+b)c a)36 b) 63 c)54 d)60 e)65 35. Si , el mayor

valor del producto a.b.c es: a)745 b)512 c)729 d) 576 e)648 36. Si y a + c = 12 Calcular : 2a + c a)65 b) 70 c)48 d)60 e)30 37. Si Hallar el valor de a)71362 b)68732 c)69362 d)72632 e) 70632 38. Si Hallar: + a)22 b)33 c) 66 d)77 e)99 39. Si se cumple que:

Hallar el valor de :

a)7897 b)7987 c)8789 d)8589 e)9787

40. Hallar la suma de cifras del resultado de efectuar: E = a)96 b)48 c)64 d)32 e)84 41. En la siguiente suma: Calcular a) 6050 b)5070 c)7050 d)7750 e)7500

SERIES Y SUMATORIAS

1. SERIE NUMERICA: Una serie numérica es la suma indicada de los términos de una sucesión numérica y al resultado de dicha suma se le llama valor de la serie. Serie 2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40

1.1SERIES NUMERICAS IMPORTANTES:

1. SERIE ARITMETICA: La serie aritmética es la adición indicada de los términos

de una sucesión aritmética. Dada la serie aritmética:

S = t1 + t2 + t3+ ….+ tn

+r +r La suma se obtiene así:

Nota: Sabemos que en una P.A con un número

impar de términos.

Ejemplo:

(1) Hallar el valor de S =

Solución:

Hallamos el último término (t60)

r = -4 tn = t1 + (n – 1) r S = tn = 42 + (60-1)-4 S = tn = -194 S = - 4560 Rpta.

S =

t

n

= t

1

+ (n – 1)

r

t1 = primer término tn = último término n = Nro. de términos r = razón

S =

TEMA 07 :

2. SERIE GEOMETRICA: Es la adición indicada de los términos de una sucesión o progresión geométrica, la serie geométrica puede ser infinita o finita según el número de términos que posea.

S = t

1

+ t

2

+ t

3

+ …..t

n

xq xq

Ejemplo:

(2) Calcular el valor de: S = 12 – 4 + 4/3 – 4/9 + ….

Solución:

r = -4/12 = -1/3 S =

S = = 9Rpta.

3. SERIES Y SUMAS NOTABLES:

 Suma de los primeros números naturales

 Suma de los primeros números impares

 Suma de cuadrados

 Suma de cubos

4. SERIE POLINOMIAL

Ejemplo: Hallar el valor de: S = Solución:

T

n

= t

1

.q

n-1

S =

Serie geométrica Infinita

S =

1+ 2+ 3+ 4+ …+n =

Serie geométrica Finita

S =

S = 4 + 14 + 30 + 52 + 80 + …. 10 16 22 28 6 6 6 S = 4 S = 4(15) + 10( )+ 6 S = 3140 SUMATORIAS Sea la serie

: S =t1 + t2 + t3 + …..tn

Si queremos representar la serie numérica en forma abreviada, usaremos la siguiente notación, en la cual el operador sumatoria.

S =t1 + t2 + t3 + …..tn =

Se lee: sumatoria de los términos de la forma

tk

, desde k = 1 hasta k = n

Ejemplo:

Expresar en términos de sumatoria S = 8 + 11 + 14 + 17 + ….+ 98

Solución : Hallamos tn y el de términos: 5,8 ,11 , 14 ,17 , …., 98 +3 +3 +3 +3tn = 3n + 5 términos: Luego: S = Propiedades:

SUMATORIAS NOTABLES1













EJERCICIOS RESUELTOS

1. Calcular “x + y” si: 1 + 3 + 5 + 7 + …+ x = 196

2 + 4 + 6 + 8 + …+ y = 420

Solución

Aplicando métodos prácticos:

= 196 = 420 = 196 x = 27 y = 40 Entonces: x + y = 27 + 40 = 67 2. Calcular R = 1 + 2 + 22 _{+ 2}3 ₊₂2001 Solución

Es una progresión geométrica finita t1 = 1; q = 2 ; n = 2002

S =

S = 1.

= 2

2002

_{– 1}

Solución

Para expresar la serie en términos de sumatoria debemos hallar tn

5; 9; 15; 23; … t n = n2 + n + 3 Luego: S = S = S = + S = 3140 4. Calcular E = Solución Desarrollando la sumatoria E = E = 19/4 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Calcular E = a)1 b)0,123 c)80 d)99 e) 100 2. Hallar S = a)2 b)1 c) 1/3 d)1/4 e)0 3. Calcular

S =

a)1/49 b) 7/36 c)1/2 d)1/3 e)13/37 4. Calcular restando

a)4260 b)5440 c) 2680 d)4440 e)8990 5. Lula y Ana leen una novela de Vargas Llosa; Lula lee 10 páginas diarias y Ana lee 1 página el 1er día, 2 el 2do día, 3 el 3er día y así sucesivamente. ¿Después de cuántos días coincidirán si empiezan al mismo tiempo?

