Tema 6. Sistemas muestreados y discretos
1. Introducción:
1.1 Estructura de un sistema de control por computador 1.2 Muestreo y reconstrucción de señales
2. La transformada Z
3. Descripción externa de sistemas D.L.I (Discretos Lineales e
Invariantes en el tiempo)
3.1 Función de transferencia pulsada
3.2 Función de transferencia de un sistema continuo muestreado con un ZOH 3.3 Diagramas de bloques
4. Respuesta temporal de sistemas muestreados
4.1 Calculo de la respuesta temporal4.2 Sistemas continuos y muestreados con comportamiento parecido 4.3 Estabilidad
4.3.1 Criterio de Jury
4.3.2 Transformación bilineal y criterio de Routh
4.4 Errores en estado estacionario
1.1 Estructura de un sistema de control por computador
• Realiza el muestreo y conversión a binario de la
señal de error continua
• Procesa la secuencia de señales de error y
genera la secuencia de señales de control a
aplicar
• Convierte la secuencia de señales de control
Instrumento de medidaMuestreador
Mantenedor ConversorA/D Microprocesador
Computador
Mantenedor y Conversor D/A Actuador y ProcesoReferencia Control Salida
{
(
)
}
)
(
t
e
t
ke
→
{
e
(
t
k)
} {
→
u
(
t
k)
}
{
}
1.2 Muestreo y reconstrucción de señales
• Muestreo: es la acción de obtener muestras
discretas de una señal continua
Señal analógica
Pulsos de muestreo
Señal muestreada
Señal muestreada
y mantenida
Muestreo. Problemas
• Error de redondeo, debida a la longitud de palabra
(resolución de la tarjeta de adquisición)
Tiempo de conversión LSB, error de redondeo Periodo de muestreo
• Tiempo de conversión finito
• Selección del periodo de muestreo
Muestreo. Filtrado
• El problema es que muchas señales no tienen un espectro en
frecuencia que se anule fuera de un ancho de banda determinado
• Antes de muestrear una señal conviene pasarla por un filtro continuo pasa bajo (filtro “antialiasing”) para eliminar las frecuencias superiores a π/T que distorsionarían la señal muestreada con el ordenador.
– La solución más habitual es introducir un filtro analógico antes de la señal a filtrar. – Un filtro típico es el de Bessel, siendo ωBel
ancho de banda.
Filtrado
6129 . 1 ) ω / s ( 2098 . 2 ) ω / s ( 6129 . 1 B 2 B + + y(t) t |Y(ω)|π/T ω
|Yf(ω)|π/T ω
yf(t) tSelección del periodo de muestreo T
|Y*(ω)|
ω0 π/T
* Criterio práctico: Escoger T de modo que corresponda a tomar entre 10 – 30 muestras en el tiempo de asentamiento
A partir del espectro en frecuencia de la señal a muestrear, para que no haya pérdida significativa de la información el teorema de Shannon indica que el periodo de muestreo ha de cumplir ω0< π/T.
Difícil de aplicar
T
t
y
Lazo abierto
Lazo cerrado Si se escoge T para un sistema de control, debe aplicarse la regla al tiempo de asentamiento esperado en lazo cerrado
• Reconstrucción: es la acción de obtener una señal
continua a partir de una señal muestreada (inversa
de la operación de muestreo).
{
f(kT)}
reconstruir→f(t)• En el caso de control es necesario convertir las
señales de control generadas por el ordenador en
una señal continua aplicable al proceso.
• Existen diversos tipos de reconstructores:
– Shannon
– Mantenedor de orden cero
– Mantenedores de orden superior
Reconstrucción de Shannon
• Problemas:
– No causal ⇒ no es útil para control por ordenador
– Formula compleja de utilizar (infinitos términos)
– Válida para muestreo periódico
Shannon
de
frecuencia
la
es
·
2
Donde
2
/
)
·
(
)
2
/
)
·
(
(
)
·
(
)
(
T
T
k
t
T
k
t
sen
T
k
f
t
f
s k k s sπ
ω
ω
ω
=
−
−
=
∑
=∞ −∞ =Mantenedor de orden cero. ZOH
• Zero Order Hold
• Reconstrucción causal simple definida por:
1 k k k), t t t t ( f ) t ( f = ≤ ≤ +
• Ventajas:
– Causal
– Permite el muestreo aperiódico
– Apto para el control por ordenador
– Implementado en las tarjetas de adquisición de datos
Mantenedor de orden cero. ZOH
• Error de reconstrucción
– La señal reconstruida tiene errores
– Cota del error, si la derivada primera evoluciona
de forma suave es: e
ZOH≤T
maxf´(t)
– Pueden usarse mantenedores de orden superior,
de modo que se tengan menores errores de
2. La transformada z
• Problema: en control digital debemos encontrar una
relación matemática entre la secuencia de señales de
control a aplicar en el sistema {u(t
k)} y la secuencia de
salidas del sistema {y(t
k)}.
• En el caso de los sistemas continuos tenemos la f.d.t
continua que relaciona u(s) con y(s).
• Solución: Ecuación en diferencias.
– Ecuación que permite calcular la salida de un sistema en un
instante determinado a partir de un número finito de valores
pasados de las señales de entrada y salida del sistema.
• y(tk)=f(u(tk), u(tk-1), u(tk-2),..., y(tk), y(tk-1), y(tk-2),...)
– Si f es una función lineal y de coeficientes constantes tenemos
un sistema DLI (Discreto, Lineal e Invariante)
)
(
·
)
(
·
)
(
1 0 i k n i i i k m i i kb
u
t
a
y
t
t
y
− = − =∑
∑
+
=
• Problema: trabajar con secuencias {y(k·T)} o con
una ecuación en diferencias no parece lo más
adecuado, se precisa un formalismo similar a las f.d.t
continuas, por lo que se utiliza la transformada Z de
una secuencia de señales.
• Definición:
– Dada una secuencia {y(t
k)} se define la transformada z de
la señal a la serie:
• Tablas de transformadas z
=
+
+
+
+
+
+
=
(
0
)
(
)·
−(
2
·
)·
−(
3
·
)·
−...
(
·
)·
−...
)
(
z
y
y
T
z
1y
T
z
2y
T
z
3y
K
T
z
kY
∑
∞ = −=
0)·
·
(
)
(
k kz
T
K
y
z
Y
• Propiedades:
– Linealidad
– Traslación en el tiempo
– Valor inicial
– Valor final
))
·
(
(
·
))
·
(
(
·
))
·
(
·
)
·
(
·
(
a
f
k
T
b
g
k
T
a
Z
f
k
T
b
Z
g
k
T
Z
+
=
+
{
(
·
)
}
lim
(
)
lim
k→0f
k
T
=
z→∞F
z
))
·
(
(
·
)
)·
((
(
))
·
(
(
·
)
)·
((
(
T
k
f
Z
z
T
i
k
f
Z
T
k
f
Z
z
T
i
k
f
Z
i i=
+
=
−
−{
(
·
)
}
lim
(
1
)·
(
)
lim
1 1z
F
z
T
k
f
z k − → ∞ →=
−
• Transformada inversa Z:
– La utilidad de la transformada Z se incrementa si a partir de
la transformada Z de una señal podemos encontrar su
respuesta temporal (lo mismo que sucedía para el caso de la
transformada de Laplace)
– Métodos:
• Serie de potencias. • Inversión fórmula. • Convolución discreta.
• Descomposición en fracciones simples
– Dada una transformada Z, E(z), como el cociente de dos polinomios en Z, E(z)=B(z)/A(z), la descomponemos en fracciones simples cuyas transformadas inversas sean conocidas (de un modo similar a como se hace para la transformada inversa de Laplace).
– En general la tabla de transformadas Z contiene un factor “z” en el numerador de todas las transformadas. Por lo que es más útil descomponer en fracciones simples la función E(z)/z.
• Ejemplo: determine la respuesta en el tiempo de una
secuencia de valores cuya transformada z es:
)
25
.
0
)·(
5
.
0
(
)
(
−
−
=
z
z
z
z
E
) 25 . 0 )·( 5 . 0 ( · 5 . 0 · 25 . 0 )· ( ) 25 . 0 ( ) 5 . 0 ( ) 25 . 0 )·( 5 . 0 ( 1 ) ( − − − − + = − + − = − − = z z B A z B A z B z A z z z z E ) 25 . 0 ( 4 ) 5 . 0 ( 4 ) ( ) 25 . 0 ( 4 ) 5 . 0 ( 4 ) ( 4 ; 4 − − − = ⇒ − − − = ⇒ − = = z z z z z E z z z z E B ATablas:
{
}
akT aTe
z
z
z
Y
e
T
K
y
(
·
)
· ·(
)
· − −−
=
⇒
=
Así:
{
E
(
K
·
T
)
}
=
4
·
(
e
−k·ln0.5−
e
−k·ln0.25)
;
para
k
=
0
,
1
,
2
,
3
...
3. Descripción externa de sistemas D.L.I (Discretos
Lineales e Invariantes en el tiempo)
3.1 Función de transferencia pulsada:
– Sabemos que una Ecuación en diferencias de un
sistema DLI es una función lineal y de coeficientes
constantes que permite calcular la salida del sistema
en un instante determinado a partir de un número
finito de valores pasados de las señales de entrada y
salida del sistema.
– Veamos que sucede si aplicamos la transformada Z a
ambos miembros de la ecuación, y utilizamos la
propiedad de linealidad y traslación en el tiempo.
{
(
)
}
·
{
(
)
}
·
{
(
)
}
1 0 i k n i i i k m i i kb
u
t
a
y
t
t
y
− = − =∑
∑
+
=
{
}
(
)
{
}
{
}
{
}
(
(
)
)
·
(
{
(
)
}
)
·
·
(
{
(
)
}
)
·
·
(
{
(
)
}
)
·
)
(
·
)
(
·
)
(
1 0 1 0 1 0 k n i i i k m i i i i k n i i i k m i i i k n i i i k m i i kt
y
Z
z
a
t
u
Z
z
b
t
y
Z
a
t
u
Z
b
t
y
a
t
u
b
Z
t
y
Z
∑
∑
∑
∑
∑
∑
= − = − − = − = − = − =+
=
+
=
+
=
∑
∑
= − = −+
=
n i i i m i i iz
U
z
a
z
Y
z
b
z
Y
1 0)
(
·
·
)
(
·
·
)
(
Agrupando:
1
·
·
(
)
·
·
(
)
0 1z
U
z
b
z
Y
z
a
m i i i n i i i
=
−
∑
∑
= − = −(
1
·
·
···
·
)
·
(
)
(
·
·
2···
·
)
·
(
)
2 1 1 0 2 2 1 1z
a
z
a
z
Y
z
b
b
z
b
z
b
z
U
z
a
m m n n − − − − − −−
−
−
=
+
+
+
+
−
) ( ··· · · · ··· · · · · · ··· · · 1 · ··· · · ) ( ) ( 2 2 1 1 2 2 1 1 0 2 2 1 1 2 2 1 1 0 H z a z a z a z z b z b z b z b z a z a z a z b z b z b b z U z Y n n n n m n m n n n n n m m = − − − − + + + + = − − − − + + + + = −− −− −− −− −− −Así:
H(z) es la f.d.t pulsada o discreta y permite representar un sistema
D.L.I. De modo que si al sistema se le presenta una secuencia de
entradas {u(k·t)}, cuya transformada z es U(z), la salida del sistema
resulta ser una secuencia de salida {y(k·t)}, cuya transformada z es
Y(z). Siendo Y(z)=H(z)·U(z).
La f.d.t pulsada o discreta permite representar:
1. Plantas muestreadas:
2. Controladores digitales:
R(z)
e(k)
T
u(k)
ZOH
G(s)
u(k)
T
y(k)
G(z)
3.2 Transformada z de un sistema continuo muestreado
con un ZOH:
– Consideremos el siguiente sistema continuo:
– Muestreamos la señal de entrada y la reconstruimos con un
ZOH, y posteriormente muestreamos la salida de la planta
– Tenemos que:
H(s)
u(s)
y(s)
ZOH
H(s)
u(s)
T
u*(s)
T
) ( ~ s uy(s)
y*(s)
[
]
[
]
[
1( 2· ) 1( 3· )]
··· )· · 2 ( ) · 2 ( 1 ) ( 1 * ) ( ) ( 1 ) ( 1 * ) 0 ( ) ( ~ + − − − + − − − + − − = T t T t T u T t T t T u T t t u t u T 1(t) 1(t-T) 1(t)-1(t-T)– Aplicando la transformada de Laplace:
– Definiendo la transformada estrellada como:
– Tenemos que:
– Por otro lado, haciendo el cambio de variable z=e
T·sentonces:
··· )· · 2 ( )· ( 1 )· 0 ( ) ( ~ · · 2· · 2· · 3· · + − + − + − = − − − − − s e s e T u s e s e T u s e s u s u Ts Ts Ts Ts Ts
[
(0)· ( )· (2· )· ···]
· 1 ) ( ~ = − −T·s u +u T e−T·s+u T e−2·T·s+ s e s u kTs k s T e T k u s e s u · · 0 · · ) · ( · 1 ) ( ~ ∞ − = −∑
− = s T k k e T k u s u · · 0 · ) · ( ) ( * ∞ − =∑
= ) ( * · 1 ) ( ~ · u s s e s u = − −Ts s T e z k k s T k k z u s u z u z T k u e T k u s u*( ) ( · )· ( · )· ( ) *( ) ( ) · 0 · · 0 = − ∞ = − ∞ = = ⇒ = = =∑
∑
– Así: – Se transforma en:– Si hacemos el cambio de variable z=eT·s – ¿Cuánto vale G(z)?
ZOH
H(s)
u(s)
T
u*(s)
T
) ( ~ s uy(s)
y*(s)
H(s)
u(s)
T
u*(s)
T
) ( ~ s uy(s)
y*(s)
s eT ·s 1− −u(s)
T
u*(s)
T
y(s)
y*(s)
) ( 1 · s H s e−Ts −u(s)
T
u*(s)
T
y(s)
y*(s)
) (s G(
( )· *( ))
* *( )· *( ) ) ( * ) ( * )· ( ) (s G s u s y s G s u s G s u s y = ⇒ = =Demostración en
Phillips & Nagle
) ( )· ( ) (z G z u z y =TS TS TS z e z e e z
G
s
u
s
s
y
s
u
s
G
s
y
*
(
)
=
*
(
)·
*
(
)
⇒
*
(
)
==
*
(
)
=·
*
(
)
=)
(
·
)
(
1
)
(
))·
(
(
)
(
·z
u
s
H
s
e
Z
z
u
s
G
Z
z
y
s T
−
=
=
−)
(
·
)
(
)
(
)
(
·z
u
s
H
s
e
Z
s
s
H
Z
z
y
s T
−
=
−, como e
Ts=z
(
1)
· ( ) · ( ) ( )· ( ) ) ( · ) ( ) ( ) ( 1 1 u z G z u z s s H Z z z u s s H Z z s s H Z z y = − = − = − −Así,
(
)
− = − s s H Z z z G( ) 1 1· ( )3.3 Operaciones con bloques:
– Elementos en cascada. Consideremos dos plantas en cascada y
diferentes estructuras en función de los muestreadores y
mantenedores (reconstructores) que se sitúen:
H
1(s)
u(s)
a(s)
H
2(s)
y(s)
ZOH
H
1(s)
u(s)
T
u*(s)
T
a(s)
a*(s)
ZOH
H
2(s)
T
y(s) y*(s)
ZOH
H
1(s)
u(s)
u*(s)
T
a(s)
H
2(s)
T
y(s) y*(s)
ZOH
H
1(s)
u(s)
T
u*(s)
T
a(s)
a*(s)
ZOH
H
2(s)
T
y(s) y*(s)
) ( )· ( )· ( ) ( ) ( )· ( ) ( ) ( * )· ( * ) ( * ) ( )· ( ) ( ) ( * )· ( * ) ( * 2 1 1 1 2 2 y z G z G z u z z u z G z a s u s G s a z a z G z y s a s G s y = ⇒ = ⇒ = = ⇒ = ) ( 1 ) ( 1 1 H s s e s G Ts − − = 2( ) 1 H2(s) s e s G Ts − − =(
)
−
=
−
s
s
H
Z
s
s
H
Z
z
z
G
(
)
1
1
2
·
1
(
)
·
2
(
)
[
]
) ( · ) ( )· ( 1 ) ( ) ( * *· ) ( )· ( ) ( * ) ( * )· ( )· ( ) ( ) ( * )· ( ) ( ) ( )· ( ) ( 2 1 2 1 2 1 1 2 z u s H s H s e Z z y s u s H s G s y s u s H s G s y s u s G s a s a s H s y Ts − = = ⇒ = ⇒ = = − ) ( 1 ) ( 1 1 s H s e s G Ts − − =(
)
−
=
−
s
s
H
s
H
Z
z
z
G
(
)
1
1
1
(
)·
2
(
)
ZOH
H
1(s)
u(s)
u*(s)
T
a(s)
H
2(s)
T
y(s) y*(s)
[
]
[
]
( ) ( ()· ()) ) ( )· 1 ( ) ( ) ( )· ( )· ( ) ( ) ( )· ( )· ( * ) ( * ) ( )· ( ) ( * ) ( )· ( ) ( ) ( * )· ( * ) ( * ) ( * )· ( ) ( 1 2 1 1 2 * 1 2 * 1 1 2 2 s u s H Z s s H Z z z y s u s H Z z G z y s u s H s G s y s u s H s a s u s H s a s a s G s y s a s G s y − = = ⇒ = ⇒ ⇒ = ⇒ = = ⇒ = − ) ( 1 ) ( 2 2 H s s e s G Ts − − =?
)
(
)
(
)
(
¿
z
u
z
y
z
G
=
H
1(s)
u(s)
T
a(s)
a*(s)
ZOH
H
2(s)
T
y(s) y*(s)
En general, si la entrada a un sistema de datos muestreados se aplica directamente a una parte en tiempo continuo antes de ser muestreada, la transformada z de la salida del sistema no puede expresarse como producto de la transformada z de la entrada multiplicada por una f.d.t pulsada.
– Sistemas en lazo cerrado. Consideremos dos sistemas
muestreados en lazo cerrado y veamos el efecto del sensor.
R(z)
e*(s)
T
u(s)
u*(s)
ZOH
H(s)
T
y(s) y*(s)
x
+
-w(s)
R(z)
e*(s)
T
u(s)
u*(s)
ZOH
H(s)
T
y(s) y*(s)
x
+
-w(s)
F(s)
) ( ) ( ) ( ) ( * ) ( * ) ( * ) ( ) ( ) ( ) ( )· ( ) ( ) ( )· ( ) ( ) ( * )· ( * ) ( * ) ( * )· ( ) ( z y z w z e s y s w s e s y s w s e z e z R z u z u z G z y s u s G s y s u s G s y − = ⇒ − = ⇒ − = = = ⇒ = ⇒ = ) ( 1 ) ( H s s e s G Ts − − =
)
(
)
(
)·
(
1
)
(
)·
(
)
(
w
z
z
R
z
G
z
R
z
G
z
y
+
=
R(z)
e*(s)
T
u(s)
u*(s)
ZOH
H(s)
T
y(s) y*(s)
x
+
-w(s)
Entonces: Siendo:(
)
− = − s s H Z z z G( ) 1 1 ( )(
( )· ( ))
( )(
( )· ( ))
) ( * ) ( )· ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( * ) ( * ) ( * ) ( ) ( ) ( ) ( )· ( ) ( ) ( )· ( ) ( ) ( * )· ( * ) ( * ) ( * )· ( ) ( * x z Z F s y s s y s F s x s y s F s x z x z w z e s x s w s e s x s w s e z e z R z u z u z G z y s u s G s y s u s G s y = ⇒ = ⇒ = − = ⇒ − = ⇒ − = = = ⇒ = ⇒ =[
]
(
(
)
(
)·
(
)
)
)·
(
)·
(
)
(
z
G
z
R
z
w
z
Z
F
s
y
s
y
=
−
Entonces: Siendo:(
)
− = − s s H Z z z G( ) 1 1 ( ) ) ( 1 ) ( H s s e s G Ts − − =R(z)
e*(s)
T
u(s)
u*(s)
ZOH
H(s)
T
y(s) y*(s)
x
+
-w(s)
F(s)
x(s)
?
)
(
)
(
)
(
¿
z
w
z
y
z
T
=
4. Respuesta temporal de sistemas muestreados
4.1 Obtención de la respuesta temporal de un
sistema muestreado:
– Usando la transformada z y su inversa.
– Usando la ecuación en diferencias
• Ejemplo:
– Calcule la respuesta del siguiente sistema ante una
entrada w(t) de tipo escalón
T=1 s.
ZOH
1/(s
2+s)
T
y(s) y*(s)
x
+
-w(s)
) ( ) ( 1 ) ( ) ( wz z G z G z y + = Entonces: Siendo:(
)
(
)
+ − = − = − − s s s Z z s s H Z z z G ·( 1) 1 1 ) ( 1 ) ( 1 1T=1 s.
ZOH
1/(s
2+s)
T
y(s) y*(s)
x
+
-w(s)
(
)
(
) (
[
T) (
(
TT)
T)
]
e z z e T e z e T z z s s Z z z G 1 1· 2 11·· 1· 2 1 · ) 1 ·( 1 · · 1 1 · 1 · 1 · · 1 ) 1 ·( 1 · 1 ) ( − − − − − − − − − − + + − − = + − = Como T=1:(
) (
[
) (
(
)
)
]
[
( ) (
(
)
)
]
(
)
[
]
(
)
1.368· 0.368 264 . 0 · 368 . 0 )· 1 ( · 2 1 · · ) 1 ( · 2 1 · · 1 · ) 1 ·( 1 1 · 1 1 · 1 ) ( 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 + − + = − − − + = = − − − + − = − − − − + + − − = − − − − − − − − − − − z z z e z z e z e e z z e z e z z z e z z e e z e z z z G Así: 1.368· 0.368 ( ) 0.368· 0.264 ( ) 264 . 0 · 368 . 0 ) ( ) ( ) ( z2 z wz z wz z z w z G z y = + ++ − + = =Descomponemos en fracciones simples y(z)/z:
Usemos la transformada z y su inversa:
Entonces: 1 ; 368 . 0 ; 1 264 . 0 · 632 . 0 368 . 0 0 = = − = ⇒ = + − = − − = + C B A C B C A B C A Así: 1 ) ( ) ( 1 ) ( − = → = z z z w t t w 1 · 632 . 0 264 . 0 · 368 . 0 ) ( 632 . 0 264 . 0 · 368 . 0 ) ( 2 2 − + − + = + − + = z z z z z z w z z z z y 1 632 . 0 · 1 1 · 632 . 0 264 . 0 · 368 . 0 ) ( 2 2 − + + − + = − + − + = z C z z B z A z z z z z z y
(
)
(
0.632)
·( 1) ) 632 . 0 ·( ) 1 ·( · 1 1 · 632 . 0 264 . 0 · 368 . 0 2 2 2 − + − + − + − + = − + − + z z z z z C z B z A z z z z Igualando coeficientes:(
)
(
)
+ − − − = ⇒ − + + − − − = − 632 . 0 368 . 0 · ) ( 1 ) ( 1 632 . 0 368 . 0 · ) ( 2 1 2 z z z z Z t t y z z z z z z z yTransformada inversa z que no está tabulada:
Así podemos poner:
= = = ⇒ = ⇒ = = = − − − 2136 . 0 8906 . 0 2294 . 0 1 T si 132 . 0 sen · 632 . 0 1 cos · 2 2 D b a bT e D e bT e aT aT aT Igualando coeficientes:
(
)
+ − + + − − − = − 632 . 0 · 132 . 0 632 . 0 5 . 0 · ) ( 1 ) ( 1 2 2 z z z z z z z Z t t ySin embargo, por tablas se conoce la transformada inversa de: aT aT aT e z bT e z bT e z z 2 2 2· ·cos · ) ·cos ·( − − − + − − aT aT aT e z bT e z bT e z 2 2 2· ·cos · ·sen · − − − + −
(
)
+ − − − = − 632 . 0 368 . 0 · ) ( 1 ) ( 1 2 z z z z Z t t y Comparando con: aT aT aT aTaT aT e z bT e z bT e z D e z bT e z bT e z z 2 2 2 2 2· ·cos · ·sen · · ·cos · 2 ) ·cos ·( − − − − − − + − + + − −Así: y(k)=1−e−0.2294·k
(
cos(0.8906·k)+0.2136sen(0.8906·k))
) · · ·cos( · · bkT e−akT ) · · ( · · · senbkT e−akT
(
cos(0.8906· ) 0.2136sen(0.8906· ))
1 ) (k e 0.2294· k k y = − − k + k=0; y(0)=0 k=1; y(1)=0.3680 k=2; y(2)=1.0000 k=3; y(3)=1.3995 k=4; y(4)=1.3995 k=5; y(5)=1.1470 k=6; y(6)=0.8945 k=7; y(7)=0.8016 k=8; y(8)=0.8683 k=9; y(9)=0.9936 k=10; y(10)=1.0769 k=11; y(11)=1.0809 k=12; y(12)=1.0323 k=13; y(13)=0.9812 k=14; y(14)=0.9607 k=15; y(15)=0.9726 k=16; y(16)=0.9975 k=17; y(17)=1.0147 k=18; y(18)=1.0164 k=19; y(19)=1.0070 k=20; y(20)=0.9967 Dividimos numerador y denominador por z-2: Usemos la ecuación en diferencias:Como: ( ) 632 . 0 264 . 0 · 368 . 0 ) ( 2 w z z z z z y + − + =
Utilizando el operador desplazamiento pasamos a la ecuación en diferencias:
) ( · 632 . 0 1 · 264 . 0 · 368 . 0 ) ( 11 22 wz z z z z z y −− −− + − + =
(
1−z−1+0.632·z−2)
·y(z)=(
0.368·z−1+0.264·z−2)
w(z) ) )· 2 (( · 264 . 0 ) )· 1 (( · 368 . 0 ) )· 2 (( · 632 . 0 ) )· 1 (( ) · (kT y k T y k T w k T w k T y − − + − = − + − ) )· 2 (( · 264 . 0 ) )· 1 (( · 368 . 0 ) )· 2 (( · 632 . 0 ) )· 1 (( ) · (kT y k T y k T w k T w k T y = − − − + − + −Si w(t) es una señal salto entonces: w(k·T)=0 si k<0
w(k·T)=1 si k≥0.
Entonces: 368 . 0 0 · 264 . 0 1 · 368 . 0 0 · 632 . 0 0 ) 1 ( · 264 . 0 ) 0 ( · 368 . 0 ) 1 ( · 632 . 0 ) 0 ( ) 1 ( ; 1 = − − + + − = − + + = = y y y w w k 000 . 1 1 · 264 . 0 1 · 368 . 0 0 · 632 . 0 368 . 0 ) 0 ( · 264 . 0 ) 1 ( · 368 . 0 ) 0 ( · 632 . 0 ) 1 ( ) 2 ( ; 2 = − + + = − + + = = y y y w w k 3994 . 1 632 . 0 368 . 0 · 632 . 0 000 . 1 632 . 0 ) 1 ( · 632 . 0 ) 2 ( ) 3 ( ; 3 = − + = − + = = y y y k
Además, como w(k)=1 para k≥0
entonces podemos poner: k≥2;y(k)= y(k−1)−0.632·y(k−2)+0.632
3994 . 1 632 . 0 000 . 1 · 632 . 0 3994 . 1 632 . 0 ) 2 ( · 632 . 0 ) 3 ( ) 4 ( ; 4 = − + = − + = = y y y k ... 8017 . 0 ) 7 ( ; 7 8946 . 0 ) 6 ( ; 6 1470 . 1 . 1 ) 5 ( ; 5 = = = = = = y k y k y k
Calculo del valor final:
Usando la transformada inversa z obtuvimos que:
(
cos(0.8906· ) 0.2136sen(0.8906· ))
1 ) (k e 0.2294· k k y = − − k +(
algoacotado)
1. 0 1 ) ( k si =∞⇒y ∞ = − =Usando el teorema del valor final:
1 632 . 0 264 . 0 368 . 0 1 632 . 0 264 . 0 368 . 0 ) 1 ( ) ( )· 1 ( ) ( 2 1 2 1 1 = + − + = = − + − + − = − = ∞ → → → z z z z lim z z z z z z lim z y z lim y z z z Lo cual concuerda con la gráfica obtenida:
4.2 Sistemas continuos y muestreados con
comportamiento parecido (transformación z=e
T·s):
– Conocidos los polos y ceros de la f.d.t de un sistema
continuo podemos conocer su respuesta en el tiempo
– ¿Podemos hacer lo mismo para sistemas discretos?
• Si, fijaros en la tabla de transformadas z y s.
– Una f.d.t. continua con un polo en s=-a, aparece el polo
en la f.d.t discreta equivalente en z=e
-a·T– Una f.d.t. continua con un polo en s=0, aparece el polo
en la f.d.t discreta equivalente en z=1
– Una f.d.t. continua con un polo en s=±a·j, aparece el
polo en la f.d.t discreta equivalente en z=e
-a·j·T=cos a·T ±
j·sen a·T
• Así los polos en s se transforman en polos en z
situados en e
T·sVeamos la transformación del plano s al plano z graficamente:
1 0 ; · < < = ⇒ − = a z e− z s aT 1 ; · > = ⇒ =a z e z s aT 1 0⇒ = = z s =± ⇒ = ± ⇒ = ± unidad módulo de conjugados complejos ; · sen · cos ·j z e · · z bT j bT b s bT j
(
)
± = ⇒ = ⇒ ± − = − ± − unidad la a menor módulo de conjugados complejos ; · sen · cos · · · · · T b j T b e z e z j b a s T a j T b T a(
)
< < − − = ± = ⇒ = ⇒ ± − = − − ± − 0 1 ; sen cos · T · · · · T · z e j e z e z j a s T a T a j T T a π π π π s=a±b·j⇒z=ea·T±b·T·j-π/T
π/T
-∞
-∞
1
-1
s
z
La transformación se repite en intervalos de la parte compleja
(
(2·k-1)π
/T, (2·k+1)π
/T). Siendo k=-
∞ ,…,-2,-1,0,1,2,.., ∞
-π/T
-3·π/T
3·π/T
π/T
Sistemas estables en s polos en el semiplano izquierdo. Sistemas estables en z polos en el interior del circulo unidad.
···⇑
···⇓
Sistemas con la misma rapidez de respuesta en s y z:
•Sistemas con la misma rapidez de respuesta tienen polos con el mismo valor de la parte real. Recta paralela al eje
imaginario en s que se transforma en circulo de radio menor a la unidad en z.
•Sabemos que cuanto más a la izquierda estén los polos en s más rápido es el sistema, entonces cuanto más cerca estén los polos en z del origen más rápido es el sistema.
j
b
a
Sistemas con la misma frecuencia de oscilación en s y z:
•Los sistemas de 2º orden con la misma frecuencia de oscilación tienen polos cuya parte compleja es la misma (b=cte). Ya que los polos de un sistema de 2º orden se ubican en:
•Se transforman en polos en:
oscilación
de
frecuencia
la
·
1
Siendo
·
·
1
·
·
2 2 n n nj
s
j
b
a
s
ω
δ
ω
ω
δ
ω
δ
−
=
−
±
−
=
⇒
±
−
=
constante argumento · · · · ⇒ =e−aT e−bT j zπ/T
-π/T
ω=0.
ω=0.
ω= π/T
ω↑
δ=0.9
Sistemas con el mismo coeficiente de amortiguamiento en s y z: •Los sistemas de 2º orden con el mismo
amortiguamiento tienen los polos en s situados sobre dos bisectrices:
cte ángulo y variable es módulo el , Si 1 1 ; · · 1 · · 2 2 cte arctg s j s j b a s n n n = − = = − ± − = ⇒ ± − = δ δ θ ω ω δ ω δ θ
•Las bisectrices en s se transforman en espirales en z.
•Cuanto menor es el amortiguamiento más vertical es la bisectriz y más próxima a la circunferencia unidad es la elipse.
δ=0.9
Respuesta ante una entrada impulso unitario
4.3 Estabilidad de sistemas discretos
• La estabilidad de sistemas dinámicos lineales discretos está
determinada por la ubicación de sus polos.
– La condición de estabilidad consiste en que éstos deben estar ubicados en el interior del círculo unitario.
– Si algún polo está situado sobre la circunferencia unitaria el sistema es críticamente estable
– Los ceros no afectan a la estabilidad con lo cual pueden localizarse en cualquier lugar del plano z
• Ceros en el interior del circulo unitario, sistema de fase mínima • Ceros en el exterior del circulo unitario, sistema de fase no mínima
• Debido a que esta condición es diferente a la que existe para los
sistemas continuos, las herramientas presentadas en el tema 5 no
pueden emplearse directamente, sino que es necesario efectuar
algún tipo de adecuación:
– Adecuar el sistema discreto para que parezca un sistema continuo, usando la transformación bilineal.
• Transformación bilineal
– Transforma el plano complejo z en otro plano complejo w
– Esta transformación transforma
• El circulo unidad en el semiplano complejo de parte real negativa • La circunferencia unidad en el eje imaginario
– Así se plantea la ecuación característica en z (D(z)=0), se
aplica la transformación bilineal de z a w (se obtiene
D(w)=0) y se aplica e criterio de Routh-Hurwitz a
D(w)=0.
1
1
−
+
=
w
w
z
• Transformación bilineal
– Demostremos que transforma la circunferencia unitaria en el eje
imaginario
(
)(
)
(
)(
)
cos 1 sin cos 2 2 sin 2 sin cos 1 sin cos 1 sin cos 1 sin cos 1 sin cos 1 sin cos 1 1 sin cos 1 sin cos sin cos 1 1 1 1 − = − − = − + − + + − − + − + + = = + + − + + = − + + + = ⇒ + = − + = ⇒ − + = φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ j j j j j j j j j j w j z z z w w w z• Transformación bilineal
– Demostremos que transforma el circulo unidad en el
semiplano complejo negativo
– Consideremos cualquier numero complejo del plano w=a+bj
– ¿Cuáles son los números de w que corresponden al circulo
unitario en z?
• Aquellos en que |z|<1 • Deben cumplir que:
• Lo cual corresponde al semiplano complejo negativo 1 1 1 1 − + = ⇒ − + = z z w w w z
(
)
(
)
(
1
)
(
1
)
2
2
0
1
1
1
1
1
1
1
1
2 2 2 2 2 2 2 2<
⇒
−
<
⇒
+
−
<
+
+
⇒
⇒
<
+
−
+
+
⇒
<
−
+
+
+
=
−
+
=
a
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
bj
a
bj
a
w
w
z
• Ejemplo:
– Valores de K que hacen que el sistema de control discreto sea estable G(z)K
u(z) + - y(z) w(z) e(z) H(z)(
)
(
)
(
K)
w(
K)
w k w w K K w w w w w w K w F w w z + + − + + − − = + + − + + − + + − + = ⇒ − + = 21 . 0 2 58 . 1 21 . 2 3 . 0 4 . 1 7 . 1 21 . 0 1 1 1 1 7 . 0 1 1 ) ( 1 1 2 2 2Condición necesaria del criterio de Routh, todos los coeficientes mayores que cero
Matriz de Routh
• Arreglo de Jury
– El criterio de Jury permite determinar cuántas raíces tiene un polinomio en el interior del círculo unitario. Cumple, para el caso discreto, un papel análogo al que cumple el criterio de Routh-Hurwitz en el caso continuo.
– Dado un polinomio:
– En donde los coeficientes aison reales y anes positivo, es posible construir el Arreglo de Jury de p(z) a partir de los coeficientes aique aparecen en p(z): 0 1 1 ... ) (z az a z a p n n n n + + + = − −
• La primera línea contiene los coeficientes de p(z) en orden, desde a0hasta an, y en la segunda línea en orden inverso.
• En general, cada línea par contiene los mismos coeficientes que la línea inmediatamente anterior pero en el orden inverso.
• Los elementos de las líneas impares se construyen así:
– El primer elemento de una fila impar se calcula como el determinante de la matriz construida tomando de las dos líneas inmediatamente anteriores la primera y la última columna; el segundo elemento de forma similar pero con la primera y la penúltima columnas; el tercero con la primera y la antepenúltima, y así sucesivamente. Dado que el último elemento sería el determinante de la matriz formada con dos columnas iguales (la primera dos veces), este valor será siempre cero, y por tanto no se escribe en el arreglo (se ha eliminado).
• Sólo se construyen 2n-3 filas.
• Ejemplo:
p(z)=5z4+4z3+3z2+2z+1• Criterio de Jury
– Las condiciones necesarias y suficientes para que p(z) tenga todas sus raíces en el interior del círculo unitario del plano z son:
– Para el caso de polinomios de segundo orden (n=2) las condiciones son:
0
)
1
(
>
p
• Ejemplo:
– Por lo que p(z) tiene todas sus raíces en el interior del circulo unitario
– Si calculamos las raíces resultan ser:
• 0.1378 + 0.6782i • 0.1378 - 0.6782i • -0.5378 + 0.3583i • -0.5378 - 0.3583i 1 2 3 4 5 ) (z = z4+ z3+ z2+ z+ p 0 ) 1 ( > p 0 15 1 ) 1 ( 2 ) 1 ( 3 ) 1 ( 4 ) 1 ( 5 ) 1 ( = 4+ 3+ 2+ + = > p
Error estacionario
{ } ( ) ) ( 1 1 ) 1 ( lim ) ( ) 1 ( lim ) ( lim 1 1 z E z z GH z wz k e e z z k ss= →∞ = → − = → − +Uno de los objetivos de los esquemas de control como el que se muestra en la figura suele ser el asegurar que la señal de error sea nula, al menos después de que las respuestas transitorias hayan desaparecido. Por ese hecho, se estudia la respuesta de
estado estacionariode la señal de error, comúnmente denominada el error de estado
estacionario.
Se denomina error en estado estacionario a:
El error en estado estacionario se determina ante entradas de tipo: Salto Rampa − = + = − s s H s G Z z z GH z w z GH z e ) ( )· ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( 1 1 ) ( 1 { } { } 1 · ) ( ) ( · ) ( − = ⇒ = z z A z u KT A KT u δ { } { } ( 1)2 · · ) ( ) ( 1 · ) ( − = ⇒ = z z T A z u KT A KT u G(s) + - y(z) w(z) e(z) H(s) ZOH
T
T
Error estático de posición,
velocidad y aceleración
Kp se denomina coeficiente de error de posición y depende de las características propias del sistema.
) ( lim 1GH z K z p= →
Kv se denomina coeficiente de error de velocidad y depende de las características propias del sistema.
( ) T z GH z K z v ) ( · 1 lim 1 − = →
Ka se denomina coeficiente de error de aceleración y depende
de las características propias del sistema.
p z ssp K A z z A z GH z e + = − + − = → 1 ( ) 1 1 1 ) 1 ( lim 1 1 · ) ( − = z z A z w ( 1)2 · · ) ( − = z z T A z w ( ) ( )3 2 1 · 2 1 · · ) ( − + ⋅ = z z z T A z w ( ) v z ssv K A z z T A z GH z e = − + − = →1 12 · ) ( 1 1 ) 1 ( lim ( ) ( ) a z ssa K A z z z T A z GH z e = − + ⋅ + − = → 3 2 1 2· 1 1 · ) ( 1 1 ) 1 ( lim ( ) 2 2 1 ) ( · 1 lim T z GH z K z a − = → − = + = − s s H s G Z z z GH z w z GH z e ) ( )· ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( 1 1 ) ( 1 G(s) + - y(z) w(z) e(z) H(s) ZOH
T
T
Tipo de sistema y errores estacionarios
• Dado el sistema en lazo cerrado se define el tipo del sistema como el número de polos en z=1 que tenga GH(z)
• Si:
– Tipo 0, GH(z) no tiene polos en z=1, (i=0) – Tipo 1, GH(z) tiene un polo en z=1, (i=1) – Tipo 2, GH(z) tiene dos polos en z=1, (i=2)
( 1)( )( )···( ) ) )···( )( ( ) ( 2 1 2 1 n i m p z p z p z z z z z z z z K z GH + + + − + + + = • Si Tipo 0, – Kp=valor finito,
essp=valor finito – Kv=0, essv=∞ – Ka=0, essa=∞
• Si Tipo 1,
– Kp=∞, essp=0 – Kv =valor finito,
essv=valor finito – Ka=0, essa=∞
• Si Tipo 2,
– Kp=∞, essp=0 – Kv =∞, essv=0 – Ka=valor finito,
essa=valor finito − = + = − s s H s G Z z z GH z w z GH z e ) ( )· ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( 1 1 ) ( 1 G(s) + - y(z) w(z) e(z) H(s) ZOH