a)10 b)20 c) 19 d)21 e)42 6. Calcular “x” 1 + 2 + 3 + …+ x =

a)35 b)36 c)37 d)38 e)111 7. Si Sn = 1 + 2 + 3 + ….. + n Calcular: S1 + S2 + S3 + …..+S20

a)1240 b) 1610 c)2000 d)400 e)210 8. Hallar la suma de las diez primeras filas del siguiente arreglo numérico

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 a)2530 b)100 c)1000 d) 3025 e)4238 9. Calcular E = a)15/32 b)15/16 c)15/64 d)1 e)12/25 10. Calcular “x” x + (x +1) + (x + 2)+ …+3x = 1640 a)25 b)24 c)23 d)20 e)18 11. Calcular la suma total del siguiente arreglo:

2 3 + 3 4 + 4 + 4 5 + 5 + 5 + 5 20+20+20+…+20 a)2650 b)2460 c) 2660 d)2760 e)2860 12. Calcular la suma de los 25 términos de la siguiente sucesión:

2; 6; 13; 23: 36; 52; ….

13. Fiorella debe leer un libro en un número determinado de días y se da cuenta que si lee 13 páginas cada día logrará su cometido, pero si lee una página el primer día, tres el segundo día, cinco el terco y así sucesivamente, le faltarán aún 12 páginas por leer. ¿Cuántas páginas tiene dicho libro?

a)144 b)142 c)165 d)156 e)124 14. Calcular a)8727 b)7912 c) 9512 d)9192 e)N.A 15. Hallar

S =

a)14681 b) 26481 c)18362 d)28540 e)25682 16. Calcular a)10 b)20 c)30 d) 40 e)80 17. Calcular el valor de la siguiente sumatoria

a)3840 b)4100 c) 3900 d)3910 e)3710 18. El valor de la sumatoria a)1 b)2-1 _{c) 3}-1 _{d)1/4 e)1/5} 19. Calcule E = a)10/9 b)19/4 c)4/5 d)17/6 e)24/19 20. Hallar el valor de : S = a)23/20 b)20/19 c) 19/20 d)21/20 e)N.A

PROBABILIDADES

El estudio de probabilidades nos proporciona una teoría matemática para que la probabilidad de ocurrencia de un evento o suceso en un experimento aleatorio (no determinístico) o que depende del azar.

8.1EXPERIMENTO

TEMA 08 :

Es una actividad o proceso mediante el cual se obtiene un resultado.

A. Experimento Determinístico

Es toda prueba o ensayo cuyos resultados pueden predecirse antes de su realización.

Ejemplo: Al extraer una bola de una urna que tiene 5 bolas rojas, será siempre roja.

B. Experimento No Determinístico o Aleatorio ( )

Es toda prueba o ensayo cuyos resultados no pueden predecirse antes de su realización, pero si consta de un conjunto de posibles resultados.

Ejemplo: Al lanzar un dado legal, no se puede predecir cuál de los 6 números aparecerá en la cara superior.

8.2 ESPACIO MUESTRAL ( )

Conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Ejemplo:* En : lanzar una moneda al aire = n( = 2

 En : Lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior.

n( = 2 = n( = 6

EVENTO O SUCESO

Es cualquier subconjunto del espacio muestral, se denota con letras mayúsculas.

A : Obtener un número par al lanzar un dado A = n(A) = 3

8.3TIPOS DE EVENTO

a). Evento seguro: Llamado también “universal”, porque siempre ocurre. A: Lanzar una moneda y obtener cara o sello.

b) Evento Imposible: Llamado también “vacío”, porque nunca ocurre. B : Al lanzar una moneda y obtener 2 caras.

B = =

Contrario (A’): Se considera cuando un evento ocurre y otro no, es decir “A’”

es el evento contrario de A.

A : Lanzar un dado y obtener un número par. Entonces:

A’ : Lanzar un dado y no obtener un número par.

d) Eventos Mutuamente excluyentes: Si la ocurrencia de uno de ellos, impide la ocurrencia de los demás (no pueden ocurrir juntos.

Ejemplo:

A : Lanzar un dado y obtener un número múltiplo de 2. A =

B : Lanzar un dado y obtener 1ó 3 ⟹ B =

e) Eventos Independientes:Cuando la ocurrencia de los demás. (Pueden ocurrir en forma conjunta).

Ejemplo:

A : Lanzar una moneda y obtener un número primo. A =

B : Lanzar un dado y obtener cara B =

8.4 DEFINICION DE PROBABILIDAD

Si “A” es un evento de un espacio muestral entonces la probabilidad de ocurrencia de “A” se denota P(A) y está dada por: